RECURSOS PARA EL ESTUDIO DE CAMPOS VECTORIALES EN UN AULA VIRTUAL
Eje 2 : ¿Qué desafíos se plantean para la enseñanza en los ambientes educativos actuales?
Tipo de Trabajo: Relato de Experiencia.
Autores: Zulma Millán, Laura Oliva, Ivonne Esteybar, Patricia Cuadros
Departamento de Matemática- Facultad de Ingeniería-UNSJ-San Juan-Argentina
Palabras claves: Cálculo- Campos Vectoriales- Aprendizaje Colaborativo- Aula Virtual-
Software. Resumen La educación en plataformas virtuales provoca un cambio en el rol que desempeñan
docentes y alumnos. El estudiante pasa a tener un papel más activo en la construcción de
su aprendizaje. El profesor, desde su rol de tutor virtual, debe favorecer el trabajo integrado,
diseña material educativo mediado y coordina el funcionamiento del aula virtual.
Este trabajo fue dirigido a alumnos de carreras de ingeniería en un curso de Cálculo II. La
metodología utilizada fue, después de asistir a clases teórico-prácticas, los alumnos
ingresan en el aula virtual de la cátedra donde pueden consultar material didáctico
especialmente desarrollado para reforzar el estudio de cada tema.
Es nuestro objetivo mostrar recursos para afianzar conceptos tales como la variación de
campos vectoriales por medio de la elaboración de material educativo para ser incluido en
plataformas virtuales.
Con el uso de estos recursos se puede observar mayor seguridad en los alumnos en el uso
de conceptos tales como divergencia y rotor y su mejor aplicación a cálculos posteriores.
Abstract Education in virtual platforms causes a change in the role played by teachers and students.
Students have a more active role in the construction of their learning. Teachers have a
virtual tutor role. They must promote integrated working, design educational mediated
material and coordinate the operation of the virtual classroom.
This work was aimed at engineering students in a Calculus II course. The methodology used
was, after attending theoretical and practical classes, students enter in the virtual classroom
where they can consult the developed materials to strengthen the study of each topic.
Our objective is to show resource to strengthen concepts such as variation vector field
through the development of educational materials to be included in virtual platforms. Using
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these resources we can see greater security in the students applying concepts such as
divergence and rotor.
Introducción Uno de los conceptos de mayor nivel de dificultad en un curso de Cálculo de Varias
Variables es la diferenciación e integración de campos vectoriales, dado que la
representación de un campo vectorial puede ser complicada en un dominio dado y más aun
su comportamiento en el proceso de integración sobre una curva, una superficie plana o
alabeada.
Los conceptos de divergencia y rotor también son de alto grado de dificultad. Establecer con
claridad la variación de un campo vectorial suele ser bastante complejo sin la ayuda de un
software conveniente para tal fin. La integración de campos gradientes o conservativos es
otro concepto de gran importancia por su vinculación con la física relacionada a la
ingeniería.
La propuesta aquí presentada corresponde a una modalidad presencial, el alumno toma sus
clases teórico-prácticas de manera tradicional. Luego en el aula virtual se introducen
algunos conceptos a través de imágenes y utilizando un software matemático. Para ello en
las sesiones de práctica se les informa de cómo acceder a esta plataforma y de la
disponibilidad de elementos en ella como chat, foros de consulta e información de la cátedra
a la que ellos pueden acceder desde cualquier sitio con un acceso a Internet.
Los materiales incluidos en el aula virtual, permiten apoyar el proceso de aprendizaje ya que
incorporan texto, recursos de video y audio, posibilitando al alumno interactuar con el
material de aprendizaje. Nos brinda la oportunidad de mostrar a todo el grupo de
estudiantes, recursos visuales, como gráficos, que en clase es difícil de compartir por la
corta duración de la misma o por carecer en el aula de recursos tecnológicos tales como
cañón de proyección. El aula virtual flexibiliza los itinerarios personales de aprendizaje ya
que facilita que cada alumno lleve su propio ritmo de aprendizaje ayudándose de sus pares
y del docente como un orientador. [Fernández, 2003], [Cirilo, 2010]. Fortalece las
capacidades de tipo investigativo, la curiosidad intelectual, la creatividad y el análisis crítico
[De Corte, 1990]. El docente es responsable aquí de generar materiales que le permitan al
alumno construir su conocimiento. Se trata de favorecer el diálogo y las interacciones entre
los alumnos y con el docente a través de la plataforma moodle.
Objetivos
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• Proporcionar un soporte para la mejor comprensión de la diferenciación e integración de
campos vectoriales.
• Iniciar a los alumnos en el uso de aprendizaje colaborativo a través de aulas virtuales en la
plataforma moodle.
• Optimizar la comprensión de conceptos teóricos mediante el uso de software científico
dentro de un aula virtual.
• Estimular la investigación en las aplicaciones de los conceptos estudiados implementando
el material elaborado.
Metodología Después de que el alumno asistió a las clases teóricas-prácticas del estudio de campos
vectoriales, dispone en el aula virtual de la cátedra, de una selección de gráficos que
acompañan las definiciones vistas en clase, con los que puede experimentar, observar
desde distintos ángulos para lograr comprender acabadamente el concepto que se le
propone. También dispone de ejercicios secuenciados en una guía práctica, de igual forma
como se desarrolla en el dictado de la asignatura, en el aula virtual. En esta guía el alumno
puede probar algunos comandos de un software utilizado y usar procedimientos elaborados
por el equipo docente, en los que cambia los argumentos de los mismos manejando
distintos campos vectoriales. El material utilizado se pone en práctica a través del proyecto
"Diseño, desarrollo y evaluación de estrategias de retención en el ciclo básico de la Facultad
de Ingeniería" que se desarrolla en el Departamento de Matemática de la Facultad de
Ingeniería de la UNSJ.
Desarrollo En un curso de Cálculo II se introduce al alumno en el estudio de campos vectoriales. Este
concepto resulta de difícil aprehensión ya que en general no es sencillo representar un
campo vectorial. La posibilidad de ofrecer al alumno gráficos que permiten observar el
comportamiento de campos vectoriales tanto en dos como en tres dimensiones nos motivó a
generar un espacio donde ésto fuera posible, fuera del aula tradicional, pues en ella no
contábamos con medios tecnológicos para esto.
La siguiente imagen muestra la portada de un aula virtual de Cálculo II de la Facultad de
Ingeniería
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Los participantes del aula virtual de Cálculo II son docentes de la asignatura y alumnos
inscriptos en la misma.
Para concretar la estrategia didáctica de la nueva propuesta educativa se seleccionaron las
herramientas que nos ofrece Moodle: para la distribución del material, para la comunicación
personal, para consultas para comunicación de información general. Este curso incluye:
Enlace a archivos, que corresponden a los apuntes de la cátedra, prácticos,
horarios de consulta, fechas de parciales, resultados, etc.
Participación en foros, donde al alumno puede proponer un tema de debate
para todos los participantes de este espacio. Los foros son un espacio de
consultas online con el profesor que tiene como ventaja eliminar la repetición
de una consulta, pues las mismas son públicas y cualquier participante del
curso puede ver tanto las preguntas como las respuestas.
Sala de Chat para interactuar con sus pares.
Tareas a realizar, tal como subir una guía de ejercicios resuelta en una fecha
pre-establecida.
Para el dictado de la asignatura se publicó en el aula virtual el material de lectura obligatoria,
consistente en tres unidades temáticas que corresponden a los grandes temas que aborda
la asignatura, como son: La diferenciabilidad de funciones de varias variables, La integración
de campos escalares y vectoriales y finalmente el estudio de Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias.
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Se incluyeron también prácticas para cada encuentro presencial. Se agregaron además,
algunos recursos audiovisuales para la observación de ciertas aplicaciones.
Los siguientes ejemplos forman parte del material didáctico, con lo que el alumno trabaja en
el aula virtual. Mostramos aquí una secuencia de actividades destinadas a aclarar ciertos
conceptos referidos a campos vectoriales.
Campos Gradientes. Los campos vectoriales de mayor aplicación en la física son los campos gradientes.
Este puede obtenerse como el campo gradiente de una función escalar. El campo gradiente
surge al calcular el vector gradiente en cada punto de una cierta región.
Sea z f(x,y) una función escalar, existen las derivadas parciales f
x
y
f
y
, entonces el
gradiente de f está definido por x ygrad f(x,y) f x,y i f x,y j .
Una de las propiedades muy utilizadas del vector gradiente de una función, es que éste
apunta en la dirección de máximo crecimiento de la misma [Thomas,1999].
Ejemplo Calcular el gradiente de la función 2 2f(x,y) x 2x y 4y 8 y determinar
algunas curvas de nivel.
Se observa en la figura , que el campo gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
Además se observa que el vector gradiente en cada punto señala la dirección a partir del
punto considerado en el que la función crece más rápidamente.
Estos campos permiten la integración sobre curvas de forma inmediata. Sólo dependen del
punto inicial y final de la trayectoria. Del gráfico se observa que si se integran sobre curvas
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cerradas (las circunferencias allí señaladas) esta integral será cero por cuanto son normales
a estas curvas.
Otros campos vectoriales bidimensionales y tridimensionales. La gráfica de campos vectoriales es difícil de lograr, pero afortunadamente los software
actuales permiten una visualización de los mismos.
Actividad 1: Graficar el campo vectorial F(x,y) ( y,x) e interpretar el resultado obtenido.
Cada punto del plano (x,y) tiene asignado un vector de coordenadas (-y,x), la figura anterior
muestra que los vectores describen circunferencias centradas en el origen de radio
constante. Es un campo similar al campo de velocidad determinado por una rueda que gira
en el origen.
Actividad 2: Graficar el campo vectorial gravitatorio222222
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zyx
)z,y,x(
zyx
mGm)z,y,x(F
En la siguiente figura se muestra una representación del campo gravitatorio, para la misma
se consideró 1 2Gm m 10 .
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Estas representaciones permiten corroborar propiedades elementales como por ejemplo
que el campo vectorial gravitatorio siempre está dirigido hacia el origen de coordenadas. Las
superficies equipotenciales son aquí esferas concéntricas.
La variación de campos vectoriales se estudia con la divergencia y el rotor. Algunas
representaciones gráficas pueden permitir la interpretación de estos conceptos. En muchos
casos a partir de una gráfica de un campo vectorial es posible predecir el comportamiento
de la divergencia y el rotor del mismo, veamos algunos ejemplos al respecto. Estos ejemplos
se le proponen al alumno en el sitio virtual y ellos pueden usando las sentencias propias del
software estudiar otros campos de su interés.
Los recursos gráficos planteados permiten comprender de una manera más accesible
conceptos muy abstractos como son la divergencia y el rotor de un campo vectorial.
Divergencia de un campo vectorial.
Dado el campo vectorial F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k . Se define la
divergencia de la función o campo escalar: div F .F [Stewart,2010].
Si el campo representa la velocidad de un fluido en movimiento, la divergencia representa el
flujo neto de un fluido adentro o afuera de una circunferencia. También puede ser
interpretado como el flujo por unidad de volumen.
Si en un punto P la divergencia es cero se dice que el campo es solenoidal. Y el fluido se
dice incompresible.
Si en un punto P la divergencia es positiva se dice que en P hay una "fuente" (se crea fluido
en P).
Si en un punto P la divergencia es negativa se dice que en P hay un "sumidero" (se
consume fluido en P) [Stewart,2010].
Ejemplo 1: Sea F(x,y) 2 j .
Es fácil comprobar que div F .F 0 . Esto se puede comprobar a partir de un gráfico del
campo vectorial y una circunferencia en este gráfico.
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La figura anterior permite observar que las flechas que "entran" en la circunferencia son de
igual en magnitud que las flechas que "salen", esto indica que la cantidad de fluido que
"entra" es la misma cantidad que "sale". En este caso la divergencia es cero.
Ejemplo 2: Sea F(x,y) x i y j
Es fácil comprobar que div F .F 2 . Esto se puede analizar a partir de un gráfico del
campo vectorial y una circunferencia en este gráfico.
Para este campo, la figura muestra que las flechas que "entran" hacia la circunferencia son
más cortas que las que "salen". Esto indica que el flujo neto afuera de la circunferencia es
positivo (es decir, hay más fluido saliendo que entrando). En este caso la divergencia es
positiva.
Ejemplo 3: Sea el campo vectorial de la figura, es fácil observar que en cada punto del
plano hay un sumidero ya que es claro que la divergencia es negativa en este caso.
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La figura evidencia que la magnitud de los vectores que entran en la región señalada es
menor de la que sale, por lo tanto la divergencia es negativa en este caso. Los puntos del
plano son sumideros.
Rotor de un campo vectorial.
Dado el campo vectorial F(x,y,z) P(x,y,z) i Q(x,y,z) j R(x,y,z)k . El rotor de un campo
vectorial F es: rot F F , y se interpreta como trabajo por unidad de área
[Thomas,1999].
Se muestran a modo de ejemplo el análisis gráfico del rotor de tres campos vectoriales para
ver la diferencia en cada caso y comprender este concepto.
.
Ejemplo 1: El campo vectorial F(x,y,z) x i es un campo vectorial para el cual
rot F F 0 . Es un campo irrotacional que se representa en la siguiente figura.
La próxima figura muestra una vista de este campo vectorial para un valor de z constante.
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Claramente se observa , que si esta es una corriente de fluido y los vectores señalan la
distribución de velocidades a lo largo de líneas de corriente, una ruedita sumergida en este
fluido no giraría, sólo sería arrastrada por la misma.
Ejemplo 2: El campo F(x,y,z) y i 2 j es un campo vectorial cuyo
rot F F 0,0, 1 . Su representación corresponde a un campo vectorial que gira
alrededor del eje z en sentido horario. La siguiente figura muestra una vista de este campo
vectorial.
Si se logra una sección de este campo vectorial para un valor de z constante, como en la
próxima figura , se ve claramente allí que si esta es una corriente de fluido y los vectores
señalan la distribución de velocidades a lo largo de líneas de corriente, una ruedita
sumergida en este fluido girará en sentido negativo, es decir a favor de las agujas del reloj.
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Si con el campo de la figura calculamos el trabajo que efectúa este campo para desplazar
un punto material sobre una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y de
radio r recorrida en sentido positivo, podemos a partir de un gráfico estimar el signo de este
cálculo.
Vemos que el campo actúa mayoritariamente en sentido contrario a la curva. Es por ello que
el trabajo será en este caso negativo.
Ejemplo 3: El campo F ( x , y , z ) y i x j es un campo vectorial cuyo
rot F F 0,0,2 . Si se observa una vista de este campo vectorial para un valor de z
constante, se ve claramente allí que si esta es una corriente de fluido y los vectores señalan
la distribución de velocidades a lo largo de líneas de corriente, una ruedita sumergida en
este fluido girará en sentido positivo, es decir en contra de las agujas del reloj como se ve en
la figura.
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Conclusiones La implementación de aulas virtuales en el proceso tradicional de aprendizaje nos ha
permitido facilitar la comunicación con un grupo muy numeroso de alumnos. A veces la no
continuidad de asistencia a clases de algunos alumnos ya sea por problemas personales o
por situaciones laborales, les impide mantenerse en contacto con la cátedra y con los
conceptos desarrollados en clase. El uso de aulas virtuales extiende el tiempo de
aprendizaje pues el alumno se transforma allí en el gestor de su propio aprendizaje.
Favorece la comunicación entre los alumnos pues muchas veces ellos mismos evacúan sus
dudas entre si. Esta modalidad no descarta la forma tradicional de aprendizaje sino que la
complementa. El docente es en estos sitios un orientador y el autor del diseño de material
de estudio acorde a esta modalidad.
Temas de alto nivel de dificultad para ser aprendidos en breves lapsos de tiempo, pueden
ser ampliados en el entorno de aulas virtuales. Estos ambientes complementan la educación
tradicional, permiten el tratamiento de un tema desde muchos puntos de vista con la
incorporación de gráficos y de recursos audiovisuales que son más familiares para los
alumnos. Es posible iniciar al alumno en el uso de un software científico que le servirá en su
carrera profesional.
Bibliografía 1- Cirilo, Marta Inés; Molina, Marta Lía. (2010). El diseño del Aula virtual de Análisis
Matemático en la FACE-UNT buscando la calidad de los procesos de enseñanza y
aprendizaje. Facultad de Ciencias Económicas (FACE). Universidad Nacional de Tucumán.
2- De Corte, E. (1990) Aprender en la universidad con las nuevas tecnologías de la
información: Perspectivas desde la psicología del aprendizaje y de la instrucción.
Comunicación, Lenguaje y Educación, No. 6, España.
3- Fernández, C., Montes de Oca, M. (2003). Aspectos a garantizar en la confección de
cursos virtuales. Departamento de Ciencias de la Computación- Facultad de Matemática y
Computación. Universidad de La Habana. Primer Congreso Virtual Latinoamericano de
Educación a Distancia. LatinEduca2004.com. Cuba.
4- Stewart, J. (2010). Cálculo de varias variables. Conceptos y Contextos. Ed. Cangage–
Learning. 5- Thomas, G. Jr. Y Finney, R.L.(1999). Cálculo de varias variables. Addison Wesley.
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