2
A Notação de Kendall
Um modelo de fila pode ser descrito pela notação:
A/B/c/K/m/Z em que:
A = distribuição dos intervalos entre chegadas;
B = distribuição do tempo de serviço;
c = quantidade de atendentes;
K = capacidade máxima do sistema
(número máximo de clientes no sistema)
m = tamanho da população que fornece clientes;
Z = disciplina da fila
A Notação de Kendall: A/B/c/K/m/Z
Os valores de A e B dependem do tipo de distribuição
a que elas se referem:
M = Exponencial Negativa (ou Marcoviana ou Poisson)
Em = Erlang de estágio m
Hm = Hiper-exponencial
Determinística
Geral
A Notação de Kendall: A/B/c/K/m/Z
Exemplo:
M/E2/5/20//Randômico
Significa chegadas Marcoviana (ou Poisson),
atendimento erlang de segundo grau, 5 atendentes,
capacidade máxima de 20 clientes, população infinita e
atendimento randômico.
A notação condensada A/B/c é muito utilizada e
pressupõe tamanho de fila e população infinita e disciplina
da fila é FIFO.
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Modelos de Filas O Processo de Vida e Morte:
A maioria dos modelos de fila elementares supõe que as chegadas (clientes chegando) e saídas (clientes saindo)
do sistema de fila ocorrem de acordo com o processo de vida e morte. Onde:
vida - é o termo que se refere a chegada de um novo cliente morte - é o termo que se refere a partida de um cliente já
servido estado - é o número de clientes no sistema no tempo (instante)
t(t>0).
Este processo diz que vidas e mortes individuais ocorrem aleatoriamente, onde suas taxas médias de ocorrência
dependem somente do estado atual do sistema.
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Modelos de Filas O Processo de Vida e Morte:
Mais precisamente, as suposições do processo de vida e morte são as seguintes:
1. Dado N(t)=n, a distribuição de probabilidade atual do tempo restante até à vida (chegada) seguinte é
exponencial com parâmetro n(n=0,1,2,...)
2. Dado N(t)=n, a distribuição de probabilidade atual do tempo restante até à morte (conclusão do serviço)
seguinte é exponencial com parâmetro n(n=0,1,2,...)
Somente uma vida ou morte pode ocorrer de cada vez
Modelos de Filas O Modelo M/M/1:
Este modelo representa chegadas e atendimentos marcovianos com um único atendente.
Este estudo considera os casos de população infinita e finita.
Representação do modelo de fila M/M/1
Nome
Descrição Fórmula
NF
Número médio de clientes
na Fila
NF =
NS Número médio de clientes
no sistema
NS =
TF Tempo médio de clientes na
Fila
TF =
TS Tempo médio de clientes no
sistema
TS =
Pn Probabilidade de existirem
n Clientes no sistema
Pn =
2 .
(-)
-
-
(-)
n
1
.
.
1 .
Modelo M/M/1
Taxa de Utilização: É a relação entre o ritmo médio de chegada e o ritmo de atendimento:
= Sistemas estáveis exigem menor que ou < 1.
NF = =
2
(-)
Modelo M/M/1
2
1-
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População finita: M/M/1/K
Um caso particular e bastante encontrado na vida prática.
Exemplo: Uma mineração com 1 escavadeira e a alguns caminhões. Considerando =8 e =10, temos a seguinte variação de NF
Se a população fosse infinita teríamos NF = 3,2
4
3
2
1
0
0 5 10 15 20 25 30
Nome Descrição Fórmula
NF
Número médio de
clientes na Fila
NS Número médio de
clientes no sistema
TF Tempo médio de
clientes na Fila
TS Tempo médio de
clientes no sistema
Pn Probabilidade de
existirem n Clientes
no sistema
Modelo M/M/1/K
)1( 0PKNF
)1( 0PKNS
2
0 )1()(
PxKTF
2
0 )1()( PxKTS
K
j
j
nK
n
jxnK
P
0 !
)(
)(
)(
O Modelo M/M/c
Apresenta uma única fila e diversos servidores com
chegadas e atendimentos marcovianos.
Supõe-se aqui que a capacidade de atendimento de
cada um dos servidores é a mesma (ou seja ).
Casos de população infinita e finita
População Infinita:
Geralmente são utilizados gráficos para se obter o
número médio de clientes na fila (NF) em função do fator
de utilização e tendo como parâmetro a quantidade de
servidores M a taxa de utilização é:
Após o uso dos gráficos, as outras variáveis podem ser
obtidas pelas fórmulas de Little:
TF=NF/
TS=NS/
M/
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População finita: M/M/c/K
Um caso particular e bastante encontrado na vida prática.
Exemplo: Uma mineração com 4 escavadeiras e a alguns
caminhões.
Considerando =26 e =8, temos a seguinte variação de
NF
Se a população fosse infinita teríamos NF = 3
4
3
2
1
0
0 5 10 15 20 25 30
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O Modelo Erlang
O modelo M/Em/c, representa:
• chegadas seguem Poisson
• atendimento segue a Distribuição Erlang de grau m
O dimensionamento de equipamentos leva em conta os
seguintes indicadores:
• Fornecer ao cliente o menor tempo em fila
• Um sistema de menor custo e máxima capacidade
de produção
Para um dado TF desejado, o modelo M/Em/n necessita de
uma menor quantidade de servidores que o modelo M/M/c.
O Modelo Erlang
O Modelo M/Em/1
Distribuição Densidade Erlang
• Para m=1, possui o mesmo formato que a Função
Exponencial Negativa
• À medida que m cresce, a distribuição tende para a
normal
• Se m tende para infinito. A distribuição tende para uma
constante (TA), ou seja, quanto maior m mais constante
se torna o tempo de atendimento.