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Teoria dos Conjuntos
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Conjuntos – Conceitos iniciais
Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto.
Exemplos - Conjunto
I. O conjunto dos alunos do 1º ano do Colégio Nóbrega.
II. O conjunto de todos os números inteiros.
III. O conjunto de todos os números reais que é solução da equação x2 – 16 = 0.
Em geral, utilizamos letras latinas maiúsculas para representar conjuntos. A, B, C, ..., Z.
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Conjuntos – Conceitos iniciais
Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto.
Exemplos – Elemento
I. Pedro é um elemento do conjunto dos alunos do 1º ano do Colégio Nóbrega.
II. 7 é um elemento do conjunto dos números inteiros.
III. +4 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2 – 16 = 0.
Em geral, utilizamos letras latinas minúsculas para representar elementos. a, b, c, ..., z.
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Conjuntos – Conceitos iniciais
Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto.
Exemplos – Pertinência
I. Pedro pertence ao conjunto dos alunos do 1º ano do Colégio Nóbrega.
II. 7 pertence ao conjunto dos números inteiros.
III. +4 pertence ao conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2 – 16 = 0.
Utilizamos o símbolo “pertence” e “não
pertence” para relacionar elemento e conjunto.
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Notações de Conjuntos
Um conjunto pode ser representado:
Enumerando seus elementos entre chaves, separados por vírgulas;
Indicando, entre chaves, uma propriedade que caracterize cada um de seus elementos;
Por meio de uma figura fechada, dentro da qual podem-se escrever seus elementos. “Diagrama de Venn-Euler”.
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Exemplo
Representar o conjunto V das vogais.
V = {a, e, i, o, u}
V = {x; x é vogal}
como no diagrama ao lado aei
o
u
V
No caso a V, mas m V.
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Observação
Há conjuntos com apenas:
Um único elemento, chamados conjuntos unitários;
Nenhum elemento, chamados conjunto vazio;
Infinitos elementos, chamados conjuntos infinitos.
O conjunto vazio pode ser representado pelos símbolos { } e Ø.
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Exemplos
A = {x; x é inteiro positivo, par e primo}
A = {2}
B = {x; x é inteiro, ímpar e divisível por 2}
B = { } = Ø
C = {a; a é número natural ímpar e primo}
C = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}
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Se x A ⇒ x B
Se x B ⇒ x A
Observação
Se dois conjuntos possuem exatamente os mesmos elementos (não importando a ordem em que eles aparecem), dizemos que eles são conjuntos iguais.
A = {x; x é inteiro positivo e x < 4}
B = {2, 3, 1}
A = {1, 2, 3} = B.
A = B ⇔
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Exemplo
A = Conjunto das letras da palavra TRATOR
B = Conjunto das letras da palavra ATOR
A = {t, r, a, o}
B = {a, t, o, r}
A = B
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Subconjuntos
Se todo elemento de um conjunto A é também elemento de um conjunto B, dizemos que:
A está contido em B (símbolo: A ⊂ B);
B contém A (símbolo: B ⊃ A);
A é subconjunto de B;
A é parte de B.B A
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Exemplo
A = {x ℕ; x < 4}
B = {x ℝ; x(x – 1) = 0}
A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1}
Podemos afirmar que B é um subconjunto de A (B ⊂ A).
A B0
12
3
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Observação – subconjuntos
Se um conjunto A é igual a um conjunto B (A = B), então A ⊂ B e B ⊂ A.
Se A ≠ B, A ≠ Ø e A ⊂ B, dizemos que A é subconjunto próprio de B.
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto (Ø ⊂ A, para todo A)
O vazio é subconjunto de qualquer conjunto; Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
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Exemplo
Encontrar todos os subconjuntos de A = {1, 2, 3}.
Com 0 elemento → Ø
Com 1 elemento → {1}, {2}, {3}
Com 2 elementos → {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
Com 3 elementos → {1, 2, 3}
Dizemos que Ø e A = {1, 2, 3} são subconjuntos triviais de A. Os outros são os subconjuntos próprios de A.
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Observação – subconjuntos
Chamamos de conjunto das partes do conjunto A e representamos por P(A), o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A.
Exemplo
A = {1, 2, 3}
Subconjuntos de A:
Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
n(P(A)) = 2n(A)
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Exemplo
Se um conjunto A tem n elementos e 128 subconjuntos, quantos elementos possui o conjunto A?
2n = 128 ⇒ 2n = 27 ⇒ n = 7
Logo, o conjunto A tem 7 elementos.
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Operações com Conjuntos
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Operações com Conjuntos
A partir de dois conjuntos conhecidos, A e B, podemos obter outros conjuntos, operando com os conjuntos dados.
Definimos as operações a seguir:
I. União;
II. Interseção;
III.Diferença;
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União dos Conjuntos A e B (A B)
É o conjunto dos elementos que pertencem ou a A, ou a B ou a ambos os conjuntos.
A B = {x; x A ou x B}
BA
Podemos generaliza a operação união para três ou mais conjuntos.
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Exemplo
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, vamos obter:
a) A B.b) A B C.
a) A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}
b) A B C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
No caso de três ou mais conjuntos, podemos escrever A B C = (A B) C = A (B C).
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Interseção dos Conjuntos A e B (A B)
É o conjunto dos elementos que pertencem a A e B.
A B = {x; x A e x B}
BA
Também a operação interseção pode ser generalizada para três ou mais conjuntos.
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Exemplo
Dados os conjuntos A = {0, 1, 5}, B = {0, 2, 5, 7}, C = {4, 6, 7, 9} e D = {0, 1, 6}, vamos obter:
a) A B.b) A C.c) A B D.
a) A B = {0, 5}
b) A C = Ø Logo, A e C são disjuntos
c) A B D = {0}
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Diferença dos Conjuntos A e B (A – B e B – A )
É o conjunto dos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
A – B = {x; x A e x B}
BA
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Diferença dos Conjuntos A e B (A – B e B – A )
É o conjunto dos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
B – A = {x; x B e x A}
BA
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Exemplos
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}, vamos obter:
a) A – B.b) B – A.
a) A – B = {1, 2, 3, 4, 5} – {2, 4, 6} =
b) B – A = {2, 4, 6} – {1, 2, 3, 4, 5} =
Em geral A – B ≠ B – A.
{1, 3, 5}
{6}
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Exemplos
Se A = {x natural, menor que 10 / x é par} eB = {x natural, menor que 10 / x é primo}.Determine A B, A B, A – B e B – A.
A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {2, 3, 5, 7}
A B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A B = {2}BA
20
4 6
8
3
5
7
A – B = {0, 4, 6, 8}
B – A = {3, 5, 7}
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Complemento de um Conjunto
No caso em que o conjunto B está contido no conjunto A (B ⊂ A), a diferença A – B pode ser chamada, também, complementar de B em relação
a A (∁AB).
B ⊂ A ⇒ A – B = ∁AB
A B A – B
O complementar de A em relação a um dado universo pode ser representado, simplesmente por A.
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Exemplos
Dados os conjuntos
X = {1, 2, 4}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}, X ⊂ Y. Obter ∁YX.
∁YX = Y – X = {1, 2, 3, 4, 5} – {1, 2, 4} = {3, 5}
Se A = {x ℝ; x > 2}, A está contido no universo
ℝ. Obter ∁A.
∁A = A = {x ℝ; x ≤ 2}
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Exemplos
Se A = {a, b, c, d, e} e B = {d, e, f, g} estão contidos no universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h},
determinar o conjunto ∁A B.
∁A = U – A = {f, g, h}
∁A B ={f, g, h} {d, e, f, g} ={f, g}
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Número de elementos da união de conjuntos
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Número de elementos da união de conjuntos
Existe uma relação importante que envolve a quantidade de elementos dos seguintes conjuntos finitos: A, B, A B e A B. Observe:
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
n(A B) = número de elementos da união
n(A) = número de elementos do conjunto A
n(B) = número de elementos do conjunto B
n(A B) = número de elementos da interseção
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Exemplos
Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8}, temos:
A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A B = {4, 5, 6}
Podemos comprovar que:
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
8 = 6 + 5 – 3 BA2
1 4
6
53
8
7
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Exemplos
O conjunto A tem 8 elementos; o conjunto B, 13 elementos; o conjunto A B, 5 elementos. Determinar o número de elementos do conjunto A B.
BA
58 – 5 = 3 13 – 5 = 8
n(A B) = 3 + 5 + 8 = 16
(A – B) (B – A)A B
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Exemplos Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou:
“Quem é torcedor do Grêmio?” 36 levantaram o braço. A seguir, perguntou: “Quem é nascido em Porto Alegre?” 28 levantaram o braço. Sabendo que nenhum aluno deixou de levantar o braço, vamos determinar quantos alunos são gremistas e Porto-alegrenses.
PG
x36 – x 28 – x
36 – x + x + 28 – x = 42
(G – P)(G – P)
G P
⇒ 64 – x = 42 ⇒ x = 22