PROBLEMES ADDICIONALS NADAL 2012
1. Per a retornar a la clínica veterinària d’on s’ha escapat el mico que està dalt de l’arbre de la figura, el seu cuidador del li dispara un dard amb un somnífer apuntant directament al mico. Just en el moment del disparo, el mico es deixa anar i cau cap al terra. Demostra que sigui quina sigui la velocitat de sortida del dard, aquest sempre fa diana en el mico, sempre que arribi al mico abans que aquest al terra. Si x=50 m i h=10 m, quina és la velocitat mínima inicial del dard perquè arribi al mico abans que aquest arribi a terra, a 11,2 m per sota de la posició inicial del mico? (Sol. v0=34 m/s)
2. Un home que es troba en el terrat d’un edifici de 30 m d’altura llença una pilota de golf amb una velocitat de 40 m/s a 33o sobre l’horitzontal. Ignorant la resistència de l’aire, trobeu:
a. l’altura màxima per sobre del terrat que assolirà la pilota; b. la rapidesa de la pilota just abans de tocar el terra; c. la distància horitzontal des de la base de l’edifici fins al punt on tocarà terra la pilota.
(Sol. hmax=24,2 m; v=46,8 m/s; xmax=186 m)
3. La sang humana conté plasma i cèl·lules sanguínies. Per a separar el plasma de la resta de components s’utilitza la centrifugació. Perquè la centrífuga sigui eficaç cal aplicar una acceleració mínima de 2000g a la sang. Suposem que introduïm la sang en uns tubs d’assaig de 15 cm de longitud fins a omplir-‐los. Aquest tubs es disposen en una centrifugadora de manera que formin un angle de 45o respecte de la vertical.
a. Quina distància hi ha d’haver entre una mostra de sang i l’eix de rotació, si la centrifuga gira a 3500 rpm per assolir els 2000g d’acceleració sobre ella.
b. Si la sang del centre dels tubs gira amb el radi trobat a l’apartat anterior, determineu l’acceleració que experimenta la sang a cada extrem del tub.
(Sol. r=15 cm; amin=1300g; amax=2700g)
4. Una persona de 50 kg es posa sobre una bàscula en l’interior d’un ascensor. Determina la lectura de la bàscula quan l’ascensor:
a. puja accelerant des del repòs amb acceleració constant, fins assolir una velocitat de 2 m/s en 1,6 s; b. puja a velocitat constant de 2 m/s; c. puja frenant amb acceleració constant des dels 2 m/s fins al repòs, en 1,6 s; d. baixa accelerant fins assolir una velocitat de 1,8 m/s, en 1,2 s; e. baixa a velocitat constant d’1,8 m/s; f. baixa frenant des d’1,8 m/s fins al repòs amb acceleració constant, en 1,2 s.
(Sol. a) 56,4 kg; b) 50 kg; c) 43,6 kg; d) 42,4 kg; e) 50 kg; f) 57,7 kg)
5. El bloc de 10,0 kg de la figura descansa sobre un suport de 5,0 kg. Els coeficients de fricció entre el bloc i el suport són μs=0,40 i μk=0,30 . El suport es recolza sobre una superfície sense fricció.
a. Quina és la força màxima F que es pot aplicar sense que el bloc de 10 kg llisqui sobre el suport.
b. Quina és l’acceleració corresponent del suport de 5,0 kg?
(Sol. amax=1,6 m/s2; F=24 N)
6. Quina acceleració ha de tindre el carro de la figura per tal que el bloc A no caigui a terra? el coeficient de fricció estàtica entre el bloc i el carro és μe. Com explicaria el comportament del bloc un observador que estigués en el carret? (Sol. a=g/μe )
7. Dos bloc de masses m1=4,0 kg i m2=8,0 kg estan connectats per una corda i baixen relliscant per un pla inclinat 30o. El coeficient de fricció cinètica entre el cos 1 i el pla és μ1k=0,20 i entre el cos 2 i el pla és μ2k=0,35. Calculeu:
a. l’acceleració de cada bloc; b. la tensió de la corda. c. Què passaria si invertíssim les posicions de les
masses?
(Sol. a=2,36 m/s2; T=3,40 N)
8. Un cotxe de control remot de 1,20 kg de massa es mou amb velocitat constant v=12,0 m/s en l’interior d’un cercle vertical de radi 5,00 m. Calculeu la força que exerceix la superfície del cercle sobre el cotxe
a. en el punt A més baix de la trajectòria; b. en el punt B més alt de la trajectòria
(Sol. NA=46,3 N; NB=22,8 N)
9. Un paquet de massa 4,0 kg baixa 2,0 m lliscant sobre una rampa inclinada 15o sota l’horitzontal. El coeficient de fricció cinètica entre el paquet i el terra és μk=0,35. Calcula el treball fet sobre el paquet per
a. la força de fricció, b. la gravetat, c. la normal, d. la força resultant sobre el paquet. e. Si el paquet té una rapidesa de 2,4 m/s a la part superior de la rampa, quina rapidesa té després
d’haver baixat lliscant una distància de 2,0 m sobre la rampa? f. Utilitzant el teorema del treball–energia, determineu la distància que baixarà el paquet abans
d’aturar-‐se.
(Sol. Wf=–26,5 J; Wg=20,31 J; WN=0; WT=–6,2 J; v=1,63 m/s; x=3,7 m)
10. Un jugador de handbol llença la pilota a una velocitat de 20 m/s. La massa de la pilota és 450 g. a. Quina és l’energia cinètica de la pilota quan abandona la seva mà? b. Quin treball ha fet el braç del jugador sobre la pilota?
(Sol. K=90 J; W=90 J)
A
a
1
2
A
B
11. Un jove de 70 kg vol fer “puenting” des d’un pont de 35 m d’alçada sobre el nivell del terra. Per fer-‐ho es lliga dels turmells una corda flexible de 9,0 m de longitud. Quan es tensa, la corda es comporta com una molla de rigidesa k=150 N/m. Dibuixa el gràfic de l’energia potencial del jove en funció de l’alçada i calcula quin serà el punt més baix que assolirà en el seu salt. (Sol. h=–24 m, des del pont)
12. Un cavall estira un trineu costa amunt per un carrer nevat que té un pendent del 14%. El trineu té una massa de 300 kg i el coeficient de fricció cinètica amb el terra nevat és 0,12. Si el cavall estira paral·lelament a la superfície del terra del carrer i subministra una potència de 1,0 hp,
a. quina és la velocitat màxima (constant) amb la que el cavall pot estirar el trineu costa amunt? b. Quina és la fracció de la potència del cavall que s’inverteix en vèncer la gravetat? c. Quina fracció en vèncer la fricció?
(Sol. v=0,98 m/s; Pgrav, 54%; Pf 46%)
13. Una partícula que es mou en el pla xy està sotmesa a la força conservativa 𝐹 = 𝑏𝑥𝚤 + 𝑏𝑦𝚥, on b és una constant.
a. Quin és el treball que fa la força quan la partícula es desplaça des de l’origen fins al punt (x,y)? b. Quina és l’energia potencial corresponent a aquesta força? Suposa que l’energia potencial és zero en
l’origen.
(Sol. 𝑊 = !!𝑥! + 𝑦! ; 𝑈 𝑥, 𝑦 = − !
!𝑥! + 𝑦! )
14. El motor de 4 cilindres d’un cotxe subministra 150 CV a 3000 rpm. En cada cilindre hi ha una explosió per cada dues voltes del motor. Quanta energia subministra cada cilindre en cada explosió? (Sol. E=4474 J/explosió)
15. Per tal d’avançar a velocitat constant de 64 km/h un vehicle de 1500 kg necessita una potència de 20 CV per tal de vèncer la fricció de l’aire i altres friccions mecàniques. Suposant que les friccions són les mateixes,
a. quina potència requereix el mateix vehicle per tal de pujar un pendent del 10% a la mateixa velocitat?
b. I per a baixar el mateix pendent?
(Sol. a) P=41074 W=55 CV; b) P=11246 W=15 CV)
16. Un bloc de 3,0 kg es posa en moviment sobre una superfície horitzontal comprimint-‐lo contra una molla de rigidesa 120 N/m. Inicialment el bloc es desplaça sense fricció, però un cop deixa d’estar en contacte amb la molla, el bloc es mou sobre una superfície amb un coeficient de fricció de 0,20, al llarg d’una distància de 8,0 m, abans d’aturar-‐se completament.
a. Quina ha estat la màxima energia cinètica del bloc? b. Quina distància s’ha comprimit la molla abans d’alliberar el bloc?
(Sol. Kmax=47,1 J; x=89 cm)
17. Una cinta mètrica d’alumini es plega pel seu punt mig de forma que les dues meitats formin un angle recte. On es troba el centre de masses del d’aquesta cinta plegada? (Sol. xCM=0,125 cm, yCM=0,125 cm)
y
x
50 cm 25 cm 75 cm
18. La Piràmide gran de Gizeh té una altura de 147 m i una base quadrada. Suposant que tot el seu volum és pedra de densitat constant, trobeu el seu centre de masses. (Sol. yCM=37 m)
19. Es dispara un projectil formant un determinat angle θ amb l’horitzontal, 0! < 𝜃 < 90!. En el moment que arriba a la seva màxima alçada explota en dues parts. La part de la cua, es queda momentàniament en repòs i comença a caure de forma que toca terra just en la vertical del punt més elevat. La segona part acaba arribant al terra a una distància del punt de sortida que és 5 cops més gran que la distància a la que cau la primera part. Si el projectil original tenia una massa de 12 kg, quina massa té cadascuna de les dues parts?
(Sol. m1=9,0 kg; m2=3,0 kg)
20. El mític veler americà Constitució, construït l’any 1797, porta 15 canons a cada banda. Els canons disparen un projectil d’11 kg a una velocitat de sortida de 490 m/s. La massa del veler és aproximadament de 4000 tones. Suposant que disparem tots 15 canons d’estribord (gairebé) alhora en direcció horitzontal i perpendicularment al vaixell, amb quina velocitat recularà aquest? (Sol. vv=0,02 m/s)
21. L’espectroscòpia de retrodispersió de Rutherford (RBS) és una tècnica utilitzada en ciència de materials per a determinar–ne la seva composició. Consisteix en fer xocar partícules alfa (nuclis d’heli de massa 4 u) amb energia cinètica típica de 1,6×10!!" J, sobre els nuclis del material problema que es troben en repòs. Les col·lisions són elàstiques i frontals. Quina és l’energia cinètica de retrocés de la partícula alfa quan el material és,
a. silici (m=28 u); b. coure (m=63 u)
(Sol. a) K’α=9×10–14 J; b) K’α=1,24×10–13 J)
22. Un vehicle xoca contra un cotxe aparcat. Després de l’impacte els dos cotxes es queden units i llisquen sobre el paviment amb les rodes completament bloquejades. L’informe de la brigada d’atestats indica que la longitud de la marca que els vehicles van deixar al terra té una longitud de 18 m, la massa del vehicle que impacta era de 2200 kg, la del cotxe aparcat 1400 kg i que el coeficient de fricció cinètica entre les rodes i el paviment era de 0,95.
a. Quina era la velocitat dels vehicles just després de l’impacte? b. Quina era la velocitat del vehicle que impacta abans del xoc?
(Sol. a) v=66 km/h; b) v=108 km/h)
23. Quan Guillem Tell va encertar a tocar la poma sobre el cap del seu fill, la fletxa va quedar atrapada dins la poma. Suposeu que la velocitat de la fletxa era completament horitzontal de 80 m/s just abans de l’impacte, que la seva massa era de 40 g i que la massa de la poma era de 200 g. Si l’alçada del fill de Tell era de 1,40 m,
a. Calculeu la velocitat de la poma i la fletxa just després de l’impacte. b. Calcula a quina distància del fill de Tell cauran a terra la poma i la fletxa.
(Sol. a) v=13,3 m/s; b) x=7,12 m)
24. Una barra rígida d’un metre de longitud s’aguanta verticalment sobre el terra. Si la barra cau sobre el terra, amb quina velocitat angular tocarà el terra? Suposa que l’extrem de la barra en contacte amb el terra no llisca. (Sol. ω=5,4 rad/s)
25. Una baldufa de massa M gira amb moment angular L. L’eix de rotació està inclinat un angle θ respecte la vertical. El punt de contacte de la baldufa amb el terra no canvia i el seu centre de masses es troba a una distància r del punt de contacte. La baldufa fa un moviment de precessió: el vector moment angular gira al voltant de la direcció vertical. Trobeu l’expressió de la velocitat angular Ω d’aquesta precessió. Si per una baldufa determinada r=4,0 cm i el seu moment d’inèrcia és 𝐼 = 𝑀𝑅!/4, amb R=3.0 cm, trobeu el període del moviment de precessió quan la baldufa gira a 250 rad/s. (Sol. Ω = !"#
!; T=0,9 s)
26. Un cilindre sòlid uniforme de massa M i radi R reposa damunt d’un bloc pla de massa m que es troba en repòs damunt d’una taula horitzontal sense fricció. Si apliquem al bloc una força horitzontal 𝐹, accelera i el cilindre rodola sense lliscar,
a. calculeu l’acceleració del bloc en termes de M, R i F b. Calculeu l’acceleració angular del cilindre. En quin
sentit gira? c. Quina és l’acceleració lineal (mòdul i direcció) del
cilindre respecte de la taula? d. Quin són el mòdul i direcció de l’acceleració lineal del
centre de masses del cilindre respecte del bloc? e. Si la força actua al llarg d’una distància d, quina és
l’energia cinètica del bloc? f. I l’energia cinètica del cilindre? g. Demostreu que l’energia cinètica total del sistema
cilindre–bloc és igual al treball fet per la força
(Sol. a) 𝑎! =!!
!!!!; b) 𝛼! =
!! !!!!
, antihorari; c)
𝑎! =!
!!!!; d) 𝑎!" = − !!
!!!!; e) 𝐾! =
!!"#!!!!
; f) 𝐾! =!"#!!!!
; g) 𝐾!"! = 𝐹𝑑)
θ
r
27. Una bola de billar inicialment en repòs rep un cop instantani amb el tac. L’impuls és horitzontal i s’aplica a una distància de 2R/3 per sota de la línia central. La velocitat inicial de la bola és v0 i el coeficient de fricció cinètica entre la bola i la taula és μk-‐
a. Quina és la velocitat angular de la bola just després del cop?
b. Quina és la velocitat de la bola una vegada comença a rodolar sense lliscar?
c. Quina és l’energia cinètica inicial de la bola just després del xoc?
(Sol. a) 𝜔! =!!! !!!
!!!; b) 𝑣 = !
!"𝑣!; c) 𝐾 = !"
!"𝑚𝑣!!)
28. Com a enginyers d’una empresa de joguines, us encarregueu de dissenyar un bucle per a nens. La idea és que una bola de radi r i massa m rodoli sense lliscar per una pista inclinada i pel bucle. La bola parteix del repòs a una altura h per damunt de la superfície que sosté la pista. El radi del bucle és R. Calculeu en funció de r i R, l’altura mínima que ha de tenir h perquè la pilota estigui en contacte amb la pista durant tot el bucle . (Tingueu en compte el radi de la bola.) (Sol. ℎ = 2,7𝑅 − 1,7𝑟)
29. La corda que envolta el cilindre de la figura està sostinguda per la mà d’una persona que accelera cap amunt de manera que el centre de masses del cilindre no es mou a mesura que el cilindre gira. Calculeu:
a. la tensió de la corda; b. l’acceleració angular del cilindre; c. l’acceleració de la mà.
(Sol. a) 𝑇 = 𝑀𝑔; b) 𝛼 = !!!; c) 𝑎 = 2𝑔)
30. En el cilindre del problema anterior, ara fixem la corda de manera que el cilindre cau mentre la corda es va desenrotllant.
a. Demostreu que l’acceleració del centre de masses del cilindre val a=2g/3.
b. Calculeu la tensió de la corda.
(Sol. 𝑇 = !!𝑀𝑔)