Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
str1
Voved
Predmet na analiti~kata geometrija e prou~uvawe na geometriskite objekti (to~ka, liniii , ramnina i dr.) i nivnite zaemni polo`bi vo prostorot so
pomo{ na metodite na algrbrata. Prv i najva`en ~ekor na analiti~kata geometrija e napraven so voveduvawe na koordinatniot sistem i opredeluvaweto
na polo`bata na bilo koja to~ka vo ramninata ( i prostorot) so pomo{ na broevi-nare~eni koordinati na taa to~ka.
Toa otvora mo`nost za izrazuvawe so pomo{ na broevi i brojni soodnosi i
na poslo`eni geometriski objekti, kako {to se liniite ( pravi ili krivi ), ramninite, povr{inite i dr. Toa go postignuvame preku metodot na analiti~kata
geometrija - nare~en metod na koordinati. Analiti~kata geometrija ima dve osnovni zada~i , toa se:
1. Da ja sostavi ravenkata na dadena linija (mno`estvo od to~ki) vo
ramninata ili prostorot, {to e opredelena so svoite geometriski svojstva, i
2. Da gi prou~i i sistematizira site geometriski svojstva na edna linija, {to e zadadena so svijata ravenka.
Prethodno, pred da iznesam pove}e op{ti zada~i na prava i nivno re{avawe, {to e i celta na ovaa tema , treba da se iznesat nekoi poimi i formuli povrzani so
re{avaweto na zada~ite.
1.Osnovni poimi i formuli vo analiti~ka geometrija
Definicija 1: Sistemot obrazuvan od dve zaemno normalni brojni oski (Oh,
Ou) vo ramninata se vika pravoagolen koordinaten sistem ili Dekartov
pravoagolen koordinaten sistem. Oskata Oh se vika apcisna oska, a oskata Ou se vika ordinatna oska.
Prese~nata to~ka O se vika koordinaten po~etok. Ramninata zadadena so koordinatniot sistem se vika koordinatna ramnina i se ozna~uva hOu.
Koordinatnata ramnina so koordinatnite oski e podelena na ~etiri delovi koi se
vikaat kvadranti. Vo ovoj koordinaten sistem e opredelena mestopolo`bata na sekoja to~ka
(M-proizvolna to~ka) so podreden par broevi (h,u) t.e M (h,u), koi se vikaat koordinati na to~kata i toa h-apcisa,a u-ordinata.
Vo pravoagolen kordinaten sistem rastojanieto me|u dve to~ki M1(h1,u1) i
M2(h2,u2) e dadeno so formulata : 212
2122121 )yy()xx(),Md(MMM .
Koordinatite na to~kata M(h,u) koja {to ja deli otse~kata me|u to~kite
M1(h1,u1) i M2(h2,u2) po odnos
2
1
MM
MM se izrazeni so formulate:
1
yyy,
1
xxx 2121 , vo slu~aj to~kata M da ja polovi otse~kata M1M2
nejzinite kordinati se od oblik: 2
yyy,
2
xxx 2121
.
Plo{tinata na triagolnikot {to e zadaden so koordinatite na negovite
temiwa A(h1,u1), V(h2,u2), S(h3,u3) se presmetuva so formulata:
)yy(x)yy(x)yy(x2
1P 213132321
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
str2
2.Vidovi ravenki na prava
1. Kanoni~en (ekspliciten) vid ravenka na prava: y=kx+n , kade {to k e
koeficient na pravec na pravata, a n e otse~kata {to ja otsekuva pravata na
ordinatnata oska . 2. Ravenka na prava {to minuva niz dve to~ki A(h1,u1), V(h2,u2) :
)xx(xx
yyyy 1
12
121
3. Snop pravi niz to~ka M1(h1,u1): )xx(kyy 11 kade {to k e poznat
koeficient na pravec .
4. Segmenten vid ravenka na prava: 1n
y
m
x , kade {to m i n se otse~kite {to
gi otsekuva pravata na koordinatnite oski Oh i Ou soodvetno.
5. Op{t vid ravenka na prava: Ah+Vu+S=0
6. Normalen vid ravenka na prava: xcos+ysin-p=0 , kade {to e agolot {to go
zafa}a normalata na pravata povle~ena niz koordinatniot po~etok so pozitivnata nasoka na h-oskata i r e rasojanie od koordinatniot po~etok do
pravata. So pomo{ na normalniot vid ravenka na prava mo`e da se presmeta
rastojanieto od to~ka do prava so slednava formula 22
11
BA
CByAxd
Presekot na pravite (koordinatite na prese~nata to~ka) A1h+V1u+S1=0 i
A2h+V2u+S2=0 se odreduvaat so re{avawe na sistemot
0CyBxA
0CyBxA
222
111
Agolot me|u dve pravi se presmetuva so formulata 21
12
kk1
kktg
kade {to k1 i
k2 se koeficienti na pravcite na pravite.
Dve pravi se paralelni ako k1 = k2 , a normalni koga 1
2k
1k .
Simetralite na aglite me|u dve pravi go imaat sledniov vid:
21
21
111
BA
CyBxA
=
22
22
222
BA
CyBxA
Ako A1h+V1u+S1=0 i A2h+V2u+S2=0 se ravenkite na pravite {to se se~at vo
edna to~ka R, toga{ A1h+V1u+S1 + (A2h+V2u+S2 )=0 se vika snop pravi vo
to~kata R.
Trite pravi A1h+V1u+S1=0 , A2h+V2u+S2=0 A3h+V3u+S3=0 minuvaat niz edna to~ka, ako me|u koeficientite na pravata postoi vrskata:
A1(V2S3- V3S2 ) +V1(A2S3- A3S2 )+ S1(A2V3- A3V2 )=0
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
str3
3.Op{ti zada~i za prava
Zada~a 1: Da se presmeta perimetarot na triagolnikot, ako se poznati
koordinatite na negovite temiwa: A(-2;1), V(2;-2) i S(8;6) Re{enie: Perimetarot na triagolnikot e zbir od dol`inite na stranite, pa
zatoa }e gi presmetame tie dol`ini:
525916)12())2(2()yy()xx(AB 22212
212 ;
55122525100)16())2(8()yy()xx(AC 22212
212
101006436))2(6()28()yy()xx(BC 22212
212
LABC =15+5 5 .
Zada~a 2: Dadeni se dve sosedni temiwa na kvadratot: A(3;-7) i V(-1;4). Da se
presmeta negovata plo{tina.
Re{enie: Neka stranata na kvadratot e a=AB . Dovolno e go presmetame rastojanieto(dol`inta na otse~kata) od A do V, a toa e
13712116))7(4())1(3()yy()xx(AB 22212
212 . Spored toa
P= AB2=137e2.
Zada~a 3: Na h-oskata da se najde to~ka ednakvo oddale~~ena od to~kite
A(-1;3), V(2;5) Re{enie: Neka M(h,u) e baranata to~ka. Bidej}i le`i na h-oskata, toga{
ordinatata u=0, pa spored toa to~kata e M(h;0). Od uslovot na zada~ata sleduva deka
MA = MB ,t.e. 22222 /)50()2x()30()1x( ; 25)2x(9)1x( 22 . So
re{avaweto na ovaa ravenka dobivame deka 6
19x , {to zna~i baranata to~ka e
M(6
19;0).
Zada~a 4: Na u-oskata da se najde to~ka ednakvo oddale~~ena od to~kite
A(-3;-5), V(4;-3) Re{enie: Neka M(h,u) e baranata to~ka. Bidej}i le`i na u-oskata, toga{
apcisata h=0, pa spored toa to~kata eM(0;u). Od uslovot na zada~ata sleduva deka
MA = MB ,t.e. 22222 /))3(y()40())5(y())3(0( ; 22 )3y(16)5y(9 . So
re{avaweto na ovaa ravenka dobivame deka 4
9y , {to zna~i baranata to~ka e
M(0;4
9 ) .
Zada~a 5: Edna podvi`na to~ka, {to imala po~etna polo`ba Mo(3;8), se
premestuva paralelno so u-oskata. Da se opredeli nejzinata polo`ba koga taa }e bide ednakvo oddale~ena od to~kite A(4;-7), V(-3;2).
Re{enie: Neka M(h,u) e baranata to~ka. Bidej}i se pomestuva po prava
paralelna so u-oskata, toga{ apcisata sekoga{ e 3, a ordinatata se menuva, pa
spored toa to~kata e M(3;u). Od uslovot na zada~ata sleduva deka MA = MB ,t.e. 22222 /)y2()33()y7()34( ; 22 )y2(36)y7(1 . So re{avaweto na
ovaa ravenka dobivame deka 1y , {to zna~i baranata to~ka e M(3;1) .
Zada~a 6: Edna podvi`na to~ka, {to imala po~etna polo`ba Mo(2;1), se
premestuva paralelno so h-oskata. Da se opredeli nejzinata polo`ba koga taa }e
bide na rastojanie 13 edinici od to~kata A(4;6). Re{enie: Neka M(h,u) e baranata to~ka. Bidej}i se pomestuva po prava
paralelna so h-oskata, toga{ ordinatata sekoga{ e 1, a apcista se menuva, pa
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
str4
spored toa to~kata e M(h;1). Od uslovot na zada~ata sleduva deka MA =13 ,t.e.
0128x8x;1692516x8x;/1325)4x(,13)61()4x( 222222 .So
re{avaweto na kvadratnata ravenka se dobivaat nejzinite re{enija: h1=-8 i h2=16.
{to zna~i postojat dve to~ki so baraniot uslov, a toa se M1(-8;1) i M2(16;1) .
baranata to~ka e M(3;1) . Zada~a 7: Da se opredelat kordinatite na to~kata Y {to otse~kata ja deli vo
odnos 1: 3, ako se dadeni kordinatite na to~kite A(-6;-2), V(2;10).
Re{enie: Neka Y(h;u) e to~kata {to ja deli otse~kata vo dadeniot odnos. Toga{
od formulata
1
yyy,
1
xxx 2121 7
4
28
31
1032y,0
4
0
31
236x
.
Baranata to~ka e Y(0;7).
Zada~a 8: Da se opredelat koordinatite na te`i{teto na triagolnikot AVS
~ii temiwa se to~kite: A(2;3), V(-10;-4) i S(2;-8) Re{enie: Kordinatite na te`i{teto T(h;u) na triagolnik so poznati
kordinati na negovite temiwa A(h1,u1), V(h2,u2), S(h3,u3) se presmetuvaat so
formulata 3
yyyy,
3
xxxx 321321
, spored toa
)3;2(T,33
)8()4(3y,2
3
2)10(2x
.
Zada~a 9: Temiwata na triagolnikot AVS se to~kite: A(3;6), V(-1;3) i S(2;-1).
Da se presmeta visinata na triagolnikot spu{tena od temeto S. Re{enie: Prvo da ja presmetame plo{tinata na dadeniot triagolnik, a potoa
od formulata AB
P2h c }e ja najdeme visinata, predhodno opredeluvaj}i ja i
dol`inata na stranata AB .
2
25)36(2)61()1())1(3(3
2
1)yy(x)yy(x)yy(x
2
1P 213132321 ,
dol`inata na stranata 5916)36())1(3()yy()xx(AB 22212
212 .
Kone~no 55
2
252
AB
P2h c .
Zada~a 10: Plo{tinata na triagolnikot AVS zadaden so koordinatite na
negovite temiwa A(3;5), V(2;-6) i S(h;-3) ima plo{tina 18 e2. Da se opredeli
apcisata na to~kata S Re{enie: Od uslovot na zada~ata sleduva
22222 36625x550x121/36)25x,xx
x1116936;))6(5(x)51(2))3(6(32
118
(11 zatoa to ravenstvokoristime go
So sreduvawe na ravenstvoto se dobiva slednava kvadratna ravenka
061x50x11 2 ~ii re{ernija se h1=-1 i h1=11
61. Spored toa postojat dva mo`nosti
za izbor na temeto S i toa S1(-1;-3) i S2(11
61;-3).
Zada~a 11: Kakva vrska treba da postoi me|u koordinatite na to~kata N(x,y)
ako taa se premestuva taka, {to da bide na postojano na ednakvo rastojanie od
to~kite A(7;-3) i V(-2;1). Re{enie: Neka N(x,y) e proizvolna to~ka koja go ima dadenoto svojstvo, toga{
NA = NB ,t.e. 22222 /)1y()2x()3y()7x( ; 2222 )1y()2x()3y()7x( .
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
str5
So sreduvawe na poslednata ravenka se dobiva ravenkata 18h-8u=53 koja e
simetrala na otse~kata AB (to~kata treba da le`i na simetralata na AB ).
Zada~a 12: Dadeni se dve sprotivni temiwa na eden kvadrat: A(3;0) i S(-4;-1).
Da se opredelat drugite dve temiwa na kvadratot. Re{enie: Da ja presmetame dol`inata na dijagonalata d.
50149)01()34(d 22 . Neka V(h;u) e teme na kvadratot. Od relacijata
ACd 2AB mo`eme da ja odredime apcisata na V imame 22222 /y)3x(50;)0y()3x(50 . So sreduvawe na poslednata ravenka se
dobiva ravenkata h2-50h=0 ~ii re{enija se broevite h1=1 i h2=0, a po~etnata
iracionalna ravenka ja zadovoluva samo h2=0. Sega od relacijata AB = CB , t.e. 22222 /)1y()4x()0y()3x( ; 2222 )1y()4x(y)3x( . Po sreduvawe na
ovaa ravenka se dobiva ravenkata u=7h+4. Ako zamenime h=0 vo u=7h+4 , sleduva
u=4. Spored toa temeto Vima koordinati h=0 i u=4, t.e. V(0;4). Sega da ja odredime to~kata Y koja e sredina na dijagonalata. Taa ima koordinati
)2
1;,
2
1
2
01y,
2
1
2
43x
2
1Y(- t.e.
. Temeto D e simetri~na to~ka na V vo odnos na
srednata to~ka Y, pa zatoa negovite koordinati se
)3;D;3y2
1
2
y4;1x
2
1
2
x0
(-1 t.e. .
Zada~a 13: Za triagolnikot so temiwa vo to~kite A(5;3), V(2;-1) i S(1;4) da se presmetaat dol`inite na srednite linii(te`i{ni linii) i da se opredelat
koordinatite na nivnata prese~na to~ka. Re{enie: Neka A1, V1 i S1 sredinite na stranite VS, SA i AV soodvetno na
triagolnikot. Prvo da se odredat nivnite koordinati.
Za A1 : ).2
3;
2
3;
2
3
2
41y;
2
3
2
12x ( At.e. 1
Za V1 : ).2
7;;
2
7
2
43y;3
2
15x (3V t.e. 1
Za S1 : ).1;2
7;1
2
13y;
2
7
2
25x (S t.e. 1
Presekot na srednite linii e
te`i{teto T , a negovite koordinati se: )2;3
8(T,2
3
4)1(3y,
3
8
3
125x
.
Sega da gi presmetame dol`inite na srednite linii:
2
58
2
3
2
7)yy()xx(AA
22
212
2121
2
85
2
91)yy()xx(BB
2
212
2121
2
343
2
5)yy()xx(CC 2
2
212
2121
.
Zada~a 14: Povr{inata na eden triagolnik e 3e2. Dve negovi temiwa se
to~kite A(3;1) i V(1;-3). Te`i{teto na to~kite se nao|a na h-oskata. Da se opredelat koordinatite na temeto S.
Re{enie: Neka T(h;u) e te`i{te na triagolnikot. Od toa {to toa le`i na h-
oskata sleduva deka u=0. Sega da ja odredime ordinatata u na temeto S:
.2y3
y310
Spored toa S(h,2). Apcisata h na S }e ja odredime od formulata
za plo{tina na triagolnik, t.e.
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
str6
222 614xxx14x464x11632
13 /),;))( (4 zatoa to ravenstvokoristime go
So sreduvawe na ravenstvoto se dobiva slednava kvadratna ravenka 016x7x 2 ~ii re{ernija se h1=2 i h1=5. Spored toa postojat dva mo`nosti za izbor na temeto
S i toa S1(2;2) i S2(5;2).
Zada~a 15: Da se doka`e deka vo sekoj pravoagolen triagolnik dol`inata na
otse~kata {to go soedinuva temeto pri praviot agol so sredinata na hipotenuzata
e ednakva na polovina od dol`inata na hipotenuzata. Re{enie: Neka A(h1,u1), V(h2,u2), S(h3,u3) se temiwa na pravoagolniot
triagolnik, vo koj praviot agol e vo temeto S a S1 e sredina na hipotenuzata i
nejzinite koordinati se .2
yyy;
2
xxx 2121
2
AC
2
)yy()xx(
4
)yy()xx(
2
yy
2
xx
2
yyy
2
xxxAC
221
221
221
221
2
21
2
21
2
211
2
2111
{to trba{e da se doka`e.
Zada~a 16: Vo triagolnikot opredelen so pravata 3x2
1y i koordinatnite
oski e vpi{an kvadrat taka {to, dve negovi strani se sovpa|aat so koordinatnite oski. Da se opredelat koordinatite na negovite temiwa.
Re{enie: Neka temiwata na kvadratot se O, A, V i S. Temeto V le`i na
dadenata prava , pa zatoa h=u , t.e. V(h;h). Ako gi zamenime negovite temiwa vo ravenkata na dadenata prava se dobiva deka h=2. Spored toa, temiwata na kvadratot
se: O(0;0); A(2;0), S(2;2) i S(0;2) .
Zada~a 17: Da se opredelat agolot me|u pravata i pozitivnata nasoka na h-
oskata, kako i otse~kite {to pravata gi otsekuva na u-oskata:
a) 5
8x
5
2y b) u=-3h+2 v) u=-7 g) h=3
Re{enie: Od kanoni~niot vid ravenka na prava y=kx+n sleduva deka :
a) k=tg = 5
2=arctg
5
221o48’, a b=
5
8 b) k=tg = -3=arctg(-3)108o26’, a b= 2;
v) a) k=tg = 0=arctg0=0, a b= -7 g) pravata e normalna na u-oskata, zatoa
=90o, i ne otsekuva otse~ka na u-oskata.
Zada~a 18: Kako glasat ravenkite na stranite na kvadratot, ako negovite
dijagonali se zemeni za koordinatni oski? Dol`inata na stranata e a.
Re{enie: Ako dijagonalite se zemeni za koordinatni oski, toga{ temiwata na kvadratot le`at na koordinatnite oski i }e bidat:
A(2
2a;0), B(0 ;
2
2a), C(-
2
2a;0), D(0 ;-
2
2a). Toga{ ravenkite na stranite }e
bidat:
AV: 2
2xy1
2
2
y
2
2
x a
aa ; VS:
2
2xy1
2
2
y
2
2
x a
aa
;
CD: 2
2xy1
2
2
y
2
2
x a
aa
; DA: 2
2xy1
2
2
y
2
2
x a
aa
.
Zada~a 19: Da se opredeli ravenkata na pravata {to minuva niz to~kata
A(3;1), a na ordinatnata oska otsekuva otse~ka n=5.
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
str7
Re{enie: Neka baranata prava e y=kx+n . Bidej}i taa otesekuva ote~ka n=5 na u-
oskata i treba da minuva niz dadenata to~ka sleduva deka nejzinite koordinati ja
zadovoluvaat ravenkata na pravata i t.e. 1=3k+5 od kade k=3
4 . Ravenkata na
daenata prava glasi y=3
4 x+5 t.e. 4x+3y-15=0.
Zada~a 20: Da se opredeli ravenka na prava {to minuva niz to~kite A(-1;2) i V(2;1)
Re{enie: Od formulata )xx(xx
yyyy 1
12
121
(ravenka na prava niz dve to~ki )
sleduva deka baranata prava e : t.e. 05y3x)1(x3
1))1((x
)1(2
212y
.
Zada~a 21: Otse~kata AV ~ii krajni to~ki se A(2;-1) i V(7;9) e podelena so
pravata {to minuva niz to~kata S(1;-2) vo odnos 2:3. Da se opredeli ravenkata na pravata.
Re{enie: Prvo da gi najdeme kordinatite na to~kata Y {to ja deli
otse~katavo dadeniot odnos. .; 3
3
21
93
21
y4
3
21
73
22
x
Sega da ja napi{eme
ravenkata na pravata ni to~kata S i Y(4;3):
t.e.5 011y3x)4(x3
5)4(x
41
323y
.
Zada~a 22: Da se sostavi ravenka na prava {to minuva niz to~kata A, a so
pozitivnata nasoka na h-oskata formira agol :
a) A(2;5) , =45o b) A(-1;3) , =150o
Re{enie: Od ravenka na prava u-u1=k(h-h1) sleduva: a) Baranata ravenka na pravata e : u-5=tg45o(h-2)=x-2 t.e. x-y+3=0
b) Baranata ravenka na pravata e : u-3=tg150o(h-2)=3
3(x-2 )t.e. 3 x-y-2 3 +9=0 .
Zada~a 23: Da se opredeli ravenka na pravata koja na kordinatnite oski
otsekuva otse~ki so dol`ina:
a) m=3, n= -2 b) m= -1, n= -3
Re{enie: a) Od 1n
y
m
x sleduva 06y3x21
2
y
3
x
b) 03yx313
y
1
x
.
Zada~a 24: Dijagonalite na rombot koi se ednakvi na 10 i 4 edinici, se zemeni
za koordinatni oski. Da se opredelat ravenkite na stranite na rombot. Re{enie: Ako dijagonalite na rombot se zemeni za koordinatni oski, toga{
temiwata na rombot le`at na koordinatnite oski i }e bidat: A(2;0), B(0 ;5), C(-2;0),
D(0 ;-5). Toga{ ravenkite na stranite }e bidat:
AV: 15
y
2
x ; VS: 1
5
y
2
x
;CD: 1
5
y
2
x
; DA: 1
5
y
2
x
.
Zada~a 25: Da se opredeli ravenkata na prava {to minuva niz to~kata A(3;-7),
a otsekuva na koordinatnite oski ednakvi otse~i. Re{enie: Od uslovot na zada~ata sleduva deka m=n, zatoa baranata prava e
myx1m
y
m
x t.e. . Bidej}i pravata treba da minuva niz dadenata to~ka, toga{
ako gi zamenime nejzinite koordinati vo ravenkata dobivame 3-7=m t.e. m=4.
Spored toa, baranata ravenka na pravata e h+u+4=0 .
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
str8
Zada~a 26: Niz to~katas T(3;5) da se povle~e prava taka {to, otse~kite {to gi
otsekuva na kordinatnite oski se odnesuvaat kako 3:4. Re{enie: Od uslovot na zada~ata sleduva deka m:n=3:4 t.e m=3k i n=4k kade {to
k e nekoj proizvolen broj , zatoa baranata prava e k12y3x1k4
y
k3
x 4 t.e. . Bidej}i
pravata treba da minuva niz dadenata to~ka, toga{ ako gi zamenime nejzinite
koordinati vo ravenkata dobivame 4
9kk125334 . Spored toa, baranata
ravenka na pravata e 027y3x44
912y3x t.e. 4 .
Zada~a 27: Edna prava minuva niz to~kata N(4;1), a na kordinatnite oski otsekuva otse~ki ~ii {to zbir e ednakov na 10 edinici. Da se opredeli nejzinata
ravenka. Re{enie: Od uslovot na zada~ata sleduva deka m+n=10 t.e n=10-m, zatoa
baranata prava e 1m10
y
m
x
. Bidej}i pravata treba da minuva niz dadenata
to~ka, toga{ ako gi zamenime nejzinite koordinati vo ravenkata dobivame
:m1m10
1
m
4 po ravenkakvadratna slednava dobiva se ravenkatana sreduvawe po ,
m2-13m+40=0 ~ii re{enija se m1=5 i m2=8 . So zamena vo n=10-m dobivame n1=2 i
m2=5 Spored toa, postojat dve pravi {to gi zadovoluvaat uslovite na zada~ata, a
toa se: 05y-x15
y
5
x t.e. i 08y-4x1
2
y
8
x t.e. .
Zada~a 28: Da se sostavi ravenka na prava {to minuva niz to~kata B(5;-5), a
otsekuva na kordinatnite oski triagolnik so plo{tina ednakva na 50 e2.
Re{enie: Neka baranata prava e 1n
y
m
x . Plo{tinata na triagolnikot e
m
100n100nm50
2
nm
tuka od a t.e. , . Ako n go zamenime vo ravenkata na pravata
1n
y
m
x dobivame 0m100ymx1001
100
my
m
x 2 t.e. Bidej}i pravata treba da
minuva niz dadenata to~ka, toga{ ako gi zamenime nejzinite koordinati vo ravenkata dobivame :m po ravenkakvadratna m2+20m-100=0 ~ii re{enija se
m1= 21010 i m2= 21010 . So zamena vo m
100n i so racionalizirawe na
imenitelot dobivame n1=- )12(10 i n2= )21(10 . Pravata koja minuva niz dadenata
to~ka mo`e da ima tri polo`bi i zatoa formira so koordinatnite oski tri
triagolnici. Baranite dve pravi koi se dobivaat od prethodnoto razgleduvawe se:
)21( x+ )12( y-10=0 i )12( x+ )21( y+10=0.
Tretata prava {to minuva niz dadenata to~ka e 1n
y
m
x od kade {to so zamena
na koordinatite na dadenata to~ka se dobiva ravenkata 5m+5n=mn=100 t.e. m+n=20 .
Sega re{avaj}i go sistemot ravenki
10nm
20nm dobivame n=-10 i m=10. spored toa
tretata prava e x-y-10=0 .
Zada~a 29: Da se presmeta plo{tinata na triagolnikot {to go obarzuva
3h-4u -12=0 pravata so koordinatnite oski.
Re{enie: Neka dadenata prava 3h-4u -12=0 ja dovedeme vo segmenten vid t.e.
13
y
4
x . Spored toa dol`inite otse~kite {to gi otsekuva pravata na
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
str9
koordinatnite oski se katetite na pravoagolniot triagolnik, pa zatoa
2e62
34
2
nmP
.
Zada~a 30: Kakva polo`ba ima vo koordinatniot sistem pravata Ah+Vu+S=0
koga e : a) A=0, b) V=0, v) S=0
Re{enie: a) Ako A=0, toga{ ravenkata go dobiva oblikot B
Cy , pa zatoa
pravata e paralelna so h-oskata.
b) Ako V=0, toga{ ravenkata go dobiva oblikot A
Cx , pa zatoa pravata e
paralelna so u-oskata.
v) Ako S=0, toga{ ravenkata go dobiva oblikot xB
Ay , od kade se gleda deka
pravata ne otsekuva segment na koordinatnite oski, zatoa pravata minuva niz
koordinatniot po~etok.
Zada~a 31: Kakvi treba da bidat koeficientite A i V vo ravenkata na pravata
Ah+Vu+S=0 za da formira so pozitivnata nasoka na h-oskata: a) ostar agol b) tap agol.
Re{enie: a) Neka ravenkata na pravata ja dovedime vo kanoni~en(ekspliciten)
vid : B
Cx
B
Ay . Od toj vid se ot~ituva koeficientot na pravecot na pravata i toj
e B
Ak . Imaj}i vo predvid deka k= tg i agolot da bide ostar , sleduva deka
tg>0 t.e B
Ak >0. Od tuka 0
B
A povlekuva deka A i V treba da imaat razli~ni
znaci.
b) Od prethodno ka`anoto, sleduva deka ako agolot e tap , toga{ tg<0 t.e
B
Ak <0. Od tuka 0
B
A povlekuva deka A i V treba da imaat isti znaci.
Zada~a 32: Kakva vrska treba da postoi me|u koeficientite A, V, A1, V1 vo
ravenkite na pravite Ah+Vu+S=0 , A1h+V1u+S1=0 za da obarzuvaat ednakvi agli so pozitivnata nasoka na h-oskata
Re{enie: Za da dadenite pravi obrazuvaat ednakvi agli so pozitivnata nasoka
na h-oskata treba da imaat ednakvi koeficienti na pravci t.e. k=k1 od kade
sleduva 0BAABB
A
B
A11
1
1 kade {to B
Ak i
1
11
B
Ak se koeficienti na
pravcite na dadenite pravi, soodvetno.
Zada~a 33: Vo ravenkata na pravata 2h-(5m-2)u -3 da se opredeli m taka {to, pravata da zafa}a so h-oskata agol od 45o.
Re{enie: Koeficientot napravecot na pravata e 2m5
2
)2m5(
2
B
Ak
.
Za da bide ispolnet uslovot na zada~ata trba 145tg2m5
2 o
od kade {to sleduva
deka 5
4m .
Zada~a 34: Da se dovedat vo normalen vid ravenkite na pravite:
a) 5h+3u+11=0, b) 3h-7=0 , v) 2u+3=0 , g) -3h+4u+10=0 Re{enie: Dadena prava Ah+Vu+S=0 za da se dovede vo normalen vid trebada se
pomno`i so brojot 22 BA
1
vo koja se zema sprotivniot znak na S.
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
str10
a) Spored gore ka`anoto sleduva 34
1
35
1
22
i ako dadenata ravenka
5h+3u+11=0 ja pomno`ime so se dobiva 034
11y3x5
b) Za dobivame 5
1
4)3(
1λ
22
i ako dadenata ravenka -3h+4u+10=0 ja
pomno`ime so se dobiva 05
10y4x3
.
Zada~a 35: Da se presmeta rastojanieto od dadenata to~ka do dadenata prava: a) M(4;-2), 8h-15u-11=0 , b) M(2;7), 12h+5u-7=0
Re{enie: a) Ako ja iskoristime formulata za rastojanie od to~ka do prava
22
11
BA
CByAxd
dobivame 3
)15(8
)11()2()15(48d
22
b) Analogno kako pod a) sleduva deka 4512
)7(57212d
22
.
Zada~a 36: Da se presmetaat visinita na triagolnikot ako se znaat
kordinatite na negovite temiwa A(-2;5), V(6;-3) i S(1;9)
Re{enie: Prvo da gi opredelime ravenkite na stranite na triagolnikot, a potoa }e gi presmetame visinite na triagolnikot.
AV: )6(x)2(6
)5(3)3(y
; 03yx)6(x3y
AS: )1(x)2(1
593y
; 023y3x4)1(x
3
49y
VS: )1(x16
939y
057y5x12)1(x
5
129y .
Visinata ha pretstavuva rastojanie od temeto A do pravata BC i nejzinata
dol`ina e 13
56
512
)57(55212h
22
)(a .
Visinata hb pretstavuva rastojanie od temeto V do pravata AC i nejzinata
dol`ina e 5)3(4
23)3()3(612h
22b
.
Visinata hc pretstavuva rastojanie od temeto S do pravata AB i nejzinata
dol`ina e 2
27
11
)3(9111h
22c
.
Zada~a 37: To~kata A(2;-5) e teme na eden kvadrat; ednata negova strana se
nao|a na pravata h-2u-7=0. Da se presmeta negovata plo{tina.
Re{enie: Za da se presmeta plo{tinata treba da ja najdeme dol`inata na
stranata na kvadratot, a taa mo`e da se presmeta kako rastojanie od dadenata to~ka
do dadenata prava, t.e. 5)2(1
)7()2()5(12
22
a . Spred toa, R=a2= 22
e55 .
Zada~a 38: Da se presmeta rastojanieto me|u dvete paralelni pravi 3h-4u-10=0,
6h-8u+5=0 Re{enie: Za da se presmeta rastojanieto me|u dve paralelni pravi prvo treba
da se zema edna proizvolna to~ka od ednata prava, a potoa da se presmeta rastojanie
od to~ka do prava. Da ja zemame pravata 3h-4u-10=0. Neka h=0, toga{ u=2
5 . Sega da
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
str11
go presmetame rastojanieto od M(0; 2
5 ) do pravata 6h-8u+5=0.
2
5
)8(6
5)2
5()8(06
d22
.
Zada~a 39: Rastojanijata na to~kata M od pravite 5h-12u-13=0 i 3h-4u-19=0 se
soodvetno ednakvi na -3 i -5. Da se opredelata koordinatite na to~kata M. Re{enie: Ako iskoristeme rastojanie od to~kata M do dadenite pravi }e dobieme:
22 )12(5
)13(y)12(x53
od kade {to se nao|a slednava ravenka 26y12x5
22 )4(3
)19(y)4(x35
. od kade {to se nao|a slednava ravenka 6y4x3
Kordinatite na to~kata M se nao|aat so re{avawe na sistemot ravenki:
6y4x3
26y12x5 ~ie re{enie e h=2 i u=3, t.e. baranata to~ka e M(2;3).
Zada~a 40: Da se prersmetaat koordinatite na prese~nata to~ka na pravata 2h-
5u+3=0 so pravata paralelna so h-oskata i e oddale~ena od istata za 3 edinici.
Re{enie: Pravata koja e oddale~ena od h-oskata 3 edinici i e paralelna so nea ima ravenka u=3. Spored toa to~kata M ima koordinati M(h;3). So zamena na u=3 vo
ravenkata 2h-5u+3=0 se dobiva h=6.
Zada~a 41: Da se sostavi ravenka na prava {to minuva niz to~kata A(-3;1) i
niz prese~nata to~ka na pravite 5h+7u-1=0 i 3h-2u-13=0. Re{enie: Prvo da se odredi prese~nata to~ka M na pravite. Nejzinite
koordinati se nao|aat so re{avawe na sitemot ravenki:
013y2x3
01y7x5 ~ie
re{enie e h=3 i u=-2, t.e. baranata to~ka e M(3;-2). Sega da ja odredime ravenkata na
baranata prava koja minuva niz A(-3;1) i M(3;-2):
))3((x)3(3
121y
; 01y2x)3(x
2
11y .
Zada~a 42: Da se presmeta agolot me|u dvete pravi dadenis so ravenkite:
a) u=h i u=3h+5 , b) 3h-5u+2=0 i h+4u+3=0 Re{enie: Agolot me|u dve pravi se presmetuva spored slednava
formula21
12
kk1
kktg
, {to zna~i da go presmetame agolot treba da gi znaeme
koeficientite na pravite.
a) k1=1 i k2=3 sleduva ',, 332650arctg50131
13tg o
b) k1=5
3 i k2=
4
1 se soodvetno koeficienti na pravec na dadenite pravi, toga{
,o45)1arctg(1
5
3)
4
1(1
5
3
4
1
tg
t.e. agolot me|u pravite e 45o.
Zada~a 43: Niz to~kata M(3;5) da se povle~e prava pod agol 45o kon pravata
3h-2u+7=0. Re{enie: Neka baranata prava e y-y1=k1(x-x1).
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
str12
Od .5
1k
2
3k1
k2
3
1kk1
kk45tg 1
1
1
12
12o
Baranata prava e y-5=
5
1(x-3) t.e. x-
5y+22=0. No, niz istata to~ka mo`e da se povle~e u{te edna prava koja go zafa}a
dadeniot agol so dadenata prava. Toa e pravata koja e normalna na najdenata prava
x-5y+22=0. Zatoa taa prava }e ima koeficient k= 5
5
1
1
k
1
1
,i nejzinata ravenka
e y-5=-5 (x-3) t.e. 5x+y+20=0.
Zada~a 44: Za koj agol treba da se zavrti pravata 3h+u-6=0 okolu svojata
prese~na to~ka so u-oskata za da ja se~e pravata 2h-3u+5=0 pod agol od 45o ? Re{enie: Prese~nata to~ka na pravata 3h+u-6=0 so u-oskata e A(0;6). Pravata
3h+u-6=0 mo`e da rotira okolu prerse~nata oska vo dvete nasoki i neka nejzinata ravenka e y-6=kx . Koeficientot na pravecot na pravata }e go opredelime od
uslovot , deka taa treba da zafa}a agol od 45o so pravata 2h-3u+5=0 t.e. od
.5k
2
3k1
2
3k
1kk1
kk45tg
12
12o
Baranata prava e y-6=5x t.e. 5x-y+6=0. No, niz
istata to~ka mo`e da se povle~e u{te edna prava koja go zafa}a dadeniot agol so dadenata prava. Toa e pravata koja e normalna na najdenata prava 5x-y+6=0. Zatoa
taa prava }e ima koeficient k1=5
1
5
1
k
1 , i nejzinata ravenka e y-5=-
5
1x t.e.
x+5-30. Sega
.o45t.e.1
tg
2
351
2
35
kk1
kktg
12
12 .o1t.e.1 35tg
2
3
5
11
2
3
5
1
kk1
kktg
12
12
Zada~a 45: Edna prava na koordinatnite oski otsekuva otse~ki ~ij {to proizvod e 12, a paralelna e so pravata h+3u-16=0. Da se opredeli nejzinata ravenka
Re{enie: Neka pravata gi se~i koordinatnite oski vo to~kite A(m;0) i B(0;n),
toga{ mn=12. Koeficientot na pravata {to minuva niz to~kite A i V e ednakov na
m
n i toj treba da bide ednakov na koeficientot na pravata h+3u-16=0(zatoa {to
treba da se paralelni) t.e. m3n3
1
m
n . Sega ako se re{i sistemot
12mn
m3n gi
dobivame vrednostite za m i n t.e. 6m2n i . Spored toa, baranite pravi se :
06y3x12
y
6
x t.e. i 06y3x1
2
y
6
x
t.e. .
Zada~a 46: Niz to~kata A(2;-3) da se povle~e prava normalna na pravata
u=2h+1. Re{enie: Neka baranata prava e u-(-3)=k(h-2), a koeficientot na pravata
u=2h+1. e 2 a na baranata prava k=-2
1. Ravenkata na pravata e u+3=-
2
1(h-2) t.e.
h+2u+4=0.
Zada~a 47: Da se opredeli podno`jeto na normalata spu{tena od to~kata A(-1;7) kon pravata 3h-5u+4=0 .
Re{enie: Baranata normala e dadena so ravenkata u-7=k(h-(-1)). Sega k se
opredeluva od k=-1k
1kade {to k1=
5
3 e koeficient na pravata 3h-5u+4=0, t.e. k=
3
5 .
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
str13
Ravenkata na normalata e u-7=3
5 (h+1), t.e 5h+3u-16=0. Podno`jeto na normalata e
presek na samata normala i dadenata prava, zatoa ako se re{i sistemot
04y5x3
016y3x5~ie re{enie e h=2 i u=2, t.e. baranata to~ka(podno`na) e M(2;2).
Zada~a 48: Da se opredeli to~kata simetri~na so to~kata M(-2;-9) vo odnos na
pravata 2h+5u-38=0 .
Re{enie: Prvo da ja najdeme ravenkata na normalata na dadenata prava {to
minuva niz to~kata M(-2;-9). Neka nejzinata ravenka e u-(-9)=k(h-(-2)). Sega k se
opredeluva od k=-1k
1kade {to k1=
5
2 e koeficient na pravata 2h+5u-38=0, t.e. k=
2
5
. Ravenkata na normalata e u+9=2
5 (h+2), t.e 5h-3u-8=0. Podno`jeto na normalata e
presek na samata normala i dadenata prava, zatoa ako se re{i sistemot
038y5x2
08y2x5~ie re{enie e h=4 i u=6, t.e. baranata to~ka(podno`na) e M’ (4;6).
Sega mo`e da se odredi simetri~nata to~ka Y(h2;u2) na M(-2;-9) vo odnos na
poidno`nata to~ka M’ (4;6). Od 2
yyy
2
xxx 2121
, , sleduva
2
y96
2
x24 22
, t.e. h2 =10 i u2=21. Simetri~na to~ka e Y(10;21).
Zada~a 49: Da se opredelat ravenkite na simetralite na aglite {to gi
formiraat pravite h-3u+5=0 i 3h-u-2=0 .
Re{enie: Simetralite na aglite me|u dve pravi se opredeluvaat so formulata
21
21
111
BA
CyBxA
=
22
22
222
BA
CyBxA
. Zatoa
22 )3(1
5y3x
=
22 )1(3
2yx3
;
10
5y3x
=
10
2yx3 ; )5y3(x = )2yx3( . Baranite simetrali na aglite me|u
dadenite pravi se 4h-4u+3=0 i 2h+2u-7=0.
Zada~a 50: Ravenkite na stranite na triagolnikot se: h+u-15=0, h+7u-67=0 i
7h+u+29=0. Da se opredelat koordinatite na centarot i radiusot na vpi{anata kru`nica.
Re{enie: Centarot na vpi{ana kru`nica vo triagolnik e presekot na
simetralite na vnatre{nite agli. Zatoa dovolno e da gi odredime simetralite na dva agli vo triagolnikot, a potoa da go odredime nivniot presek. Simetralata na
agolot me|u pravite h+u-15=0 i h+7u-67=0 e : 22 11
15yx
=
22 71
67y7x
;
2
15yx =
50
67yx ; )15y(x5 = 67yx 04yx2 . Simetralata na agolot
me|u pravite h+u-15=0 i 7h+u+29=0 e : 22 11
15yx
=
22 17
29yx7
;
2
15yx =
50
29yx7 ; )15y(x5 = 29yx7 052y2x . Koordinatite na
prese~nata to~ka(centarot) se re{enijata na sistemot
052y2x
04yx2,t.e. h=20 i
u=36, t.e. S (20;36). Radiusot na vi{anata kru`nica e rasojanieto od centarot do
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
str14
starnite na triagolnikot (za da go presmetame r dovolno e da presmetame
rastojanie do edna strana (do h+u-15=0)) ,t .e. 2
41
11
15361201r
22
.
Zada~a 51: Da se sostavi ravenka na prava {to minuva niz prese~nata to~ka na
pravite 2h+u-2=0 i h-5u-23=0 i ja prepolovuva otse~kata ograni~ena so to~kite
A(5;-6) i B(-1;-4) . Re{enie: Koordinatite na prese~nata to~ka na pravite 2h+u-2=0 i h-5u-23=0
se re{enijata na sistemot
023y5x
02yx2,t.e. h=3 i u=-4, t.e. Y (3;-4). Sredinata na
otse~kata AV ima koordinati 52
)6(4,y2
2
)1(5x
t.e. h =2 i u=-5;M(2;-5).
Ravenkata na dadenata prava e pravata {to minuva niz to~kite Y i M:
)2(x23
)5(4)5(y
, t.e. h-u-7=0.
Zada~a 52: Da se opredeli ravenkata na pravata {to minuva niz prese~nata
to~ka na pravite 3h+5u+21=0 i 4h+3u+17=0 i e paralelna so pravata 2h+7u-4=0 .
Re{enie: Koordinatite na prese~nata to~ka na pravite 3h+5u+21=0 i
4h+3u+17=0 se re{enijata na sistemot
017y3x4
021y5x3,t.e. h=-2 i u=-3, t.e. Y (-2;-3).
Koeficientot na pravata 2h+7u-4=0 e 7
2k od kade {to sleduva deka i
koeficientot na baranata prava mora da bide 7
2k (bidej}i tie treba da se
pralelni). Zatoa ravenkata na baranata prava so dadenite uslovi e :
))4((x7
2)3(y , t.e. 2h+7u+25=0.
Zada~a 53: Da se opredeli ravenkata na prava {to minuva niz prese~nata
to~ka na pravite 3h+u-5=0 i h-2u+10=0, a e na rastojanie d=5 edinici od to~kata
M(-1;-2)
Re{enie: Neka baranata prava {to treba da minuva niz prese~nata to~ka na pravite e u=kh+n. Koordinatite na prese~nata to~ka na pravite 3h+u-5=0 i h-
u+10=0 se re{enijata na sistemot
010yx
05yx3,t.e. h=0 i u=5, t.e. Y (0;5).
Kordinatite na Y gi zmenime vo ravenkata u=kh+n se dobiva deka n=5. Baranata
prava go dobiva kh-u+5=0. Od uslovot , deka baranata prava treba da bide na
rastojanie ednakvo na 5 do to~kata M(-1;-2), se odreduva k, t.e.
.; 5k21k5)1(k
5)2(1)1(k5 2
22
Od ravenstvoto 2xx sleduva
222 5k21k5 /)( , a od tuka se dobiva slednava kvadratna ravenka po k , ~ii
re{enija se 4
3k
3
4k 21 i . Spored toa baranite ravenki na pravi se dobivaat so
zamena na k1 i k2 vo kh-u+5=0 , a tie se 4h+3u-15=0 i 3h-4u+20=0. Zada~a 54: Da se doka`e deka ~etirite to~ki A(-2;-2), V(-3;1), S7;7) i D(3;1) se
temiwa na trapez, i potoa da se sostavi ravenkata na srednata linija .
Re{enie: Za da se doka`e deka dadenite to~ki se temiwa na trapez, dovolno e
da proverime dali dve ravenki na pravite {to minuvaat niz to~kite A i V, V i S, S i D; i D i A imaat ednakvi koeficienti na pravci (toa zna~i deka tie pravi se
pralelni). 323
21k AB
;
5
3
37
17k BC
;
2
3
73
71kCD
;
5
3
32
12k DA
. Od
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
str15
poslednoto se zaklu~uva deka pravite VS i DA se paralelni, {to zna~i
~etiriagolnokot ABCD e trapez. Sredinata na stranata AV, M ima koordinati
h=2
5 i u=
2
1 , a sredinata na stranata DS, N ima koordinati h=5 i u=4. Ravenkata
na srednata linija na trapezot MN e : )4(x
2
55
2
14
4y
, t.e. 3h+5u-5=0.
Zada~a 55: Dve strani na eden parallelogram se dadeni so ravenkite h+u-1=0 i
3h-u+4=0. Prese~nata to~ka na dijagonalite e Y(3;3). Da se opredelata ravenkite na drugite strani.
Re{enie: Dadenite pravi ne se paralelni strani, zatoa {to nemaat ednakvi
koeficienti na pravci i tie mora da se se~at. Koordinatite na prese~nata to~ka na pravaite AV: h+u-1=0 i AD: 3h-u+4=0 se re{enijata na sistemot
04yx3
01yx,t.e. h=
4
3 i u=
4
7, t.e. A (
4
3 ;
4
7). Simetri~nata to~ka(teme) na A vo
odnos na Y e S so kordinati 4
17y
2
4
7y
34
27x
2
4
3x
i . Da ja napi{ime
ravenkita na pravite VS koja minuva niz S i ma ednakov pravesc so pravata AD:
)4
27(x3
4
17y , t.e. 3h-u-16=0, i ravenkita na pravite DC koja minuva niz S i ma
ednakov pravesc so pravata AB: )4
27(x
4
17y , t.e. h+u-11=0.
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
str16
LITERATURA
1. Matematika za III godina- (tehni~ki struki)–Gligor Tren~evski
"Prosvetno delo"-Skopje,1991 godina.
2. Zbirka zada~i od Analiti~ka geometrija–Dimitar Bitrakov
"Prosvetno delo"-Skopje,1987 godina.
.
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
str17
S O D R @ I N A
Voved.................................................................................................................................str. 1
1. Osnovni poimi i formuli vo analiti~ka geometrija ....................................str. 1
2. Vidovi ravenki na prava ........................................................................................ str. 2
3. Op{ti zada~i za prava .............................................................................................str. 3
Literatura .....................................................................................................................str.16