Processo de Transformação de um Polígono Qualquer em um Triângulo Equilátero de Área
Equivalente
Centro Universitário Franciscano
Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática
FRANCISCANOCENTRO UNIVERSITÁRIO
Aluna do Mestrado: Merielen Fátima Caramori
2008
OBJETIVOOBJETIVO
Demonstrar a equivalência entre as áreas de um
polígono irregular e um triângulo equilátero.
Esta atividade foi apresentada no Seminário Integrado como parte das Reflexões da Docência, no Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática.
CONTEXTO DA ATIVIDADECONTEXTO DA ATIVIDADE
Essa atividade foi desenvolvida seguindo
uma sequência de passos para mostrar a
transformação de um pentágono irregular num
triângulo equilátero de área equivalente.
DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADEDESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE
As construções realizadas para o debate
seguem as idéias do texto de Antoni Pinyol
Fontova : “Equivalencia entre cualquier polígono “Equivalencia entre cualquier polígono
regular regular o irregular y um triângulo equilátero”o irregular y um triângulo equilátero”
Revista UNO Revista de Didática de las
Matemáticas nº44,2007. As construções
realizadas serviram de inspiração para o debate
sobre as relações geométricas entre duas figuras
planas e a discussão sobre a quadratura de figuras
planas.
Primeiro Passo:
Transformar um pentágono irregular num triângulo qualquer.
Considera-se um pentágono irregular ABCDEABCDE qualquer, como mostrado na figura 1.
Em seguida são traçadas as diagonais ADAD e BD BD e são traçadas as retas paralelas a ADAD e BDBD interceptando a reta r nos pontos F e G, respectivamente
Desse modo transformou-se um pentágono irregular num triângulo escaleno FGDFGD, de mesma área.
Observa-se que os triângulos ADE e ADF são
congruentes pois têm a mesma base e mesma altura.
Também são congruentes os triângulos BCD e BGD.
Deste modo construiu-se um triângulo FDG com área
equivalente à área do pentágono.
Segundo Passo:
Transformar um triângulo escaleno num
triângulo isósceles de mesma área.
Para transformar o triângulo escaleno FGD num triângulo isósceles com mesma área, traça-se uma paralela ao lado FG passando pelo vértice D e, a seguir, traça-se a mediatriz do lado FG do triângulo determinando os pontos H e I. Os triângulos escaleno e isósceles possuem áreas iguais.
A dificuldade que se apresenta é transformar um
triângulo escaleno num triângulo equilátero. Essa
transformação não pode ser feita diretamente, portanto
vamos transformar o triângulo escaleno num retângulo.
Traça-se primeiramente o ponto médio M da altura FC do triângulo. Pelo ponto M traça-se uma reta s paralela à base AB do triângulo. A seguir, traçam-se retas paralelas à altura FC, passando por A e B, respectivamente, determinando os pontos E e D sobre a reta s.
Os triângulos MCG e BDG são congruentes pois possuem três ângulos iguais. Dois ângulos são opostos pelo vértice vértices , os ângulos por serem alternos internos e os outros dois pelo paralelismo entre seus lados. Do mesmo modo são congruentes os triângulos AEH e HMC.
Desse modo transformou-se o triângulo escaleno ABC no retângulo ABDE de mesma área.
Terceiro Passo:
Transformar um retângulo num quadrado de
mesma área.
A partir do retângulo ABCD, pode-se traçar um
quadrado de área equivalente. Para isso vamos rebater o lado
AD sobre a reta r, determinando o ponto E e determinamos o
ponto O, ponto médio do segmento EB.Com centro em O e
raio OE traça-se uma semicircunferência. Prolongando o lado
AD determinamos o ponto F sobre a circunferência e
traçamos o triângulo EFB.
Observamos que o vértice F está sobre a circunferência e,
das relações métricas de um triângulo retângulo, pode-se
concluir que AF x AF=EA x AB.
Como a medida de AD é igual a medida de EA, pois é o raio
da circunferência menor, a área do quadrado AFGH é
equivalente à área do retângulo ABCD.
A construção realizada até o momento mostra que é
possível transformar um pentágono irregular num
quadrado de área equivalente. Este processo é
denominado de “Quadratura de Uma Figura Plana”.“Quadratura de Uma Figura Plana”.
Nosso propósito é mostrar que é possível
transformar um polígono regular ou irregular num
triângulo equilátero que é a figura plana regular com
menor número de lados.
Quarto Passo:
Transformar um quadrado num triângulo
equilátero de mesma área.
Para transformar um quadrado num triângulo
equilátero o primeiro passo consiste em construir um
triângulo BFE equilátero.
A seguir determina-se o ponto G, ponto médio de FH, que
corresponde a altura do triângulo BEF. Pelo ponto G traça-
se uma reta s paralela à reta r, determinando o ponto J
sobre o lado do quadrado. Traçando uma perpendicular à
reta r, passando por E, determina-se o ponto I sobre s. O
retângulo BEIJ é equivalente ao triângulo equilátero
BEF.Com centro em B rebate-se o lado BJ sobre a reta r,
determinando o ponto K.
A seguir determina-se o ponto médio L do segmento KE. A partir de
L, traça-se uma semicircunferência passando pelos pontos K a E. Esta
circunferência, ao interceptar o quadrado ABCD determina o ponto M.
O segmento BM é o lado do quadrado BMNO, equivalente ao retângulo
BEIJ de acordo com a construção realizada anteriormente..
A partir do ponto M traça-se o segmento MF.
Prolonga-se o segmento BF, e por C, traça-se uma semi-reta t,
paralela ao segmento MF, encontrando o segmento BF no ponto P.
Pelo ponto P, traça-se uma semi-reta s paralela ao lado EF do
triângulo equilátero BEF, a qual intercepta a prolongação de AB no
ponto Q.
O triângulo BQP é eqüilátero e é semelhante ao triângulo BEF.
O triângulo equilátero BQP é equivalente ao quadrado ABCD.
O triângulo BQP possui área equivalente ao
quadrado ABCD.
Essa apresentação propiciou retomar a discussão sobre:
- O conceito de quadratura das figuras planas;
- A História da Matemática como uma estratégia para
ensinar matemática;
- A congruência de triângulos e suas propriedades.
CONSIDERAÇÕES FINAISCONSIDERAÇÕES FINAIS
Este tipo de atividade propicia a compreensão do
significado das transformações geométricas aplicadas a
figuras planas mantendo áreas equivalentes;
A utilização de um software de Geometria Dinâmica é de
fundamental importância para visualização das
construções realizadas.
Pode-se concluir que: