CAPITOLO 6• CAMPI MAGNETICI
Interazione magnetica
• Magnetismo: proprietà osservata fin dall’antichità in alcuni minerali
(es. MAGNETITE) di attirare la limatura di ferro
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Interazione magnetica
• Proprietà di attrazione non uniforme
• Localizzata in determinate parti del magnete
• POLI DEL MAGNETE
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Interazione magnetica
• Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo)
1. Come per le forze di natura
elettrostatica:
• Un magnete GENERA UN
CAMPO MAGNETICO
• Forza attrattiva o repulsiva
• POLI POSITIVI e
POLI NEGATIVI
• I poli di UNO STESSO MAGNETE
sono sempre di SEGNO OPPOSTO
• Non ci sono cariche elettriche
in azione!
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Interazione magnetica
• Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo)
2. Una bacchetta di ferro immersa nel
campo magnetico generato dalla
magnetite si MAGNETIZZA
• Si ottiene dunque un magnete
artificiale o calamita
• Se molto piccolo: Ago magnetico
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Interazione magnetica
• Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo)
3. Ago magnetico si comporta come un
DIPOLO MAGNETICO che lasciato
libero si orienta nella direzione
e verso del campo magnetico
TERRESTRE esistente in quel punto
• Polo NORD: si orienta verso il
nord geografico, segno POSITIVO
• Polo SUD: segno NEGATIVO
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Interazione magnetica
• Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo)
4. Interazione tra poli dello
stesso segno: REPULSIVA;
Interazione tra poli di
segno opposto: ATTRATTIVA
• Per poli puntiformi
(es. sbarra lunga e sottile):
Andamento della FORZA
MAGNETICA risulta inversamente
proporzionale al quadrato della
distanza
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Interazione magnetica
• Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo)
5. Esperimento della calamita spezzata:
I poli magnetici sembrano
esistere sempre a COPPIE di egual
valore e segno opposto
• Non esiste il MONOPOLO magnetico
(polo magnetico isolato),
ma esistono solo DIPOLI MAGNETICI
• Differenza fondamentale tra
forza elettrica e magnetica!
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Interazione magnetica
• Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo)
6. I granelli di limatura di ferro si dispongono in modo ORDINATO
lungo linee REGOLARI
• Ciascun granello magnetizzato diventa dipolo magnetico e si orienta
parallelamente al campo magnetico stesso
• LINEE DI CAMPO MAGNETICO
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Interazione magnetica
• Vettore campo magnetico: 𝑩
• Verso: dal polo Sud al polo Nord
• Proprietà delle linee di campo magnetico
analoghe a quelle del campo elettrostatico
• Punto: campo uscente
• Croce: campo entrante
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𝑩
x x x
x x
𝑩
𝑩
N geografico
S geografico
S magnetico
Elettricità e magnetismo
• Osservazioni sperimentali
1. Un filo percorso da corrente elettrica
produce un campo magnetico (Oersted XIX secolo)
• La limatura di ferro evidenzia le
linee di campo attorno al filo
2. Due fili percorsi da corrente
interagiscono tra loro
(Ampère XIX secolo)
• Le azioni magnetiche sono una
manifestazione dell’interazione
tra cariche elettriche in MOVIMENTO
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𝒊
𝑩
𝒊𝟏 𝒊𝟐 𝒊𝟏 𝒊𝟐𝑭
𝑭 𝑭
Forza magnetica su una carica in moto
Si studiano prima gli effetti di un campo magnetico esterno su particelle cariche in
movimento (particelle isolate o correnti)
• Una carica di massa 𝒎 e carica 𝒒 in moto con velocità 𝒗 e immersa in un campo
magnetico 𝑩 risente della forza di Lorentz:
𝑭 = 𝒒 𝒗 × 𝑩
• Modulo della forza: 𝑭 = 𝒒 𝒗 𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜽
• Forza perpendicolare sia a 𝒗 che a 𝑩
• No componente tangenziale
Forza sempre centripeta
• Forza compie sempre lavoro nullo
L’energia cinetica della particella
in moto SI CONSERVA
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𝒗
𝑩
𝑭
+𝒒𝜽
𝒗
𝑩
𝑭
−𝒒𝜽
Forza magnetica su una carica in moto
Forza magnetica ORTOGONALE a 𝑩
• Contrariamente a quanto succede per il campo elettrico,
in cui la forza elettrostatica risulta PARALLELA a 𝑬
• Unità di misura del
campo magnetico 𝑩
• Tesla (T), 1 T
• Gauss (G) = 10–4 T
(meno utilizzata)
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UNITÀ
DI MISURA
T
Forza magnetica su un conduttore percorso da corrente
• Densità di corrente in un conduttore
Ԧ𝒋 = −𝒏 𝒆 𝒗𝒅• 𝒏 = 𝑵/𝝉: no elettroni liberi per unità di volume
• −𝒆: carica elementare
• 𝒗𝒅: velocità di deriva
• Se il conduttore è immerso in un campo magnetico,
ciascun elettrone risente della forza di Lorentz:
𝑭 = −𝒆 𝒗𝒅 × 𝑩
Nel caso di un conduttore filiforme di lunghezza 𝒅𝒔 (orientato come Ԧ𝒋) e sezione 𝚺 ottengo la forza magentica risultante:
𝒅𝑭 = 𝒊 𝒅𝒔 × 𝑩
• Direzione: perpendicolare a 𝒅𝒔 e a 𝑩 (regola della mano destra)
• Modulo: 𝒅𝑭 = 𝒊 𝒅𝒔 𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜽• La forza non dipende dal segno dei portatori ed è proporzionale alla corrente
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𝑭
𝒅𝒔
𝒊
𝑩
dove 𝝉 = 𝚺𝐝𝐬
SECONDA LEGGE
ELEMENTARE DI LAPLACE
Nel caso di un filo conduttore indeformabile di lunghezza finita percorso da una
corrente stazionaria, si ottiene
𝑭 = 𝒊 𝑷𝑸𝒅𝒔 × 𝑩
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Forza magnetica su un conduttore percorso da corrente
• 𝑷 e 𝑸: estremi del filo
• 𝑩 può variare in modulo, direzione e verso,
ma è costante su ciascuna SEZIONE del filo
• Casi particolari interessanti:
1. Filo rettilineo e 𝑩 costante:
𝑭 = 𝒊 Ԧ𝒍 × 𝑩
• Modulo: 𝑭 = 𝒊 𝒍 𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜽
2. Filo curvo in un piano e 𝑩 costante
𝑭 = 𝒊 𝑷𝑸 × 𝑩
• La forza sul filo non dipende
dalla sua forma, ma solo dai punti
iniziale e finale
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𝑭
𝑩
𝒍𝒊
𝑸
𝑷
𝒅𝒔
𝑩
Forza magnetica su un conduttore percorso da corrente
Esercizio 6.1
• In un circuito chiuso a forma di semicirconferenza di raggio 𝑹 fluisce una
corrente di intensità 𝒊. Il circuito è contenuto nel piano 𝒙𝒚 con il tratto rettilineo
𝑷𝑸 parallelo all’asse 𝒙 ed è immerso in un campo magnetico 𝑩 uniforme
parallelo all’asse 𝒚.
1. Calcolare la forza magnetica sul tratto rettilineo e su quello curvo.
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𝑩
𝒊 𝑹
𝑷 𝑸𝑶𝒙
𝒚
Momenti meccanici su circuiti piani
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• In generale, si consideri la forza magnetica come una FORZA RISULTANTE di
un sistema di forze applicate in punti diversi
• Può provocare uno spostamento (Teorema del moto del centro di massa)
• Inoltre, il sistema di forze può avere MOMENTO RISULTANTE non nullo
• Può provocare una rotazione
• Consideriamo CIRCUITI PIANI RIGIDI percorsi da corrente e immersi in CAMPO
MAGNETICO UNIFORME
• FORZA RISULTANTE NULLA
• Il circuito non si sposta e non si deforma
• MOMENTO RISULTANTE può essere DIVERSO DA ZERO
Rotazione del circuito
Momenti meccanici su circuiti piani
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Spira rettangolare 𝑷𝑸𝑹𝑺 di superficie Σ = 𝒂𝒃 orientata secondo ෝ𝒖𝒏 e percorsa
da una corrente 𝒊, immersa in un campo magnetico uniforme 𝑩
• 𝜽: angolo tra ෝ𝒖𝒏 e 𝑩
𝑭𝟏
𝑭𝟐
𝒊
ෝ𝒖𝒏𝜽
𝑩
𝒃 𝒔𝒆𝒏𝜽
x 𝑭𝟐
𝑭𝟏
𝑭𝟑
𝑭𝟒
ෝ𝒖𝒏
𝜽
𝑴
𝑴
𝒊
𝑹
𝒂
𝑸
𝑺
𝑷
𝒊
𝒃
𝑩
Momenti meccanici su circuiti piani
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Spira rettangolare 𝑷𝑸𝑹𝑺 di superficie Σ = 𝒂𝒃 orientata secondo ෝ𝒖𝒏 e percorsa
da una corrente 𝒊, immersa in un campo magnetico uniforme 𝑩
• 𝜽: angolo tra ෝ𝒖𝒏 e 𝑩
𝑭𝟏
𝑭𝟐
𝒊
ෝ𝒖𝒏𝜽
𝑩
x 𝑭𝟐
𝑭𝟏
𝑭𝟑
𝑭𝟒
ෝ𝒖𝒏
𝜽
𝑴
𝑴
𝒊
𝑹
𝒂
𝑸
𝑺
𝑷
𝒊
𝒃
𝑩
𝒃 𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒊
𝒊x
Momenti meccanici su circuiti piani
• Si definisce il MOMENTO MAGNETICO della spira
𝒎 = 𝒊 𝜮 ෝ𝒖𝒏
Il momento MECCANICO vale dunque
𝑴 = 𝒎×𝑩 = 𝒊 𝚺ෝ𝒖𝒏 × 𝑩
• Relazione valida per qualunque spira piana
• 𝑴 tende a far ruotare la spira in modo che 𝒎 diventi parallelo e
concorde a 𝑩
• Modulo: 𝑴 = 𝒎𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒊 𝜮 𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜽
• Se la spira è composta da 𝑵 avvolgimenti sovrapposti:
• Relazione va moltiplicata per 𝑵
• Se 𝒎 || 𝑩 : 𝑴 = 𝟎
• 𝜽 = 𝟎 equilibrio STABILE, 𝜽 = 𝝅 equilibrio INSTABILE
• Analogia con il dipolo elettrico per cui 𝑴 = 𝒑 × 𝑬
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Momenti meccanici su circuiti piani
• Si consideri un asse di rotazione parallelo a 𝑴 e si supponga di SPOSTARE la
spira dalla posizione di equilibrio stabile di un angolo 𝜽 piccolo
• Il momento meccanico della spira vale
𝑴 = −𝒎𝑩𝒔𝒆𝒏𝜽 ≅ −𝒎𝑩𝜽
• Segno – indica che il momento richiama la spira verso la posizione di equilibrio
• Ricordando il teorema del momento angolare 𝑴 =𝒅𝑳
𝒅𝒕= 𝑰𝜶 = 𝑰
𝒅𝟐𝜽
𝒅𝒕𝟐
• 𝑰: momento d’inerzia della spira rispetto all’asse di rotazione
• Si ritrova quindi l’equazione del moto armonico
𝒅𝟐𝜽
𝒅𝒕𝟐+𝝎𝟐𝜽 = 𝟎
• Pulsazione 𝝎 =𝒎𝑩
𝑰e periodo 𝑻 = 𝟐𝝅
𝑰
𝒊 𝜮 𝑩delle piccole oscillazioni
Definizione operativa di 𝑩
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Momenti meccanici su circuiti piani
• Energia POTENZIALE per il dipolo magnetico:
𝑼𝑷 = −𝒎 ∙ 𝑩 = −𝒎𝑩 𝒄𝒐𝒔𝜽 = −𝒊 𝚺 𝐁 𝐜𝐨𝐬𝜽
• Analogia con il dipolo elettrico per cui 𝑼𝒆 = −𝒑 ∙ 𝑬
• Relazione tra momento meccanico ed energia potenziale:
𝑴 = −𝒅𝑼𝑷
𝒅𝜽= −𝒎𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜽
• Forza su un dipolo magnetico 𝒎 orientato parallelamente ad un campo
magnetico variabile 𝑩 = 𝑩 𝒙 ෝ𝒖𝒙
𝑭(𝒙) = 𝒎𝒅𝑩
𝒅𝒙
• Se 𝒎 concorde a 𝑩𝒎 si sposta
nel verso in cui 𝑩 aumenta
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Effetto Hall
• Si consideri una sottile lamina conduttrice di sezione 𝚺 = 𝐚𝐛 percorsa da
corrente di intensità 𝒊 (e densità Ԧ𝒋) diretta lungo l’asse 𝒙 ed immersa in
campo magnetico 𝑩 diretto lungo l’asse 𝒚
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𝒙
𝒛
𝑸
𝑷
Ԧ𝒋
𝑩
𝑬𝑯
𝑬𝒆𝒍
𝒚
𝒂
𝒃
+ + + + +
− − − − − −
Effetto Hall
• Su ciascun portatore agisce la forza di Lorentz 𝑭 = 𝒆 𝒗𝑫 × 𝑩
• Tale forza NON è di natura elettrostatica!
• Nel grafico precedente, tale forza è diretta lungo l’asse 𝒛
Si definisce campo elettrico DI ORIGINE MAGNETICA detto CAMPO DI HALL
𝑬𝑯 =𝑭
𝒆= 𝒗𝑫 × 𝑩 =
Ԧ𝒋
𝒏 𝒆× 𝑩
• Campo NON CONSERVATIVO, ma ELETTROMOTORE
• 𝑬𝑯 diretto come la forza, lungo l’asse 𝒛
• Se 𝒆 > 𝟎 (portatori positivi): Verso 𝑬𝑯 concorde all’asse 𝒛
• Se 𝒆 < 𝟎 (portatori negativi): Verso 𝑬𝑯 discorse all’asse 𝒛
• Deflessione nel moto delle cariche
• Accumulo di cariche di segno opposto sulle facce ortogonali a 𝑬𝑯
Tale accumulo da origine ad un campo elettrostatico 𝑬𝒆𝒍che si oppone ad esso (e sarà quindi di verso opposto a 𝑬𝑯)
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Effetto Hall
• Alla luce di queste considerazioni, è possibile indicare i nuovi campi
elettromotore 𝑬𝑯 ed elettrostatico 𝑬𝒆𝒍 nel grafico precedente, insieme con le
distribuzioni di carica sulle superfici superiore ed inferiore
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𝒙
𝒛
𝑸
𝑷
Ԧ𝒋
𝑩
𝑬𝑯
𝑬𝒆𝒍
𝒚
𝒂
𝒃
+ + + + +
− − − − − −
𝒆 > 𝟎
Effetto Hall
• Situazione di equilibrio si raggiunge quando:
𝑬𝑯 + 𝑬𝒆𝒍 = 𝟎
• La f.e.m. del campo elettromotore vale dunque
Ɛ𝑯 = න𝑷
𝑸
𝑬𝑯 ∙ 𝒅𝒛 = 𝑬𝑯 ∙ 𝑷𝑸 = ± 𝑬𝑯 𝒃
• Segno + se 𝒆 > 𝟎, segno − se 𝒆 < 𝟎
• Modulo:
Ɛ𝑯 = 𝑬𝑯𝒃 =𝒋𝑩
𝒏𝒆𝒃 =
𝒊
𝒂𝒃
𝑩𝒃
𝒏𝒆=
𝒊 𝑩
𝒏 𝒆 𝒂
Effetto Hall TRASVERSALE
• Sonde di Hall
• Misuratori di campo magnetico: 𝑩 =𝒏 𝒆 𝒂 Ɛ𝑯
𝒊=
Ɛ𝑯
𝜶dove 𝜶 =
𝒊
𝒏 𝒆 𝒂
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Moto di una particella carica in campo magnetico
• Si consideri una particella di carica 𝒒 e massa 𝒎 in moto con una velocità
iniziale 𝒗 ortogonale ad un campo magnetico 𝑩 uniforme
• Forza di Lorentz (centripeta!) risulta anch’essa ortogonale, e devia
continuamente il moto della particella carica:
𝑭 = 𝒒𝒗𝑩 = 𝒎𝒂𝒏 = 𝒎𝒗𝟐
𝒓
• Moto CIRCOLARE uniforme con
RAGGIO DI CURVATURA costante
𝒓 =𝒎𝒗
𝒒𝑩=
𝒑
𝒒𝑩= 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
• Traiettoria: arco di circonferenza o
circonferenza completa se la particella
rimane entro la zona di 𝑩
𝑩 =𝒎𝒗
𝒓𝒒(definizione operativa di 𝑩)
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𝒗
𝑭
𝑩
𝒒
𝑪
Moto di una particella carica in campo magnetico
• PERIODO del moto circolare uniforme:
𝑻 =𝟐𝝅
𝝎=𝟐𝝅𝒎
𝒒 𝑩
In generale, se è presente una iniziale componente della velocità
in direzione del campo magnetico, questa
componente non viene modificata ed il
moto risultante è ELICOIDALE
• VELOCITÀ ANGOLARE della particella:
𝝎 =𝒗
𝒓=𝒒𝑩
𝒎→ 𝝎 = −
𝒒
𝒎𝑩
• 𝝎 è sempre PARALLELA a 𝑩
• Carica negativa 𝝎 ha lo stesso verso
di 𝑩, altrimenti ha verso opposto
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+–−𝒒 +𝒒
𝝎 𝝎x
𝑩
–++𝒒 −𝒒
𝝎 𝝎x
𝑩x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
Moto di una particella carica in campo magnetico
• Espressione completa della forza di Lorentz:
𝑭 = 𝒒 𝑬 + 𝒗 × 𝑩
• Da essa si ricava la legge del moto di particelle cariche in campo
magnetico in presenza contemporanea di campo elettrico
• Dispositivi che deducono alcune proprietà delle particelle stesse:
• Spettrometri, Ciclotroni, Sincrotroni, etc.
• Es.1: Spettrometro di massa
• A parità di energia cinetica e di carica: a masse diverse
corrispondono velocità diverse, dunque raggi diversi.
• Misurando il raggio si risale al valore del rapporto 𝒎/𝒒
𝒓 =𝟐𝑽
𝑩𝟐
𝒎
𝒒
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• Es.2: Selettore di velocità
• Campi 𝑬 e 𝑩 uniformi e ortogonali tra loro («incrociati»)
• Se i moduli dei campi sono scelti in modo tale che 𝑬 + 𝒗 × 𝑩 = 𝟎
la forza sulla particella carica risulta nulla (𝑭 = 𝟎)
• Le particelle la cui velocità soddisfa la condizione 𝒗 =𝑬
𝑩non
vengono deflesse e compiono un moto rettilineo uniforme
• I campi incrociati permettono di effettuare MISURE DI VELOCITÀ
delle particelle cariche
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++
𝒒𝒗 × 𝑩
𝒒𝑬𝒗
𝑩
𝑬
𝑽
Moto di una particella carica in campo magnetico
Esercizio 6.2
• Un fascio di elettroni viene accelerato da fermo con una differenza di
potenziale 𝑽 = 𝟓𝟎𝟎 𝑽 e inviato in una regione in cui agisce un campo
magnetico 𝑩 uniforme, perpendicolare alla direzione di volo degli elettroni.
Gli elettroni descrivono una circonferenza di raggio 𝒓 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎.
Determinare
1. La velocità degli elettroni;
2. Il valore del campo magnetico.
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Esercizio 6.3
• Determinare modulo, direzione e verso di 𝑩 necessari a far levitare un filo di
rame avente densità per unità di lunghezza 𝝆𝑳 = 𝟒𝟔. 𝟔𝒈
𝒎e percorso da una
corrente 𝒊 = 𝟏𝟓 𝑨 uscente nel foglio come in figura.
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𝒎𝒈
𝒊i
Esercizio 6.4
• Si consideri un elettrone accelerato da una differenza di potenziale di 𝟏 𝒌𝑽 che
si muova verso una regione compresa tra due piastre piane e parallele
separate da una distanza di 𝟐𝟎𝒎𝒎. Tra le piastre esiste una differenza di
potenziale di 𝟏𝟎𝟎 𝑽.
1. Se l’elettrone entra nella regione muovendosi perpendicolarmente al
campo elettrico tra le piastre, quale campo magnetico, perpendicolare
sia al percorso dell’elettrone che al campo elettrico, è necessario affinchè
l’elettrone viaggi in linea retta?
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Esercizio 6.5
• Si consideri una bobina rettangolare di lati 𝟏𝟐 𝒄𝒎 e 𝟓 𝒄𝒎 composta da
𝟐𝟎 𝒔𝒑𝒊𝒓𝒆 di filo. Essa è percorsa da una corrente di 𝟎. 𝟏 𝑨. È incernierata lungo
un lato e montata con il suo piano formante un angolo di 𝟑𝟑° con la direzione di
un campo magnetico di modulo 𝟎. 𝟓 𝑻.
1. Calcolare il momento torcente sulla bobina rispetto all’asse della
cerniera.
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