MÉCANIQUEQUANTIQUECOURS 10 – RÉSONANCE MAGNÉTIQUE NUCLÉAIREQUENTIN GLORIEUX3P001 – UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE 2015-2016
QUIZZ
A. AB. d
C. dsaD. vxcE. wq
| i hSzi = h |Sz| i| i P+
On considère une particule de spin 1/2 (comme l’électron) dont l’état de spin est décrit par le ket . On appelle la valeur moyenne de Sz dans l’état et la probabilité que la mesure de Sz donne le résultat +h/2.Quelles sont les 2 expressions correctes ?
RÉSUMÉ
Résonance magnétique nucléaire 3
MOMENTMAGNÉTIQUENUCLÉAIRE• On a vu que l’électron porte un moment magnétique intrinsèque
• Qu’en est il pour le noyau ?• Le proton porte un spin :
Mais ce spin est négligeable devant celui de l’électron :
• On a : et
Résonance magnétique nucléaire 4
~µe = �e~Se�e ' 2
qe2me
= �2qp2me
Spz = ±~2
mp � me |�p| ⌧ |�e| |µpz| ⌧ |µez|
�p ' 5.59qp2mp
�n ' �3.83qp2mp
RÉSONANCEMAGNÉTIQUENUCLÉAIRE
1. Sphère de Bloch
2. Opérateur rotation
3. Principe de la RMN
4. Applications de la RMN
Résonance magnétique nucléaire 5
SYSTEMEADEUXETATSETSUPERPOSITION
6
En dimension deux, on a de façon générale :
Pour décrire cet état, on utilise unereprésentation géométrique : la sphère de Bloch :
| i = cos
�✓2
�|0i + ei� sin
�✓2
�|1i
SPIN1/2Dans la base les matrices de Pauli sont :
Quelle est la projection de sur le vecteur ?
sont vecteurs propres dede valeurs propres
On a
et
Résonance magnétique nucléaire 7
Sx
=~2
✓0 11 0
◆Sy =
~2
✓0 �ii 0
◆Sz =
~2
✓1 00 �1
◆{|+iz, |�iz}
~S ~u
|+i~u, |�i~u ~S.~u±~/2
ˆ~S.~u =
~2
✓cos ✓ e�i'
sin ✓ei' sin ✓ � cos ✓
◆
UTILITÉDELASPHEREDEBLOCH
Résonance magnétique nucléaire 8
On peut toujours décrire l’état quantique d’un spin 1/2 par un point sur la sphère de Bloch :
A une phase globale pres, on peut ecrire :
L’état est entierement déterminé par (à une phase globale près) par la connaissance de
SPHEREDEBLOCH
A.B.C.D.
On considère deux vecteurs unitaires diamétralement opposés sur la sphère de Bloch ( ). On appelle respectivementet , les vecteurs d’états associés. Quelle est la valeur du produit scalaire hermitien entre les deux vecteurs d’état ?
~u0 = �~u | i = |+i~u| 0i = |�i~u0
h 0| i = �1
h 0| i = 0
h 0| i = 1/p
(2)
h 0| i = 1
RÉSONANCEMAGNÉTIQUENUCLÉAIRE
1. Sphère de Bloch
2. Opérateur rotation
3. Principe de la RMN
4. Applications de la RMN
Résonance magnétique nucléaire 10
OPÉRATEURROTATION
On en déduit la forme matricielle :
On peut vérifier l’unitarité de .Résonance magnétique nucléaire 11
ˆR↵ =
✓e�i↵/2
0
0 ei↵/2
◆= exp
⇣�i
↵
~ˆSz
⌘
R↵
ROTATIOND’UNSPIN1/2
A.B.
C.D.
On applique une rotation d’un angle 2pi à un spin 1/2 intialement dans l’état avec . On appelle et l’état du systeme et sa valeur moyenne après la rotation de 2pi.Quelles sont les 2 propositions correctes ?
| i hSi = h |S| i | 0i hS0i
| 0i = | i| 0i = �| i
hS0i = hSihS0i = �hSi
RÉSONANCEMAGNÉTIQUENUCLÉAIRE
1. Sphère de Bloch
2. Opérateur rotation
3. Principe de la RMN
4. Applications de la RMN
Résonance magnétique nucléaire 13
SPIN½DANSUNCHAMPUNIFORMEOn a vu l’effet de précession de Larmor.Le Hamiltonien s’écrit :Pour le proton :
L’effet d’un champ magnétique sur un protonest de lever la dégénerescence des états + et –
Résonance magnétique nucléaire 14
H0 = �B0µz = ��B0Sz = !0Sz
��B0Sz = !0 < 0
H0 =~!0
2
✓1 00 �1
◆
DISPOSITIFEXPERIMENTAL• Création d’un champ magnétique B0 • Ajout d’une petite composante oscillante B1(t) l’aide de bobines en
configuration de Helmholtz
Résonance magnétique nucléaire 15
HAMILTONIENDUPROBLEME
Résonance magnétique nucléaire 16
RÉFÉRENTIELTOURNANTOn se place dans un référentiel tournantautour de l’axe z à la fréquence Dans ce référentiel, le champ B1 tournantsera fixe.Quelle est la rotation que l’on doit faire subirà l’état pour faire cette transformation ?
Résonance magnétique nucléaire 17
!
| (t)i
EQUATIONDESCHRODINGERDANSLEREFERENTIELTOURNANTOn a :On cherche une équation de la forme :avec un Hamiltonien effectif indépendant du temps.
Résonance magnétique nucléaire 18
| (t)i = R(t)| (t)ii~d| (t)i
dt= Heff (t)| (t)i
Heff (t) = R(t)H(t)R†(t) + i~dR(t)
dtR†(t)
Heff
= =~2
✓!0 � ! !1
!1 �(!0 � !)
◆= (!0 � !)S
z
+ !1Sx
INTERPRETATIONDUHAMILTONIENEFFECTIFOn aurait pu trouver ce résultat immédiatement à l’aide d’un raisonement géométrique :
Le Hamiltonien effectif donne naissance à un champ magnétique effectif
Précession de Larmor autour de Beff à la fréquence (fréquence de Rabi)
Résonance magnétique nucléaire 19
Heff
= =~2
✓!0 � ! !1
!1 �(!0 � !)
◆= (!0 � !)S
z
+ !1Sx
Dans le référentiel tournant, le champ B1 est fixe et reste aligné selon l’axe x
Dans le référentiel tournant la fréquence de précession de Larmor autour de B0 n’est plus mais !0 !0 � !
Heff = �� ~S. ~Beff
| ~Beff | = |⌦/�|
⌦ =q(!0 � !)2 + !2
1
⌦
ANIMATION
Résonance magnétique nucléaire 20
PROBABILITÉDETRANSITIONOn cherche à résoudre
avec
On pose On a alors puis
On en déduit :
Proba de mesurer –h/2 sur Sz :
Résonance magnétique nucléaire 21
Heff =~2
✓!0 � ! !1
!1 �(!0 � !)
◆i~d| i
dt= H| i
| i = b+(t)|+i+ b�(t)|�i
| (t)i
GÉOMÉTRIEDANSLASPHEREDEBLOCH
Résonance magnétique nucléaire 22
OSCILLATIONSDERABIOn a vu :
Or (cf quizz) :
On a donc
Résonance magnétique nucléaire 23
P�(t) =!21
⌦2sin2 ⌦t/2
⌦ =q(!0 � !)2 + !2
1
! = !0! 6= !0
SPECTROSCOPIEPARRMNOn a vu :
En moyenne temporelle :
Résonance magnétique nucléaire 24
P�(t) =!21
⌦2sin2 ⌦t/2 ⌦ =
q(!0 � !)2 + !2
1
P = P�(t) =1
2
!21
(!0 � !)2 + !21