1
Qualche appunto sulle trasformazioni affini.
Due definizioni di affinità.
Def.1 – si dice affinità una corrispondenza biunivoca tra punti del piano !! ":A che ha
come invarianti l’allineamento dei punti e il parallelismo.
Osservazioni –
* Ad una affinità si chiede di trasformare rette in
rette e rette parallele in rette parallele.
* Conserverà l’appartenenza di un punto ad una
retta e dunque anche il punto d’intersezione tra
rette.
* Conserverà il punto medio di un segmento.
Esempio – di trasformazioni affini sono le ombre proiettate la raggi di luce paralleli, come
ad esempio quelle del Sole, o la proiezione parallela di un piano su di un altro. Vedi figura 1.
Controesempi:
1. le ombre proiettate da una lampada (cioè
da una sorgente posta a distanza finita) che
mantengono l’allineamento, ma non il
parallelismo (vedi figura 2.)
2. le immagini formate in uno specchio
concavo che non mantengono neppure
l’allineamento.
Figura 1.
Figura 2.
2
Def.2 – si dice affinità tra il piano p e il piano p’ la corrispondenza biunivoca ': !! "A
che ad ogni punto P del piano p di coordinate (x,y) fa corrispondere il punto P’ del piano
p’ anch’esso di coordinate (x,y).
Interpretazione geometrica – Si considera il
piano p dotato di un riferimento ),,( 21 eeO e p’
di un sistema )',',( 21 eeO ai quali sono riferite le
coordinate di P e P’ rispettivamente. Vedi figura
3.
Esercizio – rappresentare nei due piani i punti
corrispondenti A e A’ di coordinate (1, 2) , i
punti B e B’ di coordinate (-1, 3) e C’ e C’ (3, 3).
Quale punto corrisponde a O(0,0) ? e a E1 (1,0) ?
e a E2(0, 1) ?
Tracciare le rette passanti perA,B; disegnare il triangolo ABC e il corrispondente A’B’C’.
Cosa si osserva?
Figura 3. ….. e confronto tra le due definizioni. La prima definizione può essere così sintetizzata:
1e
2e
O
O’ '1e
'2e
Si trasforma la figura sul piano ),,( 21 eeO
3
La seconda definizione può essere illustrata dal seguente schema:
Equazioni delle affinità.
Rivediamo le equazioni delle trasformazioni che conosciamo, evidenziando la forma
matriciale.
Isometrie
* Identità !"#
=
=
yy
xx
'
' !
"
#$%
&!"
#$%
&=!
"
#$%
&
y
x
y
x
10
01
'
'
* Simmetria di asse x : !"#
$=
=
yy
xx
'
'. !
"
#$%
&!"
#$%
&
'=!
"
#$%
&
y
x
y
x
10
01
'
'
* Simmetria di asse y : !"#
=
$=
yy
xx
'
'. !
"
#$%
&!"
#$%
&'=!
"
#$%
&
y
x
y
x
10
01
'
'
P∈π
(O,e1, e2)
(x, y)
(O’, e’1, e’2)
P’∈π’
P∈π
(O, e1 , e2)
(x, y)
!"#
++=
++=
22221
11211
'
'
cyaxay
cyaxax (x’, y’)
P’∈π
Si trasforma il piano p nel piano p’ e ne consegue la trasformazione della figura
4
* Simmetria di asse y=x : !"#
=
=
xy
yx
'
'. !
"
#$%
&!"
#$%
&=!
"
#$%
&
y
x
y
x
01
10
'
'
* Simmetria rispetto all’origine : !"#
$=
$=
yy
xx
'
'. !
"
#$%
&!"
#$%
&
'
'=!
"
#$%
&
y
x
y
x
10
01
'
'
Omotetia !"#
=
=
kyy
kxx
'
' !
"
#$%
&!"
#$%
&=!
"
#$%
&
y
x
k
k
y
x
0
0
'
'
Dilatazioni !"#
=
=
hyy
kxx
'
'
!"
#$%
&!"
#$%
&=!
"
#$%
&
y
x
h
k
y
x
0
0
'
'
Sono tutte della forma :
!"
#$%
&!"
#$%
&=!
"
#$%
&
y
x
aa
aa
y
x
2221
1211
'
'.
La matrice A= !"
#$%
&
2221
1211
aa
aa è quindi una funzione A: � → �
che al punto P !"
#$%
&
y
x fa corrispondere il punto P’ !
"
#$%
&
'
'
y
x:
!"
#$%
&
2221
1211
aa
aa : !
"
#$%
&
y
x→ !
"
#$%
&
'
'
y
x.
Ci si può chiedere:
1. se una qualsiasi matrice di questo tipo rappresenti sempre un’affinità.
2. se tutte le affinità sono rappresentabili mediante una matrice
1. La matrice, per rappresentare un’affinità, deve fornire una corrispondenza biunivoca:
questo significa che il sistema corrispondente deve essere risolubile anche in x, y.
5
Il sistema sarà determinato se il determinante della matrice A è diverso da zero.
In questo caso posso scrivere x e y in funzione di x’ e y’ :!"#
++=
++=
FEyDxy
CByAxx
''
''.
Una trasformazione lineare applicata ad una equazione di primo grado non può che dare
un’altra equazione di primo grado, dunque la trasformazione A trasforma rette in rette.
Date due rette parallele 0: =++ pbyaxr
0: =++ qbyaxs
Applichiamo ad esse la trasformazione A.
Risulterà:
0)''()''(:' =++++++ pFEyDxbCByAxar e quindi
( ) ( ) 0'':' =++++++ pbFaCybEaBxbDaAr
0)''()''(:' =++++++ qFEyDxbCByAxas e quindi
( ) ( ) 0'':' =++++++ qbFaCybEaBxbDaAr .
I coefficienti angolari delle trasformate sono ancora eguali, e quindi la trasformazione
trasforma rette parallele in rette parallele.
3. Vale il teorema (che diamo senza dimostrazione): tutte le affinità sono rappresentabili
mediante una matrice
6
Composizione di trasformazioni Il linguaggio delle matrici per descrivere le affinità si rivela particolarmente utile quando si devono comporre due o più trasformazioni (ci occupiamo solo di quelle che lasciano fisso l’origine).
Siano !"
#$%
&=
22
11
ba
baA e !
"
#$%
&=
22
11
dc
dcB due matrici che rappresentano le due
trasformazioni. I sistemi lineari corrispondenti sono:
!"#
+=
+=
!"#
+=
+=
ydxcy
ydxcx
ybxay
ybxax
22
11
22
11
''
''
'
'
Componendo le due trasformazioni si ottiene :
!"#
+++=
+++=
)()(''
)()(''
222112
221111
ybxadybxacy
ybxadybxacx
!"#
+++=
+++=
)()(''
)()(''
22122212
21112111
bdbcyadacxy
bdbcyadacxx
che equivale alla scrittura matriciale:
!"
#$%
&•!
"
#$%
&
++
++=!
"
#$%
&
y
x
bdbcadac
bdbcadac
y
x
22122212
21112111
''
'' ; !
"
#$%
&=!
"
#$%
&
y
xC
y
x
''
'', cioè !
"
#$%
&!"
#$%
&!"
#$%
&''
''
''
'
'
y
x
y
x
y
x BA
Quindi la composizione del le due trasformazioni σ e ω , la prima di matrice A e la seconda di matrice B, è una trasformazione ω .σ di matrice C ottenuta dal prodotto del le matrici .AeB Quindi
=!"
#$%
&•!
"
#$%
&=•
22
11
22
11
ba
ba
dc
dcCAB !
"
#$%
&
++
++
22122212
21112111
bdbcadac
bdbcadac
Da qui la regola del prodotto di matrici “righe per colonne”. N.B.: il prodotto di matrici deve essere eseguito nell’ordine inverso rispetto alle trasformazioni applicate. E’ facile provare che la composizione di due trasformazioni non è commutativa (come non lo è in generale la composizione di funzioni) e che anche il prodotto di matrici non è commutativo.
7
Esercizio: Scrivere la matrice che esprime la trasformazione ω : simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante e σ : omotetia di rapporto 3. Verificare che il prodotto di trasformazioni non è commutativo.
Una proprietà fondamentale del la matrice di trasformazione.
La notazione matriciale risulta particolarmente comoda in virtù della seguente proprietà:
il versore 1e si trasforma in '
0
1
1
21
11
2221
1211e
a
a
aa
aa=!
"
#$%
&=!
"
#$%
&'!"
#$%
&
e il versore 2e si trasforma in '
1
0
2
22
12
2221
1211e
a
a
aa
aa=!
"
#$%
&=!
"
#$%
&'!"
#$%
&.
Vale a dire che i vettori colonna della matrice dell’affinità sono le componenti dei versori
della nuova base.
Quindi i vettori colonna forniscono i vettori (O’, e’1, e’2) della nuova “quadrettatura” del piano trasformato.
Esercizio – Data l’affinità di matrice A : !!
"
#
$$
%
&
'
'
2
31
12
1. quali sono i trasformati dei vettori !"
#$%
&=0
1
1e e !
"
#$%
&=1
0
2e ?
2. disegnare la nuova quadrettatura del piano ottenuto
3. rappresentare le rette che passano per A (2,1) e B (-1, 2) e il triangolo di vertici AOB e i
loro trasformati.
8
Affinità, matrici e determinanti
Dati due vettori 3Rbea !
rr :
kjbibb
kjaiaarrrr
rrrr
0
0
21
21
++=
++=
1. Un’ interpretazione geometrica del determinante:
• l’area del paralle logrammo definito dai due vettori è !sinab , quindi si può esprimere
come il modulo del prodotto vettoriale !sin|| abba ="rr
:
• Calcoliamo il prodotto vettoriale:
kbabakbakba
jjbaijbajibaiibakjbibkjaiabarrr
rrrrrrrrrrrrrrrr
)(
)()()()()0()0(
12211221
221221112121
!=!
="+"+"+"=++"++="
Quindi |||| 1221 bababa !="rr
: questa espressione rappresenta l’area del parallelogrammo.
N.B.: Forma cartesiana del prodotto vettoriale. Dati i vettori ),( 21 aaa e ),( 21 bbb il
prodotto vettoriale ( )1221
21
21
1
1
2
2
21
21
0
0
0
0
0
0 babakbb
aak
b
aj
b
ai
bb
aa
kji
ba !=+!==" .
Def.: Data la matrice !"
#$%
&=
2221
1211
aa
aaA si definisce determinante della matrice l’espressione
21122211aaaaADet != , che si indica con
2221
1211
aa
aaDetA = .
Possiamo quindi concludere che
b
a α
9
Il determinante della matrice della trasformazione è uguale all’area del
parallelogrammo, con segno, costituito dai vettori trasformati dei vettori
fondamentali e1, e2 .
Da qui :
Area del parallelogrammo = 0 ⇔ 01221=!= babaADet
In questo caso non si è in presenza di un’Affinità.
2. Un’altra interpretazione geometrica del determinante:
siano r e s due rette, passanti per O e che hanno per vettori direzione rispettivamente
2Rbea !
rr. Le equazioni sono:
xb
bys
xa
ayr
1
2
1
2
:
:
=
=
Quindi: 00|| 1221
1
2
1
2 =!="!=! ADetbabab
b
a
asr .
La condizione 0=ADet equivale alla condizione di parallelismo dei due versori base '
1e e
'2e e quindi non si è in presenza di un’affinità.
Conclusione: Le trasformazioni affini nel piano ( ameno delle traslazioni) sono rappresentate da tutte e sole le matrici A di ordine 2 con Det A ! 0.
N.B.: Osserviamo che ci sono affinità che lasciano invariato l’orientamento degli angoli, per
esempio le rotazioni, e affinità che lo invertono, ad esempio le simmetrie assiali. Un’affinità
che conserva l’orientamento si dice affinità diretta e il suo determinate risulta positivo,
un’affinità che inverte l’orientamento si dice af finità inversa e il suo determinante risulta
negativo. In sintesi:
Affinità diretta Det A > 0
Affinità inversa Det A < 0.
N.B.: le figure che si corrispondono in una affinità hanno le aree in rapporto costante
uguale a DetA .