FACULTAD DE INGENIERÍA ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA
Ing. Luis Hugo HUACASI VASQUEZ
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PROCESOS ESTOCASTICOS
Algunas veces se esta interesado en como cambia una variable aleatoria con el
tiempo. Por ejemplo es posible que se desee saber cómo evoluciona el precio
de una parte de las acciones o la participación en el mercado de una empresa.
El estudio de cómo una variable aleatoria cambia con el tiempo incluye
procesos estocásticos, y para poder explicar este tipo de estudio en particular
de proceso estocásticos discretos se fija la atención en un tipo de proceso
estocástico conocido como cadena de Markov. Las cadenas se Markov se han
aplicado en áreas como la educación, comercialización, servicios de salud,
finazas contabilidad y producción. Un proceso estocástico continúo en el
tiempo. Es simplemente un proceso estocástico en el que el estado del
sistema se puede ver en cualquier instante, no solo en instantes discretos del
tiempo. Por ejemplo el número de personas en un supermercado t minutos
después que la tienda abre se considerar como un proceso estocástico
continúo en el tiempo.
¿Qué es un proceso estocástico?
Supongamos que se observan algunas características en de un sistema en
puntos discretos en el tiempo (identificados como 0,1,2,3, …). Sea Xt el valor
de la característica del sistema en el tiempo t. En la mayoría de las situaciones,
Xt no se conoce con certeza antes del tiempo t y se podría considerar como
una variable aleatoria. Un proceso estocástico discreto en el tiempo es
simplemente una descripción de la relación entre las variables aleatorias
X0,X1,X2, . . .
En Matemáticas y en concreto en Estadística y Teoría de la Probabilidad un
proceso aleatorio o proceso estocástico es un concepto matemático que sirve
para caracterizar y estudiar todo tipo fenómenos aleatorios (estocásticos) que
evolucionan, generalmente, con el tiempo.
Una definición informal sería la siguiente:
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Un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias indexadas por
una variable (continua o discreta), generalmente, el tiempo. Cada una de las
variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de
probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no.
A continuación se dan algunos ejemplos de procesos estocásticos discretos en
el tiempo.
La ruina del jugador
En el tiempo 0, tengo $2 en los tiempos 1,2, . . ., participo en un juego en el que
apuesto $1. Con probabilidad p, gano el juego, y con probabilidad 1-p, pierdo el
juego. Mi objetivo es incrementar el capital a $4, y cuando lo logre se termina el
juego El juego también se termina si mi capital se reduce a $0. Si se define Xt
como mi capital después de que se juega el tiempo en el tiempo t(si existe)
entonces X0,X1, X2, . . .Xt se podría considerar como un proceso estocástico
discreto en el tiempo t. Observe que X0=2 , es una constante conocida, pero X1
y las Xt posteriores son aleatorias. Por ejemplo con probabilidad p, X1=3, y con
probabilidad (1-p), X1= 1. Observe que Xt=4 ,entonces Xt+1 y las Xt posteriores
también serán igual a 4. de manera similar, si Xt = 0, entonces todas las
posteriores Xt-1 y las adicionales Xt también serán igual a 0, por razones
evidentes, este tipo de situaciones se llama la ruina del jugador.
Elección de colas de una Urna
Por ejemplo una urna tiene dos bolas sin pintar. Se elige una bola al azar y se
lanza una moneda. Si la bola elegida no esta pintada y resulta cara en la
moneda, se pinta de rojo la bola; si la bola está pintada, entonces (ya sea que
resulte cara o cruz en los lanzamientos de la moneda) se cambia el color de la
bola (de rojo a negro y de negro a rojo). Para modelar esta situación como un
proceso estocástico, se define el tiempo t como el tiempo después que se lanzo
la moneda por t-ésima vez y se pinto la bola elegida.
El estado en cualquier instante se podría describir mediante el vector [u r b] ,
donde u es el numero de bolas sin pintar en la urna, r es el numero de bolas
rojas en la urna y b es el numero de bolas negras en la urna. Se tiene que X0 =
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[2 0 0]. Después del lanzamiento de la primera moneda, se tiene una bola
pintada de rojo o negro y el estado será [1 1 0] o [1 0 1]. Por consiguiente, se
puede estar seguro de que X1= [1 1 0] ó X1=[1 0 1]. Resulta claro que debe de
haber alguna clase de relación entre las Xt. Por ejemplo, si Xt= [0 2 0], se
puede estar seguro de que Xt+1 será [0 1 1]
El concepto de variable aleatoria
Los experimentos se conciben de manera que los resultados del espacio
muestral son cualitativos o cuantitativos.
Ejemplo:
Como resultados cualitativos se tienen
a) El lanzamiento de una moneda es cara o sello
b) Un producto manufacturado en una fabrica puede ser “defectuoso2 o “no
defectuoso”
c) Una persona en particular puede preferir la loción X sobre la loción Y.
Entonces podemos decir que puede ser útil la cuantificación de los resultados
cualitativos de un espacio maestral y, mediante el empleo de medidas
numérica, estudiar su comportamiento aleatorio. Por lo que el concepto de
variable aleatoria proporciona un medio para relacionar cualquier resultado con
una medida cuantitativa.
Definición
Sea S un espacio muestral sobre el que se encuentra definida una función de
distribución de probabilidad. Sea X una función de valor real definida sobre S,
de manera que transforme los resultados de S en puntos sobre la recta de los
reales. Se dice entonces que X es una variable aleatoria.
Se dice que S es aleatoria por que involucra la probabilidad de los resultados
del espacio muestral, y X es una función definida sobre el espacio muestral, de
manera que transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en
cantidades numéricas.
Ejemplo
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Considérese como variable aleatoria el lanzamiento de una moneda. El espacio
muestral esta constituido por dos posibles resultados “Cara” y “Sello“. Sea
X(sello)= 0 y X(cara)=1; de esta manera se a transformado los dos posibles
resultados del espacio muestral en puntos sobre la recta de los reales.
Por P(X=0) se entenderá de que la variable aleatoria tome el valor cero o, de
manera equivalente, la probabilidad de que caiga sello cuando se lance la
moneda.
Variable aleatoria discreta
Se dice que una variables aleatoria X es discreta si el numero de valores que
puede tomar es contable (ya sea finito o infinito), y si estos pueden arreglarse
en una secuencia que corresponde con los enteros positivos En general la
variables aleatorias discretas representan datos que provienen del conteo del
numero de elementos.
Variable aleatoria Continua
Se dice que una variable aleatoria X es continua si sus valores consisten en
uno o más intervalos de la recta de los reales. En general las variables
aleatorias continuas representan mediciones, como, tiempo, peso, longitud,
unidades monetarias, etc.
Distribución de probabilidad de Variables aleatorias discretas.
Una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio
muestral en forma tal que por P(X=x) se entenderá la probabilidad de que X
tomo el valor de x. de esta forma al considerar los valores de una variable
aleatoria es posible desarrolla una función matemática que asigne una
probabilidad a cada realización de x de la variable aleatoria X. Esta funcion
recibe el nombre de Función de probabilidad de la variablea aleatoria X.
El termino mas general, Distribución de Probabilidad, se refiere a la
colección de valores de la variable aleatoria y a la distribución de probabilidad
entre éstos.
Entonces hacer referencia a la distribución de probabilidad de X no sólo implica
la existencia de la función de probabilidad, sino también la existencia de la
función de distribución acumulativa.
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Definición sea X una variable aleatoria discreta, se denomina funcion (ley o
modelo o distribución) de probabilidad de X, a la función f(x) definida para
todo x numero real por:
f(x) = p(x)=P(X=x)
si satisface las siguientes condiciones o propiedades:
1) p(x) >= 0 para todos los valores de x de X que pertenecen a los reales
2) ( ) 1x
p x
La función de distribución a cumulada de la variable aleatoria x es la
probabilidad de que X sea menor o igual a un valor esperadote x y esta dada
por:
( ) ( ) ( )i
i
x x
F x P X x p x
Por lo tanto en el caso discreto, una variable aleatoria X está caracterizada por
la función de la probabilidad puntual p(x), la cual determina la probabilidad
puntuadle que X=x, y por la función de distribución acumulada F(x) la que
representa la suma de las probabilidades puntuales hasta el valor x de X
inclusive.
Ejemplo: considere el lanzamiento de dos dados. Si X es la variable aleatoria
que representa la suma de las caras,
a) Cual es el espacio muestral
b) Cual es la función de probabilidad de X
c) Representa gráficamente la suma de las caras de los dados
1 2 3 4 5 6
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
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6
4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5 5,1 5,2 5,3 5,5 5,5 5,6
6 6,1 6,2 6,3 6,5 6,5 6,6
Resultados Valor de
la v.a.
Numero de
ocurrencia
Probabilidad
(1,1) 2 1 1/36
(1,2), (2,1) 3 2 2/36
(1,3), (2,2), (3,1) 4 3 3/36
(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) 5 4 4/36
(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) 6 5 5/36
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 7 6 6/36
(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) 8 5 5/36
(3,6), (4,5), (5,4), (6,3) 9 4 4/36
(4,6), (5,5), (6,4) 10 3 3/36
(5,6), (6,5) 11 2 2/36
(6,6) 12 1 1/36
la función de probabilidad de X
6 (7 )
2,3,4,...,12( ) 36
0
xx
p x
paracualquier otrovalor
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7
0
1/50
1/25
3/50
2/25
1/10
3/25
7/50
4/25
9/50
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
El proceso de Poisson y la distribución exponencial
En la mayoría de los sistemas de colas, el proceso de llegadas sigue una
distribución de Poisson. Se demuestra que si se da esta circunstancia, la
duración de los intervalos entre llegadas tiene una distribución exponencial o
una combinación continua de exponenciales, es decir, una distribución gamma,
que recibe el nombre de distribución erlangiana, o distribución K.
En efecto, si llamamos
P tn ( )
a la probabilidad de que en un tiempo t el número de usuarios que acceden al
sistema sea n y esta probabilidad sigue una ley de Poisson de la forma:
P t e
t
nn
t
n
( )!
entonces, la probabilidad de que el tiempo entre llegadas sea mayor o igual a
T (que es igual a la probabilidad de que no haya ninguna llegada en un
intervalo de duración T ), es:
P t T P T e T 0 ( )
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Por tanto, la probabilidad de que el intervalo entre llegadas sea menor o
igual a T es:
P t T e T 1
que es una ley de distribución exponencial. En estas condiciones, el valor
medio del intervalo entre llegadas será:
E T 1
donde es el número de llegadas por unidad de tiempo, que recibe el nombre
de tasa de llegadas.
La distribución exponencial tiene la propiedad de pérdida de memoria:
P t T S t SP t T S t S
P t S
P t T S
P t S
e
ee P t T
T S
S
T
; ( )
Puesto que el número de llegadas en un intervalo de tiempo es una
magnitud completamente aleatoria que sigue un proceso de Poisson, es claro
que el proceso de llegadas es un proceso de nacimiento puro. Por tanto, el
proceso de servicio se debe diseñar de forma que su duración sea de forma
exponencial pura, es decir, como un proceso de muerte pura. De esta forma, el
sistema de colas podrá estudiarse como un proceso de nacimiento y muerte.
A continuación veremos algunos ejemplos de manejo de las
distribuciones de Poisson y exponencial.
Ejemplo 1:
Supongamos un ordenador al que llegan dos tipos de trabajos, largos y
cortos, según distribuciones de Poisson independientes con parámetros L y
C , respectivamente. Se pide:
a) Probar que la probabilidad de que lleguen exactamente m trabajos
cortos entre dos largos es:
L
L C
C
L C
m
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b) Suponiendo que en un cierto intervalo llegan al ordenador n trabajos,
¿cuál es la probabilidad de que k de ellos sean del tipo corto?
Supongamos que el primer trabajo largo llega en un instante t1 0 ; el
segundo trabajo largo llegará en otro instante t t2 . La longitud t de este
intervalo será la realización de una variable exponencial de parámetro L .
Llamaremos N tC0, al número de trabajos cortos que llegan en ese intervalo. La
probabilidad pedida es:
P N m P N m T t f t dttC
tC
T0 00
, , ( )
donde f tT ( ) es la exponencial antes referida. Entonces:
P N me t
me dtt
Ct
C
m
Lt
C
L0
0,
!
0
1
1 !dtet
m
tLCmm
LC
mLC
LmC
Por otra parte, la función Gamma responde a la siguiente expresión:
dxex x
0
1
y una de sus propiedades es que se cumple:
1
por tanto, recursivamente, resulta:
!1
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Si hacemos 1 m y atx , tenemos
!10
1
0
mdtetadtaeatm atmmatm
y, por tanto,
1!0
1
dtetm
a atmm
de donde, haciendo CLa , obtenemos que
mLC
LmCC
t mNP
,0
En respuesta a la segunda cuestión, el número total de trabajos que
llegan al ordenador en un cierto intervalo será:
N NtL
tC
0 0, ,
que, por ser ambas distribuciones independientes, será una distribución de
Poisson de parámetro L C . Por tanto, la probabilidad pedida será:
P N k N N n
P N k N N n
P N N nt
Ct
Lt
C tC
tL
tC
tL
tC0 0 0
0 0 0
0 0
, , ,
, , ,
, ,
;
P N k N n k
P N N n
e t
k
e t
n k
e t
n
tC
tL
tL
tC
tc
k tL
n k
tL C
n
C L
L C
0 0
0 0
, ,
, ,
; ! !
!
Ck
Ln k
L C
n
Ck
Ln k
L C
n
C
L C
k
L
L C
n kn
n k k
n
k
n
k
!
! !
que corresponde a una distribución binomial de parámetros:
Bin n C
L C
,
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Ejemplo 2:
El tiempo de vida de un tubo fluorescente hasta que deja de funcionar es
una exponencial de parámetro 10 horas. Una persona entra en una habitación
mientras el tubo fluorescente está funcionando. Si quiere trabajar cinco horas,
¿cuál es la probabilidad de que finalice su trabajo antes de que el fluorescente
deje de funcionar? ¿Si la vida del fluorescente no fuese exponencial, cuál sería
la probabilidad anterior?
Si llamamos t al tiempo de vida del tubo fluorescente, la probabilidad
pedida es:
P t P t F e e 5 1 5 1 0 60655
1
2(5) .
Si el tiempo de funcionamiento no es exponencial, puede ser que siga
una distribución con memoria. Por tanto, en general:
P T t T tF t
F t
5
1 5( )
( )
Ejemplo 3:
En un equipo de música compuesto por radio y altavoz, el tiempo de vida
de la radio es exponencial de parámetro 1000 horas y el del altavoz es
exponencial con parámetro 500 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que falle
antes la radio?
Si llamamos X1 al tiempo de vida de la radio y X 2 al del altavoz, la
probabilidad pedida es:
P X X P X X X x f x dx P X x e dxXx
1 2 1 2 20
1 20
2
2
( )
1 1 22
0
e e dxx x
2
02
0
2 1 2e dx e dxx x
Como la primera integral es igual a uno, tenemos:
P X X1 22
1 2
1
1 2
11
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Ejemplo 4:
Consideremos un punto fijo en una autopista. Sean U U1 2, , ... la sucesión
de tiempos entre llegadas de vehículo a este punto. Supongamos que U U1 2, , ...
son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con
distribución:
P U t e tekt t 1
Calcular la distribución del número de vehículos que pasan por ese
punto fijo durante el intervalo de tiempo 0, t .
Llamemos N t al número de vehículos que pasan por el punto durante un
intervalo de duración t y Tn al instante en el que pasa el n-ésimo vehículo.
Entonces la probabilidad de que el n-ésimo vehículo pase dentro del intervalo
0, t es igual a la probabilidad de que el número de vehículos que pasa durante
el intervalo sea mayor que n :
P T t P N ne t
kpara tn t
t k
k
n
1 00
1
!
Una variable aleatoria Tn que tiene una distribución de este tipo, se dice
que sigue una distribución de Erlang de parámetros ,n ; en concreto, las
variables U k siguen una distribución de Erlang de parámetros ,2 .
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Proceso Estocástico Líneas de Espera
¿Qué es una Línea de Espera?
Un sistema de línea de espera se define de modo que incluya la propia línea de
espera (o cola) y los camales de servicio. El numero de clientes en el sistema
en el que cualquier instante en el tiempo esta dado por el número de la línea
más el numero en servicio. La figura 01 muestra los elementos básicos de un
sistema de colas con c servidores en paralelo. .[Taha, 1981, Pág. 452]
Figura 01 Modelo de línea de espera (cola)
Se introducen ahora varias definiciones y notaciones básicas que se utilizan en
la solución de procesos de colas.
Características existentes en modelos de colas o líneas de espera.
Un sistema de espera se especifica completamente por seis características
principales.
1. Distribución de entradas o llegadas (tiempo entre llegadas).
2. Distribución de salidas o retiros (tiempo de servicio).
3. Canales de servicio.
4. Disciplina de servicio.
5. Numero máximo de clientes permitidos en el sistema.
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6. Fuente o población.
Las distribuciones de llegadas y retiros
Determinan los modelos por los cuales el número de clientes llega y sale del
sistema. Las llegadas también pueden representarse por el tiempo entre
llegadas, que define el periodo entre dos llegadas sucesivas. Similarmente,
las salidas pueden describirse utilizando el tiempo de servicio, (entre
salidas) que define el tiempo entre los inicios de dos servicios sucesivos.
Estas distribuciones usualmente están determinadas por muestreo de las
situaciones reales
Los canales de servicio
Pueden disponerse en paralelo o en serie, o como una combinación mas
complicada de ambas, dependiendo del diseño del mecanismo de servicio
del sistema. En el caso de canales paralelo, varios clientes pueden ser
atendidos simultáneamente. Para canales en serie, un cliente pasa
sucesivamente por todos los canales antes de que se termine el servicio.
Un modelo de colas se denomina modelo de un servicio cuando el sistema
tiene solamente un servidor, y como modelo de múltiples servidores cuando
el sistema tiene un cierto numero de canales en paralelo cada uno con un
servidor.. Pueden construir también modelos para situaciones en serie y
como redes. El análisis en estos últimos casos, sin embargo, no es tan
simple como en el modelo de un solo servidor y de múltiples servidores.
La disciplina de servicio
Es una regla para seleccionar clientes de la línea de espera al inicio del
servicio. La disciplina mas común es la denominada "primero en llegar,
primero en salir (o ser atendido)" donde los clientes son atendidos para
comenzar el servicio en el orden estricto de sus llegadas. Otras disciplinas
son las que se designan por "ultimo en llegar, primero en salir", "al alzar" y
de “prioridad". El último caso ocurre cuando al llegar un cliente se le
concede prioridad para el servicio antes que a otros clientes que ya están
en el sistema.
El número máximo en el sistema
Puede ser finito o infinito, dependiendo del diseño de la instalación. Por
ejemplo, en algunas instalaciones únicamente se permite que espere en el
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sistema un numero limitado de clientes. En este caso, a los nuevos clientes
que llegan no se les permiten unirse ala cola cuando se ha alcanzado su
limita máximo. En este caso se debe diferenciar del de frustración, en el que
un cliente se rehúsa unirse ala cola porque es demasiado larga, o el de
deserción, donde un cliente sale del sistema porque el tiempo de espera es
demasiado largo.
La fuente (o población)
Representa un factor importante en el análisis de teoría de las colas ya que
el modelo de llegadas depende de la fuente de donde provienen los
clientes. La fuente que genera las llegadas puede ser finita o infinita. Existe
una fuente finita cuando una llegada afecta la tasa de llegadas de futuros
clientes potenciales. Un ejemplo ocurre en las situaciones de reparación de
maquinas con un total de M maquinas. Antes de que cualquier maquina se
descomponga la fuente consta de M clientes potenciales. Una vez que una
maquina se ha descompuesto, se convierte en cliente y entonces es
incapaz de generar otra llamada hasta que se le haya servido (reparado).
Debe hacerse una distinción entre esto y la situación donde la "causa" para
generar llamadas es ilimitada; sin embargo, esta causa limitada es capaz de
generar un numero infinito de llegadas. Por ejemplo en un lugar donde se
tiene varias mecanógrafas, el numero de usuarios es limitado, pero cada
usuario teóricamente podría generar un numero infinito de llegadas
(material para mecanografía).
Notación de Kendall y Lee
Para clasificar los posibles tipos de sistemas de colas debemos especificar las
características que determinan los elementos que lo componen. Así D.G.
Kendall (1953) introdujo una notación útil para modelos de espera con
servidores múltiples, que describe las características de un modelo de línea de
espera, la distribución de llegadas, la distribución de salidas y el número de
canales de servicio en paralelo. Posteriormente A. Lee (1966) agrego la cuarta
y quinta característica a la notación; esto es, la disciplina de servicio y el
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número máximo en el sistema. Y por ultimo de en la notación de D.G. Kendall
y Lee se aumenta con la sexta característica que describe la fuente. La
notación completa se tiene en la siguiente forma simbólica.
(a/b/c): (d/e/f)
Donde:
a Distribución de llegadas (o tiempos entre llagadas)
b Distribución de salidas (o tiempos de servicio)
c Numero de canales de servicio en paralelo en el sistema
d Disciplina de servicio
e Numero máximo permitido (en servicio más esperando) en el sistema
f Fuente o población
Los siguientes códigos convencionales usualmente se utilizan para
reemplazar los símbolos a, b y d.
Símbolos a y b
M Distribución de poisson (markoviana) de llegadas o salidas (o,
equivalentemente, distribución exponencial de los tiempos entre llegadas
o de servicio).
D tiempo determinístico entre llagadas o servicio.
KE Distribución de Erlang o gamma con parámetro k de tiempos entre
llegadas o de servicio
GI Distribución general independiente de llegadas (o tiempo entre
llegadas)
G distribución general de salidas (o tiempos de servicio)
Símbolo d
FCFS “primero en llegar, primero en salir” (first come, first served)
LCFS “ultimo en llegar, primero en salir” (last come, first served)
SIRO servicio en orden aleatorio (service in random order)
GD disciplina de servicio general (general service discipline)
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El símbolo c se reemplaza por cualquier número positivo que representa el
número positivo que represente el número de servidores en paralelo. Los
símbolos e y f representan un numero finito o infinito en el sistema y la fuente
finita o infinita.
Para ilustrar el uso de esa notación, considere (M / M / c): (FCFS / N / ). Esto
representa llegadas según poisson (tiempo exponencial entre llegadas), salidas
según poisson (tiempo exponencial de servidor), c servidores en paralelo, la
disciplina “primero en llegar, primero en salir”. N numero máximo permitido en
el sistema y fuente infinita.
Esta notación no es adecuada para describir modelos complicados tales como
de colas en redes o colas en serie. Será adecuado, sin embargo, para los fines
del presente estudio.
Una línea de espera puede modelarse como un proceso estocástico en el
cual la variable aleatoria se define como el numero de transacciones en el
sistema en un momento dado; el conjunto de valores que puede tomar dicha
variable es {0,1,2,….N} y cada una de ellas tiene asociada un probabilidad de
ocurrencia {P0, P1,P2,…PN}.
Definiciones de estado transitorio y estable.
El análisis de la teoría de línea de espera involucra el estudio de un
comportamiento del sistema en el tiempo. Se dice que un sistema esta en un
estado transitorio cuando sus características de operación (comportamiento)
varían con el tiempo. Usualmente esto ocurre en las primeras etapas de la
operación del sistema donde su comportamiento todavía depende de las
condiciones iniciales. Sin embargo, ya que esta mas interesado en el
comportamiento a “largo plazo”, la mayor parte de la atención del análisis de la
teoría de líneas de espera se ha dirigido a los resultados de estado estable. Se
dice que prevalece una condición de estado estable cuando el comportamiento
del sistema llega a ser independiente del tiempo.
Una condición estable para alcanzar el estado estable que es el tiempo que se
pasa desde el inicio de la operación sea suficientemente grande (en términos
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matemáticos, esto equivale a decir que ese tiempo tiende a infinito). Esta
condición sin embargo, no es suficiente, ya que los parámetros del sistema
pueden no permitir la existencia de un estado estable. Lo anterior significa que
los parámetros del sistema también deben verificarse. Por ejemplo, si algunas
situaciones la tasa de llegadas es mayor que la tasa de servicio no puede
alcanzar un estado estable, independientemente del tiempo que transcurra. En
efecto, en este caso la longitud de la cola aumenta al transcurrir el tiempo y
teóricamente podría hacerse infinita.
En este manual únicamente se considera el análisis de estados estables.
Aunque se dispone de las soluciones de estado transitorio para algunos
modelos, las herramientas matemáticas complicadas necesarias para obtener
estas soluciones están fuera de alcance de este manual. Se presentaran, sin
embargo, las ecuaciones diferenciales y de diferencias que pueden utilizarse
para lograr soluciones transitorias.
Símbolos utilizados para representa problemas de colas de servicios
Los símbolos siguientes se utilizan en relación con modelos de colas. Se
recuerda al lector que un sistema de líneas de espera incluye por definición lo
canales de servicio y las colas (véase en la figura 01)
n = numero de clientes en el sistema.
np (t )= probabilidad de estado transitorio de exactamente n clientes en el
sistema en el tiempo t suponiendo que el sistema comenzó sus
operaciones en el tiempo cero.
np = probabilidades de estado estable de exactamente n clientes en el sistema.
= tasa media de llegadas (numero de clientes que llegan por unidad de
tiempo).
= tasa media de servidor por servidor ocupado (numero servido de clientes
por unidad de tiempo).
C = numero de servidores en paralelo.
P =
= intensidad de grafico.
c
= factor de utilización para c instalaciones de servicio.
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w T = f.d.p. del tiempo de espera en el sistema.
sw = tiempo promedio de espera por cliente en el sistema.
= tiempo promedio de espera por cliente en la cola.
sL = numero esperado de clientes en el sistema.
qL =numero esperado de clientes en la cola
Relaciones entre , ,s q S qw w L yL
Puede comprobarse en condiciones muy generales de llegada, salida y
disciplina de servicio que se verificaran las formulas
q SL w Y q qL w
Estas formulas son puntos clave al establecer las siguientes relaciones
importantes entre , , ,s q s qW W L L por definición
1q sW W
Multiplicando ambos lados por y sustituyendo de las de las formulas
anteriores, se obtiene.
q sL L
Esto significa que el conocimiento de uno de los cuatro valores esperados
(junto con y ) deberá proporcionar inmediatamente los otros tres valores.
En modelos de colas, suele ser mas fácil determinar sL (o qL ) a partir de np ;
esto es
0
s n
n
L np
y ( )q n
n c
L n c p
qw
PROCESOS ESTOCASTICOS
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20
Por otra parte, una evaluación directa de sw y qw puede no ser tan simple en
este caso dada ( )s qL oL , pueden utilizarse las formulas generales anteriores
para determinar sW Y qW
Las relaciones dadas no se cumplen directamente para los casos especiales
donde las llegadas ocurren con una tasa , pero no todas las llegadas se unen
al sistema (por ejemplo, en casos donde se alcanza la longitud de cola máxima
permisible y no se permite que ninguna nueva llegada se une a ala fila).sin
embargo redefiniendo para incluir únicamente estas llegadas que se unen al
sistema, se cumplen estas relaciones por consiguiente, si ef define la tasa de
llegadas, el valor de ef puede determinar convenientemente de
ef
q sL L
Lo cual proporciona
( )ef s qL L
(En algunos modelos, puede ser posible determinar ef diferentemente de los
parámetros del problema). Una vez que ef se conoce, entonces.
ss
ef
LW
y
q
q
ef
LW
DEDUCCION AXIOMATICA DE LAS DISTRIBUCIONES DE LLEGADAS Y DE
SALIDAS EN EL CASO DE LINEAS DE ESPERA DE COLAS DE POISSON.
Esta sección, se deducirán las distribuciones de llagadas y de salidas en las
filas de poisson. Primero, se enunciaran los axiomas básicos que gobiernan
este tipo de filas.
Axiomas básicos.
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21
Axioma 1: dado N (t), el numero de llagadas o salidas durante el intervalo
del tiempo (o, t), el proceso de probabilidad que describe N (t) tiene
incrementos independientes estacionarios.
Este axioma se aplica como sigue. Dado h, un incremento positivo,
entonces para 0 1 ...... , ( 1)kt t t k puntos en el tiempo, las dos variables
aleatorias 1{ ( ) ( )i iN t N t y 1{ ( ) ( )}i iN t h N t h , siendo i=0,1,……., k –
1, son independientes e idénticamente distribuidas.
Axioma 2: en cualquier intervalo 0h , existe una probabilidad positiva de
llegada (salida) pero esta probabilidad no es segura; esto es
{ ( ) 2} 0P N h .
Estos axiomas serán utilizados ahora para deducir las distribuciones de
llegadas y salidas.
Distribución de llegadas (modelo de nacimiento puro).
En este modelo se supone que únicamente se permiten las llegadas con
tasa por unidad de tiempo. Este caso algunas veces se denomina
modelo de nacimiento puro. Se supone que no existe nadie en el sistema e t
= 0 . las distribuciones de llegadas, por consiguiente, puede desarrollarse
como sigue.
Los axiomas anteriores implican que la probabilidad de una llegada durante
0( 0) , un pequeño incremento en el tiempo, es igual a 20( )h h , donde
20( )h es un término con orden de magnitud mucho mas pequeño que h, y
entonces tendera a cero cuando 20h .por el axioma 3, la probabilidad de
mas de una llegada tiende a cero cuando 0h .esto significa que la
probabilidad de ninguna llegada durante h es aproximadamente igual a
(1 ),h donde por el axioma 2, se tiene que 0 1 1h .
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22
(0) llegadas
n n n-1 n
0 0
h
t t+h
figura 02
Considere las probabilidades ( )np t y ( )np t h se n clientes en el sistema
en los tiempos t y t + h, respectivamente. La figura 02 muestra todos los
cambios posibles en el numero en el sistema entre tiempos t y t + h. para
n > 0, el sistema tendrá n clientes en t + h si (a) existen n cliente en t y
ninguna llegada ocurre una llegada durante h. para n = 0, el sistema no
tendrá clientes en t + h si no existen clientes en t y ninguna llegada ocurre
durante h. ya que por el axioma 1, todas las probabilidades son
independientes e idénticamente distribuidas.
1( ) ( )(1 ) ( ) ,n n np t h p t h p t h n >0
( ) ( )(1 ),o op t h p t h n = 0
Reordenando los términos, se obtiene.
1
( ) ( )( ) ( )n n
n n
p t h p tp t p t
h
( ) ( )( )o o
o
p t h p tp t
h
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23
Tomando los limites cuando 0h , se encuentra que
1( ) ( )np t p t
0 0( ) ( )p t p t
Donde ( )np t es la primera derivada de ( )np t con respecto al tiempo t .
Las ecuaciones resultantes se conocen como las ecuaciones diferenciales
y de diferencias, y su solución esta dada por.
( )( ) ,
!
n t
n
t ep t
n
n = 0, 1, 2, 3,…………
La cual es la distribución de poisson con su valor esperado igual a t. Esto
significa que según los axiomas básicos. Las llegadas ocurren conforma a
una distribución de poisson.
Obtención de resultados
Las dos ecuaciones diferenciales anteriores pueden resolverse
directamente por inducción. Sin embargo, se utilizara la transformada z
introducida en la sección. Por consiguiente, la primera ecuación
proporciona
1 1 1
( ) ( ) ( )n n n
n n
n n n
p t z p t z t z
Sumando la segunda ecuación queda
1
0 0 1
( ) ( ) ( )n n n
n n n
n n n
p t z p t z p t z
Sustituyendo
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24
0
( , ) ( ) n
n
n
P z t p t z
Se obtiene
1 1 ( 1) 1{ ( , )} { } { }z t t tzZ P z t Z e e Z e
La ecuación de la transformación z se convierte en
( , ) ( , ) ( , )p z t P z t zP z t
O bien ( , )
( 1)( , )
dP z tz dt
P z t
Resolviendo esta ecuación diferencial en t,
Donde B es una constante. Ya que
0( ,0) (0) 1P z p
Entonces B =1 esto proporciona
( 1)( , ) z tP z t e
Utilizando la transformada z inversa, se encuentra que
1 1 ( 1) 1{ ( , )} { } { }z t t tzZ P z t Z e e Z e
Esto da
( )( ) ,
!
t n
n
e tp t
n
n = 0, 1, 2,…….
La cual es la distribución de poisson con media y varianza igual a t.
Distribución de tiempos entre llegadas
Los tiempos entre llegadas se definen como intervalos de tiempo entre dos
llegadas sucesivas. Dada la distribución entre llegadas como sigue. Sea f (t ), t
>0, la función densidad de probabilidad de tiempo entre llegadas y definamos F
(t ) como la FDA de f ( t ).por consiguiente,
( 1)( , ) z tP z t Be
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25
0( ) ( )
t
F t f u du
Puesto que el que no haya llegadas durante el intervalo (o,t ) equivale a un
tiempo entre llegadas mayor que t, resulta
00
( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )t
tp t f u f u du F t
De los resultados que 0( ) tp t e
Entonces 1 ( )te F t
Derivando F (t) con respecto a t:
, 0( )
0; 0
te tf t
t
Esto demuestra que, para llegadas según poisson, la distribución de tiempo
entre llegadas es exponencial con media 1/ y varianza 21/
La distribución exponencial tiene la propiedad única de que, en cualquier
punto en el tiempo, el lapso hasta que ocurra la siguiente llegada es
independiente del que ha pasado desde que ocurrió de la ultima llegada.
Esto es equivalente a expresar que.
{ / } { }P t T S t S P t T
Para demostrar lo anterior considere que
({ , } {{ / }
{ } {
T ST
S
P t T S t S P t T S eP t T S t S e
P t S P t S e
La cual es independiente de S. esta propiedad usualmente se conoce como
“carencia de memoria” u “olvido” de la distribución exponencial
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26
Distribución de salidas (modelo de fallecimiento puro)
En este modelo se suponme que existen N cliente en el sistema cuando t =
0. También se supone que no se permite ninguna llegada. Las salidas
ocurren según la tasa por unidad de tiempo. El objetivo es obtener la
distribución de salidas de este sistema con base en los axiomas de la
sección 2.1.
Para h > 0 pequeño, entonces 20( )uh h da la probabilidad de una salida
durante h. por el mismo argumento que en la sección 2.2, el término
20( ) 0h cuando 0h . Por consiguiente, la probabilidad que no haya
salida es aproximadamente 1 .h entonces,
( ) ( )(1 ),N Np t h p t h n = N
1( ) ( )(1 ) ( ) ,n n np t h p t h p t h 0 < n < N
0 0 1( ) ( ).1 ( ) ,p t h p t p t h n = 0
Reordenando los términos y tomando los límites cuando 0h , se tiene
( ) ( )N Np t p t n = N
1( ) ( ) ,n n np t p t p 0 < n < N
0 1( ) ( )p t p t n = 0
Estas ecuaciones dan
( )( ) ,
( )!
N n t
n
t ep t
N n
n = 1, 2, ……..N
1
( ) 1 ( )N
o n
n
p t p t
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27
La cual es la distribución de poisson truncada.
Obtención de los resultados:
Este caso se resolverá por inducción. De la ecuación para n = N,
( ) ( )n np t p t
Lo cual de la solución
( ) ,t
Np t Be B constante
Por las condiciones iniciales; (0) 1Np por lo que B =1, o bien, ( ) t
Np t e
De la ecuación para 0 < n < N, se tiene que n = N – 1 y ( ) t
Np t e dan,
1 1 1( ) ( ) ( ) t
N N Np t e p t p t e
La solución de esta ecuación diferencial es
1 ( )t t t
np e e dt B t B e
Ya que 1(0) 0,Np entonces B = 0 y
1( ) t
Np t te
En general, puede comprobarse por inducción que
1
( )( ) ,
!
t t
N
e tp t
i
i = 1, 2, …….N - 1
O, haciendo que N – i = n ,
( )( ) ,
( )
tN n
n
t ep t
N n
n = 1, 2, …….,N
Para n = 0, la ecuación diferencial
1
0 1
( )( ) ( )
( )!
N tt ep t p t
N n
Da , por integración por partes sucesivas ,
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28
0
1 1
( )( ) 1 1 ( )
( )!
N n tN N
n
n n
t ep t p t
N n
Este resultado también se deduce, ya que
0
( ) 1n
n
n
p t
Distribución de tiempos de servicio
Sea g (t ) la función densidad probabilidades ( f.d.p. )de tiempos de servicio.
Para obtener g (t) para el coso de salidas según Poisson, la probabilidad de
ningún servicio durante el periodo (0,T) es equivalente para la probabilidad
de no tener salidas
La ecuación diferencial general de la forma ( ) ( )y a t y b t
Tiene la solución
( ) ( ){ ( ) tan }fa t fa t dty e b t e dt cons te
Mismo periodo. por consiguientes
P {tiempo de servicio t > T} = P {ninguna salida durante T}
o sea 0
1 ( ) ( )
T
T
Ng t dt p t e
Por tanto, 0
( ) 1
T
Tg t dt e
Esto da, por derivación , 0
( )0., 0
te tg t
t
Lo cual muestra que la distribución de los tiempos de servicio es
exponencial con media
MODELOS DE LINEA ESPERA DE POISSION
Los resultados de la sección II indican que los axiomas dados llevan a llegaras
según poisson (tiempo entre llegaras exponencial) y tiempo de servicio
exponencial (salidas según poisson). En estas son las distribuciones que
representan las líneas de espera de poisson. En esta sección se presenta un
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29
número de líneas de espera de poisson con diferentes características. Estas se
resumen para cada modelo utilizando la notación de Kendall
Modelo (M/ M/ 1): (FCFS / / )
Este modelo. Llamado modelo de nacimiento y fallecimiento, combina los
modelos de nacimiento y fallecimiento de tal manera que se permitan
simultáneamente llegadas y salidas. El modelo, como se indico con la notación
de Kendall, supone que únicamente un servidor para atender de una línea de
espera de longitud y fuente ilimitada.
Las ecuaciones diferenciales y diferencia que describen este modelo se
obtienen como sigue. La posibilidad de n (> 0) en el sistema en el tiempo t + h
es aproximadamente la suma de
(i)P { n en el sistema en t, y ninguna llegara y ninguna salida durante h }
(ii) P { n-1 en el sistema en t , y ninguna llegada y ninguna salida durante h }
(iii) P { n+1en el sistema en t ,y ninguna llegara y ninguna salida durante h}
por consiguiente, sumando las tres probabilidades y notando que los términos
en 2h implican la ocurrencia de dos eventos simultáneos durante h, así que
tendrán a cero cuando h llega a ser suficientemente pequeña, entonces para
n > 0,
1 1( ) ( ){1 } ( )( ) ( )( )n n n np t h p t h h p t h p t h
Similarmente, para n = 0,
0 0 1 0 1( ) ( ){(1 ).1} ( )( )( ) ( )(1 ) ( )( )p t h p t h p t h t h p t h p t h
Si uno toma los limites cuando h = 0, las dos ecuaciones anteriores dan
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ),n n np t p t p t p t n = 0
0 0 1( ) ( ) ( ),p t p t p t n = 0
La solución de las dos ecuaciones anteriores proporcionara ( )np t , las
probabilidades transitorias. Como se menciono anteriormente, estos
resultados requieren herramientas matemáticas complicadas y, en con
secuencia no se representaran aquí. el lector puede recurrir a saaty ´[7]para la
obtención de np (t).
PROCESOS ESTOCASTICOS
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30
Es posible comprobar que existe la solución de estado estable cuando
.t y suponiendo que ocurre esta restricción, se obtiene las
ecuaciones de estado estable reconocimiento que, cuando , ( ) 0nt p t y
( ) .n np t p para n = 0, 1, 2,…….esto da
0 1 0p p , n = 0
1 1 ( ) 0,n n np p p n = 0
Estas ecuaciones de diferencias resultan en
(1 ) , 0,1,2,......n
np n
Donde / 1 . Esta es una distribución geométrica con
( )1
E n
y
2var( )
(1 )n
Las medidas , , ,s q s qL L W W se obtienen de las formulas generales
{ }1
sL E n
2
1q sL L
1
(1 )
ss
LW
1
(1 )
q
q
LW
Deducciones de resultados
Las ecuaciones anteriores de diferencias pueden escribirse como
1 1( 1) ,n n np p pP P n = 0
0 1( 1) ,np P P P n = 0
La transformada z para las dos ecuaciones es
0
1 1( 1) ( ) ( ) ( )
zp P z pzP z P z p
z z
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31
Esto da
0 0
1 1( )
( 1) ( 1 1
z zP z p p
z pz z z pz
De la transformada z inversa es
1 1
0 0
1{ ( )}
1
nZ P z p Z p ppz
O sea, ,n
n op p p n =0, 1, 2,………
El valor de 0p determina reconociendo que 0 1,nnp
por consiguiente,
0 0
0
11
1
n
n
p p pp
O bien (1 )op p
La serie 0
n
np
converge únicamente si p < 1, lo cual concuerda con los
requisitos de estado estable. Esto finalmente da
(1 ) ,n
np p p n = 0, 1, 2,……
La media E{n} = sL puede obtenerse de la definición básica del valor esperado
o de las propiedades de la trasformada z De la sección 9.11. (Propiedad 4)
00 12 2
{ } (1) /(1 ) (1 )
z
pPpE n p p
pz p
Como 0 (1 ),p p
{ }1
s
pL E n
p
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32
Distribución de tiempos de espera para la disciplina de servicio FCFS
Sea t el tiempo que llega una persona debe de esperar en el sistema; esto es,
hasta que se realiza su servicio. Con base en la disciplina d e servicio FCFS,
su cliente que llega encuentra n personas delante se el en el sistema,
1 2 1.......... nt t t
Donde '
1t es el tiempo que tarda en salir el cliente que está siendo atendido y
1 2, ,......,
nt t t son los tiempos de servicio para los n-1 clientes en la línea. El
tiempo 1nt , por consiguiente, representa el tiempo de servicio para el cliente
que llega.
Sea | 1w n la función densidad de probabilidad condicional de ,
dados n clientes en el sistema antes del cliente que llega. Ya que it , para toda
i , está exponencialmente distribuida, por la propiedad de que no existe
memoria, '
1t también tendrá la misma distribución exponencial que 1 2, ,......,t t y
1nt . En consecuencia, es la suma de n+1 distribuciones exponenciales
idénticamente distribuidas e independientes. Esto significa que w | 1n tiene
distribución gamma con parámetros , 1n (vea el Ejemplo 9.9-1). Por
consiguiente,
0 0
| 1 1!
n
n
n
n n
w w n pn
e
1
0
1 1 , 0!
n
n
e en
La cual es una distribución exponencial con media
1
1
La media realmente es igual a sw , el tiempo promedio de espera en el
sistema.
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33
Ejemplo
La ventanilla de un banco realiza las transacciones en un tiempo medio de 2
minutos. Los clientes llegan a la ventanilla con una tasa de 20 clientes por hora.
Si se supone que las llegadas son de Poisson y los servicios exponenciales, se
pide:
a) Porcentaje de tiempo en que el cajero está ocioso.
b) Tiempo medio de estancia de los clientes en la cola.
c) Fracción de clientes que deben esperar.
Si la atención a los clientes dura un promedio de 2 minutos, podemos
decir que la tasa de servicio es de 30 clientes por hora. Como
2
31
Podemos afirmar que el sistema es estacionario.
En esta situación, el porcentaje de tiempo que el cajero está ocioso es
igual a la probabilidad de que no haya ningún usuario en el sistema:
P0 1 03333 .
luego el cajero estará ocioso un 33.33% del tiempo.
El tiempo medio que un usuario pasa en la cola es:
Wq
20
30 100 0667. horas
es decir, 4 minutos.
Por último, la fracción de clientes que deben esperar es:
L
L
q
2
1
1
2
3
Ejemplo:
Una tienda de alimentación es atendida por una persona. La llegada de
clientes los sábados es un proceso de Poisson con una tasa de 10 personas
por hora y los clientes son atendidos según una polítca FIFO con un tiempo
medio de servicio de 4 minutos. Se pide:
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34
a) Probabilidad de que haya cola.
b) Longitud media de la cola.
c) Tiempo medio de espera en cola.
d) Probabilidad de que el cliente esté menos de 12 minutos en la tienda.
La tasa de servicio es de 15 clientes por hora. Como , el sistema es
estable con 23.
La probabilidad de que haya cola es:
P n t P P P Po( ) ( ) . 1 1 1 1 1 1 0 44440 1 0
La longitud media de la cola será:
Lq
2
1
49
13
4
313333.
El tiempo medio de espera en cola:
Wq
10
15 501333. horas
es decir, de 8 minutos.
Por último, la probabilidad de que un cliente está menos de 12 minutos
en la tienda es equivalente a la probabilidad es la probabilidad de que el tiempo
de espera más el de servicio sean menores que 12, lo cual tiene una
distribución exponencial con parámetros , 1 . Por tanto:
P T e et
12 1 1 0 6321115
1
3
12
60 ( ) .
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35
Modelo (M/M/1): (GD/N/ )
Este modo es esencialmente el mismo que el modelo (M/M/1): (FCFS/ / ),
excepto que el número máximo en el sistema está limitado a N (longitud
máxima de la línea=N-1).Ya que la distribución de tiempo de espera no se
dedujo en este modelo, se utiliza la disciplina de servicio GB para indicar que
los resultados obtenidos son aplicables a cualquiera de las tres disciplinas
comunes de servicio.
Por comparación con (M/M/1): (FCFS/ / ), las ecuaciones de estado
estable para este modelo son
1
1 1
1 1
1
0, 0
1 0, 0
0,
0,
o
n n n
n n n
N N
p p n
n p p n p n c
c p p c p c n N
p c p n N
La solución de estas ecuaciones de diferencias da
1
1, 0,1,2,...,
1
n
n Np n N
Se nota en este caso que
no necesita ser menor que 1. El lector deberá
verificar matemáticamente este resultado. Intuitivamente, sin embargo, el
número permitido en el sistema está controlado por la longitud máxima de la
línea, N-1, y no por la tasas relativas de llegada y salida. En consecuencia, la
tasa d llegada no afecta la condición de estado estable del sistema.
El número esperado en el sistema es
1
1
1 1
1 1
N N
s N
N NL
Las otras medidas ,q s qL w yw , pueden obtenerse de sL
Sin embargo, debido a que existe un límite de fila, se pierden algunos clientes.
Por consiguiente, es necesario calcular .ef ,la tasa efectiva de llegadas. Ya que
la probabilidad de que se pierda un cliente está dada por Np ,
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36
.ef = (1 )Np y
. 1
q q
q
ef N
L Lw
p
1ef N
s q q
pL L L
1
1
ss q
N
Lw w
p
El valor de .ef también puede obtenerse utilizando la fórmula
.ef s qL L
Ejemplo
Los pacientes llegan a una clínica según un distribución de Poisson con una
tasa de 30 por hora, El cupo de la sala de espera es de 14 personas. El tiempo
de examen por persona es exponencial con tasa media de 20 por Hora.
a) Encuentre la tasa de llegada efectiva en la clínica
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente que llega no espera?
¿Encontrara un asiento desocupado en la sala?
c) ¿Cuál es el tiempo promedio de espera hasta que un paciente salga de
la clínica?
Solución
Probabilidades lada Tasa de llegada Ls
P0 0.00076238 30 0.0228714 0 0
P1 0.00114357 30 0.0343071 1 0.00114357
P2 0.00171536 30 0.05146066 2 0.00343071
P3 0.00257303 30 0.07719098 3 0.0077191
P4 0.00385955 30 0.11578648 4 0.0154382
P5 0.00578932 30 0.17367972 5 0.02894662
P6 0.00868399 30 0.26051957 6 0.05210391
P7 0.01302598 30 0.39077936 7 0.09118185
P8 0.01953897 30 0.58616904 8 0.15631174
P9 0.02930845 30 0.87925356 9 0.26377607
P10 0.04396268 30 1.31888034 10 0.43962678
P11 0.06594402 30 1.97832051 11 0.72538419
P12 0.09891603 30 2.96748077 12 1.18699231
P13 0.14837404 30 4.45122116 13 1.9288625
P14 0.22256106 30 6.67683173 14 3.11585481
P15 0.33384159 19.9847524 15 5.0076238
Suma 1 Ls 13.0243962
1-0.3338= 0.66615841 Ws 0.65171666
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37
La tasa de llegada efectiva
.ef = (1 )Np = 30(1-0.666) =19.9847524
La probabilidad de que un paciente que llega no espera? ¿Encontrara un
asiento desocupado en la sala?
Es que la clínica aun tenga espacio para el paciente
P15=1-0.33384159=0.66615841
El tiempo promedio de espera hasta que un paciente salga de la clínica
1ef N
s q q
pL L L
Ls=13.0243962
1 13.02439616
0.6517166641 19.9847524
ss q
N
Lw w
p
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38
MODELO (M/M/c): (GD/ / )
Hasta aquí únicamente se han considerado las líneas de pisson con un
servidor, en esta sección, se considerará un modelo con c servidores en
paralelo ( 1c ) de tal manera que se puede servir a c clientes
simultáneamente. Se supone que todos los canales tienen la misma
distribución de servicio (exponencial) con tasa media por unidad de tiempo.
La obtención de ecuaciones diferenciales para este modelo es la misma que en
el modelo de un solo servidor, excepto la probabilidad de un servicio durante h
es aproximadamente n h para n c y c h para 5.n c Por consiguiente,
cuando 0,h
'
0 1 0 0p t p t p t n
'
1 11 , 0 0n n n np t p t n p t n p t n
'
1 1 ,n n n np t p t c p t c p t n c
Suponiendo que los parámetros del sistema son tales que existe una
solución de estado estable, las ecuaciones de estado estable están dadas por
0 1
1 1
1 10
0, 0
1 0, 0
0,n
n n n
n n
p p n
p n p n p n c
p c p c p n c
La solución de estado estable está dada como
, 0!
,!
n
o
n
on c
p n cn
np n c
c c
p
Donde
1
1
0 !! 1
n cc
o
n
pn
cc
y
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39
1 1oc c
También
1
2 21 !
1
c
q o c
s q
q
q
s q
cL p p
c c c
L L
Lw
w w
Para 1c , los resultados anteriores se reducen a los del modelo (M/M/1):
(GD/ / )
Los cálculos asociados a este modelo pueden ser tediosos. dados
aproximaciones útiles para o y qp L . Para mucho más pequeño que uno
1
21
c
o qy Lc
y para /p c muy cercano a 1,
1 !
o qc
c cp y L
c c
Obtención de los resultados:
El método de inducción será utilizado para obtener los resultados de este
modelo. Al lector se le pide en el problema 13.17 que obtenga la misma
solución con la trasformada z.
Sea n+1 =k, entonces para 0<n<c, las ecuaciones de diferencias llegan a ser
1 2
11 , 2k k kp k p p k c
k
y también la ecuación de diferencia correspondiente a n c será
1 2
1, 1k k kp c p p k c
c
Estas dos ecuaciones, junto con la ecuación de diferencia para n=0, pueden
utilizarse ahora en el procedimiento de inducción.
PROCESOS ESTOCASTICOS
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40
El valor de op se determina de 0
1nnp
, la cual da
111 1
0 0 0! ! ! !
jn c n c n cc c
o n cn n c n j
pn c c n c c
1
1
0
1, 1
! !1
n cc
n n c c
c
La expresión para qL se obtiene como sigue:
0 0 0 !
k c
q n k c okn k k
kL n c p kp p
c c
1
20
1
! !1
kc c
o o
k
p k pc c c c c
c
1
2 21 !
c
o c
cp p
c c c
MODELO (M/M/c): (GD/N/ ), c<N
En este modelo, el numero máximo en el sistema está limitado a N, donde N>c.
la obtención de las ecuaciones diferenciales es similar a la de (M/M/c):
(GD/ / ) presentada en el modelo (M/M/c): (GD/ / ), excepto que se
necesita una cuarta ecuación que tome en cuanta el limite del número en el
sistema. Por consiguiente, las ecuaciones de estado estable están dadas como
1
1 1
1 1
1
0, 0
1 0, 0
0,
0,
o
n n n
n n n
N N
p p n
n p p n p n c
c p p c p c n N
p c p n N
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41
La solución de estas ecuaciones de diferencia está dada como
, 0
,
!
!
n
o n c
n
o c n Nn c
pn
np
c c
p
, 0,1,2,...!
n
n
ep t n
n
Donde
11
11
o
0 1 0
1
p! ! !
! 1
N c
c
n n nc N c
n cn n c n
c
n c c nc
c
y / c no necesita ser menor que 1. La diferencia entre este modelo y de la
(M/M/c): (GD/ / ) ocurre solamente en la expresión para op .
1
21 1
1 !
N c N cc
q o
ef
s q q
L p N cc c cc c
L L c c L
Donde c = número de servidores ociosos = 0
c
n
n
c n p
y 1ef Np c c
Note la interpretación de ef en este caso. Ya que c c representa el número
esperado de canales ocupados, c c representa el número de servicios
reales por unidad de tiempo y, como consecuencia, la tasa efectiva de
llegadas.
PROCESOS ESTOCASTICOS
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42
Obtención de resultados:
La expresión para np se determina esencialmente en la misma forma
que en el modelo anterior y, en consecuencia, no se repetirá aquí. Para obtener
qL , uno tiene
1
1 1 1!
jcN N c N c
q n j c o
n c j j
L n c p jp p jc c c
=
1
21 1
1 !
N c N cc
op N cc c cc c
Para determinar .ef , considere
1
N
q n
n c
L n c p
=0 0 0
1N N c
n n n
n n n
np np c p
= 0
c
s n s
n
L c c n p L c c
O bien , s qL L c c
En consecuencia,
.ef c c
Esto significa que debe mantenerse la siguiente igualdad
. 1ef Nc c p
MODELO (M/M/ ): (GD/ / )
Este modelo representa una situación con tasas de servicio que dependen del
estado donde el número de servidores es directamente proporcional al número
en el sistema. Esta situación es equivalente a un modelo de servidores
múltiples, excepto que el número de servidores es limitado en este caso. Una
aplicación común la constituyen las instalaciones de autoservicio.
La obtención de las ecuaciones diferenciales para este modelo es
esencialmente la misma que en (M/M/c): (GD/ / ), excepto que la
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43
probabilidad de una sola para toda 0n es aproximadamente .n h Por
consiguiente,
'
1 , 0o op t p t p t n
'
1 1( ) 1 , 1n n n np t n p t p t n p t n
Las ecuaciones de diferencia de estado estable están dadas por
1
1 1
0, 0
1 0, 1
o
n n n
p p n
n p p n p n
La solución para np t se obtiene del primer conjunto de ecuaciones
diferenciales como
, 0,1,2,...!
n
n
ep t n
n
Donde 1 te . Esta es una distribución de poisson con media
/E n t .
La solución de este estado estable puede obtenerse tomando el límite de np t
cuando t , o resolviendo las ecuaciones de diferencia. Esto, proporciona,
para cualquier 0 ,
, 0,1,2,.!
n
n
e pp n
n
La cual es de nuevo una distribución de poisson con media E n .
También,
sL E n
1
sw
0q qL w
Estos resultados también pueden obtenerse tomando el límite cuando cde
los resultados correspondientes en (M/M/c): (GD/ / ). No existe tiempo de
espera en la fila qw , y el tiempo de espera en el sistema sw es igual al tiempo
PROCESOS ESTOCASTICOS
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44
de servicio. Esto es posible ya que el número de servidores siempre es igual al
número de clientes.
Ejemplo
Una sucursal bancaria tiene dos cajas igualmente eficientes, capaces de
atender un promedio de 60 operaciones por hora con tiempos reales de
servicio que se observan exponenciales. Los clientes llegan con una tasa de
100 por hora. Determinar:
a) Probabilidad de que haya más de 3 usuarios simultáneamente en el
banco.
b) Probabilidad de que alguno de los cajeros esté ocioso.
c) Probabilidad de que un cliente permanezca más de 3 minutos en la
cola.
Tenemos un sistema con =100 usuarios por hora, =60 servicios por
hora y C 2 . Como se verifica que C , podemos afirmar que el sistema es
estacionario.
Entonces, la probabilidad de que haya más de tres usuarios es:
P n P P P P 3 1 0 1 2 3
donde sabemos que:
Pn C
C
C
n
n
C C
0
0
11
1 1
! !
11
2
2
21
100
60
1
2
100
60
120
120 1000 0909
21
21
!.
Pn
P P
PC C
P P
n
n C
n
1 0 0
2 0
2
0
2
1 100
600 0909 01515
1 1
2
1
2
100
600 0909 01263
!. .
!. .
PC C
P Pn C
n
3 0
3
0
31 1
2 2
1
4
100
600 0909 01052
! !. .
de forma que:
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45
P n P P P P 3 1 052610 1 2 3 .
La probabilidad de que uno de los cajeros esté ocioso es:
P n P P 2 00909 01515 024240 1 . . .
La función de distribución del tiempo de espera en cola es
0)0(!1
1
0
!
1
00
)(
0
0
tsiFPCC
e
tsiP
CC
C
tsi
tTPtF
qT
tC
C
C
qqT
Donde deberemos expresar la tasa de llegadas y la de servicio en unidades por
minuto:
100
6016667. usuarios por minuto
60
601 usuario por minuto
Por tanto, la probabilidad de que un cliente permanezca más de tres minutos
en la cola es:
)0(!1
1
1313 0
3
qT
C
C
qq FPCC
e
TPTP
donde
PROCESOS ESTOCASTICOS
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46
F
C
C C
PT
C
q( )
!
. .0 1 1
2100
60
2 2100
60
0 0909 0 24250
2
y entonces, la probabilidad pedida es:
P T
e
3 1
100
601
2 166670 0909 0 2425 0 2786
23 2 1 6667.
.. . .
Ejemplo:
Una oficina estatal de transportes tiene 3 equipos de investigación de
seguridad vial cuyo trabajo consiste en analizar las condiciones de las
carreteras cuando se produce un accidente mortal. Los equipos son igualmente
eficientes y cada uno destina un promedio de 2 días a investigar y realizar el
informe correspondiente en cada caso, con un tiempo real aparentemente
exponencial. El número de accidentes mortales en carretera sigue una
distribución de Poisson con tasa media de 300 accidentes por año.
Determínese:
a) Número medio de accidentes cuya investigación no ha comenzado.
b) Tiempo medio desde que se produce un accidente hasta que se
empieza a investigar.
c) Tiempo medio desde que se produce un accidente hasta que finaliza
la investigación.
d) Número medio de accidentes cuya investigación aún no ha terminado.
Estamos ante un sistema de colas con tasa de llegadas 300
accidentes por año o, lo que es lo mismo, 082. accidentes por día, con tasa
de servicio 05. investigaciones por día y con C 3 canales de servicio.
El número medio de accidentes cuya investigación aún no ha
comenzado es el número medio de usuarios en cola:
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47
L P
C CP Pq
C
0 2 0
3
2 01
082
05082 05
2 15 08219555
!
.
.. .
. ..
donde
Pn C
C
C
n
n
C C
0
0
11
1 1
! !
11
2
1
6
3
3
1082
05
1
2
082
05
1
6
082
05
15
15 08201784
2 31
2 31
.
.
.
.
.
.
.
. ..
Así pues, el número de accidentes cuya investigación aún no ha comenzado
es:
L Pq 19555 0 34890. .
El tiempo medio desde que se produce un accidente hasta que se empieza a
investigar es el tiempo medio de espera:
WL
q
q
0 3489
0820 4255
.
.. dias
El tiempo medio desde que se produce el accidente hasta que finaliza la
investigación es el tiempo medio de permanencia en el sistema:
W Wq 1
2 4255
. dias
Por otra parte, el número medio de accidentes cuya investigación aún no ha
finalizado es el número medio de usuarios en el sistema:
PROCESOS ESTOCASTICOS
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48
L W 19889.
Una clínica canina tiene 3 veterinarios para vacunar perros. El número de
perros que llegan a la clínica sigue una distribución de Poisson con una tasa
media de 12 por hora. El tiempo medio empleado en vacunar a cada perro es
de 2 minutos. Determinar:
a) Porcentaje de tiempo con la sala de vacunación vacía.
b) Tiempo medio de espera.
c) Tiempo medio de permanencia de los perros en la clínica.
d) Número medio de perros en la clínica.
e) Probabilidad de que un perro espere más de 10 minutos para ser
vacunado.
Estamos ante un sistema de colas con una tasa de llegadas de 12 usuarios
por hora, una tasa de servicio de 30 servicios por hora y con C 3 canales
de servicio. Como se cumple que
C
Podemos afirmar que el sistema es estacionario.
El porcentaje de tiempo con la sala de vacunación vacía es:
Pn C
C
C
n
n
C C
0
0
11
1 1
! !
11
2
1
6
3
3
2 31
112
30
1
2
12
30
1
6
12
30
90
90 120 6701
2 31
.
Es decir, el porcentaje de tiempo con la cola vacía es:
P0 67 01% .
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49
El tiempo medio de espera es:
WL
q
q
donde
L P
C Cq
C
0 2
3
2
3
10 6701
12
3012 30
2 90 12127 10
!. .
luego el tiempo medio de espera será de:
Wq 106 10 0 38164. horas . segundos
El tiempo medio de permanencia en la clínica es:
W Wq 1 1
30106 10 0 0334 2 00644
. . horas . minutos
El número medio de perros en la clínica es:
L W 12 106 10 000134. .
Y, por último, la probabilidad de que un perro espere más de 10 minutos es:
P T P T P T
10
6001667 1 01667. .
P T P T P T
e
C CP F
C
C
Tq
10
6001667 1 0 667 1
1
10
0 1667
0. .!
( )
.
Donde es necesario expresar las tasas de llegadas y de servicio en unidades
por minuto:
PROCESOS ESTOCASTICOS
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50
12
600 2. Perros por minuto
30
6005. Perros por minuto
Entonces:
F
C
C C
PT
C
q( )
!
.
.
.
.
. .0 1 1
30 2
05
6 30 2
05
0 6701 0 99180
3
y, entonces, la probabilidad de que un perro espere más de 10 minutos es:
P T
e
10
601
050 2
051
2 15 0 20 6701 0 9918 0 0009
30 1667 15 0 2
..
.
. .. . .
. . .
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51
Cadenas de Markov
Definición : Sea la secuencia x1,...,xn,...,xL; xi X; i {1,...,L}. Para que un
proceso sea markoviano de orden n, se tiene que cumplir que:
P{xL+1 / xL,...,x1} = P{xL+1 / xL,...,xL-n+1}
Aunque el caso que nos ocupa es con índice "i" y variable aleatoria discretos,
también hay procesos markovianos con índice y/o variable aleatoria continuos.
Definición: Un proceso markoviano de orden 1 es un proceso estocástico de
orden 1 en el cual su pasado no tiene ninguna influencia en el futuro si su
presente está especificado. Es decir:
Si tn-1 < tn, entonces:
P{ X(tn) Xn/X(t) , t tn-1 } = P{ X(tn) Xn/X(tn-1) }
Luego, si t1 < t2 < ... < tn:
P{ X(tn) Xn / X(tn-1),...,X(t1) } = P{ X(tn) Xn / X(tn-1) }
En el objeto de estudio, que son las cadenas markovianas, en una cadena
markoviana de primer orden se cumplirá:
P{xL+1 / xL,...,x1} = P{xL+1 / xL}
Definimos un estado como:
sL = {xL, xL-1, ... , xL-n+1}
Por lo tanto:
P{xL+1 / xL, xL-1, ... , xL-n+1} = P{xL+1 / sL}
De la misma manera obtenemos:
sL+1 = {xL+1, ... , xL+2-n}
P{xL+1 / xL, xL-1, ... , xL-n+1} = P{sL+1 / sL}
Por lo tanto, según se ha deducido, mediante los estados podemos pasar de
una cadena de orden n a otra de orden 1, ya que hemos formado con los
estados la cadena
p(s1,...,sn) = p(s1)·p(s2 / s1)·p(s3 / s2)·...·p(sn / sn-1),
que es una cadena es de orden 1.
PROCESOS ESTOCASTICOS
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52
Ejemplo: Cadena markoviana de 2º orden.
p(x1,...,xn) = p(x1,x2)·p(x3/x1,x2)·p(x4/x2,x3)·...·p(xn/xn-2,xn-1)
Si por ejemplo la secuencia es del tipo abaabbaaab..., tendremos:
p(abaabbaaab...)=p(ab)·p(a/ab)·p(a/ba)·p(b/aa)·p(b/ab)·p(a/bb)·p(a/ba)·p(a/aa)·
...
Por estados:
Cuando ocurre que:
P{xL+1=j / xL=i} = P{x2=j / x1=i}
se dice que estamos ante una cadena markoviana invariante en el tiempo u
homogénea.
FACULTAD DE INGENIERÍA ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA
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53
En el ejemplo anterior:
Definición: Matriz de probabilidades de transición:
P = , siendo P{xn+1= j / xn= i} = pij
Propiedades de P:
Es una matriz cuadrada.
pij 0, i,j
pij = 1
Ahora sean:
n = ( p(xn=1) , ... , p(xn=M) )
n+1 = ( p(xn+1=1) , ... , p(xn+1=M) )
p(xn+1= j) = p(xn= i, xn+1= j) = p(xn= i)·pij
Las probabilidades de transición del estado n+1 son:
n+1 = n·[P]
PROCESOS ESTOCASTICOS
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54
Por lo tanto, dado 1, se obtiene
n = 1·[P]n-1
Ejemplo:
Dado el diagrama de estados
una secuencia válida podría ser: abadcb...
Como cada estado depende del anterior (cadena markoviana), se observa
como una característica de este ejemplo que, si el estado inicial es a, los
estados a y c sólo pueden aparecer en posiciones impares de la cadena, y los
estados b y d sólo en posiciones pares. Ocurriría lo mismo si el estado inicial
fuera el c, y ocurriría lo contrario si el estado inicial fuera b ó d.
Periodicidad
La probabilidad de ir del estado i al estado j en n saltos se expresa como:
Pij(n) = P{xL+n= j / xL= i} = pih·phj
(n-1)
La probabilidad de llegar al mismo símbolo (estado i) tras L saltos será Pii(L). Si
Pii(L) , entonces diremos que el estado i es un estado periódico de periodo d=L.
Si todos los estados tienen el mismo periodo, la cadena es periódica.
Cadenas de Markov reducibles e irreducibles
FACULTAD DE INGENIERÍA ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA
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55
Ejemplo:
Se ve claramente que Pac(n) 0, pero Pca
(n) = 0, n
Los estados conectados entre sí forman un cluster. En el dibujo hay dos, y
están rodeados en rojo y azul.
Un estado es transitorio si, después de pasar por él una o varias veces, no se
vuelve a pasar después por él ninguna vez más.
Si todos los estados están conectados entre sí y no son transitorios, se dice
que la cadena es irreducible.
En el ejemplo anterior, hay una cadena reducible compuesta por dos cadenas
irreducibles (los clusters antes mencionados). Cuando se pasa del estado b al c
(transición en color verde), ya no hay manera de volver a los estados a y b. Por
lo tanto, estos dos estados son transitorios en la cadena total.
Si la cadena es aperiódica, irreducible y homogénea, entonces
existe un tal que = ·[P]
Si en el instante n la distribución es n = , entonces en el instante n+1 será
n+1 = . Por lo tanto, en una cadena de este tipo:
n+L = , L
Una cadena de tres v.a. X, Y, Z es de Markov si cumplen:
PROCESOS ESTOCASTICOS
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56
p(x,y,z) = p(x)·p(y/x)·p(z/y)
Consecuencias: (para la cadena de Markov X -> Y -> Z)
Si Z = f(Y) => X -> Y -> Z
Independencia condicionada: X y Z condicionadas por Y son independientes.
Entonces:
Simetría: