Maria Rifqi-Berger DESS TSI
Raisonnement flou Variables linguistiques et propositions floues
Variables linguistiques Proposition floue générale Implication floue
Raisonnement Flou Modus ponens classique Modus ponens généralisé
Application du Modus ponens généralisé
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Variable linguistique Une variable linguistique est représentée par un triplet
(V, XV, TV) V : nom de la variable (age, taille, température, longueur,...) XV : univers des valeurs prises par V ( ,...)ℝ TV = {A1, A2, ...} : ensemble de sous-ensembles flous de XV,
utilisés pour caractériser V. Par exemple: (Age-Personne, [0,130], {Très-jeune,
Jeune, Agé})
1
0Age
Très-jeune Jeune Agé
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Proposition floue Proposition floue élémentaire : qualification « V est A » d'une variable linguistique (V, XV, TV) Par exemple: « Age-personne est jeune »
Proposition floue générale : composition de propositions floues élémentaires de variables linguistiques qui peuvent être distinctes Soit « V est A » p.f.e. de (V, XV, TV), et « W est B » p.f.e. de (W, XW, TW),
Exemples de proposition floue générale : « V est A et W est B »« V est A ou W est B »
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Proposition classique : valeur de vérité {0, 1} (FAUX ou VRAI)
Proposition floue : la valeur de vérité est un sous-ensemble flou à valeurs dans [0,1]
Valeur de vérité pA de « V est A » : fA fonction d'appartenance de A
Négation: « V n'est pas A » : pAc= fAc = 1-fA Valeur de vérité p d'une proposition floue générale : agrégation des valeurs de vérité pA et pB de chaque proposition floue élémentaireLe type d'agrégation dépend de la composition réalisée (et, ou,...)
Conjonction « V est A et W est B » : pAB= min(pA, pB) Disjonction « V est A ou W est B » : pAB= max(pA, pB)
Valeur de vérité d’une proposition floue
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Règle de production : lien particulier (implication) entre 2 propositions floues« V est A W est B » est lue « si V est A alors W est B »« V est A » est la prémisse« W est B » est la conclusionPar exemple: « si Age-personne est Jeune alors Salaire est Bas »
Valeur de vérité de l'implication « V est A W est B » : évaluée par une fonction implicative fI : X x Y [0,1]
x X, y Y, fI(x, y) = (fA(x), fB(y))
est une fonction [0,1]x[0,1] [0,1] qui est équivalente à l'implication classique quand les propositions sont classiques.
Implication floue
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Principales fonctions d'implication floue
fI(x, y) = (A(x), B(y))
-
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Logique classique vs Logique floue
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Modus ponens de la logique classiqueRègle: Prémisse ConclusionObservation: Prémisse-observéeDéduction: Conclusion
Modus ponens : règle de déduction pour inférer de la connaissanceRègle: H est humain H est mortelObservation: Socrate est humainDéduction: Socrate est mortel
Mode de raisonnement classique
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Modus ponens généralisé : extension du MP aux propositions floues
Soient (V, XV, TV) et (W, XW, TW) deux variables linguistiques
Règle floue: V est A W est B fA fB
Observation floue: V est A' fA'
Déduction: W est B' fB'
fA, fB, et fA' sont connus, on recherche la valeur de fB'(y), y Y
Mode de raisonnement flou
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Règle floue « V est A W est B » Implication x X, y Y, fI(x,y)= (fA(x), fB(y))
Le MPG combine la règle floue avec l'observation « V est A' » pour construire la conclusion B'
Opérateur de modus ponens généralisé : fonction T de [0,1]x[0,1] dans [0,1] pour combiner fI et fA'T est une t-normeT est liée à fI pour que le MPG soit compatible avec le modus
ponens classique. On a, pour tout y Y :
fB' = supx X T(fI(x,y), fA'(x))
Modus ponens généralisé
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Une règle
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Plusieurs règles
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Exemple d’un système de règles floues
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Max-Min inférence : exemple
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Max-Min inférence : autre exemple
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Exemples d'opérateurs de MPG Zadeh : u,v [0,1], T(u,v) = min(u,v)Utilisé avec les implications de Mamdani, Larsen,...
Lukasiewicz : u,v [0,1], T(u,v) = max(u+v-1,0)Utilisé avec les implications de Lukasiewicz, Reichenbach, Mamdani, Larsen,...
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Applications du modus ponens généralisé
Commande floue : ensemble de règles floues + entrée numérique + sortie numérique Contrôle flou de processus Phase de défuzzification nécessaire
Systèmes experts flous : ensemble de règles floues + entrée floue + sortie floue Raisonnement flou, inférence de connaissances Pas de défuzzification
Raisonnement par analogie : ensemble de règles floues + entrée floue + sortie floue B' est à B ce que A' est à A ressemblance (A,A') doit être la même que
ressemblance(B,B')
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Imprécisions et incertitudes Théorie des sous-ensembles flous
Modélisation des connaissances imprécises (« environ 20 ans ») ou vague (« jeune »)
traitement dans un même cadre des connaissances numériques et des connaissances symboliques
Ne permet pas de manipuler dans un même formalisme imprécisions et incertitudes ce qui est très généralement lié : « je suis sûr que nous
sommes en fin d'après-midi » mais « je ne suis pas certain qu'il soit exactement 17h30 »
De plus, un raisonnement basé sur des connaissances imprécises engendre souvent des incertitudes « Mon train est à 9h32, si je pars de chez moi vers 9h
quelle est la certitude que je puisse l'avoir? »
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Théorie des possibilités Introduite en 1978 par L. A. Zadeh (puis popularisée
par Dubois et Prade), en liaison avec la théorie des sous-ensembles flous : But: raisonner sur des connaissances imprécises ou vague,
en introduisant un moyen de prendre en compte des incertitudes sur les connaissances.
Incertitudes non-probabilistes sur des événements : impossibilité d'évaluer correctement leur probabilité de réalisation. « Serais-je en salle 506 lundi 24 Novembre à 14h ? » Probabilité: ici, peu réaliste à évaluer « Il est relativement possible que je sois dans cette salle, et
c'est même assez certain. »
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Soit un ensemble de référence fini X On souhaite attribuer à chaque sous-ensemble de X
(on parle alors d'événements) un coefficient compris entre 0 et 1 évaluant à quel point cet événement est possible.
Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de possibilité définie sur P(X), l'ensemble des parties de X, à valeur dans [0,1], telle que:
(∅)=0, et (X)=1 (A,B) P(X)2, (A∪B) = max((A), (B))
Un événement est tout à fait possible si la mesure de sa possibilité est égale à 1.
Mesure de possibilité
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Mesure de possibilité : propriétés Une mesure de possibilité vérifie:
(A,B) P(X)2, (A∩B) ≤ min((A), (B)) En particulier, l'occurrence simultanée de 2
événements possibles peut être impossible Monotonie relativement à l'inclusion des
parties de X Si A B alors (A) ≤ (B)
A P(X), max((A), (Ac)) = 1 A P(X), (A) + (Ac) ≥ 1
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Mesure de nécessité Une mesure de possibilité fournit une information sur
l'occurrence d'un événement mais elle ne suffit pas pour décrire l'incertitude existante sur cet événement (A) = 1 et (Ac)=1 peuvent être vérifiés en même temps:
indétermination complète sur la réalisation de A. On attribue à chaque événement un coefficient
évaluant à quel point la réalisation de cet événement est certaine.
Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de nécessité N définie sur P(X), à valeur dans [0,1], telle que :
N(∅)=0, et N(X)=1 ∀(A,B)∈ P(X)2, N(A∩B) = min(N(A), N(B))
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Mesure de nécessité : propriétés Une mesure de nécessité vérifie:
(A,B) P(X)2, N(AB) ≥ max(N(A), N(B)) Monotonie relativement à l'inclusion des
parties de X Si A B alors N(A) ≤ N(B)
A P(X), min(N(A), N(Ac)) = 0 A P(X), N(A) + N(Ac) ≤ 1
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Relations possibilité / nécessité Une mesure de nécessité N peut être obtenue à
partir d'une mesure de possibilité par : A P(X), N(A) = 1 - (Ac)
Plus un événement A est affecté d'une grande nécessité, moins son complémentaire Ac est possible.
On a de plus: A P(X), (A) ≥ N(A) A P(X), max((A), 1-N(A))=1
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Distribution de possibilité Une mesure de possibilité est totalement définie
si on attribue un coefficient de possibilité à toute partie de X.
si on indique un coefficient seulement aux parties élémentaires de X, une partie quelconque étant l'union de parties élémentaires.
Une distribution de possibilité est une fonction définie sur X, à valeur dans [0,1], telle que : supxX (x) = 1
A partir d 'une distribution de possibilité , on construit une mesure de possibilité : A P(X), (A) = supxA (x)
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Possibilité et nécessité ont été introduites pour quantifier la certitude sur un événement, elles s'appliquent à des sous-ensembles ordinaires de X
Pour des sous-ensembles flous de X, on peut indiquer dans quelle mesure ils sont possibles et/ou certains, à partir d'une connaissance préalable donnée sur X.
Ainsi, étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X, un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus acceptable qu'il sera compatible avec A.
On évalue alors la possibilité de B relative à A par :
(B; A)= supxX min (fB(x), fA(x))
(B; A) mesure le degré maximal avec lequel un élément x de X peut appartenir à la fois à A et à B.
Possibilité de sous-ensemble flou
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Nécessité de sous-ensemble flou Étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A
de X, un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus acceptable qu'il sera compatible avec A.
On évalue alors la nécessité de B relative à A par : (B; A)= 1- (Bc; A)= infxX max (fB(x), 1-fA(x))
N(B; A) mesure le degré avec lequel B est inclus dans A.
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Exemple On représente le concept de « vitesse rapide » par un s.e.f. Sur
l'espace des vitesses. Une moto roule à env. 100km/h. Questions:
Avec qu'elle certitude peut on dire que la moto roule avec une vitesse rapide?
Avec quel degré env. 100km/h signifie-t-il « vitesse rapide »?
90 100 110
1
0km/h
Rapide~100 km/h
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Exemple : possibilité et nécessité(env.100; Rapide)= supxX min (fenv.100(x), fRapide(x)) = 0,6
(env.100; Rapide)= infx X max (fenv.100(x), 1-fRapide(x))= 0
1 Rapide~100 km/h
90 100 110
1
0km/h
Rapide~100 km/h
90 100 1100
km/h
0,6
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Apprentissage non supervisé Étant donné un ensemble d'exemples (des
points dans un plan, ...) On ne connaît pas de classe à associer
aux exemples Il faut découvrir des classes, faire des
regroupements d'éléments similaires Clustering = construction de paquets
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Méthodes de C-moyennes Une des plus anciennes méthodes de clustering existantes
(1967). Algorithme des C-means. Partition d'une population Affectation sans équivoque ( ou ) de chaque exemple à une
classe L'algorithme :
1. Sélection de c points (au hasard) : centroïdes.2. Affectation de chaque exemple au centroïde le plus proche (distance).
Constitution de clusters.3. Calcul de nouveaux centroïdes : on prend la moyenne, composante par
composante, pour tous les exemples d'un cluster.4. Retour à l'étape 2 jusqu'à stabilisation des frontières entre les clusters.
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C-moyennes: étape 1
XX
X
X
X
O
XX
XX
O
X
X
X
X
O X
XX
X
X
X
X
X
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C-moyennes: étape finale
X
X
XX
X
X
X
XX
XX
X
X
X
X
X
X X
X
X
X
X
X
X
OO
O
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Méthodes des C-moyennes: Inconvénients
Problèmes de prise en compte des variables non-numériques (nécessité de posséder une mesure de distance) Traduction en valeurs numériques Construction de matrices de distances
Problème du choix du nombre de centroïdes c Problème du choix de la normalisation dans le
calcul de la distance (même poids pour chaque composante) Pondération, normalisation, agrégation
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Méthode des C-moyennes floues Généralisation de l'algorithme des C-moyennes
Partition floue des données Fonctions d'appartenance aux clusters
Problématique : trouver une pseudo-partition floue et les centres des clusters associés qui représente le mieux la structure des exemples. Utilisation d'un critère permettant de mesurer les
associations fortes à l'intérieur d'un cluster, faibles à l'extérieur Index de performance
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Rappels Pseudo-partition floue
Ensemble de sous-ensembles flous non vides {A1, A2,..,An} de X tel que:
xX,
C-partition floue Une c-partition floue (c>0) de X est une famille P
={A1, A2,..,Ac} de c sous-ensembles flous tels que :
1)(1
xAn
ii
c
kkic
c
iki nxAixAXx
11
)(0,et 1)(,
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C-moyennes flouesSoit X={x1, x2, ..., xn} un ensemble de données où chaque xk peut être un
vecteur: xk=(xk1, xk2,...,xkp)Étant donné une c-partition floue P= {A1, A2,..,Ac}, les c centres v1, v2,..., vc
associés à chaque cluster flou sont calculés par :
Avec mℝ, m > 1, influence des degrés d'appartenance. vi: centre du cluster flou Ai
Moyenne pondérée des données de Ai Le poids d'une donnée xk est la puissance mième de son degré
d'appartenance à Ai.
n
i
mki
k
n
i
mki
ic
xA
xxAvi
1
1
)(
)(,
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Soit la c-partition floue P= {A1, A2,..,Ac}, son indice de performance est défini par:
Avec ||.||: norme sur ℝp qui permet de mesurer la distance entre xk et vi
Plus Jm(P) est faible, meilleure est P
Index de performance d'une partition floue
2
1 1
)()( ik
n
k
c
i
mkim vxxAPJ
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Algorithme de Bezdek (1981) Algorithme d'optimisation d'une partition
floue: algorithme des c-moyennes floues (Fuzzy c-means).
Hypothèses: C connu, On possède une distance (mesure), Un réel m ]1,+∞[ est donné, Un nombre positif ℇ petit est donné (critère d'arrêt).
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Algorithme de Bezdek Etape 1: Soit t=0, sélectionner une partition floue initiale P(0). Etape 2: Calculer les c centres v1
(t), v2(t),...,vc
(t) pour P(t) grâce à (1) Etape 3: Mise à jour de P(t) pour construire P(t+1): xk X,
Si alors
si pour quelque iI ℕc , alors on définit
pour iI par tout nombre réel >0 tel que:
et on définit pour tout iℕc-I
Etape 4: Comparer P(t) et P(t+1)
Si |P(t) - P(t+1)| ≤ ℇ alors on s'arrête, sinon on incrémente t et on retourne à l'étape 2. On a :
(distance entre les partitions)
ct
ik ivx , 0)(
c
j
n
tjk
tik
kt
ivx
vxxA
1
1
11
2)(
2)()1( )(
0)( tik vx )()1(
kt
i xA
0)()1( k
ti xA
Ii
kt
i xA 1)()1(
)()( max )()1(
,
)1()(k
tik
ti
ki
tt xAxAPPcc
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Construction de clusters flous – Exemple
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Construction de clusters flous – Résultat final
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Arithmétique floue - Intervalles et nombres flous Un sef F est convexe si
(x, y)RxR, z [x,y], fF(z)min(fF(x), fF(y)) Propriété équivalente au fait que toute –coupe
de F est une partie convexe de R. Quantité floue : sef normalisé de R. Intervalle flou : quantité floue convexe Nombre flou : intervalle flou de fonction
d’appartenance semi-continue supérieurement et de support compact.
a bm
1
R0
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Addition floue
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Arithmétique floue – Intervalles flous de type L-R (1) Quantité floue I dont la fonction
d’appartenance dépend de 4 paramètres (m,m’,a,b) et de 2 fonctions L er R telles que : L(0)=R(0)=1 L(1)=0 ou L(x)>0 x avec limx L(x)=0 R(1)=0 ou R(x)>0 x avec limx R(x)=0 I=(m,m’,a,b)LR
' si '' si 1
si
)(
mxb
mxR
mxm
mxa
xmL
xf I
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Arithmétique floue – Intervalles flous de type L-R (2) Cas particulier : nombre flou I=(m,a,b) LR
avec m=m’. Fonctions L et R particulières :
L(x)=R(x)=max(0,1-x) pour des intervalles flous trapézoïdaux ou des nombres flous triangulaires.
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Arithmétique floue – Opérations sur les L-R I=(m,m’,a,b)LR J=(n,n’,c,d)LR alors : -I=(-m’,-m,b,a)RL I J = (m+n, m’+n’, a+c, b+d)LR I J = (m-n’, m’-n, a+d, b+c)LR si L=R
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Fonction appliquée à un nombre flou