PACOTE DE TEORIA E EXERCCIOS PARA BACEN PROFESSOR: GUILHERME NEVES
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Aula 1 Proposies ................................................................................................................................................... 2
Leis do Pensamento ................................................................................................................................... 4
Modificador .................................................................................................................................................. 13
Proposies simples e compostas ...................................................................................................... 14
Conjuno p q ........................................................................................................................................ 16
Disjuno Inclusiva p q ........................................................................................................................ 18
Disjuno Exclusiva p q ....................................................................................................................... 20
Condicional p q ...................................................................................................................................... 21
Bicondicional p q .................................................................................................................................. 22
Nmero de linhas de uma tabela-verdade ...................................................................................... 24
Tautologia .................................................................................................................................................... 34
Contradio ................................................................................................................................................. 37
Contingncia ............................................................................................................................................... 39
Relao das questes comentadas .................................................................................................... 55
Gabaritos ...................................................................................................................................................... 64
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Ol pessoal!
Vamos comear o curso de Raciocnio Lgico para o BACEN. Veremos toda a parte terica nas duas primeiras aulas e, para sedimentar a teoria, resolveremos exerccios de outras bancas. Nas duas ltimas aulas, resolveremos em torno de 100 questes da CESGRANRIO. importante que voc estude as duas aulas e, em seguida, tente resolver sozinho as questes das duas ltimas aulas, antes de estudar as minhas resolues.
Proposies
Nosso principal objeto de estudo sero as proposies. E o que so proposies lgicas?
H vrias definies nos livros de lgica e cada banca adota textos diferentes para definir as proposies. Quando estava escrevendo meu livro de Raciocnio Lgico (Raciocnio Lgico Essencial Editora Campus) me preocupei em utilizar uma definio que englobasse um acordo entre livros e bancas organizadoras. Cheguei seguinte definio:
Chama-se proposio toda orao declarativa que pode ser valorada em verdadeira ou falsa, mas no as duas.
Vamos analisar os termos desta definio.
Sendo orao, deve possuir sujeito e predicado.
Desta forma, expresses do tipo:
Os alunos do Ponto dos Concursos.
No so consideradas proposies (pois no h predicado).
Sendo declarativa, no pode ser exclamativa, interrogativa, imperativa ou optativa.
Desta forma, as expresses abaixo no so consideradas proposies.
i) Que belo dia! (exclamativa) ii) Qual o seu nome? (interrogativa) iii) Leia isto atenciosamente. (imperativa indica ordem) iv) Que Deus te abenoe. (optativa exprime desejo).
Para comear, o conjunto de palavras deve ser uma orao declarativa, por exemplo:
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O Ponto dos Concursos obteve um grande ndice de aprovao no concurso para AFRFB 2009.
Outro ponto a ser analisado na definio que a orao declarativa deve poder ser classificada em V ou F, mas no as duas.
Vejamos alguns exemplos de oraes declarativas que no podem ser classificadas em V ou F.
A frase dentro destas aspas falsa.
Vamos tentar classificar em verdadeiro ou falso. Se dissermos que esta proposio verdadeira, teremos uma contradio pois ser verdade que a frase falsa, logo a frase falsa. Se dissermos que a proposio falsa, teremos novamente uma contradio. Se assim o fizermos, ento ser falso que a frase dentro daquelas aspas falsa, portanto, a frase verdadeira. Assim, a proposio no pode ser nem verdadeira nem falsa. O que conclumos? Que esta frase no uma proposio lgica.
Observao: Frases contraditrias como esta so comumente denominadas de paradoxos.
Um paradoxo famoso o de Eubulides que declarou: Eu sou mentiroso.
Ora, o paradoxo de Eubulides no pode ser uma proposio lgica.
Se dissermos que a frase de Eubulides verdadeira, ento verdade que ele um mentiroso e, portanto, no pode declarar uma verdade. Contradio!
Se dissermos que a frase falsa, ento falso que ele um mentiroso. E se ele no um mentiroso, a frase no pode ser falsa (portanto, verdadeira). Novamente uma contradio.
Assim, a frase Eu sou mentiroso no uma proposio lgica.
Estes exemplos no so proposies lgicas porque no podem ser nem verdadeiros nem falsos.
Um importante tipo de sentena que no proposio a chamada sentena aberta ou funo proposicional.
Exemplo:
+ 5 = 10
No d para julgar esta frase em verdadeiro ou falso, simplesmente porque no possvel descobrir o valor de x. Se x valer 5, de fato, + 5 = 10.
Caso contrrio, se x for diferente de 5, a igualdade acima est errada.
x uma varivel, pode assumir inmeros valores.
Quando a sentena possui uma varivel, ns dizemos que ela uma sentena aberta. Ela tem um termo que varia, o que impede julg-la em verdadeiro ou falso. Logo, no proposio.
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Vejamos outro exemplo de sentena aberta:
Ele ganhou o Oscar de melhor ator em 2001.
Ora, no sabemos quem ele. Portanto, no podemos classificar esta frase em V ou F.
Se ele for Russel Crowe, ento a frase verdadeira.
Se ele for qualquer outra pessoa que no Russel Crowe, ento a frase falsa.
Como no sabemos quem ele, no podemos classificar a frase e, portanto, no considerada uma proposio.
Em tempo: costume na Lgica apelidar as proposies com letras do alfabeto. Por exemplo:
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Leis do Pensamento
Assim como a Filosofia, a Sociologia, a Economia e outras cincias, a Lgica tambm possui diversas escolas. A Lgica tratada neste curso a chamada Lgica Aristotlica (Lgica Formal, Lgica da Forma) e toda a sua estrutura fundamentada nas seguintes Leis do Pensamento.
1. Princpio da identidade
Se uma proposio qualquer verdadeira, ento ela verdadeira. "Cada coisa aquilo que ." (Gottfried Leibniz)
2. Princpio do terceiro excludo
Toda proposio tem um dos dois valores lgicos: ou verdadeiro ou falso, excluindo-se qualquer outro.
"Quem diz de uma coisa que ou que no ou dir o verdadeiro ou dir o falso. Mas se existisse um termo mdio entre os dois contraditrios nem do ser nem do no ser poder-se-ia dizer que o que no ." (Aristteles)
3. Princpio de no contradio
Uma proposio no pode ser, simultaneamente, verdadeira e falsa.
"Efetivamente, impossvel a quem quer que seja acreditar que uma mesma coisa seja e no seja" (Aristteles)
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O princpio da identidade afirma que uma proposio no pode ser mais verdadeira do que outra. No existem patamares de verdade. Na Lgica Aristotlica, todas as proposies verdadeiras, assim como todas as proposies falsas, esto em um mesmo nvel.
O princpio do terceiro excludo estabelece que s existem dois valores lgicos. Assim, por exemplo, a proposio p (Existe vida fora da Terra) s pode assumir uma das duas possibilidades, V ou F, excluindo-se um hipottico valor lgico talvez, no lembro ou pode ser.
O princpio de no contradio decreta que uma proposio no pode ser simultaneamente V e F. Assim, se uma proposio verdadeira, j temos certeza de que ela no pode ser falsa, e reciprocamente.
O valor lgico de uma proposio p indicado por V(p). Por exemplo, se a proposio p for falsa, indicamos V(p) = F.
(BB1/2007/Cespe) Na lgica sentencial, denomina-se proposio uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas. Assim, frases como Como est o tempo hoje? e Esta frase falsa no so proposies porque a primeira pergunta e a segunda no pode ser nem V nem F. As proposies so representadas simbolicamente por letras maisculas do alfabeto A, B, C, etc. Uma proposio da forma A ou B F se A e B forem F, caso contrrio V; e uma proposio da forma Se A ento B F se A for V e B for F, caso contrrio V. Considerando as informaes contidas no texto acima, julgue o item subsequente. 01. Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies. A frase dentro destas aspas uma mentira. A expresso X + Y positiva.
O valor de 734 =+ . Pel marcou dez gols para a seleo brasileira. O que isto? Resoluo A frase dentro destas aspas uma mentira. uma orao declarativa, mas no pode ser classificada em verdadeiro ou falso. Se tentarmos classific-la como verdadeira, teremos uma contradio. Se classificarmos como falsa, temos uma nova contradio, pois falso dizer que a frase dentro daquelas aspas mentira, e, portanto, ela seria verdadeira.
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Logo, a frase A frase dentro destas aspas uma mentira no uma proposio lgica. A expresso X + Y positiva. uma sentena aberta e no pode ser valorada em V ou F, pois no conhecemos os valores de X e Y. As frases p: O valor de 734 =+ e q: Pel marcou dez gols para a seleo brasileira so proposies, pois se constituem em oraes declarativas e que assumem apenas um dos dois valores lgicos V ou F.
O que isto? uma frase interrogativa e, portanto, no uma proposio. O item est errado porque h exatamente duas proposies.
02. (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas tm uma mesma caracterstica lgica em comum, enquanto uma delas no tem essa caracterstica.
I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocnio lgico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia.
A frase que no possui essa caracterstica comum a a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. Resoluo A frase I exclamativa. A frase II no possui predicado, no sendo assim uma orao. A frase III interrogativa e a frase V imperativa. Portanto a caracterstica comum entre as frases I, II, III e V que elas no so proposies. A nica proposio a frase IV, pois uma orao declarativa, que podemos classificar em V ou F, apesar de no sabermos o seu valor lgico. Letra D
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03. (BB2/2007/Cespe) Uma proposio uma afirmao que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas. As proposies so usualmente simbolizadas por letras maisculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R, etc. Se a conexo de duas proposies feita pela preposio e, simbolizada usualmente por , ento se obtm a forma PQ, lida como P e Q e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrrio, F. Se a conexo for feita pela preposio ou, simbolizada usualmente por , ento se obtm a forma PQ, lida como P ou Q e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrrio, V. A negao de uma proposio simbolizada por P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. A partir desses conceitos, julgue o prximo item. H duas proposies no seguinte conjunto de sentenas:
(I) O BB foi criado em 1980. (II) Faa seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. Resoluo
As frases (I) e (III) so proposies, pois so oraes declarativas. A frase (II) imperativa e, portanto, no uma proposio. O item est certo.
(SEBRAE 2010/CESPE-UnB) Para os itens seguintes, sero consideradas como proposies apenas as sentenas declarativas, que mais facilmente so julgadas como verdadeiras V ou falsas F , deixando de lado as sentenas interrogativas, exclamativas, imperativas e outras. As proposies sero representadas por letras maisculas do alfabeto: A, B, C etc.
[...] Sentenas como x + 3 = 5, Ele um poltico, x jogador de futebol so denominadas sentenas abertas; essas sentenas, como esto, no podero ser julgadas como V ou F, pois os sujeitos, no caso, so variveis. Essas expresses tornam-se proposies depois de substituda a varivel por elemento determinado, permitindo o julgamento V ou F.
[...] Tendo como referncia as informaes do texto, julgue os itens de 04 a 06. 04. Entre as frases apresentadas a seguir, identificadas por letras de A a E, apenas duas so proposies. A: Pedro marceneiro e Francisco, pedreiro. B: Adriana, voc vai para o exterior nessas frias? C: Que jogador fenomenal! D: Todos os presidentes foram homens honrados. E: No deixe de resolver a prova com a devida ateno. Resoluo A frase A est OK. uma orao declarativa que pode assumir valores V ou F.
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A frase B uma frase interrogativa. Portanto, no proposio. A frase C exclamativa. Portanto, no proposio. A frase D est OK. uma orao declarativa que pode assumir valores V ou F. A frase E imperativa. Portanto, no proposio. Portanto, h apenas duas proposies: A e D. O item est certo. 05. As frases Transforme seus boletos de papel em boletos eletrnicos e O carro que voc estaciona sem usar as mos so, ambas, proposies abertas. Resoluo
Para que uma frase seja uma sentena aberta, o sujeito deve ser uma varivel.
A primeira frase imperativa. Portanto no proposio.
A segunda frase no tem sentido completo. O que aconteceu com este carro? No se trata de uma proposio lgica, pois estas devem possuir sentido completo.
O item est errado.
06. Considere a seguinte sentena aberta: x um nmero real e x2 > 5. Nesse caso, se x = 2, ento a proposio ser F, mas, se x = 3, ento a proposio ser V. Resoluo Vamos substituir os valores dados na sentena aberta. Fazendo = 2; 2 um nmero real e 2, > 5 uma proposio falsa, pois 4 < 5. Fazendo = 3; 3 um nmero real e (3), > 5" uma proposio verdadeira, pois 9 > 5. O item est certo. 07. (TRT 17 Regio 2009/CESPE-UnB) Proposies so frases que podem ser julgadas como verdadeiras V ou falsas F , mas no como V e F simultaneamente.
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[...] A partir das informaes do texto, julgue o item a seguir. A sequncia de frases a seguir contm exatamente duas proposies. - A sede do TRT/ES localiza-se no municpio de Cariacica. - Por que existem juzes substitutos? - Ele um advogado talentoso. Resoluo A primeira frase uma orao declarativa e que, mesmo que no saibamos, pode ser classificada em V ou F. A segunda frase interrogativa. No proposio. A terceira frase uma sentena aberta. Ele um termo que varia. Esta frase no pode ser classificada em V ou F. No proposio. O item est errado. 08. (ICMS-SP/2006/FCC) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
II. 5
x y+ um nmero inteiro.
III. Joo da Silva foi o secretrio da Fazenda do Estado de So Paulo em 2000. verdade que APENAS: a) I e II so sentenas abertas. b) I e III so sentenas abertas. c) II e III so sentenas abertas. d) I uma sentena aberta. e) II uma sentena aberta. Resoluo A frase I uma sentena aberta, pois Ele pode, nesta questo, estar se referindo a um homem qualquer. No podemos classific-la em V ou F, pois no sabemos sobre quem estamos falando. A frase II , sem dvida, uma sentena aberta, pois h duas variveis e infinitos valores que podem tornar a frase verdadeira ou falsa.
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J a frase III no uma sentena aberta, pois facilmente podemos verificar o sujeito e classific-la em V ou F. Se quiser classificar esta proposio em V ou F, basta fazer uma rpida pesquisa no Google (rss). Letra A
09. (MRE 2008/CESPE-UnB) Proposies so sentenas que podem ser julgadas como verdadeiras V , ou falsas F , mas no cabem a elas ambos os julgamentos.
[...]
Considerando as informaes acima, julgue o item abaixo.
Considere a seguinte lista de sentenas:
I - Qual o nome pelo qual conhecido o Ministrio das Relaes Exteriores?
II - O Palcio Itamaraty em Braslia uma bela construo do sculo XIX.
III - As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui so, respectivamente, x e y.
IV - O baro do Rio Branco foi um diplomata notvel.
Nessa situao, correto afirmar que entre as sentenas acima, apenas uma delas no uma proposio.
Resoluo.
A sentena I interrogativa. Perguntas, exclamaes, ordens, desejos, expresses de sentimentos e/ou opinio, tudo isso no pode ser classificado como proposio. So todos exemplos de frases que no podem ser julgados em verdadeiro ou falso, no sendo classificados como proposio.
Na sentena II temos uma expresso de sentimento, de opinio sobre o Palcio do Itamaraty. Algum est dizendo expressando sua opinio de que o Palcio belo. Novamente, no proposio.
Na sentena III, temos duas variveis (x e y).
Quando temos variveis, estamos diante de uma sentena aberta, que no pode ser julgada em verdadeiro ou falso.
Logo, no uma proposio.
Na sentena IV, temos outra expresso de opinio. Tambm no proposio.
O item est errado.
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10. (FINEP 2009/CESPE-UnB) Acerca de proposies, considere as seguintes frases:
I Os Fundos Setoriais de Cincia e Tecnologia so instrumentos de financiamento de projetos.
II O que o CT-Amaznia?
III Preste ateno ao edital!
IV Se o projeto for de cooperao universidade-empresa, ento podem ser pleiteados recursos do fundo setorial verde-amarelo.
So proposies apenas as frases correspondentes aos itens
a) I e IV.
b) II e III.
c) III e IV.
d) I, II e III.
e) I, II e IV.
Resoluo.
A frase II interrogativa, no podendo ser julgada em V ou F.
A frase III uma frase imperativa, que tambm no proposio.
Logo, so proposies as frases I e IV.
Letra A
11. (TCE-PB/2006/FCC) Sabe-se que sentenas so oraes com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relao seguinte h expresses e sentenas:
1. Trs mais nove igual a doze. 2. Pel brasileiro. 3. O jogador de futebol. 4. A idade de Maria. 5. A metade de um nmero. 6. O triplo de 15 maior do que 10.
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correto afirmar que, na relao dada, so sentenas apenas os itens de nmeros
a) 1,2 e 6. b) 2,3 e 4. c) 3,4 e 5. d) 1,2,5 e 6. e) 2,3,4 e 5.
Resoluo
As frases 1,2 e 6 tm sujeito e predicado. So, portanto, sentenas.
As frases 3,4 e 5 no possuem sentido completo. No so sentenas.
Letra A
12. (PM-BA 2009/FCC) Define-se sentena como qualquer orao que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relao que segue h expresses e sentenas: 1. Tomara que chova! 2. Que horas so? 3. Trs vezes dois so cinco. 4. Quarenta e dois detentos. 5. Policiais so confiveis. 6. Exerccios fsicos so saudveis. De acordo com a definio dada, correto afirmar que, dos itens da relao acima, so sentenas APENAS os de nmeros (A) 1, 3 e 5. (B) 2, 3 e 5. (C) 3, 5 e 6. (D) 4 e 6. (E) 5 e 6.
Resoluo
A FCC conceitua sentena como proposio. A frase 1 exclamativa, a frase 2 interrogativa, a frase 4 no possui predicado e, portanto, no so sentenas. As sentenas (proposies lgicas) so as frases 3, 5 e 6.
Letra C
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Modificador
O modificador um operador lgico que troca o valor lgico das proposies. Se temos em mos uma proposio verdadeira, ento, ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposio falsa. Da mesma forma, se temos em mos uma proposio falsa, ento, ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposio verdadeira.
Os smbolos que indicam que uma proposio foi modificada so: ~ " . A proposio modificada chamada de negao da proposio original.
Exemplos:
:
Est uma proposio falsa. Ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposio verdadeira.
~: 45.
Esta frase tambm pode ser lida das seguintes formas:
~:$ ".
~:6 7".
Quando temos uma proposio simples, devemos modificar o verbo para negar a frase. Vejamos outro exemplo:
: 8 : ;
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(decretar) o seguinte critrio de classificao: A proposio p~ tem sempre
o valor lgico oposto de p , isto , p~ verdadeira quando p falsa, e
p~ falsa quando p verdadeira.
Tabela-verdade 1
A tabela-verdade dispe as relaes entre os valores lgicos das proposies. Tabelas-verdades so especialmente usadas para determinar os valores lgicos de proposies construdas a partir de proposies simples. As tabelas de valores tm longa histria, mas receberam certo destaque desde os trabalhos (independentes) de Ludwig Wittgenstein (1889-1951) e de Emil L. Post (1897-1954). A tabela 1 mostra todas as possibilidades de valores de uma proposio e os correspondentes valores da sua negao.
A negao de uma proposio pode ser considerada o resultado de uma operao do operador negao de uma proposio. O operador negao constri uma nova proposio a partir de uma proposio que j existe. Vamos estudar agora operadores lgicos que so usados para formar novas proposies a partir de duas ou mais proposies preexistentes. Esses operadores lgicos so chamados conectivos.
Proposies simples e compostas
Estudaremos mtodos de produzir novas proposies a partir de proposies simples. Uma proposio simples quando declara algo sem o uso de conectivos. Esses mtodos foram discutidos pelo matemtico ingls George Boole, em 1854, no seu livro As Leis do Pensamento. Diversas declaraes matemticas so obtidas combinando proposies.
Exemplos:
p : O nmero 2 primo. (V)
q : 15 : 3 = 6 (F)
r : O retngulo um polgono regular. (F)
p p~
V F
F V
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A partir de proposies simples dadas podemos construir novas proposies compostas mediante o emprego de operadores lgicos chamados conectivos, como e (conectivo de conjuno), ou (conectivo de disjuno), e os condicionais se... ento, se e somente se. Observe que o modificador no no um conectivo. No um advrbio de negao. A expresso no no conecta duas proposies.
Exemplos:
p : A Lua um satlite da Terra e Recife a capital de Pernambuco.
q : Carlos solteiro ou Pedro estudante.
r : Se um quadriltero tem todos os lados congruentes, ento um losango.
s : Um quadriltero um quadrado se e somente se for retngulo e losango.
Obs.: A proposio Guilherme e Moraes so professores uma proposio simples. O sujeito dessa proposio, porm, composto. A proposio Guilherme professor e Moraes professor uma proposio composta.
(STF 2008/CESPE-UnB) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o corao irado. O orgulho e a vaidade so as portas de entrada da runa do homem. Se o filho honesto, ento o pai exemplo de integridade. Tendo como referncia as quatro frases acima, julgue os itens seguintes.
13. A primeira frase composta por duas proposies lgicas simples unidas pelo conectivo de conjuno.
14. A segunda frase uma proposio lgica simples.
15. A terceira frase uma proposio lgica composta.
16. A quarta frase uma proposio lgica em que aparecem dois conectivos lgicos.
Resoluo
13. Os verbos ouve e atenta indicam ordem (imperativo). Portanto no so consideradas proposies lgicas. O item est errado. 14. Certo. 15. A proposio simples. O sujeito da orao que composto. O item est errado. 16. Se..., ento... um conectivo s. O item est errado.
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Conjuno > ?
Duas proposies quaisquer podem ser combinadas pela palavra e para formar uma proposio composta, que chamada de conjuno das proposies originais. Simbolicamente representamos a conjuno de duas proposies p e q por qp .
Imagine que voc prometeu ao seu filho que, no final de semana:
Vamos ao Shopping Center e vamos praia.
Vamos separar a frase acima em duas parcelas:
: *& @ #
: *&
Conectando as proposies e pelo conectivo e, temos a proposio:
: *& @ #7& .
Se as duas parcelas componentes so verdadeiras, ento, de fato, o pai levar o filho ao Shopping e praia. Logo, nossa proposio composta verdadeira.
p: Vamos ao Shopping Center. (Verdade)
q: Vamos praia (Verdade)
Teramos ento:
p q
V V V
Neste quadro estamos indicando que se a proposio p (Vamos ao Shopping Center) for verdadeira e a proposio q (Vamos praia) tambm for verdadeira, ento a proposio P e Q (Vamos ao Shopping Center e vamos praia) tambm ser verdadeira.
Agora vamos imaginar que o pai levar o filho ao Shopping Center, mas no levar o filho praia.
p: Vamos ao Shopping Center. (Verdade)
q: Vamos praia (Falso)
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Agora a proposio composta falsa. Ela afirma que Vamos ao Shopping Center e, alm disso, Vamos praia. Afirma-se que as duas parcelas ocorrem ao mesmo tempo, o que no est acontecendo (pois a segunda parcela falsa). Portanto p e q falso.
p q
V F F
Analisemos agora a terceira situao: O pai no levar o filho ao Shopping Center, mas levar o filho praia.
p: Vamos ao Shopping Center. (Falso)
q: Vamos praia (Verdade)
Novamente, a afirmao de que Vamos ao Shopping Center e vamos praia falsa. Isso porque uma das parcelas falsa. Portanto:
p q
F V F
E finalmente a ltima situao possvel. O pai nem leva o filho ao Shopping Center nem o leva praia.
p: Vamos ao Shopping Center. (Falso)
q: Vamos praia (Falso)
p q
F F F
Unindo todas estas possibilidades em uma nica tabela, temos:
p q
V V V
V F F
F V F
F F F
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Vamos postular um critrio para estabelecer o valor lgico (V ou F) de uma conjuno a partir dos valores lgicos (conhecidos) das proposies p e q:
A conjuno qp verdadeira se p e q so ambas verdadeiras; se
ao menos uma delas for falsa ento qp falsa.
O e lgico costuma ser apresentado com o smbolo .
Deste modo, escrever P Q o mesmo que escrever P e Q.
Exemplo:
p : Joo gordo e Mrio alto.
Suponha que a proposio Joo gordo seja verdadeira e que Mrio no seja alto. Dessa forma,
A conjuno Joo gordo e Mrio alto falsa, pois a proposio Mrio alto falsa. A composta s seria verdadeira se ambas as proposies Joo gordo e Mrio alto fossem verdadeiras.
Disjuno Inclusiva C D
Duas proposies quaisquer podem ser combinadas pela palavra ou para formar uma proposio composta que chamada de disjuno inclusiva das proposies originais. Simbolicamente, a disjuno das proposies p e q designada por qp . O smbolo v a inicial da palavra grega vel.
Vamos postular um critrio para decidir o valor lgico (V ou F) de uma disjuno a partir dos valores lgicos (conhecidos) das proposies p e q:
A disjuno inclusiva qp verdadeira se ao menos uma das
proposies p ou q verdadeira; qp falsa se e somente se ambas p
e q so falsas.
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Exemplo:
p : Vou festa ou no me chamo Fulano.
Considere que Fulano afirmou: Vou festa ou no me chamo Fulano. Fulano foi festa. Portanto, a proposio Vou festa verdadeira. A proposio no me chamo Fulano falsa, pois quem a disse foi Fulano. Temos o seguinte esquema:
Vou festa ou no me chamo Fulano.
V F
A disjuno Vou festa ou no me chamo Fulano s seria falsa se ambas as proposies Vou festa e No me chamo Fulano fossem falsas. Como a proposio Vou festa verdadeira, temos que a composta verdadeira. Assim,
V
Vou festa ou no me chamo Fulano.
V F
O uso do conectivo ou na disjuno inclusiva corresponde a um dos dois modos como a palavra ou usada na Lngua Portuguesa. A disjuno inclusiva verdadeira quando pelo menos uma das duas proposies for verdadeira ou quando ambas forem verdadeiras. A disjuno inclusiva usada, por exemplo, na seguinte proposio:
Hoje sexta-feira ou hoje est chovendo.
Nesse caso, poderamos ter as duas proposies Hoje sexta-feira e Hoje est chovendo verdadeiras. No estamos afirmando que as duas so
p q qp
V V V
V F V
F V V
F F F
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verdadeiras, mas que ambas poderiam ser verdadeiras. Por outro lado, estamos usando a disjuno exclusiva quando dizemos:
Ou hoje sexta-feira ou sbado, mas no ambos.
Nesse caso, as duas proposies Hoje sexta-feira e Hoje sbado no podem ser simultaneamente verdadeiras. Como j observamos, o uso do conectivo ou em uma disjuno corresponde a um dos dois significados usados na Lngua Portuguesa, denominados inclusivo e exclusivo. A disjuno inclusiva
qp verdadeira quando pelo menos uma delas for verdadeira. Quando o ou
exclusivo usado para conectar as proposies p e q, a proposio ou p ou q, mas no ambas obtida. A proposio verdadeira quando p verdadeira e q falsa, ou quando p falsa e q verdadeira, e falsa quando ambas, p e q, so falsas ou ambas so verdadeiras.
O smbolo do ou . um smbolo semelhante ao do e, mas de cabea para baixo.
Alguns alunos se mostram especialistas em construir processos mnemnicos. Um dos processos que aprendemos com esses mestres foi como distinguir os smbolos e . Basta colocar uma letra O ao lado dos smbolos. Observe:
O / O
Em qual das duas situaes voc consegue ler OU? Na palavra da direita! Portanto, aquele smbolo o ou. Consequentemente o outro o e.
Outro processo mnemnico consiste em colocar um pontinho em cima do smbolo. Vejamos:
Em qual das duas situaes voc consegue ver a letra cursiva i? No smbolo da direita! Portanto, aquele smbolo o e (mesmo fonema do i).
Disjuno Exclusiva C D
Duas proposies quaisquer podem ser combinadas pela palavra ou para formar uma proposio composta que chamada de disjuno exclusiva das proposies originais. Simbolicamente, a disjuno das proposies p e q designada por p v q.
Vamos postular um critrio para decidir o valor lgico (V ou F) de uma disjuno exclusiva a partir dos valores lgicos (conhecidos) das proposies p e q:
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A disjuno exclusiva p v q verdadeira se exatamente uma delas p ou q for verdadeira, e falsa nos outros casos.
Condicional p D
Quando duas proposies so conectadas com a palavra se antes da primeira e a insero da palavra ento entre elas a proposio resultante composta e tambm chamada de implicao. Simbolicamente, qp . Em uma
proposio condicional, o componente que se encontra entre o se e o ento chamado de antecedente e o componente que se encontra aps a palavra ento chamado consequente. Por exemplo, na proposio Se vou praia, ento tomo banho de mar, vou praia o antecedente e tomo banho de mar o consequente.
O condicional qp falso somente quando p verdadeira e q falsa;
caso contrrio, qp verdadeiro.
Coloquemos um exemplo para resumi-lo.
Se Guilherme recifense, ento Guilherme pernambucano.
Guilherme recifense Guilherme pernambucano
1 caso verdadeira verdadeira
2 caso verdadeira falsa
3 caso falsa verdadeira
4 caso falsa falsa
p q p v q
V V F
V F V
F V V
F F F
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Analisemos cada um deles.
1 caso antecedente e consequente verdadeiros. Aqui, se efetivamente Guilherme for recifense e tambm for pernambucano, no h dvida, a proposio condicional considerada verdadeira.
2 caso antecedente verdadeiro e consequente falso. Nessa situao, temos Guilherme como uma pessoa que nasceu no Recife e no nasceu em Pernambuco. A condicional considerada falsa.
3 caso antecedente falso e consequente verdadeiro. Guilherme no nasceu no Recife, mas nasceu em Pernambuco. Isso totalmente permitido, visto que Guilherme poderia ter nascido em Petrolina, por exemplo. A proposio condicional verdadeira.
4 caso antecedente e consequente falsos. Guilherme no nasceu no Recife nem em Pernambuco. Situao totalmente aceitvel, visto que Guilherme poderia ter nascido em qualquer outro lugar do mundo.
Existe apenas uma situao em que o condicional falso: quando a primeira proposio for verdadeira e a segunda, falsa.
Bicondicional p q
Conectando duas proposies p, q atravs do conectivo bicondicional, obtemos uma nova proposio p q , que se l p se e somente se q. O
bicondicional equipara-se conjuno de dois condicionais qp e
q p .
Por exemplo, a proposio composta Hoje Natal se, e somente se hoje 25 de dezembro significa que Se hoje Natal, ento hoje 25 de dezembro e Se hoje 25 de dezembro, ento hoje Natal.
O bicondicional p q verdadeiro quando p e q so ambos verdadeiros ou
ambos falsos, e falso, quando p e q tm valores lgicos diferentes.
No nosso exemplo acima,
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Podemos resumir tudo o que foi dito com a seguinte tabela-verdade.
Ou ainda, para facilitar o processo mnemnico, podemos memorizar as regras que tornam as compostas verdadeiras.
Conjuno qp As duas proposies p, q devem ser verdadeiras
Disjuno qp Ao menos uma das proposies p, q deve ser verdadeira. No pode ocorrer o caso de as duas serem falsas.
Condicional qp No pode acontecer o caso de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, no pode acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem informal, dizemos que no pode acontecer VF, nesta ordem.
Bicondicional p q Os valores lgicos das duas proposies devem ser iguais. Ou as duas so verdadeiras, ou as duas so falsas.
p q qp qp qp p q
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
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Nmero de linhas de uma tabela-verdade
O nmero de linhas da tabela-verdade de uma proposio composta com n proposies simples 2n.
Para uma proposio simples p, o nmero de linhas da tabela-verdade 2, pois, pelas leis do pensamento a proposio p s pode assumir um dos dois valores lgicos: V ou F.
p V F
Para duas proposies p e q, o nmero de linhas da tabela-verdade 22 = 4.
p q V V V F F V F F
Para 3 proposies p, q e r, o nmero de linhas da tabela-verdade 23 = 8.
p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
Cada linha da tabela (fora a primeira que contm as proposies) representa uma valorao. (TCU/2004/Cespe) Considere que as letras P, Q e R representam proposies, e os smbolos , e so operadores lgicos que constroem novas proposies e significam no, e e ento, respectivamente. Na lgica proposicional que trata da expresso do raciocnio por meio de proposies que so avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores esto definidos, para cada valorao atribuda s letras proposicionais, na tabela abaixo:
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P Q P P Q P Q V V F V V V F F F F F V V F V F F V F V
Suponha que P representa a proposio Hoje choveu, Q represente a proposio Jos foi praia e R represente a proposio Maria foi ao comrcio. Com base nessas informaes e no texto, julgue os itens a seguir: 17. A sentena Hoje no choveu ento Maria no foi ao comrcio e Jos no
foi praia pode ser corretamente representada por P (R Q) 18. A sentena Hoje choveu e Jos no foi praia pode ser corretamente representada por P Q 19. Se a proposio Hoje no choveu for valorada como F e a proposio
Jos foi praia for valorada como V, ento a sentena representada por P Q falsa.
20. O nmero de valoraes possveis para (Q R) P inferior a 9. Resoluo 17. A proposio Hoje no choveu a negao da proposio P e deve ser representada por P. A sentena Maria no foi ao comrcio a negao de R e, portanto, representada por R. Analogamente, a proposio Jos no foi praia representada por Q. Conclumos que a composta Hoje no choveu ento Maria no foi ao comrcio e Jos no foi praia representada por P (R Q) e o item est certo. 18. Usando o raciocnio do item 1, temos que o item 05 tambm certo. 19. P: Hoje choveu. P: Hoje no choveu. Q: Jos foi a praia. O antecedente (P) da condicional P Q foi valorado como F. Sabemos que quando o antecedente de uma condicional falso, a composta condicional verdadeira. Segue-se que o item est errado. Vale a pena lembrar que uma composta condicional s falsa quando o antecedente verdadeiro e o consequente falso, em qualquer outro caso, a condicional verdadeira. 20. Vale a pena lembrar que o nmero de linhas de uma tabela-verdade (valoraes) composta de n proposies simples igual a 2n. Como n=3, temos que o nmero de valoraes possveis para a proposio composta (Q R) P igual a 23=8. O item est certo.
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21. (Gestor Fazendrio-MG/2005/Esaf) Considere a afirmao P: P: A ou B Onde A e B, por sua vez, so as seguintes afirmaes: A: Carlos dentista. B: Se Enio economista, ento Juca arquiteto. Ora, sabe-se que a afirmao P falsa. Logo: a) Carlos no dentista; Enio no economista; Juca no arquiteto. b) Carlos no dentista; Enio economista; Juca no arquiteto. c) Carlos no dentista; Enio economista; Juca arquiteto. d) Carlos dentista; Enio no economista; Juca no arquiteto. e) Carlos dentista; Enio economista; Juca no arquiteto. Resoluo A proposio P a disjuno das proposies A, B (conectivo ou). O texto nos informou que P falsa, e sabemos que a disjuno A ou B s falsa quando ambas, A e B so falsas. A proposio A falsa e da conclumos que Carlos no dentista. A condicional B falsa. Uma proposio condicional s falsa quando o antecedente verdadeiro e o consequente falso; donde Enio economista (antecedente verdadeiro) e Juca no arquiteto (consequente falso). Lembre-se sempre: uma proposio composta pelo conectivo se...,ento... s falsa quando ocorre VF. E como o enunciado nos disse que B falsa, ento ocorreu VF. B: Se Enio economista, ento Juca arquiteto. O antecedente verdadeiro, logo Enio economista. O consequente falso, logo Juca no arquiteto. Letra B 22. (TRF-1 Regio/2006/FCC) Se todos os nossos atos tm causa, ento no h atos livres. Se no h atos livres, ento todos os nossos atos tm causa. Logo: a) alguns atos no tm causa se no h atos livres. b) todos os nossos atos tm causa se e somente se h atos livres. c) todos os nossos atos tm causa se e somente se no h atos livres.
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d) todos os nossos atos no tm causa se e somente se no h atos livres. e) alguns atos so livres se e somente se todos os nossos atos tm causa.
Resoluo
Vimos que o bicondicional qp (se e somente se) equipara-se conjuno
de dois condicionais qp e q p .
Letra C
23. (ALESP 2010/FCC) Paloma fez as seguintes declaraes: Sou inteligente e no trabalho. Se no tiro frias, ento trabalho. Supondo que as duas declaraes sejam verdadeiras, FALSO concluir que Paloma (A) inteligente. (B) tira frias. (C) trabalha. (D) no trabalha e tira frias. (E) trabalha ou inteligente.
Resoluo
O enunciado j informou que as duas proposies so verdadeiras.
Sou inteligente e no trabalho.
Esta uma proposio composta pelo conectivo e. Lembra quando uma frase composta pelo e verdadeira? Quando as duas proposies componentes so verdadeiras. Desta maneira, conclumos que Sou inteligente verdade e No trabalho tambm verdade.
Se no trabalho verdade, ento trabalho falso.
Letra C
Vamos analisar a segunda proposio.
Se no tiro frias, ento trabalho.
J sabemos que a proposio no trabalho verdade. Portanto, a sua negao falsa.
Se no tiro frias, ento trabalho.
F
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Ora, para que uma proposio composta pelo conectivo se..., ento... seja verdadeira, no pode acontecer de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Em suma, no pode acontecer VF nesta ordem. Como o consequente falso, o antecedente no pode ser verdadeiro, portanto deve ser falso.
Conclui-se que a proposio no tiro frias falsa. Isto quer dizer que tiro frias verdade.
24. (Petrobras/2007/Cespe) Julgue o item que se segue. Considere as proposies abaixo:
p: 4 um nmero par; q: A Petrobras a maior exportadora de caf do Brasil.
Nesse caso, possvel concluir que a proposio p q verdadeira.
Resoluo
Temos que a proposio p verdadeira, enquanto que a proposio q falsa. A disjuno p q s falsa se ambas p, q so falsas. Se ao menos uma delas for verdadeira, a composta tambm ser verdadeira. Portanto, a proposio p q verdadeira e o item est certo.
25. (SADPE/2008/FGV) Considere as situaes abaixo:
I. Em uma estrada com duas pistas, v-se a placa:
p q p q V F V
Se no tiro frias, ento trabalho.
F F
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Como voc est dirigindo um automvel, voc conclui que deve trafegar pela pista da esquerda. II. Voc mora no Recife e telefona para sua me em Braslia. Entre outras coisas, voc diz que Se domingo prximo fizer sol, eu irei praia. No final do domingo, sua me viu pela televiso que choveu no Recife todo o dia. Ento, ela concluiu que voc no foi praia. III. Imagine o seguinte dilogo entre dois polticos que discutem calorosamente certo assunto: - A: Aqui na Cmara t cheio de ladro. - B: Ocorre que eu no sou ladro. - A: Voc safado, t me chamando de ladro. Em cada situao h, no final, uma concluso. Examinando a lgica na argumentao: a) so verdadeiras as concluses das situaes I e II, apenas. b) so verdadeiras as concluses das situaes II e III, apenas. c) so verdadeiras as concluses das situaes I e III, apenas. d) as trs concluses so verdadeiras. e) as trs concluses so falsas. Resoluo
I. Caminhes Pista da Direita F
Vimos anteriormente que se no ocorre p a condicional qp verdadeira
qualquer que seja o valor verdade de q. Ou seja, se o antecedente for falso, nada podemos concluir a respeito do consequente. A condicional s falsa quando o antecedente verdadeiro e o consequente falso (no pode acontecer VF). Portanto, se voc est dirigindo um automvel, poders dirigir na pista da direita ou da esquerda. O item FALSO. Da mesma forma, se houver um veculo na pista da direita (o consequente verdadeiro), no podemos concluir que o veculo um caminho.
II. Domingo prximo fizer sol eu irei praia. F A situao idntica ao item anterior. Se o antecedente falso, nada podemos concluir sobre o consequente. O item FALSO. Destacamos novamente que se o consequente for verdadeiro, nada pode afirmar sobre o antecedente, ou seja, se o indivduo foi praia, no podemos concluir se no domingo fez sol ou no.
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III. O terceiro item obviamente FALSO, pois nem o poltico A chamou o poltico B de ladro, nem o poltico B chamou o poltico A de ladro. O poltico A apenas afirmou que na Cmara t cheio de ladro e o poltico B afirmou que ele prprio no era um dos ladres.
Letra E
(INSS 2008/CESPE-UnB) Proposies so sentenas que podem ser julgadas como verdadeiras V ou falsas F , mas no como ambas. Se P e Q so proposies, ento a proposio Se P ento Q, denotada por PQ, ter valor lgico F quando P for V e Q for F, e, nos demais casos, ser V. Uma expresso da forma P, a negao da proposio P, ter valores lgicos contrrios aos de P. PQ, lida como P ou Q, ter valor lgico F quando P e Q forem, ambas, F; nos demais casos, ser V.
Considere as proposies simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou no estar de acordo com o artigo 5. da Constituio Federal.
A: A prtica do racismo crime afianvel.
B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado.
C: Todo cidado estrangeiro que cometer crime poltico em territrio brasileiro ser extraditado.
De acordo com as valoraes V ou F atribudas corretamente s proposies A, B e C, a partir da Constituio Federal, julgue os itens a seguir.
26. Para a simbolizao apresentada acima e seus correspondentes valores lgicos, a proposio BC V.
27. De acordo com a notao apresentada acima, correto afirmar que a proposio (A) (C) tem valor lgico F.
Resoluo
Vamos relembrar alguns incisos do artigo 5 da Constituio Federal.
XXXII o Estado promover, na forma da lei, a defesa do consumidor;
XLII a prtica do racismo constitui crime inafianvel e imprescritvel, sujeito pena de recluso, nos termos da lei;
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LII no ser concedida extradio de estrangeiro por crime poltico ou de opinio.
Deste modo:
V(A)=F
V(B)=V
V(C)=F
Vamos ao primeiro item:
Queremos saber o valor lgico do condicional:
BC
Sabemos que o primeiro componente verdadeiro e o segundo falso. Esta a nica situao em que o condicional falso.
O item est errado.
Segundo item:
Sabemos que A falsa. Logo, a negao de A verdadeira.
Sabemos que C falsa. Logo, a negao de C verdadeira.
A : verdadeira
C : verdadeira
A proposio solicitada foi: (A) (C).
Temos um ou em que as duas parcelas so verdadeiras, o que faz com que a proposio composta seja verdadeira.
O item est errado.
28. (SEFAZ-MG 2005/ESAF) O reino est sendo atormentado por um terrvel drago. O mago diz ao rei: O drago desaparecer amanh se e somente se Aladim beijou a princesa ontem. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lgico da corte:
1. Se a afirmao do mago falsa e se o drago desaparecer amanh, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?
2. Se a afirmao do mago verdadeira e se o drago desaparecer amanh, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?
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3. Se a afirmao do mago falsa e se Aladim no beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o drago desaparecer amanh?
O lgico da corte, ento, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as trs perguntas so, respectivamente:
a) No, sim, no
b) No, no, sim
c) Sim, sim, sim
d) No, sim, sim
e) Sim, no, sim
Resoluo
Vamos dar nomes s proposies. A proposio d (de drago) ser:
d: O drago desaparecer amanh.
A proposio a (de Aladim) ser:
a: Aladim beijou a princesa ontem
A afirmao do mago :
ad
Item 1.
A afirmao do mago falsa e o drago desaparece amanh. Logo:
d: Verdadeiro
ad : Falso
Ou seja, uma das parcelas do bicondicional verdadeira. Para que o bicondicional seja falso, a segunda parcela deve ser falsa. Logo, no primeiro item, Aladim no beijou a princesa ontem.
Item 2.
A afirmao do mago verdadeira e o drago desaparece amanh. Logo:
d: Verdadeiro
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ad : Verdadeiro
Ou seja, uma das parcelas do bicondicional verdadeira. Para que o bicondicional seja verdadeiro, a segunda parcela deve ser verdadeira. Logo, no primeiro item, Aladim beijou a princesa ontem.
Item 3.
A afirmao do mago falsa e o Aladim no beijou a princesa ontem. Logo:
a: Falso
ad : Falso
Uma das parcelas do bicondicional falsa. Para que o bicondicional seja falso, a outra parcela deve ser verdadeira. Logo, no terceiro item, o drago desaparecer amanh.
As respostas s trs perguntas so: no, sim, sim.
Letra D
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Tautologia
Vimos que o nmero de linhas de uma tabela-verdade 2n (em que n o nmero de proposies simples).
Vamos considerar trs proposies quaisquer p, q e r. Assim, qualquer tabela-verdade envolvendo apenas estas trs proposies ter 2E = 8 linhas.
Desta forma, vamos construir a tabela-verdade da proposio ( ) (~ )p r q r .
E o que significa construir a tabela-verdade desta proposio?
Significa dispor em uma tabela todas as possibilidades de valorao para esta proposio. Ou seja, estamos preocupados em responder quando que esta proposio verdadeira e quando que ela falsa.
Para tal tarefa, devemos comear com a seguinte disposio:
p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
Neste comeo de tabela, esto dispostas todas as possibilidades de valoraes destas 3 proposies. Observe que h um padro na construo deste incio.
Na primeira coluna, temos 4 V seguidos de 4 F. Na segunda coluna temos 2 V seguidos de 2 F alternadamente. Por fim, na terceira coluna temos V e F que se alternam.
Pois bem toda tabela-verdade envolvendo trs proposies comea assim.
Pois bem, queremos construir a tabela-verdade da proposio ( ) (~ )p r q r .
Observe que no aparece a proposio propriamente dia e sim a sua negao. Portanto, o primeiro passo construir a negao de . Lembre-se que se uma proposio verdadeira, a sua negao falsa e reciprocamente.
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p q r ~ q
V V V F V V F F V F V V V F F V F V V F F V F F F F V V F F F V
Vamos obedecer a ordem de preferncia. Vamos construir as proposies compostas que esto dentro dos parnteses. Comecemos por . Devemos conectar a proposio com a proposio atravs do conectivo e. Lembre-se que uma proposio composta pelo e s verdadeira quando os dois componentes so verdadeiros. Vamos selecionar as linhas em que ambas e so verdadeiras. Todas as outras possibilidades tornam a composta falsa.
p q r ~ q p r
V V V F V V V F F F V F V V V V F F V F F V V F F F V F F F F F V V F F F F V F
Vamos agora construir a segunda proposio composta que est dentro de parnteses: ~ .
Lembre-se que uma proposio composta pelo conectivo ou verdadeira quando pelo menos um dos dois componentes for verdadeiro. Vamos nos focar apenas nas linhas em que pelo menos uma das duas ~ ou for verdadeira.
p q r ~ q p r ~ q r
V V V F V V V V F F F F V F V V V V
Valores opostos!!
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V F F V F V F V V F F V F V F F F F F F V V F V F F F V F V
Observe que tanto na linha 2 quanto na linha 6 as duas proposies so falsas, e portanto, a composta construda falsa nestes casos.
Podemos agora, finalmente construir a composta ( ) (~ )p r q r . Lembre-se
que h apenas um caso em que a composta pelo se..., ento falsa: quando o primeiro componente for verdadeiro e o segundo componente falso. Vamos olhar apenas as duas ltimas colunas.
Vejamos cada linha de per si:
1 linha: V V (o condicional verdadeiro). 2 linha: F F (o condicional verdadeiro). 3 linha: V V (o condicional verdadeiro). 4 linha: F V (o condicional verdadeiro). 5 linha: F V (o condicional verdadeiro). 6 linha: F F (o condicional verdadeiro). 7 linha: F V (o condicional verdadeiro). 8 linha: F V (o condicional verdadeiro).
Desta forma:
p q r ~ q p r ~ q r ( ) (~ )p r q r
V V V F V V V V V F F F F V V F V V V V V V F F V F V V F V V F F V V F V F F F F V F F V V F V V F F F V F V V
Conclumos que a proposio composta ( ) (~ )p r q r sempre verdadeira,
independentemente dos valores atribudos s proposies , .
Dizemos ento que a proposio ( ) (~ )p r q r uma tautologia (ou
proposio logicamente verdadeira). Como diz L. Hegenberg em seu
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Dicionrio de Lgica: Tautologia, no clculo proposicional, uma proposio invariavelmente verdadeira sejam quais forem os valores-verdade de suas proposies constituintes.
Ento isso: se alguma questo perguntar se determinada proposio uma tautologia, devemos construir a sua tabela-verdade e verificar se ela sempre verdadeira.
Contradio
Da mesma maneira, podemos definir contradio (ou proposio logicamente falsa) como uma proposio composta que sempre falsa. Vamos mostrar, por exemplo, que a proposio composta (~ ) ( ~) uma contradio.
Ora, como estamos trabalhando com apenas duas proposies simples, ento o nmero de linhas da tabela-verdade ser igual a 2, = 4.
V V V F F V F F
O primeiro passo construir as negaes destas duas proposies simples.
~ ~ V V F F V F F V F V V F F F V V
Vamos agora construir a proposio composta que est no primeiro par de parnteses: ~ . Foque seu olhar na terceira e na segunda coluna. Quando que uma proposio composta pelo conectivo e verdadeira? Quando os dois componentes so verdadeiros. Desta forma, a composta s ser verdadeira na terceira linha.
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~ ~ ~ V V F F F V F F V F F V V F V F F V V F
Vamos construir a proposio composta que est no segundo par de parnteses: ~. Devemos olhar agora apenas para a primeira e quarta colunas. Quando que uma proposio composta pelo conectivo ou verdadeira? Quando pelo menos um dos dois componentes for verdadeiro. Desta maneira, a composta ser verdadeira na 1, 2 e 4 linhas.
~ ~ ~ ~ V V F F F V V F F V F V F V V F V F F F V V F V
A composta s falsa na terceira linha em que ambas, p e ~q so falsas.
Finalmente podemos construir a tabela-verdade da proposio (~ ) ( ~).
Vamos olhar apenas para as duas ltimas colunas. Devemos lig-las atravs do conectivo ...se e somente se.... Quando que uma proposio composta pelo conectivo ...se e somente se... verdadeira? Quando os dois componentes possuem o MESMO valor lgico. Acontece que as duas ltimas colunas possuem valores lgicos contrrios. Desta forma, ela nunca poder ser verdadeira.
~ ~ ~ ~ (~ ) ( ~) V V F F F V F V F F V F V F F V V F V F F F F V V F V F
J que a composta (~ ) ( ~) sempre falsa, a denominamos de contradio (ou proposio logicamente falsa).
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Contingncia
Contingncia uma proposio composta que pode verdadeira e pode ser falsa.
Vamos construir a tabela-verdade da proposio ( ).
Lembre-se que o nmero de linhas de uma tabela verdade composta por proposies simples igual a 2H. Como so 3 proposies simples componentes, ento a tabela ter 23 = 8 linhas. Para calcular o valor lgico de ( ), devemos calcular o valor lgico da proposio ( ) e, em seguida, conectar a proposio com ( ) atravs do conectivo se..., ento....
( ) V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
Este o modelo inicial de uma tabela-verdade composta por 3 proposies simples. Para listar todas as possibilidades, devemos proceder assim: Para a primeira proposio, colocamos 4 Vs seguidos de 4 Fs. Para a segunda proposio, colocamos 2 V, 2F, 2V, 2F. Para a terceira proposio colocamos 1V, 1F, 1V, 1F, 1V, 1F, 1V, 1F. Lembre-se que uma proposio composta pelo conectivo e () s verdadeira quando todas as proposies componentes forem verdadeiras. Portanto, a proposio verdadeira nas linhas 1 e 5.
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( ) V V V V V V F F V F V F V F F F F V V V F V F F F F V F F F F F
Vamos agora conectar a proposio com a proposio formando a proposio ( ). Lembre-se que uma proposio do tipo I % s falsa quando A verdadeira e B falsa. Ou seja, uma condicional s falsa quando o antecedente verdadeiro e o consequente falso. O antecedente a proposio (1 coluna) e o consequente a proposio (4 coluna).
( ) V V V V V V V F F F V F V F F V F F F F F V V V V F V F F V F F V F V F F F F V
Observe que a proposio pode ser verdadeira e pode ser falsa, dependendo dos valores atribudos s proposies p,q e r.
Vamos treinar um pouco mais os conceitos abordados.
Exemplo: Verifique se a proposio composta ( ) ~p q q uma contradio.
Resoluo
Basta construir a tabela-verdade que possui 22 = 4 linhas. Para determinar o valor lgico de ( ) ~p q q devemos antes determinar os valores de p q e de
~ q .
Lembre-se que a proposio verdadeira quando pelo menos um dos dois componentes for verdadeiro.
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p q p q
V V V V F V F V V F F F
Vamos agora construir a negao de q. Seus valores devem ser contrrios aos valores de q.
p q p q ~ q
V V V F V F V V F V V F F F F V
Finalmente vamos construir a composta ( ) ~p q q . Para isto, vamos conectar
a terceira coluna com a quarta coluna atravs do conectivo e. Lembre-se que a composta pelo e s verdadeira quando os dois componentes so verdadeiros.
p q p q ~ q ( ) ~p q q
V V V F F V F V V V F V V F F F F F V F
Resposta: A proposio ( ) ~p q q admite valores V e F e, portanto, no se
trata de uma contradio. Trata-se de uma contingncia.
Exemplo: Determine se a proposio ( ) ( )p q p q uma tautologia,
contradio ou uma contingncia.
Resoluo
A tabela-verdade possui 2 = 4 linhas. Vamos comear construindo a proposio composta que est no primeiro par de parnteses: .
Devemos conectar a proposio com a proposio atravs do conectivo e. Lembre-se que uma proposio composta pelo conectivo e s ser verdadeira quando os dois componentes forem verdadeiros.
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p q p q
V V V V F F F V F F F F
Vamos agora construir a proposio composta que est no segundo par de parnteses: . Lembre-se que a composta s verdadeira quando pelo menos um dos dois componentes for verdadeiro. Isto acontece nas trs primeiras linhas.
p q p q p q
V V V V V F F V F V F V F F F F
Finalmente vamos construir a composta ( ) ( )p q p q . Devemos conectar a
terceira coluna com a quarta coluna atravs do conectivo se...,ento.... Lembre-se que uma proposio do tipo I % s falsa quando A verdadeiro e B falso. Como isto nunca acontece, ento a composta sempre verdadeira.
p q p q p q ( ) ( )p q p q
V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V
Por definio, ( ) ( )p q p q uma tautologia.
29. (TRT-9 Regio/2004/FCC) Considere a seguinte proposio Na eleio para a prefeitura, o candidato A ser eleito ou no ser eleito. Do ponto de vista lgico, a afirmao da proposio caracteriza:
a) um silogismo b) uma tautologia c) uma equivalncia d) uma contingncia e) uma contradio
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Resoluo
Chamemos de p a proposio p : O candidato A ser eleito. A sua negao ~ p
: O candidato A no ser eleito. A proposio do enunciado pode ento ser representada por ~p p . Vamos construir sua tabela-verdade que possui 21 =
2 linhas.
p ~ p ~p p
V F V F V V
Por definio, a proposio ~p p uma tautologia, pois sempre verdadeira.
Letra B
30. (Fiscal do Trabalho 1998/Esaf) Chama-se tautologia a toda proposio que sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compem. Um exemplo de tautologia :
a) se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo.
b) se Joo alto, ento Joo alto e Guilherme gordo.
c) se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Guilherme gordo.
d) se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Joo alto e Guilherme gordo.
e) se Joo alto ou no alto, ento Guilherme gordo.
Resoluo
Chamemos de p : Joo alto e q : Guilherme gordo.
As alternativas podem ser reescritas simbolicamente das seguintes maneiras.
a) ( )p p q
b) ( )p p q
c) ( )p q q
d) ( ) ( )p q p q
e) ( ~ )p p q
Resta-nos agora construir as tabelas-verdades das proposies compostas acima.
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p q p q p q ( )p p q ( )p p q ( )p q q ( ) ( )p q p q
V V V V V V V V V F V F V F F F F V V F V V V F F F F F V V V V
p q ~ p ~p p ( ~ )p p q
V V F V V V F F V F F V V V V F F V V F
Dessa forma, a alternativa A uma tautologia e as outras alternativas so contingncias.
Letra A
31. (PM-DF/2009/CESPE) A proposio (AB)(AB) uma tautologia. Resoluo A tabela-verdade possui 2 = 4 linhas. Vamos comear construindo a proposio composta que est no primeiro par de parnteses: A %.
Devemos conectar a proposio A com a proposio % atravs do conectivo e. Lembre-se que uma proposio composta pelo conectivo e s ser verdadeira quando os dois componentes forem verdadeiros.
A B A % V V V V F F F V F F F F
Vamos agora construir a proposio composta que est no segundo par de parnteses: I %. Lembre-se que a composta I % s verdadeira quando pelo menos um dos dois componentes for verdadeiro. Isto acontece nas trs primeiras linhas.
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A B A % I %
V V V V V F F V F V F V F F F F
Finalmente vamos construir a composta (AB) (AB). Devemos conectar a terceira coluna com a quarta coluna atravs do conectivo se...,ento.... Lembre-se que uma proposio do tipo s falsa quando p verdadeiro e q falso. Como isto nunca acontece, ento a composta sempre verdadeira.
A B A % I % (AB)(AB).
V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V
O item est certo.
(SEBRAE-BA 2008/CESPE-UnB) A proposio uma declarao que pode ser julgada verdadeira (V) ou falsa (F), mas no cabem ambos os julgamentos para a mesma proposio. usual representar proposies simples por letras maisculas do alfabeto, como A, B, C etc. As proposies compostas so construdas a partir da conexo de proposies. Uma proposio na forma A v B composta, sendo lida como A ou B e avaliada como F quando A e B so ambas F, e, nos demais casos, V; uma proposio na forma A B composta, sendo lida como A e B e avaliada como V quando A e B so ambas V, e, nos demais casos, F. Uma proposio na forma A a negao de A, sendo, portanto, V quando A F, e F quando A V, e uma proposio composta. Parnteses podem ser usados para agrupar as proposies e evitar ambigidades. Tendo como referncia as informaes apresentadas acima, julgue os prximos itens. 32. As proposies na forma (AB) tm exatamente trs valores lgicos V, para todos os possveis valores lgicos de A e B. Resoluo Devemos construir a tabela-verdade que possui 2 = 4 linhas. Comeamos construindo a proposio A %.
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Devemos conectar a proposio A com a proposio % atravs do conectivo e. Lembre-se que uma proposio composta pelo conectivo e s ser verdadeira quando os dois componentes forem verdadeiros.
A B A % V V V V F F F V F F F F
Para construir a proposio (AB), devemos trocar os valores lgicos de AB.
A B A % (AB) V V V F V F F V F V F V F F F V
O item est certo. 33. Se A for considerada uma proposio F e B for considerada uma proposio V, ento a proposio B A F. Resoluo Se a proposio B for considerada V, ento a sua negao B ser F. Observe que a proposio A tambm falsa. Considere a proposio B A: uma proposio composta pelo conectivo ou em que os dois componentes so falsos. Portanto, a proposio B A falsa. O item est certo. 34. Considerando-se que A e B sejam proposies ambas V ou sejam ambas F, ento a proposio ((A)B) ser F. Resoluo Vamos construir uma tabela-verdade reduzida, considerando que A e B sejam proposies ambas V ou sejam ambas F.
A B V V F F
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Para construir ((A)B), devemos construir a negao de A (que ter valores opostos aos de A).
A B A V V F F F V
O prximo passo conectar a proposio A com a proposio B atravs do conectivo e. Uma proposio composta pelo conectivo e s verdadeira quando os dois componentes so verdadeiros. Este fato no acontece. Portanto, a proposio (A)B ser falsa nas duas linhas.
A B A (A)B V V F F F F V F
Finalmente, ((A)B) a negao de (A)B. Como a proposio (A)B falsa nas duas linhas, ento ((A)B) ser V nas duas linhas.
A B A (A)B ((A)B) V V F F V F F V F V
O item est errado. 35. Proposies na forma ((A (B C))) v (A (B C)) tm somente valores lgicos V, para quaisquer que sejam os valores lgicos de A, B e C. Resoluo Quem tem um bom olho resolve rapidamente esta questo. A priori, deveramos construir uma tabela verdade com 8 linhas, j que esto envolvidas trs proposies simples. Devemos construir a tabela-verdade de ((A (B C))) (A (B C)). Observe que chamando a proposio A (B v C) de , esta composta pode ser reescrita assim:
p Vamos construir sua tabela-verdade que possui 21 = 2 linhas.
p p V F V F V V
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Por definio, a proposio p uma tautologia, pois sempre verdadeira. O item est certo. 36. Se A for a proposio Joaquim agricultor, e B, a proposio Marieta empresria, ento a sentena verbal correspondente proposio B v (A) ser Marieta empresria e Joaquim no agricultor. Resoluo Como a proposio A Joaquim agricultor, ento a proposio A ser Joaquim no agricultor. Lembre-se que o smbolo v representa o ou, e no o conectivo e! Portanto, o item est errado. 37. A proposio O SEBRAE facilita e orienta o acesso a servios financeiros uma proposio simples. Resoluo O item est certo. H duas proposies conectadas pelo e. 38. Considerando que as proposies Seu chefe lhe passa uma ordem e Voc no aceita a ordem sem question-la sejam V, a proposio Se seu chefe lhe passa uma ordem, ento voc aceita a ordem sem question-la julgada como F. Resoluo Seu chefe lhe passa uma ordem (V) Voc no aceita a ordem sem question-la (V) Conclumos que: Voc aceita a ordem sem question-la (F) Portanto, Se seu chefe lhe passa uma ordem, ento voc aceita a ordem sem question-la julgada como F, pois o primeiro componente verdadeiro e o segundo falso. Este o nico caso em que uma composta pelo se...,ento... falso. O item est certo.
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39. A proposio simblica (AB)((A(B))) sempre julgada como V, independentemente de A e B serem V ou F. Resoluo No tem como fugir... Devemos construir a tabela-verdade da proposio apresentada. A tabela possui 2 = 4 linhas. Comeamos com a negao de B que ser utilizada.
A B B V V F V F V F V F F F V
Vamos agora construir AB. Devemos conectar a proposio A com a proposio % atravs do conectivo e. Lembre-se que uma proposio composta pelo conectivo e s ser verdadeira quando os dois componentes forem verdadeiros.
A B B AB V V F V V F V F F V F F F F V F
Vamos construir A(B). Devemos conectar a primeira coluna com a terceira coluna atravs do se...,ento.... S h um caso em que a composta falsa: quando o primeiro componente for verdadeiro e o segundo for falso. Isto acontece na primeira linha.
A B B AB A(B) V V F V F V F V F V F V F F V F F V F V
Devemos negar a proposio A(B), obtendo ((A(B))). Basta trocar os valores lgicos da ltima coluna.
A B B AB A(B) ((A(B)))
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V V F V F V V F V F V F F V F F V F F F V F V F
Finalmente construmos (AB)((A(B))) conectando a quarta coluna com a sexta coluna atravs do conectivo se...,ento.... Observe que no h casos em que a primeira verdadeira e a segunda falsa, portanto, a composta (AB)((A(B))) sempre verdadeira.
A B B AB A(B) ((A(B))) (AB)((A(B))) V V F V F V V V F V F V F V F V F F V F V F F V F V F V
Trata-se de uma tautologia e o item est certo. 40. Se A, B e C so proposies simples, ento existem exatamente duas possibilidades para que a proposio (AB)C seja avaliada como V. Resoluo A tabela-verdade possui 2 = 8 linhas.
A B C V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
Vamos conectar a proposio A com a proposio B atravs do conectivo e. Devemos nos focar nas linhas em que os dois componentes so verdadeiros (j que neste caso a composta ser verdadeira).
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A B C AB V V V V V V F V V F V F V F F F F V V F F V F F F F V F F F F F
Devemos agora conectar a proposio AB com a proposio C atravs do e. O nico caso em que as duas so verdadeiras acontece na primeira linha.
A B C AB (AB)C V V V V V V V F V F V F V F F V F F F F F V V F F F V F F F F F V F F F F F F F
O item est errado, pois h apenas uma possibilidade em que (AB)C verdadeira.
(SEBRAE 2010/CESPE-UnB)
41. A proposio [B]{[B]A} uma tautologia. Resoluo A tabela-verdade possui 2 = 4 linhas.
A B V V V F F V F F
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Vamos construir B (negao de B). Seus valores so opostos aos de B.
A B B V V F V F V F V F F F V
Vamos construir a proposio [B]A. Devemos conectar a terceira coluna com a primeira coluna.
ATENO!!!
Devemos operar o se...,ento... da DIREITA para a ESQUERDA. Comeamos com B e terminamos com A. Este condicional s falso na ltima linha em que B verdadeiro e A falso.
A B B [B]A V V F V V F V V F V F V F F V F
Finalmente vamos construir [B]{[B]A}. Devemos conectar B (terceira coluna) com [B]A (quarta coluna) atravs do ou. Em todas as linhas h pelo menos uma verdadeira, portanto a composta [B]{[B]A} sempre verdadeira.
A B B [B]A [B]{[B]A} V V F V V V F V V V F V F V V F F V F V
O item est certo. 42. A proposio [B][AB] logicamente falsa. Resoluo A tabela-verdade possui 2 = 4 linhas.
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A B V V V F F V F F
Vamos construir B (negao de B). Seus valores so opostos aos de B.
A B B V V F V F V F V F F F V
Vamos construir AB. Este condicional s falso quando A verdadeiro e B falso (2 linha).
A B B AB V V F V V F V F F V F V F F V V
Vamos agora conectar as duas ltimas colunas atravs do conectivo e para formar [B][AB]. Observe que os dois componentes so verdadeiros na ltima linha.
A B B AB [B][AB] V V F V F V F V F F F V F V F F F V V V
A proposio dada no logicamente falsa (contradio). Trata-se de uma contingncia. O item est errado.
43. Considere que A, B e C sejam proposies simples, distintas, e que a proposio D seja definida por D = [AB][A]C. Nesse caso, a tabela-verdade da proposio D tem 16 linhas. Resoluo
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A proposio D composta por 3 proposies simples. A sua tabela-verdade possui 2E = 8 linhas. O item est errado.
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Relao das questes comentadas
(BB1/2007/Cespe) Na lgica sentencial, denomina-se proposio uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas. Assim, frases como Como est o tempo hoje? e Esta frase falsa no so proposies porque a primeira pergunta e a segunda no pode ser nem V nem F. As proposies so representadas simbolicamente por letras maisculas do alfabeto A, B, C, etc. Uma proposio da forma A ou B F se A e B forem F, caso contrrio V; e uma proposio da forma Se A ento B F se A for V e B for F, caso contrrio V. Considerando as informaes contidas no texto acima, julgue o item subsequente. 01. Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies. A frase dentro destas aspas uma mentira. A expresso X + Y positiva.
O valor de 734 =+ . Pel marcou dez gols para a seleo brasileira. O que isto? 02. (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas tm uma mesma caracterstica lgica em comum, enquanto uma delas no tem essa caracterstica.
I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocnio lgico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia.
A frase que no possui essa caracterstica comum a a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 03. (BB2/2007/Cespe) Uma proposio uma afirmao que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas. As proposies so usualmente simbolizadas por letras maisculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R, etc. Se a conexo de duas proposies feita pela preposio e, simbolizada usualmente por , ento se obtm a forma PQ, lida como P e Q e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrrio, F. Se
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a conexo for feita pela preposio ou, simbolizada usualmente por , ento se obtm a forma PQ, lida como P ou Q e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrrio, V. A negao de uma proposio simbolizada por P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. A partir desses conceitos, julgue o prximo item. H duas proposies no seguinte conjunto de sentenas:
(I) O BB foi criado em 1980. (II) Faa seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.
(SEBRAE 2010/CESPE-UnB) Para os itens seguintes, sero consideradas como proposies apenas as sentenas declarativas, que mais facilmente so julgadas como verdadeiras V ou falsas F , deixando de lado as sentenas interrogativas, exclamativas, imperativas e outras. As proposies sero representadas por letras maisculas do alfabeto: A, B, C etc.
[...] Sentenas como x + 3 = 5, Ele um poltico, x jogador de futebol so denominadas sentenas abertas; essas sentenas, como esto, no podero ser julgadas como V ou F, pois os sujeitos, no caso, so variveis. Essas expresses tornam-se proposies depois de substituda a varivel por elemento determinado, permitindo o julgamento V ou F.
[...] Tendo como referncia as informaes do texto, julgue os itens de 04 a 06. 04. Entre as frases apresentadas a seguir, identificadas por letras de A a E, apenas duas so proposies. A: Pedro marceneiro e Francisco, pedreiro. B: Adriana, voc vai para o exterior nessas frias? C: Que jogador fenomenal! D: Todos os presidentes foram homens honrados. E: No deixe de resolver a prova com a devida ateno. 05. As frases Transforme seus boletos de papel em boletos eletrnicos e O carro que voc estaciona sem usar as mos so, ambas, proposies abertas. 06. Considere a seguinte sentena aberta: x um nmero real e x2 > 5. Nesse caso, se x = 2, ento a proposio ser F, mas, se x = 3, ento a proposio ser V. 07. (TRT 17 Regio 2009/CESPE-UnB) Proposies so frases que podem ser julgadas como verdadeiras V ou falsas F , mas no como V e F simultaneamente.
[...] A partir das informaes do texto, julgue o item a seguir.
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A sequncia de frases a seguir contm exatamente duas proposies. - A sede do TRT/ES localiza-se no municpio de Cariacica. - Por que existem juzes substitutos? - Ele um advogado talentoso. 08. (ICMS-SP/2006/FCC) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
II. 5
x y+ um nmero inteiro.
III. Joo da Silva foi o secretrio da Fazenda do Estado de So Paulo em 2000. verdade que APENAS: a) I e II so sentenas abertas. b) I e III so sentenas abertas. c) II e III so sentenas abertas. d) I uma sentena aberta. e) II uma sentena aberta.
09. (MRE 2008/CESPE-UnB) Proposies so sentenas que podem ser julgadas como verdadeiras V , ou falsas F , mas no cabem a elas ambos os julgamentos.
[...]
Considerando as informaes acima, julgue o item abaixo.
Considere a seguinte lista de sentenas:
I - Qual o nome pelo qual conhecido o Ministrio das Relaes Exteriores?
II - O Palcio Itamaraty em Braslia uma bela construo do sculo XIX.
III - As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui so, respectivamente, x e y.
IV - O baro do Rio Branco foi um diplomata notvel.
Nessa situao, correto afirmar que entre as sentenas acima, apenas uma delas no uma proposio.
10. (FINEP 2009/CESPE-UnB) Acerca de proposies, considere as seguintes frases:
I Os Fundos Setoriais de Cincia e Tecnologia so instrumentos de financiamento de projetos.
II O que o CT-Amaznia?
III Preste ateno ao edital!
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IV Se o projeto for de cooperao universidade-empresa, ento podem ser pleiteados recursos do fundo setorial verde-amarelo.
So proposies apenas as frases correspondentes aos itens
a) I e IV.
b) II e III.
c) III e IV.
d) I, II e III.
e) I, II e IV.
11. (TCE-PB/2006/FCC) Sabe-se que sentenas so oraes com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relao seguinte h expresses e sentenas:
1. Trs mais nove igual a doze. 2. Pel brasileiro. 3. O jogador de futebol. 4. A idade de Maria. 5. A metade de um nmero. 6. O triplo de 15 maior do que 10.
correto afirmar que, na relao dada, so sentenas apenas os itens de nmeros
a) 1,2 e 6. b) 2,3 e 4. c) 3,4 e 5. d) 1,2,5 e 6. e) 2,3,4 e 5.
12. (PM-BA 2009/FCC) Define-se sentena como qualquer orao que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relao que segue h expresses e sentenas: 1. Tomara que chova! 2. Que horas so? 3. Trs vezes dois so cinco. 4. Quarenta e dois detentos. 5. Policiais so confiveis. 6. Exerccios fsicos so saudveis.
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De acordo com a definio dada, correto afirmar que, dos itens da relao acima, so sentenas APENAS os de nmeros (A) 1, 3 e 5. (B) 2, 3 e 5. (C) 3, 5 e 6. (D) 4 e 6. (E) 5 e 6.
(STF 2008/CESPE-UnB) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o corao irado. O orgulho e a vaidade so as portas de entrada da runa do homem. Se o filho honesto, ento o pai exemplo de integridade. Tendo como referncia as quatro frases acima, julgue os itens seguintes.
13. A primeira frase composta por duas proposies lgicas simples unidas pelo conectivo de conjuno.
14. A segunda frase uma proposio lgica simples.
15. A terceira frase uma proposio lgica composta.
16. A quarta frase uma proposio lgica em que aparecem dois conectivos lgicos.
(TCU/2004/Cespe) Considere que as letras P, Q e R representam proposies, e os smbolos , e so operadores lgicos que constroem novas proposies e significam no, e e ento, respectivamente. Na lgica proposicional que trata da expresso do raciocnio por meio de proposies que so avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores esto definidos, para cada valorao atribuda s letras proposicionais, na tabela abaixo:
P Q P P Q P Q V V F V V V F F F F F V V F V F F V F V
Suponha que P representa a proposio Hoje choveu, Q represente a proposio Jos foi praia e R represente a proposio Maria foi ao comrcio. Com base nessas informaes e no texto, julgue os itens a seguir:
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17. A sentena Hoje no choveu ento Maria no foi ao comrcio e Jos no
foi praia pode ser corretamente representada por P (R Q) 18. A sentena Hoje choveu e Jos no foi praia pode ser corretamente representada por P Q 19. Se a proposio Hoje no choveu for valorada como F e a proposio
Jos foi praia for valorada como V, ento a sentena representada por P Q falsa.
20. O nmero de valoraes possveis para (Q R) P inferior a 9. 21. (Gestor Fazendrio-MG/2005/Esaf) Considere a afirmao P: P: A ou B Onde A e B, por sua vez, so as seguintes afirmaes: A: Carlos dentista. B: Se Enio economista, ento Juca arquiteto. Ora, sabe-se que a afirmao P falsa. Logo: a) Carlos no dentista; Enio no economista; Juca no arquiteto. b) Carlos no dentista; Enio economista; Juca no arquiteto. c) Carlos no dentista; Enio economista; Juca arquiteto. d) Carlos dentista; Enio no economista; Juca no arquiteto. e) Carlos dentista; Enio economista; Juca no arquiteto. 22. (TRF-1 Regio/2006/FCC) Se todos os nossos atos tm causa, ento no h atos livres. Se no h atos