Prof. Roberto Cristóvã[email protected] 11
Sequências
Sequências
Uma sequência pode ser pensada como uma lista de números escritos em uma ordem definida:
1 2 3 4, , , , , ,na a a a a
1 - primeiro termoa
2 - segundo termoa
- n-ésimo termona
Notações
A sequência
é também denotada por
1 2 3 4, , , , , ,na a a a a
na 1
ou nna
Exemplo 1
11
n
n
n
1n
na
n
1 2 3 4
, , , , , ,2 3 4 5 1
n
n
( 1) ( 1)
3
n
n
n
( 1) ( 1)
3
n
n n
na
2 3 4 5 ( 1) ( 1), , , , , ,
3 9 27 81 3
n
n
n
3
3n
n
3, 3na n n 0,1, 2, 3, , 3,n
0
cos6
n
n
cos , 06n
na n
3 11, , ,0, ,cos ,
2 2 6
n
Exemplo 2
Ache uma fórmula para o termo geral an da sequência
Exemplo 3
Sequências que não têm uma equação de definição simples
a) {pn}, onde pn é a população mundial no dia
1º de janeiro do ano n.
b)an é o algarismo na n -ésima casa do
número e.
c)A sequência de Fibonacci
Observação
1n
na
n
Observação
Definição 1
Uma sequência tem limite e escrevemos
lim ou quando
se pudermos tomar os termos tão próximos de
quanto quisermos ao fazer suficientemente grande.
n
n nn
n
a L
a L a L n
a
L n
Se lim existir, dizemos que a sequência converge,
(ou que é convergente), caso contrário dizemos que
a sequência diverge (ou que é divergente).
nn
a
Graficamente
Definição 2
Uma sequência tem limite e escrevemos
lim ou quando
se, para cada 0, existir um inteiro correspondente
tal que
se então .
n
n nn
n
a L
a L a L n
N
n N a L
Ilustração
Teorema
Selim ( ) e ( ) quando é um
número inteiro então lim
nx
nn
f x L f n a n
a L
Definição
lim significa que para cada número positivo
existe um inteiro tal que
se então .
nn
n
a M
N
n N a M
Propriedades do limite
Se e forem sequências convergentes e
uma constante, então n na b c
se
se
Teorema do confronto
0Se para todo e lim lim ,
então lim .
n n n n nn n
nn
a b c n n a c L
b L
Teorema
Se lim 0,então lim 0.n nn na a
Exemplo 4
Calcule lim .1n
n
n
Exemplo 5
lnCalcule lim .
n
n
n
Exemplo 6
Determine se a sequência é convergente ou divergente.
( 1)nna
Divergente !
Exemplo 7
( 1)Calcule lim se existir.
n
n n
Teorema
Se lim e se a função for contínua em ,
então lim ( ) ( ).
nn
nn
a L f L
f a f L
Exemplo 8
Encontre lim sen .n n
lim sen sen limn
nn n
sen 0 0
Exemplo 9
Discuta a convergência da seq. , onde
!/ nna n n
! 1 2 3n n
Teorema do confronto
Convergente !
Exemplo 10
Para que valores de r a sequência {rn} é convergente?
Se 1, divergenr rse
se
Graficamente
Resultado
A sequência é convergente se 1 1
e divergente para todos os outros valores de .
nr r
r
0 se 1 1lim
1 se 1n
n
rr
r
Definição
1
Uma sequência é chamada monótona crescente
se para todo 1.n
n n
a
a a n
1É chamada monótona decrescente se
para todo 1.n na a
n
Exemplo 11
3A sequência é decrescente pois
5n
1n
Exemplo 12
2Mostre que a sequência é decrescente.
1n
na
n
Definição
Uma sequência é limitada superiormente se existir
um número tal que para todo 1.n
n
a
M a M n
É limitada inferiormente se existir
um número tal que para todo 1.nm a m n
Se ela for limitada superior e inferiormente então ela
é uma sequência limitada.
Teorema
Toda sequência monótona limitada é convergente.
Exemplo 13
Investigue a sequência definida pela relação de recorrência
lim 6nna