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Equazioni differenzialiEquazioni differenziali
ConoscenzeConoscenze
CompetenzeCompetenze
CapacitàCapacità
ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE ‘E.MATTEI’
URBINO
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Conoscenze: Equazione del I ordine, lineare e non lineare.
Competenze. Risolvere equazioni differenziali del I ordine del II ordine e determinare soluzioni particolari di equ. differenziali del I e del II ordine.Capacità: Imparare a :
Risolvere equaz. diff.del I ordine: - a variabili separate o separabili;
- lineari;
- di altri tipi particolari.
Risolvere equaz. diff. del II ordine:
- omogenee a coeff. costanti;
-non omogenee a coeff. costanti.
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Introduzione alIntroduzione al: : concetto di concetto di equazione differenzialeequazione differenziale
Sino ad ora si sono affrontati in Matematica Sino ad ora si sono affrontati in Matematica temi il cui oggetto era la risoluzione di temi il cui oggetto era la risoluzione di problemi che per soluzioni avevano il problemi che per soluzioni avevano il valore numerico di una certa grandezza.valore numerico di una certa grandezza.
Ad esempio : la risoluzione dell’equazione , Ad esempio : la risoluzione dell’equazione , la determinazione dei max. e dei min. di la determinazione dei max. e dei min. di una funzione, il calcolo di un’area o di un una funzione, il calcolo di un’area o di un volumevolume..
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Ma vi sono problemi in cui ciò che si deve trovare non è un numero bensì la legge secondo cui un insieme di variabili dipende da altre. L’ingegneria, la fisica, le scienze economiche hanno leggi di questo tipo e il grafico sotto è legato all’argomento EQUAZIONI DIFFERENZIALI
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Se consideriamo un punto materiale di massa m che si muove sull’asse y di un sistema di riferimento a causa di una forza F la cui intensità dipende dalla posizione y del punto all’istante t, dalla
sua velocità v e dal tempo t si ha ),,( tvyFF L’azione della forza F provoca un’accelerazione del punto materiale secondo la legge F=ma, Se y(t) è la posizione del punto all’istante t sulla sua traiettoria , la velocità e l’accelerazione sono date dalle relazioni :
v = e a = allora in
un certo istante t del moto deve essere verificata la relazione:
)(''2
2
tydt
yd)(' ty
dt
dy
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)),('),(( ttytyF )('' tmy
L’equazione ha come variabile una funzione y(t) e le sue derivate y’(t) e y’’(t).
RISOLVERLA significa trovare la funzione y(t) che con le sue derivate soddisfi all’equazione.
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Se si ha la funzione f(x) =2x , la determinazione di tutte le sue primitive y=F(x) ci fa tradurre ciò nell’equazione: xyxfxF 2')()('
anche così si tratta di risolvere questa equazione dove la variabile è rappresentata da una funzione della variabile x , f(x) ,
xdx
dy2
Una equazione del tipo y’ = 2x è una
EQUAZIONE DIFFERENZIALE
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In figura è rappresentato un circuito elettrico in cui è inserita una batteria di pile in grado di fornire una differenza di potenziale costante V.
Appena l’interruttore del circuito è chiuso all’interno del circuito non si genera immediatamente una intensità di corrente I data da : V = R I uguale a V/R
Le grandezze elettriche R(resistenza), L (coeff.di autoinduttanza) e V (tensione) sono costanti
Ma a causa della presenza dell’induttanza L, una corrente I(t), variabile nel
tempo t, secondo la legge : (1) V = R I(t) + L
dove dI(t) è la derivata della funzione I(t) rispetto a t.
dt
tdI )(
Non è possibile ricavare l’incognita I(t) dalla (1) con semplici passaggi algebrici, oltre a I(t) si ha dI(t)/dt. UN TALE TIPO DI EQUAZ. È DETTA EQUAZIONE DIFFERENZIALE
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DEFINIZIONI
Sia y una funzione incognita della variabile x, sia y’ la sua derivata prima
Una relazione tra la variabile indipendente x, la funzione incognita y e la sua derivata prima y’ del tipo
F(x,y,y’ ) = 0
prende il nome di EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL PRIMO ORDINE.
Questa equazione sarà ascritta in forma normale: y’ = F(x,y)
Ci deve essere la derivata prima y’ ,ma possono mancare y e x.
Esempio: y’ = y, y’ = 2x, y’ = 2xy+3
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DEFINIZIONI
Sia y una funzione incognita della variabile x, sia y’ la sua derivata prima e y’’ la sua derivata seconda.
Una relazione tra la variabile indipendente x, la funzione incognita y , la sua derivata prima y’ e la sua derivata seconda y’’, del tipo
F(x, y, y’, y’’ ) = 0
prende il nome di EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL SECONDO ORDINE.Questa equazione sarà ascritta in forma normale: y’’ = F(x,
y, y’)Ci deve essere la derivata seconda y’’ ,ma possono mancare y’ ,y e x.
Esempio: y’’ + 3y’ – 1 = 0 y’’ + y – x = 0
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generalizzandogeneralizzandoUna relazione tra la variabile x, una Una relazione tra la variabile x, una
funzione incognita y e le sue derivate funzione incognita y e le sue derivate successive sino all’ordine n, del tipo : successive sino all’ordine n, del tipo :
F(x,y,y’,y’’,……yF(x,y,y’,y’’,……ynn) = 0) = 0
e’ dettae’ detta
Equazione Differenziale di ordine n Equazione Differenziale di ordine n L’ordine di un’ equazione differenziale è dato dall’ordine massimo della derivata che vi figura.
ESEMPI : Y’+2X=1 EQUAZ. DIFFERENZIALE DEL I ORDINE
Y’’’+3Y’-2=0 EQUAZ. DIFFERENZIALE DEL III ORDINE
6Y’’+3Y’-Y=SENX EQUAZ. DIFFERENZIALE DEL II ORDINE
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Ogni funzione y= f(x) che soddisfa l’equazione differenziale data si dice
SOLUZIONE o INTEGRALE
dell’equazione stessa , il suo diagramma è detto CURVA INTEGRALE.ESEMPIO: y’+2y = 2x(x+1) è un’equazione differenziale
del I ordine e la funzione y = x2+e-2x
e’ una sua soluzione
Infatti essendo y’ = 2x – 2 e-2x si ha, sostituendo nell’equazione differenziale:
y’+2y = 2x-2 e-2x +2(x2+e-2x) = 2x2+2x =2x(x+1)
RISOLVERE o INTEGRARE un’equazione differenziale significa trovare tutte le sue soluzioni .Le soluzioni di
un’equazione differenziale sono in genere
esse dipendono da un numero di costanti arbitrarie pari all’ordine n dell’equaz. stessa e sono così indicate: y = f(x,c1, c2, , cn),
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y = f(x,c1, c2, , cn) prende il nome di
Integrale generale
dell’equazione differenziale,
Ogni funzione ottenuta dall’INTEGRALE GENERALE attribuendo particolari valori numerici alle costanti c1, c 2…..cn è chiamata
INTEGRALE PARTICOLARE.
In alcune situazioni può avvenire che l’integrale generale non comprenda tutte le soluzioni
dell’equazione, ci può essere una soluzione che non è deducibile dall’integrale generale per alcun valore
delle costanti. Si parla di INTEGRALE SINGOLARE.
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ESEMPIO: L’equazione differenziale ammette tra le
sue
yxy 4'
soluzioni y = 0 ( per verificarlo è sufficiente sostituire),
il suo integrale generale è
22 cxy
e si vede che la funzione y = 0 non si può ottenere da esso per nessun valore di c finito o infinito.
Allora y = 0 è un integrale singolare per questa equazione.
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Data una equazione differenziale di ordine n il volere determinare l’integrale particolare y=f(x) che soddisfi n condizioni iniziali del tipo:
y(x0)=y0, y’(x0)=y’0,………. Yn-1(x0)=yn-10
dove x0,y0,y’0,……., yn-10 sono valori
assegnati,
Viene chiamata PROBLEMA di CAUCHY
01
01
00
00
1
)(
.
.
')('
)(
),.....,'',',,(
nn
nn
yxy
yxy
yxy
yyyyxFy
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Risolvere l’equazione differenziale del I ordine: 012'36 yxDopo aver isolato y’ si ha: 3y’= 12-6x; y’= 4-2x, integriamo ambo i membri rispetto alla variabile x:
dxxdxy )24('
dxxy 24
cx
xy 2
242
con c
Le soluzioni cercate sono le funzioni: cxxy 42
In questo caso le curve integrali sono parabole il cui vertice in funzione di c è V( 2; 4+c ) e l’asse ha equazione
x = 2 .
Provate a rappresentarle graficamente
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Quindi data l’equazione differenziale: 012'36 yx
Le soluzioni cercate sono le funzioni: cxxy 42
Cerchiamo, tra le infinite soluzioni, una particolare soluzione la cui curva integrale passa per il punto (x0;y0)Per il nostro esempio il punto è P ( 2; 5 ) cioè 5 = f(2)
Prendiamo la soluzione y=-x2+4x+c , sostituiamo a y=5 e x=2
c 825 2 1cCosì la soluzione del problema di Cauchy è 142 xxy
Integrale particolare
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Equazione Differenziale di ordine 1Equazione Differenziale di ordine 1e teorema di Cauchy
Un’equazione differenziale del I ordine è una equazione del tipo:
F(x,y,y’ ) = 0In cui la x e la y possono anche non comparireUna equazione differenziale del primo ordine si dice in forma normale
se è espressa: y’ = F(x,y)
Il suo integrale generale è la famiglia di funzioni y = f(x,c) e che i suoi integrali particolari si ottengono attribuendo a c determinati valori.supponiamo di voler determinare l’integrale particolare che
soddisfi una certa condizione ad esempio che la curva integrale passi per un punto assegnato o abbia una certa tangente oppure si annulli all’infinito. QUANTI INTEGRALI TROVEREMO CHE SODDISFANO AD UNA TALE CONDIZIONE? Una risposta a questa domanda è fornita dal seguente teorema:
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Teorema di Cauchy: Sia F(x,y) una funzione di due variabili reali definita e continua in un sottoinsieme aperto D del piano supponiamo che anche F’y sia continua in D; sia poi P(x0; y0) un punto qualsiasi di D .Allora l’equazione differenziale y’ = F(x,y) di un intorno di x0 , ammette una e una sola soluzione y=g(x) che soddisfa la condizione y 0 = g(x0)
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La condizione
y 0 = g(x0)
è detta
CONDIZIONE INIZIALE ed esprime il passaggio della curva integrale per il punto assegnato P(x0;y0).
Il teorema equivale a dire : per ogni punto P(x0;y0)passa una ed una sola curva integrale dell’equazione differenziale considerata.
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Le equazioni della forma Le equazioni della forma y’=f(x)y’=f(x)Esse sono le equazioni più semplici da risolvere perché la
funzione che rappresenta è la generica primitiva di f(x); si ha cioè che l’integrale generale è la funzione
dxxfy )(Risolvere l’equazione differenziale
y’=2x e trovare l’integrale particolare
che soddisfa alla condizione y(1) = 0
L’integrale generale è: la condizione data
ci dice che la funzione y=x2+c deve passare per il punto di coordinate (1;0) cioè 0 = 1+c c =-1 l’integrale particolare è così la parabola y=x2+c e il suo grafico è :
cxxdxy 22
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-6 -4 -2 2 4 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
fig.1
In figura 1 è rappresentato l’integrale particolare
dell’equazione differenziale y’= 2x passante per il
punto P ( 1; 0 )
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In figura 2 sono rappresentati alcuni integrali particolari dell’equazione differenziale y’=2x passanti per punti particolari,tutti derivano dallo stesso integrale generale y= x2+c
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Risolvere l’equazione differenziale y’ = e3x
con la condizione y(0) = 3.
Risolvere l’equazione y’ = 1+tg2x con la
condizione iniziale y(π/4) = 0 il simbolo π è il pi greco.