1

LAUREA QUINQUENNALE IN ARCHITETTURA INGEGNERIA

a.a. 2009-2010

CORSO DI

TECNICA DELLE COSTRUZIONI

Prof. Roberto Capozucca

APPUNTI DI CALCOLO ELASTICO DELLE

PIASTRE SOTTILI

Generalità

E’ tradizione consolidata dei corsi di Tecnica delle Costruzione delle Facoltà di

Ingegneria riprendere l’analisi dei continui elastici bidimensionali – piastre e lastre –

o quelli di a sviluppo spaziale – gusci, per le numerose applicazioni che si

riscontrano nella pratica tecnica delle strutture in cemento armato, in acciaio o nelle

più tradizionali strutture in muratura di edifici monumentali.

In quanto segue l’attenzione sarà rivolta alla teoria delle piastre sottili in

grado di mantenere un regime flessionale prevalente a quello membranale e costituite

di materiale isotropo. Il problema dell’equilibrio elastico della piastra sottile viene

ricondotto alla soluzione di un’equazione differenziale alle derivate parziali,

associata a particolari condizioni al contorno, in cui è la superficie elastica è

incognita. Soluzioni ancora efficaci per gli ingegneri strutturisti sono praticabili

mediante uno sviluppo in serie di funzioni che, per la rapida convergenza delle serie

adottate, permettono di determinare i valori degli spostamenti e sollecitazioni in

modo semplice ed utile per il controllo di soluzioni spesso onerose ottenibili con

codici di calcolo agli elementi finiti usualmente utilizzabili.

Si discutono le soluzioni con lo sviluppo in serie semplici ed in serie doppie.

Inoltre, come esempio applicativo, si controlla il comportamento di un modello

sperimentale di piastra quadrata in conglomerato cementizio rinforzato appoggiata su

tutti i lati sottoposta ad un carico distribuito su un’area quadrata limitata.

2

2 Proprietà dei materiali e legge dell’elasticità

Nello studio del continuo si considera che i materiali posseggano alcune

particolari proprietà fisiche. In particolare, un materiale si definisce perfettamente

elastico se a seguito della rimozione del carico riassume completamente la forma

originaria. Matematicamente la proprietà elastica è descritta dalla legge di Hooke.

Un corpo che mostra lo stesso comportamento elastico in tutte le direzioni è

chiamato isotropo.

Nel caso in cui il corpo possieda differenti proprietà elastiche nelle due

direzioni ortogonali è detto ortotropo. L’ortotropia è solo un caso particolare di

anisotropia. Nell’analisi delle strutture impiegate nell’ingegneria si distinguono due

tipologie di elementi ortotropi: l’ortotropia naturale, conseguente alle proprietà

fisiche del materiale che differiscono lungo le varie direzioni, l’ortotropia

strutturale, che comprende gli elementi rinforzati per motivi di resistenza e stabilità,

come le piastre nervate. Le proprietà elastiche variabili in questi casi possono essere

espresse dalle differenti rigidezze torsionali e flessionali nelle due direzioni. In

campo elastico questo secondo gruppo può essere trattato con la stessa teoria

impiegata per le piastre ortotrope con qualche modifica.

Per la soluzione del problema della distribuzione delle tensioni e delle

deformazioni in un corpo isotropo, è necessario utilizzare equazioni che tengano

conto delle stesse proprietà nelle varie direzioni.

La relazione generale di elasticità è esprimibile nel modo seguente

klijklij C (1)

Secondo la notazione di Voight:

333331

232221

131211

;;

;;;

;;;

zzyzx

yzxyx

xzxyx

(2)

Esplicitando una delle componenti di tensione (ad esempio x ), si ricava:

31113123112322112221112113111312111211111111 CCCCCCCx

331133321132 CC

3

In generale, ogni componente di tensione si scrive attraverso 9 costanti elastiche;

essendo 9 il numero delle componenti di tensione ( ij per i,j=1,3) si ottengono 81

costanti elastiche. Poiché risulta jiij e jiij , le componenti di tensione

indipendenti sono 6 e quindi le costanti della (3.1) diventano 36. L'equazione (3.1),

per le condizioni di elasticità di Green, richiede che sia verificata anche la seguente

condizione:

))(())(( ijklklij CC (3)

Quindi le 36 costanti elastiche si riducono a 21. Se ci sono simmetrie del materiale,

le 21 costanti presenti nei legami possono essere ancora ridotte.

MATERIALE ANISOTROPO

L'equazione (3.3) può essere scritta in forma matriciale esplicitando le 21 costanti:

zx

yz

xy

z

y

x

=

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

zx

yz

xy

z

y

x

(4)

essendo le costanti ijc (i,j=1,6) legate alle costanti ijklC (i,j,k,l=1,3) dell'equazione

(1). Per esempio :

111111 Cc ;

112315 Cc ;

121244 Cc ;

….

MATERIALE ORTOTROPO

Un materiale ortotropo possiede una simmetria elastica rispetto a 3 assi

perpendicolari. Considerando le coordinate dei tre assi x,y,z perpendicolari a tre

piani di simmetria, si possono determinare alcune relazioni tra le costanti

dell'equazione (3.4). Si hanno quindi solo 9 costanti elastiche:

4

zx

yz

xy

z

y

x

=

66

55

44

33

2322

131211

00000

00000

00000

00000

0000

000

c

c

c

c

cc

ccc

zx

yz

xy

z

y

x

(5)

Se si utilizzano le notazioni dei moduli elastici definiti ingegneristicamente si

perviene alla seguente forma dei legami elastici:

zx

yz

xy

z

y

x

=

zx

yz

xy

zy

yz

x

yz

z

zy

yx

xy

z

zx

y

yx

x

G

G

G

EEE

EEE

EEE

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

zx

yz

xy

z

y

x

(6)

Sono inoltre presenti ulteriori legami:

;)21(

;)21(

;)21(

xzxz

xzzx

zyzy

zy

yz

yxyx

yx

xy

EE

EEG

EE

EEG

EE

EEG

(7)

in cui

zyx EEE ,, = moduli di Young nelle direzioni x,y,z;

zxyzxy GGG ,, = moduli di taglio per piani paralleli, rispettivamente, alle

coordinate x-y,y-z e z-x. (per esempio, il modulo di xyG caratterizza la deformazione

xy prodotta dalla tensione tangenziale xy );

5

ij (i,j=x,y,z) = coefficienti di Poisson che caratterizzano la deformazione di

compressione nella direzione j (direzione dell'effetto) prodotta dalla tensione di

trazione nella direzione i ( direzione dello sforzo).

Per le condizioni di simmetria espresse dalle relazioni di Green, si ha inoltre:

zxxxzz

yzzzyy

xyyyxx

EE

EE

EE

(8)

L'equazione (6) contiene 12 costanti, ma soltanto 9 sono indipendenti essendo

valide le relazioni (8).

MATERIALE ISOTROPO

L’isotropia rappresenta la più completa simmetria di comportamento e riconduce il

legame elastico lineare a 2 sole costanti indipendenti, per cui i legami costitutivi per

un materiale elastico lineare ed isotropo risultano in definitiva:

zx

yz

xy

z

y

x

=

G

G

G

EEE

EEE

EEE

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

zx

yz

xy

z

y

x

(9)

6

3 Legami costitutivi per piastre isotrope

Nel caso delle piastre isotrope, in cui il continuo elastico è costituito da un

solido bidimensionale con riferimento xoy, le relazioni elastiche sono espresse nel

modo seguente:

G

EE

EE

xy

xy

yxy

yxx

(10)

essendo G il modulo di taglio esprimibile con

)1(2

E

G (11)

Le deformazioni x e y sono state ottenute utilizzando il principio di

sovrapposizione degli effetti. Infatti, se si considera un elemento di piastra isotropa,

rappresentato in Fig. 3.1, con i lati paralleli agli assi coordinati e soggetta all’azione

della tensione normale s x uniformemente distribuita sui due lati opposti, l’ampiezza

dell’elongazione in direzione x è data dall’espressione:

E

xx

(12)

in cui E è il modulo elastico per la piastra ortotropa in direzione x.

L’estensione dell’elemento in direzione x è accompagnata dalla contrazione

laterale in direzione y data dall’espressione:

E

x (13)

in cui è il rapporto di Poisson che rappresenta il coefficiente di contrazione in

direzione normale all’asse delle x per sollecitazione in direzione x.

Analogamente, la tensione y produce due componenti di deformazione. Quindi se

agiscono contemporaneamente le tensioni normali x e y , si ottengono le relazioni

(10).

7

Fig. 1 - Effetto Poisson.

Le tensioni invece sono espresse dalle seguenti relazioni:

xyxy

xyy

yxx

G

E

E

)(1

)(1

2

2

(14)

La teoria di Lagrange

Si consideri l’elemento piano di Fig. 2 e si assuma come sistema di riferimento

la terna 0, x y z con x ed y giacenti nel piano medio della piastra e z normale a

questo; siano u, v e w le componenti dello spostamento secondo i rispettivi assi di

riferimento. La struttura sia inoltre caricata da una distribuzione qualsiasi di forze

agenti parallelamente all’asse z.

Considerato che il materiale sia perfettamente elastico, omogeneo, continuo e

segua la legge di Hooke, si supponga ancora che lo spessore t sia molto piccolo

rispetto alle dimensioni in pianta (circa 1/20 del lato minore).

8

Fig. 2 – Schema della piastra.

Quest’ultima condizione permette di formulare il problema elastico della

piastra nella forma sviluppata da Lagrange.

Tale teoria si basa sulle seguenti ipotesi fondamentali:

a) i segmenti rettilinei e normali al piano medio della piastra restano tali nella

configurazione deformata. L’ipotesi, detta di Kirchoff, è analoga a quella della

conservazione della sezione piana per la trave ed è attendibile solo se lo spessore

t è piccolo rispetto alle altre dimensioni, perché in questo caso è trascurabile la

deformazione dovuta al taglio rispetto alle deformazioni provocate dai momenti

flettenti;

b) le componenti u e v dello spostamento dei punti appartenenti al piano medio della

piastra sono nulle, ciò significa che le componenti di deformazione sx e sy si

suppongono nulle. L’ipotesi è giustificata solo se lo spessore t, pur trascurabile

rispetto alle dimensioni in pianta, non è estremamente piccolo rispetto a queste:

la piastra deve essere sottile ma non troppo, altrimenti gli spostamenti w sono

paragonabili a t e viene chiamata in gioco anche la resistenza membranale della

piastra, con conseguente deformazione del piano medio;

c) La componente w dello spostamento in direzione normale al piano medio è

indipendente dalla quota z ed è quindi funzione solo di x ed y.

Secondo le ipotesi elencate, la configurazione deformata della piastra è pertanto

definita quando è nota la componente dello spostamento w(x,y) del piano medio della

piastra.

9

Fig. 3 - Deformazioni dell'elemento di piastra.

Infatti facendo riferimento alla Fig. 3, le componenti dello spostamento u e v

della fibra disposta alla quota z rispetto al piano medio della piastra, sono

rappresentate dalle relazioni seguenti:

x

wzu

y

wzv

(15)

E’ così possibile esprimere le componenti di deformazione del generico

elementino della piastra in funzione dello spostamento w(x,y):

0

2

2

2

2

z

w

y

wz

y

v

x

wz

x

u

z

y

x

0

0

22

y

w

z

v

x

w

z

u

yx

wz

x

v

y

u

yz

xz

xy

(16)

Per passare dalle componenti di deformazione (3.16) alle componenti di

tensione, in virtù dell’ipotesi fatta sullo spessore della piastra, è lecito porre:

0z (17)

Infatti, indicando con p il carico sulla faccia superiore della piastra, il valore

della sz dovrà variare fra i due estremi –p per z = -t/2 e 0 per z = t/2; se la piastra è

abbastanza sottile il valore di p e quindi della massima sz è trascurabile rispetto ai

valori di sx , sy e txy dovuti alle caratteristiche flettenti e torcenti; la posizione (17)

10

risulta perciò giustificata e le componenti di tensione (14) associate alle (16)

assumono la forma:

yx

wEzG

x

w

y

wEzE

y

w

x

wEzE

xyxy

xyy

yxx

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

22

1

1)(

1

1)(

1

(18)

E’ opportuno precisare che le tensioni txz e tyz , anche se le deformazioni gxz

e gyz sono considerate nulle, non possono essere uguali a zero. Infatti, considerando

che per l’equilibrio alla traslazione nelle direzioni x ed y devono essere soddisfatte le

equazioni

0

0

zyx

zyx

yzyxy

xzxyx

(19)

sostituendo in esse le (18), si ricava:

wy

Ez

y

w

x

w

y

Ez

z

wx

Ez

y

w

x

w

x

Ez

z

yz

xz

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

11

11

(20)

con operatore matematico o laplaciano.

Integrando le (3.20) rispetto a z e ricordando che txz e tyz assumono valore nullo per

z = t/2, si ha infine:

wy

ztEz

wx

ztEz

yz

xz

281

281

22

2

22

2

(21)

A meno che risulti w = cost, è quindi evidente che le (21) sono diverse da

zero: la contraddizione, per il fatto che le gxz e gyz sono invece nulle, dipende

11

dall’ipotesi di conservazione dell’elemento normale, che non consente di porre in

relazione queste tensioni con le corrispondenti componenti di deformazione.

In conclusione le tensioni (21) derivano da necessità di equilibrio, ma sono incapaci

di produrre alcuna deformazione: ciò significa che la teoria di Lagrange fornisce

soluzioni equilibrate ma non perfettamente congruenti.

Dunque lo stato di tensione nell’elemento, come è illustrato nella Fig. 4, può

essere rappresentato dalle sei componenti:

Fig. 4 - Tensioni agenti sulle sezioni della piastra

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

z

y

x

x

w

y

wEz

y

w

x

wEz

wy

ztEz

wx

ztEz

yx

wEz

yz

xz

xy

281

281

1

22

2

22

2

2

(22)

12

5 Equazione differenziale della piastra inflessa

Le uniche caratteristiche di sollecitazione non nulle, agenti sulle facce

dell’elementino di piastra (Fig. 3.5), sono i momenti flettenti Mx e My, il momento

torcente Mxy e le forze di taglio Qx e Qy.

Fig. 5 - Sollecitazioni agenti sull'elementino.

Indicando con

)1(12 2

3

EtD (23)

la rigidezza flessionale della piastra, si ricavano per integrazione delle tensioni le

seguenti espressioni delle caratteristiche di sollecitazione:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

32

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

32

2

)1(12

)1(12

xyD

xy

EtdzzM

yxD

yx

EtdzzM

t

t

yy

t

t

xx

13

yxD

yx

EtdzzM

t

t

yxxy

2232

2

)1()1(12

(24)

wy

Dwy

EtdzzQ

wx

Dwx

EtdzzQ

t

t

yzy

t

t

xzx

)1(12

)1(12

2

32

2

2

32

2

Si osserva che le ultime due delle (24) si sarebbero potute ricavare direttamente

dalle prime tre, considerando l’equilibrio globale dell’elementino di piastra (Fig. 6).

Infatti scrivendo le condizioni di equilibrio alla rotazione intorno ai lati BC ed AB, si

ottiene:

y

M

x

MQ

y

M

x

MQ

yxy

y

xyxx

(25)

e sostituendo in queste le prime tre delle (24) si ricavano le ultime relazioni delle

(24). Invece per la condizione di equilibrio alla traslazione verticale dell’elementino

di Fig. 3.6 si rileva

0

p

y

Q

x

Q yx (26)

14

Si individua facilmente che le (25) e le (26) sono equivalenti alle relazioni che

intercorrono nelle travi fra momento flettente e forza di taglio e tra forza di taglio e

carico:

Fig. 6 - Sollecitazioni agenti su un elemento di piastra.

Qdx

dM 0 p

dx

dQ (27)

Sostituendo le (25) nella (26) è inoltre possibile unificare le relazioni nell’equazione

py

M

yx

M

x

M yxyx

2

22

2

2

2 (28)

perfettamente analoga al caso delle travi, in cui si ha

pdx

Md

2

2

(29)

Per ottenere l’equazione fondamentale in w(x,y), che governa il problema

dell’equilibrio elastico delle piastre sottili, è sufficiente sostituire le ultime due delle

(24) nella (26), oppure le prime tre delle (24) nella (28). Si ottiene così l’equazione

15

differenziale alle derivate parziali nell’incognita w(x,y) nota come equazione di

Lagrange:

),(24

4

22

4

4

4

yxpy

w

yx

w

x

wD

(30)

ovvero

),(2

2

2

2

2

2

2

2

yxpy

w

x

w

yxD

(31)

che in forma simbolica si può esprimere nel modo seguente.

),(2 yxpwD (32)

E’ immediato riscontrare che la (32) risulta duale dell’equazione della linea

elastica delle travi inflesse:

pdx

wdEI

4

4

(33)

Se la w dell’eq. (30) è funzione della sola x si ha

pdx

wdD

4

4

(34)

che differisce dalla (33). Tale differenza è dovuta essenzialmente all’impedita

contrazione trasversale della piastra, che risulta sollecitata, a differenza della trave,

non solo da tensioni sx, ma anche da tensioni sy.

6 Tensioni nelle piastre isotrope

Noto lo spostamento w(x,y) dall’integrazione dell’equazione fondamentale di

Lagrange (30), mediante le relazioni (24) è immediato ricavare le caratteristiche

della sollecitazione. Se si considerano l’espressione della tensione sx nella (18)

2

2

2

2

21 y

w

x

wEzx

(35)

e quella del momento Mx dell’equazione (24) nella seguente forma:

2

2

2

2

23 1

12

y

w

x

wEz

t

M x

(36)

16

dal confronto delle due equazioni è possibile risalire alla tensione x ; in maniera

analoga, si determinano le altre componenti di tensione:

zI

Mz

t

M

zI

Mz

t

M

zI

Mz

t

M

xyxy

xy

yy

xxx

3

3

3

12

12

12

2828

12

2828

12

2222

3

2222

3

zt

I

Qzt

t

Q

zt

I

Qzt

t

Q

yy

yz

xxxz

(37)

dove I è il momento d’inerzia della piastra per unità di lunghezza.

Le condizioni al contorno per le piastre

L’equazione differenziale (30) è valida in ogni punto interno del dominio

definito dal piano medio della piastra. Per la soluzione del problema è però

necessario associare a questa equazione le condizioni al contorno sulla frontiera della

piastra. Tali condizioni possono essere di carattere statico e riguardare quindi le

caratteristiche della sollecitazione Mn, Mns e Qn (vedi Fig. 7a), o di carattere

cinematico, interessanti quindi lo spostamento w, la rotazione tangente s

w

e la

rotazione normale n

w

(vedi Fig. 7b), o di carattere misto, quando nella frontiera sia

imposto un legame tra le caratteristiche della sollecitazione ed i parametri cinematici.

Fig. 7 – Condizioni statiche e cinematiche su un bordo libero.

17

Due è il numero massimo di condizioni cinematiche che si possono imporre

indipendentemente sul contorno: lo spostamento w e la rotazione normale n

w

; la

rotazione tangente s

w

infatti è nota quando su un tratto del contorno sia assegnato,

in ogni punto, il valore dello spostamento w. Anche il numero massimo di condizioni

statiche indipendenti risulta essere pari a due; essi sono il momento normale Mn, che

lavora per la rotazione normale n

w

ed una nuova caratteristica, denominata in

genere come reazione fittizia o taglio alla Kirchoff Rn, che compie lavoro per lo

spostamento verticale w, come si vede in Fig. 8.

Fig. 8 - Reazione fittizia Rn.

Tale caratteristica tiene conto in maniera globale sia dello sforzo tagliante Qn sia del

momento torcente Mns. Per determinarne l’espressione, si supponga che il contorno c

sia costituito ovunque da punti regolari; si determina il lavoro compiuto dalle

caratteristiche della sollecitazione presente sul contorno, che risulta

c c

nsnn dss

wMwQds

n

wML (38)

Per definizione tale lavoro deve essere identico a quello che si compie

sostituendo la reazione fittizia Rn a Qn ed Mns:

18

c c

nn wdsRdsn

wML (39)

Deve quindi aversi

c

n

c

nsn wdsRdss

wMwQ (40)

Integrando per parti su tutto il contorno la quantità

c

ns dss

wM (41)

si ottiene

c

n

c

nsn wdsRwds

s

MwQ (42)

e quindi si ha

s

MQR ns

nn

(43)

Se invece il contorno c contiene un punto angoloso, la funzione Mns risulterà

discontinua in questo punto, assumendo i due valori Mns’ ed Mns’’. Pertanto, alla

distribuzione di tagli Qn e momenti torcenti Mns andrà sostituita, nel punto angoloso,

non solo una distribuzione continua di reazioni fittizie Rn, ma anche una forza

concentrata S.

Rimanendo valida la (38), la (39) va riscritta nella forma

p

c c

nn SwwdsRdsn

wML

(44)

e quindi si deve avere

p

c

n

c

nsn SwwdsRdss

wMwQ

(45)

Integrando per parti la quantità

c

ns dss

wM (46)

la (45) diventa

19

p

c

npnsns

c

nsn SwwdsRwMMwds

s

MwQ

)( ''' (47)

Per qualsiasi tipo di contorno è dunque valida l’espressione (43) per la

reazione fittizia Rn, tenendo presente inoltre che in ogni punto angoloso agisce una

forza concentrata

'''nsns MMS (48)

uguale alla differenza dei momenti torcenti agenti sulle due facce dello spigolo.

In particolare se lo spigolo è retto come è mostrato in Fig.9, per il principio di

reciprocità delle tensioni tangenziali si ha

Fig. 9 - Momenti torcenti agenti sullo spigolo retto.

'''nsns MM (49)

e si ricava che

''2 nsMS (50)

E’ così dimostrato che i parametri indipendenti delle sollecitazioni in ogni

punto del contorno risultano il momento normale Mn e la reazione fittizia Rn; per i

punti angolosi è poi necessario considerare l’effetto della forza concentrata S.

Premesso ciò è opportuno esaminare alcune delle condizioni più frequenti di

vincolo ed esplicitare per esse le effettive espressioni delle condizioni al contorno.

Considerando per primo il caso dell’incastro perfetto, è evidente che le

condizioni al contorno sono di tipo puramente cinematico:

20

w = 0 0

n

w (51)

Nel caso dell’appoggio, esse sono di tipo misto e si presentano nella forma

w = 0 Mn = 0 (3.52)

E’ possibile esplicitare la seconda delle (3.52) in funzione di w, tenendo

presente che, detto r il raggio di curvatura del contorno nel punto in questione

secondo la Fig. 10, si ottiene

2

2

2

2

s

w

n

w

n

wDM n

(53)

La presenza del termine n

w

deriva dal fatto di aver supposto il contorno

curvilineo con raggio di curvatura r. Nel caso di contorno rettilineo, essendo ,

si ritorna all’espressione usuale.

Infine, se si considera il caso di un bordo libero, le condizioni al contorno

diventano

Mn = 0 Rn = 0 (54)

con Mn esplicitabile in funzione di w mediante la (53) ed Rn attraverso la relazione

2

3

)1(sn

ww

nDRn (55)

Fig. 10 – Contorno curvilineo con raggio di curvatura r.

21

dove si è posto

2

2

2

2 1

s

w

n

w

n

w

(56)

* * *

Si è osservato come il problema dell’equilibrio elastico della piastra sottile è

ricondotto alla soluzione dell’equazione differenziale alle derivate parziali, associate

alle condizioni al contorno. Di essa difficilmente si possono dare soluzioni in termini

finiti; la superficie elastica w viene invece determinata mediante: soluzioni agli

elementi finiti con l’utilizzo di codici di calcolo (SAP, STRAUS, etc); soluzioni alle

differenze finite; sviluppi in serie di funzioni, i cui coefficienti sono le nuove

incognite del problema. Questa ultima procedura matematica, è basata sull’utilizzo di

serie semplici e serie doppie per piastre rettangolari. Il primo deriva da un preciso

procedimento matematico, il secondo scaturisce direttamente dall’osservazione di un

fenomeno fisico, quale le libere oscillazioni della piastra.

8 Piastre rettangolari: soluzione con serie semplice di Levy

Si consideri il caso della piastra rappresentata in Fig. 11, semplicemente

appoggiata lungo i lati x = 0 e x = a e comunque vincolata sugli altri due; sia p(x,y) il

carico su di essa agente.

b

x

p (x,y)

bordo comunque vincolato

Fig. 11 - Piastra semplicemente appoggiata su due lati.

22

La soluzione dell’equazione differenziale delle piastre (equazione di Lagrange)

si ottiene dalla somma di due soluzioni:

po www (57)

dove ow rappresenta la soluzione generale dell’equazione differenziale

dell’omogenea associata e pw è una soluzione particolare dell’equazione non

omogenea. Una soluzione dell’equazione omogenea può essere data in serie

semplice. Questa soluzione, proposta per primo da Levy, può essere rappresentata

nella forma generale:

)()(),( xfyYyxw mmo (58)

essendo la serie costituita dalle funzioni )(xfm che devono quindi godere delle

proprietà:

a) di poter rappresentare attraverso la serie:

)()(),( xfyAyxw mm (59)

la deformata di una qualsiasi striscia di piastra parallela all’asse x;

b) di soddisfare le condizioni al contorno secondo x.

In tal modo la ricerca dell’integrale generale dell’omogenea, viene ricondotta alla

determinazione delle sole funzioni Ym(y). Una serie di funzioni che gode delle

proprietà elencate risulta

a

xmsinxfm

)( (60)

E’ evidente però che la proprietà b) risulta soddisfatta solo nel caso in cui i lati x = 0

ed x = a siano semplicemente appoggiati; ciò restringe l’applicabilità del metodo allo

studio delle piastre che abbiano due lati opposti semplicemente appoggiati. Restano

invece del tutto arbitrarie le condizioni di vincolo sui lati y = 0 ed y = b.

Tuttavia, anche per condizioni di vincolo che non rispettino quanto detto, la

soluzione del problema può ancora ottenersi per sovrapposizione di varie soluzioni

elementari, ciascuna delle quali dedotte attraverso il metodo delle serie semplici.

Per la funzione Ym(y) si adotta la seguente espressione

y

m eAyY )(

23

La soluzione dell’equazione omogenea risulta quindi

a

xmsineAw y

m

o

1

(61)

dove A e sono costanti da determinare. Sostituendo questa espressione

nell’omogenea associata dell’equazione di Lagrange:

024

4

22

4

4

4

y

w

yx

w

x

w (62)

si ottiene:

0sen)()()( )()(24

a

xmyYyY

a

myY

a

m IVm

IImm

(63)

La soluzione non banale si ricava dall’equazione caratteristica

0

42

24

a

m

a

m

(64)

Per la risoluzione si pone *2 e dunque le soluzioni dell’equazione

caratteristica risultano

2

3

2

42

*

2,1

a

m

a

m

(65)

Poiché *1 e *

2 sono due numeri complessi coniugati, utilizzando la formula

derivante dalla relazioni di De Moivre, si ottengono le quattro radici dell’equazione

caratteristica che sono ancora numeri complessi e a coppie coniugati:

**111 ii

**222 ii (66)

**113 ii

**

224 ii

dove

24

12 , 12 , 2

2

*

a

m

, 2

23

4

*

b

m

(67)

L’espressione di Ym(y) può dunque essere scritta in forma reale

yDeyCeyBeyAeyY yyyym sencossencos)( (68)

per cui la soluzione dell’omogenea associata risulta, nella forma di serie semplice:

a

xmy

a

mDy

a

mCy

a

mBy

a

mAw

m

o

sensenhcoshcoshsenh

1

(69)

dove le costanti A, B, C, D si determinano imponendo le condizioni al

contorno; 2211 ,,, e quindi anche A, B, C, D sono funzione di m, che assume

valori interi dispari (m = 1,3,5,…) se il carico è simmetrico, e valori interi pari (m =

2,4,6,…) se il carico è emisimmetrico.

Per trovare la soluzione particolare dell’equazione differenziale si adottano le

seguenti due ipotesi per gli abbassamenti e per il carico:

a) a

xmsinaw

m

mp

1

b) il carico p(x,y) sulla piastra può essere considerato come una serie di

carichi )(),......(),( 21 xpxpxp n ognuno applicato su una sottile striscia

parallela all’asse x come mostrato in Fig.12.

Quindi, il carico p(x), funzione della sola x, può essere espresso in serie di

Fourier come segue:

a

xmsinpxp

m

m

1

)( (70)

dove pm, sfruttando le proprietà delle funzioni circolari, risulta

dxa

xmsinxp

ap

a

m 0

)(2

(71)

Per la seconda ipotesi si perde la dipendenza dell’integrale particolare dalla variabile

y e dunque l’equazione della piastra assume la forma

D

p

x

w

4

4

(72)

25

Sostituendo nell’equazione (72) la soluzione particolare si ricava la relazione

tra i coefficienti ma e mp :

x

a

b

Fig. 12 - Piastra soggetta a carico p(x) costante lungo y.

4

m

a

D

pa m

m (73)

Quindi l’integrale particolare assume la forma definitiva:

a

xmsin

m

a

D

pw

m

mp

4

1

(74)

La soluzione completa è data dalla somma delle due espressioni (69) e (74)

nella forma seguente:

a

xmy

a

mDy

a

mCy

a

mBy

a

mA

m

a

D

pw

m

m

sensenhcoshcoshsenh

1

4

(75)

che rappresenta l’espressione generale della deformata di una piastra avente due lati

opposti semplicemente appoggiati e soggetta ad un carico generico.

Nel caso di carico uniformemente distribuito p(x) = po si ha che

pm = m

p4 (76)

La soluzione particolare diventa quindi:

a

xmsin

m

a

D

pw

m

mp

4

1

(77)

26

e la forma definitiva della soluzione completa è data dalla relazione

a

xmy

a

mDy

a

mCy

a

mBy

a

mA

m

a

Dm

pw

m

sensenhcoshcoshsenh

4

1

4

(78)

Per la ricerca delle caratteristiche di sollecitazione si utilizzano le relazioni

seguenti, ottenute derivando l’espressione dell’abbassamento (78)

Mx =

2

2

2

2

y

w

x

wD , My =

2

2

2

2

x

w

y

wD (79)

Mxy = Myx = yx

wD

2

Le forze di taglio verticali sono determinate dall’equilibrio dei momenti

dell’elemento:

yx

w

y

wD

x

M

y

MQ

yx

w

x

wD

y

M

x

MQ

xyy

y

xyxx

2

3

3

3

2

3

3

3

(80)

9 Piastre rettangolari: soluzione con serie doppie di Navier.

Si consideri una piastra comunque vincolata al contorno e sollecitata da un

carico generico: il problema dell’equilibrio elastico della piastra è risolto se si

determina la superficie elastica w, che definisce la configurazione della piastra,

equilibrata e congruente e compatibile sul contorno con i vincoli.

L’equilibrio e la congruenza (con i limiti derivanti dall’ipotesi di Kirchoff) risultano

rispettati se la funzione w soddisfa l’equazione di Lagrange; la compatibilità con i

vincoli è osservata se la w rispetta le condizioni al contorno associate.

La soluzione dell’equazione (30)che soddisfi le condizioni sopra citate può

essere espressa nella serie doppia di Navier come segue:

),(),(

1 1

yxwAyxw mn

m n

mn

(81)

Quindi la piastra rappresentata da 2 particelle collegate elasticamente,

ammetterà 2 configurazioni semplici di oscillazione wmn (autofunzioni).

27

Per la soluzione dell’eq. (3.30) è pertanto fondamentale la conoscenza del sistema

delle wmn.

x

b

Fig. 13 - Piastra semplicemente appoggiata.

Il metodo delle serie doppie è applicabile alle piastre rettangolari solo se la

condizione di vincolo al perimetro è di semplice appoggio; per tale ragione si

consideri la piastra di lati a e b, rappresentata in Fig. 13, appoggiata al contorno e

sollecitata da un carico generico p(x,y).

In questo caso il sistema di funzioni wmn che consente di utilizzare la

soluzione in serie doppie è:

b

yn

a

xmyxwmn

sensen),( (82)

La soluzione del problema, sostituendo la (3.82) nella (3.81), risulta

b

yn

a

xmAyxw

m n

mn

sensen),(

1 1

(m = 1,2,3…; n = 1,2,3…) (83)

che soddisfa le seguenti condizioni al contorno del problema:

w = 0 Mx = 02

2

x

w per x = 0 e x = a

w = 0 My = 02

2

y

w per y = 0 e y = b

Anche per il carico si adotta un analogo sviluppo in serie:

b

yn

a

xmpyxp

m n

mn

sensen),(

1 1

(84)

28

dove il generico pmn, che dipende dal tipo e dalla posizione del carico applicato, è

espresso dalla relazione

db

yn

a

xmyxp

Np

mn

mn

sensen),(

12

(85)

4

abd

b

ynsen

a

xmsenN2

mn

(86)

Le costanti Amn si possono ricavare sostituendo la soluzione w nell’equazione della

piastra (30), quindi

b

yn

a

xm

a

mAD

m n

mn

1

4

1

sensen

b

yn

a

xm

b

n

a

mA

m n

mn

1

22

1

sensen2 (87)

),(sensen1

4

1

yxpb

yn

a

xm

b

nA

m n

mn

Sostituendo la soluzione w(x,y) e il carico p(x,y) sviluppati in serie di Fourier

nell’equazione di Lagrange (30), si ricavano così le costanti Amn dell’eq. (83):

D

C

b

n

a

mD

pA mn

mn

2

2

2

2

24

(88)

La deformata della piastra assume quindi l’espressione definitiva:

b

yn

a

xm

b

n

a

m

p

Dyxw

m n

mn

sensen

1),(

1 12

2

2

2

24

(89)

Le caratteristiche di sollecitazione, definite per unità di lunghezza, sono date

dalle derivate dell’abbassamento w(x, y), analogamente al caso degli sviluppi in serie

semplice secondo le relazioni (79) e (80). Per proporzionare le sezioni, i valori

ottenuti devono essere moltiplicati per la rispettiva larghezza efficace.

Nella Fig. 14 sono rappresentate le funzioni a

xmsen per m pari e per m

dispari. E’ evidente che tutte le funzioni con m dispari sono simmetriche rispetto alla

sezione di mezzeria e quelle con m pari sono invece emisimmetriche.

29

Fig. 14 – Funzioni a

xmsen per m pari e dispari.

x

bx'

Fig. 15 – Sistema di riferimento centrato.

Riferendosi agli assi x’ e y’ di Fig. 15, le quattro situazioni particolari che

possono presentarsi nelle varie forme delle wmn conducono ai seguenti risultati:

1) simmetria rispetto a x ed y

m = 1, 3, 5, 7…

n = 1, 3, 5, 7…

30

2) emisimmetria rispetto a y e simmetria rispetto a x

m = 2, 4, 6, 8…

n = 1, 3, 5, 7…

3) simmetria rispetto a y ed emisimmetria rispetto a x

m = 1, 3, 5, 7…

n = 2, 4, 6, 8…

4) simmetria rispetto a x ed y

m = 2, 4, 6, 8…

n = 2, 4, 6, 8…

Nel caso in cui la piastra sia sottoposta ad un carico uniformemente distribuito

p agente su tutta l’area, l’eq. (85) risulta:

mn

pdxdy

b

yn

a

xm

ab

pp

a

o

b

mn 2

0

16sensen

4

(90)

essendo m ed n numeri dispari per la simmetria della soluzione. Sostituendo la (90)

nella (89) si ottiene come deformata della piastra l’espressione seguente:

1 1

2

2

2

2

26

sensen16

),(m n

b

n

a

mmn

b

yn

a

xm

D

pyxw

(91)

Lo spostamento massimo si manifesta ovviamente al centro della piastra, per

x = a/2 e y = b/2 si ha quindi:

1 12

2

2

2

2

12

6max)1(16

m n

nm

b

n

a

mmn

D

pw

(92)

Anche i massimi momenti flettenti si verificano in mezzeria e valgono:

1

2

1 12

2

22

2

22

4

2

max )1(16

nm

m n

x

nmmn

nm

paM

(93)

31

1

2

1 12

2

22

2

2

2

4

2

max )1(16

nm

m n

y

nmmn

mn

paM

(94)

essendo un coefficiente pari al rapporto tra i lati

a

b

Si consideri ora il caso in cui la piastra sia soggetta ad un’impronta di carico di

intensità p, secondo la Fig. 16, tale che risulti

P = p c d (95)

x

bd

c

v

u

Fig. 16 - Piastra soggetta ad un’impronta di carico

In questo caso l’eq. (85) diventa:

dxdyb

yn

a

xm

abcd

pp

cu

cu

dv

dv

mn

sensen

4 2

2

2

2

b

dn

a

cm

b

vn

a

um

mncd

p

2sen

2sensensen

16

2

(96)

e l’espressione definitiva della deformata risulta:

1 12

2

2

2

26

sensensensensensen16

),(

m n

b

n

a

mmn

b

yn

a

xm

b

dn

a

cm

b

vn

a

um

Dcd

pyxw

(97)

32

Procedura di calcolo operativa

Le espressioni dell’abbassamento e delle caratteristiche di sollecitazione sono

esprimibili nel modo seguente:

ABBASSAMENTO b

yn

a

xm

D

USZw

m n

sensen (98)

MOMENTI FLETTENTI

b

yn

a

xm

D

USZM

b

yn

a

xm

D

USZM

m n

y

m n

x

sensen

sensen

(99)

MOMENTI TORCENTI

xyyx

m n

xy

MM

b

yn

a

xm

D

USZM

coscos (100)

TAGLI

b

yn

a

xm

D

USZQ

b

yn

a

xm

D

USZQ

m n

y

m n

x

cossen

cossen

(101)

REAZIONI

b

yn

a

xm

D

USZQ

b

yn

a

xm

D

USZQ

y

x

cossen

cossen

),0(

),0(

byy

axx

(102)

Il fattore D è quello definito nell’equazione (81). Gli altri fattori Z, S, ed U

dipendono dal tipo di carico.

Introducendo le notazioni

12

3Gt ,

D

2 e

b

a (103)

i fattori Z, S e U sono dati dalle tabelle seguenti Tab. 1, 2, e 3.

33

Tab. 1 - Valori del coefficiente Z per le diverse sollecitazioni.

abbassamento (w) o

sollecitazione Z

w

Mx

My

Mxy

Qx

Qy

Qx

Qy

2

16

p

2

16

a

pD

2

16

a

pD

2

162

a

p

3

16

a

pD

3

16

a

pD

3

16

a

pD

3

16

a

pD

34

Tab. 2 - Valori del coefficiente S per le diverse sollecitazioni.

abbassamento (w) o

sollecitazione S

Tipo di carico

w

Mx

My

Mxy

Qx

Qy

Qx

Qy

uniforme, impronta linea

mn

1

m

n

n

m 2

n

m

m

n 2

1

nn

m 2

2

mm

n

22

nn

m 2

2

2

mm

n 2

22

n S

35

Tab. 3 - Valori del coefficiente U per le diverse sollecitazioni.

coefficiente

di caricotipoU

p

p = po /2l

p = p1

1

(per m = 1,3,5...; n = 1,3,5...)

sen

(per m = 1,3,5...; n = 1,3,5...)

(per m = 1,2,3...; n = 1,2,3...)

b

a

b

a

b

a

v

c

duv

n v

b

sen n v

bsen n d

bsen m c

asen m u

a

36

Applicazione

I metodi di soluzione discussi nei paragrafi precedenti sono stati applicati al

modello di piastra isotropa appoggiata su tutti i lati rappresentata in Fig. 17.

lo

sezione trasversale

xa = 100 cm

b =

100

cm t = 5 cm

Fig. 17 - Schema del modello sperimentale.

La soluzione in serie doppia di Navier con il metodo di calcolo proposto è stata

impiegata per condizione di carico uniformemente distribuito (p = 1 kg/cmq).

Le condizioni al contorno, per la piastra semplicemente appoggiata, risultano:

0

0

xM

w per x = 0 , x = a (104)

0

0

yM

w per y = 0 , y = b

La stessa piastra, sottoposta a carico uniformemente distribuito, è stata risolta

con la serie semplice di Levy. In questo caso le condizioni al contorno sono:

0

0

yM

w per y = 0 , y = b (105)

Si mostrano i risultati per alcuni punti, riassunti nelle tabelle seguenti

relativamente alla sola condizione di carico uniforme:

37

punto x y

cm cm

1 0 50

2 25 50

3 50 50

4 75 50

5 100 50

6 50 0

7 50 25

8 50 50

9 50 75

10 50 100

Tab. 4 – Risultati relativi al calcolo con il metodo di Levy per il carico uniforme.

punto w Mx My Mxy Myx Qx Qy Qx Qy

mm Nmm/m Nmm/m Nmm/m Nmm/m N N N N

1 0 0 0 81,7 -81,7 307,8 0 427,5 0

2 1,618 3436 2840 -58 58 142,2 4,1

3 2,232 3915 4032 0 0 0 -8,8

4 1,618 3436 2840 58 -58 -142,2 4,1

5 0 0 0 -81,7 81,7 -307,8 0 -427,5 0

6 0 0 0 0 0 0 358 0 468

7 1,62 2909 3397 0 0 129,5

8 2,32 3915 4032 0 0 -8,8

9 1,592 2437 3415 0 0 -150

10 0 0 0 0 0 -387 0 -526

Tab. 5 – Risultati relativi al metodo di Navier per il carico uniforme.

punto w Mx My Mxy Myx Qx Qy Qx Qy

mm Nmm/m Nmm/m Nmm/m Nmm/m N N N N

1 0 0 0 2,81 -2,81 320,43 0 430,11

2 1,617 3786 3387 1,90 -1,90 139,87 0,11

3 2,239 4637 4637 0 0 0,14 0,14

4 1,619 3790 3391 -1,89 1,89 -139,55 0,11

5 0 0 0 -2,81 2,81 -320,42 0 -430,11

6 0 0 0 2,81 -2,81 0 320,43 430,11

7 1,617 3387 3786 1,90 -1,90 0,11 139,87

8 2,239 4637 4637 0 0 0,14 0,14

9 1,619 3391 3790 -1,89 1,89 0,11 -139,55

10 0 0 0 -2,81 2,81 0 -320,42 -430,11

Bibliografia di riferimento:

1. Bares R., Massonnet C.: Analysis of Beams Grids and Orthotropic Plates,

Crosby Lockwood & Son, Ltd, London, 1968.

2. Bares R.: Calcolo di Lastre e Piastre con la teoria elastica lineare, Ed. CLUP

Città Studi, Milano, 1986 (a cura di F. Mola).

3. Ugural A. C.: Stresses in Plates and Shells, McGraw-Hill, Boston, 1999.