LEMBAR KERJA SISWA (LKS)
PETUNJUK:
1. Berdoalah sebelum dimulai.
2. Berdiskusilah dengan kelompokmu.
Nama : 1.
2.
3.
Nama kelompok :
Materi : vektor
Kd:
3.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan
masalah.
Indikator:
3.4.2 Menentukan hasil operasi aljabar vektor.
TUJUAN Pembelajaran:
1. Siswa dapat menentukan hasil operasi aljabar vektor.
OPERASI ALJABAR VEKTOR
A. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN VEKTOR
Diketahui titik-titik A(a1,a2), B(b1,b2), C(c1,c2).
Gambarkan pada bidang koordinat Cartesius.
y
O x
Gambar 1.
Titik A(a1,a2), dan B(b1,b2), dan C(c1,c2)
Pada koordinat Cartesius
Lengkapi gambar 1 dengan:
Lalu hubungkan titik A dengan dua titik lainnya, dimana titik A sebagai
pangkalnya.
Lalu hubungkan titik B dan C dengan pangkal di titik B.
Dimisalkan: a = vektor AB
b = vektor BC
c = vektor AC
perhatikan gambar diatas, verktor a, b, dan c dapat ditulis sebagai
berikut:
a = (b1 - a1 , b2 – a2)
Dapat pula ditulis, a = 1 1
2 2
b a
b a
b = (c1 - b1 , …)
Dapat pula ditulis, b = (
)
c =( … , … )
Dapat pula ditulis, c = (
)
Jumlahkan vektor a dan b. Karena vektor merupakan matriks kolom, maka
dapat menjumlahkan vektor a dan b dengan menggunakan aturan
penjumlahan matriks, maka diperoleh
a + b = 1 1
2 2
b a
b a
+ (
) = (
) = (
)
perhatikan bahwa 1 1
2 2
c a
c a
=c.
Uraian tersebut menunjukkan bahwa a + b = c
Secara geometris, penjumlahan antara dua vektor a dan b dapat dilakukan
dengan dua cara, yaitu:
a. Cara Segitiga
Buatlah dua vektor a dan b, dimana vektor a vektor b.
Gambarlah kedua vektor tersebut dengan titik pangkal vektor b
berimpit ruas dengan titik ujung vektor a.
Lalu tarik ruas garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b.
Ruas garis ini dimisalkan c, yang merupakan hasil jumlahan vektor a dan
vektor b.
Jadi, jumlah vektor a dan b didapat dengan menarik ruas
garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b.
Akibatnya a + b = c.
b. Cara Jajargenjang
Gambarlah:
1. Vektor a yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke
titik B
2. Vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal C ke titik
pangakal D
Dalam jajargenjang, titik pangkal vektor a berimpit dengan titik
pangkal vektor b, yaitu A = C.
Dengan membuat jajargenjang ABCD , akan diperoleh:
AB AD AB BE ( oleh karena AD = BE )
AE (Gunakan cara segitiga)
APA YANG TERJADI?
Jika vektor a dijumlahkan dengan invers vektor b, maka didapatkan
a + (-b) sebagai berikut:
Oleh karena AB =a , AD = b dan AE =c , maka a + b = c.
a + (-b) dapat dituliskan juga a – b.
Secara geometris, dapat dengan mengurangkan a dengan b sebagai
berikut:
Dengan menggunakan aturan penjumlahan dan pengurangan matriks
kolom, kalian dapat menyatakan aturan penjumlahan dan pengurangan
vektor sebagai berikut.
Untuk a dan b vektor-vektor di R2, berlaku
a + b = 1 1 1 1
2 2 2 2
a b a b
a b a b
a – b = 1 1 1 1
2 2 2 2
a b a b
a b a b
Dengan menggunakan pasangan terurut, dapat
dituliskan
1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )a b a a b b a b a b
1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )a b a a b b a b a b
Perhatikan gambar berikut!
Dari gambar di atas, kalian dapat menyatakan:
b + … = a
… + e = c
b + … + e = a
Untuk a dan b vektor-vektor di R3, berlaku
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a b a b
a b a b a b
a b a b
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a b a b
a b a b a b
a b a b
Dengan menggunakan pasangan terurut, dapat
dituliskan
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) ( , , )
a b a a a b b b a b a b a b
a b a a a b b b a b a b a b
B. PERKALIAN SKALAR DENGAN VEKTOR
Diketahui :
Vektor u = (u1, u2, u3) dan k adalah skalar tak nol.
Apa yang terjadi jika vektor-vektor yang dijumlahkan adalah k vektor
yang sama ?
Jawab :
Jumlahan dari vektor u (sebanyak k vaktor)
= u + u + u + ... + u
...
= k x ...
= ku
= k (u1, u2, u3) = (ku1, ku2, ku3 )
Apa yang terjadi jika k > 0 dan k < 0 ?
Diberikan :
u u u u
...
k vektor u
a. Perkalian skalar dengan vektor u, dimana k > 0.
Gambarlah pada kotak yang disediakan, dengan vektor u sesuai pada
gambar diatas.
Jadi, jika k skalar tak nol dan vektor u = (u1, u2, u3) , maka
ku = (ku1, ku2, ku3 )
b. Perkalian skalar dengan vektor u, dimana k > 0.
Gambarlah pada kotak yang disediakan, dengan vektor u sesuai pada
gambar diatas.
ku
k > 0
ku
k < 0
C. SIFAT-SIFAT OPERASI HITUNG PADA VEKTOR
Jika a, b, dan c vektor-vektor di R2 atau di R3 dan k serta l skalar tak nol
maka berlaku hubungan berikut.
1. a b b a
2. ( ) ( )a b c a b c
3. 0 0a a a
4. ( ) 0a a
5. ( ) ( )k la kl a
6. ( )k a b ka kb
7. ( )k l a ka la
8. Ia a
Pembuktian :
Pembuktian sifat 1
Ambil sebarang vektor a = (a1, a2, a3 ) dan b = (b1 , b2, b3), maka :
a + b = (a1, a2, a3 ) + …
= (a1 + b1 , a2 + b2, … )
= ( … , b2 + a2 , … )
= … + (a1, a2, a3 )
= b + …
Jadi, dalam perkalian skalar dengan vektor:
Jika k > 0, maka vektor ku searah dengan vektor u.
Jika k < 0, maka vektor ku berlawanan arah dengan vektor u.
Jadi, a + b = b + a.
Pembuktian sifat 2
Ambil sebarang vektor a = (a1, a2, a3), b = (b1 , b2 , b3), dan c = (c1 , c2 , c3),
maka:
(a + b) + c = ((a1, a2, a3 ) + (b1, b2, b3 )) + (c1, c2, c3 )
= (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) + (c1 , c2 , c3)
= (a1 + b1 + c1 , … , a3 + b3 + c3 )
= (( … + ( b1 + c1), a2 + (b2 + c2), a3 + … ))
= ( … ) + (b1+ c1, b2 + c2, b3 + c3)
= (a1, a2, a3 )+ (( … + (c1, c2, c3))
= a + ( … + … )
Jadi, (a + b) + c = a + (b + c).
Pembuktian sifat 4
Ambil sebarang vektor a = (a1, a2, a3 ) maka :
a + (-a) = (a1, a2, a3 )+ ( … , … , … )
= (a1- a1, … , … )
= (0, 0, 0) = o
Jadi a + (-a) = o.
Pembuktian sifat 7
Ambil sebarang skalar k dan l serta vektor a =(a1, a2, a3 ), maka :
(k + l)a = (k + l)(a1, a2, a3 )
= ((k + l)a1, (k + l) … , (k + l) … )
= (ka1 + … , ka2 + … , ka3 + la3)
= (ka1, ka2, ka3) + …
= k … + l …
= ka + la
Jadi, (k + l)a = ka + la.