Download pdf - Piramida - Ljubiša Dinić

Динић Љубиша прпф математикенаствник у ПШ ldquoЋеле кулаrdquo Ниш

ЗАПРЕМИНА ПИРАМИДЕ


- Ппсматрајмп четири кпцке истих димензија (а)

- Пбпјимп их различитп (нпр црвенп жутп зеленп плавп)

- На свакпј кпцки сппјимп једнп теме гпрое базе санаспрамним теменима дпое базе (Та темена гпроебазе мпжемп назвати bdquoдепна теменаldquo кпцке)

- Пвим ппступкпм мпжемп упчити да смп сваку кпцку

ппделили на три ппдударна дела (три пирамиде)

- Ппгледајмп тп крпз следеће слајдпве и ситуације

- Сппјимп те четири кпцке у један квадар такп даим базе леже у истпј равни (база тпг квадра је2а х 2а) а да су bdquoдепнаldquo темена гпроих базасппјена у једну тачку кпја је средиште гпрое базенпвпдпбијенпг квадра

- Кап штп се мпже упчити висина тпг нпвпг сас-тављенпг квадра је H = а Пднпснп димензијеквадра су а1ха1хH где је а1 дпбијен кап а1= 2а

- Ппсматрајмп квадар (димензије а1ха1хH) и ппнпвп раздвпјимп делпве свих кпцки али такпда делпви кпцки кпји граде дпоу пснпву ndash базуквадра пстану сппјени

- Мпжемп ппнпвп упчити да ппред једнпг делапплазних кпцки кпји је сппјен у дпопј базиимамп јпш пп два истпветна дела (пп два црвенажута плава зелена дела)

- Пд тих истпветних делпва (пп два црвена жутаплава зелена дела) мпжемп саставити јпш двеппдударне ndash истпветне пирамиде (димензијеа1ха1хH)

- Мпжемп сад закључити да пд једнпг квадра(димензије а1ха1хH) мпжемп дпбити ТРИ чет-впрпстране правилне истпветне пирамиде(димензије а1ха1хH) једнаких база и висинa саупченим квадрпм

- Ппштп смп закључили да пд једнпг квадра(димензије а1ха1хH) мпжемп дпбити ТРИ истпветне правилне четвпрпстане пирамиде(димензије а1ха1хH) па је лпгичан закључакпднпс између запремине квадра и пира-миде једнаких база и висина је

- Ппштп смп закључили да пд једнпг квадра(димензије а1ха1хH) мпжемп дпбити ТРИправилне четвпрпстане истпветне пирамиде(димензије а1ха1хH) па је лпгичан закључакпднпс између запремине квадра и пирамидеједнаких база и висина је

VКВАДРА = 3 VПИРАМИДЕ

Можемо ли претходни пример са

правилном четвоространом пирамидом

уопштити на тространу пирамиду па и

даље

Пођимо од коцке и дијагоналним

пресеком поделимо је на две подударне

тростране призме (Погледај слике)

Да се уочити да је запремина такве

тростране призме (основе једнакокраки

правоугли троугао и висине чија је

дужина једнака катетама основе) frac12запремине коцке

Сппјимп једнп теме хипптенузе пснп-ве гпрое базе са дијагпналним теменимадпое базе Сппјимп теме правпг угла гпр-ое базе са теменпм хипптенузе дпоебазе чије пдгпварајуће теме гпрое базеније ангажпванп пваквим ппступкпм Ппгледај слику

Пваквим спајаоем темена дпбијамптри пирамиде чије су пснпве једнакпкракпправпугли трпуглпви дужине катета a и ви-сине дужине a кпје су над теменпм хипп-тенузе и тп ппд правим углпм

Раставимп пву трпстрану призму (пснп-ве једнакпкракп првпугли трпугап и висине дужине једнаке дужини катете) кап на слици

Пвакп дпбијене пирамиде се мпгу међуспбнп истпмернпм прпменпм ndash транс-фпрмацијпм ппклппити Пне су изпметри-јске али нису све међуспбнп и ппдударне (не мпгу се ппклппити билп каквим кретаоем у прпстпру) Пвде је дпбрп кпд ученика напп-менути тај прпблем ldquoппклапаоаrdquo десне и леве шаке Изпметријску трансфпрмацију пбележићемп кап ИТ

Ппставимп пве три пирамиде у једнпј равни катете пснпва су на истпј правпј и прави углпви пснпва леже на тпј правпј (ппгледај слику)

Да се упчити1 да су две пирамиде ппдударне а једна је равански симетрична са псталим 2 Да су пснпве правпугли једнакпкраки трпуглпви дужине крака а (ПОДУДАРНИ СУ)3 Нпрмалне прпјекције ВРХПВА пвих пира-мида над свпјим пснпвама ппклапају се једним теменпм хипптенузе пснпве и растп-јаоа тих врхпва пд пснпва је дужине а

Лакп се упчава да су запремине пвих

пирамида једнаке и да је тп ⅓ запремине

ппменуте трпстране призме

Ппсматрајмп сада квадар (димензије axbxc) и спрпведимп истпветну идеју и ппступак кап кпд кпцке Ппсматрајмп низ слика

Раставимп пву трпстрану призму на ппменути начин (ппсматрај слику)

Ппгледај напред ппменуту трпстрану при-зму у тарнспарентнпм пблику кап и оенп рас-тављаое на трпстране пирамиде (ппгледај слике)

Из претхпдне слике упчавамп да ППдве пирамиде дпбијене пваквпм ппделпм трпстранE правE ПРИЗМЕ са пснпвпм правп-углпг трпугла имају ппдударне пснпве и истпмерне висине

Ппсматрај пирамиде дпбијене ппделпм ldquoпредоеrdquo бпчне стране призме дијагпналпм пд правпг угла дпое пснпве квадра дп темена хипптенузе гпрое пснпве квадра

Врхпви пвих пирамида се ппклапају и тп је теме хипптенузе дпое пснпве квадра дијагпналнп пд ппменутпг темена гпрое пснпве квадра

Пбележимп пве пирамиде са Pi 1 и Pi 2ldquoГпроа пирамидаrdquo у пвпм случају пзначена је са Pi 2 Пве пирамиде имају ппдударне базе и истпмерне висине па је прпизвпд МЕРА оихпвих ппвршина базе и висине једнак Пзначимп те прпизвпде кап Pr 1 и Pr 2

Према тпме нека је Pr1 =P Δ правпугле базе d(врх база) = 12 (axc)xb и Pr2= P Δ правпугле базеd(врх база) =12 (axc)xb

Tреба наппменути да је d(врх база) = bрастпјаоу врха пд базе и пбележава се са H

Видимп да пве пирамиде имају исто-мерност производа ппвршина пснпве и висине

Упчимп сада ДВЕ пирамиде пвпм ппделпм праве трпстране призме чије су базе дпбијене дијагпналнпм ппделпм бпчне стране призме над другпм катетпм пснпве призме Та бпчна страна је правпугапник и ппдељен је кап штп је напп-менутп дијагпналпм кпја је пд правпг угла гпрое базе дп темена хипптенузе дпое базе Лакп се упчава да пве пирамиде имају за пснпве ППДУДАРНЕ трпуглпве а самим тим ппвршине пснпва су једнаке Пве пирамиде су ИТ

Врхпви пвих пирамида се ппклапају тп је теме хипптенузе гпрое базе Пзначи-мп пве пирамиде са Pi 4 и Pi 3 Нека је сада ldquoгпроа пирамидаrdquo пзначена са Pi 4 Лакп се упчава да је прпизвпд МЕРА оихпвих ппвршина базе и висине једнак

Пзначимп пдгпварајуће прпизвпде тих пирамида са Pr4 и Pr 3 Према тпме нека је Pr4=P Δ правпугле базе d(врх база) =12 (axb)xcPr3=P Δ правпугле базеd(врх база) =12 axb)xc Tреба наппменути да је d(врх база) = c

Видимп да и пве пирамиде Pi 4 и Pi 3 имају истомерност производа ппвршина пснпве и висине

Лакп се да упчити да је пирамида пзначена са ldquoгпроаrdquo пирамида у пба случаја ИСТА пирами-да пднпснп да је Pi 2 и Pi 4 идентична пирамида

Пажљивим ппсматраоем упчавамп да пве пирамиде НИСУ ппдударне али су изпметријски једнаке ИТ и имају прпизвпде пснпва и висине једнаке

Дпведимп пве пирамиде у пплпжај да им пснпве леже у истoј равани Пбпјимп их и нека је ldquoгпроаrdquo пирамида пбпјена црвенп (гледај слике)

НЕКА СУ ПРПВИДНЕ АЛИ ДА КАТЕТЕ ПСНПВА ЛЕЖЕ НА ИСТПЈ ПРАВПЈ И ДА СЕ НА ОИМА ПСЛАОА ПРАВИ УГАП ПСНПВА ПИРАМИДЕ

Други пплпжај претхпдне слике

Ппштп пирамидама Pi 1 Pi 2 equiv Pi 4 и Pi 3

пдгпварају редпм пзнаке за прпизвпдеппвршина пснпва и висина Pr 1 Pr 2 equiv Pr 4 и Pr 3

и Pr1 = Pr2 = ⅟2 (axc)xb equiv Pi 4 = Pr3= ⅟2 (axb)xcи знамп да је трпстрана права призма са пснпвпм правпугли трпугап сатављена пд трију пваквих пирамида мпже се закоучити

да су им запремине једнаке и једнаке су ⅓запремине призме тј запремина сваке пира-миде је једнака ⅓ прпизвпда ппвршине базе -пснпве и висине Пвп се пвакп записује

Из претхпдних примера видимп да је за запремину у питаое истпмернпст прпизвпда ппвршина пснпва и висине пирамиде тј ппвр-шине базе и растпјаое врха пирамиде пд пснпве

Да ли је тп увек такпСетимп се какп смп прпучавали ппврши-

не трпуглпва ( види слику)

Пднпснп да је ппвршина трпугла једна-ка прпизвпду frac12 прпизвпда странице и пдгп-варајуће висине или је једнака frac12 прпизвпдадвеју катета правпуглпг трпугла где је једнакатета једнака датпј страници а другаппменутпј висини (ппгледајте слику)

A

D CC

C B

1

На истпветни начин мпжемп закључити даје прпизвпд ппвршине трпугла и растпјаоа некетачке ван равни трпугла једнака прпизвпдуппвршине трпугла и растпјаоа те тачке пд равнитрпугла али такп да је сада пртпгпнална-нпрмал-на прпјекција те тачке над једним теменпм тпгппменутпг ndash базичнпг тпугла Нека је тп трпугапΔABC и нека је та тачка S ван равни тпугла S notin(ΔABC) Тп растпјаое је d(S(ΔABC)) пднпснп акпSrsquo∊(ΔABC) и акп је SSrsquoperp (ΔABC) пнда је d(S(ΔABC)) = d(SSrsquo)

Прпизвпд ппвршине трпугла ΔABC и растп-јаоа тачке S пд равни тпугла јеPr1 = PΔABC ˑ d(S(ΔABC)) = PΔABC ˑ d(SSrsquo)

Ппсматрај слику

Акп тачку S дпведемп над неким теме-нпм трпугла нпр C кап над свпјпм нпрмал-нпм прпјекцијпм на раван трпугла (ΔABC) и при тпме не меоамп растпјаое тачке S пдравни трпугла мпжемп упчити да је растпјаое

d(S(ΔABC)) = d(SSrsquo) = d(SC) = SC Накпн тпга се лакп закључује да је прпизвпд

Pr2 = PΔABC ˑ d(S(ΔABC))= PΔABC ˑ d(SC) Ппштп је d(S(ΔABC)) = d(SSrsquo) =d(SC) = SC

следи да су прпизвпди Pr1 и Pr2 су једнаки (Pr1= Pr2)

На пснпву претхпдних закључиваоа да пирамиде са пснпвпм правпугли трпугап и врхпм чија је пртпгпнална прпјекција над теменпм хипптенузе пснпве једнака 13 пдгп-варајуће трпстране праве призме исте пснпве следи да је запремина трпстране пирамиде једнака 13 прпизвпда ппвршине пснпве и растпјаоа (висине) врха пирамиде пд пснпве

Да ли пвп важи за сваку n ndashто страну пирамиду

Ппсматрај праву n-тп страну пирамидуса врхпм S и оегпву нпрмалну прпјекцију Srsquoу раван базиса ndash мнпгпугла (A1A2A3A4hellip An-1

An) Сппјимп темена мнпгпугла A1A2A3A4An-1 An са тачкпм Srsquo Дпбићемп n тпуглпваΔA1A2Srsquo ΔA2A3 Srsquo ΔA3A4 Srsquo Δ An-2 An-

1Srsquo Δ An-1 AnSrsquo Оима пдгпварају пирамиде саврхпм S SA1A2Srsquo SA2A3Srsquo SA3A4Srsquo SAn-2 An-1Srsquo SAn-1 AnSrsquo

Ппгледај слику

Пдвпјимп пирамиду SA1A2Srsquo

Запремина трпстране пирамиде SA1A2Srsquoједнака је

Запремине псталих трпстраних пирамида суредпмhelliphelliphelliphelliphelliphellipVn= P Δ AnA1 Srsquo d(SSrsquo)Акп сумирамп пве запремине имамп

Из свега наведенпг лакп се дазакључити да је запремина n-тп стране

пирамиде V = или у пблику

V = где је B ппбршина базе

а H нпрмалнп-пртпгпнална растпјаое врха пд пснпве




















даље












































A

D CC

C B

1







































даље












































A

D CC

C B

1

































даље












































A

D CC

C B

1































даље












































A

D CC

C B

1





























даље












































A

D CC

C B

1



























даље












































A

D CC

C B

1


























даље












































A

D CC

C B

1
























даље












































A

D CC

C B

1

























































A

D CC

C B

1
























































A

D CC

C B

1






















































A

D CC

C B

1




















































A

D CC

C B

1
















































A

D CC

C B

1















































A

D CC

C B

1














































A

D CC

C B

1













































A

D CC

C B

1










































A

D CC

C B

1







































A

D CC

C B

1





































A

D CC

C B

1



































A

D CC

C B

1































A

D CC

C B

1






























A

D CC

C B

1





























A

D CC

C B

1

























A

D CC

C B

1






















A

D CC

C B

1










































































































