MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI
POISSON DAN WAKTU PELAYANAN BERDISTRIBUSI ERLANG
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh :
Nama : Marcelina Novi Agustiarini
NIM : 103114005
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2014
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN:
Kupersembahkan skripsi ini kepada:
Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang telah memberkati saya sehingga
dapat menyelesaikan skripsi ini
Ibu dan ayah yang selalu memberikan doa dan dukungan sehingga skripsi
ini dapat selesai
Ibu Lusi yang selalu membimbing dan membantu saya dengan penuh
kesabaran
Sahabat-sahabat dan semua orang yang selalu mendukung dan
menyayangi saya
Semua mahasiswa Prodi Matematika yang sudah menjadi teman sekaligus
keluarga bagi saya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Antrian merupakan proses saling menunggu giliran untuk menerima
pelayanan.Antrian yang terlalu lama dan sangat panjang tentu akan sangat
merugikan bagi pelanggan maupun pelayan dalam antrian tersebut. Oleh karena
itu, perlu dilakukan penentuan jumlah pelayan yang sesuai dengan tingkat
kedatangan. Kedatangan pelanggan dapat dipelajari karakteristiknya.
Karakteristik-karakteristik dapat terwakilkan dengan adanya distribusi. Distribusi
yang dapat mewakili kedatangan adalah distribusi Poisson. Tidak hanya
kedatangan saja yang dapat dipelajari karakteristik-karakteristiknya tetapi juga
waktu pelayanan.Beberapa distribusi yang dapat mewakili waktu pelayanan
adalah distribusi eksponensial dan distribusi Erlang. Jika pada model antrian
berdistribusi eksponensial banyaknya fase hanya satu sedangkan pada model
antrian berdistribusi Erlang banyaknya fase dalam model antrian jumlahnya dapat
berhingga dan tak berhingga. Pada tulisan ini waktu pelayanannya berdistribusi
Erlang. Penentuan jumlah pelayan yang optimal merupakan hal yang sangat
penting dalam analisis sistem antrian. Untuk menentukan jumlah pelayan yang
optimal perlu adanya ukuran-ukuran kinerja sistem. Ukuran-ukuran kinerja sistem
meliputi rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem, rata-rata banyaknya
pelanggan dalam antrian, rata-rata waktu menunggu dalam sistem, dan rata-rata
waktu menungggu dalam antrian.Dalam menentukan jumlah pelayan perlu
mempertimbangkan model biaya. Apabila jumlah pelayan ditambah maka waktu
pelanggan untuk menunggu akan semakin berkurang. Tetapi, apabila jumlah
pelayan ditambah maka biaya untuk yang harus dikeluarkan untuk menggaji
pelayan juga bertambah. Pada penerapan antrian di RSUD Gunung Jati
banyaknaya fase ada tiga, yaitu: etiket, pengemasan, dan pengecekan. Jumlah
pelayan hanya satu dan waktu tunggu masih lama sehingga belum optimal.
Dengan menggunakan model biaya jumlah pelayan pada masing-masing tahap
adalah dua orang. Penambahan pelayan ini juga dapat mengurangi waktu tunggu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Queue is a mutual process of waiting to receive services. A very long
queues would be very detrimental for customers and servers. Therefore, it is
necessary to determine the appropriate number of servants to the arrival rate. The
characteristics customers is arrival can be studied. It can be represented by the
distribution,that is the Poisson distribution. Not only arrival that can be studied its
characteristics but also service time. The distributions may represent the service
time are exponential distribution and Erlang distribution. In the queuing model of
exponential distribution the number of phases is only one, where in the queuing
model with Erlang distribution the number of phases in the model can be finite or
infinite. In this paper, the service time distribution is Erlang. Determination of the
optimal number of servants is very importance in the analysis of queuing systems.
To determine the optimal number of servants, it is neededthe measure of system
performance,which include average number of customers in the system, average
number of customers in the queue, average of waiting time in the system, and
average of waiting time in the queue. In determining the number of servants need
to consider the cost model. If the number of waiters is added, the customer's
waiting time will decrease. However, it will cause the costs to be spent to hire
servants also increased. In the application of queuing in hospitals Gunung Jati
there are three phases, namely: etiquette, packing, and checking. The number of
servers is only one and waiting time is still long so it not optimal. By using the
cost model, the number of servers of each step is two people. The addition of
these servers can also reduce the waiting time.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat yang telah
dilimpahkan sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.
Skripsi ini penulis ajukan kepada yang terhormat panitia penguji Skripsi
untuk melengkapi syarat untuk menempuh gelar sarjana pada Prodi Matematika
Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Dalam penyusunannya penulis membutuhkan bantuan dari berbagai pihak.
Oleh karena itu, pada kesempatan ini dengan segala kerendahan hati penulis ingin
menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak dan Ibu Agus Yulianto atas segala doa dan motivasi yang diberikan.
2. Ibu Lusia Krismiati Budiasih, M.Si, selaku dosen pembimbing yang
dengan penuh kesabaran telah membimbing dan membantu saya selama
penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M. Sc dan Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.
Si, M. Si selaku dosen penguji yang membantu perbaikan skripsi ini.
4. Bapak dan Ibu Dosen yang telah memberikan ilmu kepada penulis selama
penulis kuliah di Universitas Sanata Dharma ini.
5. Segenap karyawan sekretariat FST, lab. GM, dan Perpustakaan Paingan
atas pelayanan yang telah diberikan kepada penulis.
6. Sahabat-sahabat dalam perjalanan kuliah: Arga, Ayu, Yosi, Agnes, Roy,
Marsel, Leni, Pandu, Tika, Ratri, Sari, Astri, dan Dini.
7. Semua mahasiswa Prodi Matematika atas semua pelajaran yang begitu
berharga.
8. Serta bantuan dari semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Penulis menyadari kekurangan skripsi ini, untuk itu saran serta kritik
sangat diharapkan demi peningkatan kualitas skripsi ini. Dan akhirnya penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
berharap semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat dan berguna bagi semua
pihak.
Yogyakarta, 25 Juli 2014
Penulis,
Marcelina Novi Agustiarini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .......................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................................ iii
PERNYATAAN KEASLIAN ....................................................................................... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................................... v
PERNYATAAN PUBLIKASI ....................................................................................... vi
ABSTRAK ....................................................................................................................... vii
ABSTRACT .................................................................................................................... viii
KATA PENGANTAR .................................................................................................. ix-x
DAFTAR ISI ................................................................................................................ xi-xii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah........................................................................................ 1
B. Rumusan Masalah .................................................................................................. 3
C. Batasan Masalah .................................................................................................... 4
D. Tujuan Penulisan .................................................................................................... 5
E. Metode Penulisan ................................................................................................... 5
F. Manfaat Penulisan.................................................................................................. 5
G. Sistematika Penulisan ............................................................................................ 5
BAB II DISTRIBUSI PEUBAH ACAK DAN UJI SAMPEL TUNGGAL
KOLMOGOROV-SMIRNOV
A. Peubah Acak .......................................................................................................... 8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
B. Nilai Harapan ...................................................................................................... 15
C. Variansi ................................................................................................................ 18
D. Fungsi Pembangkit Momen ............................................................................... 19
E. Distribusi Poisson ............................................................................................... 21
F. Distribusi Gamma ............................................................................................... 23
G. Distribusi Eksponensial ..................................................................................... 32
H. Distribusi Erlang ................................................................................................. 34
I. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov ..................................................... 41
BAB IIIMODEL-MODEL ANTRIAN
A. Unsur-unsur Dasar Antrian ................................................................................. 45
B. Peran Distribusi Poisson .................................................................................... 53
C. Peran Distribusi Erlang ....................................................................................... 60
D. Model Antrian dengan Pelayan Tunggal .......................................................... 62
E. Model Antrian dengan Pelayan Ganda ............................................................. 88
F. Model Biaya ......................................................................................................... 99
BAB IVMODELANTRIAN BEBERAPA FASE PADA RSUD GUNUNG JATI
CIREBON ..................................................................................................................... 108
BAB VPENUTUP
A. Kesimpulan ......................................................................................................... 121
B. Saran ................................................................................................................... 123
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 124
Lampiran........................................................................................................................ 127
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Pada kehidupan sehari-hari sering ditemukan istilah antrian.
Antrian merupakan proses saling menunggu giliran untuk menerima
pelayanan. Contoh antrian adalah antrian dalam pengambilan kartu ujian
untuk para mahasiswa, antrian pembayaran uang kuliah, antrian
pengambilan karcis parkir, dll. Dalam antrian, yang mengantri tidak hanya
orang tetapi juga bisa berupa barang. Misalnya: antrian bahan mentah
yang akan diproses dan dijadikan bahan produksi, antrian komoditi ekspor
di pelabuhan, antrian mobil yang akan diperbaiki dalam sebuah bengkel,
dll. Berikut adalah contoh nyata sebuah antrian orang (gambar kiri) dan
antrian barang (gambar kanan).
Terdapat faktor-faktor penting dalam sebuah antrian, yaitu
pelanggan (customer) dan pelayan (server). Proses antrian biasanya adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
pelanggan tiba di satu sarana pelayanan kemudian bergabung dalam
sebuah antrian. Pelayan memilih pelanggan dari antrian untuk memulai
pelayanan. Setelah selesainya pelayanan, pelayanan akan memilih
pelanggan yang baru dan diulangi kembali proses tersebut dari awal.
Antrian dapat terjadi karena kebutuhan akan pelayanan melebihi
kapasitas yang disediakan. Kedatangan pelanggan tidak diketahui
sebelumnya. Jika diketahui maka pengoperasian sarana tersebut dapat
dijadwalkan sehingga keharusan untuk menunggu tidak ada atau dengan
kata lain tidak ada antrian. Rata-rata lamanya waktu menunggu dalam
sebuah antrian sangat tergantung pada rata-rata tingkat kecepatan
pelayanan.
Antrian yang terlalu lama dan sangat panjang tentu akan sangat
merugikan bagi pelanggan maupun pelayan dalam antrian tersebut.
Apabila jumlah pelayan ditambah tentu akan menambah biaya yang lebih
besar dari sebelumnya. Tetapi, apabila jumlah pelayan tidak ditambah
maka antrian dapat terjadi dalam waktu yang lama yang akhirnya dapat
menyebabkan pelayananan menjadi tertunda dan tidak optimal. Dampak
yang lebih buruk dari antrian yang terlalu panjang dan lama adalah
hilangnya pelanggan.
Mengingat bahwa antrian yang terlalu panjang dan lama dapat
merugikan bagi pelanggan maupun bagi pelayan, maka perlu dilakukan
penentuan jumlah pelayan yang sesuai dengan tingkat kedatangan.
Kedatangan pelanggan dalam sebuah antrian adalah secara acak. Selain
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
itu, kedatangan pelanggan dapat dipelajari karakteristiknya. Karakteristik-
karakteristik dalam sebuah antrian dapat terwakilkan dengan adanya
distribusi. Pada tulisan ini, distribusi kedatangan dapat diwakilkan dengan
distribusi Poisson.
Selain itu, waktu pelayanan dalam sebuah antrian juga dapat
dipelajari karakteristiknya. Waktu pelayanan juga dapat terwakilkan
dengan suatu distribusi seperti waktu antar kedatangan. Distribusi Erlang
akan dipergunakan dalam tulisan ini untuk menyatakan waktu
pelayanannya. Dengan demikian, distribusi Poisson dan distribusi Erlang
dapat dipergunakan untuk menganilisa sebuah antrian.
Dalam tulisan ini akan dipelajari karakteristik kinerja sebuah
sistem antrian. Ukuran kinerja sistem dalam sebuah sistem meliputi rata-
rata jumlah pelanggan dalam sistem, rata-rata jumlah pelanggan
menunggu dalam antrian, rata-rata waktu yang dihabiskan seorang
pelanggan dalam sistem, dan rata-rata yang dihabiskan pelanggan seorang
pelanggan menunggu dalam antrian.
Ukuran kinerja dalam sistem dapat dipergunakan untuk
menghitung biaya optimal pada sebuah antrian. Biaya optimal berkaitan
dengan laju pelayanan optimum. Secara umum model biaya berusaha
menyeimbangkan biaya menunggu dan biaya kenaikan tingkat pelayanan.
B. RUMUSAN MASALAH
1. Apa saja yang mendasari sebuah antrian?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
2. Bagaimana distribusi Poisson dapat dipergunakan dalam sebuah
antrian?
3. Bagaimana distribusi Erlang dapat dipergunakan dalam sebuah
antrian?
4. Bagaimana ukuran kinerja sistem pada model antrian dengan waktu
antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan
berdistribusi Erlang?
5. Bagaimana mengoptimumkan biaya pada model antrian dengan waktu
antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan
berdistribusi Erlang?
C. BATASAN MASALAH
1. Model antrian yang dibahas adalah model antrian dengan waktu antar
kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi
Erlang.
2. Model antrian yang dibahas adalah:
a. ( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ )
b. ( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ )
3. Waktu pelayanan pada masing-masing tahap adalah sama dan
berdistribusi eksponensial.
4. Model pengambilan keputusan yang akan digunakan dalam skripsi ini
adalah model keputusan dengan menggunakan model biaya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
D. TUJUAN PENULISAN
Penulisan ini bertujuan untuk membahas dasar-dasar sebuah
antrian, peran distribusi Poisson dan Erlang dalam sebuah antrian serta
mencari ukuran-ukuran kinerja sistem pada model antrian dengan waktu
antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi
Erlang.
E. METODE PENULISAN
Metode penulisan yang dipergunakan adalah metode studi pustaka,
sehingga di dalam skripsi ini tidak ditemukan hal-hal yang baru. Jenis-
jenis sumber pustaka yang digunakan penulis tercantum dalam daftar
pustaka.
F. MANFAAT PENULISAN
Manfaat yang diharapkan dari penulisan ini adalah memberikan
wawasan pengetahuan tentang model antrian dengan waktu antar
kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi
Erlang.
G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Metode Penulisan
F. Manfaat Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II DISTRIBUSI PEUBAH ACAK DAN UJI SAMPEL TUNGGAL
KOLMOGOROV-SMIRNOV
A. Peubah Acak
B. Nilai Harapan
C. Variansi
D. Fungsi Pembangkit Momen
E. Distribusi Poisson
F. Distribusi Gamma
G. Distribusi Eksponensial
H. Distribusi Erlang
I. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov
BAB III MODEL-MODEL ANTRIAN
A. Unsur-unsur Dasar Antrian
B. Peran Distribusi Poisson
C. Peran Distribusi Erlang
D. Model Antrian dengan Pelayan Tunggal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
E. Model Antrian dengan Pelayan Ganda
F. Model Biaya
BAB IV MODELANTRIAN BEBERAPA FASE PADA RSUD
GUNUNG JATI CIREBON
Contoh kasus penerapan model antrian dengan waktu antar
kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi
Erlang.
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
BAB II
DISTRIBUSI PEUBAH ACAK DAN UJI SAMPEL TUNGGAL
KOLMOGOROV-SMIRNOV
A. PEUBAH ACAK (VARIABEL RANDOM)
Definisi 2.1 Percobaan
Percobaan adalah suatu proses di mana pengamatan sengaja dibuat untuk
memperoleh hasil.
Definisi 2.2 Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil suatu
percobaan. Ruang sampel biasanya dilambangkan dengan huruf S.
Contoh 2.1:
Ruang sampel S bagi percobaan pelemparan sekeping uang logam
sebanyak 2 kali dapat ditulis sebagai: S = {AA, AG, GA, GG}, dengan G
dan A masing-masing menyatakan “sisi gambar” dan “sisi angka”.
Definisi 2.3 Probabilitas
Probabilitas adalah suatu fungsi yang mengaitkan semua kemungkinan
hasil suatu percobaan dengan suatu bilangan real. Jika kemungkinan
hasil suatu percobaan, maka probabilitas dari dapat ditulis dengan notasi
( ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Definisi 2.4 Peubah Acak
Peubah acak adalah fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang
ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel.
Peubah acak dituliskan menggunakan huruf kapital dan nilainya
dinotasikan dengan suatu huruf kecil. Misalkan menyatakan suatu
peubah acak, nilai dari dinyatakan dengan .
Contoh 2.2:
Perhatikan Contoh 2.1, misalkan peubah acak menyatakan banyaknya
sisi angka yang muncul, maka peubah acak dapat dituliskan sebagai
berikut:
banyaknya sisi angka yang muncul pada pelemparan sekeping uang
logam sebanyak 2 kali.
Maka nilai numerik 0, 1, atau 2 dapat diberikan pada setiap titik
sampel. Bilangan-bilangan 0, 1, atau 2 merupakan besaran acak yang
nilainya ditentukan oleh hasil percobaan.
Definisi 2.5 Peubah Acak Diskrit
Sebuah peubah acak dikatakan dsikrit jika himpunan nilainya adalah
berhingga atau tak berhingga terbilang.
Notasi ( ) menyatakan kemungkinan hasil suatu percobaan
bernilai sama dengan x. Probabilitasnya dinyatakan dengan ( ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Contoh 2.3:
Misalkan dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak 2 kali dan
merupakan banyaknya sisi angka yang muncul, maka semua kemungkinan
nilai dan peluangnya dapat dicantumkan pada tabel berikut ini:
Tabel 2.1 Peubah acak diskrit beserta semua kemungkinan nilai dan
peluang
0 1 2
( )
Definisi 2.6 Fungsi Probabilitas Diskrit
Fungsi ( ) adalah suatu fungsi probabilitas suatu peubah acak diskrit
untuk setiap hasil yang mungkin jika:
1. ( )
2. ∑ ( )
3. ( ) ( )
Definisi 2.7 Peubah Acak Kontinu
Jika nilai peubah acak adalah sebuah interval atau kumpulan dari
interval-interval, maka disebut peubah acak kontinu.
Peubah acak kontinu tidak dapat dituliskan dalam bentuk tabel
seperti peubah acak diskrit. Untuk menyatakan kemungkinan hasil suatu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
percobaan, biasanya dituliskan menggunakan notasi seperti: atau
atau atau atau atau .
Probabilitasnya dinyatakan dengan ( ) ( )
( ) ( ).
Contoh 2.4:
Sebuah peubah acak kontinu yang mengambil nilai antara dan
mempunyai fungsi probabilitas ( )
.
Akan dicari ( ).
( ) ⁄ dan ( )
⁄ , maka
( ) . ⁄
⁄ /( )
Definisi 2.8 Fungsi Probabilitas Kontinu
Fungsi probalitas peubah acak kontinu, dikenal dengan nama fungsi
densitas probabilitas (Probability Density Function / PDF ), untuk setiap
hasil x yang mungkin jika:
1. ( )
2. ∫ ( )
3. ( ) ∫ ( )
Definisi 2.9 Fungsi Probabilitas Bersama Diskrit
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Fungsi ( ) adalah fungsi probabilitas bersama peubah acak diskrit X
dan Y jika:
1. ( ) untuk setiap ( )
2. ∑ ∑ ( )
3. ( ) ( )
Untuk setiap A di bidang xy, ,( ) - ∑∑ ( )
Contoh 2.5:
Dua buah kelereng diambil dari sebuah kantong yang berisi 3 kelereng
biru, 2 kelereng merah, dan 3 kelereng hijau. Misalkan merupakan
banyaknya kelereng yang berwarna hijau yang terambil dan merupakan
banyaknya kelereng merah yang terambil. Nilai ( ) yang mungkin
adalah (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2), dan (2,0). Sebagai contoh ( )
memperlihatkan bahwa probabilitas kelereng merah dan hijau yang
terambil. Banyaknya semua kemungkinan hasil dari pengambilan 2
kelereng adalah ( ) . Banyaknya kemungkinan hasil pengambilan 1
kelereng merah dari 2 kelereng merah dan 1 kelereng hijau dari 3 kelereng
hijau ( )(
) . Maka ( )
. Perhitungan probabilitas
bersama yang lain dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Tabel 2.2 Fungsi probabilitas bersama beserta semua kemungkinan nilai
dan peluang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
( )
total
baris 0 1 2
0
1
0
2
0 0
total kolom
1
Definisi 2.10 Fungsi Probabilitas Bersama Kontinu
Fungsi ( )adalah fungsi probabilitas bersama peubah acak kontinu
dan jika:
(1.) ( ) , untuk setiap ( )
(2.) ∫ ∫ ( )
(3.) ,( ) - ∫∫ ( )
Untuk setiap A di bidang xy.
Definisi 2.11 Fungsi Distribusi Kumulatif Peubah Acak Diskrit
Fungsi distribusi kumulatif dari ditulis dengan ( ).
( )dari peubah acak diskrit dengan fungsi probabilitas ( ) adalah:
( ) ( ) ∑ ( ) , untuk .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Definisi 2.12 Fungsi Distribusi Kumulatif Peubah acak Kontinu
Fungsi distribusi kumulatif dari ditulis dengan ( ).
( )dari peubah acak kontinu dengan fungsi probabilitas kontinu ( )
adalah: ( ) ( ) ∫ ( )
, untuk .
Definisi 2.13 Fungsi Probabilitas Kontinu
Misalkan ( ) adalah fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu ,
maka ( )dapatditentukan oleh:
( ) ( )
( )
jika turunannya ada.
Definisi 2.14 Dua Peubah Acak yang Bebas
Peubah acak dan dikatakan saling bebas jika dan hanya jika
( ) ( ) ( )
untuk semua kemungkinan nilai-nilai dan , dengan ( ) merupakan
fungsi probabilitas dari peubah acak dan ( ) merupakan fungsi
probabilitas dari peubah acak dan ( ) merupakan fungsi probabilitas
bersama dari peubah acak dan .
Contoh 2.6:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Perhatikan Contoh 2.5, maka dapat diperlihatkan bahwa peubah
acak dan tidak saling bebas. Dari Tabel 2.2 terlihat bahwa ( )
( ) , dan ( ) masing-masing adalah sebagai berikut:
)1()0()1,0(
7
30
14
3
14
3)1,()1(
14
5
28
1
14
3
28
3),0()0(
14
3)1,0(
2
0
2
0
hgf
xfh
yfg
f
x
y
Maka dapat disimpulkan peubah acak dan tidak saling bebas.
B. NILAI HARAPAN (MEAN / RATA-RATA)
Definisi 2.15 Nilai Harapan Peubah Acak Diskrit
Jika adalah suatu peubah acak, yakni * +, dengan fungsi
probabilitas ( ), maka nilai harapan adalah:
( ) ∑
( )
Definisi 2.16 Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu
Jika adalah suatu peubah acak dengan fungsi probabilitas ( ), nilai
harapan adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
( ) ∫ ( )
Teorema 2.1 Nilai Harapan dari Jumlahan Dua atau Lebih Peubah
Acak
Jika dan merupakan suatu peubah acak, maka nilai harapan dari
jumlah peubah acak tersebut adalah:
( ) ( ) ( )
Bukti:
Menurut Definisi 2.15, maka diperoleh persamaan, yaitu:
)()(
),(),(
),()()(
1 11 1
1 1
YEXE
yxfyyxfx
yxfyxYXE
ji
m
i
n
j
jji
m
i
n
j
i
ji
m
i
n
j
ji
Teorema 2.2 Nilai Harapan dari Selisih Dua atau Lebih Peubah Acak
Jika dan merupakan suatu peubah acak, maka nilai harapan dari
selisih peubah acak tersebut adalah:
( ) ( ) ( )
Bukti:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Menurut Definisi 2.15, maka diperoleh persamaan, yaitu:
)()(
),(),(
),()()(
1 11 1
1 1
YEXE
yxfyyxfx
yxfyxYXE
ji
m
i
n
j
jji
m
i
n
j
i
ji
m
i
n
j
ji
Teorema 2.3 Nilai Harapan dari Peubah Acak yang Saling Bebas
Misalkan dan adalah peubah acak yang saling bebas. ( ) adalah
fungsi dari dan ( ) adalah fungsi dari , maka
, ( ) ( )- , ( )- , ( )-
Bukti:
Misalkan ( ) adalah fungsi probabilitas bersama dari dan .
Hasil kali ( ) ( ) adalah fungsi dari dan . Jika dan saling
bebas maka menurut Definisi 2.16 menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
)()(
)()()(
)()()(
)()()()(
)()()()(
),()()()()(
21
11112
12111
12222111
12221121
12212121
XhEXgE
dxxfxgXhE
dxXhExfxg
dxdxxfxhxfxg
xddxxfxfxhxg
xddxxxfxhxgXhXgE
C. VARIANSI
Definisi 2.17 Variansi Peubah Acak Diskrit
Jika adalah suatu peubah acak, * + , dengan fungsi
probabilitas ( ) dan nilai harapan , maka variansi adalah:
∑( ) ( )
Definisi 2.18 Variansi Peubah Acak Kontinu
Jika adalah suatu peubah acak dengan fungsi probabilitas ( ) dan nilai
harapan , maka variansi adalah:
∫ ( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Teorema 2.4 Variansi Peubah Acak
Jika adalah suatu peubah acak, maka variansi adalah:
( )
Bukti:
Untuk peubah acak diskrit:
xx x
x
x
xfxxfxfx
xfxx
xfx
)()(2)(
)()2(
)()(
22
22
22
(2.1)
Menurut Definisi 2.15, persamaan (2.1) menjadi:
22
222
)(
)(
XE
xfxx
Untuk peubah acak kontinu:
dxxfdxxxfdxxfx
dxxfxx
dxxfx
)()(2)(
)()2(
)()(
22
22
22
(2.2)
Menurut Definisi 2.16, persamaan (2.2) menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
22
222
)(
)(
XE
dxxfx
D. FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
Definisi 2.19 Momen ke-
Momen ke- dari peubah acak adalah ( ) dan dinotasikan .
Definisi 2.20 Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi pembangkit momen ( ) untuk peubah acak adalah ( )
( ).
Definisi 2.21 Fungsi Pembangkit Momen Bersama
Fungsi pembangkit momen bersama dari * + jika ada
adalah
( ) . ∑ /
Teorema 2.5 Fungsi Pembangkit Momen dari Jumlahan Peubah Acak
Misalkan adalah peubah acak yang saling bebas dengan
fungsi pembangkit momen masing-masing adalah
( )
( ) ( ). Jika maka ( )
( )
( ) ( ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Bukti:
Karena adalah peubah acak yang saling bebas maka menurut
Teorema 2.3 dan Definisi 2.20 menjadi:
)(...)()(
...
)(
21
21
21
21
...
...
tmtmtm
eEeEeE
eE
eEtm
nXXX
tXtXtX
tXtXtX
XXXt
Y
n
n
n
E. DISTRIBUSI POISSON
Distribusi Poisson adalah salah satu distribusi peubah acak diskrit
yang digunakan untuk menghitung jumlah kejadian khusus selama jangka
waktu tertentu. Misalnya: jumlah dering telepon dalam kurun waktu 1 jam.
Definisi 2.22 Distribusi Poisson
Distribusi probabilitas bagi peubah acak Poisson , yang menyatakan
banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau
daerah tertentu didefinisikan sebagai berikut:
( ) ( )
untuk 1 2
dengan merupakan rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi
selama selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan.
Teorema 2.6 Nilai Harapan Distribusi Poisson
Nilai harapan dari peubah acak diskrit ( ) adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
( )
Bukti:
Misalkan . Dari Definisi 2.15 dan Definisi 2.22, maka diperoleh
persamaan, yaitu:
1
1
0
)!1(
!)(
x
x
x
x
x
e
x
exXE
Misalkan dan ∑ ( ) , maka diperoleh:
0 !)(
y
y
y
eXE
Teorema 2.7 Variansi Distribusi Poisson
Variansi dari peubah acak diskrit ( ) adalah:
( )
Bukti:
Dari Definisi 2.15 dan Definisi 2.22, maka diperoleh persamaan, yaitu:
1
22
2
0
)!2(
!)1(
!)1())1((
x
x
x
x
x
x
x
e
x
exx
x
exxXXE
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Misalkan , maka diperoleh:
2
0
2
!))1((
y
y
y
eXXE
(2.3)
Berdasarkan Teorema 2.1, Teorema 2.2, dan Teorema 2.4, maka
persamaan (2.3) menjadi:
22
2
22
222
)())1((
)()()(
)(
XEXXE
XEXEXE
XE
F. DISTRIBUSI GAMMA
Distribusi Gamma mendapat namanya dari fungsi Gamma yang
sudah dikenal luas, dan dipelajari dalam banyak bidang matematika.
Distribusi Gamma merupakan salah satu distribusi kontinu yang juga
merupakan suatu keluarga distribusi. Beberapa distribusi merupakan
distribusi khusus dari distribusi Gamma, seperti distribusi Eksponensial
dan distribusi Erlang.
Definisi 2.23 Fungsi Gamma
Fungsi Gamma didefinisikan sebagai berikut:
( ) ∫
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Definisi 2.24 Fungsi Probabilitas Kontinu Distribusi Gamma
Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Gamma, yaitu:
( ) {
( )( )
dengan parameter dan .
Teorema 2.8 Sifat-sifat Distribusi Gamma
Di bawah ini terdapat beberapa sifat penting dari distribusi Gamma, yaitu:
(1). ( ) ( ) ( ) untuk setiap bilangan bulat positif dengan
(2). ( )
(3). ( ) ( ) untuk setiap bilangan bulat positif
Bukti:
(1). Menggunakan Definisi 2.23 dengan teknik pengintegralan kalkulus
∫ ∫
di mana ,
( ) ( ) , , dan
∫ |
maka diperoleh persamaan:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
0
2
0
2
0
2
0
2
0
11
0
2
0
11
0
2
0
1
0
2
0
1
0
2
0
1
)1(
)1(
)1(00
)1(0
)1(0
)1(
)1()1
(
)1()()(
dxexk
dxxek
dxxke
dxxkeee
dxxkeee
dxxkee
x
dxxkee
x
dxxkeexk
xk
kx
kx
kxkk
kxkk
kx
x
k
kx
x
k
kxxk
(2.4)
Untuk dan merupakan bilangan bulat positif maka persamaan
(2.4) menurut Definisi 2.23 menjadi:
)1()1(
)1(
)1()(
0
1)1(
0
2
kk
dxexk
dxexkk
xk
xk
(2). Menurut Definisi 2.23 maka diperoleh persamaan:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
1
)1(0
)1(
0
0
0
11
0
1
x
x
x
xk
e
dxe
dxex
dxex
(3). Menurut persamaan (2.4) dan Definisi 2.23 diperoleh persamaan:
)2()2(
)2(
)1)1(()1(
0
1)2(
0
2)1(
kk
dxexk
dxexkk
xk
xk
(2.5)
Berdasarkan Teorema 2.8(1), Teorema 2.8(2), dan persamaan (2.5)
maka diperoleh persamaan baru, yaitu:
)!1(
1...)5)(4)(3)(2)(1(
)1(...)5)(4)(3)(2)(1(
)5()5)(4)(3)(2)(1(
)4()4)(3)(2)(1(
)3()3)(2)(1(
)2()2)(1(
)1()1()(
k
kkkkk
kkkkk
kkkkkk
kkkkk
kkkk
kkk
kkk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Dari Teorema 2.8(3) diperoleh bahwa ( ) ( ) , maka Definisi
2.24 dapat dituliskan ulang menjadi:
Definisi 2.25 Fungsi Probabilitas Kontinu Distribusi Gamma
Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Gamma, yaitu:
( ) {
( )
dengan parameter dan .
Teorema 2.9 Nilai Harapan Distribusi Gamma
Nilai harapan dari peubah acak kontinu ( ) adalah
( )
Bukti:
Menurut Definisi 2.16, maka diperoleh persamaan, yaitu:
( ) ∫
( )
(2.6)
Misalkan maka maka persamaan (2.6) menjadi:
due
u
k
uXE uk
k
1
0
)()!1(
)()(
(2.7)
Menurut Definisi 2.23 maka persamaan (2.7) menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
)1()!1(
1
)()!1(
1
)()!1(
)(
0
1)1(
11
0
111
kk
dueuk
dueuk
XE
uk
uk
k
k
(2.8)
Menurut Teorema 2.8(3), maka persamaan (2.8) menjadi:
k
kkk
kk
XE
)!1()!1(
1
!)!1(
1)(
Teorema 2.10 Momen ke-n distribusi Gamma
Momen ke-n dari peubah acak kontinu ( ) adalah
( )
( ) ( )
Bukti:
Menurut Definisi 2.16 dan Definisi 2.19 diperoleh persamaan, yaitu:
0
1
)!1()( dxex
kxXE xk
knn
(2.9)
Misalkan maka , sehingga persamaan (2.9) menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
0
1)(
0
1
0
1
)()!1(
1
)()!1(
1
)()!1(
)(
dueuk
dueuk
due
u
kXE
unk
n
unk
n
unkk
n
(2.10)
Menurut Definisi 2.23, maka persamaan (2.10) menjadi:
)()!1(
1)( nk
kXE
n
n
Teorema 2.11 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Gamma
Fungsi pembangkit momen dari peubah acak kontinu ( )
adalah
( )
.
/
Bukti:
Berdasarkan Definisi 2.16 dan Definisi 2.20, maka diperoleh persamaan:
dxexk
dxexk
e
eEtm
tx
kk
xkk
tx
tX
X
0
11
0
1
)(
)(
)()(
(2.11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Misalkan (
) atau (
) dengan , maka
(
) , sehingga persamaan (2.11) menjadi:
0
1
0
1
0
1
0
1
1
)(
1
1
1
)(1
11
)(1
1
)(1
1
1
1)(
dyeykt
dyeykt
dyeykt
dyeyktt
tm
yk
k
ykk
k
k
ykk
k
ykk
k
X
0
1
)(
1
1
1dyey
kt
yk
k
(2.12)
Berdasarkan Definisi 2.10(2) persamaan (2.12) menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
k
k
k
X
t
t
ttm
1
1
1
1
1
1
1)(
Teorema 2.12 Variansi Distribusi Gamma
Variansi dari peubah acak kontinu ( ) adalah
Bukti:
Menggunakan Teorema 2.10 diperoleh persamaan:
( )
( ) ( )
(2.13)
Jika n = 2 maka persamaan (2.13) menjadi:
)2()!1(
1)(
2
2
kk
XE
(2.14)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Menurut Teorema 2.8(1) dan Teorema 2.8(3), maka persamaan (2.14)
menjadi:
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)(
)1(
)!1)(1()!1(
1
!)1()!1(
1
)!1)1)((1()!1(
1
)1()1()!1(
1
)1)2(()1)2(()!1(
1)(
kk
kk
kk
kkkk
kkk
kkk
kkk
kkk
XE
(2.15)
Dari Teorema 2.4 persamaan (2.15) menjadi:
2
2
22
2
222
)(
)(
k
kkk
XE
G. DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Banyak sekali masalah pengambilan keputusan yang menggunakan
distribusi eksponensial dalam penyelesaiannya. Misalnya: selang waktu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
antar rusaknya suatu mesin, selang waktu antar kedatangan pelanggan ke
suatu bank, dan sebagainya.
Definisi 2.26 Fungsi Probabilitas Kontinu Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial mempunyai fungsi densitas probabilitas sebagai
berikut:
( ) {
dengan parameter adalah sebuah bilangan real, konstanta positif.
Teorema 2.13 Nilai Harapan Distribusi Eksponensial
Nilai harapan dari peubah acak kontinu ( ) adalah
( )
Bukti:
Dari Definisi 2.25 dan 2.26 diperoleh bahwa . Dari Teorema 2.9 juga
diperoleh bahwa: ( )
, sehingga nilai harapan dari peubah acak
kontinu ( ) adalah:
1
)(
k
XE
Teorema 2.14 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Eksponensial
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Fungsi pembangkit momen dari peubah acak kontinu ( ) adalah
( )
.
/
Bukti:
Dari Definisi 2.25 dan 2.26 diperoleh bahwa . Dari Teorema 2.11
juga diperoleh bahwa: ( )
.
/ , sehingga fungsi pembangkit
momen dari peubah acak kontinu ( ) adalah:
)1(
1
)1(
1)(
t
ttm
k
H. DISTRIBUSI ERLANG
Distribusi Erlang adalah salah satu distribusi kontinu yang
merupakan distribusi khusus dari distribusi Gamma di mana parameter
dari distribusi ini bernilai bilangan bulat positif. Distribusi Erlang dapat
digambarkan sebagai jumlah dari peubah acak yang saling bebas dan
semuanya berdistribusi Eksponensial dengan nilai harapan yang sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Gambar 2.1 Grafik Distribusi Erlang
Definisi 2.27 Fungsi Probabilitas Kontinu Distribusi Erlang
Peubah acak kontinu X dikatakan berdistribusi Erlang dengan
parameter skala , dan parameter , yaitu ( ), jika
fungsi densitas probabilitasnya dapat diberikan oleh:
( ) ( )
( )
dengan dan adalah bilangan bulat positif.
Teorema 2.15 Nilai Harapan Distribusi Erlang
Nilai harapan dari peubah acak kontinu ( ) adalah
( )
43210
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
x
f(x)
k=1
k=2
k=3
k=4
Variable
Grafik Distribusi Erlang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Bukti:
Dari Definisi 2.25 dan 2.27 diperoleh bahwa . Dari Teorema 2.9
juga diperoleh bahwa:
( )
Sehingga nilai harapan dari peubah acak kontinu ( ) adalah:
sks
kXE
1)(
Teorema 2.16 Momen ke-n distribusi Erlang
Momen ke-n dari peubah acak kontinu ( ) adalah
( )
( ) ( ) ( )
Bukti:
Dari Definisi 2.25 dan 2.27 diperoleh bahwa . Dari Teorema 2.10
juga diperoleh bahwa:
( )
( ) ( )
Sehingga momen ke-n dari peubah acak kontinu ( ) adalah:
)()!1()(
1)( nk
kksXE
n
n
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Teorema 2.17 Momen ke-2 distribusi Erlang
Momen ke-2 dari peubah acak kontinu ( ) adalah
( )
Bukti:
Dari Teorema 2.16 jika n = 2, maka persamaannya menjadi:
2222
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
11
)(1
)1(1
)!1)(1()!1(
1
!)1()!1(
1
)!1)1)((1()!1(
1
)1()1()!1(
1
)1)2(()1)2(()!1(
1
)2()!1(
1)(
kss
kksk
kkks
kkkkks
kkkks
kkkks
kkkks
kkkks
kkks
XE
Teorema 2.18 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Erlang
Fungsi pembangkit momen dari peubah acak kontinu ( ) adalah
( )
.
/
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Bukti:
Dari Definisi 2.25 dan 2.27 diperoleh bahwa . Dari Teorema 2.11
juga diperoleh bahwa: ( )
.
/ , sehingga fungsi pembangkit
momen dari peubah acak kontinu ( ) adalah:
kX
ks
ttm
1
1)(
Teorema 2.19 Variansi Distribusi Erlang
Variansi dari peubah acak kontinu ( ) adalah
( )
Bukti:
Dari Definisi 2.25 dan 2.27 diperoleh bahwa . Dari Teorema 2.12
juga diperoleh bahwa:
Sehingga variansi dari peubah acak kontinu ( ) adalah:
2
2
ks
k
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Teorema 2.20
Jika terdapat peubah acak dan mempunyai distribusi
eksponensial dengan nilai harapan
, maka mengikuti
distribusi Erlang dengan parameter .
Bukti:
Diberikan dan maka akan dibuktikan berdistribusi Erlang.
Misalkan peubah acak yang berdistribusi eksponensial
dengan nilai harapan yang sama, yakni:
)(...)()( 21 kXEXEXE
atau
11...
11
21
k
(2.16)
Karena berdistribusi eksponensial dengan nilai harapan yang
sama, maka menurut Teorema 2.14 fungsi pembangkit momennya adalah
( )
.
/
Misalkan didefinisikan , maka berdasarkan Definisi
2.21 dan Teorema 2.5 diperoleh persamaan:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
k
XXXX
t
ttt
ttt
tmtmtmtmk
1
1
1
1...
1
1
1
1
1
1...
1
1
1
1
)(...)()()(21
(2.17)
Dari persamaan (2.17) diperoleh hasil yang sama dengan fungsi
pembangkit momen distribusi Gamma pada Teorema 2.11.
Dari Definisi 2.25 dan 2.27 diperoleh bahwa , maka persamaan
(2.17) menjadi:
kX
ks
ttm
1
1)(
(2.18)
Dari persamaan (2.18) diperoleh hasil yang sama dengan fungsi
pembangkit momen distribusi Erlang pada Teorema 2.18.
Jadi, peubah-peubah acak yang saling bebas dan masing-
masing berdistribusi Eksponensial, akan menghasilkan
distribusi Erlang dengan parameter .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
I. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov
Uji sampel Kolmogorov-Smirnov adalah suatu uji goodness of fit
(keserasian). Artinya, yang diperhatikan adalah tingkat kesesuian antara
distribusi dari serangkaian sampel (skor yang diobservasi) dengan suatu
distribusi teoritis tertentu. Uji ini diperkenalkan pada tahun 1933 oleh
matematikawan Rusia A. N. Kolmogorov. Uji ini menetapkan apakah
secara logis nilai-nilai sampel dapat dianggap berasal dari suatu populasi
dengan distribusi teoritis tertentu.
Dalam uji ini, pengujian dilakukan pada dua buah fungsi distribusi
kumulatif, yaitu fungsi distribusi kumulatif yang dihipotesiskan dan fungsi
distribusi kumulatif yang diamati. Misalkan dengan mengambil sebuah
sampel acak dari suatu fungsi distribusi ( ) yang belum diketahui. Akan
dipastikan apakah dapat disimpulkan bahwa ( ) ( ) untuk semua ,
dengan ( ) adalah fungsi distribusi kumulatif yang dihipotesiskan.
Dimisalkan juga ( )adalah fungsi sebaran kumulatif dari suatu
sampel acak yang diamati dengan N pengamatan. Dengan adalah
sembarang nilai yang mungkin, N
kXSN , k adalah jumlah pengamatan
yang sama atau kurang dari . Dalam uji ini diharapkan bahwa untuk
setiap harga , ( )mendekati ( ). Artinya, di bawah diharapkan
selisih antara ( ) dengan ( )adalah kecil, dan ada dalam batas-batas
kesalahan acak. Uji Kolmogorov-Smirnov memusatkan perhatian pada
penyimpangan(deviasi) terbesar. Nilai ( ) ( ) terbesar dinamakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
deviasi maksimum, dinyatakan dengan D = maksimum XSXF N0 .
Perlu diperhatikan bahwa signifikasi suatu nilai D tertentu D adalah
bergantung pada jumlah pengamatan (N). Untuk maka ditolak
dan diterima sedangkan jika maka diterima dan ditolak.
Langkah-langkah penghitungan uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov
adalah:
1. Tentukan hipotesis terlebih dahulu.
Dapat disesuaikan dengan kasus yang diamati, yaitu sebagai berikut:
( ) ( )
( ) ( )
2. Tetapkan tingkat signifikasi yang digunakan.
3. Hitung ( ) dan ( ) dari nilai-nilai data yang diamati.
4. Hitung | ( ) ( )| dari setiap nilai yang diamati.
5. Carilah
6. Carilah
7. Jika maka ditolak dan diterima sedangkan
maka diterima dan ditolak.
Untuk memudahkan penghitungan, uji sampel Kolmogorov-Smirnov dapat
dilakukan dengan SPSS. Contohnya dapat dilihat dalam Contoh 2.8
berikut ini:
Contoh 2.7:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Di bawah terdapat data suatu sampel acak. Apakah datanya berdistribusi
Poisson?
Tabel 2.3 Data Suatu Sampel Acak
Data
1 4 1 1 3 5 2
2 2 2 2 2 3
Uji hipotesis:
1. H0 : data berdistribusi Poissson
H1 :data tidak berdistribusi Poisson
2. Tingkat signifikasi ( )
3. Daerah penolakan :
Asymp. Sig. (2-tailed)< maka H0 ditolak
Asymp.Sig. (2-tailed)> maka H1 ditolak
Tabel 2.4 Hasil SPSS
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
Data
N 13
Poisson Parametera,,b
Mean 2.3077
Most Extreme
Differences
Absolute .099
Positive .098
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Negative -.099
Kolmogorov-Smirnov Z .359
Asymp. Sig. (2-tailed) 1.000
a. Test distribution is Poisson.
b. Calculated from data.
4. Dari hasil uji One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test di atas tampak
bahwa nilai Asymp. Sig. (2-tailed) adalah 1.
Asymp. Sig. (2-tailed) = 1
= 0,05
Jadi, Asymp. Sig. (2-tailed)> . Dengan demikian berarti H0 diterima dan
H1 ditolak. Jadi, dapat disimpulkan data berdistribusi Poisson.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
BAB III
MODEL-MODEL ANTRIAN
A. UNSUR-UNSUR DASAR MODEL ANTRIAN
Antrian merupakan proses saling menunggu giliran untuk
menerima pelayanan. Dalam proses antrian biasanya pelanggan tiba di satu
sarana pelayanan kemudian bergabung dalam sebuah antrian. Pelayan
memilih pelanggan dari antrian untuk memulai pelayanan. Setelah
selesainya pelayanan, pelayan akan memilih pelanggan yang baru dan
diulangi kembali proses tersebut dari awal.
Dalam antrian terdapat beberapa unsur-unsur dasar, diantaranya
sebagai berikut:
1. Distribusi Kedatangan
Pada sistem antrian, distribusi kedatangan merupakan faktor
penting yang berpengaruh besar terhadap kelancaran pelayanan. Dalam
distribusi kedatangan memuat waktu antar kedatangan yang berarti
waktu antara kedatangan dua pelanggan yang berurutan.
Waktu antar kedatangan diringkas dalam bentuk distribusi
probabilitas, yang umumnya disebut distribusi kedatangan.
Kedatangan pelanggan untuk masuk dalam sistem antrian terbagi
menjadi dua, yaitu:
a. Kedatangan secara individu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Kedatangan secara individu merupakan situasi di mana
pelanggan datang secara individu (sendiri). Contoh dari situasi ini
adalah seorang nasabah bank yang datang ke bank untuk
melakukan transaksi.
b. Kedatangan secara berkelompok
Kedatangan secara berkelompok merupakan situasi di mana
para pelanggan datang secara berkelompok. Contoh dari situasi ini
adalah sekelompok orang yang datang bersama-sama ke sebuah
restoran.
Distribusi kedatangan biasanya dinyatakan pada suatu distribusi
probabilitas tertentu yang sudah banyak dikenal, seperti distribusi
Poisson, distribusi Eksponensial ataupun distribusi Erlang.
2. Distribusi waktu pelayanan
Distribusi waktu pelayanan berkaitan dengan waktu yang
dibutuhkan pelayan untuk melayani pelanggan dari awal mula datang
sampai pelayanan selesai dilakukan. Pelayanan kepada pelanggan
terbagi menjadi dua cara, yaitu:
a. Pelayanan secara individual
Pelayanan secara individual merupakan pelayanan di mana
pelayan melayani pelanggan secara individu, misalnya pelayanan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
yang dilakukan oleh seorang tukang cukur kepada seorang
pelanggannya.
b. Pelayanan secara kelompok
Pelayanan secara kelompok adalah pelayanan di mana
pelayan melayani pelanggan secara berkelompok. Contoh dari
pelayanan ini adalah pelayanan kepada beberapa pelanggan
restoran yang datang secara bersamaan dan berada dalam satu meja
yang sama.
Dalam distribusi pelayanan diperlukan pola pelayanan yang
dikenal dengan waktu pelayanan. Waktu pelayanan merupakan waktu
yang dibutuhkan seorang pelayan untuk melayani satu pelanggan.
Waktu pelayanan ini dapat bersifat deterministik, atau berupa variabel
acak yang distribusi probabilitasnya dianggap telah diketahui seperti
distribusi Poisson, distribusi Eksponensial ataupun distribusi Erlang.
3. Rancangan sarana pelayanan
Atas dasar sifat proses pelayanannya, dapat diklasifikasikan
fasilitas-pelayan dalam susunan saluran atau barisan (tunggal atau ganda)
dan fase (tunggal atau ganda) yang akan membentuk suatu struktur
antrian yang berbeda-beda. Istilah saluran atau barisan menunjukkan
jumlah jalur (tempat) untuk memasuki sistem pelayanan, yang juga
menunjukkan jumlah pelayan. Istilah fase berarti jumlah stasiun-stasiun
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
pelayanan yang tersusun secara seri, di mana para pelanggan harus
melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap.
Ada empat model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam
seluruh sistem antrian, yaitu:
a. Satu barisan dan satu fase pelayanan
Satu barisan berarti hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem
pelayanan. Sedangkan satu fase pelayanan menunjukkan bahwa hanya
ada satu pelayanan. Setelah menerima pelayanan, pelanggan keluar
dari sistem. Contoh untuk model ini adalah seorang pelanggan tukang
cukur yang mengantri di seorang tukang cukur, seorang yang
mengantri di sebuah bilik ATM, dll.
Gambar 3.1 Model antrian dengan satu barisan dan satu fase pelayanan
Keterangan: S = pelayan (server)
b. Satu barisan dan beberapa fase pelayanan
Beberapa fase pelayanan menunjukkan ada dua atau lebih
pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan. Contoh untuk model
ini adalah proses pengisian teh botol dalam pabrik yang harus melalui
beberapa tahap, yaitu pengisian botol → penyegelan → pencetakan
Datang Keluar
S
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
kode produksi dan tanggal kadaluarsa → penempatan botol dalam
kotak → kontrol produksi.
Gambar 3.2 Model antrian dengan satu barisan dan beberapa fase
pelayanan
c. Beberapa barisan dan satu fase pelayanan
Beberapa barisan terjadi jika dua atau lebih pelayan melayani
antrian tunggal. Contoh dari proses pelayanan seperti ini adalah
pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket.
Gambar 3.3 Model antrian dengan beberapa barisan dan satu fase
pelayanan
d. Beberapa barisan dan beberapa fase pelayanan
Bebrapa barisan dan beberapa fase pelayanan berarti setiap sistem
mempunyai beberapa pelayan pada setiap tahap, sehingga lebih dari
keluar datang
S
S
S
S
S S S S keluar datang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
satu pelanggan dapat dilayani pada suatu waktu. Contoh dari proses
pelayanan seperti ini adalah pelayanan kepada pasien di rumah sakit
dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran dimana
setiap tahap dilayani lebih dari satu pelayan.
Gambar 3.4 Model antrian dengan beberapa barisan dan beberapa fase
pelayanan
4. Peraturan pelayanan
Peraturan pelayanan merupakan pedoman keputusan yang
digunakan untuk menyeleksi pelanggan yang memasuki antrian untuk
dilayani terlebih dahulu.
Terdapat beberapa cara dalam menyeleksi antrian, diantaranya
sebagai berikut:
a. First come firts serve (FCFS)
First come firts serve merupakan salah satu peraturan
pelayanan yang berarti pelanggan yang datang pertama dilayani
pertama, misalnya seseorang yang mengantri untuk membeli karcis
di loket gedung bioskop.
S S S S
datang keluar S S S S
S S S S
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
b. Last come first serve (LCFS)
Last come first serve adalah peraturan pelayanan yang
mempunyai arti pelanggan yang datang terakhir akan dilayani
pertama. Contoh dari peraturan pelayanan ini adalah bongkar
pasang barang di dalam truk dimana barang yang dikeluarkan dari
truk terlebih dahulu adalah barang yang dimasukkan ke dalam truk
terakhir.
c. Service in random order (SIRO)
Service in random order adalah peraturan pelayanan yang
mempunyai arti bahwa pelayanannya dilakukan secara acak,
misalnya pengambilan kertas undian. Dalam pengambilan kertas
undian, pelayan bebas memilih secara acak.
d. Priority
Priority merupakan peraturan pelayanan yang berarti
pelayanannya didasarkan pada prioritas tertentu, misalnya
pelayanan kepada pasien yang kondisinya kritis.
5. Ukuran antrian
Ukuran antrian adalah panjang antrian yang dapat dilayani. Ada
dua macam ukuran antrian, yaitu:
a. Antrian terbatas
Hanya sejumlah pelanggan tertentu yang diijinkan,
kemungkinan karena terbatasnya suatu ruang. Setelah antrian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
memenuhi kapsitas (ukuran), pelanggan yang baru tiba tidak dapat
masuk ke dalam antrian. Misalnya, antrian mobil yang akan dicuci
ditempat pencucian hanya terbatas. Hal ini dikarenakan ruang
untuk mobil di tempat pencucian mobil tersebut terbatas.
b. Antrian tidak terbatas
Pelanggan yang diijinkan memasuki antrian tidak terbatas
jumlahnya. Misalnya: pelanggan yang datang di tempat pengisian
bensin jumlahnya tidak dibatasi berapapun boleh mengantri untuk
membeli.
6. Sumber pemanggilan
Sumber pemanggilan berkaitan dengan sifat sumber yang meminta
pelayanan. Sumber pemanggilan terdiri dari dua faktor, yaitu:
a. Terbatas
Dalam sumber pemanggilan terbatas memiliki arti bahwa
pelanggan yang akan memperoleh pelayanan sifat sumbernya
terbatas. Misalnya, pada sistem antrian pembayaran sks hanya
terbatas untuk mahasiswa.
b. Tidak terbatas
Dalam sumber pemanggilan tidak terbatas memiliki arti
bahwa pelanggan yang datang untuk memperoleh pelayanan tidak
terbatas. Misalnya, pada antrian pembelian bensin di pom bensin
siapapun tentu saja boleh mengantri.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
7. Perilaku manusia
Model-model antrian yang mewakili situasi di mana manusia
mengambil peran sebagai pelanggan atau pelayan harus dirancang
untuk memperhitungkan pengaruh dari perilaku yang dilakukan
manusia. Pelayan yang berupa manusia dapat mempercepat layu
pelayanan ketuka jalur antrian memanjang. Sedangkan pelanggan yang
berupa manusia juga dapat berpindah dari satu jalur antrian ke jalur
lainnya dengan harapan dapat mengurangi waktu menunggu. Masih
terdapat ciri-ciri perilaku manusia lainnya dalam situasi antrian sehari-
hari.
Dalam situasi antrian biasanya terdapat dua asumsi yang sering
dipergunakan, yaitu:
a. Pelanggan antri secara berurutan
b. Kecepatan pelayanan yang dilakukan pelayan dianggap sama untuk
setiap pelanggan
B. PERAN DISTRIBUSI POISSON
Antrian yang terlalu lama dan sangat panjang tentu akan sangat
merugikan bagi pelanggan maupun pelayan dalam antrian tersebut.
Mengingat bahwa antrian yang terlalu panjang dan lama dapat merugikan
bagi pelanggan maupun bagi pelayan, maka perlu dilakukan penentuan
jumlah pelayan yang sesuai dengan tingkat kedatangan. Kedatangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
pelanggan dapat dipelajari karakteristiknya. Karakteristik-karakteristik
kedatangan pelanggan dalam sebuah antrian adalah sebagai berikut:
a. Dalam sebuah antrian, banyaknya kedatangan yang tiba pada interval
tertentu tidak mempengaruhi banyaknya kedatangan pada interval
yang lainnya.
Misalnya banyaknya kedatangan yang tiba antara pukul 18.00-18.10
tidak mempengaruhi banyaknya kedatangan yang tiba antara 18.15-
18.25.
b. Probabilitas ada satu kedatangan yang tiba selama waktu lebih kecil
dibanding probabilitas ada satu kedatangan yang tiba selama waktu
.
Misalnya probabilitas ada satu kedatangan selama 30 menit kurang
dari probabilitas ada satu kedatangan yang tiba selama 45 menit.
c. Dalam sebuah antrian, kedatangan dalam selang waktu yang singkat
terkadang ada terkadang tidak ada kedatangan. Oleh karena itu,
kedatangan pelanggan lebih dari satu dalam selang waktu yang singkat
dapat diabaikan.
Misalnya dalam selang waktu 1 menit terkadang ada kedatangan
terkadang tidak ada kedatangan, jika ada hanya 1 orang saja maka
kedatangan lebih dari satu pelanggan diabaikan.
Karakteristik-karakteristik di atas dapat terwakilkan dengan adanya
distribusi. Distribusi yang dapat mewakili adalah distribusi Poisson karena
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
karakteristik-karakteristik tersebut juga mirip dengan karakteristik-
karakteristik yang dimiliki oleh distribusi Poisson. Karakteristik-
karakteristik dari distribusi Poisson adalah sebagai berikut:
a. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu
tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi
pada selang waktu yang terpisah.
b. Probabilitas terjadinya satu hasil percobaan selama selang waktu yang
sangat singkat sebanding dengan panjang selang waktu tersebut.
c. Probabilitas bahwa lebih dari satu hasil percobaan dalam selang waktu
yang singkat dapat diabaikan.
Karena karakteristik-karakteristik dalam sebuah antrian dapat
terwakilkan oleh distribusi Poisson maka model antrian dalam tulisan ini
kedatangan dalam antrian mengikuti proses Poisson. Kedatangan
mengikuti proses Poisson artinya banyaknya pelanggan yang datang untuk
memperoleh pelayanan sampai pada waktu tertentu mengikuti distribusi
Poisson.
Misalkan ( ) adalah banyaknya kedatangan sampai waktu .
Kedatangan dapat terjadi dalam interval ( -. Misalkan kedatangan
pertama terjadi pada . Dalam hal ini ( ) dan ( ) untuk
. Kedatangan kedua terjadi pada sehingga ( ) dan
( ) untuk . Kedatangan selanjutnya dilanjutkan dengan
cara yang sama. Bila dilihat adalah panjang waktu terjadinya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
kedatangan setelah kedatangan ke- . Panjang selang ini dinamakan
waktu antar kedatangan.
Definisi 3.1 Proses Poisson
* ( ) + adalah suatu proses Poisson dengan laju jika memenuhi:
1. ( )
2. Untuk setiap , ( ) (s) adalah suatu peubah acak
Poisson dengan rata-rata ( )
3. Banyaknya kedatangan dalam interval ( - saling bebas dengan
banyaknya kedatangan yang terjadi sampai waktu atau untuk
dan , nilai ( ) ( ) saling bebas dengan nilai ( )
dimana
Dalam sebuah sistem antrian tidak hanya mempertimbangkan
proses kedatangannya saja, melainkan juga mempertimbangkan proses
kepergian. Di bawah ini merupakan gambar yang dinamakan diagram
transisi antrian Poisson yang memenuhi kondisi Steady-State.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Gambar 3.5. Diagram transisi antrian Poisson
Kondisi Steady-State merupakan kondisi di mana rata-rata laju arus
masuk sama dengan rata-rata laju arus keluar.
Ekspektasi laju arus masuk ke keadaan :
Ekspektasi laju arus keluar dari keadaan n:
( )
Ekspektasi laju arus masuk ke keadaan = laju arus keluar dari keadaan
( )
Sehingga didapatkan persamaan:
(
* n 1 2
Persamaan di atas dinamakan probabilitas Steady-State dari pelanggan
dalam sistem.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Definisi 3.2
Probabilitas ada kedatangan selama waktu didefinisikan sebagai:
* + * ( ) + ( )
dengan merupakan rata-rata kedatangan.
Contoh 3.1:
Panggilan telepon mengikuti suatu proses Poisson dengan laju 20 / jam.
Tentukan peluang bahwa 15 panggilan telepon terjadi pada satu jam
pertama.
Penyelesaian:
Yang dimaksud adalah * ( ) +. Karena panggilan telepon
mengikuti proses Poisson maka peluang tersebut berdasarkan Definisi 3.2
dapat dituliskan sebagai berikut:
* ( ) + ( )
Contoh 3.2:
Perhatikan Contoh 3.1. tentukan peluang terdapat 5 panggilan telepon
pada setengah jam pertama dan 10 panggilan pada setengah jam kedua.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Penyelesaian:
Yang diminta adalah * ( ) ( ) ( ) +.Karena
banyaknya kedatangan pada proses Poisson memiliki sifat saling bebas,
maka * ( ) ( ) + * ( ) +, sehingga:
* ( ) ( ) ( ) + * ( ) + * ( ) +
Mengingat ( ) berdistribusi Poisson dengan laju 20 / jam, maka:
* ( ) ( ) ( ) +
( )
( )
Teorema 3.1 Waktu Antar Kedatangan
Waktu-waktu antar kedatangan dari suatu proses Poisson adalah saling
bebas, semuanya berdistribusi eksponensial dengan parameter .
Bukti:
Misalkan kedatangan-kedatangan terjadi di waktu-waktu .
Misalkan merupakan waktu antara dibukanya sistem hingga
kedatangan pertama atau ditulis dengan , sehingga
menunjukkan waktu antara kedatangan ke- hingga
. Sehingga barisan * + dengan merupakan barisan dari
waktu antar kedatangan. Akan ditunjukkan berdistribusi eksponensial.
Untuk yakni jika tidak ada kedatangan selama , maka;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
* + * ( ) + dengan ( ) adalah banyaknya kedatangan
sampai waktu , sehinggamenurut Definisi 3.2 :
* + * ( ) +
Maka fungsi distribusi kumulatif dari adalah:
0untuk t1
)(1
)()(
1
1
te
tXP
tXPtF
Karena menurut Definisi 2.11 fungsi probabilitas ( ) adalah turunan dari
fungsi distribusi kumulatif ( ), maka fungsi probabilitas dari dapat
diperoleh dengan cara berikut ini:
0untuk t
)1(
)()(
t
t
e
dt
ed
dt
tdFtf
Jadi, berdistribusi eksponensial dengan parameter sehingga dapat
disimpulkan waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial.
C. PERAN DISTRIBUSI ERLANG
Tidak hanya kedatangan saja yang dapat dipelajari karakteristik-
karakteristiknya. Waktu pelayanan dalam sebuah antrian juga dapat
dipelajari karakteristiknya. Misalkan pada sebuah antrian pada saat
belum ada pembeli, kemudian pada ada pembeli datang. Pada pembeli
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
kedua datang, dan seterusnya. Rentang dari sampai pembeli pertama
muncul dapat dikatakan sebagai waktu menunggu pembeli pertama. Lama
menunggu sampai pembeli kedua datang dapat ditentukan dengan
+( ). Secara rekursif dapat dicari waktu menunggu sampai pada
pembeli ke- dengan cara berikut ini:
+( ) ( ) ( )
Jika merupakan waktu antar kedatangan pembeli
dan pembeli ke- , maka waktu tunggu sampai pembeli ke- dapat
dituliskan dengan cara berikut ini:
Definisi 3.3 Waktu Tunggu
Waktu tunggu sampai kedatangan ke- dengan laju kedatangan adalah
Karena dengan berdistribusi eksponensial dengan
parameter maka menurut Teorema 2.20 berdistribusi Erlang.
Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Erlang menurut Definisi 2.27
adalah:
( ) ( )
( )
dengan merupakan banyaknya tahap atau fase dan merupakan rata-rata
waktu pelayanan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
D. MODEL ANTRIAN DENGAN PELAYAN TUNGGAL
1. Notasi Kendall-Lee
Notasi yang sesuai untuk meringkaskan karakteristik dari antrian
dibakukan dalam suatu notasi yaitu notasi Kendall-Lee. Notasi tersebut
dibakukakn dalam format berikut ini:
( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ ⁄ )
Keterangan:
a = distribusi kedatangan
b = distribusi waktu pelayanan
c = jumlah pelayan paralel ( )
d = peraturan pelayanan
e = jumlah maksimum yang diijinkan dalam sistem (dalam antrian +
dalam pelayanan)
f = ukuran sumber pemanggilan
Notasi yang disimbolkan a dan b dapat diganti dengan kode berikut ini:
i. M Markov atau kedatangan berdistribusi Poisson
ii. bila waktu pelayanan berdistribusi Erlang dengan parameter
iii. MMarkov atau waktu pelayanan berdistribusi eksponensial
Secara umum, kedatangan pelanggan tidak diketahui, karena jika
diketahui maka pengoperasian sarana tersebut dapat dijadwalkan dan tidak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
akan terjadi proses antrian. Secara intuitif, semakin lama seorang
pelanggan menunggu semakin kecil presentase waktu sarana tersebut tidak
dipergunakan, dan sebaliknya. Tetapi, apabila jumlah pelayan ditambah
untuk mengurangi waktu pelangga maka biaya untuk yang harus
dikeluarkan untuk menggaji pelayan juga bertambah, dan sebaliknya.
Karena hal tersebut perlu adanya beberapa karakteristik yang mengukur
kinerja sistem. Kinerja menurut KBBI adalah kemampuan kerja. Pada
tulisan ini yang dimaksudkan kinerja adalah ukuran kemampuan sistem.
Di bawah ini merupakan ukuran-ukuran kinerja pada antrian, yaitu:
Ls = rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem
Lq = rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian
Ws = rata-rata waktu menunggu dalam sistem
Wq = rata-rata waktu menungggu dalam antrian
2. Model antrian dengan waktu pelayanan berdistribusi eksponensial
Pada bagian ini akan dibahas ukuran-ukuran dasar dari kinerja
dengan model antrian ( ⁄ ⁄ ). Model tersebut
merupakan model antrian dengan waktu kedatangan berdistribusi
Poisson, waktu pelayanan berdistribusi eksponensial, dan banyaknya
pelayan adalah satu. Peraturan pelayanannya adalah umum ( )
dalam arti bahwa peraturan tersebut dapat FCFS, LCFS, SIRO, atau
prosedur apapun yang dapat digunakan oleh pelayan tersebut untuk
memutuskan urutan pelanggan yang dilayani dalam antrian. Jumlah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
maksimum yang diijinkan dalam sistem adalah tak hingga. Begitu pula
dengan sumber yang menghasilkan para pelanggan yang datang
memiliki kapasitas tak hingga.
Ukuran-ukuran dasar dari kinerja dengan model antrian
( ⁄ ⁄ ) adalah:
(3.1)
( )
(3.2)
( )
(3.3)
(3.4)
Penurunan mengenai ukuran-ukuran kinerja pada model antrian
( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ ) dapat dilihat pada buku Operations Research
an Introduction (Hamdy A. Taha, 2007:573).
Contoh 3.3:
Dalam sebuah sarana jasa pembersihan mobil, mobil-mobil tiba
sesuai distribusi Poisson dengan rata-rata 4 mobil / jam. Waktu untuk
membersihkan mobil konstan untuk semua mobil mengikuti distribusi
eksponensial dengan rata-rata 10 menit / mobil. Sarana pelayanan ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
tidak dapat menangani lebih dari satu mobil setiap saat. Bagaimana
analisis ukuran-ukuran kinerjanya?
Penyelesaian:
Mobil-mobil tiba sesuai distribusi Poisson dengan rata-rata 4 mobil
/ jam itu berarti laju kedatangannya (λ) adalah 4 mobil / jam. Karena
waktu untuk membersihkan mobil konstan untuk semua mobil
mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 10 menit / mobil
maka:
laju pelayanannya() menit
mobil mobil
jam
Model ini merupakan model antrian ( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ ).
Permasalahan di sini adalah menentukan ukuran-ukuran
kinerjanya. Ukuran-ukuran kinerja meliputi , , , dan .
a) Penentuan rata-rata banyaknya mobil dalam antrian ( )
menggunakan persamaan (3.1), yaitu:
.
/
mobil / jam
Jadi, rata-rata banyaknya mobil dalam antrian ( ) adalah 1,33
mobil / jam atau dalam 3 jam terdapat 4 mobil yang mengantri.
b) Penentuan rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( )
menggunakan persamaan (3.2), yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
( )
(
)
jam 20 menit
Jadi, rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( ) adalah 20
menit.
c) Penentuan rata-rata waktu menunggu dalam sistem ( )
menggunakan persamaan (3.3), yaitu:
( )
(
) jam 30 menit
Jadi, rata-rata waktu menunggu dalam sistem ( ) adalah 30
menit.
d) Penentuan rata-rata banyaknya mobil dalam sistem ( )
menggunakan persmaan (3.4), yaitu:
mobil
Jadi, rata-rata banyaknya mobil dalam sistem ( ) adalah 2
mobil / jam.
3. Model antrian dengan waktu pelayanan berdistribusi Erlang
Pada bagian sebelumnya telah dibahas ukuran-ukuran kinerja pada
model antrian berdistribusi eksponensial. Setelah ini akan dibahas
ukuran-ukuran kinerja pada model antrian berdistribusi Erlang. Jika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
pada model antrian berdistribusi eksponensial banyaknya fase hanya
satu sedangkan pada model antrian berdistribusi Erlang banyaknya
fase dalam model antrian jumlahnya dapat berhingga dan tak
berhingga.Tetapi,model antrian berdistribusi Erlang tidak memberikan
ekspresi analitis yang dapat ditelusuri untuk probabilitas .
Sebaliknya, hasil-hasil dari model ini hanya memberikan ukuran-
ukuran dasar dari kinerja.
Pada bagian ini akan diperlihatkan ukuran-ukuran dasar dari
kinerja seperti Ls, Lq, Ws, dan Wq secara umum.
Sistem adalah pengamatan yang dilakukan selama waktu .
Misalkan banyaknya pelanggan yang datang pada waktu adalah .
Jumlah pelanggan keseluruhan yang datang selama waktu
didefinisikan sebagai berikut ini:
∑
Sedangkan pelanggan keseluruhan yang selesai pelayanan dan
pergi pada waktu adalah . Jumlah banyaknya pelanggan yang
selesai pelayanan kemudian pergi selama waktu didefinisikan
sebagai berikut ini:
∑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Kondisi antrian biasanya diasumsikan untuk setiap dan
setelah waktu banyaknya pelanggan yang telah dilayani .
Gambar 3.6 berikut mengilustrasikan waktu kedatangan pelanggan
dan lama waktu pelayanan, dengan menyatakan lamanya waktu
yang dihabiskan pelanggan dalam sistem.
Gambar 3.6. Banyaknya Kedatangan dan Waktu Pelayanan
Dari Gambar 3.6 dapat dilihat bahwa pelanggan ke- datang pada
dan selesai pelayanan pada sehingga lama waktu
pelayanan .
Langkah pertama adalah menghitung bagian yang diarsir secara
horizontal (waktu keseluruhan) dan vertikal (banyaknya pelanggan
keseluruhan).
Pelanggan
ke-
Waktu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Secara horizontal nilai bagian yang diarsir ( )dapat didefinisikan
sebagai berikut:
∑( )
Nilai-nilai dari secara horizontal dapat dituliskan dalam tabel
berikut ini:
Tabel 3.1 Luas daerah secara horizontal
1 1 0 1 0 1 1
2 1 1 2 1 1 2
3 0 1 2 2 0 2
4 2 0 4 2 2 4
5 3 2 7 4 3 7
6 2 3 9 7 2 9
7 2 2 11 9 2 11
8 2 2 13 11 2 13
Jumlah banyaknya pelanggan dalam sistem ( )pada waktu adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem ( ) juga dapat
didefinisikan sebagai berikut:
TLV
T
V
T
L
L
sA
A
T
t
t
s
1
(3.6)
Selanjutnya adalah menghitung secara vertikal. Jumlah banyaknya
pelanggan adalah . Nilai bagian yang diarsir ( )dapat didefinisikan
sebagai berikut:
∑
Nilai-nilai dari secara vertikal dapat dituliskan dalam tabel berikut
ini:
Tabel 3.2 Luas daerah secara vertikal
1 2 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
2 2 4
3 3 7
4 3 10
5 2 12
6 1 13
Rata-rata lama menunggu dalam sistem ( ) adalah
CWV
C
V
C
W
W
sA
A
C
j
j
s
1
(3.7)
Rata-rata kedatangan didefinisikan sebagai banyaknya pelanggan
selama waktu dan dituliskan sebagai berikut:
(3.8)
Berdasarkan persamaan (3.6), persamaan (3.7), dan persamaan (3.8)
maka terdapat sebuah persamaan baru, yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
ss
ss
s
s
ss
AA
WL
WT
CL
T
CWL
CWTL
VV
(3.9)
Misalkan merupakan lama waktu pelanggan untuk menunggu
dalam antrian dan merupakan lama waktu menunggu dalam sistem,
maka didapatkan sebuah persamaan:
(3.10)
dimana merupakan lama waktu pelayanan. , , dan merupakan
peubah acak.
Jika merupakan rata-rata waktu menungggu dalam antrian
maka dapat dituliskan menjadi:
( ) (3.11)
dan jika merupakan rata-rata waktu menunggu dalam sistem maka
dapat dituliskan juga menjadi:
( ) (3.12)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Dari persamaan persamaan (3.10), (3.11), (3.12), dan Teorema 2.1
dapat dituliskan sebuah persamaan, yaitu:
)(
)()(
)()(
SEWW
SETE
STETE
qs
q
qs
(3.13)
Misalkan merupakan suatu peubah acak yang berdistribusi
eksponensial atau Erlang, maka persamaan (3.13) akan menjadi:
sWW qs
1
(3.14)
Karena banyaknya tahap hanya satu ( ) maka persamaan (3.14)
menjadi:
1 qs WW
(3.15)
Misalkan merupakan rata-rata banyaknya pelanggan yang
menunggu dalam antrian dan merupakan rata-rata banyaknya
pelanggan yang menunggu dalam sistem, maka didapatkan sebuah
persamaan:
(3.16)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
dimana merupakan rata-rata banyaknya pelanggan yang sedangg
dilayani. , , dan merupakan peubah acak.
Rata-rata banyaknya pelanggan yang sedang dilayani ( )dapat
didefiniskan sebaga berikut:
( ) (3.17)
Dari persamaan (3.9), persamaan (3.13), persamaan (3.16), dan
persamaan (3.17) didapatkan sebuah persamaan baru, yaitu:
qps
qs
qs
q
s
qs
WL
WLL
WSEL
SEWL
SEWL
SEWW
)(
)(
)(
)(
(3.18)
Persamaan (3.9) dan persamaan (3.18) sering dikenal dengan istilah
Little’s Formula.
Teorema 3.2 Rumus Pollaczek-Khintchine
Misalkan merupakan suatu peubah acak maka rata-rata waktu
menunggu dalam antrian dapat dituliskan dengan rumus sebagai
berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
( )
( )
dengan λ merupakan rata-rata kedatangan pelanggan di sebuah sarana
pelayanan dan merupakan
, dengan merupakan rata-rata waktu
pelayanan.
Bukti:
Waktu pelayanan seorang pelanggan harus menunggu untuk dilayani
dapat dituliskan dengan cara berikut ini:
pelayanan
waktusisa
rata-rata
antrian
dalam
pelanggan
banyaknya
rata-rata
pelayanan
waktu
rata-rata
antrian dalam
menungguwaktu
rata-rata
Jika dituliskan dengan simbol maka persamaan di atas menjadi:
( ) ( ) (3.19)
dengan merupakan lama waktu pelayanan kepada pelanggan.
Tingkat kesibukan pelayan didapatkan dari rata-rata banyaknya
pelanggan dalam sistem dikurangi rata-rata banyaknya pelanggan
dalam antrian. Dari persamaan (3.9) dan persamaan (3.17) didapatkan
persamaan baru, yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
)( qs
qsqs
WW
WWLL
(3.20)
Dengan menggunakan persamaan (3.15) dan persamaan (3.20), maka
diperoleh:
1
qs LL
(3.21)
Probabilitas pelayan sibuk saat pelanggan datang sama dengan
tingkat kesibukan pelayan. Oleh karena itu, jika dituliskan dengan
simbol maka akan menjadi:
r(pelayan sibuk) (3.22)
Dengan menggunakan persamaan (3.9) maka didapatkan persamaan:
)(
)(
))((
))()((
)(
SEL
SEW
SEW
SETE
TE
WL
s
s
s
s
q
atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
)(SELL sq (3.23)
Bila persamaan (3.21) disubstitsikan ke persamaan (3.23), maka
persamaannya menjadi:
)(SE (3.24)
Dengan demikian tingkat kesibukan pelayan dapat ditentukan dengan
persamaan (3.24).
Dari persamaan (3.9), persamaan (3.22) dan persamaan (3.24)
maka persamaan (3.19) menjadi suatu persamaan baru, yaitu:
)1(
)(
)()1(
)(
)(
)()(
)()(
REW
REW
REWW
REW
RESEW
RESEWW
q
q
q
q
(3.25)
( )
Time
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Gambar 3.7. Waktu Pelayanan
Misalkan merupakan waktu menunggu (dalam antrian) untuk
pelanggan . merupakan banyaknya pelanggan dalam antrian dan
merupakan sisa waktu pelayanan oleh pelanggan .
Gambar 3.7 akan membantu memahami konsep sisa waktu pelayanan.
Gambar tersebut menunjukkan sisa waktu dalam antrian. ( )
merupakan sisa waktu pada saat . adalah waktu pelayanan dari
pelanggan . Jika pada waktu di mana sistem sedang kosong maka
didefinisikan ( ) sebagai banyaknya pelanggan yang telah dilayani
dan keluar dari sistem pada waktu .
Rata-rata sisa waktu pada interval , - adalah rata-rata nilai pada
sumbu dalam interval. Luas wilayah kurva dibagi dengan diberikan
oleh:
)(
)(
2
1
2
11)(
1
)(
1
2
)(
1
2
0
tM
S
t
tM
St
dttRt
tM
i
i
tM
i
i
t
Andaikan limit-limit yang besangkutan ada, maka persamaan menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
)(
lim)(lim
2
1)(
1lim
)(
1
2
0tM
S
tt
tM
tdttR
tt
tM
i
it
(3.26)
Selanjutnya diasumsikan bahwa sistem adalah periodik maka rata-rata
waktu dapat digantikan dengan rata-rata dari limit yang bersangkutan
dan definisinya adalah:
Rata-rata sisa waktu = ( ) , -
Jika rata-rata waktu adalah rata-rata jarak yang ditetapkan, maka:
( )
∫ ( )
(3.27)
Karena sistem adalah lossless (tidak ada pelanggan yang pergi) maka
jika banyaknya pelanggan tidak selalu bertambah, banyaknya antrian
cenderung sama dengan limitnya. Dapat dikatakan tingkat kepergian
harus sama dengan rata-rata kedatangan sehingga dapat didefinisikan
sebagai berikut:
( )
(3.28)
Berdasarkan persamaan (3.27) dan (3.28) didapatkan persamaan baru,
yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
2
)(
1
2
0
2
1)(
)(
lim)(lim
2
1)(
1lim
SERE
tM
S
tt
tM
tdttR
tt
tM
i
it
(3.29)
Dari persamaan (3.25), menggunakan persamaan (3.29) diperoleh:
)1(2
)(
)1(
2
)(
)1(
)(
2
2
SE
SE
REWq
Teorema 3.3 Ukuran-Ukuran Kinerja dengan Waktu Pelayanan
Berdistribusi Erlang dengan Pelayan Tunggal
Jika merupakan rata-rata laju kedatangan, merupakan rata-rata laju
pelayanan, dan merupakan banyaknya fase maka ukuran-ukuran
kinerja dengan waktu pelayanan distribusi Erlang adalah sebagai
berikut:
1. Rata-rata waktu menungggu dalam antrian ( ) adalah:
( )
( )
2. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian ( ) adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
( )
( )
3. Rata-rata waktu menungggu dalam sistem ( ) adalah:
( ) ( )
( )
4. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem ( ) adalah:
( ) ( )
( )
Bukti:
1. Berdasarkan Teorema 3.2 dan Teorema 2.17, maka didapatkan
persamaan:
k
k
k
k
k
k
k
SEWq
2
)1(
2
)1(
)1(2
)1(
)1(2
11
)1(2
)(
2
2
22
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
2. Berdasarkan persamaan (3.9), Teorema 3.2 dan Teorema 2.17,
maka didapatkan persamaan:
k
k
k
k
k
k
k
SE
WL qq
2
)1(
2
)1(
)1(2
)1(
)1(2
11
)1(2
)(
2
2
2
2
2
22
2
22
3. Berdasarkan persamaan (3.15) dan Teorema 3.3(1), maka
didapatkan persamaan:
k
k
k
k
WW qs
2
2)1(
1
2
)1(
1
4. Berdasarkan persamaan (3.18) dan Teorema 3.3(3), maka
didapatkan persamaan:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
k
k
k
WL ss
2
2)1(
2
2)1(
2
Contoh 3.4:
Perhatikan Contoh 3.3. Sarana pelayanannya tidak dapat menangani
lebih dari satu mobil setiap saat ini berarti fasenya hanya 1 ( ).
Pada bagian ini Contoh 3.1 akan dikerjakan ulang dengan waktu
pelayanan menggunakan distribusi Erlang, sehingga model antrian
menjadi ( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ ).
a) Penentuan rata-rata banyaknya mobil dalam antrian ( )
menggunakan Teorema 3.3(2), yaitu:
( )
( )
( )
( )
mobil / jam
Jadi, rata-rata banyaknya mobil dalam antrian ( ) adalah 1,33
mobil / jam atau dalam 3 jam terdapat 4 mobil yang mengantri.
b) Penentuan rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( )
menggunakan Teorema 3.3(1), yaitu:
( )
( )
( )
( )
jam 20 menit
Jadi, rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( ) adalah 20
menit.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
c) Penentuan rata-rata waktu menunggu dalam sistem ( )
menggunakan Teorema 3.3(3), yaitu:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
jam 30 menit
Jadi, rata-rata waktu menunggu dalam sistem ( ) adalah 30 menit.
d) Penentuan rata-rata banyaknya mobil dalam sistem ( )
menggunakan Teorema 3.3(4), yaitu:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
mobil / jam
Jadi, rata-rata banyaknya mobil dalam sistem ( ) adalah 2 mobil /
jam.
Pada saat fasenya satu maka antrian dengan distribusi Erlang
hasilnya akan sama dengan distribusi eksponensial.
Contoh 3.5:
Perbaikan suatu mesin bubut memerlukan 4 tahapan. Waktu yang
diperlukan untuk melaksanakan setiap tahapan mengikuti distribusi
eksponensial dengan suatu rata-rata sebesar 10 menit dan independen
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
atau bebas terhadap tahapan lainnya. Kerusakan mesin mengikuti
proses Poisson dengan rata-rata terjadi 3 kerusakan per jam. Apabila
hanya ada 1 tenaga mekanis dalam bengkel, berapa rata-rata waktu
menganggur dari mesin yang rusak untuk diperbaiki?
Penyelesaian:
Karena mesin bubut memerlukan 4 tahapan dalam perbaikan
mesin, maka banyak fasenya adalah 4 atau dan model
antriannya menjadi ( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ ). Waktu yang diperlukan
untuk melaksanakan setiap tahapan adalah 10 menit. Berati laju
pelayanannya () adalah :
laju pelayanannya() tahapan
menit tahapan
jam
Sedangkan dalam 1 jam terjadi 3 kerusakan mesin. Itu berarti laju
kerusakan mesin adalah:
( ) kerusakan
jam
Rata-rata waktu menanggur dari mesin yang rusak dapat diperoleh
dengan mencari rata-rata waktu mengantri mesin bubut dalam sistem
( ).
Permasalahan yang terjadi adalah menentukan rata-rata waktu
menganggur dari mesin yang rusak untuk diperbaiki.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Rata-rata waktu mengantri mesin bubut dalam sistem ( )
menggunakan persamaan (3.21) adalah:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
jam 47 5 menit
Jadi, rata-rata waktu menganggur dari mesin yang rusak untuk
diperbaiki adalah 47,5 menit.
Contoh 3.6:
Seorang penjahit memerlukan 1 hari penuh untuk menjahit 1 stel
pakaian. Kedatangan pelanggan mengikuti distribusi Poisson dengan
rata-rata kedatangan sebanyak 1 orang setiap 2 hari. Secara rata-rata
berapa lama seorang langganan diharapkan menunggu untuk dilayani
dalam antrian?
Penyelesaian:
Penjahit memerlukan 1 hari penuh untuk menjahit 1 stel pakaian.
Banyaknya tahapan dalam menjahit jumlahnya tidak tentu sehingga
fase yang diperlukan penjahit dalam menjahit 1 stel pakaian
diasumsikan 1 dan model antriannya
menjadi( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ ).
Laju pelayanannya () adalah 1 stel / hari. Rata-rata kedatangan
sebanyak 1 orang setiap 2 hari maka laju kedatangannya (λ) adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
laju kedatangan( ) orang
2 hari
orang
hari
Rata-rata seorang pelanggan menunggu untuk dilayani dalam antrian
( ) menggunakan persamaan (3.19) adalah
( )
( )
( )
( ) hari
Jadi, rata-rata seorang pelanggan menunggu untuk dilayani dalam
antrian ( ) adalah 1 hari.
Contoh 3.7:
Perhatikan Contoh 3.6 apabila jam kerja penjahit hanya mulai
pukul 09.00-18.00 atau 9 jam dan untuk menjahit 1 stel pakaian butuh
waktu 10 jam. Apabila seorang pelanggan memasukkan 1 stel pakaian
hari Senin pukul 09.00, pada hari apa dan jam berapa pakaian tersebut
diperkirakan selesai dijahit?
Penyelesaian:
Dari contoh sebelumnya didapatkan rata-rata seorang pelanggan
menunggu adalah 1 hari. Dalam hal ini 1 hari adalah 1 jam kerja atau 9
jam. Jadi, apabila seorang pelanggan memasukkan pakaian pukul
09.00 pada hari Senin maka pakaian tersebut baru mulai dijahit pada
hari Selasa pukul 9.00. Untuk menjahit 1 stel pakaian butuh waktu 10
jam. Berarti pakaian tersebut selesai dijahit pada pukul 10.00 hari
Rabu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Jadi, apabila seorang pelanggan memasukkan 1 stel pakaian hari
Senin pukul 09.00, pakaian tersebut diperkirakan selesai dijahit pada
hari Rabu pukul 10.00.
E. MODEL ANTRIAN DENGAN PELAYAN GANDA
Pada bagian sebelumnya telah dibahas ukuran-ukuran kinerja pada
model antrian berdistribusi Erlang dengan pelayan tunggal. Setelah ini
akan dibahas ukuran-ukuran kinerja pada model antrian berdistribusi
Erlang dengan pelayan ganda.
Teorema 3.4 Ukuran-Ukuran Kinerja dengan Waktu Pelayanan
Berdistribusi Erlang dengan Pelayan Ganda
Jika merupakan rata-rata laju kedatangan, merupakan rata-rata laju
pelayanan, merupakan banyaknya fase, dan merupakan banyaknya
pelayan maka ukuran-ukuran kinerja dengan waktu pelayanan distribusi
Erlang adalah sebagai berikut:
1. Rata-rata waktu menungggu dalam antrian ( ) adalah:
ssk
kWq
2
)1(
2. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian ( ) adalah:
ssk
kLq
2
2
)1(
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
3. Rata-rata waktu menungggu dalam sistem ( ) adalah:
sssk
kWs
1
2
)1(
4. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem ( ) adalah:
sssk
kLs
2
2
)1(
Bukti:
Perlu diingat bahwa ( ) merupakan probabilitas ada pelanggan
dalam fase dalam sistem pada waktu . Misalkan ( ) adalah
probabilitas ada pelanggan dalam sistem pada waktu ( ). ( )
dan ( ) adalah probabilitas ada dan pelanggan dalam
sistem secara berturut-turut.
Persamaan probabilitas Steady-State dituliskan sebagai berikut:
0;0)()(
0;0)()()()(
10
1
nttPksttP
nttPttPksttPks knnn
(3.30)
dengan meruapakan rata-rata kedatangan dan meruapakan rata-rata
pelayanan.
Jika nn ttP )( maka persamaan (3.30) dapat dituliskan sebagai berikut:
0;0)( 1 nksks knnn (3.31)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
0;010 nks (3.32)
Misalkan
maka persamaan (3.31) dan (3.32) menjadi:
0;0)( 1 nksksksks knnn
0;010 nksks
(3.33)
(3.34)
Apabila persamaan (3.33) dan (3.34) masing-masing dibagi dengan ks
maka persamaannya menjadi:
1;)1(
0;0)1(
1
1
n
n
knnn
knnn
(3.35)
dan
0;
0;0
01
10
n
n
(3.36)
Misalkan:
( ) ∑
y
(3.37)
Apabila persamaan (3.35) dikalikan dengan ∑ maka persamaannya
menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
kn
n
n
n
n
n
n
n
n yyy
1
1
11
)1(
(3.38)
Apabila kedua ruas pada persamaan (3.38) ditambahkan dengan maka
persamaannya menjadi:
kn
n
n
n
n
n
n
n
n yyy
1
1
1
11
1
)1(
(3.39)
Dari persamaan (3.36) dan (3.39) didapatkan persamaan baru, yaitu;
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
00
1
1)1(
)1(
)1(
)1(
)1(
n
n
n
kn
kn
n
n
n
n
n
n
n
kn
n
n
n
n
n
n
n
n
kn
n
n
n
n
n
n
n
n
kn
n
n
n
n
n
kn
n
n
n
n
n
n
n
n
yy
yy
y
yyy
yyy
yyy
yyy
(3.40)
Karena maka untuk , diperoleh dengan cara berikut;
0
0
0
0
0
10
0
0
1)1(
1;;1
)1(
i
i
i
m
nm
mk
n
n
n
i
i
i
m
nm
km
n
n
n
yy
yyy
inmknyy
yy
(3.41)
Berdasarkan persamaan (3.37) maka persamaan (3.41) menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
)1())1()1()((
)1()1)((
)1()1)1)(((
)()()()1(
1)(
1)()()1(
1)(
1)()()1(
)(1
)()()1(
0
0
1
0
1
00
1
00
00
00
yyyyyG
yyyyyG
yyyyG
yyGyGyyyG
yyG
yyGyyG
yyG
yyGyyG
yGy
yGyyG
k
k
k
k
k
k
k
1||;
1
)1(1
1)(
1
)1(1
)(
11
)1()(
11
)1()1(
)1()(
))1()1((
)1()(
0
0
0
0
0
y
y
yyyG
y
yyyG
y
yyyG
y
yyy
yyG
yyy
yyG
k
k
k
k
k
(3.42)
Persamaan (3.42) merupakan dari deret Geometri dengan dan
.
/ sehingga apabila dideretkan persamaannya menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
0
0
3
3
2
2
1
1)(
...1
1)(
1
1)(1)(
n
nk
n
kk
y
yy
y
yy
y
yyyG
(3.43)
Oleh karena itu berdasarkan persamaan (3.43) maka:
0
2
0
0
12
0
)...(
)...1()()(
n
nkn
n
nkn
yyy
yyyyyG
(3.44)
Misalkan maka persamaan (3.44) menjadi:
k
k
G
yyyyG
n
nn
n
nkn
n
nkn
1
1
)1...11()1(
)...()(
0
0
0
0
2
0
0
2
0
(3.45)
Pada persamaan (3.37) apabila maka persamaannya menjadi:
0
)1(n
nG
(3.46)
Karena n merupakan fungsi probabilitas maka menurut Definisi 2.6
menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
1)1(0
n
nG
(3.47)
Oleh karena itu, persamaan (3.45) menjadi;
k
k
1
1
11
0
0
(3.48)
Berdasarkan persamaan (3.48) maka persamaan (3.44) menjadi:
n
n
nkn
n
nk
n
yyyk
y
yykyG
)1(1)()1(
1
1)()1()(
0
0
(3.49)
Menggunakan rumus Binomial Newton maka persamaan (3.49) menjadi:
0 0 0
1
0
2
0
1
00
)1()1(
1)1(;)1()()1()(
n z i
nzki
i
in
z
nzn
n
n
n
i
i
i
i
in
z
zk
z
nz
n
n
yCCky
yCyCykyG
(3.50)
Apabila pada persamaan (3.50) kedua ruas dibagi dengan ∑ maka
peramaannya menjadi:
0
1)1()1(n
i
in
z
nzn
n CCk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
(3.51)
Rata-rata banyaknya fase dalam sistem dapat dituliskan dalam persamaan
berikut:
( ) ∑
(3.52)
Untuk menentukan rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem maka
perlu mempertimbangkan persamaan (3.35). Dengan mengalikan kedua
ruas dengan ∑ pada persamaan (3.35) maka terdapat persamaan
baru, yaitu:
1 1
1
222
1 1
1
2
1
22
)1(
)1(
n n
n
kn
knn
n n
n
n
knn
nnn
nnn
(3.53)
Jika dan maka persamaan (3.53) ruas kanannya
menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
)1(2
)1(
)1(2
)1(
)1()1(2
)1()1(21
)1()1(21
)1()1(21
)1()22(
)21()2(
)1()(
)1()(
)1()()1(
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
00
2
0
0
2
00
2
0
0
22
0
0
222
0
0
222
0
0
22
0
0
2
0
2
1 1
2
0
22
k
kn
k
km
kmk
kmkm
kmkm
kkmm
kmmkmm
mmmkkm
mkm
mkm
mkmn
n
n
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
n
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
n m
m
m
mn
(3.54)
Berdasarkan persamaan (3.54) dan persamaan (3.49) maka persamaan
(3.52) menjadi:
)1(2
)(
)1(2
)1()1(
)1(2
)1()(
2
2
0
2
k
kk
k
kk
k
kkLs
(3.55)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
Jika
ks maka persamaan (3.55) menjadi:
s
k
s
s
ks
kk
ss
s
kskk
kks
kskk
k
kk
k
kk
k
kkkLs
2
)1(
2
)1(
2
)1(
12
)1(
)1(2
)1(
)1(2
)1(
)1(2
)()(
2
(3.56)
Rata-rata banyaknya fase . ( )/ dalam antrian diperoleh dengan cara
berikut ini:
( ) ( )
(3.57)
Berdasarkan persamaan (3.56) maka persamaan (3.57) menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
ss
k
ss
kkLq
2
)1(
1
2
)1()(
(3.58)
Rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian ( ) dapat ditentukan
dengan cara berikut ini:
( ) (rata rata banyaknya fase dalam pelayan)
(3.59)
Menggunakan persamaan (3.56) maka persamaan (3.59) menjadi:
ssk
k
ks
k
s
kLq
2
2
)1(
1
2
)1(
2
)1(
(3.60)
Rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( ) menggunakan persamaan
(3.18) yaitu:
ssk
k
ssk
k
LW
q
q
2
)1(
1
2
)1( 2
(3.61)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
Rata-rata waktu menunggu dalam sistem ( ) menggunakan persamaan
(3.14) yaitu:
sssk
k
sWW qs
1
2
)1(
1
(3.62)
Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem ( ) menggunakan
persamaan (3.9) yaitu:
sssk
k
WL ss
2
2
)1(
F. MODEL BIAYA
Pada bagian ini akan diperlihatkan model biaya pada sebuah
antrian. Model biaya ini berkaitan dengan penentuann laju pelayanan
optimum. Secara umum model biaya mencoba menyeimbangkan dua
biaya yang saling bertentangan.
1. Biaya dari kenaikan tingkat pelayanan
2. Biaya dari keterlambatan dalam penawaran pelayanan (biaya
menunggu)
Dua jenis biaya di atas saling bertentangan karena menaikkan salah
satunya akan mengakibatkan penurunan yang lainnya. Apabila jumlah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
pelayan ditambah maka waktu pelanggan untuk menunggu akan semakin
berkurang. Tetapi, apabila jumlah pelayan ditambah maka biaya untuk
yang harus dikeluarkan untuk menggaji pelayan juga bertambah.
Sangat sulit menyatakan secara eksplisit biaya menunggu per unit
waktu. Namun, biaya menunggu dapat diduga secara sederhana sebagai
biaya kehilangan keuntungan bagi pengusaha atau biaya turunnya
produktivitas bagi para pelanggan.
Biaya optimal dapat ditentukan dengan mencari jumlah pelayan
dengan biaya total yang paling minimum. Misalkan ( atau )
menyatakan tingkat pelayanan, model biaya dapat distuliskan sebagai
berikut:
(
total biaya
yang
diperkirakan per
satuan aktu
)
(
biaya yang
diperkirakan untuk
pengoperasian
sarana tersebut
per satuan aktu )
(
biaya tunggu
yang
diperkirakan per
satuan aktu
)
Jika dituliskan dengan simbol, persamannya menjadi:
( ) ( ) ( ) (3.63)
Dengan kata lain, biaya optimal dapat dicari dengan meminimumkan
( ) ( ) ( ).
Bentuk sederhana dari EOC dan EWC, yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
(
biaya yang
diperkirakan untuk
pengoperasian
sarana tersebut
per satuan aktu )
(
biaya
satuan aktu
per unit
) (lama
*
atau
( ) (3.64)
dan
(
biaya tunggu
yang
diperkirakan per
satuan aktu
)
(
)
(
)
atau
( ) (3.65)
Berdasarkan persamaan (3.64) dan (3.65) maka persamaan (3.63) menjadi:
( ) (3.66)
Untuk mencari jumlah pelayan optimum, dalam hal ini .
Didefiniskan untuk memperoleh pelayan optimum maka harus
memenuhi kondisi berikut ini:
( ) ( ) (3.67)
dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
( ) ( ) (3.68)
Dengan mensubstitusikan persamaan (3.63) ke persamaan (3.67) maka
persamaannya menjadi:
)()()1()1(
)()1(
cEWCcEOCcEWCcEOC
cETCcETC
(3.69)
Berdasarkan persamaan (3.66) maka persamaan (3.69) menjadi:
)()1(
)1()()1(
)1()()1(
)1()()1(
)()1()1(
)()1()1(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2121
cLcLC
C
cLcLC
C
cLcLccC
C
cLcLcC
Cc
C
C
cLcC
CcLc
C
C
cLCcCcLCcC
ss
ss
ss
ss
ss
ss
(3.70)
Dengan mensubstitusikan persamaan (3.63) ke persamaan (3.68) maka
persamaannya menjadi:
)1()1()()(
)1()(
cEWCcEOCcEWCcEOC
cETCcETC
(3.71)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
Berdasarkan persamaan (3.66) maka persamaan (3.71) menjadi:
)1()(
)()1()1(
)()1()1(
)()1()1()(
)1()1()()(
)1()1()()(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2121
cLcLC
C
cLcLC
C
cLcLccC
C
cLcLcC
Cc
C
C
cLcC
CcLc
C
C
cLCcCcLCcC
ss
ss
ss
ss
ss
ss
(3.72)
Dari persamaan (3.70) dan (3.72) diperoleh persamaan baru, yaitu:
( ) ( )
( ) ( )
(3.73)
Persamaan (3.73) menunjukkan bahwa sistem dalam keadaan stabil yaitu
keadaan dimana biaya menunggu dan biaya pelayanan seimbang.
Contoh 3.8:
Perusahaan percetakan X sedang mempertimbangkan untuk
membeli sebuah mesin cetak berkecepatan tinggi. Empat model dengan
spesifikasinya dituliskan dalam tabel di bawah ini:
Tabel 3.3 Spesifikasi perusahaan percetakan X
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
Jenis
Mesin
biaya
operasi kecepatan
(Rp/jam) (lembar/menit)
1 150.00 30
2 200.00 36
3 240.000 50
4 270.000 66
Pekerjaan tiba di perusahaan mengikuti distribusi Poisson dengan
rata-rata 4 pekerjann setiap 24 jam. Ukuran pekerjaan adalah acak tetapi
rata-rata 10.000 lembar per pekerjaan. Perjanjian dengan pelanggan
merinci biaya penalty dari keterlambatan pengiriman Rp 800.000 per
pekerjaan per hari. Jenis mesin mana yang harus dipilih perusahaan X?
Laju pelayanan optimum dapat diperoleh dengan membandingkan
biaya total yang bersesuaian. Dengan diketahui laju kedatangan (λ) 4
pekerjaan setiap 24 jam, maka langkah pertama adalah mencari laju
pelayanan dari masing-masing jenis mesin. Laju pelayanan dari masing-
masing jenis mesin dituliskan dalam tabel berikut ini:
Tabel 3.4 Laju Pelayanan Mesin Perusahaan Percetakan X
Jenis Kecepatan
Ls
Mesin (lembar/hari) (pekerjaan/hari)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
1 43200 4.32 4 12.5
2 51840 5.18 4 3.39
3 72000 7.2 4 1.25
4 95040 9.5 4 0.73
Penentuan biaya total berkaitan dengan masing-masing jenis
mesin. Dengan menggunakan satu hari 24 jam untuk mewakili unit waktu
dan misalkan i menyatakan jenis model ( ), maka total biaya
yang diperkirakan per hari dengan mesin i adalah:
sii LCC
EWCEOCETC
21 24.
)24()24()24(
Karena Contoh 3.6 merupakan model antrian (M / M / 1) : (GD / / )
maka untuk mencari menggunakan persamaan 3.4.
Total biaya yang diperkirakan per hari dengan mesin i juga dituliskan
dalam tabel di bawah ini:
Tabel 3.5 Total biaya yang duperkirakan perusahaan percetakan X
Jenis
Mesin EOC (Rp) EWC (Rp) ETC (Rp)
1 3.600.000 10.000.000 13.600.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
2 4.800.000 2.712.000 7.512.000
3 5.760.000 1.000.000 6.760.000
4 6.480.000 584.000 7.064.000
Karena total biaya yang diperkirakan per hari terendah dicapai oleh
mesin ke-3 maka perusahaan X harusnya memilih mesin ke-3.
Contoh 3.9:
Dalam sebuah toko roti, pelanggan tiba sesuai distribusi Poisson
dengan rata-rata 17,5 pelanggan / jam. Waktu untuk melayani
pelanggan mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 10
pelanggan / jam. Biaya penambahan seorang pelayan baru
diperkirakan Rp 10.000 / jam. Biaya tambahan produksi yang
diperkirakan Rp 50.000 / jam. Apakah toko tersebut harus menambah
pegawai baru untuk melayani pelanggannya?
Penyelesaian:
Berati laju pelayanannya () adalah : 10 pelanggan / jam
Sedangkan laju kedatangannya ( ) adalah: 17,5 pelanggan / jam
dan sehingga
Tabel 3.6 Waktu Menunggu dalam Sistem dan Rata-rata
Banyaknya Pelanggan dalam Sistem
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
Pelayan ( )
1 -2,33
2 7,47
3 2,22
4 1,84
5 1,77
6 1,75
Tabel 3.7 Perhitungan Jumlah Pelayan Optimum
Pelayan ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 - -
2 - 5,25
3 5,25 0,38
4 0,38 0,07
5 0,07 0,01
Dari tabel 3.7 terihat bahwa . Jadi seharusnya jumlah pelayan
optimum pada kasus di atas adalah 4 pelayan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
BAB IV
MODEL ANTRIAN BEBERAPA FASE
PADA RSUD GUNUNG JATI CIREBON
Pada bab ini akan dibahas suatu masalah real yang memiliki situasi antrian
dengan beberapa fase. Tujuan pada bab ini adalah untuk melakukan analisis
terhadap ukuran-ukuran kinerja sistem yang selanjutnya akan dipergunakan untuk
menentukan jumlah pelayan optimum yang dapat menyeimbangkan biaya dan
waktu tunggu.
Rumah Sakit sebagai sarana pelayanan kesehatan yang semula hanya
melaksanakan upaya penyembuhan dan pemulihan, kini juga melaksanakan upaya
peningkatan mutu terhadap Rumah Sakit itu sendiri. Rumah Sakit yang akan
dijadikan obyek dalam permasalahan ini adalah Rumah Sakit Umum Daerah
Gunung Jati Cirebon. Data dari Rumah Sakit ini diperoleh dari Tesis Mahasiswa
Universitas Indonesia yaitu Seno Soebagio Surjaningrat. Masalah pokok yag
dihadapi Rumah Sakit tersebut diantaranya adalah layanan yang diberikan pada
umunya kurang memuaskan bagi masyarakat dan bagi pihak rumah sakit sendiri
adalah keterbatasan dana untuk menambah fasilitas.
Salah satu instalasi yang menyerap biaya operasional besar adalah
Instalasi Farmasi. Tugas Instalasi Farmasi Rumah Sakit adalah merencanakan,
mengatur, dan melayani kebutuhan bahan farmasi. Bagian terdepan dari Instalasi
Farmasi adalah apotek. Apotek berhubungan langsung dengan fungsi pelayanan
terhadap pasien. Pasien mendapatkan pelayanan di bagian apotek melalui proses
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
antrian. Sebelum mendapatkan pelayanan di apotek, pasien juga sudah melalui
berbagai antrian mulai dari pada saat datang pada bagian pendaftaran, di bagian
poliklinik, ataupun bagian penunjang medis lain seperti laboratorium, radiologi,
dll. Hal ini bisa menimbulkan rasa jenuh maupun stres bagi pasien karena harus
menghabiskan waktu yang begitu lama pada suau proses pengobatan yang
dibutuhkannya.
Pasien ataupun keluarga pasien tidak sabar meluangkan waktu ke apotek
karena kelelahan dengan pelayanan yang mereka alami sebelumnya. Selain itu,
mereka juga merasa putus asa melihat pelayanan apotek yang biasanya antrianya
sangat panjang. Akibatnya, mereka memilih untuk meninggalkan apotek rumah
sakit dan mencari apotek lain yang lebih sedikit atau bahkan tidak ada antriannya
sama sekali. Keadaan ini tentu sangat merugikan bagi pihak rumah sakit. Karena
hal tersebut perlu adanya gambaran tentang karakteristik dalam sistem antrian dan
mencari model terbaik untuk pelayanan resep obat dalam apotek tersebut.
Di bawah ini merupakan alur resep pada apotek RSUD Gunung Jati Cirebon:
Gambar 4.1 Alur Resep pada Apotek RSUD Gunung Jati Cirebon
Keterangan alur resep pada apotek RSUD Gunung Jati Cirebon:
1. Resep
Resep Pengecekan Pengemasan Etiket Obat jadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
Resep obat yang ditulis oleh dokter dan dipergunakan untuk mengambil
obat di apotek.
2. Etiket
Pemberian etiket obat sesuai dengan permintaan yang tertera dalam resep
yang kemudian diberikan ke pasien untuk kemudian dilanjutkan dan
diberikan ke bagian pengemasan obat.
3. Pengemasan
Pengemasan obat dimana obat sesuai resep dicari dan dikemas sesuai
etiket.
4. Pengecekan
Pengecekan akhir untuk mengetahui kesesuaian antara resep, etiket, dan
obat yang akan diberikan. Selain itu, di bagian ini dibuat kwitansi resep
ataupun salinan resep apabila dibutuhkan oleh pasien.
5. Obat jadi
Obat siap diserahkan kepada pasien.
Data kedatangan resep dan pelayanan resep ke dalam antrian pada RSUD Gunung
Jati Cirebon dapat dilihat pada lampiran 1.
Selanjutnya adalah mencari rata-rata kedatangan resep. Data rata-rata kedatangan
resep dapat dilihat pada lampiran 2.
Sebelum melakukan penghitungan ukuran-ukuran kinerja maka terlebih
dahulu data pada lampiran 2 diuji distribusinya. Data pada lampiran 2 akan diuji
apakah datanya berdistribusi Poisson.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
1. H0 : data berdistribusi Poissson
H1 :data tidak berdistribusi Poisson
2. Tingkat signifikasi ( )
3. Daerah penolakan :
Asymp. Sig. (2-tailed)< maka H0 ditolak.
Tabel 4.1 Hasil SPSS Jarak Antar Kedatangan
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
Datang
N 3
Poisson Parametera,,b
Mean 8.6667
Most Extreme
Differences
Absolute .369
Positive .369
Negative -.364
Kolmogorov-Smirnov Z .639
Asymp. Sig. (2-tailed) .809
a. Test distribution is Poisson.
b. Calculated from data.
4. Dari hasil uji One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test di atas tampak
bahwa nilai Asymp. Sig. (2-tailed) adalah 0,809.
Asymp. Sig. (2-tailed) = 0,809
= 0,05
Jadi, Asymp. Sig. (2-tailed)> . Dengan demikian berarti H0 diterima dan
H1 ditolak. Jadi, dapat disimpulkan data berdistribusi Poisson.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
Karena datanya berdistribusi Poisson maka dapat disimpulkan bahwa kedatangan
berdistribusi Poisson.
Pada bagian selanjutnya akan ditunjukkan bahwa waktu pelayanan pada lampiran
3 berdistribusi eksponensial. Pengujian dilakukan pada masing-masing tahap.
Untuk waktu pelayanan bagian etiket
1. H0 : data berdistribusi eksponensial
H1 :data tidak berdistribusi eksponensial
2. Tingkat signifikasi ( )
3. Daerah penolakan :
Asymp. Sig. (2-tailed)< maka H0 ditolak.
Tabel 4.2 Hasil SPSS Etiket
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
ETIKET
N 24
Exponential
parameter.a,,b
Mean 6.9583
Most Extreme
Differences
Absolute .142
Positive .074
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
Negative -.142
Kolmogorov-Smirnov Z .695
Asymp. Sig. (2-tailed) .719
a. Test Distribution is Exponential.
b. Calculated from data.
4. Dari hasil uji One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test di atas tampak
bahwa nilai Asymp. Sig. (2-tailed) adalah 0,719.
Asymp. Sig. (2-tailed) = 0,719
= 0,05
Jadi, Asymp. Sig. (2-tailed)> . Dengan demikian berarti H0 diterima dan
H1 ditolak. Jadi, dapat disimpulkan data berdistribusi eksponensial.
Untuk waktu pelayanan bagian kemas
1. H0 : data berdistribusi eksponensial
H1 :data tidak berdistribusi eksponensial
2. Tingkat signifikasi ( )
3. Daerah penolakan :
Asymp. Sig. (2-tailed)< maka H0 ditolak.
Tabel 4.3 Hasil SPSS Pengemasan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
KEMAS
N 20
Exponential
parameter.a,,b
Mean 7.0000
Most Extreme
Differences
Absolute .299
Positive .140
Negative -.299
Kolmogorov-Smirnov Z 1.335
Asymp. Sig. (2-tailed) .057
a. Test Distribution is Exponential.
b. Calculated from data.
4. Dari hasil uji One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test di atas tampak
bahwa nilai Asymp. Sig. (2-tailed) adalah 0,057.
Asymp. Sig. (2-tailed) = 0,057
= 0,05
Jadi, Asymp. Sig. (2-tailed)> . Dengan demikian berarti H0 diterima dan
H1 ditolak. Jadi, dapat disimpulkan data berdistribusi eksponensial.
Untuk waktu pelayanan bagian pengecekan
1. H0 : data berdistribusi eksponensial
H1 :data tidak berdistribusi eksponensial
2. Tingkat signifikasi ( )
3. Daerah penolakan :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
Asymp. Sig. (2-tailed)< maka H0 ditolak.
Tabel 4.4 Hasil SPSS Pengecekan
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
PENGECEKAN
N 24
Exponential
parameter.a,,b
Mean 6.8750
Most Extreme
Differences
Absolute .233
Positive .104
Negative -.233
Kolmogorov-Smirnov Z 1.140
Asymp. Sig. (2-tailed) .148
a. Test Distribution is Exponential.
b. Calculated from data.
4. Dari hasil uji One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test di atas tampak
bahwa nilai Asymp. Sig. (2-tailed) adalah 0,148.
Asymp. Sig. (2-tailed) = 0,148
= 0,05
Jadi, Asymp. Sig. (2-tailed)> . Dengan demikian berarti H0 diterima dan
H1 ditolak. Jadi, dapat disimpulkan data berdistribusi eksponensial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
Dari pengujian yang dilakukan pada masing-masing tahap etiket,
pengemasan, dan pengecekan datanya berdistribusi eksponensial semua. Hal ini
berarti waktu pelayanan berdistribusi eksponensial. Dengan demikian telah
terbukti jika waktu antar kedatngan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanannya
berdistribusi eksponensial.
Dari permasalahan yang telah dipaparkan di depan dikethui bahwa tahap
pelayanan resep terdiri dari 3 tahap , yaitu etiket, pengemasan, dan penecekan,
sehingga didapatkan .
Dari tabel di atas diperoleh rata-rata kedatangan resep setiap 7 menit sekali,
sehingga laju kedatangan ( ) 26 resep
3 jam
resepjam⁄
Sedangkan waktu yang diperlukan untuk melakukan masing-masing tahapan rata-
rata sebesar 6 menit, sehingga laju pelayanan ( ) 1 resep
6 menit 10resep
jam⁄
Pada awal permasalahan juga sudah dijelaskan bahwa akan dicari
gambaran tentang karakteristik dalam sistem antrian. Gambaran tentang
karakteristik meliputi ukuran-ukuran kinerja. Pada bagian selanjutnya akan dicari
ukuran-ukuran kinerja pada antrian resep tersebut.
Selanjutnya dicari ukuran-ukuran kinerja, yaitu:
1. Rata-rata waktu menungggu dalam antrian ( ) adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
117
( )
( )
( )
( )
Jadi, rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( ) adalah 0,4 jam.
2. Rata-rata banyaknya resep dalam antrian ( ) adalah:
( )
( )
( ) ( )
( )
Jadi, rata-rata banyaknya resep dalam antrian ( ) adalah 3,43 resep.
3. Rata-rata waktu menungggu dalam sistem ( ) adalah:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
Jadi, rata-rata waktu menungggu dalam sistem ( ) adalah 0,43 jam.
4. Rata-rata banyaknya resep dalam sistem ( ) adalah:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
Jadi, rata-rata banyaknya resep dalam sistem ( ) adalah 3,71 resep.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
118
Dari ukuran-ukuran kinerja di atas terlihat bahwa waktu menunggu dalam
antrian maupun waktu menunggu dalam sistem sangat lama. Hal ini tentu tidak
baik untuk Rumah sakit apabila pasien pindah ke apotek lain. Langkah
selanjutnya adalah menghitung ukuran-ukran kinerja sistem apabila jumlah
pelayan ditambah. Berikut ini adalah ukuran-ukuran kenrjanya yang meliputi rata-
rata waktu menunggu dalam sistem dan rata-rata banyaknya resep dalam sistem ,
yaitu:
Tabel 4.5 Waktu Menunggu dalam Sistem dan Rata-rata Banyaknya Resep dalam
Sistem
Pelayan ( )
1 0,43 3,71
2 0,075 0,6
3 0,042 0,3
4 0,029 0,2
Diasumsikan rata-rata pendapatan kerja karyawan tiap bulan adalah Rp
1.500.00,00. Diasumsikan juga rata-rata kerja adalah 30 hari/ bulan dan rata-rata
waktu kerja adalah 7 jam kerja. Sehinngga diperoleh:
Rata-rata pendapatan karyawan / jam ( )
( ) .
Biaya menunggu yang dimaksud dalam kasus ini adalah biaya yang dikeluarkan
pihak rumah sakit yang besarnya Rp 7142,86 / jam.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
119
Rincian biaya penambahan seorang karyawan:
Gaji karyawan baru : Rp 1.000.000,00. Sehinngga rata-rata biaya / jam untuk 1
karyawan baru adalah ( )
( ) .
Maka diperoleh:
Untuk memperoleh jumlah pelayan optimum yang mengoptimalkan biaya maka
harus memenuhi kondisi padapersamaan(3.71), yaitu:
( ) ( )
( ) ( )
Penentuan jumlah pelayan dapat dilihat dalam perhitungan pada tabel berikut ini:
Tabel 4.6 Perhitungan Jumlah Pelayan Optimum
Pelayan ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 3,11 -
2 0,3 3,11
3 0,1 0,3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
120
Dari tabel 4.8 terihat bahwa . Jadi seharusnya jumlah pelayan
optimum pada kasus di atas adalah 2 pelayan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
121
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Pada kehidupan sehari-hari sering ditemukan istilah antrian.
Antrian merupakan proses saling menunggu giliran untuk menerima
pelayanan. Antrian yang terlalu lama dan sangat panjang tentu akan sangat
merugikan bagi pelanggan maupun pelayan dalam antrian tersebut.
Apabila jumlah pelayan ditambah tentu akan menambah biaya yang lebih
besar dari sebelumnya. Tetapi, apabila jumlah pelayan tidak ditambah
maka antrian dapat terjadi dalam waktu yang lama yang akhirnya dapat
menyebabkan pelayananan menjadi tertunda dan tidak optimal. Dampak
yang lebih buruk dari antrian yang terlalu panjang dan lama adalah
hilangnya pelanggan. Mengingat bahwa antrian yang terlalu panjang dan
lama dapat merugikan bagi pelanggan maupun bagi pelayan, maka perlu
dilakukan penentuan jumlah pelayan yang sesuai dengan tingkat
kedatangan.
Kedatangan pelanggan dapat dipelajari
karakteristiknya.Karakteristik-karakteristik kedatangan dapat terwakilkan
dengan adanya distribusi. Distribusi yang dapat mewakili adalah distribusi
Poisson karena karakteristik-karakteristik tersebut juga mirip dengan
karakteristik-karakteristik yang dimiliki oleh distribusi Poisson.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
122
Tidak hanya kedatangan saja yang dapat dipelajari karakteristik-
karakteristiknya. Waktu pelayanan dalam sebuah antrian juga dapat
dipelajari karakteristiknya. Beberapa distribusi yang dapat mewakili waktu
pelayanan adalah distribusi eksponensial dan distribusi Erlang. Jika pada
model antrian berdistribusi eksponensial banyaknya fase hanya satu
sedangkan pada model antrian berdistribusi Erlang banyaknya fase dalam
model antrian jumlahnya dapat berhingga dan tak berhingga.Pada tulisan
ini waktu pelayanannya berdistribusi Erlang.
Penentuan jumlah pelayan yang optimal merupakan hal yang
sangat penting dalam analisis sistem antrian. Kelebihan jumlah pelayan
tentu akan menambah biaya operasional. Sedangkan kekurangan pelayan
akan mengakibatkan hilangnya pelanggan. Sehingga jumlah pelayan yang
optimal adalah hal yang sangat penting, terlebih untuk menyeimbangkan
biaya.
Untuk menentukan jumlah pelayan yang optimal perlu adanya
ukuran-ukuran kinerja sistem. Ukuran-ukuran kinerja sistem meliputi rata-
rata banyaknya pelanggan dalam sistem, rata-rata banyaknya pelanggan
dalam antrian, rata-rata waktu menunggu dalam sistem, dan rata-rata
waktu menungggu dalam antrian.
Dalam menentukan jumlah pelayan perlu mempertimbangkan
model biaya. Apabila jumlah pelayan ditambah maka waktu pelanggan
untuk menunggu akan semakin berkurang. Tetapi, apabila jumlah pelayan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
123
ditambah maka biaya untuk yang harus dikeluarkan untuk menggaji
pelayan juga bertambah.
Pada penerapan antrian di RSUD Gunung Jati banyaknaya fase ada
tiga, yaitu: etiket, pengemasan, dan pengecekan. Waktu pelayanan pada
masing-masing fase sama sehingga waktu pelayanannya berdistribusi
Erlang. Jumlah pelayan yang diperoleh belum optimal dan waktu tunggu
masih lama. Dengan menggunakan model biaya jumlah pelayan pada
masing-masing tahap adalah dua orang. Penambahan pelayan ini juga
dapat mengurangi waktu tunggu.
B. Saran
Beberapa hal yang perlu dipertimbangkan untuk penyempurnaan
antara lain yaitu model-model antrian dalam tulisan ini hanya mencakup
model antrian dengan waktu pelayanan yang sama pada masing-masing
tahap. Model antrian dengan waktu pelayanan yang berbeda pada masing-
masing tahap memungkinkan untuk dipelajari lebih lanjut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
124
DAFTAR PUSTAKA
Bain, Lee J. & Max Engelhardt. 1992. Introduction to Probability and
Mathematical Statistics. Second edition. Canada: Nelson
Education, Ltd.
Bronson, Richard. 1983. Teori dan Soal-soal Operations Research.
Jakarta: Erlangga.
Bronson, Richard. 2005. Probability and Statistics for Engineers. Seventh
edition. United State: Pearson Education, Inc.
Daniel, Wayne W. 1990. Applied Nonparametric Statistics. Second
edition. Canada: Thomson Learning, Inc.
Dennis D., William Mendenhall III, & Richard L. Scheaffer. 2008.
Mathematical Statistics with Aplication. Seventh edition. United
State: Thomson Learning, Inc.
Ekpenyong, Emmanuel John & N. Sunday Udoh. Analysis of Multi-Server
Single Queue System with Multiple Phases. The Journals of
Operational Research Society. Vol. VII. No. 2. pp305-314.
Gross, Donald, John F. Shortle, James M. Thompson, & Carl M. Harris.
2008. Fundamental of Queueing Theory. Fourth Edition. New
Jersey: John Wiley & Sons, Inc.
Hamdy, A. Taha. 2007. Operation Research : An Introduction. Eighth
edition. New Jersey: Pearson Education, Inc.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
125
Hillier, Frederick S. & Gerald J. Liberman. 2001. Introduction to
Operation Research. Seventh edition. New York: McGraw –
Hill, Inc.
Hines, William W. & Douglas C. Montgomery. 1990. Probabilita dan
Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen. Edisi Kedua.
Jakarta: UI-Press.
H., Rieske & Sapto W. I. 2003. Proses Stokastik. Bandung: ITB.
Papoulis, Anthanasios. 1992. Probabilitas Variabel Random dan Proses
Stokastik. Edisi Kedua. Yogyakarta: UGM-Press.
Subagyo P. , M. Asri, & Hani Handoko. 1992. Riset Operasi. Edisi kedua.
Yogyakarta: BPFE.
Supranto, J. 1988. Riset Operasi untuk Pengambilan Keputusan. Edisi
pertama. Jakarta: UI – Press.
Tjims, Henk C. 2003. A First Course in Stochastic Models. England: John
Wiley & Sons, Ltd.
Walpole, R. E. 1990. Pengantar Statistika. Edisi ketiga. Jakarta:
Gramedia.
Walpole, R. E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, & Keying Ye.
2012. Probability & Statistics for Engineers & Scientists. Ninth
edition. Boston: Pearson Education, Inc.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
126
Lampiran 1
pelanggan
ke-
waktu tiba resep
etiket Pengemasan Pengecekan
Obat
jadi
1 9:24 9:25 9:28 9:36
2 9:35 9:36 9:39 9:44
3 9:41 9:42 9:45 9:46
4 10:00 10:01 10:05 10:13
5 10:05 10:06 10:09 10:16
6 10:09 10:12 10:19 10:21
7 10:25 10:30 10:32 10:35
8 10:35 10:38 10:41 10:47
9 10:39 10:42 10:46 11:00
10 10:45 10:56 11:11 11:18
11 10:50 11:06 11:16 11:20
12 10:55 11:07 11:17 11:23
13 11:00 11:18 11:26 11:40
14 11:05 11:24 11:32 11:41
15 11:23 11:36 11:40 11:42
16 11:29 11:35 11:43 11:45
17 11:40 11:48 11:55 12:00
18 11:42 11:52 12:06 12:12
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
127
19 11:56 11:59 12:09 12:24
20 12:00 12:07 12:17 12:25
21 12:04 12:10 12:19 12:23
22 12:11 12:15 12:21 12:26
23 12:18 12:28 12:34 12:38
24 12:25 12:30 12:35 12:55
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
128
Lampiran 2
jam ke- Datang
1 9
2 8
3 9
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
129
Lampiran
Tabel 4.3 Waktu Pelayanan Resep
pelanggan ke-
waktu tiba resep waktu pelayanan resep
etiket pengemasan Pengecekan
obat
jadi etiket pengemasan pengecekan
1 9:24 9:25 9:28 9:36 0:01 0:03 0:08
2 9:35 9:36 9:39 9:44 0:01 0:03 0:05
3 9:41 9:42 9:45 9:46 0:01 0:03 0:01
4 10:00 10:01 10:05 10:13 0:01 0:04 0:08
5 10:05 10:06 10:09 10:16 0:01 0:03 0:07
6 10:09 10:12 10:19 10:21 0:03 0:07 0:02
7 10:25 10:30 10:32 10:35 0:05 0:02 0:03
8 10:35 10:38 10:41 10:47 0:03 0:03 0:06
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
130
9 10:39 10:42 10:46 11:00 0:03 0:04 0:14
10 10:45 10:56 11:11 11:18 0:11 0:15 0:07
11 10:50 11:06 11:16 11:20 0:16 0:10 0:04
12 10:55 11:07 11:17 11:23 0:12 0:10 0:06
13 11:00 11:18 11:26 11:40 0:18 0:08 0:14
14 11:05 11:24 11:32 11:41 0:19 0:08 0:09
15 11:23 11:36 11:40 11:42 0:13 0:04 0:02
16 11:29 11:35 11:43 11:45 0:06 0:08 0:02
17 11:40 11:48 11:55 12:00 0:08 0:07 0:05
18 11:42 11:52 12:06 12:12 0:10 0:14 0:06
19 11:56 11:59 12:09 12:24 0:03 0:10 0:15
20 12:00 12:07 12:17 12:25 0:07 0:10 0:08
21 12:04 12:10 12:19 12:23 0:06 0:09 0:04
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
131
22 12:11 12:15 12:21 12:26 0:04 0:06 0:05
23 12:18 12:28 12:34 12:38 0:10 0:06 0:04
24 12:25 12:30 12:35 12:55 0:05 0:05 0:20
rata-rata 0:06 0:06 0:06
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI