PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION
Afin de démystifier définitivement la méthode des éléments finis, vous allez mettre en place,
toujours sur un exemple unidimensionnel mais de flexion de poutre, les fonctions de formes
spécifiques à la flexion, la formulation matricielle du problème associé et la programmation
d’un programme Matlab. Ce travail donnera lieu à une restitution individuelle ou par binôme.
Consigne importante : Au-delà du fichier Matlab qui me sera envoyé électroniquement
([email protected]), un compte rendu apportera les réponses aux questions ci-
dessous et montrera les résultats obtenus par votre programme éléments finis. Pour faciliter
l’archivage du correcteur, le fichier Matlab portera le nom du ou des apprentis (exemple :
MarquoinLecoq.m) et le compte rendu sera envoyé sous le format pdf nommé de la même
manière (exemple : MarquoinLecoq.pdf)
Poutre en béton en flexion : la poutre sur deux appuis aux extrémités est chargée par deux
vérins verticaux. Entre les deux vérins, la flexion est pure (Mf = constante)
Rappels de flexion et mise en place du PTV
Avant la partie questionnement proprement dite, un préambule vous rappelle quelques
éléments de cours sur les poutres droites en flexion. L’hypothèse de Bernoulli qui stipule que
les sections droites restent droites et perpendiculaires à la ligne moyenne implique que la
rotation d’une section droite d’abscisse x est égale à (x) la rotation de la tangente à la
déformée. Or, dans le cas de petits déplacements, celle-ci vaut :
( )( )
dv xx
dx ! où v(x) est le
déplacement vertical de la
ligne moyenne à l’abscisse x.x
v(x)
(x)
Par ailleurs, les relations d’équilibre d’un tronçon de poutre soumis à de la flexion s’écrivent :
MINI PROJET
Mécanique des Solides Déformables
Luc CHEVALIER
Filière Génie Mécanique
2
2
( )( ) 0
( )( ) 0
( )( ) 0
f
f
dM xT x
d M xdx q xdxdT x
q xdx
"# ! $$% & !'
$# !$(
où T(x) l’effort tranchant et Mf(x) le moment fléchissant dans la poutre. q(x) est la charge
linéique extérieure répartie. Cette action est complétée par les forces extérieures Fi, les
moments (ou couples) Ci qui s’exercent ponctuellement aux abscisses xi. Ces actions
extérieures sont évidemment en équilibre, ce qui implique :
0 = )i
Fi + *+0
L
q(x) dx et 0 = )i
Ci +)i
xiFi + *+0
L
xq(x) dx
L la longueur de la poutre. Enfin, pour compléter le lot d’équations ci-dessus, la loi de
comportement élastique d’une poutre en flexion, dans le cadre de l’hypothèse de Bernoulli,
s’écrit :
2
2
( )( ) fM xd v x
dx EI!
Notons aussi que E est le module d’élasticité, I est le moment quadratique de la section de la
poutre. Ici on étudie le comportement d’une poutre en béton de caractéristiques :
E = 20000 MPa, , = 2400 kg/m3, L = 2 m ; I = bh
3/12 avec b = h = 20 cm
Question 1 : En vous inspirant de la démarche vue en cours sur le cas de la traction, montrer
que le principe des travaux virtuels (PTV) appliqué à une poutre en flexion s’écrit :
*-+
0
L
EId2v
dx2.d2v*
dx2 dx = )i
Fi vi*+ Ci i
* + *+0
L
q(x) v*(x) dx
où le terme de gauche correspond au travail virtuel des sollicitations internes (ou énergie de
déformation) et le terme de gauche est le travail virtuel des efforts extérieurs.
Mise en forme matricielle et programmation de la matrice de raideur
Pour la mise sous forme matricielle, la démarche est identique au cas de la traction traité en
cours mais avec des fonctions de forme plus complexes. En effet, le déplacement est
représenté par la fonction v(x) mais la rotation de la section par la fonction (x). Pour un
élément de longueur l, on dispose donc de 4 conditions au niveau des nœuds (1) et (2) :
v(0) = v1 et v(l) = v2
dv
dx(0) = 1 et
dv
dx(l) = 2
T1
T2charge linéique : p
(1) (2)v 1
v 2
2
1
Dans ces conditions la fonction déplacement v(x) doit s'écrire à partir de 4 constantes :
v(x) = a x3 + b x2 + c x + d
Question 2 : Développer les 4 conditions et déterminer les constantes a, b, c et d en fonction
.v1, v2, 1 et 2.
Question 3 : Montrer qu’on peut écrire le déplacement v(x) sous la forme matricielle
suivante :
v(x) = [/(x)][Uloc] avec : [Uloc] =
0112
3445
v1
1
v2
2
On précisera les 4 fonctions de la matrice [N(x)].
Question 4 : Déterminer, par dérivation, la matrice [6(x)] qui permet le calcul de :
d2v(x)
dx2 = [7(x)][Uloc]
Question 5 : Par intégration sur l’élément de longueur l, développer l'expression du travail
virtuel des sollicitations internes sous la forme :
*-+
0
l
EId2v
dx2.d2v*
dx2 dx = T[Uloc][Kloc][U*loc]
Vérifier que l’expression de la matrice de raideur locale [Kloc] est bien :
[Kloc] = EI
l3
0112
3445
12 6 l -12 6 l
6 l 4 l2
-6 l 2 l2
-12 -6 l 12 -6 l
6 l 2 l2
-6 l 4 l2
Question 6 : La poutre de longueur L est découpée en éléments de longueur égale à l. Ce
découpage introduit N nœuds. Après avoir précisé sa taille, expliquer le principe de
l’assemblage de la matrice de raideur globale [Kglob]. Programmer cet assemblage sous
Matlab.
Mise en forme matricielle et programmation de la colonne des « forces »
Concernant le travail virtuel des efforts extérieurs, il convient de distinguer le cas des charges
Fi concentrées aux nœuds (i), le cas des couples Ci concentrés aux nœuds (i) et le cas des
charges réparties q(x) le long du tronçon de poutre. Le travail virtuel des efforts extérieurs se
met sous la forme : T[F].[U*] où [F] est la colonne des forces nodales. Dans les deux premiers
cas : )i
(Fi vi*+ Ci *
i), on remplit directement la colonne [F] en indiquant la valeur de la
force Fi ou du couple Ci à la position correspondant au degré de liberté vi ou i.
Dans la suite on considérera que la charge répartie correspond au poids propre de la poutre :
elle est verticale descendante, constante et vaut : q(x) = -p = -,gS. Pour un élément, le travail
virtuel des efforts extérieurs s'écrit donc :
- *+0
l
p v*(x) dx = T[Floc].[U*loc]
Question 7 : Calculer les termes de la colonne locale [Floc] des forces nodales et montrer
qu’elle se met sous la forme :
[Floc] =
011112
344445-
pl
2
-pl2
12
-pl
2
pl2
12
Question 8 : Expliquer le principe de l’assembler la colonne des forces globale [Fglob]
appliquée à votre cas d’étude (voir répartition des études en annexe). Programmer cet
assemblage sous Matlab.
Résolution du système et affichage des résultats
Question 9 : Afin de résoudre le système [Kglob][U] = [Fglob], exploiter les conditions limites
en réduisant la taille du problème. On précisera cette nouvelle taille et on programmera cette
résolution Matlab.
Question 10 : Tracer le déplacement v(x) et de la rotation (x).
Question 11 : Afin de valider votre programmation, comparer vos résultats avec la solution
analytique du système d’équations rappelé en préambule ou avec un autre outil numérique à
votre disposition tel que le module « flexion » de RDM6 disponible dans la salle informatique
1B065-69.
On a rappelé en préambule que le moment fléchissant est lié à v(x) par la relation :
2
2
( )( ) fM xd v x
dx EI!
Question 12 : Expliquer comment exploiter les résultats du calcul éléments finis pour
calculer le moment fléchissant. Programmer et tracer Mf(x) ainsi que les contraintes
maximales.
On rappelle que dans une poutre en flexion, les contraintes sont variables dans la hauteur et
maximales (en valeur absolue) sur les surfaces supérieure et inférieure en y = ±h/2. Dans ces
conditions, on a, dans chaque section la contrainte maxi qui vaut :
( )( ) .
2
f
ext
M x hx
I8 ! 9
Nom & Prénom Cas de Charge
p=,gS et F=2,gSL.ALEX Arnaud
pF FL/4 L/4
AUDOUX Clément
pF
BELOT Guillaume pFL/3
BERTELLI Johanne
pF FL/3 L/3
BOUBARRI Aurélien
pF L/4
BOUCHARD Michaël
pF FL/3 L/3
CHANTALAT Romain
pF
DE GOURCY Nicolas
pFL/4
DE SA MARQUES OLIVEIRA
Alexandre pF
DEMAY Aurélie
pF
DENIS Yoann p
FL/3
Nom & Prénom Cas de Charge
p=,gS et F=2,gSL.DUBOIS Jérémy
pF L/4
EKBERIAN Gabriel
pF
FOUCOIN Alexandre
pF FL/4 L/4
GASPAR David
pF L/3
GOIX Pierre p F
LABALETTE Pierre-Henri
pF L/3
LAMBERTI Alain
pFL/4
LE COQ Rémy p
FL/4
LEMAL Grégory
pF L/4
LE VERGER Jérôme pFL/3
LOISEAU Antoine
pF FL/3 L/3
Nom & Prénom Cas de Charge
p=,gS et F=2,gSL.MARQUOIN Thomas
pFL/3
MURGAT Roman
pF L/3
NILSSON Jessica pL/3
NORONHA Anderson
pF
OBJOIS Laurent
pF
REBOUCO Alexandre
pF L/3
ROBARD Gilles
pF FL/4 L/4
RODRIGUES David p
FL/3
ROLLAND Steve
pF L/3
SAINT MARTIN Amaury
pF L/4
SAVIN Kévin
pF FL/4 L/4
Nom & Prénom Cas de Charge
p=,gS et F=2,gSL.TOMASINI Jimmy
pF FL/3 L/3
TRINH - DO Do Thu Khoa
pF FL/4 L/4
USMATI Lucas pFL/3
VATELOT Charles p
F FL/3 L/3
� � ������������������
���������������������������� � ����������������������� � ������ � ������������������������ � � � � � � � ���������� �����
�����������
��� �������������������������� �����
����� ����������������������������������������������
����������� � � ����������������
�� ����� �!� ��"�#�� �$"�%"�����
����������������������������������������
�&� ��'���()�&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&�#���&� ��**���+��(��,�-�����)���-�*�����+.�*�/�&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&�#��
!"!� #����� ����������� $ ���$��������%�����������������������!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�&��#&� �)�� �-� (����� ���������� ��� *����������-� +�� ��� ������� +����+�.��&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&�%��
&!"!� '�$���������������(������������!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�(��
&! !� ��������������� ������������������� ����������!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�)��
&!&!� '������� ��������� �� ������*+,�-.�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�/��
&!(!� '�$���������������0���������������� $ ���!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�/��
&!)!� ����� ���������0 ������ ������� �� ���������� ���������� ���!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�1��
&!)!"!� �������������0 ������ ������� �� ������*2����.�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"4�&!)! !� ����� ����� �� ������0 ������ ������*2����.�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"4�
�%&� �)���-�(���������������&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&�����
(!"!� 5 �������������������� ������������ �������������������� ����!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!""��
(! !� �������������0 ������ ������$�������������!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ��
(! !"!� 5 �� $��������6 ������� �����3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"&�(! ! !� 5 �� $���� ������������������ ������� ���7���������������6��3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"&�
�0&� ��)��.��-�+.�)1)���������((�2����+�)���).����)�&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&��%��
)!"!� ������ ������������������������������������� ���� �� �������������8���!!!!!!!!!!!!!"(��
)!"!"!� �������9#�:���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"(�)!"! !� �������9�5�;�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"(�)!"!&!� ���6��������� ���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"(�)!"!(!� �������9#�:���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�")�)!"!)!� �������9�5�;�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�")�
�
)! !� � ���������� �������������� ���� �����!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"/��
)! !"!� �������9#�:���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"<�)! ! !� �������9�5�;�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"=�
�
)!&!� >������ �������������� �� $����'�/�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"1��
)!&!"!� �������9#�:���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"1�)!&! !� �������9�5�;�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!� "�
�
)!(!� 5 �������������������6��� ���!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ��
)!(!"!� �������9#�:���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!� &�)!(! !� �������9�5�;�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!� )�
�
)!)!� 5��� � �����������������6�����!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! <��
)!)!"!� �������9#�:���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!� <�)!)! !� �������9�5�;�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!� <�
�$&� ��-��.)�-�&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&��3��3&� �--�,�)�4�&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&��5��
<!"!� ��������������� ����� �� ��!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! =��
<! !� ������������ ������������$ ����������7���������������!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! =��
<! !"!� �������9#�:���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!� =�<! ! !� �������9�5�;�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!� 1�<! !&!� �������9#�:���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�&"�<! !(!� �������9�5�;�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�& �
�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� #�"�#�� �$"�%"�����
���� �����
#����������?����������������$������� ����6����������������������@��������$���������������� ���� ��������������A��@��������������������������������� �����������������������@��������������� ��� ������� ������������ %� � � �������@� � � ������ ����� � ���������� ��� �����8��� ������� ��� � � ����� �� ����� �0��� ����� ���� � �� �!� 5�� �� $ ��� ������ � ����� %� ��������������������$������������ �����B��!�
� �������������������������������� ���������
� ������������ !"��#�$�%&�$�#�%!�"�'�%�!���%�#!�!��(�!&����
����� ������ ��������@� ����� ��$���� �������� ���� ��� ��������� ���� �� $ ��� $�������� ,�>-� ��������%������������������������0������3��
2 2
2 2
0 0
*. * ( ) *( )
L L
i i i i
i
d v d vEI dx Fv C q x x x dx
dx dxϕ= + +�� � �
������� ��������������� ����@�������������� �������������������������� ��������A���3��
( )( ) 0
fdM xT x
dx+ = � �
( )( ) 0
dT xq x
dx+ = �
������ $������������������3��
2
2
( ). * . * * 0
f
i i i i
i
d M xq v F v C
dxϕ
� �� − + + =� �� ��
� �
������� $���� ����� �0 ����� ��� ��� ���� ����� ���� ������ ����@� ����� $���� �� ����� ���������� ������ ��� ���������0������ ���3��
2 2
2 2
0 0 00
* *. * * . . .
LL L L
f f fd M d M dMdv dxv qv dx
dx dx dx dx dx
�� − = −�
� � �� � � �
������ $��������������� ������������� ������ ��� ���������0������ ����!��
2 2
2 2
00
* *. .
L Lf
f
dM d v d vM dx
dx dx dx
�� −�
� �� �
�5����������������������������� ��3��
22 2
2 2 2
0 00 0
* * *. . *. * * 0
LL L Lf f
f i i i i
i
dM d Md v d v dvM dx qv dx Fv C
dx dx dx dx dxϕ
� �− + + − + + =� �
� � � � ��� � �
�
2
2
( )( ) 0
fd M xq x
dx� − = �
� ��� ����� ��� �����
����������� � � ����������������
�� ����� �!� %�"�#�� �$"�%"�����
5��������6�������� ������0����� �� � �����%������������@������������������������������9����4�,����������� �������������� �������-@� �������������������������������������@����?� �����������������6��� �������������!������ ���$��� �������� ��������� ��������A��@����� ����������������������������������6��� ���� ������������ ����������������� ����������������������������������������!�
) ����� ��� ����������� ������ ��� ���*������������� ���
����� �������������
������ ������������������� �����@�� ���� ��6���������������� ��� ������ ��� �������� ���� ��� ������ � ��� $��� ���� ���������� ��� ������ ����� ���������!� �� �����@� ������� ������� ���� ����������� � �� � � ��������� $,�-� � ��� � � ��� ����� ��� � � �������� � �� � ��������������!������������������������������@��������������������(������������ ����$� �������7����,"-����, -�3�
���$,4-C$"������$,�-C$ �
"4 ϕ=����
������ ϕ=���
��
���
���' ������������������� �������������� ������������������0�������%�� ��������(������ �����3��
����������� ������������
) �+$!����!,!��� !"�-���� �����"�
��������������@������ $��������$��� ���������������3��
� �����
�����++= & �
�� 6�!�� ����!�7�4������3��
�����C��������������
"ϕ=��
�������������
9�����������������������������������������!�������3��
ϕ=��
������������������� �������
�
��
&" −−=
ϕϕ�
�����������������$���� $���������� �����%���������������@����������� $��������� !�������������������@����� ���� ����� ���� ��������3���������������� ���C���������������
�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� 0�"�#�� �$"�%"�����
�������� ��������� ��� �$ ���������$��� ���������3��
�� ""
&" & ������
��� −−=×�
���
� −−+ ϕ
ϕϕ�
�� ""
&" && ���
���� −−=
��
�
��
�
� −−+ ϕ
ϕϕ�
��
""
& && ����
��
ϕϕ+−−=
��
�
��
�
� −�
��
""
& ����
� ϕϕ +−−=− �
���
����
" " &
ϕϕ ++
−= �
������ $�����������@��������������$���������������0��� ����� � ������������ ����
��� �� ��������������8��!��
�� " "& "
&&
ϕϕϕϕ
−=+× �
���
++
− ���
��
��
�
�����
���
����
" "& ϕϕ +−
−−= �
���7�%��� 7!� !�7�7� !���� !� � !�6�8� ��7&�
)� ��#��%#!� %� +����!,!���"�%"�(�#,!�,��#���!��!�
#�����0�������������� ������������������ �������� �������������$ ����3��
[ ][ ]������������ = � $���3� [ ]
�
�
����
�
=
"
"
ϕ
ϕ
�
�
� ��� �
�������� @������ $������������ ����������3��
����������� ������������
�
5������������������������0��������������� D ������������ ���������$�����������������3��
"" " "& " " &
&����
���
�����
���
�������� ++
�
���
++
−−+
�
���
++
−= ϕ
ϕϕϕϕ�
��
��
�
��
�
�−+
��
�
��
�
�+−+
��
�
��
�
�+
−+�
���
�+−=
�
��
��
�
�
�
��
��
�
��
��
��
�
��
��
���
������
&
&
&
&
&&
&
"
& "
& " ϕϕ �
#�������� ������������� �������������� ������ �����@������ $�����������
�=γ !�
�������������������� γγϕγγγϕγγγγ −++−+−+−+= &&&& " & & "" �
������
�
�� 9� �� 6�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� $�"�#�� �$"�%"�����
E������ �������������������������������������������� ������@���� �������3��
[ ] 3 3 3 3 2
1
1( ) 1 3 ² 2 ( 2 ² ) 3 ² 2 ( )
2
2
v
v x l lv
ϕγ γ γ γ γ γ γ γ γ
ϕ
�� � �= − + − + − −� � � � � �
�
�
�����������$����������0����������� [ ] [ ]( ) ( ) . locv x N x U= �
)) �+�!#,�������� !����,��#��!�.�/&01�
#������������������ [ ] [ ]² ( )
( ) .²
loc
d v xx U
dxψ= @������ $��������$�!�5������������3�
�
�
���
�−+�
���
�−+�
���
�+−+�
���
�−==
���
�
���
��
���
��
���
��
���
������
���
������ (/
/"
/"
/" "
&&&ϕϕ �
�
����� $�������A������0�� �����
�=γ !�
5�����������������3��
[ ] ( ) �
���
+−+−−−= ��
�����
���
����� γγγγψ &"
"
/ &
"
/�
�'���������������������� ��3��
( )
�
�
����
�
�
���
+−+−−−=
"
"
&"
" /
&
" /
ϕ
ϕγγγγ
�
�
�����
���
�������
�������
�
�����������$����������0����������� [ ] [ ]² ( )
( ) .²
loc
d v xx U
dxψ= !�
)- �+$!����!,!��� !��2!&�#!""���� %��#�$����
#���������$�������� �0�������������� �� $ ��� $������������������� ������ ��������@������ $������������������0����������3��
[ ] [ ] [ ] [ ]0
² ² *. . ( ) . . ( ) . *
² ²
l
loc loc
d v d vEI dx x U x U
dx dxψ ψ=� �
[ ] [ ] [ ] [ ]0 0
² ² *. . . . ( ) . . ( ) . * .
² ²
l l
loc loc
d v d vEI dx E I x U x U dx
dx dxψ ψ=� � �
[ ] [ ] [ ] [ ]0 0
² ² *. . . . . ( ) . ( ) . * .
² ²
l lT T
loc loc
d v d vEI dx E I U x x U dx
dx dxψ ψ=� � �
[ ] [ ] [ ] [ ]0 0
² ² *. . . * . . . ( ) . ( ) .
² ²
l lT T
loc loc
d v d vEI dx U U E I x x dx
dx dxψ ψ=� � �
����������� � � ����������������
�� ����� �!� 3�"�#�� �$"�%"�����
[ ] [ ] [ ]0
² ² *. . . . *
² ²
lT
loc loc loc
d v d vEI dx U K U
dx dx=� �
�'����3���
[ ] [ ] [ ]0
. . ( ) . ( ) .
lT
locK E I x x dxψ ψ= � �
5�������� ������������������0������������������� ����������3��
� � �
���
−+−−−���
�
���
�
���
�
���
� (//" (//" &&
�
�
�
��������
�
�
�
����������
�
�
���
�−
�
���
�+
−
�
���
�−
�
���
�−
"4</(
<1)&
/)=
(& "
"&
" /
&
" /
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�9 �� �������� ����?��������@���� ���� ����������� ���������"�%�"4!�9������������ ���� �� �����@��������������� ������������������ ������� ��������3������!�� � :��4�
3 3 6 5 5 4
0
12 6 12 6 144 ² 72 72 36
² ²
lx x x x x
EIl l l l l l l l
� �� �− − = − − +� �� �
� � � �
�
���
+−=
�
�
���
+−=
�
�
���
+−
&&&()/
&
4()/
& &/< (=&/
"((
&
"((&/
"((
&
"((
�����
�
�
�
��
�
���
�
�
�
��
�
���
�
�
�
�
���
�=
&
"
��� �
�����!�� � :��4�
� +−−=�
���
�−�
���
�−
�
��
�
�
�
�
����
���
�
��
�
4&(()&
((=&/< /" (/�
� �
���
+−=
�
�
���
+−=
�
�
���
+−
&()
&
4&()
& (( ( (
=(
&
< (
=(
&
<
�����
�
�
�
��
�
���
�
�
�
��
�
���
�
�
�
�
���
�=
/
��� �
��
2����
����������� � � ����������������
�� ����� �!� 5�"�#�� �$"�%"�����
����!�� � :#�4�
3 3 6 5 5 4
0
12 6 12 6 114 ² 72 72 36
² ²
lx x x x x
EIl l l l l l l l
� �� �− + − = − + + −� �� �� �
� �
3 3
6 5 4 6 5 4 3 3 3
0
144 144 ² 36 144 144 ² 36 48 72 36
3 2 3 2
l
x x x l l lEI EI EI
l l l l l l l l l
� � �− + − = − + − = − + −� � � � �� � � �
�
�
3
12EI
l
� �= − � �
� �
����!�� � :%�4�
2 3 5 4 4 3
0
6 2 12 6 72 ² 36 24 12
²
lx x x x x
EIl l l l l l l l
� �� �− − = − + − +� �� �
� � � �
3 3
5 4 3 5 4 3 2 2 2
0
72 60 ² 12 72 60 ² 12 24 30 12
3 2 3 2
l
x x x l l lEI EI EI
l l l l l l l l l
� � �− + = − + = − +� � � � �� � � � �
�
2
6EI
l
� �= � �
� �
����!�� � :0�4�
2 3 5 4 4 3
0
6 4 12 6 72 ² 36 48 24
²
lx x x x x
EIl l l l l l l l
� �� �− − + = − + + −� �� �
� � � �
3 3
5 4 3 5 4 3 2 2 2
0
72 84 ² 24 72 84 ² 24 24 42 24
3 2 3 2
l
x x x l l lEI EI EI
l l l l l l l l l
� � �− + − = − + − = − + −� � � � �� � � � �
�
2
6EI
l
� �= − � �
� �
�����!�� � :$�4�
2 2 4 3 3 2
0
6 4 6 2 36 ² 12 24 8l
x x x x xEI
l l l l l l l l
� �� �− − = − − +� �� �
� � � �
3 3
4 3 2 4 3 2
0
36 36 ² 8 36 36 ² 8 12 18 8
3 2 3 2
l
x x x l l lEI EI EI
l l l l l l l l l
� � �− − + = − + = − +� � � � �� � � �
�
�
2EI
l
� �= � �
� �
�����!�� � :3�4�
2 3 5 4 4 3
0
6 2 12 6 72 ² 36 24 12
²
lx x x x x
EIl l l l l l l l
� �� �− − + = − + + −� �� �
� � � �
3 3
5 4 3 5 4 3 2 2 2
0
72 60 ² 12 72 60 ² 12 24 30 12
3 2 3 2
l
x x x l l lEI EI EI
l l l l l l l l l
� � �− + − = − + − = − + −� � � � �� � � � �
�
2
6EI
l
� �= − � �
� �
�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� ��"�#�� �$"�%"�����
����!�� � :5�4�
2 2 4 3 3 2
0
6 4 6 4 36 ² 24 24 16l
x x x x xEI
l l l l l l l l
� �� �− − = − − +� �� �
� � � �
3 3
4 3 2 4 3 2
0
36 48 ² 16 36 48 ² 16 12 24 16
3 2 3 2
l
x x x l l lEI EI EI
l l l l l l l l l
� � �− + = − + = − +� � � � �� � � �
�
�
4EI
l
� �= � �
� �
����!�� �-:��4�
3 3 6 5 5 4
0
12 6 12 6 144 ² 72 72 36
² ²
lx x x x x
EIl l l l l l l l
� �� �− + − + = − − +� �� �� �
� �
3 3
6 5 4 6 5 4 3 3 3
0
144 144 ² 36 144 144 ² 36 48 72 36
3 2 3 2
l
x x x l l lEI EI EI
l l l l l l l l l
� � �− + = − + = − +� � � � �� � � �
�
�
�
���
�=
&
"
��� �
�����!�� � :���4�
2 2 4 3 3 2
0
6 2 6 2 36 ² 12 12 4l
x x x x xEI
l l l l l l l l
� �� �− − = − − +� �� �
� � � �
3 3
4 3 2 4 3 2
0
36 24 ² 4 36 24 ² 4 12 12 4
3 2 3 2
l
x x x l l lEI EI EI
l l l l l l l l l
� � �− + = − + = − +� � � � �� � � �
�
�
4EI
l
� �= � �
� �
�
E�� �0��� ������ ���� ��� ������ � �������� � ��� � � � ������ $��� ������ � �����3
EI
l@� ��� �
������3�
[ ]2 2
3
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
loc
l l
l l l lEI
l ll
l l l l
− ��
−� =� − − −�
−� �
� �
�-��7���!���;� 7�9�� �<�=���77�� �6������!�����6�����6��������&�
�
)3 �&���������� !��2�""!,4��5!� !����,��#��!� !�#�� !%#�5��4��!�
9 �� ��������� �� ������*>����.�,� ���������� �����-�F���0��������������������������������F 0�,���� ������������$������������������������7����F�0!������� $����3�
�?-@����=�����4������ ��������������� ��7��������� $�������������� ������(�(����C G C(�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� ���"�#�� �$"�%"�����
)3 �#�����!� !��2�""!,4��5!� !����,��#��!�.65��41�7�
�' ���������� �@������ ���������� �� ������*>����.������ $������������� �� ������*>���.���������� $������� ������� ����������� ����������������6 �����7��!�' ��� ��� � ������� �@� ��� � ������ ���� � �� ������������������� ����������� ��� ��������� ����������!���=�����4������(��7���� $��������������������$���������
�����������$������ �������$��������� �����������������������C�G �C�(G �C�=��
-��7��9!� � 7�9�� �� ����!�����5=5&��
)3� �#�5#�,,!������4� !��2�""!,4��5!� !�.65��41�7�
�
���-�?� ��9���6�� A�67�-���?���?���
����� �� ���������0 ������ ��������� �� ��
����������� � � ����������������
�� ����� �!� ���"�#�� �$"�%"�����
- ������������������� ������
5������ ��� ��� �� $ ��� $������� ���� �������� ����������@� ��� ���$����� ��� ����������� ��� � �� �����6 ������������������� ����7����,�-�H����� ���������������������������� ����7����,�-������� � �� ���� �6 ����� ��� ������ ����� ��� ����� ��� ����D��� ��� ������!� 9�� �� $ ��� $������� ������������ ����������� ��� ���� ����� � � ������3� B(C!B.@C� �I� B(C� ���� � � �������� ���� �������
��� ���!� ' ��� ���� ����� ��������� � ��3� ( )* *i i i i
i
Fv C ϕ+� @� ��� �������� ������������ � �
�������� B(C� ��� ������ ��� � � $ ����� ��� � � ������ ��� ��� ��� ������� ��� %� � � ������������������� ��� �������� ���������������������������!��' ��� � � ������ ��� ���������� � ���� � � �6 ���� ��� ����� ����������� �� ������ ������� ��� � ��������3� ����� ���� $����� ���������� ���@� ����� ������� $ ���3������� ���� � !"!� ����������������$�������������������������������0�����������3�
[ ] [ ]0
*( ) . *
lT
loc locpv x dx F U− =��
- ���%�� !"��!#,!"� !����������!������!�!�� !"�(�#�!"��� ��!"�
����� � ������� ���� ���������� � � �������� ��� ��� *(���.� ���� ���������� ���@� ����� �����������0���������������� $ ���$������������������������������3��
[ ] [ ]0
*( ) . *
lT
loc locpv x dx F U− =� �
����� ����� D���� � ��� ������ ����������� ���� ������������ $ �� ����� ����$���� � ��� ��������������������������3��
3 2 3 2 3 2 3 2
3 2 3 2 3 2 2
0 0
2 3 2 2 3*( ) 1 1 1 2 2
l lx x x x x x x x x
p v x dx p v l vl l l l l l l l l
ϕ ϕ� � � � � � � �
− = − − + + − + + − + + −� � � � � � � �� � � �
� ��
�������8������������������������������3��
4 3 4 3 2 4 3 4 3
3 2 3 2 3 2 2
0 0 0 0
2 3 2 2 31 1 2 2
4 3 4 3 2 4 3 4 3
l l l l
x x x x x x x x xp v x l v
l l l l l l l l lϕ ϕ
� � � � �� = − − + + − + + − + + −� � � � � � � � � � � � �� �
�
2 221 1 2 2
2 4 3 2 2 4 3
l l l l l l lp v l l l v lϕ ϕ �� �� � � � � �
= − − + + − + + − + + −� � �� � � � � �� � � � � �
�
2 2
1 1 2 22 12 2 12
l l l lp v vϕ ϕ �� � � �� � � �
= − + + + −� � � � �� � � �� � � � � �
�
�E��������������������� ���������������������@���������$�����������3��
2 2
1
1
22 12 2 2
2
v
l l l lp
v
ϕ
ϕ
��
� � = − − −� � � �� � �
�
��
�������������������������������������#$���3�������������*(���.������������*.G���.�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� ���"�#�� �$"�%"�����
�'������������$������ ��������������3��
[ ]
2
2
2
12
2
2
loc
pl
pl
Fpl
pl
�−�
� � −�
= � � −� � � � �
�
�
-� �#�����!� !��2�""!,4��5!� %�$!��!%#�(�#�!�
9�������������������J������������� �� ������*>����.�� ��������%����$���������������*(����.!��
��
' �������������������@������ $������������$������������������� ������?-@��,C�=�������0�������-� $���� ��6 ������� ���������������� ��������3��
���
���@������ $�������������������%���������8�������� ����������� �����������������!��������@�� ������� ���0����������� �������7���@������� �0�����������������������������������������9K(@�� ������������������������ ������������ ��7���!��
����������������� �������� �����0���� �� ��� ���������� ���������������7���������������6����� ���������������������6 ������� ��������������� ��7���������������!��
����� $���� ����� ����� ���� ���� � � �� � ��� ����� $���� �6����@� ����� � � �����@��0 ���������� ��������������������������7���������������6������������������ ����������,��� ����������������������� � ������� ���������� ��� ������0����������������������7����� ��� �����$������������ ���� ���������������������7������������� ��-!�
��
�
�
�
>�������=�"�.
.
.
.
�� � � � � �
.
.
.
.
�� � � � � �
.
.
.
.
�� � � � � �
5�� ��������$��������������� $���� ��6 ������� ���������� ��������
����������� � � ����������������
�� ����� �!� �#�"�#�� �$"�%"�����
����� $���� ���������� ��� �������@� ��� ��������� ��� ������� ��� �7��� ��� ��� � �������������� ������@�������������0 ��������� ������������������ ����������������������7���������������6�!�E��� ��������0 ��������A����� �������������������� ���������� $�����6��������������������7������$ ��!�
����� $���� �������� A����� ������ �6 ���� ����������� �� $������� ���� ������� �������������������������������*(����.!�
-� �"��$!��%�!��8�#5!�#+��#��!�7�
��
-�� �"��$!�����(�#�!������%!��!��""���+��%��9% ��!���%"��#��8!�7�
���
��� ������� ������ �� ������ �� ����������� �� $��������6 ������� �����
��� ������� ������ �� ������ �� ����������� ������ ������������������ ���7���������������6��
����������� � � ����������������
�� ����� �!� �%�"�#�� �$"�%"�����
3 ���������������:������������� ;�*����������������
3 �&����������� !"���� �����"���,��!"�!��#+ %�"������������!� %��#�4�<,!�
#������� ��������� ��� �?��8�������� $������������ ���� ����������� �������� ���$ ��� �������������3�
3 �&!,��!����������7�
������������������������ $����&� ������3��
L�M����� �!��������C4������$,4-C4�L�M����� �!��������C9K ������$,9K -C4�L�M����� �!��������C9������$,9-C4�
�9 � � ����� ��� � �� ������ *2�����.� ��$����� ������C�G L&� $��� C � ��� �C(� ��� ���� ������3��C)!���
+� ���B>�!��C��7!�6��!����B0=0C��!���;��!����B(�!��C��7!�6��!����B0=�C�
3� �&!,��!���� �=�7�
������������������������ $���� � �����3��
L�M��� ��7!���� !�,���������������� ������������� ������������� ��� ����-��������������������������#�
L�M����� �!����,���������������� ���������������������� ��� ����-�����$��������$��#��9 � � ����� ��� � �� ������ *2�����.� ��$����� ������C�G L&� $��� C � ��� �C(� ��� ���� ������3��C)!���
+� ���B>�!��C��7!�6��!����B0=0C��!���;��!����B(�!��C��7!�6��!����B0=�C��
3)�+�8� !�5+�+#��!�7�
'��� ��8�������� ������ �3��
�?-@�DEE�@ ��9���6<� ��7!���� !F�G�E ��9���6���� �!���FF��
#�� ��$� �� ��� ����� ���� � �� �� ,����� ���� � ��������-� ��� � ��� �� ����� � �� � ����������������� ���������� ������������ *>����.� ��� ���� ���������� *(����.������ ����������� �������� �����������������!����� ���� ���� ���������%�� �������������� �������������� ���������%����������!�
����� $��������� ��������� ���������� ������������� ��������������� �����������!�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� �0�"�#�� �$"�%"�����
5������ ���������� ���������������������������� �� ����0 �����������0���$���� ������������������0������6 �����������?���,��� ��������������������-������0���������!�
3- �&!,��!����������7�
���
33 �&!,��!���� �=�7�
����9 ���������� ���������?��8��������*2�����.����*������.��0�����������3��
����9������� �����������?������������� �3��
L���������������� �� ���������� ���������� �� ������� ����!�L�������������� ��������������� ��������0 �������� �0 ������������� �0 ������������ ���
�7���������������6�������������� ������������������L� ��� ������ ��� ���� ������ ����� ���� ��� ���������� ����� ��� ���������� &� � �@� ���
������������0 ������������$�������@���� ���������0 ������������$������$�������������������0 ������������$�� ���������,������������ ����������������8$�� ����������� ��������������*>����.���� �����������*(����.-!�
L���� ������ ��� ���� ������ ��������������������!�#������������������ �����&� � ����������� ���� �J���� ���� ��� ������ ���������� ,����� ���� ������������ ��� ���8$�� "� ������ ��� "�������������*>����.����"�����������*(����.-!�
L�������8$���������������K�������������������� �� ������� ������ �� ������*>����.�����*(����.!��
-��7��9!� � 7����7��7���!����7�B>�!��C���!�B(�!��C&��
��������$����� ����� ����������������?��8������������ ���� ������������$�����3��
��
��� ����������� ����� �� ��
��� ����������� ����� �� ��
��� ����������� ����� �� ��������� ���� ���������� ���������?��8���
��� �������� �� ������ �� ��������� ������� ����� ������������$�����
����������� � � ����������������
�� ����� �!� �$�"�#�� �$"�%"�����
�������������� ���$�������*M�����.!� ��� � ��������� ����� ��� ������������� ���$�������*M����.� ��� ��������� ���� ������� ����������� ��� ��� �0 ������ ������� ��� ��������� ����������������������!��
����������������������$�������*M����.����� A��� �������N���������������������������� �������������� , �N���������� �0��� ������������"�N��������� � �����������-!������ $��������������� ������������������������ ������������������������!��
��
3� �#��+� %� +����!,!���!�� !����#��������
����� ����6��� ���� ������ ��� ����� $���� ���������� ���� ��������� ��� ���� ���������������������������!������ $���������������� �������� ���������� ���� ��������,"-��0�������������������0 ����!��
����� $������ ��������� ��������6 ������0������������������������0���������?C4@����� ������,��� ������$����-� ��������������������� ������������������,��� ���������-!������ $������ ������� ����6����������������������������0 ��!�
�
���
��������$��������� �������������������������������� � ��@����������0�����������������7��@� ����$� ������ ��������������������� ����$� ������ �����!�5�� �������� ���6����������������������������������������7���������������6�!�
#���� �0 ����6��� ���� ������������ ���� ������������ ���� ��� ����� ����� �������� ����� $������������� ����������H8� 6<�����������������������0���� ���������������������� ���� ������$���������������������������� ��������!�
�
��� ������� ������ �� ������ �� ��
��� ������� ������ �� ������ �� ��������� ����0 ����6���������������
��� ������� ������ �� ������ �� ��
����������� � � ����������������
�� ����� �!� �3�"�#�� �$"�%"�����
����� ������ �6�����@� � �������� ������ ����������� ������� ������������������������$������ ���� ���������!��
��������� �������������$ �������� $����������C"44��7���!�
3� �&!,��!����������7�
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-3
-2
-1
0
1x 10
-5
longueur de poutre (en mètre)
v(x
) (e
n m
ètr
e)
v
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-4
longueur de poutre (en mètre)
phi(x)
(en m
ètr
e)
phi
décalage
décalage
��� �=�7!�� � � 6����I�� ���� �7!� 6�� J� � � ��9��� 6�� A�67� !���� 8��9�� E����
���F&��5�����������%��0 ������� ��������� ��������������0 �������������7���������������6��
,���������� ��� ���$ ��-� ������0��� ������ ��������� �0��� �7��!� 5�� ��� � ��� ����� $���� 4����������������$�����0������!����7�����6� ��7�6�7���� !7���=���!��� �������;E=F�7� !�4�9������ �������������������3�
%�&�'���#()()�
*�&�'����#�+,)-���+�
9 ����������������������D�K�0$5&��D0��L!��7�%��K%5%5��L!�������������������!��9������ ������������ ������3�
O$� ��C�"!&1&1�P$� ��C�<!))4=�L44/�
9 ����������������������3K00�5&��D$��L!��7�%��K#�#���L!�������������������!����7�����6� ��7�6�7���� !7���=���!��� �������ME=F�7� !�4�9������ �������������������3�
%�.�&�'����
*�.�&�'���,#)(��-���+�
9 ����������������������D$K5%��&��L)���6�%��������������!��
�
�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� �5�"�#�� �$"�%"�����
9������ ������������ ������3�%�.�&����#)�)��
*�.�&���+#,(�/-���+�
9 ����������������������D0K$%��&��L)���6�%��K5�5#��L!�������������������!��
����N������ !�� ��� 7!�!��������6������� !�� ���!�!�� ��7!� ����� 6���6������� !�� �!�� 7�!�� ��!!�� !�6�7�;����7��=!�O��7���7�!�;���!� �I�!�;�&�
3�� �&!,��!���� �=�7�
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-8
-6
-4
-2
0x 10
-5
longueur de poutre (en mètre)
v(x
) (e
n m
ètr
e)
v
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2
-1
0
1
2x 10
-4
longueur de poutre (en mètre)
phi(x)
(en m
ètr
e)
phi
����6����I���=�7!�� ��77�� �������7� 7����7��� �;����� I���N����� <�7!���7�
7�I �8���!�;�&����7�����6� ��7�6�7���� !7���=�7��!��� �������;E=F�7� !�4�9������ �������������������3�
%�&�'���#�����
*�&�'���,#�/��-���+�
9 ����������������������D$K#���&��D0��L!��7�%��K������L!�������������������!��
9������ ������������ ������3�%�&������*�&�����
%�&������*�&����
9������ �������������������,������������J�������������0������� ��� �����-!����7�����6� ��7�6�7���� !7���=���!��� �������ME=F�7� !�4�9������ �������������������3�
%�.�&�'���#�)�)�
*�.�&�'����#�,(�-���(�
9 ����������������������D�K�$%�&��L(���6�%��K#5#5��L!�������������������!��
��
����������� � � ����������������
�� ����� �!� ���"�#�� �$"�%"�����
9������ ������������ ������3�%�.�&�����
*�.�&���#��,0-���(�
9 �����������������������K��$3&��L(���6�%���������������� ��� ��!��
����N������ !�� ��� 7!�!��������6������� !�� ���!�!�� ��7!� ����� 6���6������� !�� �!�� 7�!�� ��!!�� !�6�7�;����7��=!�O��7���7�!�;���!� �I�!�;�&�
3) �+#�(�������� %�#+"%������$!�����>�
����������������������@��������������������������A��@���� �� ����� �������� ��6 �������������������� �����,�-����� �������,�-!������� $���������������������������������������������������8����3��: ������6 ������3���C�6�C�4@ ��8������9������������ ��������3�9�C� ��8��������������0�� ��������,��������0P����-�3��C� 4�444��� ��� ����$���������3�Q�C� (44�R�K�&�
�
��������0��������,��������� �� �����-�3�3 3
4 40,2 0, 21,33 10
12 12
bhI m−×
= = = × �
�56 �������������������� �����3�
p gSρ= C� (44���1@="���4@4(�C�1("@</��K��
������� ���������3���C� Q�E9�C� ��� (44���1@="���4@4(��� �C�&</<@4(����E����������� ��������3�E�C�4@ ���4@ �C�4@4(����
3) �&!,��!����������7�
���
����������������@������ $�����������)��7���@����&� �������������@� ��� ���� ������������������ �������������� ��������!�9 ��������������� ���%������������ ����%�9K(�����0�������������� �������!�
'�������������� ��������������'�/�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� ���"�#�� �$"�%"�����
+�8������6�������!���4��
���
������ �������������� �������@��������������������������������0��� ������$ ������������ ���8�6�!�M������������� ���L @&4=!"4L)��������������$��%�4@(<)�������0�������������� ����������������� ���%�/@1) !"4L/������������� ����$��%�"@&<4������ �0������������� � �������!�
����������������������� ����������������������L4@4 &�������8����������������������������� ������������4@44<�������8�����������������������$ ���!����!�!�� �6�������!���4��
���
����� � � ������ ��� � � ������@� ����� ����� �������� ������� ���� � � $ ����� ����� �������$��%��0�������������� �������!����������� ���%�L<@&)=!"4L)�� �� ��!�������������������� � $ ������ ��� ��@� ����� ���� �� ���%�)@1"(!"4L)� � �� ������ ��� ����$�� %�4@= =��8��������0�������������� �������!�
'������������ ��������������'�/�
���������� ��������������'�/�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� ���"�#�� �$"�%"�����
3)� �&!,��!���� �=�
���
����������������@������ $�����������)��7���@������� ���������%��0�������������� �������������� ����������������0 ������B��!�9 ��������������� ���%������������ ����%�9K(�����0�������������� �������!��+�8������6�������!���4��
���
������ �������������� �������@��������������������������������0��� �����$ ����������� � ���8�6�!����������� ���L<@)/ !"4L)�������������$��%�"@4(&�������0�������������� �������!������������������������ ������������������� ��� ���������4@4</�������8�����%�"@4(&��8��������������������!��
'�������������� ��������������'�/�
'������������ ��������������'�/�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� ���"�#�� �$"�%"�����
��!�!�� �6�������!���4��
��
������ � � ������ ��� � � ������@� ����� ����� �������� ������� ���� � � $ ����� ����� ���
����$��%�4@&=)��8��������0�������������� �������!����������� ���%�L"@ "&!"4L(�� �� ��!������ ���� ��������� � � $ ������ ��� ��@� ����� ��� ����$�� %� �0���������� ��� ������� ��� ����� ������ ���%�"@ )"!"4L(�� �� ��!�
3- ���%�� %�,�,!���(�+�8�""����
�� ��� �����@� ��� � ������� ���� ��� ������� ����6��� ��� ���� ���� %� ����� � �� � ���� �����3�
2
2
( )( ) fM xd v x
dx EI= �
���������� ������@����������������������$���S,�-���������S,�-������ �����$������$,�-!�' ���� �� ����� �� ����������F����0���������������� �������� ��������$ ���3�
�
0
( ) ( )'( ) lim
( ) .
( )
f
f
f x f xf x
diff M
diffM
l
avec l
ϕ
ϕ
∆→
+ ∆ −=
∆
= ∆
=
∆ =
�
������� �������������� �� �������������� ����������������3�
( )( ) .
2
( )( ) .
2
f
ext
f
ext
M x hx
I
M x hx
I
σ
σ
= ±
=
�
��������������� �$ ����� ������������,�-�������� �������� !��
����� ������� ��������������6��� ���������������� �� ��� ���� ��������, -@� �0����������������� �0 ����@� $��@� ����������� � � ������� ,"-@� �������������� �����������PC4@� � ������� ����������� ������������ � �� ��� ��� ����� ����� ��� ���� ������ ������������ � �� ������� ������$����!��
���������� ��������������'�/�
F����0�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� �#�"�#�� �$"�%"�����
��
3- �&!,��!����������7�
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-500
0
500
1000
longueur de poutre (en mètre)
Mf(
x)
(en N
.m)
Mf
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
2
4
6x 10
5
longueur de poutre (en mètre)
sig
ma m
ax(x
) (e
n P
a)
sigma max
����7�����6� ��7�6�7���� !7���=���!��� ��������8E=F�7� !�4��9�������������6��� �������� ������3�
%12&����#+�+��
*12&���00�#��()�
�
9�������������6��� �������� ���������$ ���33��-&��%��K0�0���L!�������0�������������� �������!��9�������������6��� ���������������3�
%12&�'���#�����
*12&�'���(��#�����
�
;� �����������������6��� ������������ ��%��K������L!�������0�������������� �����������$ ���3�D%���-&�!��
��� ������� ������ �� ������ �� ��
����������� � � ����������������
�� ����� �!� �%�"�#�� �$"�%"�����
��7�����6� ��7�6����� !���=�������7�I�����=�7� !�4��9 ������ ���������� ��� ���3�
%3�!&&����#+�+��
*3�!&&���+#0/��-���+�
9 � ����� ���������� ������%��K0�0���L!��� ��� �0������������� � �������� ��� $ ����K05��*�&������ !�8��N�77� !�7��7��+�$�4��
��
���������������������������������6��� ��@������������ ������������������ �������@�
� ��� ��� ����� ��� �� �� ��$� �� ��� � � ��8�6�� ,= (� �K�-@� �������� �� ���� ���������� ��� � ��������,L("4��K�-!���� !��� !��7��7��+�$�4��
��
' ��� ������ �������@� ����� $���� �������� ���� $ ������ �������@� ����� J���� ��������� ����� $����'�/@������������ �������������$ ������������$���,��������������������4�%�4@= ������������������������4@= �%� -!�
�9 ������ ������ ��� �������%�4@/"=4��� �%�4@)��8��������0�������������� �������!��
�����������6��� ���������'�/�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� �0�"�#�� �$"�%"�����
3-� ��&!,��!���� �=�7�
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2000
-1000
0
1000
longueur de poutre (en mètre)
Mf(
x)
(en N
.m)
Mf
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
5
10
15x 10
5
longueur de poutre (en mètre)
sig
ma m
ax(x
) (e
n P
a)
sigma max
����7�����6� ��7�6�7���� !7���=���!��� ��������8E=F�7� !4��9�������������6��� �������� ������3�
%12&����#,,,0�
*12&���+��#�/)+�
�9�������������6��� �������� ������%��K$$$3��L!�������0�������������� �����������$ ���0��&��50�-&�!��9�������������6��� ���������������3�
%12&�'���#�����
*12&�'����#(0+,-�����
�9�������������6��� ���������������%��K������L!�������0�������������� �����������$ ���D�%30�-&�!����7�����6� ��7�6����� !���=�������7�I�����=�7� !�4��9 ������ ���������� ��� ���3�
%3�!&&����#�����
*3�!&&����#��,0-���,�
�9 � ����� ���������� ������%��K������L!��� ��� �0������������� � �������� ��� $ ����K����*�!�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� �$�"�#�� �$"�%"�����
���� !7�8��N�77� !�7��7��+�$�4��
���
������������������ ���������� ����6��� ��� ��� ��� ����$�������� �0��� ������������ � ���8�6�@������������� ��%��0�������������� ��������,L"<4<��!�-����� ��� �� ����$� ������ ���8�6��,)/&��!�-!���� !��� !��7��7��+�$�4��
��
' ��� ������ �������@� ����� $���� �������� ���� $ ������ �������@� ����� J���� ��������� ����� $����'�/@������������ �������������$ ������������$���,��������������������4�%�4@(������������������������4@(�%� -!�
�9 ������ ������ ��� ����������"@ =��� ��%��0�������������� �������!�
��
�����������6��� ���������'�/�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� �3�"�#�� �$"�%"�����
33 �,��#��"��� !"� !%&�,+�8� !"�
33 �&!,��!����������7�
�
�� �� � �� �� �'�/�
+�8����!�� ����!���E� ���F������ L4@4 ")/=� 4@4 &4=�
� ��� 4@44<))4=�4@44/1) �
��!�!�� �6�������!���E� ���6@��PD0F������ L/@=( � L<@&)=�
� ��� )@/(41� )@1"(�
���� !�8��N�77� !�E� �-&�F������ L("4� L("4�
� ��� << � = (�
�� !��� !��E� ����F� � ��� 4@)"� 4@/ ��
�
33� �&!,��!���� �=�7�
�
�� �� � �� �� �'�/�
+�8����!�� ����!���E� ���F� ����� L4@4/&1� 4@4<)/ �
��!�!�� �6�������!���E� ���6@��PD%F������ L"@4/("� L"@ "&�
� ��� "@4"/<� "@ )"�
���� !�8��N�77� !�E� �-&�F������ L"(<)� L"<4<�
� ��� )4"@"� )/&�
�� !��� !��E� ����F� � ��� "@""� �"@ =�
������ ��������� ���� � �����@� ��� ��� ����� ����������� �0��� ���$��%����� ������ ���
���N�����6��������� ������������6����!�5�� ��������$������ ������ ��������������7��������� � ��� ��� ����� ����� �� �� ��� � �� ��8��� ,����� �0��� ��� ���� T�� � �-� ��� � ����� ����'�/�, �������� �������� �����@� ������ ������6������������@�U-!�
> �� �������
�� ����������@� ����� $���� ���� ������� ��� �������� ����� ��� � ����� � �� � ����6���� � �?������ ���� ��� ������ ��� �����8��� ��� ��� ���$���� �� ������ � � ����� �� ����� � �� �@���������������� �����������$�������� �������������������������,�'�/-!�
������� ���������������� ������ �� ������ �� �@���������������������������������� ����� ��������� �� ����� ���� ���N� ����������� %� �� ������ ��� � �?�����!� 9 ������ �� ���������� ���������0�$��������� ������ ������ ��������� � ���������� �����!�'������@���� ����������������������? ������ ������ �� ��������������0 � ��������� �����������������!��
����� ��� ����� � �� ��� ����� ������@� ��� ��� ��� ����LJ���� � ���� � �� � � ���6���� � �?�����@� � ��� �� ������� ��� � � �� ��� ����� ���� ��������� ����� ������������0 ���� ��� ������ ��� ������ �� ������ �� ����$���������� �����!�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� �5�"�#�� �$"�%"�����
? ��������7�
? �#+��"�����#�5#�,,!������4�
9������� ����� �� ���� ����������������� ���������� ����������������������� $���"������� ��� ����� ��������� ���� ������ � � ������@� "� ������ ����������� %� �� ���� �I� ��� $���� ��� �� ����0 �����@����������������� ��������@������0���$����%��� �����I����$���!�
��������������� �����@������������0 � ������ �� ���������� ������ ���� �����6 ����!����������� ������� A����������� ���������� ���������������������������� ������ �� ���������������������� �� ��������� �� ������2����,2�-!�9������� ��������� � �����!�
?� �!"�� %��#�5#�,,!�"%#� !"�$��!%#"� !��9% "� �((+#!��"�
*����-?5�4��9����� � ���,������������-@����%��0 ������� ���������7���������������6�@�������8���� ���� �������������!�
?� �&!,��!����������7�
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-4
-2
0
2x 10
-5
longueur de poutre (en mètre)
v(x
) (e
n m
ètr
e)
v
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-4
longueur de poutre (en mètre)
phi(x)
(en m
ètr
e)
phi
�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� ���"�#�� �$"�%"�����
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-500
0
500
1000
longueur de poutre (en mètre)
Mf(
x)
(en N
.m)
Mf
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
20
40
60
80
longueur de poutre (en mètre)
sig
ma m
ax(x
) (e
n P
a)
sigma max
�
?�� �&!,��!���� �=�7�
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-8
-6
-4
-2
0x 10
-5
longueur de poutre (en mètre)
v(x
) (e
n m
ètr
e)
v
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2
-1
0
1
2x 10
-4
longueur de poutre (en mètre)
phi(x)
(en m
ètr
e)
phi
�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� #��"�#�� �$"�%"�����
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2000
-1000
0
1000
longueur de poutre (en mètre)
Mf(
x)
(en N
.m)
Mf
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
50
100
150
longueur de poutre (en mètre)
sig
ma m
ax(x
) (e
n P
a)
sigma max
�
����������� � � ����������������
�� ����� �!� #��"�#�� �$"�%"�����
*����-?�����4��9����� � ������%��0 ������� ���������7���������������6����$������������ ����� ���������� ��!�
?�) �&!,��!����������7�
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-3
-2
-1
0
1x 10
-5
longueur de poutre (en mètre)
v(x
) (e
n m
ètr
e)
v
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-4
longueur de poutre (en mètre)
phi(x)
(en m
ètr
e)
phi
�
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-500
0
500
1000
longueur de poutre (en mètre)
Mf(
x)
(en N
.m)
Mf
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
20
40
60
80
longueur de poutre (en mètre)
sig
ma m
ax(x
) (e
n P
a)
sigma max
��
����������� � � ����������������
�� ����� �!� #��"�#�� �$"�%"�����
?�- �&!,��!���� �=�7��
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-8
-6
-4
-2
0x 10
-5
longueur de poutre (en mètre)
v(x
) (e
n m
ètr
e)
v
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2
-1
0
1
2x 10
-4
longueur de poutre (en mètre)
phi(x)
(en m
ètr
e)
phi
�
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2000
-1000
0
1000
longueur de poutre (en mètre)
Mf(
x)
(en N
.m)
Mf
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
50
100
150
200
longueur de poutre (en mètre)
sig
ma m
ax(x
) (e
n P
a)
sigma max
�� �7���� 6�����!���;�����7�6��=��=����7K����������7��� ��9���6�� A�67����7��7!������!� !K���7��7���7�!�!7�7� !������7�E�!�7���������N� !�6�����=�6��
�+�$FK����7�����6� ��6�7�!���7�6�������9����������7�� I&�