RACIOCÍNIO LÓGICO:
CONTEÚDO
1 Conceitos básicos de raciocínio lógico: proposições; valores lógicos das
proposições; sentenças abertas; número de linhas da tabela verdade;
conectivos; proposições simples; proposições compostas.
2 Tautologia.
Disciplina –Raciocínio Lógico- Professor – Vinicyus Paz
Lógica do grego logiké – ciência do raciocínio.
1. Conceitos Básicos:
Proposição – é toda expressão que encerra um pensamento de sentido
completo e pode ser classificada como VERDADEIRA ou FALSA.
Indica-se as proposições por letras minúsculas p, q, r, s, t,…
2. Exemplos:
p:O Sol é uma estrela (V)
q:Todo ser vivo é um mamífero (F)
r: 5 + 3 = 7 (F)
- O objetivo da lógica é reconhecer/eliminar um raciocínio falso.
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Quais das afirmações seguintes são
proposições? Classificar cada proposição
como V ou F:
a) 4 + 2 = 6
b) 2 + 9> 15
c) x + 5 = 6
d) x + y = 10
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PRINCÍPIOS BÁSICOS DAS PROPOSIÇÕES
1. Princípio do terceiro excluído
Uma proposição só pode ser verdadeira ou
falsa, não havendo outra alternativa.
TRECHO BÍBLICO
Mateus 5:37 – “Seja, porém, o vosso falar: Sim,
sim; Não, não; porque o que passa disto é de
procedência maligna.”
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PRINCÍPIOS BÁSICOS DAS PROPOSIÇÕES
2. Princípio da não-contradição
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa
ao mesmo tempo.
Exemplo:
A bola é redonda e a bola não é redonda.
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O AMOR SUPERA OS LIMITES DA LÓGICA...
Soneto
(Luís de Camões)
Amor é um fogo que arde sem se ver,
é ferida que dói, e não se sente;
é um contentamento descontente,
é dor que desatina sem doer.
É um não querer mais que bem querer;
é um andar solitário entre a gente;
é nunca contentar se de contente;
é um cuidar que ganha em se perder.
É querer estar preso por vontade;
é servir a quem vence, o vencedor;
é ter com quem nos mata, lealdade.
Mas como causar pode seu favor
nos corações humanos amizade,
se tão contrário a si mesmo é o Amor?
NEGAÇÃO DE UMA
PROPOSIÇÃO
• Dada uma
proposição p, a
negação de p será
indicada por ~p.
p ~p
V F
F V
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p: 8 ≠ 5 (V) ~p: 8 = 5 (F)
q: 5 < 3 (F) ~q: 5 ≥ 3 (V)
r: 2 não é um número primo (F)
~r: 2 é um número primo (V)
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EBS (É BOM SABER...)
~(~p) = p
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Pinóquio (Shrek Terceiro)
(O Rei da Negação da Negação)
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PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Chamamos de proposição composta a
determinadas combinações que podemos
formam com proposições simples, que estão
ligadas entre si por conectivos.
As proposições compostas são classificadas
do tipo conectivos lógicos.
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PROPOSIÇÃO COMPOSTA
DISJUNTIVA - DISJUNÇÃO Dadas as proposições p e q podemos formar a
proposição composta disjuntiva “p ou q”,
representada por “p q”.
Ex.: 1) 2 é um número irracional ou um número
real.
2) 3 é um número ímpar ou um número
composto.
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TABELA VERDADE
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
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EXERCÍCIO
Classifique em V ou F:
- Dilma é a presidente do Brasil ou Dalai Lama
está morto.
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PROPOSIÇÃO COMPOSTA
CONJUNTIVA - CONJUNÇÃO
• Dadas as proposições p e q podemos
formar a proposição composta conjuntiva
“p e q”, representada por “p q”.
Ex.:
1) Platão foi filósofo e matemático.
2) 5 - 6 = 1 3 + 6 = 9
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TABELA VERDADE OU TABELA DE VALORES
LÓGICOS
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
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EXERCÍCIO
Classifique em V ou F:
- Obama é o presidente do EUA e Serra é o
presidente do Brasil.
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PROPOSIÇÃO CONDICIONAL
(IMPLICAÇÃO) Observe a implicação: “Se o pássaro canta, então ele
está vivo.”
1. Se a 1ª for verdadeira (o pássaro canta), a 2ª terá
que ser verdadeira (ele está vivo).
2. Se a 1ª for falsa (o pássaro não canta) a 2ª tanto
pode ser verdadeira (ele está vivo) como pode ser falsa
(ele está morto).
3. Assim, no exemplo dado, a proposição é FALSA se,
e somente se, “o pássaro canta e ele está morto”.
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Dadas as proposições p e q podemos formar a
condicional “se p então q”, representada por
“p q”, que será falsa apenas quando a
primeira for verdadeira e a segunda falsa.
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TABELA VERDADE
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
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OBSERVAÇÕES:
1. A implicação pode ser lida das seguintes maneiras:
Se p então q.
p implica q.
p somente se q.
p é condição suficiente para q.
q é condição necessária para p.
q se p.
“p obriga q”.
p acarreta q.
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PROPOSIÇÃO BICONDICIONAL (EQUIVALÊNCIA)
Dadas as proposições p e q podemos formar a
proposição bicondicional “p se somente se q”,
representada por “p q”, que será verdadeira
sempre que os valores lógicos forem iguais.
Observe que a equivalência produz uma dupla
implicação.
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Anne será aprovada no concurso se e somente
se ela estudar
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TABELA VERDADE
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
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NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
NEGAÇÃO DA CONJUNÇÃO
Para se negar uma proposição composta
conjuntiva, nega-se as duas subproposições e
troca-se o conectivo lógico de “e” para “ou”.
~(p q) = ~ p ~ q
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NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO
Para se negar uma proposição composta
disjuntiva, nega-se as duas subproposições e
troca-se o conectivo lógico de “ou” para “e”.
~(p q) = ~ p ~ q
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NEGAÇÃO DA CONDICIONAL
Para se negar uma implicação, conserva-se a
primeira, nega-se a segunda e troca-se o
conectivo de “se ... então” para “e”.
~(p q) = p ~ q
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NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL
Para se negar uma equivalência, basta negar
uma única componente.
~ (p q) = ~ p q = p ~ q
Outra forma de negação: “p e não q ou q e não
p” (negação da equivalência)
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ORDEM DE PRECEDÊNCIA DAS OPERAÇÕES
1º ~
2º
3º V
4º
5º
EBS: O parêntese pode mudar essa ordem.
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TABELA DE EQUIVALÊNCIAS E
NEGAÇÕES
CONECTIVOS EQUIVALÊNCIAS NEGAÇÕES
p V q ~p q~p ~q
p qq p
~p V ~q
p q 1º. ~q ~p
2º. ~p v qp ~q
p qp q q p
1º. ~ p q
2º. p ~q
3º. (p ~q) v (q ~p)
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QUANTIFICADORES
Os quantificadores são usados para
transformar sentenças abertas em
proposições.
Há dois tipos de quantificadores que podem
ser utilizados:
Quantificador Universal ()
Quantificador Existencial ()
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QUANTIFICADOR UNIVERSAL
• É indicado pelo símbolo (), que
se lê: “qualquer que seja”, “para
todo”, “todo”, “para cada”.
• Ex.:1) p: x; x 2 + 1 > 0 (verdade)
• 2) q: x; x + 3 = 7 (falso)
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QUANTIFICADOR EXISTENCIAL
• É indicado pelo símbolo (), que se lê:
“existe”, “existe pelo menos um”, “existe
um”, “algum”.
• Ex.: 1) p: x; x + 1 = 7 (verdade)
• 2) q: x; x2 + 1 < 0 (falso)
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NEGAÇÃO DOS
QUANTIFICADORES:
O “sangue latino”
fervendo em nossas
veias nos atrapalha ao
pensar em negação dos
quantificadores (ou
tudo ou nada).
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NEGAÇÃO DE SENTENÇAS QUANTIFICADAS
Para se negar uma sentença quantificada,
trocamos de quantificador e negamos a
sentença.
1. A negação de x; p(x) é x; ~p(x).
2. A negação de x; q(x) é x; ~q(x).
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EXEMPLOS
Ex1) A negação de x R; x 0 é:
x R; x > 0.
2) ~(x > 0; x + 1 = 3) x > 0; x + 1 3.
3) A negação de “todo coelho usa óculos” é:
“existe pelo menos um coelho que não usa
óculos” ou “nem todo coelho usa óculos”.
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Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não
necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia
e Psicologia. Uma delas realizou seu curso em Belo
Horizonte, a outra em Florianópolis, e a outra em
São Paulo. Márcia realizou seu curso em Belo
Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice não
realizou seu curso em São Paulo e não fez
Medicina. Assim, cursos e respectivos locais de
estudo de Márcia, Berenice e Priscila são, pela
ordem:
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a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em SãoPaulo.b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em SãoPaulo.c) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em SãoPaulo.d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, Psicologia emFlorianópolis.e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, Psicologia emFlorianópolis.
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Ricardo, Mateus e Lucas são três amigos que cursam faculdades de medicina, engenharia e direito. Cada um dos três usa um meio diferente de transporte para chegar à faculdade: ônibus, automóvel e bicicleta. Para descobrir o que cada um cursa e o meio de transporte que utilizam, temos o seguinte: - Mateus anda de bicicleta; - Quem anda de ônibus não faz medicina; - Ricardo não cursa engenharia e Lucas estuda direito.
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Ricardo, Mateus e Lucas são três amigos que cursam faculdades de medicina, engenharia e direito. Cada um dos três usa um meio diferente de transporte para chegar à faculdade: ônibus, automóvel e bicicleta. Para descobrir o que cada um cursa e o meio de transporte que utilizam, temos o seguinte: - Mateus anda de bicicleta; - Quem anda de ônibus não faz medicina; - Ricardo não cursa engenharia e Lucas estuda direito.
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Considerando as conclusões:
I. Lucas vai de ônibus para a faculdade de
direito.
II. Mateus estuda medicina.
III. Ricardo vai de automóvel para a
faculdade.