PITA ENERGI
BAB 7
7.1.Asal mula celah energi•.Model elektron hampir bebas.
7.2.Nilai energi celah
MATERI:
7.2.Nilai energi celah•.Fungsi Bloch•.Model Kronig-Peney•.Persamaan sentral
INDIKATOR:
Mahasiswa harus dapat : Menjelaskan asal mula celah
energi.energi. Menggunakan persamaan
sentral untuk menentukan nilaicelah energi.
PITA ENERGITUJUAN :
Menjelaskan asal mula celah energi
Menggunakan persamaan sentral untuk menentukan nilai celah energi
Pita energi digunakan untuk membedakan antara konduktor,semikonduktor, isolator dan superkonduktor.
Kristal dapat dikelompokkan dalam 4 golongan :
1. Konduktor
2. Semikonduktor
3. Isolator
4. Superkonduktor
Dapat dijelaskan berdasarkan konduktivitasnya
0
0
dan berdasarkan pita energinya :
P.K
P.VE.g
P.K
P.V
P.K
P.V
P.V = Pita Valensi = pita energi yang terisi oleh elektron valensiP.K = Pita Konduksi = pita energi diatas pita valensi,yang akan terisi
elektron konduksiE.g = celah energi = energi yang diperlukan elektron untuk loncat
ke pita konduksi
isolator konduktor semikonduktor
Model Elektron Bebas ( V=0 )
Hamiltonian : 222
2m2mpH
EψHψ
Eψψ2m
22
Eψψ2m
rkieψ
22
k2m
E
Fungsi Gelombang elektron bebas :
E
O
Makna:Energi yang boleh dimiliki oleh elektron sembarang mulai dari nol sampai tak
22
k2m
E Dari nilai diperoleh grafik :
KO sembarang mulai dari nol sampai tak hingga untuk setiap nilai k
Gagal digunakan sebagai teori untuk menjelaskan perbedaan antara konduktor, semikonduktor, isolator, dan superkonduktor, karena energi yang dimiliki elektron kontinu sehingga tidak ada energi gap (celah energi).
Model elektron yang hampir bebas
: Tidak boleh ditempati
EΔE
E3
E4
EΔ
ditempati oleh elektron (celah terlarang)
E1
E2
KK1 =K2 = K1 = K2 =
Daerah Brillouin Pertamaa2π
EΔ
aπ
a2π
aπ
Sehingga model yang berlaku adalah model elektron yang hampir bebas ( V << ; V ≠0 )
V
V≠0
V~ ~
Persamaan Schrodinger : EψVψψ2m
22
V≠00 x = L 0 xx
Fungsi gelombang berjalan = aiπe xMisal : Logam 1-Dimensi
Dari solusi gelombang berdiri dapat dicari kerapatan elektronnya sebagai berikut : ax22 cosψρ
)aπx(2coseeψ ax-iaxi
Sehingga persamaan gelombang berdiri dapat diturunkan dari persamaan gelombang berjalan yaitu :
)aπx(2sineeψ ax-iaxi
sebagai berikut : ax22 cosψρ
ax22 sinψρ
Ternyata kedua solusi ini menumpuk elektron pada daerah yang berlainan relatif terhadap kedudukan ion-ionnya sehingga energi potensialnya berbeda, hal inilah yang menimbulkan loncatan energi sehingga timbul celah energi pada aπk
2
ψ
2
ψ
Besarnya celah energi: UψψxdxUEg 221
0
dimana )x a(2πUcosxU
TrVrV
332211 anananT
3 Dimensi
maka
periodikrV
X
Inti atom
Fungsi gelombang elektron yang hampir bebas dinyatakan oleh :
Fungsi Bloch :
rkikk erUrψ
rUΤrU kk
...................(1)
merupakan teorema untuk menyelesaikan persamaan Scrhodinger pada potensial pada potensial periodik
rUΤrU kk
sehingga : 22rψΤrψ
dimana : rψΤfΤrψ
Beberapa fungsi dari T
dengan :
1Tf2
1eTf 02
rikeTf
2T
1TT
atau : TiαeTf
...................(2)
bila : 21 TTT
maka : 2121 TiαTiαTTiα21 eeeTTf
merupakan fungsi 21 TT
α
2121 TαTαTTα
ZYX TCTBTΑTα
ZCYBXΑk ˆˆˆ
ZTYTXTT ˆˆˆ
Untuk kasus 3D
ZTYTXTT ZYXˆˆˆ
ZYX TCTBTATk
TkTα
maka : rψeTrψ Tki ...................(3)
sehingga :
Bukti bahwa : Uk periodik
Persamaan Bloch :
r.kikk erUrψ
rψeTrψ T.ki
Tr.kik .eTrUTrψ
.................*
.................**
subtitusikan dari pers.(1) ke pers.(3) :
r.kik
T.ki (r)eUeTrψ
Tr.kik (r)eUTrψ
Bila kita bandingkan :
Tr.kik eTrUTrψ
TrUrU kk
………………… terbukti Uk fungsi periodik
Tr.kik e(r)UTrψ
Karena : V periodik maka V dapat dinyatakan dalam bentuk
Deret Fourier (untuk 1 dimensi) :
)xna2πi(
n
.eVV
nx)a
2πsin(iVnx)a
2πcos(VV21 nn
Bila : x2πb ˆ
Vektor kisi resiprokBila : xa
2πb1 ˆ
Vektor kisi resiprok
a = konstanta kisi
maka : r.bnxn
a2π
1
ˆ xnr ˆ
Sehingga dalam 3-dimensi, dapat kita tuliskan:
3z2y1xzyx bnbnbniZnYnXna
2πiee
G
Jadir.Gi
GG
.eVV
r.GiG
Gk .eU)r(U
G
Persamaan Schrodingernya:
ψEψV2m
22
r.kir.Gi
GG
22 eeUψ
...................(4)
dengan
).rGki(G
G
2 eU
r).Gki(G
22 eUGkψ
...................(5)
Bila persamaan (5) di substitusi ke persamaan (4), akan diperoleh:
EψeUVeUGk2m
r).kGi(GGGGG
.rGkiG
2
G
2'
''
r.kir.GiG
G
r.iGGG
.eeUeVV ψ'
''
GG Maka
r.GiG
G
).rGi(GGGGG
r.GiG
2
G
2
eUEeUVeUGk2m
'
''
rG).i(GGGGG
r.GiGG
2
G
2'
'''
eUVeEUUGk2m
rGir)GGi( '
eUVeUV GG
0GGG0G'
'
r).GGi(GGG0G
r.GiG0GG
22'
' eUVeUVEUUGk2m
.............(6)
bila ''' GGG bila ''' GGG
maka ''' GGG
bila ''GG atau 0G'
maka dari persamaan (6) diperoleh :
''''
''''''' GG0G
GGGG
2''2
UVVUEUUGk2m
PERSAMAAN SENTRAL
1. Jelaskan• Asal mula terbentuknya celah energi
untuk model elektron hampir bebas.• Fungsi Bloch• Model Kronig-Peney
LATIHAN SOAL
2. Gunakan persamaan sentral untukmenentukan nilai celah energi.
3. Jelaskan apa yang dimaksud dengan energi gap
4. Jelaskan Perbedaan antara konduktor, semikonduktor, isolator dan superkonduktor berdasarkan konduktivitasnya.
LATIHAN SOAL
5. Jelaskan Perbedaan antara konduktor, semikonduktor, isolator dan superkonduktor berdasarkan energi gapnya.
6. A cubic lattice with lattice spacing a has crystal potential, where a = lattice spacing of a cubic latticeU = - U sin (2πx/a) sin (2πy/a) sin (2πz/a)
LATIHAN SOAL
U = - U sin (2πx/a) sin (2πy/a) sin (2πz/a)a. Apply the central equation to calculate
the approximate band gap at the point k = (π/a, π/a, π/a)
b.Sketch the band diagram along the [111] direction, including the first two bands.