POLIEDROSAULA I
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
POLIEDROSVértice
ArestaFace
1) Definição de POLIEDRO:É uma região do espaço delimitada por um
conjunto finito de polígonos, denominado
superfície desse poliedro, que satisfazem
as seguintes condições.
Definição (continuação):
i) Quaisquer dois polígonos
intersectam-se em um
lado ou em um vértice ou
não se intersectam;
Exemplos:
Definição (continuação):
ii) Cada lado de um polígono
pertence exatamente a dois
polígonos;
Exemplos:
Definição (continuação):
iii) Dois polígonos com um
lado em comum não são
coplanares.
Exemplo:
2) Elementos de um Poliedro:
Face
Aresta
Vértice
Obs.: Superfície é a união de todos os
polígonos que delimitam o poliedro.
Relembrando...
Obs.: Um plano divide o espaço
em dois semiespaços de mesma
origem .
3) Convexidade de um
Poliedro:
Se cada plano que contém
uma face de um poliedro
posiciona as demais faces em
um mesmo semiespaço, então
o poliedro é convexo; caso
contrário, é não convexo.
Exemplos:
Poliedros Convexos Poliedros Não
Convexos
4) Algumas relações para o
cálculo do número de arestas:
Denotaremos:
➢ V como o número de vértices;
➢ F como o número de faces;
➢ A como o Número de Arestas;
➢ Fn como o número de faces
com n lados;
➢ Vn como o número de vértices
nos quais concorrem n arestas.
5) Relação de Euler:
V + F – A = 2
número de
vértices
número de faces
número de
arestas
Obs.: Todo Poliedro Convexo satisfaz a
Relação de Euler, mas nem sempre um
poliedro que satisfaz a Relação de
Euler é convexo.
EF 1.1)Obter o número de arestas de umpoliedro convexo que tem 6 faces e 8 vértices.
Exercícios Fundamentais
EF 1.2) Quantos vértices tem um poliedroconvexo com 4 faces triangulares e 5 facesquadradas?
EF 1.3) Um poliedro euleriano de 7 vértices tem5 vértices nos quais concorrem 4 arestas e, 2vértices nos quais concorrem 5 arestas. Quantasarestas e quantas faces tem esse poliedro?
Exemplos:
Convexo Euleriano Não Convexo
Euleriano
V = 6; F = 5; A = 9. V = 24; F = 14; A = 36.
Se um poliedro tem em suas faces dois ou
mais tipos distintos de polígonos, digamos que
TIPO 1 TIPO 2
n° de polígonos: 𝐹𝑛1 n° de polígonos: 𝐹𝑛2
n° de lados em cada: 𝑥 n° de lados em cada: 𝑦
Então o número A de arestas será dado por
𝐴 =𝐹𝑛1. 𝑥 + 𝐹𝑛2. 𝑦
2
Observações importantes:
Observações importantes:
TIPO 1 TIPO 2n° de vértices: 𝑉𝑛1 n° de vértices:𝑉𝑛2
n° de arestas em cada: 𝑥 n° de arestas em cada: 𝑦
Então o número A de arestas será dado por
𝐴 =𝑉𝑛1. 𝑥 + 𝑉𝑛2. 𝑦
2
Se um poliedro concorrem, em seus
vértices, duas ou mais quantidades
distintas de arestas, digamos que
6) Nomenclatura: Poli edro
“Várias” “Faces”
Número de Faces Nome do Poliedro
4 Tetraedro
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
10 Decaedro
12 Dodecaedro
20 Icosaedro
PSA: 6 a 12
TAREFA
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7) Soma das medidas dos
ângulos internos das faces
de um poliedro convexo:
S = ( V – 2 ) ∙ 360º
EF 2.1) A soma das medidas dos ângulos
internos das faces de um poliedro convexo é
igual a 2880°. Admitindo-se que esse poliedro
tenha apenas ângulos tetraédricos, determine o
número de vértices, o número de arestas e o
número de faces desse poliedro.
Exercícios Fundamentais
Obs.: A diagonal de um poliedro
convexo é um segmento de reta
não contido na superfície desse
poliedro e com extremidades em
dois de seus vértices.
8) Poliedros de Platão:
Um poliedro de Platão é caracterizado
pelas seguintes propriedades:
i) É um poliedro euleriano;
ii) Em cada vértice concorre o mesmo
número de arestas;
iii) Todas as faces tem o mesmo número
de lados.
A seguir, as cinco classes de Poliedros de
Platão.
Classe Característica Exemplo
Tetraedro
4 faces triangulares;6 arestas;4 vértices.
Hexaedro
6 faces quadrangulares;12 arestas;8 vértices.
Octaedro
8 faces triangulares;12 arestas;6 vértices.
Classe Característica Exemplo
Dodecaedro12 faces pentagonais;30 arestas;20 vértices.
Icosaedro
20 faces triangulares;30 arestas;12 vértices.
9) Poliedro Regular:
Um poliedro Regular é caracterizado
pelas seguintes propriedades:
i) É um poliedro de Platão;
ii) Suas faces são polígonos regulares.
A seguir, os cinco Poliedros Regulares.
Tetraedro Regular Hexaedro Regular (cubo)
Octaedro Regular
Dodecaedro Regular Icosaedro Regular
EF 2.2) Considere um icosaedro regular, em
que uma de suas arestas tem medida igual
a 15 cm. Determine:
a) A soma das medidas de suas arestas;
b) A área de sua superfície;
c) A soma das medidas dos ângulos das
faces.
Exercícios Fundamentais
PSA: 19, 20, 22, 23 e 24
TAREFA