PRESENTACION DE GRAFICAS Y LIMITES Y CONTINUIDAD EN
FUNCIONES VECTORIALES
CALCULO VECTORIAL .
DEFINICION DE FUNCION VECTORIAL
UNA FUNCION DE LA FORMA:
π π‘ = π π‘ π + π π‘ π
(EN EL PLANO)
π π‘ = π π‘ π + π π‘ π + β π‘ π
(EN EL ESPACIO)
ES UNA FUNCION VECTORIAL, DONDE LAS FUNCIONES COMPONENTES f, g Y h SON FUNCIONES DEL PARAMETRO βtβ. ALGUNAS VECES, LAS FUNCIONES VECTORIALES SE
DENOTAN COMO:
π π‘ = π π‘ , π π‘ O π π‘ = π π‘ , π π‘ , β π‘
DIBUJAR LA CURVA PLANA REPRESENTA POR LA FUNCION VECTORIAL: π π‘ = 2 cos π π β 3π ππ π π 0 β€ t β€ 2π
SOLUCION:
1ro: SE ENCUENTRA LAS ECUACIONES PARAMETRICAS
π π‘ = 2 cos π π β 3π ππ π π π π‘ = π π‘ π + π π‘ π
π π‘ = π₯ π + π¦ π
Y POR LO TANTO, FORMAMOS ECUACIONES PARAMETRICAS SIGUIENTES:
π₯ = 2 cos π π¦ π¦ = β3 π ππ π
2do: REALIZAR UNA TABULACION MEDIANTE SUS ECUACIONES PARAMETRICAS:
π₯ = 2 cos π π¦ π¦ = β3 π ππ π
t 0 π
π
π
π
π
πππ
π
ππ
π
π ππ
π
ππ
π
ππ
π
ππ
π
πππ
π
ππ
x 2 3 1 0 -1 β 3 -2 β 3 -1 0 1 3 2
y 0β
3
2 β3 3
2
-3β
3 3
2β
3
2
0 3
23 3
2
3 3 3
2
3
2
0
RESULTADO DE LA TABULACION
DIBUJAR LA CURVA EN EL ESPACIO REPRRSENTADA POR LA FUNCION VECTORIAL:
π π‘ = 4 cos π π + 4π ππ π π 0 β€ t β€ 4π
1ro: SE ENCUENTRA LAS ECUACIONES PARAMETRICAS
π π‘ = 4 cos π π + 4π ππ π π π π‘ = π π‘ π + π π‘ π
π π‘ = π₯ π + π¦ π
Y POR LO TANTO, FORMAMOS ECUACIONES PARAMETRICAS SIGUIENTES:
π₯ = 4 cos π π¦ π¦ = 4 π ππ π
2do: SE REALIZA UNA TABULACION:
t 0 π
π
π
π
π
πππ
π
ππ
π
π ππ
π
ππ
π
ππ
π
ππ
π
πππ
π
ππ
x 4 2 3 2 0 -2 β2 3 -4 β2 3 -2 0 2 2 3 4
y 0 2 4 3 4 4 3 2 0 β2 β4 3 -4 β4 3 β2 0
z 0 π
π
π
π
π
πππ
π
ππ
π
π ππ
π
ππ
π
ππ
π
ππ
π
πππ
π
ππ
t πππ
π
ππ
π
ππ
π
ππ
π
πππ
π
ππ πππ
π
πππ
π
ππ
π
πππ
π
πππ
π
ππ
x 2 3 2 0 -2 β2 3 -4 β2 3 -2 0 2 2 3 4
y 2 4 3 4 4 3 2 0 β2 β4 3 -4 β4 3 β2 0
z πππ
π
ππ
π
ππ
π
ππ
π
πππ
π
ππ πππ
π
πππ
π
ππ
π
πππ
π
πππ
π
ππ
RESULTADO DE LA GRAFICA
REPRESENTAR LA PARABOLA π¦ = π₯2 + 1MEDIANTE SU FUNCION VECTORIAL
1ro: SE HACE TOMAR QUE t = x Yβ¦
π¦ = π₯2 + 1
π¦ = π‘2 + 1
2do: DESPUES, POR DEFINICION, SE TOMARAN ESAS DOS FUNCIONES COMO PARAMETROS DE βtβ EN x Y EN y:
π₯ = π‘ π¦ = π‘2 + 1
3ro: SE REALIZA UNA TABULACION. PODEMOS EMPEZAR DESDE -4 HASTA 4 CON RESPECTO A LOS VALORES DEL PARAMETRO βtβ
π₯ = π‘ π¦ = π‘2 + 1
t -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 17 10 5 2 0 2 5 10 17
RESULTADO DE LA GRAFICA
DIBUJAR LA SEMIELIPSOIDEπ₯2
12+
π¦2
24+
π§2
4= 1, π§ β₯ 0
1ro: SE HACE TOMAR QUE x = t, Y TAMBIEN π¦ = π‘2
π₯2
12+
π¦2
24+
π§2
4= 1
π‘2
12+
π‘2 2
24+
π§2
4= 1
π‘2
12+
π‘4
24+
π§2
4= 1
2do: SE DESPEJA LA VARIAVBLE βzβ
π‘2
12+
π‘4
24+
π§2
4= 1
π§2
4= 1 β
π‘2
12+
π‘4
24
π§2 = 4 1 βπ‘2
12+
π‘4
24
π§ = 4 1 βπ‘2
12+
π‘4
24
RESULTADO DE LA GRAFICA
DEFINICION DE UNA FUNCION VECTORIAL
Si π es una funciΓ³n vectorial tal que π π‘ = π π‘ π + π π‘ π, entonces
limπ‘βπ
π π‘ = limπ‘βπ
π π‘ π + limπ‘βπ
π π‘ π
Siempre que existan los lΓmites de f y g cuando π‘ β π.
Si π es una funciΓ³n vectorial tal que π π‘ = π π‘ π + π π‘ π + β π‘ π, entonces
limπ‘βπ
π π‘ = limπ‘βπ
π π‘ π + limπ‘βπ
π π‘ π + limπ‘βπ
β π‘ π
Siempre que existan los lΓmites de f, g y h cuando π‘ β π.
RECORDANDO LA REGLA LβHOPITAL
limπ‘βπ
π π‘
π π‘= lim
π‘βπ
πππ‘
π π‘
πππ‘
π π‘
SEA βaβ EL VALOR DEL LIMITE Y SEA f(t) Y g(t) FUNCIONES PARAMETRICAS EN DONDE AMBAS SON DERIVABLES. ESTE PROCEDIMIENTO CONSISTE EN
DERIVAR AMBAS FUNCIONES DE FORMA DIRECTA
EVALUAR EL SIGUIENTE LIMITE
limπ‘β2
π‘ π +π‘2 β 4
π‘2 β 2π‘ π +
1
π‘π
SOLUCION:
limπ‘β2
π‘ π +π‘2 β 4
π‘2 β 2π‘ π +
1
π‘π = lim
π‘β2π‘ π + lim
π‘β2
π‘2 β 4
π‘2 β 2π‘ π + lim
π‘β2
1
π‘π
= 2 π + limπ‘β2
π‘2 β 4
π‘2 β 2π‘ π +
1
2π
PARA SOLUCIONAR EL SEGUNDO LIMITE HAY DOS METODOS PARA ENCONTRAR SU SOLUCION
PRIMERO MODO: FACTORIZACION
limπ‘β2
π‘2 β 4
π‘2 β 2π‘ π = lim
π‘β2
π‘ + 2 π‘ β 2
π‘ π‘ β 2 π = lim
π‘β2
π‘ + 2
π‘ π =
4
2 π = 2 π
SEGUNDO MODO: REGLA LβHOPITAL
limπ‘β2
π‘2 β 4
π‘2 β 2π‘ π = lim
π‘β2
πππ‘
π‘2 β 4
πππ‘
π‘2 β 2π‘ π = lim
π‘β2
2π‘
2π‘ β 2 π =
4
4 β 2 π = 2 π
Y VOLVIENDO A LA SOLUCION, EL RESULTADO ES:
limπ‘β2
π‘ π +π‘2 β 4
π‘2 β 2π‘ π +
1
π‘π = 2 π + 2 π +
1
2π
EVALUAR EL SIGUIENTE LIMITE
limπ‘β0
π‘2 π + 3π‘ π +1 β cos π‘
π‘π
SOLUCION:
limπ‘β0
π‘2 π + 3π‘ π +1 β cos π‘
π‘π = lim
π‘β0π‘2 π + lim
π‘β03π‘ π + lim
π‘β0
1 β cos π‘
π‘π
= 0 π + 0 π + limπ‘β0
1 β cos π‘
π‘π
PARA RESOLVER EL TERCER LIMITE UTILIZAREMOS LA FORMULA LβHOPITAL
limπ‘β0
1 β cos π‘
π‘π
limπ‘β0
1 β cos π‘
π‘π = lim
π‘β0
πππ‘
1 β cos π‘
πππ‘
π‘π = lim
π‘β0
π ππ π‘
1π = 0π
Y CAPTURANDO LOS DATOS, SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL:
limπ‘β0
π‘2 π + 3π‘ π +1 β cos π‘
π‘π = 0 π + 0 π + 0π
CONTINUIDAD DE UNA FUNCION VECTORIAL
Una funciΓ³n vectorial π es continua en un punto dado por t=a si el lΓmite de π π‘ cuando π‘ β π existe y
limπ‘βπ
π π‘ = π π
Una funciΓ³n vectorial π es continua en un intervalo πΌ si es continua en todos los puntos del intervalo.
ANALIZAR LA CONTINUIDAD DE LA FUNCION VECTORIAL
π π‘ = π‘ π + π π + π2 + π‘2 πCUANDO π‘ = 0
SOLUCION:
1ro: EVALUAR EL LIMITE CUANDO βtβ TIENDE A CERO (0)
limπ‘βπ
π π‘ = limπ‘β0
π‘ π + π π + π2 + π‘2 π
= limπ‘β0
π‘ π + limπ‘β0
π π + limπ‘β0
π2 + π‘2 π
= 0 π + π π + π2π
2do: CONOCER SI ES CONTINUA LA FUNCION VECTORIAL
π π‘ = π‘ π + π π + π2 + π‘2 π
π 0 = 0 π + π π + π2 + 02 π
π 0 = 0 π + π π + π2π
GRAFICA DE LA FUNCION VECTORIAL
π π‘ = π‘ π + π π + π2 + π‘2 π
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