Mecânica I (FIS-14)
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues PeláSala 2602A-1Ramal [email protected]
www.ief.ita.br/~rrpela
Onde estamos?
● Nosso roteiro ao longo deste capítulo– Princípio do impulso e quantidade de movimento
● Uma partícula● Sistema de partículas
– Conservação da quantidade de movimento
– Impacto
– Torque e momento angular● Uma partícula● Sistema de partículas
– Propulsão com massa variável
5.5 – Torque e Momento Angular
● Momento angular (ou quantidade de movimento angular)– Mede a quantidade de movimento de
“rotação”
5.5 – Torque e Momento Angular
● Momento angular (ou quantidade de movimento angular)– definido como o ‘momento’ da
quantidade de movimento linear da partícula em torno de O.
● Formulação escalar– se uma partícula move-se ao longo de
uma curva no plano x–y, o momento angular em qualquer instante pode ser determinado em relação ao ponto O, usando-se uma formulação escalar.
5.5 – Torque e Momento Angular
● Formulação vetorial– se a partícula move-se ao longo de um espaço
curvo, o produto vetorial pode ser usado para determinar o momento angular em torno de O. Nesse caso
5.5 – Torque e Momento Angular
● Coisas interessantes envolvendo momento angular– Motociclista fazendo curva e momento angular
– Helicóptero
– Patinadora e momento angular● Museu do Catavento
5.5 – Torque e Momento Angular
● Momento angular na Mecânica Quântica– Spin
– Efeito Einstein-de Haas
5.5 – Torque e Momento Angular
● Relação entre torque (momento) da força resultante e momento angular
Relação entre Força e Momento Linear
Relação esperada para o Torque e Momento Angular
Vejamos se é assim mesmo. Partimos da derivada:
Momento da força resultante
5.5 – Torque e Momento Angular
● Conservação do momento angular– Quando os impulsos angulares atuando em uma
partícula são todos zero durante o tempo t1 a t
2: o
Momento angular se conserva
Exemplo de situação em que o Momento Angular se conserva
5.5 – Torque e Momento Angular
● Momento angular para um sistema de partículas
Vamos provar que
Para facilitar a demonstração, vamos considerar um sistema de 2 partículas. Mas o resultado vale para N partículas =)
5.5 – Torque e Momento Angular
● Força na partícula 1 devido à partícula 2● Força na partícula 2 devido à partícula 1● Força externa resultante na partícula 1 ● Força externa resultante na partícula 2
OBS.: Vamos considerar a lei da ação e reação em sua forma forte.
Forma fraca Forma forte
5.5 – Torque e Momento Angular
● Torque e momento angular (part. 1)
● Torque e momento angular (part. 2)
● Somando
Mas e
5.5 – Torque e Momento Angular
● A expressão
● é válida para qualquer referencial inercial● é válida (sempre) para o CM de um sistema
de partículas– seja ele referencial inercial ou não
– vamos provar isto já já =)
5.5 – Torque e Momento Angular
● Momento angular do sistema e do CM● Questão: o momento angular de um sistema
de partículas é igual a ?● Resp.: NÃO!!!
– Tente encontrar um contra-exemplo
● Vamos encontrar a expressão completa:
5.5 – Torque e Momento Angular
● Questão: a equação vale para qualquer referencial?
● Resp.:– Se o referencial for inercial, sim.
– Se o referencial for o CM, sim (sendo este ref. inercial ou não)
– Se o referencial for não inercial, as forças inerciais (fictícias) devem ser incluídas. Estas forças agem sobre cada partícula do sistema
5.5 – Torque e Momento Angular
● Exemplo: uma estrela esférica gira por um período de 30 dias por um eixo que passa pelo seu centro. Depois que a estrela sofre uma explosão supernova, o núcleo estelar, que tinha um raio de 1,0x104 km, sofre colapso em uma estrela de 3,0 km de raio. Determine o período de rotação da estrela de nêutron.
5.5 – Torque e Momento Angular
● Resp.: 0,23 s– De fato, são observadas estrelas de nêutrons que
giram aproximadamente 4 vezes por segundo.
5.5 – Torque e Momento Angular
● Exemplo: um cometa está na órbita extremamente excêntrica mostrada na Figura. Sua velocidade no ponto mais distante A (a 6000x106 km do Sol), que está no limite externo do sistema solar, é de 740 m/s. Determine sua velocidade no ponto B (a 75,0x106 km do Sol) de maior aproximação do Sol.
5.5 – Torque e Momento Angular
● Exemplo: o conjunto da haste leve e duas massas nas extremidades está em repouso quando é atingido pela queda de um punhado de massa de vidraceiro se deslocando com velocidade v
1. A massa de vidraceiro
se adere e se desloca com a massa na extremidade direita. Determine a velocidade angular do conjunto após o impacto.
5.5 – Torque e Momento Angular
● Exemplo: A bola B de 0,400 kg está presa a uma corda que passa através de um furo em A sobre uma mesa lisa. Quando a bola está a 0,500 m do furo, ela gira em círculo a uma velocidade escalar de 1,20 m/s. Aplicando-se a Força F (que não necessariamente é constante no tempo), a corda é puxada para baixo através do furo a uma velocidade escalar constante de 2,00 m/s. Determine (a) a velocidade escalar da bola no instante em que estiver a 0,200 m do furo; (b) o trabalho realizado pela força F ao encurtar a distância radial de 0,500 m para 0,200 m.
5.5 – Torque e Momento Angular
● Exemplo: Cada uma das três esferas possui uma massa m e está soldada à estrutura rígida com ângulos iguais de massa desprezível. O conjunto está em repouso sobre uma superfície horizontal lisa. Se uma força F é aplicada repentinamente a uma barra conforme indicado, determine a aceleração do ponto O e a aceleração angular da estrutura.
5.5 – Torque e Momento Angular
● Exemplo: Considere as mesmas condições do Exemplo anterior, exceto que os raios são livremente articulados em O e, portanto, não constituem um sistema rígido. Explique a diferença dos dois problemas.
5.5 – Torque e Momento Angular
● Exemplo: O centro de massa somente coincide com o ponto O no instante inicial (quando os raios se movimentam, o ponto O deixa de ser o centro de massa)
● Os movimentos angulares dos braços são todos diferentes e não são facilmente determinados
● Este problema poderia ser resolvido desmembrando o sistema e escrevendo as equações de movimento para cada parte. Ou então, o método de Lagrange poderia ser utilizado (este seria o método mais simples)
5.5 – Torque e Momento Angular
● Exemplo: Uma pequena partícula recebe uma velocidade inicial v
0
tangente à borda horizontal de uma cavidade hemisférica lisa (de raio r
0),
como indicado no ponto A. Quando a partícula desliza passando pelo ponto B, a uma distância h abaixo de A, sua velocidade v faz um ângulo θ com a tangente horizontal à cavidade através de B. Determine θ.