masa na sprężynie
wahadło
instrumenty muzyczne
molekuły (atomy) w
ciele stałym
fale elektromagnetyczne
(drgające E i H)
Ruch drgający i falowy
F kx
Drgania harmoniczne proste
Prawo Hooke’a
kxF
kxmaF
xm
ka
xm
k
dt
xd
2
2
22
20
d xx
dt
2
2
[ cos( )] [ cos( )]k A t m A t
k m
k
m
k
mT 2
Okres drgań nie zależy od amplitudy.
( ) cos( )x t A t
tAx cos
(0) cosx A
1 0
0
tanx
v
cos sindx d
v A t tdt dt
maxv A
2
2 2
2sin cos
d x da t t x
dt dt
2
maxa A
tAx cos
cos
cos 2
x A t T
A t
Prosta analogia:
rzut na osie ruchu jednostajnego po okręgu
22222
2
1cossin
2
1kAtktkUKE
tkkxU 222 cos2
1
2
1Energia potencjalna siły sprężystości
2
max
1
2U kA
2 2 2 21 1sin
2 2K mv m t
2 2 22
max max
1 1 1
2 2 2K mv m k
Energia kinetyczna
2 2v A x
Zachowanie energii mechanicznej
Wahadło matematyczne
2
2
2
2
sin
sin
t tF ma
d xmg m
dt
x L
dg L
dt
L
g
dt
d
2
2
sin
Okres wahadła nie zależy od amplitudy drgań ani
masy.
g
LT
L
g
22
2
Częstość własna
masa na sprężyniem
k
Tf
2
110
L
g
Tf
2
110 wahadło
Wahadło fizyczne
mgd
I
2I
Tmgd
2
2
2
2
2
sin
I
dMgd I
dt
d Mgd
dt I
Mgd
I
sin
Szukany: okres kończyny dolnej
Przykład
Prędkość chodu Tyrannosaurus rex
2
2 2(3.1 )2 2 2.9
3 3(9.8 / )
L mT s
g m s
4.0 1.4 / 5 /
2.9
S mv m s km h
T s
Dane paleontologiczne: L=3.1 m; S=4.0 m
Bliska szybkości chodu człowieka!
Drgania tłumione
Siła oporu proporcjonalna do prędkości
dt
dxbkx
dt
xdm
bvkxmaF
2
2
Rozwiązanie dla małej siły oporu
2
0
( ) cos( )
( 2 )
btmx t Ae t
b m
Nowa
częstość
oscylacji
2 2
2
02 2
k b b
m m m
02b m02b m
2
2
0
2
2
Tb
m
Mimo tłumienia stały
okres oscylacji!
Przypadki szczególne:
(a) Ruch pełzający krytyczny
(b) Ruch pełzający
02b m
02b m
Drgania tłumione: przypadki szczególne
Drgania słabo tłumione
Ruch pełzający krytyczny wykorzystany w amortyzatorach samochodowych
Rozwiązania po wystarczającym długim czasie:
0
22
2 2
0
( ) cos( )x t A t
FmA
b
m
0
k
m naturalna częstość
układu
Zewnętrzna siła wymuszająca dostarcza energii
(dodatnia praca) i kompensuje straty układu w
wyniku tłumienia: amplituda pozostaje stała
(np.: dziecko na huśtawce).
2
02cos
d x dxm kx b F t
dt dt
Siła wymuszająca
Drgania wymuszone
Rezonans
Dramatyczny wzrost amplitudy drgań kiedy
częstość wymuszająca zbliża się do częstości
własnej układu0
Najbardziej wydajne przekazywanie energii do
układu.
wzrasta0 A
)(Aoporu bez 0 b
0
22
2 2
0
( ) cos( )x t A t
FmA
b
m
Przykłady rezonansu
Układy elektroniczne (przekaz i odbiór
sygnałów radiowych i telewizyjnych)
Procesy atomowe i jądrowe
Rezonans mechaniczny: mosty,
wirniki, samoloty etc (destrukcja
urządzeń)