Triângulos - Pontos Notáveis
Professor Alessandro Monteiro
www.matematicamonteiro.blogspot.com
Pontos Notáveis são alguns pontos importantes de um triângulo. Estudaremos quatro deles: o Baricentro, o Ortocentro, o Incentro e o Circuncentro.
DEFINIÇÃO:
Ponto de cruzamento das medianas
Ponto de cruzamento das alturas
Ponto de cruzamento das bissetrizes
Ponto de cruzamento das mediatrizes
BARICENTRO
ORTOCENTRO
INCENTRO
CIRCUNCENTRO
BARICENTRO:É o ponto de cruzamento das medianas de um triângulo.
MEDIANA:Segmento que vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto.
BARICENTRO
A
B CM
NP
G
AG
GM
BG
GN
CG
GP= = = 2
1
M, N e P
Pontos Médios
AM, BN e CP
Medianas
É o ponto de cruzamento das alturas de um triângulo.
ALTURA:Segmento que vai de um vértice até o lado oposto, formando um ângulo de 90º com este.
ORTOCENTRO
A
B CH
Q
W
O
ORTOCENTRO:
IMPORTANTE:
- Num triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice reto.
- Num triângulo obtusângulo, o ortocentro é externo ao triângulo.
AH, BQ e CW
Alturas
É o ponto de cruzamento das bissetrizes de um triângulo.
BISSETRIZ:Semi-reta que divide um ângulo em duas partes congruentes.
INCENTRO:
A
B C
IMPORTANTE:
- O incentro é o ponto eqüidistante dos lados do triângulo.- O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
INCENTRO
r
r
r
r = distância do incentro aos lados do triângulo
r = raio da circunferência inscrita no triângulo
É o ponto de cruzamento das mediatrizes de um triângulo.
MEDIATRIZ:Reta perpendicular a um segmento passando pelo seu ponto médio.
CIRCUNCENTRO:
A
B CM
QP
IMPORTANTE:
- o ponto eqüidistante dos vértices do triângulo.- o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
R
R
R CIRCUNCENTRO
O circuncentro é:
R = distância do circuncentro aos vértices do triângulo
R = raio da circunferência circunscrita ao triângulo
M, N e P Pontos Médios
EXERCÍCIOS
( ) equidistante dos lados do triângulo
( ) ponto de encontro das mediatrizes
( ) divide cada mediana na razão 2:1
( ) ponto de encontro das bissetrizes internas
( ) podem estar internos, sobre ou externos ao triângulo
( ) centro da circunferência circunscrita
( ) ponto de encontro das medianas
( ) eqüidistante dos vértices do triângulo
( ) ponto de encontro das retas suportes das alturas
( ) centro da circunferência inscrita
1. Nas afirmações abaixo, assinale (B) para baricentro, (I) para incentro, (C) para circuncentro e (O) para ortocentro, sobre as propriedades dos pontos notáveis nos triângulos.
EXERCÍCIOS
( ) O encontro das medianas em um triângulo é o Baricentro.
( ) O encontro das bissetrizes internas de um triângulo é o
Circuncentro.
( ) O encontro das mediatrizes de um triângulo é o Incentro.
( ) O encontro das alturas de um triângulo é o Ortocentro.
( ) Em um triângulo obtusângulo, o baricentro é o ponto externo.
( ) Qualquer triângulo possui os 4 pontos notáveis.
( ) No triângulo equilátero, os 4 pontos notáveis são coincidentes,
( ) No triângulo equilátero, o ortocentro divide as alturas na proporção
2:1
2. Marque V para verdadeiro e F para falso nas seguintes sentenças:
VF
FV
FV
V
V
EXERCÍCIOS
a) O baricentro do triângulo ABC.
b) O incentro do triângulo ABC.
c) O circuncentro do triângulo ABC.
d) O ortocentro do triângulo ABC.
e) Um ex-incentro do triângulo ABC.
3. Um ponto P eqüidista dos vértices de um triângulo ABC. O ponto P é:
X
EXERCÍCIOS
a) O baricentro do triângulo DEF.
b) O incentro do triângulo DEF.
c) O circuncentro do triângulo DEF.
d) O ortocentro do triângulo DEF.
e) Um ex-incentro do triângulo DEF.
4. Um ponto Q pertence à região interna de um triângulo DEF, eqüidista dos lados desse triângulo.O ponto Q é:
X
EXERCÍCIOS
a) baricentro
b) incentro
c) circuncentro
d) ortocentro
e) ex-incentro.
5. Qual dos pontos notáveis do triângulo pode ser um de seus vértices?
X
EXERCÍCIOS
a) Baricentro e Ortocentro
b) Incentro e Circuncentro
c) Baricentro e Circuncentro
d) Incentro e Ortocentro
e) Baricentro e Incentro
6. Quais pontos notáveis de um triângulo nunca se posicionam externamente em relação à sua região triangular?
X
EXERCÍCIOS
a) Mediana
b) Mediatriz
c) Bissetriz
d) Altura
e) Base.
7. (UNITAU) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto é denominado:
X
EXERCÍCIOS
a) Baricentro
b) Incentro
c) Circuncentro
d) Ortocentro
e) Mediana
8. (ESAM) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta do lado oposto é denominada altura. O ponto de intersecção das três retas suportes das alturas do triângulo é chamado:
X
EXERCÍCIOS
a) O baricentro e o ortocentro.
b) O baricentro e o incentro.
c) O circuncentro e o incentro.
d) O circuncentro e o ortocentro.
e) O incentro e o ortocentro.
9. (CESESP) Dentre os quatro centros principais do triângulo qualquer, há dois deles que podem se situar no seu exterior, conforme o tipo de triângulo. Assinale a alternativa em que os mesmos são citados.
X
EXERCÍCIOS
3) C
4) B
5) D
6) E
7) D
8) D
9) D
Gabarito
Feliz dia das Crianças
Foto: Professor Ricardo nos seus primeiros anos de vida!!!