PROJETO GEOMÉTRICO DE
RODOVIAS
Curso: 7º Período - Engenharia de Agrimensura e Cartográfica
Prof. Paulo Augusto F. Borges
CÁLCULO DE VOLUMES
Em um projeto de estradas, uma das
principais metas é encontrar uma solução que
permita a construção de uma estrada com o menor
movimento de terras possível, cumprindo as normas
vigentes para um traçado racional.
O custo do movimento de terra é significativo em
relação ao custo total da estrada.
O equilíbrio entre volumes de cortes e aterros,
minimizando empréstimos e/ou bota-foras acarreta em
menores custos de terraplenagem.
CÁLCULO DE VOLUMES
1. Introdução
Sendo assim, para o engenheiro projetista de
estradas, uma das principais metas durante a elaboração
de um projeto é encontrar uma solução que permita a
construção da estrada com o menor movimento de terras
possível.
Uma vez que o terreno como se encontra na natureza não é
adequado ao tráfego de veículos, este deve ser substituído
por uma superfície projetada, considerando a segurança, o
conforto e o desempenho dos veículos.
CÁLCULO DE VOLUMES
1. Introdução
Ao conjunto de operações que permitem essa
transformação, dá-se o nome de terraplenagem, a qual é
executada com as seguintes etapas:
Desmatamento e limpeza da faixa a ser usada pela
estrada;
Raspagem da vegetação superficial;
Execução de estradas de serviço;
Escavação do solo que se encontra acima da cota de
projeto;
Transporte do material escavado;
CÁLCULO DE VOLUMES
1. Introdução
Aterro nos locais onde o terreno está abaixo do projeto;
Compactação dos aterros;
Conformação das plataformas, taludes e bermas;
Abertura de valas para serviços de drenagem;
Abertura de cavas para fundações de obras civis.
Entre os diferentes itens citados, os que mais pesam
na composição do custo final da terraplenagem são:
escavação (m³), transporte (m³/km) e compactação (m³ de
aterro pronto).
CÁLCULO DE VOLUMES
1. Introdução
Definido o traçado da estrada e o perfil longitudinal
do terreno, são levantadas as seções transversais do
terreno.
CÁLCULO DE VOLUMES
2. Seções Transversais do terreno
Após o projeto do greide, da superelevação e da
superlargura, temos a definição da plataforma da estrada.
Plataforma, terreno natural, taludes e bermas formam o
polígono chamado de seção transversal do projeto, que
deve ser calculada para cada estaca do projeto.
CÁLCULO DE VOLUMES
2. Seções Transversais do terreno
CÁLCULO DE VOLUMES
2. Seções Transversais do terreno
CÁLCULO DE VOLUMES
3. Cálculo das Áreas das Seções
O cálculo das áreas das seções transversais do
projeto é o primeiro passo para a obtenção dos volumes.
Quando a seção é totalmente em corte ou em aterro,
calcula-se simplesmente a área do polígono e com este
valor calcula-se o volume ou de corte ou de aterro.
Se a seção é mista, deve-se obter as áreas de corte
e aterro de forma independente.
O cálculo das áreas pode ser feito por qualquer
método informatizado. Dois processos são práticos e
eficientes, e são facilmente programados:
CÁLCULO DE VOLUMES
3. Cálculo das Áreas das Seções
a. Pela fórmula de Gauss:
𝐴 =1
2∙ 𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑦1 − 𝑦1𝑥2 + 𝑦2𝑥3 + ⋯ + 𝑦𝑛𝑥1
b. Pela divisão em figuras geométricas:
Divide-se a seção em vários trapézios, calcula-se a
área de cada um e soma-se.
CÁLCULO DE VOLUMES
4. Cálculo dos Volumes
O cálculo do volume de terra a mover numa estrada, é
realizado supondo a existência de sólidos geométricos, cujo
volume pode ser facilmente calculado.
Os sólidos geométricos usualmente considerados são
os prismóides formados entre duas seções transversais,
geralmente locadas em cada estaca.
CÁLCULO DE VOLUMES
4. Cálculo dos Volumes
CÁLCULO DE VOLUMES
O volume do prismóide apresentado na figura anterior
pode ser calculado mediante a seguinte equação:
𝑉 =𝐿
6∙ 𝐴1 + 4 ∙ 𝐴𝑚 + 𝐴2
onde 𝐴1 e 𝐴2 são as áreas das seções transversais
extremas, 𝐴𝑚 é a área da seção transversal no ponto médio
entre 𝐴1 e 𝐴2, e 𝐿 é a distância entre as seções 𝐴1 e 𝐴2.
4. Cálculo dos Volumes
CÁLCULO DE VOLUMES
Comumente utiliza-se uma fórmula aproximada para o
cálculo dos volumes dos prismóides, chamada de fórmula das
áreas médias, ou método da semi-distância:
𝑉 =𝐿
2∙ 𝐴1 + 𝐴2
Obtém-se valores exatos para os volumes quando
ambas as seções são iguais. Para outras condições, os
resultados são ligeiramente diferentes, com erro em torno de
2%.
4. Cálculo dos Volumes
CÁLCULO DE VOLUMES
O diagrama de massas, ou de Bruckner, facilita a
análise da distribuição dos materiais escavados.
Essa distribuição corresponde a definir a origem e o
destino dos solos e rochas objeto das operações de
terraplenagem, com indicação de seus volumes, classificação
e distâncias médias de transporte.
Após o cálculo das áreas das seções transversais do
projeto e os volumes dos prismóides, pode-se preparar uma
tabela de volumes acumulados, que servirá de base para a
construção do diagrama.
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
5. Diagrama de Massas
CORTE ATERRO AT. CORRIGIDO CORTE ATERRO CORTE ATERRO
VOLUME
ACUMULADO (m³)ESTACA
ÁREAS (m²) SOMA DAS ÁREAS (m²) SEMI-DISTÂNCIA
(m)
VOLUME (m³) COMPENSAÇÃO
LATERAL (m)
CÁLCULO DE VOLUMES
O diagrama de massas (ou de Brückner), facilita a
análise da distribuição dos materiais escavados, permitindo o
enfoque gráfico.
Vantagem: possibilidade de se estudar a distribuição
dos volumes de terra com rapidez e precisão aceitáveis,
auxiliando no cálculo da distância média de transporte.
Para a construção do diagrama, calculam-se
inicialmente as chamadas Ordenadas de Brückner.
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
Limitações do Método:
Considera-se que a massa de terra encontra-se
concentrada no perfil correspondente;
A movimentação interna ao perfil não é considerada.
Ordenadas:
Volumes de Corte são Positivos;
Volumes de Aterro são Negativos.
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
Compensação Lateral:
É obtida automaticamente quando do cálculo das
ordenadas de Brückner, pois os volumes de corte e de
aterro são considerados em cada seção, de forma que o
acréscimo ou decréscimo nas ordenadas será dado pela
diferença entre os dois volumes considerados.
As ordenadas calculadas são plotadas, de preferência
sobre uma cópia do perfil longitudinal do projeto.
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
No eixo das abscissas é colocado o estaqueamento e
no eixo das ordenadas, numa escala adequada, os valores
acumulados para as ordenadas de Brückner, seção a seção.
Os pontos assim marcados, unidos por uma linha
curva, formam o Diagrama de Brückner.
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
CÁLCULO DE VOLUMES
Fator de Homogeneização de Volumes
5. Diagrama de Massas
𝐹ℎ =𝛾𝑆𝑐𝑜𝑚𝑝
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
CÁLCULO DE VOLUMES
Fator de Homogeneização de Volumes
𝐹ℎ =𝛾𝑆𝑐𝑜𝑚𝑝
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑚𝑝= massa específica aparente seca após a
compactação no aterro
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒= massa específica aparente seca do material no
corte de origem
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
Fator de Homogeneização de Volumes
O fator de homogeneização é aplicado sobre os
volumes de aterro, como um multiplicador. Na prática, é
utilizado um fator de segurança de 5%, de modo a compensar
as perdas que ocorrem durante o transporte dos solos e
possíveis excessos na compactação dos mesmos. Logo
temos:
𝐹ℎ = 1,05 ∙𝛾𝑆𝑐𝑜𝑚𝑝
𝛾𝑆𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
Propriedades do Diagrama de Massas
1. O diagrama de massas não é um perfil. A forma do
diagrama de massas não tem nenhuma relação com a
topografia do terreno.
2. Inclinações muito elevadas das linhas do diagrama
indicam grandes movimentos de terras.
3. Todo trecho ascendente do diagrama corresponde a um
trecho de corte (ou predominância de cortes em seções
mistas).
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
Propriedades do Diagrama de Massas
4. Todo trecho descendente do diagrama corresponde a um
trecho de aterro (ou predominância de aterros em seções
mistas).
5. A diferença de ordenadas entre dois pontos do diagrama
mede o volume de terra entre esses pontos.
6. Os pontos extremos do diagrama correspondem aos
pontos de passagem (PP).
7. Pontos de máximo correspondem à passagem de corte
para aterro.
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
Propriedades do Diagrama de Massas
8. Pontos de mínimo correspondem à passagem de aterro
para corte.
9. Qualquer horizontal traçada sobre o diagrama determina
trechos de volumes compensados (volume de corte =
volume de aterro corrigido). Esta horizontal, por
conseguinte, é chamada de linha de compensação (ou
linha de terra). A medida do volume é dada pela diferença
de ordenadas entre o ponto máximo ou mínimo do trecho
compensado e a linha horizontal de compensação.
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
Propriedades do Diagrama de Massas
10. A posição da onda do diagrama em relação à linha de
compensação indica a direção do movimento de terra.
Ondas positivas (linha do diagrama acima da linha de
compensação), indicam transporte de terra no sentido do
estaqueamento da estrada. Ondas negativas indicam
transporte no sentido contrário ao estaqueamento da
estrada.
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
Propriedades do Diagrama de Massas
11. A área compreendida entre a curva de Brückner e a linha
de compensação mede o momento de transporte da
distribuição considerada.
12. A distância média de transporte de cada distribuição pode
ser considerada como a base de um retângulo de área
equivalente à do segmento compensado e de altura igual à
máxima ordenada deste segmento.
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
Propriedades do Diagrama de Massas
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
Propriedades do Diagrama de Massas
Para a determinação do ponto de passagem (PP) entre duas
seções procede-se da seguinte maneira:
5. Diagrama de Massas
𝑑1
𝑑2=
ℎ𝑎
ℎ𝑐
CÁLCULO DE VOLUMES
Propriedades do Diagrama de Massas
5. Diagrama de Massas
𝑑1
𝑑1 + 𝑑2=
ℎ𝑎
ℎ𝑎 + ℎ𝑐
𝑑1 = 𝑑 ∙ℎ𝑎
ℎ𝑎 + ℎ𝑐
CÁLCULO DE VOLUMES
Momento de transporte
Define-se Momento de Transporte como o produto dos
volumes transportados pelas distâncias médias de transporte,
da seguinte maneira:
𝑀 = 𝑉 ∙ 𝑑𝑚
𝑀 = Momento de transporte, em m³.dam ou m³.km;
𝑉 = Volume natural do solo, em m³;
𝑑𝑚 = Distância média de transporte, em dam ou km
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
Momento de transporte
Quando é executado um transporte de solo de um corte
para um aterro, as distâncias de transporte se alteram a cada
viagem, sendo necessária, a determinação de uma distância
média de transporte, que deverá ser igual à distância entre os
centros de gravidade dos trechos de corte e aterros
compensados.
O método mais utilizado para estimativa das distâncias
médias de transporte entre trechos compensados é o método
do Diagrama de Brückner.
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
Momento de transporte
O método nos fornece meios simplificados para o
cálculo de dm. Toma-se a metade da altura da onda de
Bruckner e traça-se uma horizontal nesta altura. A distância
média de transporte é a distância entre os pontos de
interseção desta reta com o diagrama, medida na escala
horizontal.
O momento de transporte é igual à área da onda de
Brückner, que pode ser estimada pelo produto da altura da
onda 𝑉 pela distância média de transporte 𝑑𝑚 , como é
apresentado na figura a seguir:
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
Momento de transporte
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
5. Diagrama de Massas
CÁLCULO DE VOLUMES
5. Diagrama de Massas