Download pdf - Presentazione standard di PowerPointbissaldi/Fisica2/02_Cap2_Potenziale.pdfLavoro, tensione e f.e.m. Consideriamo gli aspetti di LAVORO ed ENERGIA connessi ai campi elettrici•In

CAPITOLO 2• POTENZIALE ELETTROSTATICO

Lavoro, tensione e f.e.m.

Consideriamo gli aspetti di LAVORO ed ENERGIA connessi ai campi elettrici

• In questa trattazione, consideriamo inizialmente un campo elettrico 𝑬𝒆𝒍generico, non necessariamente “elettrostatico”

• Calcolo del LAVORO INFINITESIMO compiuto dalla forza elettrica per

muovere una carica 𝒒𝟎 di uno spostamento infinitesimo 𝒅𝒔:

𝒅𝑾 = 𝑭 ∙ 𝒅𝒔

= 𝒒𝟎 𝑬𝒆𝒍 ∙ 𝒅𝒔

= 𝒒𝟎 𝑬𝒆𝒍 𝒅𝒔 cos𝜽

= 𝒒𝟎 𝑬𝒔 𝒅𝒔

• 𝜽 = angolo tra 𝑬 e 𝒅𝒔

• 𝑬𝒔 = 𝑬𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒔𝜽 = componente di 𝑬𝒆𝒍 in direzione di 𝒅𝒔

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 2

𝑬𝒆𝒍

𝒅𝒔

𝜽

𝑬𝒔𝒒𝟎


• Si consideri il LAVORO necessario per MUOVERE una carica su un percorso 𝑪𝟏che va dal punto 𝑨 al punto 𝑩

1. Si divide il percorso in tratti INFINITESIMI 𝒅𝒔𝒊

2. Si calcola il lavoro 𝒅𝑾𝒊 per ciascun tratto

3. Si sommano i contributi infinitesimi 𝑾 = σ𝒊𝒅𝑾𝒊

4. Per uno spostamento finito lungo 𝑪𝟏:

𝑾𝟏 = න𝑪𝟏

𝒅𝑾𝟏 = න𝑪𝟏

𝑭 ∙ 𝒅𝒔 = 𝒒𝟎න𝑪𝟏

𝑬𝒆𝒍 ∙ 𝒅𝒔

• Vettore 𝒅𝒔 TANGENTE alla curva C1 in ogni punto

Integrale DI LINEA o CURVILINEO



DEFINIZIONE DI TENSIONE ELETTRICA 𝑻

Tra due punti 𝑨 e 𝑩 relativa al percorso 𝑪𝟏

𝑻𝟏 =𝑾𝟏

𝒒𝟎= න

𝑪𝟏


• 𝑾𝟏: lavoro compiuto dalla forza 𝑭 nello

spostamento della carica 𝒒𝟎 da 𝑨 a 𝑩

lungo il percorso 𝑪𝟏

In GENERALE, se l’agente che sposta le cariche ha natura

QUALUNQUE, il lavoro DIPENDE DAL PERCORSO:

𝑻𝟏 𝒅𝒂 𝑨 𝒂 𝑩 𝒍𝒖𝒏𝒈𝒐 𝑪𝟏 ≠ 𝑻𝟐 𝒅𝒂 𝑨 𝒂 𝑩 𝒍𝒖𝒏𝒈𝒐 𝑪𝟐


𝑨 𝑪𝟏

𝑬𝒆𝒍

𝑩𝜽𝒅𝒔

A

B

C1

C2


• Si consideri un PERCORSO CHIUSO:

𝑾 = ර𝑭 ∙ 𝒅𝒔 = න𝑪𝟏

𝑭 ∙ 𝒅𝒔 + න−𝑪𝟐

𝑭 ∙ 𝒅𝒔

= න𝑪𝟏

𝑭 ∙ 𝒅𝒔 − න𝑪𝟐

𝑭 ∙ 𝒅𝒔 = 𝑾𝟏 −𝑾𝟐

• IN GENERALE, il LAVORO per un

PERCORSO CHIUSO è DIVERSO DA ZERO!

𝑾 = ර𝑪

𝑭 ∙ 𝒅𝒔 = 𝒒𝟎ර𝑪


• Integrale detto CIRCUITAZIONE


𝑬𝒆𝒍

𝒅𝒔

𝑪


• DEFINIZIONE DI FORZA ELETTROMOTRICE relativa ad un percorso chiuso

ℰ = 𝒇. 𝒆.𝒎.= ර𝑪


• Quindi ℰ =𝑾

𝒒𝟎per un percorso chiuso

• Esprime il rapporto tra LAVORO COMPIUTO

e CARICA, relativo al PERCORSO CHIUSO 𝑪

• Malgrado il nome, NON È UNA FORZA, ma

ha le stesse dimensioni della tensione

• Dipende dalle caratteristiche del campo

elettrico e dal tipo di percorso 𝑪, non da 𝒒𝟎

• In generale è DIVERSA DA ZERO


𝑬𝒆𝒍

𝒅𝒔

𝑪


Non tutte le forze ELETTRICHE sono conservative.

Ma: la FORZA ELETTROSTATICA è CONSERVATIVA!

Il LAVORO necessario per spostare una carica risulta in questo caso

INDIPENDENTE dal percorso

• Inoltre: Il LAVORO su un PERCORSO CHIUSO è sempre NULLO

• La CIRCUITAZIONE di una FORZA CONSERVATIVA è NULLA


IL CAMPO ELETTROSTATICO

è un CAMPO CONSERVATIVO

Il potenziale elettrostatico

• Riconsiderando dunque L’INTEGRALE DI LINEA lungo 𝑪𝟏 visto in precedenza,

ma assumendo ora che si tratti di un CAMPO ELETTROSTATICO 𝑬 :

𝑾𝟏 = 𝒒𝟎න𝑪𝟏

𝑬 ∙ 𝒅𝒔

• Se il campo è conservativo, allora il lavoro NON DIPENDE DAL

PERCORSO, ma solo dai punti di PARTENZA E ARRIVO

• Il lavoro può essere espresso come DIFFERENZA DEI VALORI di

una nuova funzione 𝑽 delle coordinate 𝑨 e 𝑩

𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 = −න𝑨

𝑩

𝑬 ∙ 𝒅𝒔

DEFINIZIONE DI POTENZIALE ELETTROSTATICO 𝑽

𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 = 𝚫𝐕 è la DIFFERENZA DI POTENZIALE (D.D.P.) tra 𝑩 e 𝑨



• Inserendo la seconda equazione nella prima, si trova che:

𝑾𝑨𝑩 = − 𝒒𝟎 𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 = − 𝒒𝟎 𝜟 𝑽

• Il LAVORO 𝑾𝑨𝑩 svolto dalla forza elettrica per portare 𝒒𝟎 da 𝑨 a 𝑩 è

definito dall’OPPOSTO del PRODOTTO di 𝒒𝟎 per la d.d.p. 𝜟 𝑽

calcolata tra il punto di ARRIVO 𝑩 e il punto di PARTENZA 𝑨


Energia potenziale

Ricordando che:

1. Ad ogni FORZA CONSERVATIVA è associata un’energia potenziale

2. Il LAVORO di una forza conservativa è pari all’opposto della variazione

della corrispondente energia potenziale

Quindi, nel CASO ELETTROSTATICO, vale:

𝑾𝑨𝑩 = −𝜟𝑼𝒆 = − 𝑼𝒆 𝑩 − 𝑼𝒆 𝑨

• Dove 𝑼𝒆 = ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA

• Da cui:

𝚫𝑼𝒆 = 𝒒𝟎 𝚫 𝑽

𝑼𝒆 = 𝒒𝟎 𝑽


Una carica di prova 𝒒𝟎 posta in un CAMPO ELETTROSTATICO possiede

un’energia potenziale 𝑼𝒆 PROPORZIONALE al potenziale 𝑽


• Generalizzando:

• Il potenziale 𝑽𝒇 in un PUNTO QUALUNQUE dello spazio corrisponde al

LAVORO 𝑾𝒆𝒍 svolto dal campo elettrostatico sulla carica di prova 𝒒𝟎(e diviso per tale valore) per spostarla da infinito al punto considerato

• Scelta TIPICA per il potenziale di riferimento:

NULLO ad INFINITO, ovvero 𝑽𝒊 = 𝑽∞ = 𝟎

𝑽𝒇 = −𝑾𝒆𝒍

𝒒𝟎

• Considerando PERCORSI CHIUSI (𝑨 = 𝑩) si ha

𝜺 = 𝑬ׯ ∙ 𝒅𝒔 = 0 𝑾 = 𝒒𝟎𝜺 = 0


La forza elettromotrice è NULLA per campi ELETTROSTATICI


• UNITÀ DI MISURA del potenziale nel S.I. è il Volt (V)

• 1 Volt = 1 Joule/1 Coulomb

Nuova unità di misura per il campo elettrico!

• [E] = 1 Volt/1 metro (quella più usata comunemente)

• L’ «ELETTRONVOLT»

• Unità di misura usata per l’energia (soprattutto quando si parla di

semiconduttori o di energie di legame)

• Rappresenta il lavoro necessario a portare un elettrone da infinito al

potenziale elettrico di 1V

• Dalla definizione allora

• 1 eV = 1.6 · 10−19 C · 1 V = 1.6 · 10−19 J


UNITÀ

DI MISURA

V

Obiettivi:

1. Si vuole dimostrare che il campo elettrostatico di qualunque distribuzione di

carica è CONSERVATIVO.

2. Si vogliono ricavare le espressioni ESPLICITE per 𝑽 e 𝑼𝒆.

Caso più semplice:

Calcolo della D.D.P. nel campo generato da una CARICA PUNTIFORME

• Bisogna dunque calcolare il lavoro infinitesimo 𝒅𝑾 della forza 𝑭

per un generico spostamento elementare 𝒅𝒔 della carica di prova 𝒒𝟎

nel campo 𝑬 generato dalla carica puntiforme 𝒒 posta in 𝑶

(centro del sistema di riferimento in questione)


Calcolo del potenziale elettrostatico

• Si calcola il LAVORO:

𝒅𝑾 = 𝑭 ∙ 𝒅𝒔

= 𝒒𝟎 𝑬 ∙ 𝒅𝒔

= 𝒒𝟎𝒒

𝟒 𝝅 𝜺𝟎

𝟏

𝒓𝟐ෝ𝒖 ∙ 𝒅𝒔

= 𝒒𝟎𝒒

𝟒 𝝅 𝜺𝟎

𝒅𝒓

𝒓𝟐

= 𝒅𝑾 𝒓

• La funzione integranda 𝒅𝑾 𝒓 risulta

dipendere soltanto dalla variabile 𝒓

• 𝒓 rappresenta la distanza tra 𝒒𝟎 e 𝒒


𝒅𝒓 = proiezione dello

spostamento infinitesimo 𝒅𝒔nella direzione ෝ𝒖 del campo:

ෝ𝒖 ∙ 𝒅𝒔 = 𝒅𝒔 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒅𝒓

𝒒

ෝ𝒖

𝑬

𝒅𝒔𝒅𝒓

𝜽

𝒒𝟎

𝒓


• Integrando su tutto il percorso dal punto 𝑨 al punto 𝑩

• Ovvero dalla distanza 𝒓𝑨 alla distanza 𝒓𝑩

𝑾 = 𝒒𝟎𝒒

𝟒 𝝅𝜺𝟎න𝒓𝑨

𝒓𝑩 𝒅𝒓

𝒓𝟐

𝑾 = −𝒒𝟎 𝒒

𝟒 𝝅𝜺𝟎 𝒓𝑩−

𝒒𝟎 𝒒

𝟒 𝝅𝜺𝟎 𝒓𝑨

• Si è dunque VERIFICATO che:

Il LAVORO NON DIPENDE dal PERCORSO SEGUITO

• Risultato non inatteso poiché la FORZA in questione è CENTRALE

(modulo dipende solo dalla distanza 𝒓)



Confrontando con le formule precedenti possiamo dedurre:

• DIFFERENZA DI POTENZIALE:

𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 =𝒒

𝟒 𝝅𝜺𝟎𝒓𝑩−

𝒒

𝟒 𝝅𝜺𝟎𝒓𝑨

• VARIAZIONE DELL’ENERGIA POTENZIALE:

𝑼𝒆 𝑩 − 𝑼𝒆 𝑨 =𝒒𝟎 𝒒

𝟒 𝝅𝜺𝟎 𝒓𝑩−

𝒒𝟎 𝒒

𝟒 𝝅𝜺𝟎 𝒓𝑨



• POTENZIALE in un punto a distanza 𝒓 dalla carica 𝒒:

𝑽 𝒓 =𝒒

𝟒 𝝅𝜺𝟎 𝒓+ 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝟏

• E’ costante in tutti i punti della superficie sferica di raggio 𝒓

con centro nella carica 𝒒

• ENERGIA POTENZIALE della carica 𝒒𝟎 distante 𝒓 dalla carica 𝒒:

𝑼𝒆 𝒓 =𝒒 𝒒𝟎

𝟒 𝝅𝜺𝟎 𝒓+ 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝟐

Entrambi sono definiti a meno di una costante additiva




• Poiché la forza tra due cariche decresce con la distanza, si suppone che:

𝑭 ∞ → 𝟎, 𝑬 ∞ → 𝟎, 𝑽 ∞ → 𝟎, 𝑼𝒆 ∞ → 𝟎

• Dalle definizioni precedenti, ne consegue che:

𝑽 ∞ = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝟏, 𝑼 ∞ = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝟐

Si può dunque assumere che 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝟏 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝟐 = 𝟎

POTENZIALE in un punto a distanza 𝒓 dalla carica sorgente 𝒒

𝑽 𝒓 = −න∞

𝒓

𝑬 ∙ 𝒅𝒔 =𝒒

𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓

ENERGIA POTENZIALE della carica 𝒒𝟎 distante 𝒓 dalla carica 𝒒

𝑼𝒆 𝒓 = 𝒒𝟎 𝑽 𝒓 = −𝒒𝟎න∞

𝒓

𝑬 ∙ 𝒅𝒔 =𝒒 𝒒𝟎

𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓


∞

𝑷

𝒓

𝒓𝟎

𝒒

Potenziale di un sistema di cariche

• Estensione alla situazione di un campo elettrostatico generato da

un sistema discreto di cariche puntiformi 𝒒𝟏, 𝒒𝟐,…, 𝒒𝒏.

• Si utilizza il PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE

SOMMA VETTORIALE dei CAMPI ELETTROSTATICI di ciascuna carica

න𝑨

𝑩

𝑬 ∙ 𝒅𝒔 = න𝑨

𝑩

𝒊

𝑬𝒊 ∙ 𝒅𝒔

=𝒊න𝑨

𝑩

𝑬𝒊 ∙ 𝒅𝒔

=𝒊න𝑨

𝑩 𝒒𝒊

𝟒 𝝅𝜺𝟎𝒓𝒊𝟐ෝ𝒖 ∙ 𝒅𝒔



• Integrando 𝑨𝑩 𝟏

𝒓𝒊𝟐 𝒅𝒓 si ottiene:

𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 = 𝒊

𝒒𝒊𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓(𝑩,𝒊)

− 𝒊

𝒒𝒊𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓(𝑨,𝒊)

• Analogamente:

𝑾 = − 𝜟𝑼𝒆 = −𝒒𝟎 𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 = − 𝒊

𝒒𝟎 𝒒𝒊𝟒 𝝅𝜺𝟎𝒓(𝑩,𝒊)

− 𝒊

𝒒𝟎 𝒒𝒊𝟒 𝝅𝜺𝟎𝒓(𝑨,𝒊)

• Per il generico punto nello spazio 𝑷 𝒙, 𝒚, 𝒛 vale:

𝑽 𝒙, 𝒚, 𝒛 = −න∞

𝑷

𝑬 ∙ 𝒅𝒔 =𝒊

𝒒𝒊𝟒 𝝅 𝜺𝟎𝒓𝒊


Il potenziale elettrostatico di un sistema di cariche si ottiene

SOMMANDO I POTENZIALI di ciascuna delle cariche

Esercizio 2.1

• Tre cariche uguali 𝒒𝟏 = 𝒒𝟐 = 𝒒𝟑 sono

disposte ai vertici di un triangolo

equilatero di lato 𝒍.

• Determinare:

1. Il potenziale al centro del triangolo;


𝒒𝟑

𝒒𝟏 𝒒𝟐𝒍

𝒍𝒍


• Estensione a distribuzioni continue di cariche:

𝑽 𝑷 = න𝒅𝑽 =𝟏

𝟒 𝝅 𝜺𝟎න𝑽

𝒅𝒒

𝒓

• 𝒅𝒒 = carica dell’elemento infinitesimo

• 𝒓 = distanza tra 𝑷 e l’elemento infinitesimo 𝒅𝒒

• 𝒅𝑽 = potenziale infinitesimo prodotto nel punto 𝑷 da 𝒅𝒒

L’integrale va inteso sulla forma dell’oggetto carico

• Volume, superficie, o linea


Energia potenziale di un sistema di cariche

Si consideri il sistema di DUE cariche fisse 𝒒𝟏 e 𝒒𝟐, poste alla distanza 𝒓.

• La loro energia potenziale elettrostatica si esprime come:

𝑼𝒆 𝒓 =𝒒𝟏 𝒒𝟐𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓

Caso 1) Cariche dello STESSO SEGNO:

𝑼𝒆 è POSITIVA (La forza repulsiva tende ad allontanarle)

• Allontanandole: Lavoro 𝑾 è fornito vero l’esterno 𝑼𝒆 DIMINUISCE

• Avvicinandole: Lavoro 𝑾 esterno speso contro la forza repulsiva

𝑼𝒆 AUMENTA

Caso 2) Cariche di SEGNO OPPOSTO:

𝑼𝒆 è NEGATIVA (La forza attrattiva tende ad avvicinarle)

• Allontanandole: 𝑾 NEGATIVO, 𝑼𝒆 AUMENTA (diviene meno negativa)

• Avvicinandole: 𝑾 viene fornito all’esterno, 𝑼𝒆 DIMINUISCE


• Energia necessaria a creare un SISTEMA di più cariche puntiformi

• Processo di costituzione del sistema prendendo

una carica alla volta e aggiungendolo al resto

• Energia potenziale complessiva del sistema:

𝑼𝒆,𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 =𝟏

𝟐

𝒊≠𝒋

𝒒𝒊 𝒒𝒋

𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓𝒊𝒋

• 𝒓𝒊𝒋: mutue distanze tra tutte le coppie di punti

• Somma estesa a tutte le coppie di punti

Fattore 𝟏/𝟐 tiene conto del fatto che nella sommatoria

ci sono termini simmetrici tipo 𝒊𝒋 e 𝒋𝒊 che NON vanno sommati

due volte



∞

𝒓𝟏𝟐

𝒒𝟐

𝒒1

Energia potenziale elettrostatica

• Energia potenziale elettrostatica di una carica esterna 𝒒𝟎 distinta dalle

precedenti

𝑼𝒆, 𝒒𝟎 𝒓 =

𝒊=𝟏

𝒏𝒒𝟎 𝒒𝒊

𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓𝒊

• Energia potenziale complessiva del sistema:

𝑼𝒆 = 𝑼𝒆, 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 + 𝑼𝒆, 𝒒𝟎

L’energia del sistema RIMANE COSTANTE in processi in cui 𝒒𝟎si sposta da una posizione all’altra

Le variazioni dell’energia complessiva Δ𝑼𝒆 coincidono con le variazioni

dell’energia potenziale di 𝒒𝟎, ovvero Δ𝑼𝒆,𝒒𝟎



Esercizio 2.2

• Tre cariche uguali 𝒒𝟏 = 𝒒𝟐 = 𝒒𝟑 sono

disposte ai vertici di un triangolo

equilatero di lato 𝒍.

• Determinare:

1. L’energia potenziale elettrostatica

del sistema;

2. Il lavoro necessario a portare

una carica 𝒒𝟎 dal centro del triangolo

all’infinito.


𝒒𝟑

𝒒𝟏 𝒒𝟐𝒍

𝒍𝒍

Moto di una carica in campo elettrostatico

• Si supponga di avere una carica 𝒒𝟎 di massa 𝒎 IN MOTO in un campo

elettrostatico 𝑬

• Per il teorema LAVORO – ENERGIA CINETICA:

𝜟𝑬𝒌 =𝟏

𝟐𝒎 𝒗𝑩

𝟐 −𝟏

𝟐𝒎𝒗𝑨

𝟐 = 𝑾

• Il lavoro nel caso elettrostatico

𝑾 = −𝜟𝑼𝒆 = −𝒒𝟎𝜟𝑽 = − 𝒒𝟎𝑽𝑩 − 𝒒𝟎𝑽𝑨• Uguagliando

𝟏

𝟐𝒎 𝒗𝑩

𝟐 + 𝒒𝟎𝑽𝑩 =𝟏

𝟐𝒎𝒗𝑨

𝟐 + 𝒒𝟎𝑽𝑨

Scegliendo opportunamente il segno di 𝚫𝐕 è possibile ACCELERARE

la carica 𝒒𝟎, trasformando l’energia potenziale in energia cinetica


CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA TOTALE durante il moto di 𝒒𝟎

La SOMMA di energia CINETICA e POTENZIALE rimane costante

𝑬 = 𝑬𝒌 + 𝑼𝒆 =𝟏

𝟐𝒎𝒗𝟐 + 𝒒𝟎𝑽 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

Lavoro svolto da una forza esterna

• Se spostiamo tramite una forza esterna 𝑭𝒆𝒙𝒕 una carica 𝒒𝟎 in un campo

elettrico 𝑬 da un punto 𝑨 ad un punto 𝑩, si ha che in questo spostamento

anche il campo compie lavoro. Per il teorema del lavoro – energia cinetica

vale:

𝚫𝑬𝒌 = 𝑾𝒆𝒙𝒕 +𝑾𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐

• Se lo spostamento è fatto con la carica ferma sia in 𝑨 che in 𝑩:

𝑾𝒆𝒙𝒕 +𝑾𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐 = 𝟎 → 𝑾𝒆𝒙𝒕 = −𝑾𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐

• Dato che il campo elettrostatico è conservativo:

𝑾𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐 = −𝜟𝑼 = −𝒒𝟎 𝜟𝑽

Qualunque sia il tipo di forza esterna possiamo sempre dire che

il lavoro necessario a spostare una carica ferma da una posizione

all’altra è 𝑾𝒆𝒙𝒕 = +𝒒𝟎 𝜟𝑽


Superfici equipotenziali

• DEFINIZIONE

• Luogo dei punti aventi il MEDESIMO POTENZIALE

• SUPERFICIE delimitata dalla condizione 𝑽 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

• Non è necessario compiere alcun lavoro per muoversi

su una superficie equipotenziale


𝑬

𝑽


• Linee del campo elettrico PERPENDICOLARI alle superfici equipotenziali

• Se le linee del campo fossero tangenti, ci sarebbe

un lavoro NON NULLO per spostare una carica lungo la superficie

• Ciò consente di RICAVARE LA DIREZIONE del campo elettrico

nel caso sia nota la superficie equipotenziale


𝑬

𝑽


ESEMPI

1. Carica puntiforme

• Superfici equipotenziali = sfere concentriche alla carica stessa

2. Dipolo elettrico


1. 2.

–

Campo come gradiente del potenziale

• OBIETTIVO: ricavare il campo elettrico IN OGNI PUNTO conoscendo

l’espressione del potenziale in quei punti

• Ci interessa una RELAZIONE LOCALE, non solo integrale

• Supponiamo di muovere la carica di prova 𝒒𝟎 dal punto 𝑨(𝒙, 𝒚, 𝒛) al punto

𝑩 𝒙 + 𝒅𝒙, 𝒚 + 𝒅𝒚, 𝒛 + 𝒅𝒛

• Considero lo spostamento 𝒅𝒔 = 𝒅𝒙 ෝ𝒖𝒙 + 𝒅𝒚 ෝ𝒖𝒚 + 𝒅𝒛 ෝ𝒖𝒛 con il quale si

passa dalla superficie equipotenziale 𝑽𝑨 𝒙, 𝒚, 𝒛 alla superficie

𝑽𝑩 𝒙 + 𝒅𝒙, 𝒚 + 𝒅𝒚, 𝒛 + 𝒅𝒛 = 𝑽 + 𝒅𝑽

• La variazione del potenziale si può esprimere come:

𝒅𝑽 = −𝑬 ∙ 𝒅𝒔 = −𝑬𝒙 𝒅𝒙 − 𝑬𝒚 𝒅𝒚 − 𝑬𝒛 𝒅𝒛



• Per il TEROEMA DEL DIFFERENZIALE TOTALE:

𝒅𝑽 =𝝏𝑽

𝝏𝒙𝒅𝒙 +

𝝏𝑽

𝝏𝒚𝒅𝒚 +

𝝏𝑽

𝝏𝒛𝒅𝒛

• Dunque si ottiene che:

𝐄𝐱 = −𝝏𝑽

𝝏𝒙𝑬𝒚 = −

𝝏𝑽

𝝏𝒚𝑬𝒛 = −

𝝏𝑽

𝝏𝒛

NOTO IL POTENZIALE in un punto, posso RICAVARE IL CAMPO!

• Scrittura sintetica: 𝑬 = − 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑽 = − 𝛁 𝑽


Il campo elettrostatico è uguale al GRADIENTE del

potenziale elettrostatico cambiato di segno

Una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata, a meno di un

resto infinitesimo, da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto;

affinché ciò si verifichi è necessario che tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistano


• Si utilizza l’operatore vettoriale 𝛁 «DEL» o «NABLA»:

𝛁 =𝝏

𝝏𝒙ෝ𝒖𝒙 +

𝝏

𝝏𝒚ෝ𝒖𝒚 +

𝝏

𝝏𝒛ෝ𝒖𝒛

• Si comporta formalmente come un vettore

• Acquista significato in due casi

1. Applicato ad una funzione scalare (come il potenziale)

𝛁 𝑽 =𝝏𝑽


𝝏𝑽


𝝏𝑽

𝝏𝒛ෝ𝒖𝒛

2. Moltiplicato scalarmente per un altro vettore

CAMPO COME GRADIENTE DEL POTENZIALE

𝑬 = − 𝛁 𝑽 = −𝝏𝑽


𝝏𝑽


𝝏𝑽

𝝏𝒛ෝ𝒖𝒛



• Per il potenziale si può dunque riscrivere:

𝒅𝑽 = − 𝑬 ∙ 𝒅𝒔 = 𝛁 𝑽 ∙ 𝒅𝒔 e 𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 = − න𝑨

𝑩

𝑬 ∙ 𝒅𝒔 = න𝑨

𝑩

𝛁 𝑽 ∙ 𝒅𝒔

TEOREMA DEL GRADIENTE

𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 = න𝑨

𝑩

𝛁 𝑽 ∙ 𝒅𝒔

• Spesso può risultare utile passare alle coordinate polari nel piano

• Vettore spostamento:

𝒅𝒔 = 𝒅𝒓 ෝ𝒖𝒓 + 𝒓 𝒅𝜽 ෝ𝒖𝜽

• Campo elettrostatico come gradiente del potenziale:

𝑬 𝒓, 𝜽 = −𝝏𝑽

𝝏𝒓ෝ𝒖𝒓 −

𝟏

𝒓

𝝏𝑽

𝝏𝜽ෝ𝒖𝜽


𝜽 𝒅𝜽

𝒅𝒓 ෝ𝒖𝒓 𝒅𝒔

𝒓𝒅𝜽 ෝ𝒖𝜽𝒓

Esercizio 2.3

• Si determinino il potenziale ed il campo

elettrostatico generati in un punto 𝑷

sull’asse 𝒙 da un ANELLO carico

di raggio 𝑹 avente densità

di carica lineare 𝝀


𝒙

𝒙

Esercizio 2.4

• Si determinino il potenziale ed il

campo elettrostatico generati in un

punto 𝑷 sull’asse 𝒙 da un

DISCO carico di raggio 𝑹

con densità di carica superficiale 𝝈


𝒙

Esercizio 2.5

• Si calcoli l’andamento del potenziale elettrostatico tra due piani indefiniti

paralleli indefinitamente carichi rispettivamente con densità

superficiale 𝝈 e −𝝈, partendo dalla definizione di campo elettrostatico.


Esercizio 2.6

• Si calcoli il potenziale nel punto 𝑷

al centro di un quadrato

di lato 𝒍 = 𝟏. 𝟑 𝒎, supponendo

che le cariche ai quattro angoli valgano:

• 𝒒𝟏 = +𝟏𝟐 𝒏𝑪

• 𝒒𝟐 = −𝟐𝟒 𝒏𝑪

• 𝒒𝟑 = +𝟑𝟏 𝒏𝑪

• 𝒒𝟒 = +𝟏𝟕 𝒏𝑪


𝒒𝟏 𝒒𝟐

𝒍

𝒍𝒍

𝒒𝟑 𝒒𝟒

𝒍

𝑷

Potenziale del dipolo elettrico

• Due cariche puntiformi +𝒒 e −𝒒

distanti 𝒅 costituiscono

un dipolo elettrico

• Momento di dipolo

𝒑 = 𝒒 𝒅

• Con 𝒑 orientato da −𝒒 a +𝒒


–

𝒑+

𝒖𝒓


• Potenziale in un generico punto P

𝑽 𝑷 =𝒒

𝟒𝝅𝜺𝟎

𝒓− − 𝒓+𝒓− 𝒓+

• Se P è molto lontano dal dipolo

• 𝒓 ≫ 𝒅

• Si ottiene

𝑽 𝑷 =𝒑 𝒄𝒐𝒔𝜽

𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓𝟐=

𝒑 ∙ ෝ𝒖𝒓𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓

𝟐

• Da misure di potenziale si ricavano

informazioni su 𝒑, ma non sulla costituzione

del sistema


–

+

𝒓− − 𝒓+ ≅ 𝒅𝒄𝒐𝒔𝜽𝒓+𝒓− ≅ 𝒓𝟐


• Campo elettrostatico del dipolo

𝑬 =𝒑

𝟒 𝝅 𝜺𝟎𝒓𝟑(𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ෝ𝒖𝒓 + 𝒔𝒆𝒏 𝜽 ෝ𝒖𝜽)

• Sull’asse del dipolo

𝑬 = 𝑬𝒓 =𝟐 𝒑

𝟒 𝝅 𝜺𝟎𝒓𝟑

• Nel piano mediano

𝑬 = 𝑬𝜽 =− 𝒑

𝟒 𝝅 𝜺𝟎𝒓𝟑


𝒑

𝒚

𝒛 𝑬𝒓

𝑬𝜽

𝑷

ෝ𝒖𝒓

𝜽

𝒑𝑬

Dipolo in campo elettrico esterno

• Risente di 2 forze uguali e opposte

𝑭𝟏 = −𝒒𝑬 e 𝑭𝟐 = +𝒒𝑬

• Coppia con risultante nulla,

ma momento risultante ≠0!

𝑴 = 𝒓𝟏 × 𝑭 + 𝒓𝟐 × 𝑭 = 𝒓𝟐 − 𝒓𝟏 × 𝑭 = 𝒒𝒅 × 𝑬 = 𝒑 × 𝑬

Momento torcente sul dipolo elettrico immerso in un campo esterno

𝑴 = −𝒑 𝑬 𝒔𝒆𝒏𝜽 ෝ𝒖𝒛

• Dipolo tende ad ALLINEARSI al campo elettrico


𝑴

𝒑𝑬

𝒑

𝑭

𝑭

𝑬

Dipolo in campo elettrico esterno non uniforme

• Campo elettrico non uniforme

• La risultante delle forze NON è più nulla, poiché è diverso il valore del

campo nei due punti occupati dalle cariche (a distanza 𝒅)

• Esempio semplice: 𝑬 parallelo, concorde e crescente con l’asse 𝒙

• Si consideri un dipolo diretto lungo x (concorde o discorde)

• 𝑬𝟏, 𝑬𝟐 = valori del campo nelle posizioni delle cariche

• 𝑬𝟐 > 𝑬𝟏 , appross. 𝑬𝟐 = 𝑬𝟏 +𝝏𝑬

𝝏𝒙𝒅

• La forza risultante:

𝑭 = 𝒒 𝑬𝟐 − 𝑬𝟏 = 𝒑𝝏𝑬

𝝏𝒙

Il dipolo subisce un’accelerazione

• 𝒑 concorde a 𝑬: moto verso 𝒙 positive

• 𝒑 discorde a 𝑬: moto verso 𝒙 negative


– +𝒑 𝑭

A

–+𝒑 𝑭

B

𝒙

𝑬𝟐𝑬𝟏

A

B

Esercizio 2.7

• Si determini il potenziale generato da un’ASTA ISOLANTE carica di lunghezza

𝑳, posta lungo l’asse 𝒙 e avente una carica 𝑸 distribuita uniformemente, in un

punto 𝑷 posto ad una distanza 𝒅 lungo l’asse 𝒚, in corrispondenza di uno dei

due estremi dell’asta.


xL

d

P

y

Esercizio 2.8

• Ricavare un’espressione per il lavoro richiesto ad un agente esterno per

disporre le quattro cariche della figura come mostrato.


𝒒 −𝒒

𝒍

𝒍𝒍

−𝒒 𝒒

𝒍𝒚

𝒙

Esercizio 2.9

• In un fulmine, la differenza di potenziale tra i punti dove avviene la scarica è

𝚫V = 𝟏𝟎𝟗 𝑽e la quantità di carica trasferita 𝑸 = 𝟑𝟎 𝑪.

Determinare:

1. L’energia rilasciata durante la scarica;

2. Se tutta l’energia fosse impiegata per accelerare un’automobile di

massa 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈 in quiete, quale sarebbe la sua velocità finale?


Esercizio 2.10

• Si consideri una carica elettrica 𝒒 = −𝟗. 𝟏𝟐 𝒏𝑪 uniformemente distribuita su

un anello di raggio 𝒓 = 𝟏. 𝟒𝟖 𝒎 che giace nel piano 𝒚𝒛 e con centro

nell’origine. Una carica di prova 𝒒𝟎 = −𝟓. 𝟗𝟑 𝒑𝑪 è posizionata sull’asse 𝒙 nel

punto 𝒙 = 𝟑. 𝟎𝟕 𝒎.

1. Determinare il lavoro compiuto da un agente esterno nello spostare la

carica puntiforme nell’origine.


Esercizio 2.11

• Si consideri una sfera isolante uniformemente carica con densità volumetrica 𝝆

di raggio 𝑹. Sapendo che il campo della sfera vale

𝑬 𝒓 =𝝆𝒓

𝟑𝜺𝟎𝒑𝒆𝒓 𝟎 < 𝒓 < 𝑹

𝑬 𝒓 =𝝆𝑹𝟑

𝟑𝜺𝟎𝒓𝟐

𝒑𝒆𝒓 𝒓 ≥ 𝑹

determinare il potenziale elettrico all’interno della sfera:

1. Assumendo nullo il potenziale al centro;

2. Assumendo nullo il potenziale all’infinito.


Esercizio 2.12

• Si considerino due sfere metalliche di raggio 𝑹 = 𝟑 𝒄𝒎 distanti tra loro

𝒅 = 𝟐𝒎. La prima ha carica 𝑸𝟏 = 𝟏𝟎 𝒏𝑪, mentre la seconda ha carica

𝑸𝟐 = −𝟑𝟎 𝒏𝑪.

Determinare

1. Il potenziale nel punto intermedio;

2. Il potenziale su ciascuna sfera.


Esercizio 2.13

• Si consideri una sfera di materiale isolante di raggio 𝑹, uniformemente carica,

il cui potenziale elettrico sulla superficie rispetto all’infinito è 𝑽𝟏 = 𝟒𝟎𝟎 𝑽.

Sapendo che ad una distanza 𝒓 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 dalla superficie della sfera il

potenziale vale 𝑽𝟐 = 𝟑𝟔𝟎 𝑽, determinare:

• Il raggio 𝑹 della sfera;

• La carica 𝑸 della sfera.


Esercizio 2.14

• Si consideri un elettrone lasciato in quiete in un campo elettrostatico uniforme

di modulo 𝑬 = 𝟐 × 𝟏𝟎𝟔 𝑽/𝒎, che lo accelera per una distanza 𝒅 = 𝟎. 𝟓 𝒄𝒎.

Determinare:

1. L’energia cinetica acquistata dall’elettrone;

2. La corrispondente velocità dell’elettrone nel limite non relativistico.


Esercizio 2.15

• Si considerino 3 cariche 𝒒𝟏 = 𝟒𝟎 𝒏𝑪, 𝒒𝟐 = −𝟐𝟎 𝒏𝑪 e 𝒒𝟑 = 𝟔𝟎 𝒏𝑪, allineate

sull’asse 𝒙 ed equidistanti di 𝒍 = 𝟓𝟎 𝒄𝒎.

1. Determinare il lavoro fatto dalle forze elettrostatiche per allontanare

𝒒𝟑 di altri 𝟓𝟎 𝒄𝒎 nel verso delle 𝒙 positive.


𝒒𝟏 𝒒𝟐 𝒒𝟑𝒙

𝒍𝒍