Pristupni rad
Predmet: Modeli ulaganja i amortizacije
Tema: Ulozi
Mentor: Studenti:
Prof. dr Željko Šain Edina Hajro 2739 - 69054
Hasanović Amra 2768 - 68852
Sarajevo, Maj 2014
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
1. SADRŽAJ
1. SADRŽAJ........................................................................................................................................... 2
2. UVOD................................................................................................................................................. 3
3. RAČUN ULOGA................................................................................................................................ 4
4. JEDNAKI ULOZI............................................................................................................................... 6
3.1. Periodi ulaganja i obračuna kamate isti..............................................................................................6
3.2.Ulozi odložene realizacije.........................................................................................................................10
3.3. Ulaganje češće od obračunavanja kamate.......................................................................................11
3.4.Ulaganje rjeđe od obračunavanja kamate.........................................................................................12
5. VARIJABILNI ULOZI.................................................................................................................... 14
4.1.Ulozi se mijenjaju po zakonitostima aritmetičke progresije....................................................14
4.2.Ulozi se mijenjaju po zakonitima geometrijske progresije.......................................................15
6. KOMBINOVANI PRIMJERI......................................................................................................... 17
7. ZAKLJUČAK................................................................................................................................... 21
8. LITERATURA................................................................................................................................ 23
2
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
2. UVOD
Finansijska matematika obuhvaća područje ekonomske grane matematike koja obrađuje
probleme poslovanja, kapitala, rentabilnosti ulaganja, zajmova i dr. Naime, u svakodnevnom
životu upravljamo osobnim finansijama kako bismo osigurali optimalni raspored
finansijskih sredstava kojima raspolažemo s ciljem zadovoljavanja naših potreba.
Vrijednost novca se tokom vremena mijenja pa donošenje odgovarajućih odluka postaje još
teže. Ukoliko raspolažemo s viškom finansijskih sredstava, zanima nas kako ih optimalno
„iskoristiti“: uložiti ih u banku ili investirati npr. u nekretninu?ematičkom zakonu, a
uplaćuju se na neki račun u jednakim vremenskim intervalima.
Kroz ovaj rad predstavit ćemo šta u finansijskoj matematici znače računi uloga. Teoretski
ćemo objasniti o čemu se u stvari radi, te ćemo kroz primjere objasniti kako se to radi u
praksi.
U smislu finansijske matematike ulozi su uplate koje se vrše privremeno u jednakim
vremenskim razmacima u jednakim iznosima, odnosno iznosima koje rastu ili opadaju po
nekom matematičkom zakonu.1
U nastavku ćemo najprije dati kratak prikaz osnovnih matematičkih pojmova i relacija koje
se koriste u finansijskoj matematici radi boljega razumijevanja izvoda temeljnih izraza.
1 Branko Trklja: Finansijska matematika, treće izdanje, 2008., Sarajevo, p. 35
3
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
3. RAČUN ULOGA
Ako se više jednakih ili varijabilnih iznosa, koji se mjenjaju po nekom matematskom
zakonu, uplaćuje na neki račun u jednakim vremenskim intervalima, onda takve iznose sa
stanovišta finansijske matematike nazivamo periodične uplate, ili jednostavno, ulozi.2
Prema tome ulozi imaju sljedeće karakteristike:
privremenost koja automatski isključuje jednokratnost ulaganja,
vremenska jednakost perioda ulaganja i
kvantitativno manifestovanje iznosa prema nekom matematičkom zakonu.
S obzirom na trenutak uplate ulozi se djele na anticipativne i dekurzivne. Ukoliko se uplate
događaju na počeku perioda onda govorimo a anticipativnim ulozima, a ako se ulozi
uplaćuju na kraju perioda onda je riječ o dekurzivnim ulozima.
Radi lakšeg razumijevanja, predstavit ćemo vam grafički ove dvije vrste ulaganja:
a) anticipativni:
b) dekurzivni:
2 Milivoj Krčmar: Finansijska matematika i metode investicionog odlučivanja, 2001., Sarajevo, p. 47
4
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
Na osnovu prethodnih grafičkih prikaza možemo zaključiti da se konačna vrijednost kod
anticipativnih uloga formira jedan period ulaganja nakon posljednje uplate, odnosno da se i
posljednji ulog kamati jedan period, dok se kod dekurzivnih uloga konačna vrijednost
formira na dan posljednje uplate što znači da posljednji ulog nije ukamaćen.
S obzirom na trenutak realizacije uplaćenih uloga oni mogu biti neposredni i ulozi odložene
realizacije. Ako se uplaćeni ulozi realizuju na dan posljednje uplate, odnosno jedan period
kasnije riječ je o neposrednim ulozima, a ako se ulozi realizuju po isteku dva ili više perioda
riječ je o ulozima odložene realizacije.
Vremenski razmak između dva sukcesivna obračuna kamata naziva se period obračuna
kamata (period kapitalisanja, period ukamaćenja). Period ulaganja može biti jednak, manji i
veći od perioda kapitalisanja. Ako je period ulaganja jednak periodu kapitalisanja, onda se
govori o modelu uplate gdje se poklapa period ulaganja sa sa periodom kapitalisanja, a ako
je period ulaganja manji od perioda kapitalisanja, onda se govori o modelu gdje je ulaganje
češće od kapitalisanja i ako je period ulaganja veći od perioda kapitalisanja onda se govori o
modelu plate gdje je ulaganje rjeđe od kapitalisanja.
Ako se više jednakih ili varijabilnih iznosa, koji se mijenjaju po nekkom matematskom
zakonu uplaćuje na neki račun u jednakim vremenskim intervalima, onda takve iznose sa
stanovišta finansijske matematike nazivamo periodične uplate, ili jednostavno, ulozi. Kao
primjer možemo uzeti mjesečnu uplatu preduzeća na određeni račun banke, uplata građana
za tzv. namjensku štednju itd.3
3 Dr Milivoj Krčmar “Finansijska matematika i metode investicionog odlučivanja”, str. 47
5
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
4. JEDNAKI ULOZI
3.1. Periodi ulaganja i obračuna kamate isti
Ako pođemo od pretpostavke da se ulaže po 1 n.j. (novčana jedinica) i da je riječ o
anticipativnim ulozima formulacija ovog modela bi bila:4
1) Početkom svake godine (ili nekog drugog perioda) u toku n godina ulagano je po 1
n.j. uz godišnji obračun kamate po stopi p% (d). Kolika je vrijednost uloga na kraju n-
te godine?
2) Svake godine u toku n godina ulaže se po 1 n.j. uz godišnji obračun kamate po stopi p
% (d). Kolika je vrijednost uloga jednu godinu nakon uplate posljednjeg uloga?
Konačna vrijednost uloga predstavlja vrijednost kojom ulagač raspolaže nakon što se završi
period ulaganja i obračuna kamata. Drugim riječima, ta vrijednost ustvari čini zbir svih
uloga i pripadajućih kamata. Prema ovom modelu, konačnu vrijednost (Kn) anticipativnih
uloga možemo izračunati pomoću:
1) algebarske formule
Kn=ur (r n−1)r−1
r=1+ p100
2) formule zasnovane na tablicama složenih kamata
Kn=u∗III pn
Primjer 1: Svake godine u toku 10 godina uplaćivano je po 1.000 n.j. Period obračuna
kamate je godišnji uz kamatnu stopu od 8% (d). Kolika je vrijednost uloga jednu godinu
nakon uplate posljednjeg uloga?
u = 1000 n.j.
4 Branko Trklja, op.cit., p. 36
6
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
n = 10
p = 8% r = 1,06
K5 = ?
a) Rješenje pomoću algebarske formule:
K8 = 1000 1,08(1,08¿¿10−1)
1,08−1¿ = 15645,487
b) Rješenje pomoću tablica složenih kamata:
K8 = 1000 III810 = 15.645,487
Konačna vrijednost uloga jednu godinu nakon posljednje uplate je 15.645.487 n.j.
Primjer 2: U toku 3 godine ulagano je svakog mjeseca po 300 n.j. Kamata se obračunava
mjesečno na bazi godišnje stope od 10%. Kojim će iznosom ulagač raspolagati 1 mjesec
nakon uplate posljednjeg uloga?
u = 300 n.j.
n = 3 m = 12
p = 12% p’ = 1% r = 1,01
K36 = ?
a) Rješenje pomoću algebarske formule:
K36 =300 1,01(1,01¿¿36−1)
1,01−1¿ = 13052,292
b) Rješenje pomoću tablica složenih kamata:
K36 = 300 III136 = 13.052,292
Mjesec dana nakon uplate posljednjeg uloga ulagač će raspolagati sa 13.052,292.
7
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
Uz istu pretpostavku da se ulaže po 1 n.j., kod dekurzivnih uloga formulacija ovog modela bi
bila:5
1) Na kraju svake godine (ili nekog drugog perioda) ulagano je po 1 n.j. u toku n godina
uz godišnji obračun kamate po stopi p% (d). Kolika je vrijednost uloga na kraju n-te
godine?
2) Svake godine u toku n godina ulaže se po 1 n.j. uz godišnji obračun kamate po stopi p
% (d). Kolika je vrijednost uloga na dan posljednje uplate?
Konačna vrijednost dekurzivnih uloga kod modela jednakih uloga uz iste periode ulaganja i
obračuna kamate izračunava se preko:
a) algebarske formule
K’n = u rn−1r−1
b) formule zasnovane na tablicama složenih kamata
K’n = u (1 + III pn−1)
Primjer 3: Ulagano je svake godine u toku 3 godine po 1000 n.j. Kamata se obračunava
godišnje po stopi od 6% (d). Kolika je vrijednost uloga na dan uplate posljednjeg uloga?
u = 1000
n = 3
p = 6% r = 1.06
K3 = ?
a) Rješenje pomoću algebarske formule
K’3 = 1000 1,063−11,06−1
= 3183,6
b) Rješenje pomoću tablica složenih kamata:
K’3 = 1000 (1 + III63−1) = 3.183,6
Vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga je 3.183,6.
5 Branko Trklja, op.cit., p. 37
8
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
Primjer 4: U toku 5 godina ulagano je svakog polugodišta po 400 n.j. Kamata se obračunava
polugodišnje uz godišnju stopu obračuna od 8% (d). Kolika je vrijednost uloga na dan
uplate posljednjeg uloga?
u = 400 n.j.
n = 5 m = 2
p = 8% p’ = 4% r = 1,04
K10 = ?
a) pomoću algebarske formule
K10 = 400 1,0410−11,04−1
= 4802,44
b) pomoću tablica složenih kamata
K10 = 400 (1 + III 410−1) =4.802,44
Vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga je 4.802,44.
Primjer 5: Uloženo je prve godine 1.000 n.j., druge godine 3.000 n.j, zatim u naredne tri
godine ulagano je svake godine po 4.000 n.j. Kamata se obračunava godišnje po stopi od 5%.
Kolika je vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga?
u1 = 1000 n.j.
u2 = 3000 n.j.
u3 = 4000 n.j.
n = 5 p = 5%
K’5 = ?
Rješenje:
K’5 = 1000 I 54 + 3000 I 5
3 + 4000 (1 + III53−1)
K’5 =14.121,25
Vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga je 14.121,25.
9
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
Bez obzira što su ulozi polagani u jednakim vremenskim razmacima, zbog razlike u
iznosima korištene su I i III tablica. I tablica je korištena kod jednokratnih uplata, dakle u
prvoj i drugoj godini, a III kod jednakih višekratnih uplata/uloga odnosno u posljednje tri
godine.
3.2.Ulozi odložene realizacije
Ulagač može realizovati svoje uloge odmah da dan uplate posljednjeg uloga ili jedan period
nakon uplate posljednjeg uloga ovisno o tome da li se radi o dekurzivnim ili anticipativnim
ulozima. Međutim, često ulagač koristi mogućnost realizacije svojih uloga dva ili više
obračunskih perioda nakon uplate posljednjeg uloga, i tada govorimo o ulozima odložene
realizacije. Akumulirana suma nakon uplate posljednjeg uloga kamati se n obračunskih
perioda, odnosno onoliko perioda za koliko je odložena realizacija uloga.
Problem se može matematički postaviti ovako:7
U toku n godina ulagano je svake godine (ili nekog drugog obračunskog perioda) po
u n.j. Kolika je vrijednost uloga m godina poslije uplate posljednjeg uloga ako se
kamata obačunava godišnje (ili za neki drugi obračunski period) po stopi p% (d)?
Konačnu vrijednost uloga odložene realizacije možemo izračunati pomoću sljedećih
formula:
a) anticipativni ulozi
Kn/m = u III pn I p
m−1
b) dekurzivni ulozi
Kn/m = u (1 + III pn−1) I p
n
Primjer 6: Početkom svake godine u toku 4 godina ulagano je po 2.000 n.j. Kamata se
obračunava godišnje uz kamatnu stopu od 6% (d). Kojim iznosom će ulagač raspolagati 3
godine nakon uplate posljednjeg uloga?
u = 2000
10
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
n = 4
p = 6%
K4/3 = ?
Rješenje:
K4/3 = 2000 III64 I 6
3−1 = 10.420,20
Tri godine nakon uplate posljednjeg uloga ulagač će raspolagati sa 10.420,20 n.j.
3.3. Ulaganje češće od obračunavanja kamate
Ako se u jednom periodu obračuna kamate ulaže više puta (m puta), onda se govori o
modelu računa uloga gdje je ulaganje češće od obračunavanja kamate.8 Na primjer ulozi se
polažu svakog kvartala, a obračun kamate je godišnji, ili se ulaže svakog mjeseca uz
polugodišnji obračun kamate.
Konačnu vrijednost kod ovog modela možemo izračunati na sljedeći način:
a) anticipativni ulozi
Kmn = u [m+p (m+1 )
200 ]¿)
b) dekurzivni ulozi
K’mn = u [m+p (m−1 )
200 ]¿)
Primjer 7: Ulagano je svakog polugodišta u toku 5 godina po 3.000 n.j. Kamata se
obračunava godišnje po stopi od 8%. Izračunati:
a) konačnu vrijednost svih uloga jednu godinu nakon uplate posljednjeg uloga;
b) konačnu vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga i
11
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
c) konačnu vrijednost svih uloga 3 godine nakon uplate posljednjeg uloga ako je ulagano na
početku svakog polugodišta
u =3000
n = 5 m = 2
p = 8%
Rješenje:
a) anticipativni ulozi
K10 = 3000 [2+ 8 (2+1 )200 ]¿) = 37.311,571
Konačna vrijednost svih uloga jednu godinu nakon uplate posljednjeg uloga je 37.311,571 n.j.
b) dekurzivni ulozi
K10 = 3000 [2+ 8 (2−1 )200 ]¿) = 35.903,592
Konačna vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga je 35.903,592 n.j.
c) ulozi odložene realizacije
K10/3 = 3000 [2+ 8 (2+1 )200 ]¿) I 8
3−1 = 43520,21
Konačna vrijednost svih uloga tri godine nakon uplate posljednjeg uloga je 43520,21 n.j.
3.4.Ulaganje rjeđe od obračunavanja kamate
Ako se u jednom periodu ulaganja, na primjer u toku jedne godine, pojavljuje više
obračunskih perioda: dva ako je obračun kamata polugodišnji, tri ako je obračun kamata
četveromjesečni i sl., tada govorimo o modelu u kojem je ulaganje rjeĎe od obračunavanja
kamate.
12
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
Konačna vrijednost za ovaj model ulaganja izračunava se na sljedeći način:
a) anticipativni ulozi
Kmn = u (III p
mn+m
III pm −1¿
b) dekurzivni ulozi
K’mn = u III p
mn
III pm
Primjer 8: Ulagano je svake godine u toku 6 godina po 1.000 n.j. Kamata se obračunava
polugodišnje na bazi godišnje stope od 8%. Izračunati:
a) konačnu vrijednost svih uloga jednu godinu nakon uplate posljednjeg uloga i
b) konačnu vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga.
u = 1000 n.j.
n = 6 m = 2
p = 8% p’ = 4%
Rješenje:
a) anticipativni ulozi
K12 = 1000 (III 4
2∗6+ 2
III42 −1¿ =7966,6195
Konačna vrijednost svih uloga jednu godinu nakon uplate posljednjeg uloga je 7966,6195 n.j.
b) dekurzivni ulozi
K’12 = 1000 III 4
2∗6
III42 = 7363,59
Konačna vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga je 7363,59 n.j.
13
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
5. VARIJABILNI ULOZI
Varijabilni ulozi su oni ulozi koji se mijenjaju iz perioda u period prema nekom
matematičkom zakonu, npr. rastu ili opadaju za određeni iznos ili određeni procenat.
Varijabilnost može biti u sukcesivnim vremenskim intervalima i u serijama. Period ulaganja
može biti jednak, manji ili veći od perioda kapitalisanja.
4.1.Ulozi se mijenjaju po zakonitostima aritmetičke progresije
Model u kojem se ulozi mijenjaju po zakonitostima aritmetičke progresije znači da ti ulozi
rastu ili padaju u određenom iznosu. Periodi ulaganja i obračunQavanja kamate se ne
moraju podudarati.
a) Anticipativni ulozi:
Kn=u∗III pn ± 100∗d
p¿)
b) Dekurzivni ulozi:
K 'n=u1∗(1+ III )± 100∗dp
(1+ III pn−n)
Primjer 9: Ulagano je u toku 15 godina, godišnje, kod banke koja nudi kamatnu stopu od
5% i godišnje kapitalisanje. Prvi ulog iznosi 1000 n.j., a svaki naredni je veći od prethodnog
za 100 n.j. Izračunati:
a) Konačnu vrijednost svih uloga jednu godinu nakon uplate posljednjeg uloga i
b) Konačnu vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga.
n=15
p=5%
u1= 1000
d + =100
14
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
Kn=?
Rješenje:
a) Anticipativni ulozi
Kn= 1.000*III515 +
100∗1005 (III5
15– 15*I 51)
Kn= 36.472,50
Konačna vrijednost svih uloga jednu godinu nakon uplate posljednjeg uloga je 36.472,50 n.j.
b) Dekurzivni ulozi
Kn= 1.000*(1+III515−1) +
100∗1005 (1+III5
15 – 15)
Kn= 38.893,55
Konačna vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga je 38.893,55 n.j.
4.2.Ulozi se mijenjaju po zakonitima geometrijske progresije
Ulozi formiraju geomterijsku progresiju ako je količnik dva vremenski sukcesivna uloga
neprekidno isti.6 Prema ovom modelu, ulozi iz godine u godinu rastu/opadaju za određeni
procenat, pa tako u konačnici imamo npr.: ulog u prvoj godini 100 n.j., u drugoj 200 n.j., u
trećoj 400 n.j. (kad ulozi rastu), ili npr. kad ulozi opadaju ulog u prvoj godini 1000 n.j., u
drugoj 500 n.j., u trećoj 250 n.j. I kod ovog modela periodi ulaganja mogu biti vremenski
podudarni s obračunskim periodima. Ali, oni mogu biti i kraći i duži od obračunskog
perioda.
a) anticipativni ulozi
6 Branko Trklja: Finansijska matematika, treće izdanje, 2008., Sarajevo, p. 55
15
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
Kn= u1* r (rn−qn)r−q
b) dekurzivni ulozi
K'n = u1* rn−qn
r−q
Primjer 10: Ulagač je odlučio da izdvaja na poseban račun kod banke, godišnje u toku 6
godina, po godišnjoj kamatnoj stopi od 4%. Ulog u prvoj godini iznosi 1000 n.j., a svake
naredne godine je veći za 5% od iznosa iz prethodne godine. Izračunati:
a) konačnu vrijednost svih uloga jednu godinu nakon uplate posljednjeg uloga i
b) končanu vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga.
u1=1000 n.j.
s+= 5%
q=1,05
p= 4%, r= 1,04
n= 6
Kn=?
Rješenje:
a) anticipativni ulozi
Kn= 1000*1,04(1,046−1,056)
1,04−1,05
Kn= 7.776,77 n.j.
Konačna vrijednost svih uloga jednu godinu nakon uplate posljednjeg uloga je 7.776,77 n.j.
b) dekurzivni ulozi
16
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
Kn= 1000* 1,046−1,056
1,04−1,05
Kn= 7.477,66 n.j.
Konačna vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga je 7.477,66 n.j.
6. KOMBINOVANI PRIMJERI
Primjer 1: Ulagač je ulagao novac u banku u toku 10 godina. U toku prve dvije godine
ulagano je na kraju svakog polugodišta po 500 n.j uz tromjesečni obračun kamate na
osnovu godišnje kamatne stope od 12%. U toku sljedeće četiri godine uloge je polagao na
kraju svakog mjeseca, tako da je svaki naredni u odsnosu na prethodni rastao za 100 n.j. U
ovom periodu kamata se obračunavala godišnje po stopi od 10%. U toku posljednje 4
godine ulozi od 400 n.j. su polagani dekurzivno godišnje, a obračun kamate je polugodišnji
na bazi godišnje kamatne stopd od 10%. Koliko će ulagač primiti novca dvije godine poslije
posljednje uplate, ako se u toku tog perioda kamata obračunavala kao i prethodne četiri
godine i ako je prvi ulog druge serije manji od zbira uloga prve i treće serije.
I serija: II serija: III serija:
u1= 500 u2<u1+u3 za 40%, u2=540 u3= 400
p= 12%, p'= 3% p=10% p= 10%, p'=5%
m= 2 m=2 n=4 m=2
n=4 d+ = 100 n=4
Rješenje:
Kn=500*III 3
2∗4
III 32 *I 10
4 *I 512+{540 (1+ III10
4−1 )+¿ 100∗10010
∗(1+ III 144−1−4)}*I 10
12+ 400*III 5
2∗4
III 52 *I 5
4
17
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
Kn=13.675,40 n.j.
Dvije godine nakon posljednje uplate, uz uslove navedene u postavci zadatka, ulagač će primiti
13.675,40 n.j.
Primjer 2: Početkom svake godine u toku 5 godina ulagano je po 500 n.j. Koliko bi se novca
trebalo jednokratno uplatiti 3 godine nakon uplate posljednjeg uloga da bi se, od formirane
mize 2 godine nakon jednakokratne uplate, moglo primiti 5 godišnjih anticipativnih renti po
3.000 n.j., ako se prva renta primila 2 godine nakon uplate jednakokratnog iznosa i ako se
kamata obračunava godišnje po stopi od 5%?
u1= 500 n.j.
p=5%
R= 3.000 n.j.
u2=?
Rješenje:
500*III55*I 5
4+ u2*III52=3000*(1+IV 5
5)
u2=11.670,74 n.j.
Da bi se primilo 5 anticipativnih godišnjih renti od 3.000 n.j., potrebno je početkom svake
godine u toku 5 godina ulagati po 500 n.j., a zatim nakon tri godine jednokratno uplatiti
11.670,74 n.j.
Primjer 37: Ulagano je u toku 8 godina početkom svake godine uz kamatnu stopu 10%(d) i
polugodišnji obračun kamate. Ulozi u toku prve četiri godine iznose po .... n.j.; ulozi u toku
naredne tri godine iznose po..... n.j.; ulog posljednje serije iznosi...... n.j. Izračunati:
a) Kolika je konačna vrijednost svih uloga 3,5 godine poslije posljednje uplate ako je
kamata za posljednje 2,5 godine 4.624,32 n.j. i ako je druge serije manji od uloga
treće serije za 5%, a ulog treće serije veći od uloga prve serije za 15%?7 Milivoj Krčmar, op.cit., str. 89
18
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
b) Koliki je ulog svake serije?
n= 8
p=10%, p'=5%
I2,5=4.624,32 n.j.
u2<u3 za 5%
u3>u1 za 15%
Rješenje:
u2=0,95u3= 0,95*1,15u1
u3=1,15u1
a) ∑I= Kn* (1-II pn)
4.624,32= Kn* (1-II55)
Kn= 21.362,03 n.j.
Konačna vrijednost svih uloga 3,5 godine nakon uplate posljednjeg uloga je 21.362,03 n.j.
b) 21.362,03= u1*[III 5
2∗4+2
III52 −1]*I 5
13 + u2*[III 5
2∗3+2
III52 −1]*I 5
7 +u3* I 57
21.362,03= u1*[III 5
2∗4+2
III52 −1]*I 5
13 + 1,0925u1*[III 5
2∗3+2
III52 −1]*I 5
7 +1,15u1* I 57
u1=1.262,12 n.j.
u2=1.378,87 n.j.
u3=1.451,44 n.j.
Ulog prve serije iznosi 1.262, 12 n.j, druge serije 1.378,87 n.j., i posljednji ulog iznosi 1.451,44
n.j.
19
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
Primjer 4: Uplaćivano je u toku 8 godina na kraju svakog polugodišta po ... n.j. Na bazi
akumuliranih sredstava obezbijeđena je ispata po 8.000 n.j. u tkou 7 godina na početku
svakog mjeseca. Koliko ja pojedinačna uplata ako je kamatna stopa za prvih 7 godina 10%, a
za naredni period 10,5% (d) i ako je prva isplata izvršena 2 godine poslije posljednje
uplate?
n=8
p1=10%
p2=10,5%
k=2, n=7
R=8000 n.j.
u=?
Rješenje:
u*[2+10(2−1)
200]*(1+ II I 10
7−1)*I 10,53 +u*[2+
10(2−1)200
]*(1+ II I 10,51−1) I 10,5
2 = 8000* [12+10,5(12+1)
200]
*IV 10,57
Da bi se u periodu od 7 godina mogle isplaćivati anticipativne mjesečne rente po 8.000 n.j., uz
ostale uslove navedene u postavci zadatka, uplaćivano je na kraju svakog polugodišta u
periodu od 8 godina po 16.903,43 n.j.
20
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
7. ZAKLJUČAK
Kroz ovaj rad imali smo mogućnost da vam predočimo teorijski i praktično kako da na
najlakši način savladate osnovne pojmove koji se pojavljuju vezani za račune uloga. Prije
svega bez razumijevanja anticipativnog i dekurzivnog načina obračuna, nije moguće dalje
nastaviti, pa smo to objasnili prije svega.
Anticipativno znači da se ulozi polažu na početku obračunskog perioda, dok dekurzivno
znači da se ulozi polazu na kraju obračunskog perioda. Samim tim, prilikom rada sa
anticipativnim ulozima, naši ulozi će biti ukamaćeni za jedan period duže, te samim tim
iznos kamata će biti veći.
Račun uloga je jako bitan i za ulagača i za banku, jer i jedna i druga strana nastoje pronaći
najbolje rješenje za sebe. Ulagač može da donese odluku da li će uloge u banku polagati
godišnje, polugodišnje, tromjesečno, mjesečno ili u drugim vremenskim razmacima. Što je
češći obračun kamate, vrijednost na kraju razdoblja će biti veća zbog kumulativnih kamata i
kamate na kamatu.
Također primjećujemo da se u formulama za izračunavanje modela računa uloga pojavljuju
I i III finansijska tablica. Prva tablica 𝐼𝑝n koja se koristi kod računa uloga predstavlja
vrijednost jediničnog uloga ukamaćenog uz kamatnu stopu p u periodu n. Treća tablica, 𝐼𝐼𝐼𝑝𝑛, predstavlja vrijednost jediničnih uloga koji se ulažu anticipativno u toku n perioda,
uz kamatnu stopu p.
Kod varijabilnih uloga, potrebno je spomenuti da se iznosi povećavaju/smanjuju za
određeni iznos ili određeni procenat. Ukoliko to nije slučaj, onda moramo posebno računati
za svaku godinu, kao da svake godine ulažemo drugi iznos.
Ova tema je bitna upravo iz razloga sto mnogi ne razumiju sistem kamate na kamatu i
načine na koji banke obračunavaju te iznose. Mnogi od nas će se naći u sličnim situacijama,
da budu ulagači gdje nam je obećan fiksni povrat na imovinu te je moguće vrlo jednostavno
21
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
odrediti buduću vrijednost sadašnje investicije, ili iznose koji se mogu podići (u razvijenim
zemljama) prilikom uplata u penzioni sistem, kada se dostigne potrebna starosna dob za to.
22
Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije
8. LITERATURA
Branko Trklja: Finansijska matematika, treće izdanje, 2008., Sarajevo
E. Gacić, S. Vuleta: „Tablice interesa na interes“, Sarajevo, decembar 1998.g.
Milivoj Krčmar: Finansijska matematika i metode investicionog odlučivanja, 2001., Sarajevo
Rovčanin Adnan: „Upravljanje finansijama“, peto izdanje, Sarajevo, oktobar 2010.g.
23