i
REFLEKSI DAN AKSIOMA CERMIN
PADA BIDANG POINCARΓ
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
Chintia Rudiyanto
NIM : 091414042
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2013
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PERSEMBAHAN
Skripsi ini ku persembahkan untuk
semua pihak yang telah membantu
selama proses belajar ku
di Universitas Sanata Dharma...
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Chintia Rudiyanto, 2013. Refleksi dan Aksioma Cermin Pada Bidang
Poincare. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan
Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan
dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Penelitian ini membahas mengenai refleksi dan aksioma cermin pada
bidang Poincare. Selama ini konsep geometri yang banyak dipelajari adalah
seputar geometri Euclid. Padahal, ada berbagai macam sistem geometri yang lain
misalnya geometri Hiperbolik. Bidang Poincare merupakan bidang yang
digunakan dalam geometri Hiperbolik. Setelah membaca penelitian ini,
diharapkan pembaca akan memperoeh wawasan mengenai refleksi dan aksioma
cermin pada bidang Poincare.
Penelitian ini menggunakan metode studi pustaka. Buku acuan yang
digunakan adalah βGeometry : A Metric Approach with Modelsβ karangan
Millman dan Parker. Refleksi dan aksioma cermin ditulis lengkap dengan definisi-
definisi, dan teorema-teoremanya. Selain itu, ditambah juga dengan pembuktian-
pembuktian dari teorema serta penjelasan dan contoh-contohnya.
Hasil dari penelitian ini adalah : (i) Refleksi merupakan suatu fungsi yang
bersifat isometri. (ii) Aksioma cermin adalah konsep mengenai sebuah cermin
dalam garis π dalam geometri protraktor. (iii) Konsep cermin dalam π adalah
sebuah isometri yang bersifat kolineasi dan mempertahankan sudut.
Kata kunci : Refleksi, Aksioma Cermin, Bidang Poincare, Pendekatan Metrik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Chintia Rudiyanto, 2013. Reflections and Mirror Axiom in PoincarΓ© Plane.
Thesis. Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science
Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata
Dharma University, Yogyakarta.
This research will be talking about reflections and mirror axiom in
Poincare plane. During this time the most studious concept of geometry is about
Euclidean geometry. In fact, there are a variety of other geometry such as
hyperbolic geometry. Poincare plane is a plane that is used in the hyperbolic
geometry. After reading this research, the reader will get a new knowledge about
reflection and mirror axiom in Poincare plane.
This research use study methods with βGeometry: A Metric Approach
with Modelsβ of Millman & Parker as a mother book. Reflections and mirror
axiom written by added the proof of lemmas and theorems with an explanation
and an example.
The results of this research are: (i) Reflection is an isometric function. (ii)
Mirror axiom is a concept about a mirror in a line in protractor geometry. (iii)
The concept of a mirror in a line is an isometry that preserves line and angle
measure.
Keywords: Reflection, Mirror axiom, Poincare Plane, Metric Approach.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yesus Kristus, yang telah
senantiasa melimpahkan rahmat Nya sehingga skripsi dengan judul βRefleksi dan
Aksioma Cermin pada Bidang Poincareβ ini dapat penulis selesaikan.
Segala macam hambatan dan rintangan telah banyak penulis alami selama
menyelesaikan skripsi ini. Akan tetapi semua itu telah penulis lalui dengan adanya
dukungan dari banyak pihak. Untuk itu pada kesempatan ini penulis dengan
sepenuh hati ingin mengucapkan terimakasih kepada beberapa pihak, diantaranya:
1. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si., M.Si., selaku Dosen
Pembimbing Akademik dan dosen pembimbing skripsi, yang dengan sabar
memberikan bimbingan akademik dan dorongan selama penulis
melaksanakan studi dan proses penyusunan skripsi.
2. Bapak Dr. M. Andy Rudhito selaku kaprodi pendidikan matematika,
Universitas Sanata Dharma.
3. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan Universitas Sanata Dharma.
4. Ibu Enny Murwaningtyas dan Bapak Sugiarto yang telah menjadi dosen
penguji skripsi, terimakasih atas saran dan bimbingannya selama ini.
5. Semua dosen Pendidikan Matematika yang telah memberikan ilmu selama
penulis kuliah di Universitas Sanata Dharma.
6. Semua staf sekretariat JPMIPA yang telah membantu memberikan
pelayanan kesekretariatan selama ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. ii
HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................ iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................. v
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................. vi
ABSTRAK ...................................................................................................... vii
ABSTRACT ..................................................................................................... viii
KATA PENGANTAR ..................................................................................... ix
DAFTAR ISI .................................................................................................... xi
DAFTAR SIMBOL ........................................................................................ xiii
DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xv
BAB I : PENDAHULUAN
Latar Belakang .....................................................................................................
1.1 Latar Belakang.......................................................................................... 1
1.2 Rumusan Masalah ..................................................................................... 3
1.3 Batasan Masalah ....................................................................................... 3
1.4 Tujuan Penulisan ..................................................................................... 3
1.5 Manfaat Penulisan .................................................................................... 3
1.6 Metode Penulisan .................................................................................... 4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
1.7 Sistematika Penulisan ............................................................................... 5
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Bidang Kartesius dan Bidang Poincare...................................................... 6
2.2 Geometri Abstrak dan Geometri Indiensi ................................................ 11
2.3 Geometri Metrik ..................................................................................... 15
2.4 Keantaraan .............................................................................................. 20
2.5 Segmen, Sinar Garis, Sudut, Segitiga ...................................................... 28
2.6 Aksioma Pembagian Bidang ................................................................... 34
2.7 Geometri Pash ........................................................................................ 37
2.8 Geometri Protraktor ................................................................................ 42
2.9 Geometri Netral ...................................................................................... 49
2.10 Kolineasi dan Isometri ............................................................................ 53
2.11 Refleksi pada bidang Euclid .................................................................... 59
BAB III REFLEKSI DAN AKSIOMA CERMIN
3.1 Refleksi .................................................................................................. 63
3.2 Aksioma Cermin ..................................................................................... 97
BAB IV PENUTUP
4.1 Kesimpulan........................................................................................... 104
4.2 Saran .................................................................................................... 106
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR SIMBOL
P, Q, R : titik-titik
π : garis
S : Himpunan titik-titik
β : Himpunan garis-garis
β³ : Geometri Metrik
π : Geometri Abstrak
πΏπ : Garis tipe I pada bidang kartesius
πΏπ ,π : Garis tipe II pada bidang kartesius
βπΈ : Garis-garis pada bidang Euclid
β : Bidang Kartesius /bidang Euclid
aL : Garis tipe I pada bidang Poincare
cLr : Garis tipe II pada bidang Poincare
βπ» : Garis-garis pada bidang Poincare
β : Bidang Poincare
ππ : Garis PQ
ππ : Segmen garis PQ
ππ : Sinar garis PQ
ππΈ : Jarak dalam bidang Euclides
ππ» : Jarak dalam bidang Poincare
π π,π : Jarak antara titik P dan Q
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
A-B-C : Keantaraan (Titik B diantara titik A dan titik C)
β π΄π΅πΆ : Sudut ABC
βπ΄π΅πΆ : Segitiga ABC
π β π΄π΅π· : Ukuran sudut ABC
β₯ : Sejajar
β₯ : Tegak lurus
β : Himpunan kosong
β : Himpunan bagian
β© : Irisan
βͺ : Gabungan
β : Elemen / Anggota
β : Kongruen
πππ‘ : Interior
β : Akhir definisi
β‘ : Akhir pembuktian
β : Akhir contoh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Garis vertikal pada bidang Kartesius 8
Gambar 2.2 Garis tidak vertikal pada bidang Kartesius 8
Gambar 2.3 Garis π₯ = 1 pada bidang Kartesius 9
Gambar 2.4 Garis π¦ = βπ₯ + 3 pada bidang Kartesius 9
Gambar 2.5 Garis tipe I pada bidang Poincare 10
Gambar 2.6 Garis tipe II pada bidang Poincare 10
Gambar 2.7 Garis π₯ = 1 pada bidang Poincare 11
Gambar 2.8 Garis π₯ β 1 2 + π¦2 = 4 pada bidang Poincare 11
Gambar 2.9 A-B-C 24
Gambar 2.10 C-B-A 24
Gambar 2.11 Segmen garis π΄π΅ dalam bidang Euclid 29
Gambar 2.12 Segmen garis π΄π΅ dalam bidang Poincare 29
Gambar 2.13 Sinar garis dalam bidang Euclid 31
Gambar 2.14 Sinar garis dalam bidang Poincare 31
Gambar 2.15 Sudut dalam bidang Euclid 32
Gambar 2.16 Sudut dalam bidang Poincare 32
Gambar 2.17 Segitiga dalam bidang Euclid 34
Gambar 2.18 Segitiga dalam bidang Poincare 34
Gambar 2.19 Aksioma Pembagian Bidang dalam bidang Euclid 35
Gambar 2.20 Aksioma Pembagian Bidang dalam bidang Poincare 35
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
Gambar 2.21 Sisi yang saling berlawanan dalam APB 36
Gambar 2.22 Sisi yang sama dalam APB 36
Gambar 2.23 Ilustrasi Postulat Pash 37
Gambar 2.24 Interior β π΄π΅πΆ 40
Gambar 2.25 Ilustrasi Teorema Crossbar 41
Gambar 2.26 Ilustrasi Definisi 2.8.1 43
Gambar 2.27 Ilustrasi Definisi 2.8.1 43
Gambar 2.28 Ilustrasi sudut dalam bidang Poincare 46
Gambar 2.29 Ilustrasi Teorema 2.8.1 47
Gambar 2.30 Ilustrasi Teorema 2.8.2 dan Teorema 2.8.3 48
Gambar 2.31 βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ 50
Gambar 2.32 βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ 50
Gambar 2.33 βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ 51
Gambar 2.34 βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ 52
Gambar 2.35 Ilustrasi Lemma 2.10.3 57
Gambar 2.36 Ilustrasi Lemma 2.10.4 58
Gambar 2.37 Refleksi pada bidang Euclid 59
Gambar 3.1 Refleksi pada bidang Poincare 68
Gambar 3.2 Refleksi terhadap garis π₯ = π 68
Gambar 3.3 Refleksi terhadap garis π₯ = β2 76
Gambar 3.4 Refleksi titik A(2,1) 77
Gambar 3.5 Refleksi titik B(1,1) 79
Gambar 3.6 Refleksi titik C(10,5) 80
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvii
Gambar 3.7 Refleksi titik D(1,10) 81
Gambar 3.8 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.3 84
Gambar 3.9 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.3 85
Gambar 3.10 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.3 85
Gambar 3.11 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.3 86
Gambar 3.12 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.3 87
Gambar 3.13 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.3 87
Gambar 3.14 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.4 90
Gambar 3.15 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.4 91
Gambar 3.16 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.5 93
Gambar 3.17 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.2.1 101
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kata βGeometriβ berasal dari bahasa Yunani βgeometreinβ (geo =
bumi, dan metrein = mengukur), yang berarti ilmu pengukuran bumi. Pada
mulanya, Geometri adalah ilmu yang digunakan untuk mengukur lahan
pertanian. Sejarahwan Yunani, Herodotus (5 tahun sebelum Masehi),
mengatakan orang-orang Mesir lah yang pertama kali menggunakan subjek
Geometri, tetapi negara-negara kuno lain (Babylonia, India, Cina) juga
mempunyai beberapa informasi Geometri. (Marvin Jay Greenberg, 1980)
Selama lebih dari 2000 tahun, Geometri identik dengan Geometri
yang berasal dari buku Elements. Buku ini ditulis oleh Euclides sekitar
tahun 300 sebelum Masehi. Sampai abad ke 20, buku ini masih digunakan
sebagai pedoman dalam pembelajaran Geometri di sekolah-sekolah.
Geometri Euclides, seperti dikenal sekarang, dianggap sebagai dasar/fondasi
dari semua ilmu pasti. Namun saat ini, berbagai jenis Geometri yang lain
mulai berkembang. Geometri Non Euclides ditemukan pada awal abad ke-
19. Geometri Non Euclides berkembang sebagai bentuk penyimpangan dari
Geometri Euclides. Hal ini disebabkan karena ada beberapa hal yang saling
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
bertentangan antara Geometri Euclides dan Geometri Hiperbolik yaitu pada
aksioma kesejajaran. Selain hal itu, bidang yang digunakan dalam kedua
jenis geometri ini pun berbeda. Geometri Euclides menggunakan bidang
Kartesius atau disebut juga bidang Euclid, sedangkan Geometri Hiperbolik
menggunakan bidang Poincare. (John Stillwell, 2005)
Dalam pembicaraan mengenai geometri, baik geometri Euclides
ataupun geometri Hiperbolik, terdapat topik geometri transformasi. Menurut
Susanta (1990), istilah geometri transformasi dapat ditafsirkan sebagai
geometri yang membahas transformasi, tetapi dapat juga ditafsirkan sebagai
geometri yang dilandasi oleh transformasi. Transformasi sendiri merupakan
sebuah fungsi yang bersifat bijektif dalam himpunan titik-titik. Dalam
geometri Euclides, dikenal ada beberapa macam transformasi yaitu, refleksi
atau pencerminan, rotasi atau putaran, translasi atau geseran, dan dilatasi.
Sedangkan dalam geometri Hiperbolik, baru dikembangkan mengenai
transformasi berupa refleksi atau pencerminan. Topik transformasi yang
dapat dibandingkan untuk geometri Euclides dan geometri non Euclides
adalah transformasi berupa refleksi.
Selama ini geometri yang telah dipelajari oleh penulis merupakan
bagian dari Geometri Euclides. Penelitian mengenai Geometri Hiperbolik di
Universitas Sanata Dharma pun masih sangat sedikit. Oleh karena itu,
penulis tertarik untuk meneliti mengenai Geometri Hiperbolik ini melalui
skripsi yang berjudul β REFLEKSI DAN AKSIOMA CERMIN PADA
BIDANG POINCAREβ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah dalam penelitian ini yaitu :
1. Apakah yang dimaksud dengan refleksi dan aksioma cermin?
2. Bagaimanakah sifat-sifat refleksi dan aksioma cermin pada bidang
Poincare?
1.3. Batasan Masalah
Pembahasan mengenai Refleksi dan Aksioma Cermin ini dibatasi
pada:
1. Bidang yang digunakan adalah bidang Poincare.
2. Sistem geometri yang digunakan untuk membahas refleksi dan aksioma
cermin ini adalah Geometri Netral dan Geometri Protraktor.
1.4. Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan penelitian ini yaitu :
1. Untuk mengetahui mengenai refleksi dan aksioma cermin pada bidang
Poincare.
2. Untuk mengetahui sifat-sifat refleksi dan aksioma cermin pada bidang
Poincare.
1.5. Manfaat penelitian
Manfaat yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
1. Bagi Pembaca
Pembaca dapat menambah pengetahuan mengenai refleksi dan aksioma
cermin pada bidang Euclid dan Poincare.
2. Bagi Penulis
Penulis dapat menambah pengetahuan mengenai refleksi dan aksioma
cermin pada bidang Euclid dan Poincare.
3. Bagi Universitas
Universitas dapat menambah koleksi skripsi dalam bidang Geometri.
1.6. Metode Penelitian
Metode yang akan digunakan peneliti dalam menyusun skripsi ini
adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca referensi-referensi
yang berkaitan dengan refleksi dan aksioma cermin pada bidang Euclid dan
Poincare. Pembahasan dalam tulisan ini sebagian besar diambil dari buku
Geometry : A Metric Approach with Models, karangan Richard Millman dan
Parker (1991) dan ditambah berbagai referensi yang lain.
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah :
1. Membaca berbagai refrensi yang diperlukan, khusunya mengenai
bidang Poincare, konsep refleksi dan aksioma cermin, serta berbagai
teori-teori yang digunakan untuk membahas materi-materi itu.
2. Menyajikan kembali definisi-definisi pada bab refleksi dan aksioma
cermin.
3. Melengkapi bukti-bukti dari teorema-teorema pada bab refleksi dan
aksioma cermin.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
4. Memberikan penjelasan yang diperlukan dan contoh-contoh dari
definisi-definisi yang digunakan.
5. Memberikan penjelasan tambahan, dan contoh-contoh dari teorema-
teorema yang digunakan.
6. Menyusun seluruh materi-materi yang digunakan secara runtut agar
memudahkan pembaca dalam memahami.
1.7 Sistematika Penulisan
Bab pertama berupa pendahuluan. Pendahuluan ini berisi tentang latar
belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat
serta metode penelitian dan sistematika penulisan.
Bab dua berisi tentang gambaran umum mengenai berbagai macam
sistem-sistem geometri yang ada. Teori-teori yang digunakan dalam
mendefinisikan berbagai sistem geometri yang ada, segitiga, sudut, sinar
garis, konsep kolineasi dan isometri, konsep refleksi dalam bidang Euclid.
serta definisi-definisi yang digunakan untuk membuktikan teorema yang
dibahas di bab ketiga.
Bab tiga membahas tentang refleksi dan aksioma cermin. Diberikan
juga bukti-bukti teorema serta contoh-contoh yang terkait dengan refleksi
dan aksioma cermin.
Bab keempat atau bab terakhir berisi tentang kesimpulan dari
pembahasan pada bab tiga serta saran yang diberikan penulis kepada
pembaca yang ingin melanjutkan penelitian ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
LANDASAN TEORI
Unsur paling dasar dalam geometri adalah titik. Bermula dari konsep titik,
kemudian membentuk berbagai macam konsep-konsep yang lain seperti garis,
segitiga, sudut dan lain-lain. Dalam geometri, semua unsur-unsur tersebut
memiliki kekhasannya masing-masing dan tergantung dari bidang yang
digunakan.
Berikut akan dibahas mengenai dua jenis bidang yang banyak digunakan
dalam geometri, yaitu bidang Kartesius atau sering disebut sebagai bidang Euclid,
dan bidang Poincare.
2.1 Bidang Kartesius dan Bidang Poincare
Menurut Eisenhart (1960), Bidang Kartesius, umumnya
didefinisikan dengan dua garis yang saling tegak lurus satu sama lain dan
disebut sebagai sumbu x dan sumbu y. Sumbu horizontal diberi label x,
dan sumbu vertikal diberi label y. Perpotongan antara kedua sumbu
tersebut adalah titik O, dan disebut sebagai titik asal. Setiap sumbu juga
mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda
positif (+) atau negatif (-) . Untuk mendeskripsikan suatu titik A tertentu
dalam sistem koordinat Kartesius, kita tuliskan A adalah titik (π₯, π¦).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
π₯ adalah jarak dari titik A ke sumbu π¦, sedangkan π¦ adalah jarak
dari titik A ke sumbu π₯. Selanjutnya, π₯ disebut sebagai absis dari titik A,
dan π¦ disebut sebagai ordinat dari titik A.
Anggap S = β2 = x, y |x, y β β merupakan titik-titik dalam bidang
Kartesius. Kita mendefinisikan himpunan garis sebagai berikut :
Definisi 2.1.1 (Millman & Parker, 1991:18)
(i) Sebuah garis vertikal adalah himpunan bagian dari β2 yang berbentuk
La = x, y β β2 | x = a dengan a adalah bilangan real tertentu.
(ii) Garis tidak vertikal adalah himpunan bagian dari β2 yang berbentuk
Lm ,b = x, y β β2 | y = mx + b dengan m dan b bilangan real
tertentu. β
Misalkan βπΈadalah kumpulan garis-garis tersebut, baik yang vertikal
maupun yang tidak vertikal.
Definisi 2.1.2 (Millman & Parker, 1991:18)
Model β = β2, βE dinamakan bidang Kartesius. (Notasi La dan Lm,b
akan digunakan untuk menyebut garis-garis dalam β.) β
Berikut ini adalah ilustrasi garis-garis dalam bidang Kartesius
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Gambar 2.1 mengilustrasikan model garis vertikal dalam bidang Kartesius.
Sedangkan Gambar 2.2 mengilustrasikan model garis yang tidak vertikal
dalam bidang Kartesius.
Untuk lebih memahami tentang garis-garis pada bidang Kartesius,
perhatikan contoh berikut :
Contoh 2.1.1 :
Misal titik π΄ 1,2 , π΅ 1, β5 , dan πΆ(3,0) merupakan titik-titik pada bidang
Kartesius.
Garis yang melalui titik A dan titik B berupa garis vertikal , sehingga
persamaan garis nya adalah π₯ = 1. Garis ini ditunjukkan oleh Gambar 2.3.
Garis yang melalui titik A dan titik C berupa garis yang tidak vertikal.
Untuk mengetahui persamaan garisnya, kita harus mencari nilai π dan π.
π = π¦2βπ¦1
π₯2βπ₯1=
2β0
1β3= β1
π = π¦ β ππ₯ = 2 β β1 1 = 3
Gambar 2.1
Garis Vertikal pada bidang Kartesius
Gambar 2.2
Garis Tidak Vertikal pada bidang
Kartesius
La
x = a
a
b
Lm ,b
y = mx +b
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
sehingga persamaan garis nya adalah π¦ = βπ₯ + 3. Garis ini ditunjukkan
oleh Gambar 2.4.
Setelah membahas bidang Kartesius atau bidang Euclid, sekarang kita
akan membahas mengenai bidang Poincare. Bidang Poincare sangat mirip
dengan bidang Kartesius, hanya saja dalam bidang Poincare, tidak ada
sumbu x dan sumbu y negatif. Bidang Poincare hanya terdiri dari setengah
bagian bidang Kartesius, yaitu sisi yang berada di atas sumbu x.
Anggap S = β = π₯, π¦ β β2| π¦ > 0 merupakan garis-garis dalam
bidang Poincare. Seperti kasus dalam bidang Kartesius kita akan
mendeskripsikan dua tipe garis dalam bidang Poincare sebagai berikut :
Definisi 2.1.3 (Millman & Parker, 1991:19)
(i) Garis tipe I adalah himpunan bagian β yang berbentuk
aL = x, y β β | x = a , dengan a adalah bilangan real tertentu
(ii) Garis tipe II adalah himpunan bagian β yang berbentuk
cLr = x, y β β | x β c 2 + y2 = r2 dengan c, r β β dan r > 0.
π₯ = 1
π΅ 1, β5
π΄ 1,2
-5
2 π¦ = βπ₯ + 3
π΄ 1,2
πΆ(3,0)
Gambar 2.3
Garis π₯ = 1 pada bidang Kartesius
Gambar 2.4
Garis π¦ = βπ₯ + 3 pada bidang Kartesius
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Misalkan gabungan dari himpunan garis tipe I dan II adalah βH .
Definisi 2.1.4 (Milman & Parker, 1991:20)
Model β = β, βH dinamakan bidang Poincare. (Notasi aL dan cLr akan
digunakan untuk menyebut garis-garis dalam β.) β
Berikut ini adalah ilustrasi garis-garis dalam bidang Poincare :
Untuk lebih memahami tentang garis-garis pada bidang Poincare,
perhatikan contoh berikut :
Contoh 2.1.2 :
Misal titik π΄ 1,2 , π΅ 1,5 , dan πΆ(3,1) merupakan titik-titik pada bidang
Poincare.
Garis yang melalui titik A dan titik B berupa garis tipe 1, sehingga
persamaan garis nya adalah π₯ = 1. Garis ini ditunjukkan oleh Gambar 2.7.
Garis yang melalui titik A dan titik C berupa garis tipe 2. Untuk mencari
persamaan garisnya kita perlu mencari koordinat π dan nilai π nya.
π =π¦2
2βπ¦12+π₯2
2βπ₯12
2(π₯2βπ₯1)=
22β12+12β32
2(1β3)=
β5
β4=
5
4
aL
a
cLr
r
Gambar 2.5
Garis tipe I pada bidang Poincare
Gambar 2.6
Garis tipe II pada bidang Poincare
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
π = (π₯1 β π)2 + π¦12 = (1 β
5
4)2 + 22 =
1
16+ 4 =
65
64=
65
8
sehingga persamaan garisnya adalah π₯ β5
4
2
+ π¦2 =65
64. Garis ini
ditunjukkan oleh Gambar 2.8.
2.2 Geometri Abstrak dan Geometri Insidensi
Dalam geometri, dikenal adanya berbagai macam sistem geometri.
Sistem geometri yang paling sederhana adalah Geometri Abstrak.
Geometri abstrak merupakan suatu sistem geometri yang hanya terdiri dari
titik dan garis.
Definisi 2.2.1 (Millman & Parker, 1991:17)
Sebuah geometri abstrak π terdiri dari himpunan S yang unsur-unsurnya
disebut titik dan himpunan β yang unsur-unsurnya himpunan bagian yang
tidak kosong dari S yang disebut garis, sehingga berlaku :
Gambar 2.7 Garis π₯ = 1
pada bidang Poincare
π₯ = 1
π΄ 1,2
π΅ 1,5
Gambar 2.8 Garis π₯ β5
4
2
+ π¦2 =65
64
pada bidang Poincare
π₯ β5
4
2
+ π¦2 =65
64
πΆ 3,1
π΄ 1,2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
(i) Untuk setiap dua titik A, B β S terdapat sebuah garis l β β dengan A
β l dan B β l.
(ii) Setiap garis mempunyai paling sedikit dua titik. β
Jika π = { S , β } adalah sebuah geometri abstrak dengan P β S , π β β,
dan P β π, kita katakan bahwa P terletak pada garis π.
Aksioma pertama dari Geometri Abstrak mengatakan bahwa setiap satu
pasang titik pasti terletak pada sebuah garis yang sama. Perlu kita ingat
pula bahwa βgarisβ tidak berarti yang dimaksud adalah garis lurus.
Contoh 2.2.1 :
β = β2, βπΈ adalah sebuah geometri abstrak.
Bidang Euclid termasuk dalam geometri abstrak karena dalam bidang
Euclid, terdapat titik-titik dan juga garis-garis seperti yang sudah dibahas
pada Definisi 2.1.1. β
Contoh 2.2.2:
β = β, βπ» adalah sebuah geometri abstrak.
Bidang Poincare juga termasuk dalam geometri abstrak karena dalam
bidang Poincare juga terdapat titik-titik dan garis-garis seperti yang sudah
dibahas pada Definisi 2.1.3 β
Definisi 2.2.2 (Millman & Parker, 1991:22)
Sebuah geometri abstrak { S , β } dikatakan geometri insidensi jika:
1. Setiap dua titik yang berbeda dalam S terletak pada sebuah garis
yang sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
2. Terdapat tiga titik A, B, C β S yang tidak semuanya berada pada
garis yang sama. β
Jika { S , β } merupakan geometri insidensi dan P, Q β S maka sebuah
garis π yang melalui titik P dan Q, akan ditulis sebagai π = ππ .
Aksioma kedua (Definisi 2.2.2(2) ) dari geometri insidensi dapat
dikemukakan kembali dengan menggunakan konsep kolinear, yang akan
dibahas pada Definisi 2.2.3.
Definisi 2.2.3 (Millman & Parker, 1991:22)
Himpunan titik-titik P disebut kolinear jika ada sebuah garis l sehingga
P β l. β
Definisi 2.2.3 mengatakan bahwa himpunan titik-titik P disebut kolinear
jika semua anggota P terletak pada garis yang sama. Sebaliknya, P disebut
tidak kolinear jika P bukan himpunan titik yang kolinear. Atau dengan kata
lain, himpunan P disebut tidak kolinear jika tidak semua anggota P terletak
pada garis yang sama. Dengan menggunakan Definisi 2.2.3 di atas, maka
aksioma kedua dari geometri insidensi dapat ditulis kembali sebagai
berikut :
Definisi 2.2.2(2a) :
Terdapat tiga titik A, B, C β S yang tidak kolinear.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Contoh 2.2.3:
Bidang Kartesius dan Bidang Poincare merupakan geometri insidensi.
Dalam Contoh 2.2.1 dan Contoh 2.2.2 telah disebutkan bahwa bidang
Euclid dan bidang Poincare merupakan geometri abstrak. Dari Contoh
2.1.1 dan Contoh 2.1.2 juga ditunjukkan bahwa dari setiap dua titik dapat
ditentukan sebuah garis yang melaluinya. Seandainya , terdapat tiga buah
titik, maka belum tentu titik yang ketiga memenuhi persamaan garis yang
terbentuk oleh dua titik lainnya. Oleh karena itu, bidang Euclides dan
bidang Poincare merupakan geometri insidensi. β
Selain konsep kolinear, dalam geometri abstrak dan geometri insidensi
juga dikenal adanya konsep kesejajaran.
Teorema 2.2.1 (Millman & Parker, 1991:24)
Misalkan π1 dan π2 adalah garis-garis dalam geometri insidensi. Jika
π1 dan π2 memiliki dua titik yang sama atau lebih, maka π1 = π2.
Bukti :
Anggap π β π, π β π1 β© π2 dan π β π1 β© π2. Karena kedua titik P dan
Q terletak pada π1, maka ππ = π1. Padahal titik P dan Q juga terletak pada
π2 sehingga ππ = π2. Karena itu, π1 = π2. β‘
Teorema 2.2.1 mengatakan jika ada 2 garis dalam geometri insidensi (garis
π1 dan π2 ). Jika π1 melewati titik A dan B, dan begitu pula garis π2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
melewati titik A dan B, maka garis π1 sebenarnya sama dengan garis π2.
Dua garis yang demikian biasa disebut dua garis yang berhimpit.
Definisi 2.2.4 (Millman & Parker, 1991:24)
Jika l1 dan l2 adalah garis-garis dalam geometri abstrak, maka l1 dikatakan
sejajar dengan l2 (ditulis l1 β₯ l2) jika l1 = l2 atau l1 β© l2 = β . β
Definisi 2.2.4 mengatakan bahwa dua garis dikatakan sejajar jika garis-
garis tersebut berhimpit atau tidak mempunyai titik potong.
2.3 Geometri Metrik
Sekarang kita akan membahas mengenai geometri metrik.
Geometri ini adalah geometri yang memperhitungkan mengenai jarak 2
buah titik dalam suatu bidang. Oleh karena itu, sebelum kita membahas
mengenai geometri metrik lebih lanjut, mula-mula akan dibahas dahulu
mengenai definisi fungsi jarak.
Definisi 2.3.1 (Millman & Parker, 1991:28)
Fungsi jarak pada himpunan S adalah fungsi d : S x S β β sehingga
untuk setiap P,Q β S berlaku :
1. d(P,Q) β₯ 0
2. d(P,Q) = 0 jika dan hanya jika P = Q , dan
3. d(P,Q) = d(Q, P) β
Aksioma pertama dari Definisi 2.3.1 mengatakan bahwa nilai dari jarak
dua titik pasti lebih besar atau sama dengan nol. Jadi tidak ada nilai jarak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
yang negatif. Aksioma kedua mengatakan jika ada dua titik yang sama,
maka jaraknya pasti nol. Sedangkan aksioma ketiga mengatakan bahwa
jarak titik P dan Q sama dengan jarak titik Q dan P.
Selanjutnya akan dibahas mengenai jarak dua titik dalam bidang Euclid
dan bidang Poincare.
Definisi 2.3.2 ( Smith & Ulrich, 1956:487)
Misalkan P = (x1 , y1) dan Q = (x2 , y2) adalah titik-titik dalam bidang
Euclid. Jarak dalam bidang Euclid diberikan oleh :
d P, Q = x2 β x1 2 + (y2 β y1)2 β
Selanjutnya, jarak dalam bidang Euclid dapat disimbolkan sebagai (ππΈ),
untuk membedakan dengan jarak Poincare.
Untuk lebih memahami mengenai jarak titik pada bidang Euclid,
perhatikan contoh berikut :
Contoh 2.3.1 :
Misalkan titik π΄ 2,3 dan π΅(4,0) adalah titik-titik dalam bidang Euclid
atau bidang Kartesius. Maka jarak Euclidesnya adalah :
ππΈ π΄, π΅ = 2 β 4 2 + (3 β 0)2
= 4 + 9 = 13
Jadi jarak titik A dan titik B adalah 13 satuan. β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Setelah membahas mengenai jarak dua titik dalam bidang Euclides,
sekarang kita akan membahas mengenai jarak dua titik dalam bidang
Poincare.
Definisi 2.3.3 (Millman & Parker, 1991:28)
Jika P = (x1 , y1) dan Q = (x2 , y2) adalah titik dalam bidang Poincare β,
jarak Poincare (ππ» ) diberikan oleh :
ππ» π, π =
ππ π¦2
π¦1 jika π₯1 = π₯2
ππ
π₯1βπ+π
π¦1π₯2βπ+π
π¦2
jika P dan Q berada dalam ππΏπ
β
Untuk lebih memahami mengenai jarak titik dalam bidang Poincare,
perhatikan contoh berikut :
Contoh 2.3.2 :
Misal π΄ 2,3 , π΅ 2,5 , πΆ(4,1) adalah titik-titik dalam bidang Poincare.
Jarak Poincare titik A dan B adalah :
ππ» π΄, π΅ = ππ π¦2
π¦1 = ππ
5
3
Jarak Poincare titik A dan C adalah :
π =12β32 +42β22
2(4β2)=
4
4= 1
π = (2 β 1)2 + 32 = 10
ππ» π΄, πΆ = ππ
π₯1βπ+π
π¦1π₯2βπ+π
π¦2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
= ππ 2β1+ 10
34β1+ 10
1
= ππ 1+ 10
33+ 10
1
= ππ 1+ 10
9+3 10 . (
9β3 10
9β3 10)
= ππ 7β2 10
3
Jadi, jarak titik A dan B adalah ππ 5
3 satuan sedangkan jarak titik A dan
C adalah ππ 7β2 10
3 satuan. β
Konsep fungsi jarak yang sudah kita bahas di atas merupakan konsep yang
cukup penting dalam pembahasan sistem geometri metrik.
Definisi 2.3.4 (Millman & Parker, 1991:30)
Misalkan π adalah sebuah garis dalam geometri insidensi { S , β }
Asumsikan bahwa terdapat fungsi jarak d pada S . Fungsi f: l β β
disebut sistem koordinat untuk l jika :
1. f bijektif
2. Untuk setiap pasangan titik P dan Q pada l berlaku f P β f(Q) =
d (P, Q). (2.3.1)
β
Persamaan (2.3.1) disebut persamaan sistem koordinat dan π(π) disebut
koordinat titik P dengan fungsi koordinat π.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Definisi 2.3.5 (Millman & Parker, 1991:30)
Sebuah geometri insidensi { S , β } bersama dengan fungsi jarak d
memenuhi postulat sistem koordinat jika setiap π β S memiliki sistem
koordinat. β
Dalam hal ini kita katakan, β³ = { S , β, π } adalah sebuah geometri
metrik.
Untuk lebih memahami Definisi 2.3.5, perhatikan contoh berikut :
Contoh 2.3.2 :
Bidang Kartesius adalah sebuah geometri metrik.
Hal ini dikarenakan bidang kartesius merupakan sebuah geometri
insidensi. Selain itu, dalam bidang Kartesius terdapat fungsi jarak Euclides
ππΈ seperti yang sudah dibahas pada Definisi 2.3.2.
Jadi, bidang kartesius atau bidang Euclid merupakan geometri metrik. β
Contoh 2.3.3 :
Jika ππ» adalah fungsi jarak untuk bidang Poincare, maka β, βπ» , ππ»
adalah sebuah geometri metrik.
Contoh 2.2.3 mengatakan bahwa bidang Poincare merupakan geometri
insidensi. Selain itu, dalam Definisi 2.3.3 dijelaskan mengenai fungsi jarak
yang berlaku dalam bidang Poincare. Oleh karena itu, bidang Poincare
merupakan geometri metrik. β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Selanjutnya, akan diberikan lemma mengenai sistem koordinat.
Lemma 2.3.1 (Millman & Parker, 1991:31)
Misalkan l β β dan f βΆ l β β fungsi surjektif dan memenuhi persamaan
(2.3.1). Maka f adalah fungsi bijektif dan karena itu merupakan sistem
koordinat untuk l.
Bukti :
Karena kita mengasumsikan π adalah surjektif, maka untuk membuktikan
π adalah fungsi bijektif, kita hanya perlu menunjukkan bahwa π adalah
injektif. Sekarang anggap bahwa π π = π(π) .
Dari persamaan (2.3.1) kita dapat π π, π = π π β π(π) = 0,
sehingga menurut definisi fungsi jarak, P = Q. β‘
2.4 Keantaraan
Keantaraan merupakan konsep yang juga cukup penting. Ada
banyak cara yang digunakan untuk mendefinisikan konsep keantaraan.
Berikut ini akan diberikan postulat mengenai keantaraan secara aksiomatik
terlebih dahulu, kemudian secara metrik.
Definisi 2.4.1 (Prenowitz & Jordan, 1965 : 186)
Dalam pembahasan secara aksiomatik, notasi untuk keantaraan adalah (a-
b-c) dan dibaca sebagai b di antara a dan c. Relasi keantaraan memenuhi
sistem postulat berikut :
B1. (Sifat simetri) Jika (a-b-c) maka (c-b-a)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
B2. (Sifat antisiklik) Jika (a-b-c) maka bukan (b-c-a)
B3. (Koherensi linear) a, b, c adalah titik-titik yang berbeda dan kolinear
jika dan hanya jika (a-b-c) atau (b-c-a) atau (c-a-b)
B4. (Sifat memisahkan) Misalkan sebuah titik P yang kolinear dan berbeda
dengan titik a, b, c. Maka, (a-p-b) mengakibatkan (b-p-c) atau (a-p-c) tapi
tidak keduanya.
B5. (Eksistensi) Jika a β b, maka ada x, y, z sedemikian sehingga (x-a-b),
(a-y-b), (a-b-z). β
Postulat-postulat tersebut cukup mudah dimengerti. Postulat B1
mengatakan bahwa jika titik b berada di antara a dan c, maka titik b juga
berada di antara c dan a. Dari potulat pertama ini kita dapat menarik
kesimpulan bahwa relasi keantaraan ini bersifat simetri . Yang terpenting
adalah posisi titik yang terletak ditengah. Postulat B2 ingin mengatakan
bahwa permutasi siklik tidak berlaku dalam keantaraan. Jika b berada di
antara a dan c, maka pernyataan bahwa c berada di antara a dan b adalah
salah. Postulat B3 berupa biimplikasi sehingga dapat diartikan menjadi 2
implikasi, yaitu :
B3.1 Jika (a-b-c) maka a, b, dan c adalah tiga titik berbeda dan kolinear.
B3.2 Jika a, b dan c adalah tiga titik yang berbeda dan kolinear maka (a-b-
c), atau (b-c-a) atau (c-a-b)
Postulat B4 mengatakan jika sebuah titik P memisahkan a dari b, maka
titik P juga memisahkan a atau b dari titik c, tetapi tidak keduanya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Postulat B5 berbicara mengenai eksistensi 3 buah titik sedemikian
sehingga jika titik a tidak sama dengan b , maka
i) ada sebuah titik yang memisahkan titik a dan b.
ii) ada sebuah titik yang dipisahkan dari b oleh titik a, artinya titik a
terletak di antara titik b dan titik lain.
iii) ada sebuah titik yang dipisahkan dari a oleh b, artinya, titik b
terletak di antara titik a dan titik lainnya.
Selanjutnya, akan diberikan definisi keantaraan dengan pendekatan metrik.
Definisi 2.4.2 (Millman & Parker, 1991:47):
B di antara A dan C, jika A, B, C adalah 3 titik berbeda yang kolinear
dalam geometri metrik { S , β, d } , dan jika d π΄, π΅ + π π΅, πΆ =
π (π΄, πΆ) β
Dalam geometri metrik, B di antara A dan C dinotasikan sebagai A-B-C.
Dan jarak π π΄, π΅ dinotasikan sebagai AB.
Yang perlu diperhatikan dari Definisi 2.4.2 adalah ketiga titik harus
kolinear atau segaris. Jika tidak segaris, maka tidak bisa memenuhi konsep
keantaraan. Selanjutnya, ketiga titik yang segaris tersebut harus memenuhi
π΄π΅ + π΅πΆ = π΄πΆ agar bisa memenuhi Definisi 2.4.2. Jika kedua syarat
tersebut terpenuhi, maka titik B dapat dikatakan terletak diantara titik A
dan C.
Untuk lebih memahami Definisi 2.4.2, perhatikan contoh berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Contoh 2.4.1 :
Misalkan π΄ 2,0 , π΅ 2,5 , πΆ(2,6) adalah titik-titik dalam geometri
Euclides. Untuk membuktikan bahwa ketiga titik tersebut kolinear, kita
perlu mencari garis yang melewati titik A dan B, kemudian kita cek
apakah garis tersebut juga melewati titik C. Jika iya, maka ketiga titik
tersebut kolinear, tetapi jika tidak maka ketiga titik tersebut tidak kolinear.
Garis yang melewati titik A dan B adalah garis π₯ = 2. Ternyata garis
tersebut juga melewati titik C. Oleh karena itu ketiga titik tersebut
merupakan titik-titik yang kolinear.
Sekarang kita perlu mencari jarak tiap 2 titik.
π΄π΅ = (2 β 2)2 + (5 β 0)2 = 5
π΄πΆ = (2 β 2)2 + (6 β 0)2 = 6
π΅πΆ = (2 β 2)2 + (6 β 5)2 = 1
π΄π΅ + π΅πΆ = 5 + 1 = 6 = π΄πΆ.
Dari perhitungan di atas terlihat bahwa π΄π΅ + π΅πΆ = π΄πΆ. Maka, titik B
terletak di antara A dan C. β
Teorema 2.4.1 (Millman & Parker, 1991:49):
Jika A-B-C maka C-B-A.
Bukti :
Jika A, B, dan C adalah 3 titik yang berbeda dan kolinear, maka begitu
juga C, B, dan A. Karena A-B-C, maka menurut Definisi 2.4.1 , AB + BC
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
= AC. Karena PQ = QP untuk semua P dan Q, kita mempunyai BA +CB =
CA atau CB +BA = CA yang menunjukkan bahwa C-B-A. β‘
Untuk lebih memahami Teorema 2.4.1, perhatikan gambar berikut :
Gambar 2.9 menunjukkan titik B di antara A dan C. Gambar 2.10
menunjukkan titik B di antara A dan C.
Melihat dari kedua gambar di atas dan isi Teorema 2.4.1 , kita dapat
menyimpulkan bahwa yang konsep yang paling penting dalam keantaraan
bukanlah posisinya, tetapi jaraknya.
Selanjutnya, akan dibahas mengenai konsep keantaraan dalam bilangan
real.
Definisi 2.4.3 (Bartle & Sherbert, 1927:44)
Untuk setiap x dan y adalah sembarang bilangan real dengan x < y,
terdapat sebuah bilangan real r, sedemikian sehingga x < r < y
x < r < y berarti x < r dan r < y. β
Untuk lebih memahami Definsi 2.4.3, perhatikan contoh berikut :
A
B
C
Gambar 2.9 A-B-C
C
B
A
Gambar 2.10 C-B-A
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Contoh 2.4.2 :
Misalkan ada 2 bilangan real, yaitu 3 dan 8. Karena 3 < 8, maka kita bisa
mencari suatu bilangan real yang terletak di antara 3 dan 8, misalnya 5,
sedemikian sehingga 3 < 5 <8 terpenuhi. β
Selanjutnya, akan dibahas Teorema 2.4.2, Teorema ini ada sebagai bentuk
gabungan dari Definisi 2.4.1 dan Definisi 2.4.2. Teorema ini
menggabungkan konsep keantaraan dalam titik dengan konsep keantaraan
bilangan.
Teorema 2.4.2 (Millman & Parker, 1991:49)
Anggap l adalah sebuah garis dan f sebuah sistem koordinat untuk π. Jika
A, B, dan C adalah 3 titik pada garis l dengan koordinat x, y, z , maka A-
B-C jika dan hanya jika x < y < z.
Bukti :
Perhatikan, jika A,B, dan C adalah titik yang sama, maka A-B-C dan x < y
< z, keduanya jelas salah. Karena itu, kita mengasumsikan bahwa A,B, dan
C adalah tiga titik yang berbeda.
Pertama, kita akan membuktikan jika A-B-C maka x < y < z.
Diketahui bahwa x = f(A), y=f(B) , z=f(C), dan AB + BC = AC. Maka
menurut definisi fungsi jarak,
AB = π π΄ β π(π΅) = π₯ β π¦ BC = π¦ β π§ AC = π₯ β π§
sehingga π₯ β π¦ + π¦ β π§ = π₯ β π§ . (2.4.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Kita harus menunjukkan bahwa persamaan tersebut mengakibatkan x < y
< z atau z < y < x.
Karena A,B,C adalah 3 titik yang berbeda, maka hanya satu kondisi untuk
x,y,z yang tepat dari antara berbagai kemungkinan berikut :
(i) x < y < z
(ii) z < y < x
(iii) y < x < z
(iv) z < x < y
(v) x < z < y
(vi) y < z < x
Kita akan menunjukkan bahwa dalam kasus (iii) akan terjadi kontradiksi.
Kasus (iii) mengakibatkan
π₯ β π¦ = π₯ β π¦ π¦ β π§ = π§ β π¦ π₯ β π§ = π§ β π₯
Jika kita memasukkan persamaan tersebut ke dalam persamaan (2.4.1),
maka
π₯ β π¦ + π§ β π¦ = π§ β π₯
π₯ = π¦
Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa x,y,z adalah berbeda.
Karena itu, kasus (iii) tidak memenuhi.
Kasus (iv) mengakibatkan
π₯ β π¦ = π¦ β π₯ π¦ β π§ = π¦ β π§ π₯ β π§ = π₯ β π§
Jika kita memasukkan persamaan tersebut ke dalam persamaan (2.4.1),
maka
π¦ β π₯ + π¦ β π§ = π₯ β π§
π¦ = π₯
Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa x,y,z adalah berbeda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Karena itu, kasus (iv) tidak memenuhi.
Kasus (v) mengakibatkan
π₯ β π¦ = π¦ β π₯ π¦ β π§ = π¦ β π§ π₯ β π§ = π§ β π₯
Jika kita memasukkan persamaan tersebut ke dalam persamaan (2.4.1),
maka
π¦ β π₯ + π¦ β π§ = π§ β π₯
π¦ = π§
Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa x,y,z adalah berbeda.
Karena itu, kasus (v) tidak memenuhi.
Kasus (vi) mengakibatkan
π₯ β π¦ = π₯ β π¦ π¦ β π§ = π§ β π¦ π₯ β π§ = π₯ β π§
Jika kita memasukkan persamaan tersebut ke dalam persamaan (2.4.1),
maka
π₯ β π¦ + π§ β π¦ = π₯ β π§
π§ = π¦
Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa x,y,z adalah berbeda.
Karena itu, kasus (vi) tidak memenuhi.
Jadi yang memungkinkan hanyalah kasus (i) atau kasus (ii), sehingga
terbukti bahwa x < y < z.
Sekarang kita akan menunjukkan jika x < y < z maka A-B-C.
Anggap x<y<z (untuk kasus z<y<x sama saja). Dalam kasus ini
π₯ β π¦ = π¦ β π₯ π¦ β π§ = π§ β π¦ π₯ β π§ = π§ β π₯
sehingga π₯ β π¦ + π¦ β π§ = π₯ β π§
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
atau π π΄ β π(π΅) + π(π΅) β π(πΆ) = π(π΄) β π(πΆ)
atau AB + BC = AC.
Jadi, A,B,C adalah tiga titik yang kolinear dan berbeda, serta A-B-C. β‘
2.5 Segmen, Sinar Garis, Sudut, Segitiga
Segmen garis, dan sinar garis, merupakan konsep yang penting
dalam geometri. Konsep segmen garis ini sangat berperan dalam konsep
segitiga. Sedangkan konsep sinar garis akan berperan dalam konsep sudut.
Berikut ini akan dibahas mengenai konsep segmen garis.
Definisi 2.5.1(Millman & Parker, 1991:52)
Jika A dan B adalah titik berbeda dalam geometri metrik { S , β, d } maka
segmen garis dari A ke B adalah himpunan
π΄π΅ = πΆ β S |π΄ β πΆ β π΅ ππ‘ππ’ πΆ = π΄ ππ‘ππ’ πΆ = π΅ β
Definisi 2.5.1 berbicara mengenai segmen garis. Segmen garis ini mulai
dikenal dalam sistem geometri metrik. Segmen garis merupakan kumpulan
titik-titik yang terletak di antara dua titik tertentu. Dua titik tertentu
tersebut adalah ujung-ujung dari segmen garis. Segmen garis dinotasikan
dengan π΄π΅ , dimana titik A dan B adalah kedua titik ujung dari segmen
garis.
Definisi 2.5.2 (Millman & Parker, 1991:54)
Titik akhir dari segmen AB adalah A dan B. Panjang segmen AB adalah
d(A, B). β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Definisi 2.5.2 mengatakan bahwa titik akhir atau titik ujung dari segmen
π΄π΅ adalah dua buah titik A dan B. Selain itu, panjang segmen garis
tersebut adalah jarak dari kedua titik ujungnya.
Untuk lebih memahami Definisi 2.5.1, perhatikan gambar berikut :
Gambar 2.11 mengilustrasikan segmen garis dalam bidang Kartesius.
Sedangkan Gambar 2.12 mengilustrasikan segmen garis dalam bidang
Poincare.
Definisi 2.5.3 (Wallace &West, 1992:67)
Dua segmen garis AB dan CD dikatakan kongruen (AB β CD ) jika dan
hanya jika panjang kedua segmen garis tersebut sama (π΄π΅ = πΆπ·) β
Untuk lebih memahami Definisi 2.5.3, perhatikan contoh berikut :
Contoh 2.5.1 :
Misalkan ada 3 segmen garis π΄π΅ , π΅πΆ dan π΄πΆ , dimana π΄ 1, 1 , π΅ 1,3 ,
πΆ(1, 5). Dari 2 segmen tersebut, kita akan mencari dua segmen yang
saling kongruen. Pertama-tama kita harus mencari panjang tiap segmen
garis.
Gambar 2.12 π΄π΅ Gambar 2.11 π΄π΅
A
B
A
B
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Jika ketiga titik tersebut berada pada bidang Euclid, maka jarak tiap
segmen adalah :
π΄π΅ = (1 β 1)2 + (1 β 3)2 = 2
π΄πΆ = (1 β 1)2 + (1 β 5)2 = 4
π΅πΆ = (1 β 1)2 + (3 β 5)2 = 2
Karena π΄π΅ = π΅πΆ, maka π΄π΅ β π΅πΆ .
Sekarang, jika ketiga titik tersebut berada pada bidang Poincare. Maka,
jarak tiap segmen adalah :
π΄π΅ = ππ 3
1 = ln 3
π΄πΆ = ππ 5
1 = ln 5
π΅πΆ = ππ 5
3 = ln
5
3
Karena π΄π΅ β π΄πΆ β π΅πΆ, maka menurut Poincare, ketiga segmen garis
tersebut tidak ada yang saling kongruen. β
Selanjutnya akan dibahas mengenai sinar garis.
Definisi 2.5.4 (Millman & Parker, 1991:54)
Jika A dan B adalah 2 titik yang berbeda dalam geometri metrik {S , β, d}
maka sinar garis dari A melewati B adalah himpunan
π΄π΅ = π΄π΅ βͺ πΆ β S |π΄ β π΅ β πΆ β
Perlu diingat bahwa sinar garis π΄π΅ merupakan himpunan bagian dari garis
π΄π΅ . Sinar garis π΄π΅ adalah himpunan titik-titik yang kolinear sedemikian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
hingga titik B terletak di antara titik A dan titik tersebut. Sinar garis
π΄π΅ hanya memiliki 1 ujung yaitu titik A, sedangkan ujung yang lain
terletak di tak hingga. Oleh karena itu, titik A disebut juga sebagai titik
asal sinar π΄π΅ seperti disebutkan dalam Definisi 2.5.5 berikut :
Definisi 2.5.5 (Millman & Parker, 1991:55)
Titik asal dari sinar garis AB adalah titik A. β
Untuk lebih memahami mengenai sinar garis,perhatikan gambar berikut :
Gambar 2.13 mengilustrasikan sinar garis π΄π΅ dalam bidang Euclid.
Sedangkan Gambar 2.14 mengilustrasikan sinar garis π΄π΅ dalam bidang
Poincare.
Setelah memahami mengenai sinar garis, sekarang kita akan membahas
mengenai sudut.
A
B
A
A
B
Gambar 2.14 π΄π΅ Gambar 2.13 π΄π΅
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Definisi 2.5.6 (Millman & Parker, 1991:59)
Jika A, B, dan C adalah titik-titik yang tidak segaris dalam geometri
metrik, maka sudut β ABC adalah himpunan
β π΄π΅πΆ = π΅π΄ βͺ π΅πΆ . β
Definisi 2.5.7 (Millman & Parker, 1991:61)
Titik sudut dari sudut β ABC dalam geometri metrik adalah titik B. β
Definisi 2.5.6 mengatakan bahwa sudut merupakan gabungan dari dua
buah sinar garis yang mempunyai titik asal yang sama. Titik asal inilah
yang kemudian disebut sebagai titik sudut, seperti didefinisikan pada
Definisi 2.5.7.
Untuk lebih memahami mengenai sudut, perhatikan gambar berikut :
Gambar 2.15 mengilustrasikan β π΄π΅πΆ dalam bidang Euclid. Sedangkan
Gambar 2.16 mengilustrasikan β π΄π΅πΆ dalam bidang Poincare. Dari kedua
gambar sudut di atas, titik B merupakan titik sudutnya.
Gambar 2.16 β π΄π΅πΆ Gambar 2.15 β π΄π΅πΆ
C
B
A
B
C
A
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Definisi 2.5.8 (Wallace &West, 1992:67)
Dua sudut (β π΄π΅πΆ πππ β π·πΈπΉ) dikatakan kongruen (β π΄π΅πΆ β β π·πΈπΉ)
jika dan hanya jika ukuran sudut keduanya sama besar πβ π΄π΅πΆ =
π β π·πΈπΉ . β
Setelah membahas mengenai sudut, selanjutnya kita akan membahas
mengenai segitiga.
Definisi 2.5.8 (Millman & Parker, 1991:61)
Jika A, B, C merupakan himpunan titik-titik yang tidak segaris dalam
geometri metrik, maka segitiga ABC adalah himpunan
βπ΄π΅πΆ = π΄π΅ βͺ π΅πΆ βͺ πΆπ΄ . β
Definisi 2.5.9 (Millman & Parker, 1991:62)
Dalam geometri metrik, titik-titik sudut dari βABC adalah titik A, B, dan
C. Sisi-sisi (atau rusuk) dari βABC adalah AB , BC dan CA . β
Definisi 2.5.8 mengatakan bahwa segitiga merupakan gabungan dari 3
segmen garis yang berbeda. Ketiga segmen garis tersebut kemudian
disebut sebagai sisi atau rusuk dari segitiga.
Untuk lebih memahami mengenai segitiga, perhatikan gambar berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Gambar 2.17 mengilustrasikan segitiga dalam bidang Euclid. Sedangkan
Gambar 2.18 mengilustrasikan segitiga dalam bidang Poincare.
Dari kedua gambar tersebut terlihat bahwa terdapat tiga segmen garis yaitu
π΄π΅ , π΅πΆ dan πΆπ΄ , ketiga segmen garis tersebut merupakan sisi dari
segitiga π΄π΅πΆ. Sedangkan titik sudut dari segitiga π΄π΅πΆ, adalah titik A, B
dan C.
2.6 Aksioma Pembagian Bidang
Aksioma Pembagian Bidang (Plane Separation Axiom ) ,
merupakan ide yang sangat intuitif bahwa setiap garis mempunyai βdua
sisiβ yang dibatasi oleh garis itu sendiri.
Sebelum kita membahas mengenai Aksioma Pembagian Bidang, kita perlu
memahami dulu mengenai konsep konveks dalam sebuah bidang, seperti
dibahas pada Definisi 2.6.1 berikut :
Definisi 2.6.1 (Millman & Parker, 1991:63)
Misalkan { S , β, d } adalah geometri metrik dan S 1 β S dikatakan
konveks jika untuk setiap dua titik P, Q β S 1, terdapat segmen garis
PQ β S 1. β
Gambar 2.18 βπ΄π΅πΆ Gambar 2.17 βπ΄π΅πΆ
A
B
C
B
A
C
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Definisi 2.6.1 mengatakan agar suatu bidang disebut konveks, maka untuk
setiap dua titik dalam bidang tersebut (misal titik P dan Q), terdapat
segmen garis ππ yang semua anggotanya juga terletak pada bidang
tersebut. Jadi tidak hanya sebagian dari segmen garis ππ yang terletak
dalam bidang, melainkan harus seluruh segmen garis ππ .
Setelah memahami mengenai konsep konveks, sekarang mari kita
membahas mengenai konsep Aksioma Pembagian Bidang (APB).
Definisi 2.6.2 (Millman & Parker, 1991:64)
Sebuah geometri metrik { S , β, d } memenuhi Aksioma Pembagian
Bidang jika untuk setiap l β β terdapat dua himpunan bagian H1 dan H2
dari S (selanjutnya disebut bidang paruh yang dibentuk oleh l ) sehingga:
1. S βπ = π»1 βͺ π»2
2. π»1 dan π»2 saling lepas dan konveks
3. Jika π΄ β π»1 dan π΅ β π»2 maka π΄π΅ β© π β β β
Untuk lebih memahami mengenai konsep Aksioma Pembagian Bidang,
perhatikan gambar berikut :
Gambar 2.19
π
π»2
π»1
π»2
π»1
π
Gambar 2.20
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Gambar 2.19 menggambarkan konsep Aksioma Pembagian bidang dalam
bidang Euclid. Sedangkan Gambar 2.20 menggambarkan konsep APB
dalam bidang Poincare. Terlihat dari kedua gambar di atas bahwa garis π
memisahkan bidang menjadi dua buah bagian. Bagian pertama disebut π»1
dan bagian kedua disebut sebagai π»2 .
Sekarang akan diberikan definisi mengenai cara menyebut 2 titik yang
terletak pada salah satu atau kedua buah sisi π»1 dan π»2.
Definisi 2.6.3 (Millman & Parker, 1991:66)
Misalkan { S , β, d } adalah geometri metrik yang memenuhi APB,
π β β, H1 dan H2 adalah bidang paruh yang dibentuk oleh π. Dua titik A
dan B dikatakan berada pada sisi yang sama terhadap π jika keduanya
berada pada di H1 atau H2. Dan dikatakan berada pada sisi yang
berlawanan terhadap π jika salah satu titik berada di H1 dan titik yang lain
berada di H2. Jika A β H1 , kita katakan H1 adalah sisi dari π yang
mengandung A. β
Untuk lebih memahami mengenai Definisi 2.6.3, perhatikan gambar
berikut :
π
A
B
B A π
Gambar 2.21 Gambar 2.22
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Gambar 2.21 mengilustrasikan titik A dan titik B yang terletak pada sisi
yang saling berlawanan terhadap garis π, dalam bidang Euclid.
Gambar 2.22 mengilustrasikan titik A dan titik B yang terletak pada sisi
yang sama terhadap garis π, dalam bidang Poincare.
2.7 Geometri Pash
Sekarang kita akan membahas mengenai sistem geometri baru
yaitu geometri Pash. Geometri Pash ini merupakan sistem geometri yang
memenuhi Postulat Pash. Sebelum kita membahas lebih jauh mengenai
geometri Pash, terlebih dahulu akan diberikan definisi mengenai Postulat
Pash.
Definisi 2.7.1 (Millman & Parker, 1991:75)
Geometri metrik dikatakan memenuhi Postulat Pash (PP) jika untuk
sembarang garis π, sembarang segitiga ABC dan sembarang titik D β π
sedemikian sehingga A β D β B, maka π β© π΄πΆ β β atau π β© π΅πΆ β β . β
Untuk lebih memahami Definisi 2.7.1, perhatikan gambar berikut :
A D
C
B
π
Gambar 2.23 Ilustrasi definisi 2.7.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Gambar 2.23 menunjukkan sebuah segitiga ABC, dimana terdapat titik
π· β π΄π΅ , sedemikian sehingga untuk sembarang garis π yang melewati D,
maka garis π tersebut akan memotong segmen garis π΄πΆ atau π΅πΆ .
Berikut ini akan diberikan Teorema mengenai hubungan antara Postulat
Pash dengan Aksioma Pembagian Bidang, yang sudah dibahas pada bagian
2.6.
Teorema 2.7.1 (Millman & Parker, 1991:75)
(Teorema Pash) Jika geometri metrik memenuhi APB, maka juga
memenuhi PP.
Bukti :
Diketahui βπ΄π΅πΆ dan sembarang garis π. Asumsikan ada sebuah titik π· β π
dengan π΄ β π· β π΅. Kita akan menunjukkan bahwa π β© π΄πΆ β β atau
π β© π΅πΆ β β . Perhatikan Gambar 2.23.
Sekarang andaikan π β© π΄πΆ = β . Kita akan menunjukkan bahwa π β©
π΅πΆ β β .
π β π΄π΅ karena π΄ β π΄πΆ β© π΄π΅ . Jadi A dan B tidak berada pada garis π dan
berada pada sisi yang saling berlawanan dari garis π karena π΄π΅ β© π =
π· β β . A dan C terletak pada sisi yang sama dari garis π karena π΄πΆ β©
π = β . Oleh karena itu, B dan C berada pada sisi yang saling berlawanan
dari garis π sehingga π β© π΅πΆ β β .
Jadi, π β© π΄πΆ β β atau π β© π΅πΆ β β benar. β‘
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Teorema 2.7.1 mengatakan jika geometri metrik memenuhi Aksioma
Pembagian Bidang, maka geometri tersebut pasti memenuhi Postulat Pash.
Dari Definisi 2.7.1 dan Teorema 2.7.1, kita dapat merumuskan sebuah
sistem geometri baru yang merupakan himpunan bagian dari geometri
metrik dan memenuhi Aksioma Pembagian Bidang. Sistem geometri
tersebut selanjutnya dinamakan Geometri Pash, seperti didefinisikan pada
Definisi 2.7.2 berikut.
Definisi 2.7.2 (Millman & Parker, 1991:76)
Geometri Pash adalah geometri metrik yang memenuhi APB. β
Definisi 2.7.2 mendefinisikan sistem geometri Pash, yaitu geometri Metrik
yang memenuhi APB.
Selanjutnya, akan dibahas mengenai interior dari segmen garis, sinar garis,
dan sudut. Konsep interior ini akan berperan penting dalam pembahasan
Teorema Crossbar.
Definisi 2.7.3 (Millman & Parker, 1991:82)
Interior dari sinar garis AB dalam geometri metrik adalah himpunan
int AB = AB β A .
Interior dari segmen garis AB dalam geometri metrik adalah himpunan
int AB = AB β A, B . β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Definisi 2.7.3 mengatakan bahwa interior dari sebuah sinar garis adalah
himpunan titik-titik yang menyusun sinar garis tersebut, kecuali titik asal
nya. Sedangkan interior dari sebuah segmen garis adalah himpunan titik-
titik yang menyusun segmen garis tersebut, kecuali dua titik ujungnya.
Definisi 2.7.4 (Millman & Parker, 1991:83)
Interior β ABC (ditulis int(β ABC) adalah perpotongan sisi AB yang
memuat C dengan sisi BC yang memuat A. β
Untuk lebih memahami mengenai interior sebuah sudut, perhatikan
gambar berikut :
Gambar 2.24 merupakan ilustrasi Definisi 2.7.4. Gambar tersebut
menunjukkan interior dari β π΄π΅πΆ, yaitu bagian yang diarsir. Bagian yang
diarsir tersebut merupakan irisan antara sisi AB yang memuat C dengan
sisi BC yang memuat A.
Selanjutnya, kita akan membahas mengenai Teorema Crossbar. Ide dari
Teorema Crossbar ini sebenarnya hampir mirip dengan Postulat Pash.
A
C B
Gambar 2.24 Interior β π¨π©πͺ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Teorema 2.7.2 (Millman & Parker, 1991:84)
(Teorema Crossbar) Dalam geometri Pash, jika P β int(β ABC) maka BP
memotong AC di sebuah titik F dengan A β F β C .
Agar lebih memahami Teorema Crossbar, perhatikan gambar berikut :
Bukti :
Kita andaikan pernyataan tersebut salah maka π΅π memotong π΄πΆ disebuah
tititk πΉ dengan πΉ β π΄ β πΆ atau π΄ β πΆ β πΉ.
Sebelumnya perlu diingat bahwa π β πππ‘(β π΄π΅πΆ) . Artinya, π dan π΄
terletak pada sisi yang sama dari π΅πΆ demikian juga π dan πΆ terletak pada
sisi yang sama dari π΅π΄ .
Kita andaikan π΅π memotong π΄πΆ di πΉ dan πΉ β π΄ β πΆ, sehingga π΄ dan πΆ
terletak pada sisi yang sama dari π΅π . Akibatnya, π dan πΆ terletak pada sisi
yang saling berlawanan terhadap garis π΅π΄ atau dengan kata lain, π β
πππ‘(β π΄π΅πΆ). Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa π β πππ‘(β π΄π΅πΆ)
Sekarang kita andaikan π΅π memotong π΄πΆ di πΉ dan π΄ β πΆ β πΉ, sehingga π΄
dan πΆ terletak pada sisi yang sama dari π΅π . Akibatnya, π dan π΄ terletak
pada sisi yang saling berlawanan terhadap garis π΅πΆ atau dengan kata lain,
C
Gambar 2.25 Ilustrasi Teorema Crossbar
A F
B
P
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
π β πππ‘(β π΄π΅πΆ). Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa π β
πππ‘(β π΄π΅πΆ).
Jadi, pengandaian salah dan yang benar adalah π΅π memotong π΄πΆ di
sebuah titik F dengan A β F β C β‘
Gambar 2.25 mengilustrasikan Teorema Crossbar. Teorema ini
mengatakan, untuk sembarang titik P β πππ‘(β π΄π΅πΆ), maka sinar garis π΅π
kan memotong segmen garis π΄πΆ pada sebuah titik F, dimana F terletak di
antara A dan C. Atau dengan kata lain, titik F β π΄πΆ .
2.8 Geometri Protraktor
Setelah kita membahas mengenai Geometri Pash, sekarang kita
akan membahas mengenai sistem geometri lain yang bernama Geometri
Protraktor. Geometri Protraktor ini merupakan himpunan bagian dari
Geometri Pash. Geometri Protraktor adalah Geometri Pash yang
mempunyai ukuran sudut. Sebelum kita membahas Geometri Protraktor,
terlebih dahulu akan diberikan definisi mengenai ukuran sudut.
Definisi 2.8.1 (Millman & Parker, 1991:90)
Misalkan r0 bilangan real positif. Dalam geometri Pash, ukuran sudut
(atau Protraktor) adalah fungsi m dari himpunan sudut-sudut π ke
himpunan bilangan real sedemikian sehingga berlaku
1. Jika β ABC β π maka 0 < π β ABC < r0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
2. Jika BC pada rusuk dari bidang paruh H1 dan ΞΈ bilangan real positif
dengan 0 < ΞΈ< r0 maka terdapat sinar garis tunggal BA dengan A β H1
dan m β ABC = ΞΈ
3. Jika D β int(β ABC) maka m β ABD + m β DBC = m β ABC .
β
Definisi 2.8.1 membahas mengenai ukuran sudut dalam Geometri Pash.
Aksioma pertama mengatakan bahwa ukuran suatu sudut berada dalam
suatu rentang tertentu. Nilai minimalnya adalah 0, sedangkan nilai
maksimalnya adalah suatu bilangan real positif tertentu.
Aksioma kedua berbicara mengenai konstruksi sudut. Jika π΅πΆ terletak
pada rusuk bidang paruh π»1 (artinya, sinar garis π΅πΆ terletak pada garis
yang memisahkan bidang π»1 dan π»2), maka terdapat sinar garis tunggal
π΅π΄ dengan π΄ β π»1, dan besar sudut yang terbentuk antara dua sinar garis
tersebut adalah bilangan real positif tertentu. Untuk lebih memahami
aksioma 2 pada Definisi 2.8.1, perhatikan Gambar 2.26.
Aksioma ketiga berbicara tentang penjumlahan sudut. Jika ada dua buah
sudut yang memiliki satu sinar garis yang sama, maka kedua sudut tersebut
dapat membentuk sebuah sudut baru yang ukurannya merupakan jumlahan
dari ukuran dua sudut tersebut. Untuk lebih memahaminya, perhatikan
ilustrasi pada Gambar 2.27.
A
C
π
B
Gambar 2.26
π½
πΌ πΌ + π½
D
A
C
B
Gambar 2.27
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Gambar 2.26 mengilustrasikan aksioma kedua dari Definisi 2.8.1.
Sedangkan Gambar 2.27 mengilustrasikan aksioma ketiga dari Definisi
2.8.1.
Setelah membahas mengenai ukuran sudut, sekarang kita akan membahas
mengenai Geometri Protraktor.
Definisi 2.8.2 (Millman & Parker, 1991:91)
Geometri protraktor { S , β, d, m } adalah geometri Pash { S , β, d }
dengan ukuran sudut m. β
Definisi 2.8.2 berbicara mengenai definisi Geometri Protraktor, yaitu
Geometri Pash dengan ukuran sudut π.
Definisi 2.8.3 (Millman & Parker, 1991:108)
Dalam geometri protraktor { S , β, d, m } dua sudut β ABC dan β DEF
dikatakan kongruen (β ABC β β DEF) jika m(β ABC) = m(β DEF).
β
Definisi 2.8.3 berbicara mengenai 2 sudut yang kongruen. Dua sudut
dikatakan kongruen jika ukuran ke dua sudut tersebut sama. Konsep
kekongruenan sudut ini penting untuk membahas Teorema konstruksi
sudut, Teorema pengurangan sudut dan teoreama penjumlahan sudut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Selanjutnya, akan dibahas mengenai konsep ukuran sudut dalam bidang
Euclides dan bidang Poincare.
Definisi 2.8.3 (Millman & Parker, 1991:93)
Pada bidang Euclid, ukuran sudut Euclid β ABC adalah
π β π΄π΅πΆ = πππ β1 π΄βπ΅,πΆβπ΅
π΄βπ΅ . πΆβπ΅ β
Untuk ukuran sudut dalam bidang Poincare, kita menggunakan bantuan
tangen Euclid. Berikut akan diberikan definisi mengenai tangen Euclid,
pada garis dalam bidang Poincare.
Definisi 2.8.4 (Millman & Parker, 1991:94)
Jika BA adalah sinar garis pada bidang Poincare dengan A = xA , yA dan
B = xB , yB maka tangen Euclid untuk BA di B adalah :
TBA =
0, yA β yB , jika AB adalah garis tipe I, aL
yB , c β xB , jika AB adalah garis tipe II, cLr, xB < xA
β yB , c β xB , jika AB adalah garis tipe II, cLr, xB > xA
Tangen sinar garis Euclid untuk BA adalah sinar garis Euclid BAβ² dengan
Aβ² = B + TBA . β
Definisi 2.8.5 (Millman & Parker, 1991:95)
Ukuran sudut Poincare β ABC dalam β adalah
mH β ABC = mE β Aβ²BCβ² = cosβ1 TBA ,TBC
TBA . TBC
dengan Aβ= B + TBA dan Cβ = B + TBC dan mE β Aβ²BCβ² adalah ukuran
sudut Euclid β Aβ² BCβ² . β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Gambar 2.28 merupakan ilustrasi dari sudut dalam bidang Poincare.
Selanjutnya, akan diberikan Teorema mengenai konstruksi sudut.
Teorema 2.8.1 (Millman & Parker, 1991:108)
(Teorema Konstruksi Sudut ) Dalam geometri Protraktor, jika ada β ABC
dan sebuah sinar garis ED yang terletak di tepi bidang paruh H1, maka ada
sebuah sinar garis EF dengan F β H1, dan β ABC β β DEF .
Bukti :
Kita andaikan pernyataan tersebut salah maka untuk setiap sinar garis πΈπΉ ,
β π΄π΅πΆ β β π·πΈπΉ.
Misalkan π β π΄π΅πΆ = π maka menurut Definisi 2.8.1, terdapat sebuah
sinar garis πΈπΉ sehingga π β π·πΈπΉ = π. Akibatnya, π β π΄π΅πΆ =
π β π·πΈπΉ = π sehingga β π΄π΅πΆ β β π·πΈπΉ. Hal ini kontradiksi dengan
pernyataan bahwa β π΄π΅πΆ β β π·πΈπΉ. Oleh karena itu, pengandaian salah.
Jadi terbukti bahwa terdapat sebuah sinar garis πΈπΉ dengan πΉ β π»1, dan
β π΄π΅πΆ β β π·πΈπΉ
Gambar 2. 28
B
ππ΅π΄
ππ΅πΆ
Aβ
Cβ
A
C
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Atau, kita misalkan π β π΄π΅πΆ = π. Dengan menggunakan Definisi 2.8.1,
Teorema ini langsung terbukti . β‘
Teorema 2.8.1 membahas mengenai Teorema konstruksi sudut. Teorema
ini mirip dengan definisi ukuran sudut pada Definisi 2.8.1, hanya saja
ukuran sudut yang terbentuk bukan bilangan bilangan real tertentu, tetapi
harus kongruen dengan sudut tertentu.
Untuk lebih memahami Teorema 2.8.1, perhatikan gambar berikut :
Selanjutnya, akan diberikan Teorema-Teorema mengenai penjumlahan
sudut dan pengurangan sudut.
Teorema 2.8.2 (Millman & Parker, 1991:108)
(Teorema Penjumlahan Sudut ) Dalam geometri Protraktor, jika D β
int (β ABC), S β int (β PQR), β ABD β β PQS, dan β DBC β β SQR, maka
β ABC β β PQR.
Bukti :
Menurut aksioma ketiga dari definisi sudut, jika D β int(β ABC) maka
m β ABD + m β DBC = m β ABC .
Sehingga, jika S β int(β PQR) maka
A
C
π
B
F
D
π
E
Gambar 2.29
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
m β PQS + m β SQR = m β PQR .
Dari kedua persamaan di atas terlihat jelas jika β π΄π΅π· β β πππ dan
β π·π΅πΆ β β πππ maka β π΄π΅πΆ β β πππ .
Teorema 2.8.2 berbicara mengenai penjumlahan dua sudut. Untuk lebih
jelasnya, perhatikan Gambar 2.30.
Teorema 2.8.3 (Millman & Parker, 1991:108)
(Teorema Pengurangan Sudut ) Dalam geometri Protraktor, jika D β
int (β ABC), S β int (β PQR), β ABD β β PQS, dan β ABC β β PQR maka
β DBC β β SQR.
Bukti dari Teorema ini mengikuti bukti dari Teorema 2.8.2.
Teorema ini merupakan kebalikan dari Teorema 2.8.2. Teorema 2.8.3 ini
berbicara mengenai pengurangan sudut. Untuk lebih memahaminya,
perhatikan Gambar 2.30.
Gambar 2.30 merupakan ilustrasi Teorema 2.8.2 dan Teorema 2.8.3.
Selanjutnya, akan diberikan Akibat mengenai garis pembagi dua tegak
lurus.
π½
πΌ πΌ + π½
S
P
R
Q π½
πΌ πΌ + π½
D
A
C
B
Gambar 2.30
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Akibat 2.8.4 (Millman & Parker, 1991:107)
Dalam geometri Protraktor, setiap segmen garis AB mempunyai tepat satu
pembagi dua tegak lurus, yaitu sebuah garis π β₯ AB dengan π β© AB = M ,
dimana M adalah titik tengah dari segmen garis AB .
Akibat 2.8.4 mengatakan bahwa setiap segmen garis mempunyai tepat
sebuah garis yang tegak lurus dengan segmen terssebut dan membagi dua
segmen sama besar.
2.9 Geometri Netral
Geometri Netral merupakan geometri yang banyak berbicara
mengenai kongruensi segitiga. Konsep kongruensi segitiga ini cukup
penting dan sangat banyak digunakan saat membahas mengenai Geometri
Netral.
Definisi 2.9.1 (Millman & Parker, 1991:125)
Misalkan βABC dan βDEF adalah dua segitiga dalam geometri protraktor
dan fungsi f: A, B, C β D, E, F adalah fungsi bijektif antara titik-titik
pada segitiga tersebut. Fungsi f dikatakan sebuah kongruensi jika
memenuhi :
π΄π΅ β π π΄ π(π΅) π΅πΆ β π π΅ π(πΆ) π΄πΆ β π πΆ π(π΄)
β π΄ β β π(π΄) β π΅ β β π(π΅) β πΆ β β π(πΆ) β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Definisi 2.9.1 mengatakan bahwa dua buah segitiga dikatakan kongruen
jika panjang sisi-sisi yang bersesuaian kongruen, serta ukuran sudut-sudut
yang bersesuaian juga kongruen.
Gambar 2.31 mengilustrasikan βπ΄π΅πΆ πππ βπ·πΈπΉ, dua segitiga yang saling
kongruen. Dapat dilihat pada kedua gambar di atas bahwa ketiga sisi yang
bersesuaian saling kongruen serta sudut-sudut yang bersesuaian juga
kongruen.
Definisi 2.9.2 (Millman & Parker, 1991:127)
Geometri protraktor memenuhi Aksioma Sisi-Sudut-Sisi (SsSdSs) jika
untuk sembarang βABC dan βDEF yaitu dua segitiga dengan AB β DE ,
β B β β E, BC β EF maka βABC β βDEF. β
Untuk lebih memahami definsi 2.9.2, perhatikan gambar berikut :
πΎ
π½
πΌ A
B
C πΎ
π½
πΌ
F
E
D
Gambar 2.31 βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ
Gambar 2.32 βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ
π½
A
B
C
π½
F
E
D
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Gambar 2.32 merupakan ilustrasi Definisi 2.9.2. Dua segitiga seperti
gambar di atas, termasuk dua segitiga yang saling kongruen berdasarkan
aksioma Sisi-Sudut-Sisi.
Berikut ini diberikan definisi mengenai Geometri Netral. Geometri Netral
merupakan geometri protraktor yang memenuhi aksioma Sisi-Sudut-Sisi
(SsSdSs)
Definisi 2.9.3 (Millman & Parker, 1991:127)
Geometri netral (geometri absolut ) adalah geometri protraktor yang
memenuhi aksioma SsSdSs. β
Berikut ini akan diberikan mengenai definisi dari aksioma Sudut-Sisi-
Sudut (SdSdSd).
Definisi 2.9.4 (Millman & Parker, 1991:131)
Geometri protraktor memenuhi aksioma Sudut-Sisi-Sudut (SdSsSd) jika
untuk βABC dan βDEF yaitu dua segitiga dengan β A β β D, AB β DE ,
β B β β E maka βABC β βDEF. β
Untuk lebih memahami Definisi 2.9.4, perhatikan gambar berikut :
Gambar 2.33 βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ
π½
πΌ A
B
C
π½
πΌ
F
E
D
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Gambar 2.33 mengilustrasikan βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ berdasarkan aksioma
Sudut-Sisi-Sudut.
Aksioma terakhir mengenai kongruensi segitiga adalah aksioma Sisi-Sisi-
Sisi (SsSsSs).
Definisi 2.9.5 (Millman & Parker, 1991:132)
Geometri protraktor memenuhi Aksioma Sisi-Sisi-Sisi (SsSsSs) jika untuk
βABC dan βDEF yaitu dua segitiga dengan AB β DE , BC β EF , CA β FD
maka βABC β βDEF. β
Untuk lebih memahami Definisi 2.9.5, perhatikan gambar berikut ini
Gambar 2.34 merupakan ilustrasi Definisi 2.9.5. Gambar ini menunjukkan
dua segitiga yang saling kongruen menurut Aksioma SsSsSs.
Selanjutnya, akan diberikan Teorema mengenai sifat-sifat geometri netral
Teorema 2.9.1 (Millman & Parker, 1991:131)
Geometri netral memenuhi aksioma SdSsSd
Gambar 2.34 βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ
A
B
C F
E
D
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Teorema 2.9.2 (Millman & Parker, 1991:132)
Geometri netral memenuhi aksioma SsSsSs.
Kedua teorema di atas dapat dibuktikan dengan cukup mudah. Geometri
netral adalah himpunan bagian dari geometri protraktor. Oleh karena itu,
geometri netral memuat sifat-sifat yang berlaku umum dalam geometri
protrkator. Padahal dalam geometri protraktor, memenuhi sifat aksioma
SdSsSd dan aksioma SsSsSs. Oleh karena itu, kedua aksioma tersebut juga
berlaku dalam geometri netral
2.10 Kolineasi dan Isometri
Kolineasi dan isometri merupakan suatu konsep yang penting juga
dalam geometri, khususnya geometri transformasi.
Berikut akan diberikan definisi mengenai kolineasi dan isometri serta sifat-
sifat isometri.
Definisi 2.10.1 (Prasekti, 2012 : 48)
Misalkan β = { S , β} dan ββ² = { S β, ββ} adalah geometri insidensi,
maka fungsi Ο: S β S mempertahankan garis jika untuk sembarang
garis l dari S , Ο(l) adalah garis dari S β β
Fungsi π disebut kolineasi jika π adalah fungsi bijektif yang
mempertahankan garis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Definisi 2.10.1 mengatakan bahwa suatu fungsi dikatakan kolineasi jika
fungsi tersebut mempertahankan garis. Artinya, jika ada suatu garis π,
maka hasil pemetaannya oleh fungsi tersebut juga berupa garis.
Definisi 2.10.2 (Prasekti, 2012 : 58)
Misalkan π’ = { S , β, d } dan π’β² = { S β², ββ², dβ² } adalah geometri metrik.
Sebuah isometri dari π’ ke π’β² adalah fungsi Ο: S β S β sedemikian
hingga untuk semua A, B β S berlaku
dβ² ΟA, ΟB = d A, B .
Fungsi Ο yang memenuhi persamaan tersebut dikatakan mempertahankan
jarak. β
Definisi 2.10.2 mengatakan bahwa sebuah isometri adalah fungsi yang
mempertahankan jarak. Artinya, jika terdapat titik A dan B, dengan jarak
π π΄, π΅ , maka jarak dari hasil pemetaan kedua titik tersebut akan sama
dengan π π΄, π΅ .
Lemma 2.10.1 (Prasekti, 2012 : 63)
Isometri dalam Geometri Netral mempertahankan keantaraan. Lebih
tepatnya jika { S , β, d } adalah Geometri Metrik, jika { S β, ββ², dβ²,mβ }
adalah Geometri Netral, jika Ο: S β S β adalah sebuah isometri, dan jika
A,B,C adalah titik-titik pada S dengan A β B β C maka Ο A β Ο B β Ο C.
Selanjutnya jika π β β maka Ο π β πβ² untuk suatu πβ² β ββ².
Bukti :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Jika A, B, C dalam S dan AβBβC maka A, B, C segaris dan d(A,B) +
d(B,C) = d(A,C).
Karena π isometri, maka πβ² ππ΄, ππ΅ = π π΄, π΅ , πβ² ππ΄, ππΆ =
π π΄, πΆ , dan πβ² ππ΅, ππΆ = π π΅, πΆ .
Maka dari itu , πβ² ππ΄, ππ΅ + πβ² ππ΅, ππΆ = πβ² ππ΄, ππΆ . Berdasarkan
Definisi 2.4.1 , akibatnya ππ΄ β ππ΅ β ππΆ.
Misalkan π = π΄π΅ dan πβ² = ππ΄ππ΅ . Jika π· β π dan π· β π΄, π· β π΅ maka
π· β π΄ β π΅, π΄ β π· β π΅, atau π΄ β π΅ β π·. Berdasarkan bagian pertama
pada pembuktian, maka ππ· β ππ΄ β ππ΅, ππ΄ β ππ· β ππ΅ atau ππ΄ β ππ΅ β
ππ·. Sehingga pada setiap kasus ππ· β πβ² dan π(π) β πβ². β‘
Lemma 2.10.1 menyatakan bahwa suatu isometri mempertahankan
keantaraan. Artinya, jika titik A terletak di antara B dan C, maka hasil
pemetaan titik A juga berada di antara hasil pemetaan titik B dan C.
Definisi 2.10.3 (Prasekti, 2012 : 73)
Fungsi Ο: S β S β pada Geometri Protraktor dikatakan mempertahankan
sudut siku-siku jika β ΟAΟBΟC adalah sudut siku-siku dalam S β apabila
β ABC adalah siku-siku pada S .
Ο mempertahankan ukuran sudut jika untuk setiap β ABC dalam S ,
mβ² β ΟAΟBΟC = m(β ABC) dimana m adalah ukuran sudut pada S dan
mβ adalah ukuran sudut pada S β. β
Definisi 2.10.3 berbicara mengenai definisi suatu fungsi dapat dikatakan
mempertahankan sudut. Jika terdapat 3 titik A, B, dan C, yang membentuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
sudut β π΄π΅πΆ, maka ukuran sudut hasil pemetaan ketiga titik tersebut, akan
sama dengan ukuran sudut sebelumnya.
Lemma 2.10.2 (Prasekti, 2012 : 76)
Jika Ο: S β S β adalah isometri pada Geometri Netral dan D β int (β ABC)
maka ΟD β int (β ΟAΟBΟC).
Bukti :
Diketahui π· β πππ‘(β π΄π΅πΆ), sedemikian hingga π΄ β π· β πΆ. Karena π
isometri, maka menurut Lemma 2.10.1, ππ΄ β ππ· β ππΆ.
Karena π isometri, maka :
πβ² ππ΅, ππ· = π π΅, π· , πβ² ππ΄, ππ· = π π΄, π· , πβ² ππ·, ππΆ = π π·, πΆ
πβ² ππ΄, ππ΅ = π π΄, π΅ dan πβ² ππ΅, ππΆ = π π΅, πΆ
Perhatikan βπ΄π΅π· pada gambar (a) dan βππ΄ππ΅ππ· pada gambar (b).
Karena πβ² ππ΄, ππ΅ = π π΄, π΅ , πβ² ππ΅, ππ· = πβ²(π΅, π·), dan
πβ² ππ΄, ππ· = π π΄, π· , maka βπ΄π΅π· β βππ΄ππ΅ππ· (πππ). Akibatnya,
β π΄π΅π· = β ππ΄ππ΅ππ·.
Sekarang perhatikan βπ΅π·πΆ pada gambar (a) dan βππ΅ππ·ππΆ pada gambar
(b). Karena πβ² ππ΅, ππ· = π π΅, π· , πβ² ππ΅, ππΆ = πβ²(π΅, πΆ), dan
πβ² ππ·, ππΆ = π π·, πΆ , maka βπ΅π·πΆ β βππ΅ππ·ππΆ (πππ). Akibatnya,
β π·π΅πΆ = β ππ·ππ΅ππΆ.
Kita dapatkan β π΄π΅π· + β π·π΅πΆ = β ππ΄ππ΅ππ· + β ππ·ππ΅ππΆ.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Padahal, β π΄π΅π· + β π·π΅πΆ = β π΄π΅πΆ dan β ππ΄ππ΅ππ· + β ππ·ππ΅ππΆ =
β ππ΄ππ΅ππΆ. Akibatnya, β π΄π΅πΆ = β ππ΄ππ΅ππΆ . Ini berarti π
mempertahankan β π΄π΅πΆ menjadi β ππ΄ππ΅ππΆ.
Berdasarkan Definisi 2.8.1, karena π(β ππ΄ππ΅ππ·) + π(β ππ·ππ΅ππΆ) =
π(β ππ΄ππ΅ππΆ), maka dapat disimpulkan ππ· β πππ‘(β ππ΄ππ΅ππΆ).
Untuk lebih memahami lemma 2.10.2, perhatikan gambar berikut :
β‘
Lemma 2.10.2 berbicara mengenai sifat isometri bahwa isometri
mempertahankan interior sudut. Terlihat dari Gambar 2.35, bahwa titik
π· β πππ‘ (β π΄π΅πΆ) , setelah pemetaan, titik ππ· β πππ‘ (β ππ΄ππ΅ππΆ).
Lemma 2.10.4 (Prasekti, 2012 : 73)
Jika Ο: S β S β adalah isometri pada Geometri Netral maka Ο
mempertahankan sudut siku-siku.
Bukti :
Ξ± Ξ²
Λ
A
D
C B
Ξ± Ξ²
Λ
ΟD
ΟA
ΟC ΟB
Gambar 2. 35 Ilustrasi Lemma 2.10.3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Misalkan β π΄π΅πΆ adalah sudut siku-siku pada S . Kita harus menunjukkan
bahwa β ππ΄ππ΅ππΆ adalah sudut siku-siku.
Kita misalkan D adalah titik tertentu sedemikian hingga π· β π΅ β πΆ dan
π·π΅ β π΅πΆ seperti pada gambar. Maka
βπ΄π΅πΆ β βπ΄π΅π· (Aksioma ππ ππππ ).
Akibatnya, π΄πΆ β π΄π· . Karena π mempertahankan jarak, kita dapatkan :
ππ΄ππ΅ β ππ΄ππ΅ , ππ΄ππΆ β ππ΄ππ· , ππ΅ππΆ β ππ΅ππ· sehingga
βππ΄ππ΅ππΆ β βππ΄ππ΅ππ· (ππ ππ ππ ) seperti pada gambar
Karena βππ΄ππ΅ππΆ β βππ΄ππ΅ππ· maka β ππ΄ππ΅ππΆ β β ππ΄ππ΅ππ·
Karena ππ· β ππ΅ β ππΆ, β ππ΄ππ΅ππΆ dan β ππ΄ππ΅ππ· merupakan bentuk
linear dari sudut yang kongruen, akibatnya β ππ΄ππ΅ππΆ dan β ππ΄ππ΅ππ·
masing-masing adalah segitiga siku-siku. β‘
Lemma 2.10.4 mengatakan bahwa suatu isometri dalam geometri netral
pasti mempertahankan sudut siku-siku.
A
β₯ D C B
β₯
ππ΄
ππ·
ππΆ
ππ΅
Gambar 2. 36 Ilustrasi Lemma 2.10.4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
2.11 Refleksi pada Bidang Euclid
Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai refleksi dalam bidang Euclid.
Berikut adalah definisi mengenai refleksi yang berlaku dalam bidang
Euclid.
Definisi 2.11.1 (Susanta, 1990 : 49)
Refleksi terhadap garis s (disimbolkan Ms) ialah pemetaan yang memenuhi
1. Untuk titik B pada s, Ms(B) = B
2. Untuk titik A di luar s, Ms(A) = Aβ sedemikian hingga s adalah sumbu
AAβ² . β
Sumbu suatu garis π΄π΄β² ialah garis yang membagi dua sama π΄π΄β² dan tegak
lurus padanya, yaitu tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama
dengan A dan Aβ.
Garis s diatas lalu disebut sumbu refleksi.
Untuk lebih memahami mengenai refleksi dalam bidang Euclid, perhatikan
gambar berikut :
Gambar 2.37
Refleksi dalam Bidang Euclid
ππ
π
πβ²
π
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Menurut Susanta (1990), misalkan π β‘ ππ₯ + ππ¦ + π = 0 adalah sebuah
garis tidak vertikal dalam bidang Euclid maka fungsi refleksi π: β2 β β2
terhadap garis π tersebut diberikan oleh :
Bila πβ² = ππ (π) dan π π₯, π¦ , πβ² (π₯ β² , π¦ β²) dengan P diluar s maka harus
dipernuhi,
ππβ² β₯ π , jadi π1 . π2 = β1
π¦ β² βπ¦
π₯ β² βπ₯.
βπ
π = β1
π¦ β² βπ¦
π₯ β² βπ₯=
π
π
π¦ β² =π
π π₯ β² β π₯ + π¦ .....(1)
Titik tengah ππβ² pada π , jadi koordinat titik tengah ππβ² harus memenuhi
persamaan garis π .
Koordinat titik tengah ππβ² adalah π₯+π₯ β²
2,π¦+π¦ β²
2 , sehingga
π π₯+π₯ β²
2 + π
π¦+π¦ β²
2 + π = 0
π π₯ + π₯ β² + π π¦ + π¦ β² + 2π = 0
ππ₯ + ππ₯ β² + ππ¦ + ππ¦ β² + 2π = 0 ....(2)
Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2),
ππ₯ + ππ₯ β² + ππ¦ + π π
π π₯ β² β π₯ + π¦ + 2π = 0
ππ₯ + ππ₯ β² + ππ¦ +π2
ππ₯ β² β
π2
ππ₯ + ππ¦ + 2π = 0
π +π2
π π₯ β² =
π2
πβ π π₯ β 2ππ¦ β 2π
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
π2+π2
π π₯ β² =
π2βπ2
π π₯ β 2ππ¦ β 2π
π₯ β² = π2βπ2
π2+π2 π₯ β2πππ¦
π2+π2 β2ππ
π2+π2
π₯ β² = π2+π2β2π2
π2+π2 π₯ β2πππ¦
π2+π2 β2ππ
π2+π2
π₯ β² = π2+π2
π2+π2 π₯ ββ2π2π₯
π2+π2 β2πππ¦
π2+π2 β2ππ
π2+π2
π₯ β² = π₯ β2π(ππ₯ +ππ¦ +π)
π2+π2
Substitusikan π₯β² ke persamaan (1),
π¦ β² =π
π π₯ β² β π₯ + π¦
π¦ β² =π
π π₯ β
2π (ππ₯ +ππ¦ +π)
π2+π2 β π₯ + π¦
π¦ β² = π¦ +π
π β
2π(ππ₯ +ππ¦ +π)
π2+π2
π¦ β² = π¦ β2π(ππ₯ +ππ¦ +π)
π2+π2
Sehingga, rumus umum refleksi terhadap sembarang garis π dalam bidang
Euclid adalah :
π π₯, π¦ = π₯ β2π(ππ₯ +ππ¦ +π)
π2+π2 , π¦ β2π(ππ₯ +ππ¦ +π)
π2+π2
Untuk lebih memahami refleksi dalam bidang Euclid, perhatikan contoh
berikut :
Contoh 2.11.1 :
Misal garis π₯ β π¦ + 1 = 0 adalah sebuah garis dalam bidang Euclid. Kita
akan mencari hasil refleksi titik π΄ 0,1 , dan π΅(5,4) terhadap garis
π₯ β π¦ + 1 = 0. Pertama-tama, kita harus mencari rumus refleksi terhadap
garis tersebut dengan menggunakan rumus 3.1.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
π π₯, π¦ = π₯ β2π ππ₯ +ππ¦ +π
π2+π2 , π¦ β2π ππ₯ +ππ¦ +π
π2+π2
= π₯ β2(π₯βπ¦+1)
1+1, π¦ β
β2(π₯βπ¦+1)
1+1
= π¦ β 1, π₯ + 1
Setelah menentukan rumus refleksinya, baru kita menentukan hasil
refleksi.
π π΄ = 1 β 1, 0 + 1 = 0,1
π π΅ = 4 β 1, 5 + 1 = 3,6
Perhatikan hasil refleksi titik A.
π π΄ = 0,1 = π΄. Hal ini terjadi karena titik A merupakan titik dalam
garis π₯ β π¦ + 1 = 0. Menurut definisi refleksi, refleksi akan
mempertahankan titik-titik yang terletak dalam garis cermin. Sedangkan
untuk titik B, π π΅ = 3,6 β π΅. Refleksi π tidak mempertahankan titik B
karena titik B bukan merupakan elemen dari garis π₯ β π¦ + 1 = 0 β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
BAB III
REFLEKSI DAN AKSIOMA CERMIN
Refleksi merupakan bagian dari transformasi yang bersifat
isometri. Isometri sendiri sudah kita bahas pada bagian 2.10, yaitu sebuah
fungsi yang mempertahankan jarak. Dalam kehidupan sehari-hari, konsep
refleksi ini dapat kita jumpai secara nyata saat kita bercermin.
3.1 Refleksi
Sebelum kita mulai membahas mengenai konsep refleksi, mari kita
pelajari dahulu mengenai konsep mempertahankan titik. Konsep ini cukup
penting karena akan digunakan ketika kita membahas konsep refleksi.
Definisi 3.1.1 (Millman & Parker, 1991:306):
Sebuah fungsi Ο βΆ S βS mempertahankan titik A jika ΟA = A. β
Definisi 3.1.1 berbicara mengenai suatu fungsi yang mempertahankan
titik. Suatu fungsi dikatakan mempertahankan titik jika hasil pemetaan
suatu titik sama dengan titik asalnya.
Untuk lebih memahami Definisi 3.1.1, perhatikan contoh berikut :
Contoh 3.1.1 :
Misalkan sebuah fungsi π βΆ β β β , dimana π π₯, π¦ = 2π₯ , 3π¦ β 2 ,
dan sebuah titik A = (0, 1).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Sekarang kita akan mencari π(π΄).
π π΄ = (2. 0 , 3 1 β 2 )
= 0 , 1 = π΄
Karena π π΄ = π΄, maka fungsi π π₯, π¦ = 2π₯ , 3π¦ β 2 dikatakan
mempertahankan titik A. β
Contoh 3.1.1, adalah contoh suatu fungsi yang mempertahankan titik A,
dalam bidang Poincare.
Lemma 3.1.1 (Millman & Parker, 1991:306):
Anggap Ο βΆ S β S merupakan sebuah isometri dalam geometri netral.
Jika Ο mempertahankan titik A dan titik B, maka Ο juga mempertahankan
semua titik dalam AB .
Bukti :
Anggap π adalah sebuah sistem koordinat untuk π΄π΅ dengan A adalah titik
asal dan B positif.
Misalkan πΆ β π΄π΅ dan C β A, C β B. Akan ditunjukkan bahwa C = πC.
Sekarang anggap πC = Cβ.
d (A, Cβ) = d (A, C) karena πA = A dan π adalah isometri.
Karena itu, π πΆ β² = π(πΆ) dan π πΆ β² = Β±π(πΆ).
Karena π mempertahankan keantaraan, maka
jika A β B β C begitu pula A β B β Cβ
jika A β C β B begitu pula A β Cβ β B
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
jika C β A β B begitu pula Cβ β A β B.
Tidak ada dari ketiga kemungkinan tersebut yang memungkinkan
π πΆ β² = βπ(πΆ). Karena itu, π πΆ β² = π(πΆ), sehingga πC = Cβ = C. β‘
Lemma 3.1.1 masih berbicara mengenai suatu fungsi yang
mempertahankan titik. Lemma ini mengatakan jika suatu fungsi isometri
mempertahankan dua titik tertentu, maka fungsi isometri itu juga
mempertahankan semua titik dalam garis π΄π΅ .
Untuk lebih memahami Lemma 3.1.1, perhatikan contoh berikut :
Contoh 3.1.2 :
Misalkan sebuah fungsi isometri π: β β β , yang ditunjukkan oleh
π π₯, π¦ = 4 β π₯, π¦ , mempertahankan dua titik A dan B dimana,
π΄ = 2, 1 , π΅ = (2, 5) .
Akan ditunjukkan bahwa π juga mempertahankan sembarang titik dalam
π΄π΅ .
Persamaan garis yang melewati A dan B adalah garis tipe I (aL ) dalam
bidang Poincare dengan π = 2, sehingga π΄π΅ β‘ π₯ = 2.
Ambil sembarang titik πΆ β π΄π΅ , kita ambil πΆ = (2, π¦)
π πΆ = 4 β 2, π¦
= 2, π¦ = πΆ
Karena π πΆ = πΆ, maka terbukti bahwa π mempertahankan sembarang
titik dalam π΄π΅ . β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Contoh 3.1.2 merupakan contoh suatu fungsi yang mempertahankan
seluruh titik dari garis π΄π΅ , dalam bidang Poincare.
Selanjutnya, akan dibahas mengenai isometri identitas. Isometri identitas
adalah suatu isometri yang mempertahankan tiga titik yang tidak segaris
atau tiga titik yang tidak kolinear.
Lemma 3.1.2 (Millman & Parker, 1991:306):
Anggap Ο βΆ S βS merupakan sebuah isometri dalam geometri netral.
Jika Ο mempertahankan tiga titik yang tidak segaris , maka Ο adalah
identitas.
Bukti :
Menurut Lemma 3.1.1, π juga mempertahankan semua titik dalam garis
π΄π΅ , π΅πΆ , dan π΄πΆ dan karena itu, termasuk mempertahankan semua titik
dalam segitiga ABC.
Ambil sembarang titik D dalam S dan sembarang titik E dalam int(π΄π΅ ),
dimana E β D. Berdasarkan teorema Pash, π·πΈ memotong segitiga ABC
pada sebuah titik F, dimana Fβ E. Karena E dan F termasuk dalam segitiga
ABC, maka keduanya adalah titik tetap.
Karena itu, setiap titik dari πΈπΉ , termasuk D adalah titik tetap dari π.
Jadi πD = D untuk sembarang titik D, sehingga π merupakan isometri
identitas. β‘
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Untuk lebih memahami Lemma 3.1.2, perhatikan contoh-contoh berikut.
Contoh 3.1.3 :
Misalkan sebuah fungsi π: β β β, dimana π π₯, π¦ = π₯, π¦ , dan tiga
buah titik A, B, C yang tidak segaris. π΄ = 2,3 , π΅ = 0,1 , πΆ = (3,1).
Untuk membuktikan bahwa π merupakan isometri identitas, kita harus
menunjukkan bahwa π π΄ = π΄ , π π΅ = π΅, π πΆ = πΆ.
π π΄ = 2, 3 = π΄
π π΅ = 0, 1 = π΅
π πΆ = 3, 1 = πΆ
Karena π π΄ = π΄ , π π΅ = π΅, π πΆ = πΆ maka π dikatakan
mempertahankan tiga titik berbeda yang tidak segaris sehingga π adalah
isometri identitas. β
Contoh 3.1.3, adalah contoh suatu isometri identitas dalam bidang
Poincare.
Setelah membahas mengenai konsep mempertahankan titik, dan isometri
identitas, sekarang kita akan membahas mengenai konsep refleksi.
Definisi 3.1.2 (Millman & Parker, 1991:306):
Anggap l adalah sebuah garis dalam geometri netral. Dan untuk setiap
P Ο΅ S , anggap Pl adalah proyeksi dari titik P ke l.
Refleksi terhadap garis l adalah fungsi Οl: S βS yang ditentukan
sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
ΟlP = Pβ² dimana P β Pl β Pβ² dan PPl
β Pβ²Pl jika P β l
ΟlP = P jika P β l β
Untuk lebih memahami Definisi 3.1.2, perhatikan Gambar berikut :
Gambar 3.1 menunjukkan ilustrasi refleksi titik P terhadap garis π dalam
bidang Poincare.
Untuk lebih memahami definisi refleksi, perhatikan contoh berikut:
Contoh 3.1.4 :
Misalkan π β‘ π₯ = π merupakan sebuah garis tipe I dalam bidang
Poincare. Kita akan mencari fungsi π βΆ β β β, yang merupakan refleksi
terhadap garis π.
Perhatikan Gambar 3.2 berikut :
R Pβ P
aL
Gambar 3.2 Refleksi terhadap garis tipe I
Gambar 3.1
Refleksi dalam Bidang Poincare
π
ππ
π
πβ²
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Misalkan titik π(π₯, π¦), dan hasil refleksinya adalah πβ²(π₯β², π¦β²).
Koordinat titik tengah ππβ² adalah titik π = (π₯+π₯ β²
2,π¦+π¦ β²
2). Titik R ini
terletak dalam garis π, maka koordinat nya harus memenuhi persamaan
garis π. Sehingga π₯+π₯ β²
2= π
π¦+π¦ β²
2= π¦
π₯ + π₯β² = 2π π¦ + π¦β² = 2π¦
π₯ β² = 2π β π₯ π¦β² = π¦
Dari perhitungan di atas, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
Untuk sembarang garis π β‘ π₯ = π, yang merupakan garis tipe I dalam
bidang Poincare. Rumus umum refleksi terhadap garis π tersebut adalah
π π₯, π¦ = 2π β π₯, π¦ . β
Selanjutnya akan dibahas mengenai rumus refleksi dalam bidang Poincare,
terhadap garis tipe II.
Contoh 3.1.5 :
Misalkan π β‘ (π₯ β π)2 + π¦2 = π12 merupakan sebuah garis tipe II dalam
bidang Poincare. Kita akan mencari fungsi π βΆ β β β, yang merupakan
refleksi terhadap garis π.
Perhatikan Gambar 3.1.
Ide yang digunakan untuk memperoleh fungsi refleksinya sesuai
dengan definisi refleksi sendiri. Pertama-tama kita akan mencari
persamaan garis (πβ²) yang menghubungkan titik P, ππ , dan Pβ serta tegak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
lurus dengan garis π. Kemudian kita akan menentukan koordinat dari ππ .
dengan cara memotongkan garis π dengan πβ². Setelah itu, barulah kita mulai
mencari titik Pβ, yaitu dengan memanfaatkan konsep jarak dalam refleksi.
Jarak P dengan ππ harus sama dengan jarak Pβ dengan ππ .
Untuk mencari persamaan garis yang tegak lurus garis π, kita
menggunakan konsep dua buah lingkaran yang berpotongan tegak lurus.
Menurut Hadjiwidjojo (1973), dua lingkaran yang saling berpotongan
tegak lurus memenuhi persamaan :
(π1π2)2 = π12 + π2
2 dimana π1π2 adalah jarak antara kedua titik pusat
lingkaran, π1 adalah jari-jari lingkaran pertama dan π2 adalah jari-jari
lingkaran yang kedua.
Diketahui : Titik π (π₯, π¦) dan garis π β‘ (π₯ β π)2 + π¦2 = π12
Misalkan garis πβ² β‘ (π₯ β π)2 + π¦2 = π22 dan πβ² (π₯β², π¦β²)
Garis π β₯ πβ² , maka jarak antara titik pusat lingkaran π dengan titik pusat
lingkaran πβ² harus sama dengan jumlah kuadrat dari jari-jari kedua
lingkaran:
(π β π)2 = π12 + π2
2 .....(1)
Koordinat P dan Pβ memenuhi persamaan πβ², maka
(π₯ β π)2 + π¦2 = π22 .....(2)
(π₯β² β π)2 + π¦β²2 = π22 .....(3)
Selesaikan persamaan (1) dan (2) untuk memperoleh nilai π dan π2 .
Dari persamaan (1),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
π22 = (π β π)2 β π1
2
π22 = π2 β 2ππ + π2 β π1
2
substitusikan π2ke persamaan (2).
π₯ β π 2 + π¦2 = π2 β 2ππ + π2 β π12
π₯2 β 2π₯π + π2 + π¦2 = π2 β 2ππ + π2 β π12
2ππ β 2π₯π = π2 β π12 β π₯2 β π¦2
π =π1
2βπ2+π₯2+π¦2
2π₯β2π
Substitusikan π ke persamaan π22,
π22 = (π β π)2 β π1
2
π22 =
π12βπ2+π₯2+π¦2
2π₯β2πβ π
2
β π12
π22 =
π12+π¦2+(π₯βπ)2
2π₯β2π
2
β π12
Setelah mendapat nilai d dan π2, sekarang kita akan mencari koordinat titik
tengah yaitu ππ . Koordinat titik ππ memenuhi persamaan garis π dan πβ².
misal koordinat titik ππ(π , π‘), maka :
(π β π)2 + π‘2 = π12 .....(4)
(π β π)2 + π‘2 = π22 .....(5)
Selesaikan persamaan (4) dan (5) untuk memperoleh nilai s dan t.
(4) - (5) :
π 2 β 2π π + π2 + π‘2 = π12
π 2 β 2π π + π2 + π‘2 = π22
β2π π + 2π π + π2 β π2 = π12 β π2
2
β2π π + 2π π = π12 β π2
2 β π2 + π2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
π =π2
2βπ12+π2βπ2
2πβ2π
Substitusikan π ke persamaan (4),
π2
2βπ12+π2βπ2
2πβ2πβ π
2
+ π‘2 = π12
π‘2 = π12 β
π22βπ1
2β πβπ 2
2πβ2π
2
Substitusikan (1) ke persamaan di atas,
π‘2 = π12 β
π22βπ1
2βπ22βπ1
2
2πβ2π
2
π‘2 = π12 β
βπ12
πβπ
2
= π12 β
π14
πβπ 2
π‘2 =π1
2 πβπ 2βπ14
πβπ 2
π‘ = Β±π1 πβπ 2βπ1
2
πβπ ,
dari persamaan (1), kita dapat melihat bahwa π β π 2 β π12 = π2, maka
persamaan π‘ dapat dituliskan sebagai berikut :
π‘ = Β±π1π2
πβπ
Sehingga, koordinat ππ adalah π2
2βπ12+π2βπ2
2πβ2π, Β±
π1π2
πβπ .
Kita akan menggunakan rumus jarak dalam bidang Poincare seperti sudah
dibahas pada bagian 2.3. Jarak titik P terhadap ππ harus sama dengan jarak
ππ terhadap Pβ.
ππ» π, ππ = ln
π₯βπ+π2π¦
π22βπ1
2+π2βπ2
2πβ2π βπ+π2
π1π2πβπ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
ππ» ππ , πβ² = ln
π22βπ1
2+π2βπ2
2πβ2π βπ+π2
π1π2πβπ
π₯β²βπ+π2π¦β²
Karena ππ» π, ππ = ππ» ππ , πβ² , maka
ln
π₯βπ+π2π¦
π22βπ1
2+π2βπ2
2πβ2π βπ+π2
π1π2πβπ
= ln
π22βπ1
2+π2βπ2
2πβ2π βπ+π2
π1π2πβπ
π₯β²βπ+π2π¦β²
.....(6)
Persamaan (6) mengakibatkan
π₯βπ+π2π¦
π22βπ1
2+π2βπ2
2πβ2π βπ+π2
π1π2πβπ
=
π₯β²βπ+π2π¦β²
π22βπ1
2+π2βπ2
2πβ2π βπ+π2
π1π2πβπ
atau
π₯βπ+π2π¦
π22βπ1
2+π2βπ2
2πβ2π βπ+π2
π1π2πβπ
=
π22βπ1
2+π2βπ2
2πβ2π βπ+π2
π1π2πβπ
π₯β²βπ+π2π¦β²
.
Dengan menyederhanakan kemungkinan pertama, kita akan mendapat nilai
π₯ β² = π₯ dan π¦ β² = π¦ sehingga tidak memenuhi definisi refleksi.
Sekarang kita akan menyederhanakan kemungkinan kedua,
π₯βπ+π2π¦
π22βπ1
2+π2βπ2
2πβ2π βπ+π2
π1π2πβπ
=
π22βπ1
2+π2βπ2
2πβ2π βπ+π2
π1π2πβπ
π₯β²βπ+π2π¦β²
π₯βπ+π2
π¦
π₯β²βπ+π2
π¦β²= .
π22βπ1
2+π2βπ2
2πβ2π βπ+π2
π1π2πβπ
.π2
2βπ12+π2βπ2
2πβ2π βπ+π2
π1π2πβπ
(π₯βπ+π2)(π₯β²βπ+π2)
π¦ .π¦β²=
π22βπ1
2+π2βπ2
2πβ2π βπ+π2
π1π2πβπ
2
(π₯βπ+π2)(π₯β²βπ+π2)
π¦ .π¦ β²=
π22βπ1
2+(πβπ)2+2π2(πβπ )
2πβ2π
2π1π22πβ2π
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
(π₯βπ+π2)(π₯β²βπ+π2)
π¦ .π¦ β²=
π22βπ1
2+(πβπ)2+2π2(πβπ)
2π1π2
2
, substitusikan persamaan
(1) sehingga,
(π₯βπ+π2)(π₯β²βπ+π2)
π¦ .π¦ β²=
π22βπ1
2+π22+π1
2+2π2(πβπ)
2π1π2
2
(π₯βπ+π2)(π₯β²βπ+π2)
π¦ .π¦ β²=
π2+πβπ
π1
2
π₯ β² β π + π2 =π¦ .π¦ β² π2+πβπ 2
π12 (π₯βπ+π2)
π₯ β² =π¦ β² .π¦ (π2+πβπ)2
π12(π2+π₯βπ)
+ π β π2 .....(7)
Substitusikan persamaan (7) ke persamaan (3).
π¦ β² .π¦ (π2+πβπ)2
π12(π2+π₯βπ)
+ π β π2 β π 2
+ π¦β²2 = π22
π¦β²2 = π22 β
π¦ β² .π¦ (π2+πβπ)2
π12(π2+π₯βπ)
+ π β π2 β π 2
π¦β²2 = π22 β
π¦ β² .π¦ (π2+πβπ)2
π12(π2+π₯βπ)
β π2 2
π¦β²2 = π22 β
π¦ β² .π¦ (π2+πβπ)2
π12(π2+π₯βπ)
2
β2π¦ β² π¦π2 (π2+πβπ)2
π12(π2+π₯βπ)
+ π2 2
π¦β²2 = βπ¦ β² 2
.π¦2 (π2+πβπ)4
π14(π2+π₯βπ)2
+2π¦ β² π¦π2 (π2+πβπ)2
π12(π2+π₯βπ)
π¦β²2 +π¦ β² 2
.π¦2 (π2+πβπ)4
π14(π2+π₯βπ)2
β2π¦ β² π¦π2 (π2+πβπ)2
π12(π2+π₯βπ)
= 0
π¦β²2 π1
4 (π2+π₯βπ)2
π14 (π2+π₯βπ)2
+π¦2 (π2+πβπ)4
π14(π2+π₯βπ)2
β π¦β² 2π¦π2 (π2+πβπ)2
π12(π2+π₯βπ)
= 0
π¦β² π¦β² π14(π2+π₯βπ)2+π¦2 (π2+πβπ)4
π14 (π2+π₯βπ)2
β2π¦π2 (π2+πβπ)2
π12(π2+π₯βπ)
= 0
π¦ β² = 0 atau π¦ β² =2π¦π2 (π2+πβπ)2
π12(π2+π₯βπ)
.π1
4(π2+π₯βπ)2
π14(π2+π₯βπ)2+π¦2 (π2+πβπ)4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
(untuk π¦ β² = 0 tidak memenuhi karena dalam bidang Poincare, π¦ > 0)
π¦β² = 2π¦π2π1
2(π2+πβπ)2(π2+π₯βπ)
π14(π2+π₯βπ)2+π¦2(π2+πβπ)4
.....(8)
Substitusikan persamaan (8) ke persamaan (7) sehingga kita mendapatkan
nilai π₯β² :
π₯ β² = π¦β² .π¦ (π2+πβπ)2
π12(π2+π₯βπ)
+ π β π2
π₯ β² =2π¦π2π1
2(π2+πβπ)2(π2+π₯βπ)
π14(π2+π₯βπ)2+π¦2(π2+πβπ)4
.π¦ (π2+πβπ)2
π12(π2+π₯βπ)
+ π β π2
π₯ β² =2π2π¦2(π2+πβπ)4
π14(π2+π₯βπ)2+π¦2(π2+πβπ)4
+ π β π2
Sehingga, koordinat Pβ adalah
2π2π¦
2(π2+πβπ)4
π14(π2+π₯βπ)2+π¦2(π2+πβπ)4 + π β π2 ,
2π¦π2π12(π2+πβπ)2(π2+π₯βπ)
π14(π2+π₯βπ)2+π¦2(π2+πβπ)4
Dari perhitungan di atas, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
Untuk sembarang garis π β‘ (π₯ β π)2 + π¦2 = π12, yang merupakan garis
tipe II dalam bidang Poincare. Rumus umum refleksi terhadap garis π
tersebut adalah
π π₯, π¦ = 2π2π¦2(π2+πβπ)4
π14(π2+π₯βπ)2+π¦2(π2+πβπ)4
+ π β π2 ,2π¦π2π1
2(π2+πβπ)2(π2+π₯βπ)
π14(π2+π₯βπ)2+π¦2(π2+πβπ)4
dimana π =π1
2βπ2+π₯2+π¦2
2π₯β2π dan π2
2 = π1
2+π¦2+(π₯βπ)2
2π₯β2π
2
β π12 β
Sekarang akan diberikan contoh refleksi terhadap garis tipe I dan tipe II
dalam bidang Poincare yang persamaannya sudah tertentu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Contoh 3.1.6 :
Misalkan π β‘ π₯ = β2 adalah sebuah garis dalam bidang Poincare. Jika ada
dua buah titik A (-3, 1) dan B (0,3). Kita akan menggunakan rumus
refleksi pada Contoh 3.1.4 untuk menentukan hasil refleksinya.
π π₯, π¦ = 2π β π₯, π¦
Aβ = π π΄ =(2 β2 β β3 , 1) = (β1, 1)
Bβ = π π΅ =(2 β2 β 0, 3) = (β4, 3)
Perhatikan Gambar berikut.
Gambar di atas adalah hasil dari perhitungan lewat software matematika
yang bernama GeoGebra. Dalam GeoGebra, terdapat perintah untuk
merefleksikan suatu obek terhadap suatu garis lurus. Koordinat yang
berwarna biru merupakan objek asli sedangkan koordinat yang berwarna
merah merupakan objek hasil refleksi. Dapat dilihat bahwa hasil
perhitungan dengan menggunakan rumus pada Contoh 3.1.6, sama dengan
hasil perhitungan dari software. β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Selanjutnya, akan diberikan beberapa contoh refleksi terhadap garis tipe II
dalam bidang Poincare.
Contoh 3.1.7 (a):
Misalkan π β‘ (π₯ β 1)2 + π¦2 = 4 adalah sebuah garis dalam bidang
Poincare. Jika ada titik A (2,1 ) , maka hasil refleksi titik A terhadap garis
π adalah :
Kita akan menggunakan rumus pada Contoh 3.1.5.
π π₯, π¦ = 2π2π¦2(π2+πβπ)4
π14(π2+π₯βπ)2+π¦2(π2+πβπ)4
+ π β π2 ,2π¦π2π1
2(π2+πβπ)2(π2+π₯βπ)
π14(π2+π₯βπ)2+π¦2(π2+πβπ)4
Tetapi, sebelum menggunakan rumus tersebut, terlebih dahulu kita harus
menentukan nilai π dan π2.
π =π1
2βπ2+π₯2+π¦2
2π₯β2π=
(4β12 +22 +12 )
2 2 β2(1)= 4
π22 =
π12+π¦2+(π₯βπ)2
2π₯β2π
2
β π12 =
22+12 +(2β1)2
2(2)β2(1)
2
β (2)2 = 5 , maka π2 = 5
π΄β² = π π΄ = 2 5(1)( 5+1β4)4
(2)4( 5+2β4)2+(1)2( 5+1β4)4 + 4 β 5 ,2(1) 5(2)2( 5+1β4)2( 5+2β4)
(2)4( 5+2β4)2+(1)2( 5+1β4)4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
π΄β² = π π΄ = (3,2). Untuk menunjukkan bahwa titik Aβ(3,2) benar-benar
merupakan hasil refleksi dari titik terhadap garis π, kita perlu menyelidiki
jarak antara titik A terhadap π΄π dan jarak π΄π terhadap titik Aβ.
π΄π = 5β4+1β16
2β8,
2 5
1β4 =
7
3 ,
2 5
3
Jarak titik A terhadap π΄π:
ππ
2β4+ 5
173β4+ 5
2 53
= ππ 10β4 5
3 5β5 = ππ
10β4 5
3 5β5Γ
3 5+5
3 5+5 = ππ
5β1
2
Jarak titik π΄π terhadap titik Aβ :
ππ
73β4+ 5
2 53
3β4+ 5
2
= ππ 3 5β5
5β 5 = ππ
3 5β5
5β 5Γ
5+ 5
5+ 5 = ππ
5β1
2
Terlihat bahwa, ππ» π΄, π΄π = ππ» π΄π , π΄β² = ππ 5β1
2
Oleh karena itu, terbukti bahwa titik Aβ (3,2) benar-benar merupakan hasil
refleksi dari titik A(2,1) β
Contoh 3.1.7 (b):
Misalkan π β‘ (π₯ β 1)2 + π¦2 = 4 adalah sebuah garis dalam bidang
Poincare. Jika ada titik B (1,1 ) , maka hasil refleksi titik B terhadap garis π
adalah :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Perhatikan, titik B mempunyai koordinat π₯ yang sama dengan pusat garis
π. Oleh karena itu, persamaan garis yang melewati titik B dan pusat garis π
adalah π₯ = 1. Garis π₯ = 1 ini merupakan garis yang tegak lurus dengan
garis π. Sehingga, untuk mencari koordinat π΅π kita tinggal memotongkan
garis π dengan garis π₯ = 1. Akan didapat koordinat π΅π (1,2).
Setelah itu, untuk mencari koordinat π΅β², kita menggunakan konsep jarak
dalam refleksi, yaitu, jarak titik π΅ dengan π΅π harus sama dengan jarak titik
π΅π dengan titik π΅β². Perlu diingat pula bahwa titik π΅β² harus terletak pada
garis π₯ = 1. Misalkan koordinat π΅β²(1, π).
Jarak titik B terhadap π΅π:
ππ π¦2
π¦1 = ππ
2
1 = ππ 2
Jarak titik π΅π terhadap titik π΅β² :
ππ π
2
Karena, ππ» π΅, π΅π = ππ» π΅π , π΅β² , maka ππ 2 = ππ π
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Sehingga, π
2= 2 atau
π
2=
1
2
Dari kemungkinan pertama, menunjukkan bahwa π΅β² (1,4) sedangkan dari
kemungkinann kedua menunjukkan bahwa π΅β² = 1,1 = π΅ . Kemungkinan
kedua tidak memenuhi definisi refleksi karena titik π΅π tidak memisahkan titik
π΅ dan π΅β². Oleh karena itu, koordinat hasil refleksi titik π΅ 1,1 terhadap garis
π adalah π΅β²(1,4). β
Contoh 3.1.7 (c):
Misalkan π β‘ (π₯ β 1)2 + π¦2 = 4 adalah sebuah garis dalam bidang
Poincare. Jika ada titik C (10,5 ) , maka hasil refleksi titik C terhadap garis
π adalah :
Kita akan menggunakan rumus pada Contoh 3.1.5.
π π₯, π¦ = 2π2π¦2(π2+πβπ)4
π14(π2+π₯βπ)2+π¦2(π2+πβπ)4
+ π β π2 ,2π¦π2π1
2(π2+πβπ)2(π2+π₯βπ)
π14(π2+π₯βπ)2+π¦2(π2+πβπ)4
Tetapi, sebelum menggunakan rumus tersebut, terlebih dahulu kita harus
menentukan nilai π dan π2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
π =π1
2βπ2+π₯2+π¦2
2π₯β2π=
(4β12 +102 +52)
2 10 β2(1)=
64
9= 7,111
π22 =
π12+π¦2+(π₯βπ)2
2π₯β2π
2
β π12 =
22+52 +(10β1)2
2(10)β2(1)
2
β (2)2 = 33,346 , maka
π2 = 5,775
πΆ β² = π πΆ = (1,34 ; 0,19).
Jadi, hasil refleksi titik πΆ(10,5) terhadap garis π adalah titik
πΆ β² 1,34 ; 0,19 . β
Contoh 3.1.7 (d):
Misalkan π β‘ (π₯ β 1)2 + π¦2 = 4 adalah sebuah garis dalam bidang
Poincare. Jika ada titik D (1,10 ) , maka hasil refleksi titik D terhadap garis
π adalah :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
Perhatikan, titik D mempunyai koordinat π₯ yang sama dengan pusat garis
π. Oleh karena itu, persamaan garis yang melewati titik D dan pusat garis π
adalah π₯ = 1. Garis π₯ = 1 ini merupakan garis yang tegak lurus dengan
garis π. Sehingga, untuk mencari koordinat π·π kita tinggal memotongkan
garis π dengan garis π₯ = 1. Akan didapat koordinat π·π (1,2).
Setelah itu, untuk mencari koordinat π·β², kita menggunakan konsep jarak
dalam refleksi, yaitu, jarak titik π· dengan π·π harus sama dengan jarak titik
π·π dengan titik π·β². Perlu diingat pula bahwa titik π·β² harus terletak pada
garis π₯ = 1. Misalkan koordinat π·β²(1, π).
Jarak titik D terhadap π·π:
ππ π¦2
π¦1 = ππ
2
10 = ππ
1
5
Jarak titik π΅π terhadap titik π΅β² :
ππ π
2
Karena, ππ» π·, π·π = ππ» π·π , π·β² , maka ππ 1
5 = ππ
π
2
Sehingga, π
2=
1
5 atau
π
2=
5
1
Dari kemungkinan pertama, menunjukkan bahwa π·β² (1,2
5) sedangkan dari
kemungkinann kedua menunjukkan bahwa π·β² = 1,10 = π· . Kemungkinan
kedua tidak memenuhi definisi refleksi karena titik π·π tidak memisahkan titik
π· dan π·β². Oleh karena itu, koordinat hasil refleksi titik π· 1,10 terhadap
garis π adalah π·β² (1,2
5). β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
Setelah memahami mengenai definisi refleksi, sekarang kita akan
membahas mengenai sifat-sifat refleksi. Yang pertama akan diberikan
teorema bahwa refleksi adalah sebuah isometri. Artinya, refleksi
mempertahankan jarak.
Teorema 3.1.3 (Millman & Parker, 1991:307):
Sebuah refleksi dalam geometri netral adalah isometri.
Bukti :
Anggap titik A, B β S dan garis π dalam S , dan untuk mudahnya kita
tuliskan ππ sebagai π. Kita harus menunjukkan bahwa d(A,B) = d(ππ΄, ππ΅).
Ada beberapa kondisi yang perlu dipertimbangkan :
i) A dan B berada pada sisi yang sama dari garis π
ii) A dan B berada pada sisi yang berlawanan dari garis π
iii) Salah satu titik berada pada garis π, dan titik lainnya berada diluar
garis π
iv) Kedua titik berada pada garis π.
Kita akan membuktikan untuk 4 kondisi di atas:
i) A dan B berada pada sisi yang sama dari garis π
Anggap A dan B berada pada sisi yang sama dari garis π. Agar lebih
mudah, perhatikan Gambar 3.8. Jika π΄π΅ tegak lurus dengan garis π maka
π΄π = π΅π = Q untuk Q tertentu. Anggap f adalah sebuah garis untuk π΄π΅
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
dengan titik asal Q dan A positif. Maka untuk sembarang P β π΄π΅ ,
π ππ = βπ(π).
Karena itu, d (ππ΄, ππ΅) = π ππ΄ β π(ππ΅)
= βπ π΄ + π(π΅)
= d (A, B)
Sekarang andaikan π΄π΅ tidak tegak lurus dengan π maka π΄π β π΅π (sekarang
perhatikan Gambar 3.8).
Anggap π΄π= P dan π΅π= Q.
β πππ΅ β βππππ΅ (Aksioma SsSdSs) sehingga ππ΅ = πππ΅ dan β π΅ππ β
β ππ΅ππ.
Karena π΄π β₯ π΅π , maka B dan Q terletak pada sisi yang sama dari π΄π dan
B β int(β π΄ππ),
Karena ππ΄π β₯ ππ΅π,maka ππ΅ dan Q terletak pada sisi yang sama dari ππ΄π
dan ππ΅ β int(β ππ΄ππ). Berdasarkan Teorema 2.8.3 (Pengurangan Sudut),
β π΄ππ΅ β β ππ΄πππ΅. Maka β π΄ππ΅ β βππ΄πππ΅ (Aksioma SsSdSs) dan
π΄π΅ β ππ΄ππ΅ sehingga
d(A,B) = d(ππ΄ππ΅) .
Gambar 3.8
π
ππ΅ ππ΄ Q A B
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
Sekarang akan dibahas pembuktian untuk kondisi ke dua.
ii) A dan B berada pada sisi yang saling berlawanan terhadap π
(perhatikan Gambar 3.10)
Jika π΄π΅ β₯ π maka π΄π = π΅π = π. Berdasarkan definisi refleksi,
π΄π β ππ΄π dan π΅π β ππ΅π , sehingga π π΄, π = π(ππ΄, π) dan π π΅, π =
π(ππ΅, π)
Perhatikan Gambar 3.10 di atas, π π΄, π΅ = π π΄, π + π(π΅, π)
P
Q
ππ΅
ππ΄
B
A
Gambar 3.9
A
B
ππ΅
ππ΄
Q π
Gambar 3.10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Karena π π΄, π = π(ππ΄, π) dan π π΅, π = π(ππ΅, π), maka persamaan di
atas dapat ditulis sebagai berikut :
π π΄, π΅ = π ππ΄, π + π(ππ΅, π)
= π ππ΄, ππ΅
Sekarang andaikan π΄π΅ tidak tegak lurus dengan π maka π΄π β π΅π . Anggap
π΄π= P dan π΅π= Q.
Perhatikan Gambar 3.11 berikut :
Perhatikan Gambar di atas, βπ΄ππΆ β βππ΄ππΆ (Aksioma SsSdSs), sehingga
π΄πΆ β ππ΄πΆ .
βπ΅ππΆ β βππ΅ππΆ (Aksioma SsSdSs), sehingga π΅πΆ β ππ΅πΆ
π π΄, π΅ = π π΄, πΆ + π(π΅, πΆ)
karena π΄πΆ β ππ΄πΆ dan π΅πΆ β ππ΅πΆ , maka
π π΄, π΅ = π ππ΄, πΆ + π(ππ΅, πΆ sehingga π π΄, π΅ = π ππ΄, ππ΅
C
Q
A
B
ππ΅
ππ΄
P π
Gambar 3.11
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
Sekarang kita akan membahas pembuktian untuk kondisi yang ketiga.
iii) Jika salah satu titik berada pada garis π, dan titik lainnya berada di
luar garis π
Kita misalkan π΄ β π, π΅ β π
Jika π΄π΅ β₯ π maka π΅π = π΄. Perhatikan Gambar 3.12.
Berdasarkan definisi refleksi, π΄ = ππ΄ dan
π΅π΄ β ππ΅π΄ .
π π΄, π΅ = π π΅, π΄) = π(ππ΅, π΄ = π(ππ΅, ππ΄)
π π΄, π΅ = π ππ΄, ππ΅
Sekarang andaikan π΄π΅ tidak tegak lurus dengan π maka π΅π β π΄.
(Perhatikan Gambar 3.13)
Anggap π΅π= Q.
B
ππ΅
A π
Gambar 3.12
Q
B
ππ΅
A π
Gambar 3.13
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
βπ΅π΄π β βππ΅π΄π (Aksioma SsSdSs), akibatnya π΅π΄ β ππ΅π΄ .
π π΄, π΅ = π π΅, π΄) = π(ππ΅, π΄ = π(ππ΅, ππ΄)
π π΄, π΅ = π ππ΄, ππ΅
Sekarang akan dibahas pembuktian untuk kondisi yang keempat.
iv) Jika kedua titik terletak pada garis π
π΄, π΅ β π
Jika π΄, π΅ β π maka ππ΄ = π΄ dan ππ΅ = π΅.
Sehingga, π π΄, π΅ = π ππ΄, ππ΅
Jadi, terbukti bahwa refleksi adalah sebuah isometri. β‘
Untuk lebih memahami mengenai Teorema 3.1.3 perhatikan contoh
berikut:
Contoh 3.1.8:
Misalkan sebuah refleksi π: β β β, dimana
π π₯, π¦ = 2 β π₯, π¦ , dan dua buah titik A(1,5) dan B (3,7).
Untuk membuktikan bahwa refleksi π merupakan isometri, kita harus
menunjukkan bahwa π π΄, π΅ = π ππ΄, ππ΅ .
π π΄ = 2 β 1,5 = (1,5)
π π΅ = 2 β 3,7 = (β1,7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Untuk menghitung jarak titik A dan B, kita perlu mencari nilai c dan r dari
garis π΄π΅ .
π =π¦2
2βπ¦12+π₯2
2βπ₯12
2(π₯2βπ₯1)=
72β52+32β12
2(3β1)=
32
4= 8
π = (π₯1 β π)2 + π¦12 = (1 β 8)2 + 52 = 49 + 25 = 74
π π΄, π΅ = ln 1β8+ 74
53β8+ 74
7
= ππ β49+7 74
β25+5 74 = 0,47
Sekarang, untuk menghitung jarak titik A dan B, kita perlu mencari nilai c
dan r dari garis ππ΄ππ΅ .
π =72β52 +(β1)2β12
2(β1β1)=
24
β4= β6
π = (1 β (β6))2 + 52 = 49 + 25 = 74
π ππ΄, ππ΅ = ln 1β(β6)+ 74
5β1β(β6)+ 74
7
= ππ 49+7 74
25+5 74 = 0,47
Karena π π΄, π΅ = π ππ΄, ππ΅ , maka terbukti bahwa refleksi π π₯, π¦ =
2 β π₯, π¦ merupakan suatu isometri. β
Teorema 3.1.4 (Millman & Parker, 1991:308):
Anggap π βΆ S βS adalah sebuah isometri dalam geometri netral yang
membuat 2 titik berbeda (A dan B) menjadi titik tetap. Jika Ο bukan
identitas maka Ο adalah sebuah refleksi terhadap garis π = π΄π΅ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
Bukti :
Jika Pβ π΄π΅ = π maka πP = P = ππP (Lemma 3.1.1)
Andaikan P β π, ada dua kemungkinan, yaitu P dan πP berada pada sisi
yang saling berlawanan terhadap garis π, atau P dan πP berada pada sisi
yang sama terhadap garis π.
Jika P dan πP berada pada sisi yang sama dari π dan β π΄π΅ππ β β π΄π΅π,
maka Teorema Konstruksi Sudut mengakibatkan π΅π β π΅ππ .
Karena π΅π β π΅ππ maka πP = P sehingga π membuat 3 titik tidak
segaris menjadi titik tetap. Berdasarkan Lemma 3.1.2, π adalah identitas.
Sekarang kita anggap P dan πP berada pada sisi yang saling berlawanan
terhadap garis π. Karena π isometri, β π΄π΅π β βπ΄π΅ππ (Aksioma
SsSsSs). Perhatikan Gambar 3.14 berikut :
Karena π dan πP berada pada sisi yang berlawanan dari garis π maka
πππ memotong π pada sebuah titik Q.
Kita harus menunjukkan bahwa ππ β₯ π dan ππ β πππ . Anggap R β Q
adalah sebuah titik lain pada π. Maka πR = R dan β πππ β βππππ
menurut Aksioma SsSsSs . Perhatikan Gambar 3.15 berikut:
ππ
B
A
P
Gambar 3.14 β π΄π΅π β βπ΄π΅ππ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
Karena itu, β πππ adalah segitiga siku-siku. Karena πP β Q β P dan
ππ β πππ kita dapat πP = ππP.
Jadi, π = ππ . β‘
Teorema 3.1.4 berbicara mengenai isometri dalam geometri netral yang
mempertahankan 2 titik berbeda. Menurut Teorema 3.1.4, jika isometri
tersebut bukanlah suatu isometri identitas, maka isometri tersebut pastilah
sebuah refleksi terhadap garis π΄π΅ , yaitu garis yang melalui kedua titik
tetap.
Dari Teorema 3.1.4 kita dapat mengambil kesimpulan bahwa sembarang
isometri biasa (bukan identitas dan refleksi), hanya memiliki sebuah titik
tetap.
Untuk lebih memahami Teorema 3.1.4, perhatikan contoh berikut :
Contoh 3.1.9 :
Misalkan sebuah fungsi isometri π: β β β , yang ditunjukkan oleh
π π₯, π¦ = 4 β π₯, π¦ . Diketahui isometri tersebut mempertahankan dua
buah titik A (2,1) dan B(2,6).
ππ
Q
R
P
Gambar 3.15 β πππ β βππππ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
Sekarang kita cek apakah π mempertahankan titik πΆ β π΄π΅ . Jika π
mempertahankan titik C maka menurut Lemma 3.1.2, π adalah isometri
identitas. Tetapi jika π tidak mempertahankan titik C, maka π adalah
refleksi terhadap garis π΄π΅ .
Ambil sembarang titik C (3, 0)
π πΆ = 4 β 3, 0
= 1, 0 β πΆ
Maka π π₯, π¦ = 4 β π₯, π¦ adalah refleksi terhadap garis π΄π΅ . β
Teorema 3.1.5 (Millman & Parker, 1991:308)
Dalam geometri netral, β ABC β βDEF jika dan hanya jika ada sebuah
isometri Ο dengan ΟA = D, ΟB = E, ΟC = F. Lebih jauh lagi, isometri
tersebut tunggal.
Bukti :
Jika ada sebuah isometri, maka dengan Aksioma SsSsSs, β π΄π΅πΆ β
β ππ΄ππ΅ππΆ = βπ·πΈπΉ. Karena itu kita akan mengasumsikan bahwa
β π΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ dan menentukan fungsi isometrinya.
Isometri π akan ditulis sebagai komposisi dari 3 isomeri, π = πππ,
dimana masing-masing isometri merupakan refleksi atau identitas.
Perhatikan Gambar 3.16 berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
Jika A = D, maka π adalah identitas.
Jika A β D, anggap π1 adalah garis pembagi dua tegak lurus dari π΄π· dan
π merupakan refleksi terhadap garis π1. Dalam kasus tersebut,
β ππ΄ππ΅ππΆ = β π·ππ΅ππΆ β βπ·πΈπΉ karena kedua nya kongruen dengan
β π΄π΅πΆ.
Kita akan mengulangi proses tersebut dengan β π·ππ΅ππΆ dan βπ·πΈπΉ.
Jika ππ΅ = πΈ maka π adalah identitas.
Jika ππ΅ β πΈ, maka anggap π2 adalah pembagi dua tegak lurus dari ππ΅πΈ
dan anggap π adalah refleksi terhadap π2. Dalam kasus tersebut, πππ΅ = πΈ.
Ingat bahwa π·ππ΅ = ππ΄ππ΅ β π·πΈ sehingga D β π2. Karena itu, ππ· = π·.
Ingat juga bahwa β π·πΈπππΆ = β πππ΄πππ΅πππΆ β βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ .
Kita ulangi proses tersebut, satu kali lagi. Jika πππΆ = πΉ maka π adalah
identitas.
Jika tidak, anggap π adalah refleksi terhadap garis π3 = π·πΈ = πππ΄πππ΅ .
Ingat bahwa π3 adalah pembagi 2 tegak lurus dari πΉπππΆ dalam kasus ini.
Karena itu,
Gambar 3. 16
π
π1
π·
πB
πC
π
π2
πΈ
ππC
πΉ
A
C B
π π3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
ππππ΄ = πππ· = ππ· = π·
ππππ΅ = ππΈ = πΈ
ππππΆ = πΉ
Jadi, π = πππ memberikan isometri yang diinginkan. Semua itu untuk
menunjukkan bahwa π adalah tunggal.
Sekarang anggap bahwa π juga merupakan isometri sehingga ππ΄ = π·,
ππ΅ = πΈ, ππΆ = πΉ. Lalu, πβ1π membuat titik A, B, dan C merupakan titik
tetap sehingga menurut Lemma 3.1.2 πβ1π merupakan identitas dan
π = π. Karena itu, ada sebuah isometri tunggal yang memindahkan A, B,
C ke D, E, F.
β‘
Teorema 3.1.5 mengatakan bahwa dua buah segitiga β π΄π΅πΆ dan βπ·πΈπΉ
dapat dikatakan kongruen jika dan hanya jika terdapat sebuah isometri
yang memasangkan ketiga titik sudut pada segitiga β π΄π΅πΆ dengan ketiga
titik sudut pada βπ·πΈπΉ. Teorema 3.1.5 juga mengatakan bahwa isometri
yang membuat β π΄π΅πΆ kongruen dengan βπ·πΈπΉ, hanya ada tepat satu
isometri.
Untuk lebih memahami Teorema 3.1.5, perhatikan contoh berikut :
Contoh 3.1.10 :
Misalkan sebuah segitiga β π΄π΅πΆ dengan titik-titik sudut, π΄ 1,1 ,
π΅ 3,6 , dan πΆ(6,2).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
Kita akan mencari sebuah segitiga lain yang kongruen dengan β π΄π΅πΆ
tersebut. Untuk mencari segitiga lain yang kongruen dengan β π΄π΅πΆ, kita
perlu menentukan sebuah isometri terlebih dahulu. Misalkan terdapat
sebuah isometri π: β β β, dimana π π₯, π¦ = 4 β π₯, π¦ .
π π΄ = 4 β 1,1 = (3,1)
π π΅ = 4 β 3, 6 = (1,6)
π πΆ = 4 β 6, 2 = (β2,2)
Dari hasil perhitungan di atas, kita mendapatkan koordinat dari hasil
isometri ketiga titik sudut β π΄π΅πΆ. Selanjutnya, segitiga yang kongruen
dengan β π΄π΅πΆ adalah β π·πΈπΉ, dimana π· = π π΄ = 3,1 ,
πΈ = π π΅ = 1,6 , dan πΉ = π πΆ = (β2,2) . β
Selanjutnya, akan diberikan akibat mengenai konsep isometri dalam
kaitannya dengan refleksi.
Akibat 3.1.6 (Millman & Parker, 1991:310):
Dalam geometri netral, setiap isometri merupakan komposisi dari paling
banyak 3 refleksi.
Bukti :
Ambil sebuah isometri π dan sembarang βπ΄π΅πΆ.
Jika πA = D, πB = E, πC = F, maka β π΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ (Aksioma SsSsSs).
Dengan menggunakan bukti Teorema 3.1.5, π = πππ dimana setiap
π, π, π masing-masing merupakan identitas atau sebuah refleksi. Karena
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
itu, sembarang isometri merupakan komposisi dari paling banyak 3
refleksi. β‘
Akibat 3.1.6 mengatakan bahwa setiap isometri merupakan komposisi dari
paling banyak 3 refleksi. Dari akibat ini, kita dapat mengambil kesimpulan
bahwa jika kita mengkomposisikan tiga buah refleksi, maka hasilnya pasti
sebuah isometri. Perhatikan contoh berikut :
Contoh 3.1.11 :
Misalkan terdapat tiga buah refleksi π: β β β, dimana
π1 π₯, π¦ = 2 β π₯, π¦ , π2 π₯, π¦ = 4 β π₯, π¦ , dan
π3 π₯, π¦ = βπ₯, π¦
Kita akan mencari hasil komposisi dari ketiga refleksi tersebut. Setelah itu,
kita akan menyelidiki apakah hasil komposisi tersebut benar berupa
isometri atau tidak.
π2π3 π₯, π¦ = 4 β βπ₯ , π¦ = 4 + π₯ ,π¦)
π1π2π3 π₯, π¦ = 2 β (4 + π₯), π¦ = β2 β π₯ ,π¦)
Hasil komposisi dari ketiga refleksi tersebut adalah
π1π2π3 π₯, π¦ = (β2 β π₯, π¦)
Sekarang kita akan menyelidiki apakah fungsi tersebut bersifat isometri.
Misalkan terdapat dua buah titik π΄(2,3) dan π΅(2,5).
π1π2π3 π΄ = β2 β 2 , 3) = (β4, 3)
π1π2π3 π΅ = β2 β 2 , 5) = (β4, 5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
π π΄, π΅ = ππ π¦2
π¦1 = ππ
5
3
π ππ΄, ππ΅ = ππ 5
3 = π π΄, π΅
Karena π π΄, π΅ = π ππ΄, ππ΅ , maka terbukti bahwa hasil komposisi dari
tiga refleksi merupakan suatu isometri. β
3.2 Aksioma Cermin
Definisi 3.2.1 (Millman & Parker, 1991:310):
Anggap {S , β, d, m merupakan geometri protraktor dan ambil sebuah
garis l. Cermin dalam l adalah sebuah isometri ΞΌ yang mempertahankan
garis dan besar sudut, mengakibatkan semua titik dalam l menjadi titik
tetap, dan memisahkan titik asli dan hasil isometrinya pada sisi yang saling
berlawanan terhadap garis l (yaitu, jika Pβ l, maka P dan ΞΌP terletak pada
sisi yang saling berlawanan dari garis l )
Sebuah geometri protraktor memenuhi aksioma cermin jika untuk setiap
garis l ada sebuah cermin dalam l. β
Definisi 3.2.1 berbicara mengenai aksioma cermin. Sebuah geometri
protraktor dikatakan memenuhi aksioma cermin jika untuk setiap garis π,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
terdapat sebuah cermin dalam garis tersebut. Konsep cermin dalam garis π,
merupakan suatu isometri π, yang:
(i) mempertahankan garis
(ii) mempertahankan besar sudut
(iii) membuat semua titik pada garis π menjadi titik tetap
(iv) memisahkan sisi dari titik asli dengan hasil isometrinya.
Jadi ada 4 syarat yang harus dipenuhi oleh suatu isometri agar bisa disebut
sebagai sebuah cermin dalam suatu garis π.
Dalam bagian 2.10 sudah dibuktikan bahwa isometri dalam geometri netral
adalah sebuah kolineasi dan mempertahankan besar sudut. Pada bagian ini
akan dibicarakan cermin dalam konteks geometri protraktor yang lebih
umum, sehingga perlu diasumsikan bahwa sebuah cermin adalah isometri
yang mempertahankan garis dan besar sudut. Perlu diingat, karena cermin
mempertahankan ruas garis dan besar sudut, maka untuk sembarang
cermin π, βπ΄π΅πΆ β βππ΄ππ΅ππΆ.
Untuk lebih memahami mengenai aksioma cermin, perhatikan contoh
berikut :
Contoh 3.2.1 :
Misalkan garis π β‘ π₯ = 2, merupakan sebuah garis dalam bidang Poincare.
Isometri π π₯, π¦ = 4 β π₯, π¦ merupakan sebuah cermin dalam garis π.
Misal ada 2 buah titik π΄ 0,1 , dan π΅ β2, 3 .
Akan ditunjukkan bahwa isometri tersebut memenuhi aksioma cermin .
(i) Akan di tunjukkan bahwa π mempertahankan garis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
π merupakan sebuah isometri, padahal menurut Susanta (1990) isometri
itu sendiri bersifat kolineasi. Oleh karena itu, isometri π terbukti
mempertahankan sembarang garis dalam bidang Poincare.
(ii) Sekarang akan ditunjukan bahwa π mempertahankan sudut.
Diketahui π adalah sebuah isometri, oleh karena itu, untuk sembarang
βπ΄π΅πΆ, berlaku βπ΄π΅πΆ β βππ΄ππ΅ππΆ (Aksioma SsSsSs). Karena, βπ΄π΅πΆ β
βππ΄ππ΅ππΆ , maka sudut-sudutnya juga kongruen. Akibatnya, besar sudut-
sudut yang bersesuaian sama. Oleh karena itu, terbukti bahwa π
mempertahankan besar sudut.
(iii) Sekarang akan ditunjukkan bahwa isometri π mempertahankan
seluruh titik dalam garis π. Karena π β‘ π₯ = 2, maka titik-titik pada
sembarang garis π mempunyai koordinat (2, π¦). Misalkan titik πΆ adalah
sembarang titik pada garis π, maka πΆ (2, π¦) dan hasil isometri dari titik πΆ
adalah :
π πΆ = 4 β 2, π¦ = 2, π¦ = πΆ
Terlihat bahwa π πΆ = πΆ untuk sembarang titik C dalam garis π. Oleh
karena itu terbukti bahwa π mempertahankan semua titik dalam garis
cermin π.
Sekarang akan ditunjukkan bahwa π memisahkan sisi dari titik asal dengan
titik hasil isometrinya.
Menurut Definisi 3.1.2, π π₯, π¦ = 4 β π₯, π¦ merupakan sebuah refleksi
terhadap garis π₯ = 2. Padahal, menurut Definisi 2.6.2, garis π₯ = 2 akan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
membagi bidang menjadi 2 bagian. Oleh karena itu, isometri π akan
memisahkan titik asal dengan titik hasil isometrinya terhadap garis π.
Karena isometri π π₯, π¦ = 4 β π₯, π¦ memenuhi keempat syarat dalam
aksioma cermin, maka terbukti bahwa π π₯, π¦ = 4 β π₯, π¦ merupakan
sebuah cermin dalam garis π β‘ π₯ = 2 . β
Setelah memahami definisi aksioma cermin, sekarang akan diberikan
teorema mengenai aksioma cermin dalam hubungannya dengan geometri
netral.
Teorema 3.2.1 (Millman & Parker, 1991:310):
Sebuah geometri protraktor adalah geometri netral jika dan hanya jika
memenuhi aksioma cermin.
Bukti :
Anggap bahwa π’ = {S , β, π, π adalah geometri protraktor. Jika π’adalah
sebuah geometri netral dan π adalah sebuah garis maka refleksi ππ adalah
sebuah cermin dalam π sehingga aksioma cermin terpenuhi.
Sekarang anggap bahwa π’ memenuhi aksioma cermin. Kita harus
menunjukkan bahwa Aksioma SsSdSs terpenuhi. Anggap bahwa π΄π΅ β
π·πΈ , β π΄ β β π·, π΄πΆ β π·πΉ .
Kita harus membuktikan bahwa β π΅ β β πΈ, β πΆ β β πΉ, dan π΅πΆ β πΈπΉ .
Kita akan menyelesaikan ini dengan sedikit variasi dari bukti Teorema
3.1.5 . Kita akan menemukan paling banyak 3 cermin π, π, π sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
π. π. π (βπ΄π΅πΆ) = βπ·πΈπΉ . Tiga cermin ini akan memindahkan
βπ΄π΅πΆ pada βπ·πΈπΉ.
Agar lebih mudah memahami penjelasan berikut, perhatikan Gambar 3.17
berikut .
Jika A = D, maka π adalah kolineasi identitas.
Jika A β D, anggap π adalah sebuah cermin dalam garis π1 , pembagi dua
tegak lurus dari π΄π· . Karena π adalah sebuah cermin pada bisektor
segmen π΄π· maka πA = D.
Jika ππ΅ = πΈ maka π adalah identitas. Jika ππ΅ β π· β πΈ, anggap π adalah
cermin dalam garis π2, pembagi sudut dari β πΈπ·ππ΅. Dalam beberapa kasus
Dβ π2 sehingga ππ· = π· (catatan : kita tidak dapat menganggap π2 sebagai
garis pembagi 2 tegak lurus dari ππ΅πΈ karena dalam geometri protraktor,
belum tentu D β π2 pada kasus tersebut )
Kita anggap πππ΅ = πΈ. Jika ππ΅ β π· β πΈ maka karena π·ππ΅ = ππ΄ππ΅ β
π΄π΅ β π·πΈ , π2 adalah pembagi dua tegak lurus dari ππ΅πΈ dan πππ΅ = πΈ. Jika
Gambar 3. 17 Ilustrasi Teorema 3.2.1
A
C
B
ππΆ
D
B
π2
πππΆ E π3
F
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
ππ΅, π·, πΈ tidak terletak dalam satu garis maka π2 membagi dua β πΈπ·ππ΅.
ππ΅ dan πππ΅ terletak pada sisi yang saling berlawanan dari garis π2
sehingga π2 β© ππ΅πππ΅ = π untuk Q tertentu. Q β int(β πΈπ·ππ΅).
Sekarang β ππ·ππ΅ β β ππ·πΈ karena π2 adalah pembagi dua sudut.
β ππ·ππ΅ β β ππ·πππ΅ karena π adalah sebuah cermin. πππ΅dan E terletak
pada sisi yang saling berlawanan dengan sisi ππ΅. Menurut Teorema
Konstruksi Sudut, β ππ·πππ΅ = β ππ·πΈ sehingga π·πππ΅ = π·πΈ . Karena
π·πππ΅ β π·ππ΅ β π΄π΅ β π·πΈ , πππ΅ = πΈ. Jadi, πππ΅ = πΈ dalam semua
kasus.
Akhirnya, jika πππΆ berada pada sisi yang sama dari garis π·πΈ sebagai F,
anggap π adalah identitas. Jika tidak anggap π adalah sebuah cermin dalam
π·πΈ . Dengan menggunakan Teorema konstruksi sudut, kita dapat
menunjukkan ππππΆ = πΉ seperti kita menunjukkan πππ΅ = πΈ.
π = πππ adalah sebuah isometri yang mempertahankan besar sudut
karena π, π, π adalah isometri yang ketiga nya mempertahankan besar
sudut.
Karena itu, βπ΄π΅πΆ β βππ΄ππ΅ππΆ. Tetapi,
ππ΄ = ππππ΄ = πππ· = ππ· = π·
ππ΅ = ππππ΅ = ππΈ = πΈ
ππΆ = ππππΆ = πΉ
Karena itu, βπ΄π΅πΆ β βπ·πΈπΉ dan Aksioma SsSdSs terpenuhi. β‘
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
Teorema 3.2.1 mengatakan bahwa sebuah geometri protraktor adalah
geometri netral jika dan hanya jika memenuhi aksioma cermin. Dari
Teorema 3.2.1 kita dapat menarik kesimpulan yaitu jika suatu geometri
protraktor memenuhi aksioma cermin, maka geometri protraktor tersebut
merupakan sebuah geometri netral. Begitu juga sebaliknya, jika geometri
protraktor merupakan geometri netral, maka pasti memenuhi aksioma
cermin.
Untuk lebih memahami Teorema 3.2.1, perhatikan contoh berikut :
Contoh 3.2.2 :
Bidang Poincare yang memuat isometri π π₯, π¦ = 4 β π₯, π¦ merupakan
geometri netral. Hal ini dikarenakan bidang Poincare merupakan geometri
protraktor dan isometri π π₯, π¦ = 4 β π₯, π¦ memenuhi aksioma cermin
Bidang Poincare juga memenuhi aksioma cermin, karena bidang Poincare
merupakan sebuah geometri Protraktor sekaligus geometri Netral. β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
BAB IV
PENUTUP
4.1 KESIMPULAN
Berdasarkan hasil pembahasan, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
1) a. Refleksi atau pencerminan terhadap garis π merupakan suatu fungsi
yang memindahkan suatu titik π yang bukan anggota π, menjadi πβ²,
dimana garis π β₯ ππβ² , dan garis π membagi dua segmen ππβ² sama
besar. Sedangkan untuk titik P yang merupakan anggota π, refleksi
terhadap garis π akan membuat titik P menjadi titik tetap. Artinya,
untuk kasus P yang anggota π, maka π = πβ².
Dalam bidang Poincare untuk sembarang garis π β‘ π₯ = π yang
merupakan garis tipe I, fungsi refleksi terhadap garis π akan diberikan
oleh : π π₯, π¦ = 2π β π₯, π¦
Sedangkan untuk sembarang garis π β‘ (π₯ β π)2 + π¦2 = π12 yang
merupakan garis tipe II, fungsi refleksi terhadap garis π akan diberikan
oleh :
π π₯,π¦ = 2π2π¦(π2+πβπ)4
π14(π2+π₯βπ)2+π¦2(π2+πβπ)4
+ π β π2 ,2π¦π2π1
2(π2+πβπ)2(π2+π₯βπ)
π14 (π2+π₯βπ)2+π¦2(π2+πβπ)4
dimana π =π1
2βπ2+π₯2+π¦2
2π₯β2π dan π2
2 = π1
2+π¦2+(π₯βπ)2
2π₯β2π
2
β π12
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
b. Aksioma cermin berbicara mengenai sebuah cermin dalam setiap
garis π. Konsep sebuah cermin dalam garis π adalah suatu isometri π,
yang mempertahankan garis dan besar sudut, membuat semua titik
dalam garis π menjadi titik tetap, serta memisahkan sisi dari titik asli
dengan hasil isometrinya.
2) Jika ππ : S βS adalah refleksi dalam geometri netral, maka
memenuhi sifat :
a) merupakan sebuah isometri.
b) mempunyai minimal 2 titik tetap, yaitu 2 titik yang membentuk
garis π.
c) hasil komposisi dari beberapa refleksi merupakan isometri.
Jika dalam geometri protraktor, π: S βS adalah sebuah cermin
dalam garis π, maka memenuhi sifat :
a) merupakan sebuah isometri.
b) merupakan sebuah kolineasi.
c) mempertahankan sudut.
d) mempunyai minimal 2 titik tetap, yaitu 2 titik yang membentuk
garis π.
e) merupakan geometri netral.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
4.2 SARAN
Untuk pembahasan selanjutnya, tulisan ini dapat dikembangkan
mengenai jenis transformasi lain (translasi atau rotasi) dalam bidang
Poincare, serta defek segitiga dan fungsi krtitis dalam geometri hiperbolik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Bartle, Robert & Sherbert, Donald. (1927). Introduction to Real Analysis. Urbana:
John Willey & Sons, Inc.
Eisenhart, Luther Pfhaler. (1960). Coordinate Geometry. New York : Dover
Publication, Inc.
Greenberg, Marvin Jay. (1980). Euclidean and Non Euclidean Geometries:
Development and History. San Fransisco: W.H.Freeman and co.
Moeharti Hadiwidjojo. (1973). Ilmu Ukur Analitik Bidang Bagian 1.Yogyakarta:
Yayasan Pembina FKIE-IKIP.
Millman,R.S. & Parker, G.D. (1991).Geometry : A Metric Approach with Models.
New York: Springer.
Prenowitz, W. & Jordan, M. (1965). Basic Concept of Geometry. Massachusetts :
Blaisdell Publishing Company.
Smith, Rolland.R. & Ulrich, James.F. (1956). Plane Geometry. Great Britain:
Harcourt, Brace & World, Inc.
Stillwell, John. (2005). The Four Pillars of Geometry. USA : Springer.
Susanta. (1990). Geometri Transformasi. Yogyakarta : Universitas Gajah Mada.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Recommended