PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE

“Il concetto di misura:approccio storico, teoria e

applicazioni”

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Scienze applicateLiceo Classico

“Federico Quercia”Marcianise (CE)

IndiceOrigini della Geometria: Platone Eudosso Menecmo Euclide Archimede Erone

Aree figure regolari e …. strane: Figure regolari Figure non regolari : utilità della formula di Erone

e del teorema di Pick Figure dal contorno non rettilineo : utilità del metodo archimedeo

e di Esaustione

Ricoprimento di figure piane: la tassellazione

Cenni storici sulle origini della Geometria

La parola geometria proviene dal greco e significa “misura della terra”. Si pensa che la geometria sia nata presso gli antichi Egiziani, vari millenni a.C., per la necessità che questi avevano di ripristinare confini di proprietà, che ogni anno venivano cancellati dalle inondazioni del Nilo.

Per arrivare ad uno studio filosofico della geometria bisogna aspettare il V – IV sec a.C.

con Platone a cui si debbono notevoli contributi circa la risoluzione dei problemi

geometrici e soprattutto nei riguardi dell’uso della logica nello studio della geometria. Una citazione importante di Platone è: “nessuno

ignaro della geometria entri sotto il mio tetto”.

PLATONE

EUDOSSO

Con Eudosso si costituisce la matematica come scienza, a lui si deve

l’importantissimo metodo di Esaustione: questo metodo si proponeva di riempire letteralmente un’area con delle figure

note tali che la loro somma approssimasse l’area cerchiata.

MENECMO

Colui che si occupò di come l’ellisse, l’iperbole e la parabola si potevano ottenere mediante la sezione di un cono con un piano è Menecmo. Questi ha risolto il problema della duplicazione

del cubo o problema di Delo

EUCLIDE

Euclide raccoglie e sistema tutto il complesso delle conoscenze matematiche del tempo

secondo un mirabile schema logico-deduttivo e ha dato un grande contributo al problema delle aree attraverso la sua teoria dell’equivalenza.

ARCHIMEDE

Archimede è senza dubbio uno dei più grandi matematici di tutti i tempi. Egli affrontò i più ardui problemi rimasti fino a quel tempo insoluti, come ad esempio quello del calcolo delle aree e dei volumi, fino a gettare le basi del calcolo

infinitesimale. Archimede affrontò anche il problema della rettificazione della circonferenza.

Inoltre Archimede si occupò anche dell’AREA DEL SEGMENTO PARABOLICO.

ERONE

Erone è un matematico inventore greco antico, lo ricordiamo soprattutto perché formulò le leggi della riflessione e la formula che esprime l’area

di un triangolo in funzione dei suoi lati e del semiperimetro.

Per calcolare l’area di figure regolari bisogna :

• Per prima cosa stabilire una unità di misura, per esempio il cm ²

• Vedere quante volte essa entra nella grandezza da misurare

FIGURE REGOLARI

Utilizzando questa unità di misura abbiamo considerato un rettangolo e un quadrato, poiché sono le figure più semplici da misurare.Per le figure più complesse, invece, abbiamo ricondotto le figure ad un rettangolo, costruendo lati paralleli e perpendicolari.

• Per il rombo regolare, tracciando le diagonali, si formano quattro triangoli rettangoli, i quali mettendoli insieme formeranno un rettangolo che avrà come base la diagonale minore e per altezza la diagonale maggiore diviso 2.

• Ugualmente avviene per il rombo asimmetrico, con la differenza che la base è la diagonale maggiore e l’altezza è la diagonale minore diviso 2.

• In modo analogo anche i trapezi vengono ricondotti ad un rettangolo. Abbiamo poi trovato l’area dell’esagono in due modi: il primo è quello di ricondurre ad un rettangolo; il secondo è quello di ricondurre ad un trapezio isoscele.

Per quanto riguarda le figure non regolari abbiamo cercato di dividerle in varie parti, tali da formare figure regolari di cui sappiamo calcolare l’area. Infine per calcolare l’area delle figure irregolari bisogna sommare le aree precedentemente ricavate:

A1

A2

A3

A4

At = A1 + A2 + A3 + A4

FIGURE NON REGOLARI

Il teorema di Pick è un teorema di geometria che permette di calcolare l’area di un poligono semplice i cui vertici stanno su un piano a coordinate intere

Detti :• i il numero di punti a coordinate intere interni al

poligono;• p il numero di punti a coordinate intere sul

perimetro del poligono ( vertici compresi)

Quindi l’area del poligono può essere calcolata tramite la formula A = i + p/2 - 1

TEOREMA DI PICK

Per quanto riguarda le figure curvilinee abbiamo utilizzato la carta millimetrata e i suoi quadratini come unità di misura. Preso un quadratino come unità di misura, abbiamo contato il numero dei quadratini contenuti e che contenevano la figura. Dopo una serie di tentativi abbiamo osservato che la differenza tra le due aree trovate diminuiva al diminuire delle dimensioni del campione utilizzato.

U1 =

FIGURE DAL CONTORNO CURVILINEO

U2 =

U3 =

DefinizioneDati in un piano una parabola γ e una retta r che interseca γ in due punti distinti A e B, la parte finita di piano delimitata dall'arco AB di γ e dal segmento AB di r è detta segmento parabolico.

In particolare, se la retta r è perpendicolare all'asse della parabola γ, il segmento parabolico si dice retto.

IL METODO DI ESAUSTIONE APPLICATO AL CALCOLO DELL’AREA DEL SEGMENTO PARABOLICO

Approssimazione dell'areaPer valutare l'area di un segmento parabolico retto si può operare nel seguente modo.Si sceglie un sistema di riferimento con origine nel vertice di γ e asse delle ordinate coincidente con l'asse della parabola orientato dal vertice al fuoco. In tale sistema l'equazione di γ risulta

Detta B' la proiezione del punto B sull'asse delle ascisse e l la distanza OB', si suddivide OB' in n segmenti di ugual misura. Le ascisse degli estremi destri di questi segmenti risulteranno

Si costruiscono quindi i rettangoli aventi come base ognuno di questi segmenti e come altezza l'ordinata corrispondente al loro estremo destrocalcolata sulla parabola.

Il rettangolo di ordine i ha area

La somma R delle aree di tutti i rettangoli risulta

La differenza tra R e l'area S della figura delimitata dai segmenti OB' e B'B e dall'arco OB di γ risulta sempre positiva, ma diventa tanto minore quanto maggiore si prende il numero n di segmenti di OB'. Si esprime questa situazione dicendo che S è il limite di R per n che tende all'infinito e si può scrivere

Calcolando il valore della sommatoria, si ottiene quindi l'area S.

i i2 Σ i2 6 Σ i2 6 Σ i2

1 1 1 6 1 · 2 · 3

2 4 5 30 2 · 3 · 5

3 9 14 84 3 · 4 · 7

4 16 30 180 4 · 5 · 9

5 25 55 330 5 · 6 · 11

La somma dei quadrati

Per calcolare la somma dei quadrati dei primi n numeri naturali è utile costruire la seguente tabella.

Per induzione, si può concludere che

Per n infinitamente grandi, le frazioni di denominatore n si annullano e quindi

cioè l'area S è uguale a un terzo dell'area del rettangolo di base OB' e altezza B'B. Conseguentemente l'area della rimanente parte del rettangolo è due terzi dell'area dello stesso.Per la simmetria della figura si può quindi concludere che l'area del segmento parabolico retto è due terzi dell'area del rettangolo circoscritto. Questa proprietà, dimostrata da Archimede di Siracusa, è nota come teorema di Archimede. 

TEOREMA DI ARCHIMEDEUtilizzando il risultato ottenuto, riprendendo l'espressione di R, si ha

TEOREMA DI ARCHIMEDE

• Osservando il pavimento sotto i vostri piedi, noterete che la sua superficie è interamente ricoperta da piastrelle identiche, probabilmente, di forma quadrata.

• Le piastrelle sono disposte in maniera ordinata sul piano in modo tale da ricoprirne l’intera superficie senza sovrapporsi e senza lasciare “spazi vuoti”.

• Definiamo “tassellazione regolare” un qualunque ricoprimento del piano ottenuto con poligoni regolari che, a due a due, hanno in comune un lato.

LA TASSELLAZIONE

Le uniche tassellazioni regolari sono quelle già individuate (ossia quelle ottenute conquadrati, triangoli equilateri, esagoni regolari).

Proviamo quanto detto considerando, inizialmente, per fissare le idee, una tassellazione esagonale:

L’angolo giro di vertice D, evidenziato in figura, è interamente “ricoperto” dagli angoli interni (di vertice D) dei tre esagoni in azzurro, blu e bianco.

Gli angoli interni di un esagono regolare (n=6), hanno un’ampiezza di 120°, per cui sono necessari k=3 esagoni per ricoprire l’intero angolo giro. (360°/120° = 3)

Ripetiamo questo ragionamento in generale:

gli angoli interni di un poligono regolare di “n” lati hanno un’ampiezza ° pari a:

° = 180° (n–2)/n .

Volendo ricoprire l’intero angolo giro,occorrono “k” (numero intero!) poligoni, in modo che:

k° = 360°cioè:

k 180° (n–2)/n = 360°.

Risolvendo rispetto a k , otteniamo:

k = 2n/(n–2).

Se:

n=3 (triangolo equilatero) allora k = 6 (6x60° = 360°)

n=4 (quadrato) k = 4 (4x90° = 360°)

n=5 (pentagono regolare) k = 10/3 (*)

n=6 (esagono regolare) k = 3(3x120°=360°)

n>6 (polig.regolare con più di 6 lati) 2 < k < 3 (*)

(*) Per n=5 o per n>6 si nota che k non è intero: deduciamo che risulta impossibile tassellare il piano con pentagoni regolari o poligoni regolari con più di sei lati.

M.C. Escher È conosciuto principalmente per le sue incisioni su legno, litografie e mezzetinte che

tendono a presentare costruzioni impossibili, esplorazioni dell’infinito, tassellature del piano e dello spazio e motivi a geometrie interconnesse

che cambiano gradualmente in forme via via differenti

M.C. ESCHER

Si ringraziano

Gli alunni:Rossano Tommaso, Lasco Martina, Rossano Maria Immacolata, Iodice Michela, Sparaco Michela, Rossetti Daniele, Di Lillo Giovanni, Golino Antonella

La professoressa:

Marino Concetta

IL DIRIGENTE SCOLASTICO:

DIAMANTE MAROTTA