PIBIC/FAPEMIG/UFUEdital Nº 07/2011
RELATÓRIO PARCIAL DE TRABALHORELATÓRIO PARCIAL DE TRABALHO
TÍTULO: “Otimização topológica do reforço de estruturas de
concreto armado com fibras de carbono”
Aluno: Ana Cecilia Rios Porfirio FerreiraOrientador: Jesiel CunhaPeríodo: março de 2012 a fevereiro de 2013
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL
Sumário1 Introdução..................................................................................... 01;2 Metodologia................................................................................... 05;3 Procedimentos e resultados ......................................................... 06;
6.1; Dimensionamento do reforço de vigas com PRFC ….......... 06;6.2; Dimensionamento do reforço aos esforços cortantes.......... 09;6.3; Dimensionamento do reforço ao momento fletor................. 21
Referências......................................................................................... 27
1 Introdução
Devido principalmente às boas relações resistência e rigidez / peso, os materiais
compostos são cada vez mais utilizados em estruturas de engenharia civil
(HOLLAWAY; HEAD, 2001, LOPEZ-ANIDO; NAIK, 2000, BURGOYNE, 1999,
MOSALLAM, 2002). Um material composto clássico é constituído por uma matriz
polimérica, reforçada por fibras, onde a resistência e a rigidez são dados pelo tipo,
quantidade, orientação e posição do reforço.
Em relação aos materiais tradicionais da construção civil (aço, madeira e concreto),
os materiais compostos destacam-se pelas qualidades estruturais e construtivas.
Seja para recuperação ou criação de novas estruturas, os compostos apresentam
algumas vantagens em relação aos materiais tradicionais, como a alta resistência e
a leveza, as propriedades anti-corrosão, a estabilidade dimensional, os baixos
custos de instalação e de recuperação e a modularidade (NETO; PARDINI, 2006,
KIM, 1995, JONES, 1975).
Uma das principais aplicações dos materiais compostos na construção civil é o
reforço de estruturas de concreto armado utilizando PRFC (Polímero Reforçado por
Fibra de Carbono). Lajes, vigas, pilares, paredes e outros elementos estruturais
podem ser reforçados (BEBER, 2003, CAMPAGNOLO; SILVA FILHO; BEBER, 1999,
FORTES, 2000, MACHADO, 2002).
As causas da necessidade de reforço em estruturas de concreto armado são
variadas, porém as preponderantes dizem respeito a falhas de concepção, de
execução e de mudanças de projeto. Mais especificamente, pode-se citar a
alteração no modo de utilização da edificação, o desgaste natural da estrutura, as
falhas durante a elaboração dos projetos (falta de controle no limite de flechas, por
exemplo), entre outras.
A simulação numérica das peças de concreto reforçadas por PRFC implica na
obtenção de um modelo que reproduza o comportamento estrutural em condições
reais de serviço. Para obtenção deste modelo e execução das simulações, as
seguintes etapas são necessárias:
Avaliação das propriedades elásticas do PRFC e do concreto;
Criação de modelos numéricos das peças reforçadas, considerando diversas
situações de composição de materiais e de geometria, visando a
compreensão do comportamento estrutural do conjunto peça/reforço;
Obtenção da distribuição do reforço usando um procedimento automatizado
de otimização;
A partir dos resultados da otimização, criar modelos numéricos próximos do
que é executado na prática, onde o reforço é aplicado na forma de faixas;
Verificar o desempenho estrutural das peças reforçadas otimizadas.
O procedimento básico de reforço de peças de concreto armado usando compostos
PRFC é de colar faixas ou tecidos nas regiões tracionadas. As faixas cobrem partes
da superfície da peça, enquanto que os tecidos podem cobrir até a superfície
completa. Neste caso, estudos indicam que a cobertura de toda a superfície pelo
reforço cria dificuldades na verificação da qualidade da colagem/aderência, além de
impedir o livre movimento de saída da umidade, aumentando o processo de
descolamento (TENG et al., 2002). Por outro lado, considerando uma mesma área
de reforço, as faixas largas são preferíveis às faixas estreitas, pois diminuem os
riscos de descolamento.
No projeto de reforços à flexão se consideram, fundamentalmente, os mesmos
princípios que se empregam em reforços mediante chapas de aço: equilíbrio da
seção, compatibilidade de deformações e hipóteses Navier-Bernoulli (seções planas
permanecem planas após deformação) (MACHADO, 2005).
A Figura 1 ilustra o esquema de reforço de peças à flexão.
Figura 1 - Reforço de lajes à flexão.
Em contraponto ao reforço tradicional, que utiliza principalmente chapas de aço, as
vantagens da técnica de reforço com fibras de carbono são a alta resistência e a alta
rigidez do material, possibilitando a utilização de reforço com baixa espessura e
baixo peso, gerando pequeno acréscimo de carga permanente. Além disso, destaca-
se a flexibilidade das mantas de fibra de carbono, que se adaptam a qualquer forma,
sendo de execução simples, precisa e rápida, com mão-de-obra reduzida. O material
exige pouca manutenção e, além disso, é altamente resistente à corrosão,
possuindo grande durabilidade.
As simulações numéricas das peças reforçadas permitem variar com facilidade a
geometria do reforço, os materiais, as condições de carregamento e de apoio. A
compreensão prévia do comportamento da estrutura reforçada (Figura 2) através
das simulações numéricas agiliza, otimiza e simplifica a realização dos testes
experimentais, reduzindo tempo e custos.
www.abcp.org.br
Figura 2 - Esquema de reforço de peças à flexão.
A modelagem numérica será feita pelo Método dos Elementos Finitos, usando-se o
programa ANSYS® (ANSYS, 2010), que possui elementos específicos de materiais
compostos, além do módulo de otimização.
Para problemas que apresentam estruturas com geometrias, condições de contorno
e de carregamento complexas, a solução exata do comportamento mecânico (por
exemplo, determinação do campo de deslocamentos e de tensões), obtida através
de procedimentos tradicionais da matemática, não é evidente ou mesmo não é
possível. Para estes casos deve-se usar um método aproximado de análise. Nesta
categoria se destacam os métodos numérico-computacionais, onde o principal é o
Método dos Elementos Finitos (MEF). O MEF é essencialmente uma técnica de
análise numérica que busca soluções aproximadas para problemas regidos por
equações diferenciais.
Uma dificuldade para o projeto da estrutura reforçada consiste em definir a melhor
forma de distribuir as mantas ou faixas de fibras de carbono na superfície da peça.
Normalmente recorre-se à experiência, à facilidade construtiva e ao princípio de
funcionamento estrutural do elemento reforçado. No entanto, para geometrias
complexas das peças e para condições de contorno e de carregamento
diferenciadas, a escolha da melhor distribuição do reforço não é evidente. A
determinação de uma configuração de reforço eficiente em uma estrutura é
habitualmente associada a um processo de “tentativa e erro”, cujo resultado não
garante com segurança que tenha sido encontrado o projeto ótimo. A otimização
matemática, nestes casos, pode ser uma ferramenta interessante para encontrar
armadura
PRFC
Laje/viga
soluções mais eficientes. Em particular, a otimização estrutural busca a criação de
estruturas com melhor desempenho e menor consumo de material, reduzindo os
custos.
O objetivo geral deste projeto é analisar o comportamento/desempenho estrutural de
peças de concreto armado reforçadas por fibras de carbono (PRFC), através de
simulações numéricas, usando a otimização topológica para definir a região de
aplicação do reforço.
Os objetivos específicos são:
- Obter a distribuição do reforço usando um procedimento automatizado de
otimização topológica, permitindo economia de material;
- Simular numericamente as estruturas reforçadas (vigas, lajes com furos, consolos,
entre outras) usando o Método dos Elementos Finitos, para compreender o
comportamento mecânico (resistência e rigidez) e verificar o desempenho do
reforço.
O resultado das simulações deve indicar que a otimização topológica pode ser uma
interessante ferramenta de apoio ao projeto do reforço de estruturas de concreto
armado com fibras de carbono.
Não existe no Brasil norma que regulamente o reforço de estruturas da engenharia
civil com materiais compostos (fibras de carbono, principalmente). As formulações
analíticas comumente usadas no dimensionamento são simplificadas, podendo levar
a imprecisões de cálculo. Assim, é importante saber o domínio de validade e a
precisão das expressões analíticas e dos procedimentos de cálculo utilizados.
A validação dos métodos de dimensionamento, a utilização de novos materiais e
novas concepções estruturais depende de um conhecimento preciso do
comportamento das peças. Neste sentido, as simulações numéricas através do
Método dos Elementos Finitos permitem modelagens detalhadas que se aproximam
da situação real encontrada nas estruturas. É possível inclusive evidenciar algumas
características de difícil verificação experimental.
A comparação quantitativa dos resultados numéricos poderá esclarecer pontos do
dimensionamento nos estados limites último e de utilização, auxiliando o projeto e a
análise de estruturas de concreto armado reforçadas por fibras de carbono.
O uso de uma ferramenta de otimização facilita e automatiza o procedimento de
aplicação do reforço, auxiliando ao projetista principalmente em casos de estruturas
com geometria complexa, onde o projeto do reforço não é evidente. O resultado da
otimização pode levar a economia de material de reforço.
No contexto do Projeto de Pesquisa do orientador, este projeto trata da análise do
comportamento de estruturas da construção civil em que se utilizam os materiais
compostos como elementos de reforço. Espera-se contribuir para a difusão deste
tipo de tecnologia, que é recente.
2 Metodologia
Do ponto de vista geral, a simulação numérica de uma estrutura reforçada passa
pelas seguintes etapas:
Estudo dos processos de dimensionamento do reforço fazendo uso do PRFC
Estudo do processo de elaboraçao de modelos de elementos finitos fazendo
uso do software ANSYS®.
Dimensionamento do reforço de PRFC na estrutura.
Criação do modelo de elementos finitos da estrutura sem reforço;
Criação do modelo de elementos finitos da estrutura reforçada;
Obtenção da distribuição otimizada do reforço através da otimização
topológica;
Obtenção do modelo de elementos finitos da estrutura com reforço em faixas,
a partir do resultado da otimização topológica;
Verificação do desempenho estrutural da estrutura reforçada otimizada.
Do ponto de vista de implementação, este projeto tem como característica principal a
utilização de simulação computacional.
Inicialmente foi feita uma revisão de materiais compostos e suas aplicações na
engenharia civil, em particular no que se refere às estruturas em materiais
compostos estratificados. Foi feito também o estudo do reforço de estruturas de
concreto armado e de compostos fibras de carbono/resina epóxi.
3 Procedimentos e resultados
3.1 Dimensionamento do reforço de vigas com PRFC
Para o calculo do reforço, foi escolhida uma viga de concreto armado bi-apoiada,
com vão de 4m, espessura de 15 cm e altura de 40 cm. O carregamento
uniformemente distribuido inicial é de 3086,5 kgf/m, incluindo peso proprio.
(MATTOS, 2003)
O reforço será dimensionado para que a viga suporte um carregamento final de
4166,78 kgf/m, correspondente a um aumento de 35% no carregamento inicial.
Foram utilizados os seguintes parametros para o dimensionamento da viga:
fck = 21 Mpa
Cobrimento da armadura = 1,5
bw = 15 cm
h = 40 cm
d = 36,5 cm
Aço: CA-50
A Figura 3 mostra a viga a ser reforçada pelo PRFC.
Figura 3 – Viga de concreto armado a ser reforçada. Fonte: Mattos (2003)
Submeteu-se a viga a um aumento de 35% de sua carga, totalizando um esforço
cortante de 8333,55 kgf nas extremidades, em que foi calculado o excedente ao
suportado pelo concreto e aço, com dados fornecidos na Tabela 1, e um momento
fletor maximo de 8333,55 kgf.m.
Tabela 1 – Dados da viga utilizados no calculo do reforço
Parametro Definição ValorAs (cm2)
bw (cm)
h (cm)
d = (cm)
Es (Gpa)
Vc (kgf)
Vn (kgf)
Vs (kgf)
Vf (kgf)
f'c (Mpa)
fcd (kgf/m2)
fyd (kgf/m2)
L (m)
εc
εs
Area de armadura
Dimensão da base da seção transversal
Altura da viga
Altura útil da viga
Modulo de elasticidade do aço
Cortante resistido pelo concreto na seção
Cortante total na seção
Cortante resistido pelo aço na seção
Cortante resistido pelo material composto na
seção
Resistencia do concreto a compressão
Resistencia do concreto
Resistencia do aço
Comprimento do vão da viga
Deformação do concreto
Deformação do aço
4,8
15
40
36,5
210
3242
11666,97
5400
3024,97
21
1500000
50000000
4
≤ 0,0035
≤ 0,001
Dimensionou-se o reforço fazendo uso de Polímeros Reforçados de Fibra de
Carbono, as formulações presentes na ACI 440-2R e ACI-318/318R-105. Para tal,
optou-se pelo polimero Sika Carbodur ®, o SIKADUR® 30, para que pudessem ser
utilizados os parâmetros e propriedades deste para calculo, fornecidos na Tabela 2.
Tabela 2 – Dados do Polimero Reforçado com Fibras de Carbono. Fonte: Sika
Carbodur® (2005).
Parametro Definição Valorw (mm)
CE
Ef (Gpa)
εfu
ffu (kgf/m2)
tf (mm)
Espessura de uma tira de PRFC
Modulo de elasticidade do PRFC
Deformação maxima suportada pelo PRFC
Resistencia ultima do PRFC
Espessura de uma camada de material composto
50
0,95
155
0,019
240000000
1,2
6.2 Dimensionamento do reforço aos esforços cortantes
O dimensionamento do reforço aos esforços cortantes seguiu a ACI-318/318R-105.
Desta forma, todos os dados obtidos foram calculados no sistema americano de
unidades, e os resultados finais puderam ser convertidos para o sistema
internacional de unidades.
O posicionamento das tiras de PRFC na viga obedeceram à necessidade de reforça-
la aos esforços cortantes excedentes, que pode ser visualizado no diagrama de
esforço cortante da viga disposto na Figura 4. Nesse, onde o esforço cortante
tornou-se maior que o valor suportado pela viga inicialmente, admitiu-se a urgencia
do polímero.
Figura 4 – Diagrama de esforços cortantes para a viga com sobrecarga.
Calculou-se o cortante a ser suportado pelo polimero, onde o coeficiente 0,85 é
aplicado como fator de segurança na contribuição do PRFC, em função de ser uma
tecnica nova.
Vn = Vc + Vs + 0,85.Vf (1)
onde:
Vc = Cortante resistido pelo concreto na seção (lb);
Vf = Cortante resistido pelo material composto na seção (lb);
Vn = Cortante total na seção (lb);
Vs = Cortante resistido pelo aço na seção (lb);
A expressão geral que permitiu o calculo da area de reforço necessaria em função
de outros parâmetros, ou outros dados tais como o ângulo ideal de posicionamento
das fibras, pode ser utilizada a partir do cortante a ser sustentado pelo PRFC.
Um limite razoável do máximo esforço cortante a ser suportado pelo polimero se
baseou na capacidade resistente do concreto, e foi imposto para estabelecer as
bases onde julgou-se que o uso do PRFC não atendia ao reforço de forma completa.
Vf = Afv.ffe(sinβ + cosβ).d f ≤ 4.√f'c.bw.d (2)
sf
onde:
Afv = Area total de uma camada de reforço transversal de PRFC (in 2);
ffe = Resistencia do PRFC sob cortante quando ao rompimento da viga (Psi);
β = Orientação das fibras em relação ao eixo longitudinal da viga (º);
df = Profundidade do PRFC em cisalhamento (in);
sf = Espaçamento das tiras de PRFC. Se continuas, o espaçamento minimo deve ser
igual ao valor da espessura da tira. (in);
f'c = Resistencia do concreto a compressão (Psi);
bw = Dimensão da base da seção transversal (in);
d = Distancia ao centroide de tração do aço (in);
Visando determinar a area de PRFC que atinge o máximo potencial de ruptura, fez-
se uso da equação (3).
Afv = 2.n.tf.wf (3)
onde:
n = Numero de camadas de PRFC com fibras orientadas em um ângulo β para o
esforço cortante;
tf = Espessura de uma camada de material composto (in);
wf = Espessura de uma tira de PRFC (in);
Para a obtenção da resistencia do PRFC sob cortante quando ao rompimento da
viga, utilizou-se da expressão (4), onde foi requerido o fator de redução R. Este fator
pode ser calculado através das equações de (5) a (9), que permitiram a obtençao
dos muitos parametros utilizados para o calculo deste.
ffe = R.ffu (4)
R = k1.k2.Le ≤ 0,005 (5)
468.εfu εfu
k1 = ( f'c ) 2/3 (6)
(4000) 2/3
k2 = dfe (7)
df
Le = 1 .Lo (8)
√n
Lo = 2500 (9)
(tf.Ef)0,58
onde:
ffu = Estado ultimo de tensão do PRFC (Psi);
R = Fator de redução para o estado ultimo de tensão do PRFC para encontrar o
estado de tensão quando ao rompimento;
k1 = Fator de multiplicação do comprimento efetivo do reforço ao concreto;
k2 = Fator de multiplicação do comprimento efetivo do reforço ao esquema
envolvente;
Le = Comprimento efetivo do PRFC (in);
εfu = Deformação maxima suportada pelo PRFC;
dfe = Profundidade efetiva do PRFC em cisalhamento, considerando apenas as
areas suficientemente envolvidas (in);
Lo = Comprimento efetivo de uma camada de PRFC (in);
Ef = Modulo de elasticidade do PRFC (Psi);
Para a obtenção da profundidade efetiva do PRFC (d fe), foi necessario analisar se o
reforço sera envolvido na viga em forma de “U”, ou seja, pela face inferior e laterais
desta, ou apenas nas laterais. No primeiro caso, utiliza-se a equação (10), para o
segundo, a equação (11).
dfe = df – Le (10)
dfe = df – 2.Le (11)
Obteve-se também o espaçamento máximo entre cada faixa de PRFC, através da
equação (12). O espaçamento minimo corresponde a 5 cm, que deve ser adotado
para a situação onde este é considerado ausente.
sf,max = wf + d (12)
4
Há um limite para o valor total de esforço cortante a ser suportado pelo reforço,
obedecendo a expressão (13).
Vs + Vf ≤ 8.√f'c.bw.d (13)
Foram efetuados cálculos para o envolvimento da viga em “U” e apenas nas laterais,
com e sem espaçamento entre as faixas de PRFC, e com variação de ângulo de 45º
e 90º.
6.2.1 Envolvimento da viga em “U”
A Figura 5 mostra a disposiçao do reforço de PRFC, para um envolvimento da viga
tanto na face inferior, quanto as laterais, formando um ângulo de 90º com o plano
longitudinal, e com faixas espaçadas com o valor ideal calculado.
Figura 5 - Disposição das faixas de polimero reforçado de carbono a 90º, para o
envolvimento da viga em “U”, com espaçamento entre as faixas.
Para o envolvimento da viga pelo PRFC em forma de “U”, obteve-se o espaçamento
necessario entre as camadas paralelas deste, para uso de apenas uma camada
colada à viga.
Os parâmetros calculados para obter o espaçamento necessario estão dispostos na
Tabela 3.
Tabela 3 – Dados e resultados calculados para a viga envolta de PRFC em forma de
“U”, com inclinação do reforço de 90º e tiras espaçadas.
Parametros Definição Resultadosdf (cm)
ffe (kgf/m2)
dfe (cm)
sf, max (cm)
Le (cm)
sf (cm)
sf,adotado (cm)
n (camadas)
β (º)
Afv (cm2)
Lo (cm)
Le (cm)
k1
k2
R
y (m)
Lefec (m)
Profundidade do PRFC em cisalhamento
Resistencia ultima do PRFC
Profundidade efetiva do PRFC em cisalhamento
Espaçamento máximo entre as tiras de PRFC
Comprimento efetivo do PRFC
Espaçamento entre as tiras de PRFC
Espaçamento entre as tiras adotado.
Numero de camadas de PRFC.
Orientação das fibras em relação
Area total de uma camada de reforço
Comprimento efetivo de uma camada de PRFC
Comprimento efetivo do PRFC
Fator de multiplicação
Fator de multiplicação
Fator de redução para o estado ultimo de
tensão
Vão da viga onde não há necessidade de reforço
Comprimento da lateral da viga onde há
excedente de esforço
36,5
16991241,43
34,47
14,12
2,03
20,912
14,00
1
90
1,2
2,03
2,03
0,83
0,94
0,26
2,86
0,57
6.2.2 Envolvimento da Viga apenas nas laterais, com camadas paralelas, com ângulo de 90º
A Figura 6 mostra a disposiçao do reforço de PRFC, para um envolvimento da viga apenas
em suas faces laterais, formando um ângulo de 90º com o plano longitudinal, e com faixas
espaçadas com o valor ideal calculado.
Figura 6 - Disposição das faixas de polimero reforçado de carbono a 90º, para o
envolvimento da viga apenas nas laterais, com espaçamento entre as tiras.
Para a disposição do PRFC apenas nas laterais, com camadas paralelas e um
ângulo de 90º, obteve-se o espaçamento necessario entre as fitas, para uso de
apenas uma camada colada à viga.
Todos os parâmetros calculados para obter o espaçamento necessario estão
dispostos na Tabela 4.
Tabela 4 - Dados e resultados calculados para a viga envolta de PRFC com faixas
paralelas, espaçadas, e com inclinação de 90º.
Parametros Definição Resultadosdf (cm)
ffe (kgf/m2)
dfe (cm)
sf, max (cm)
Le (cm)
sf (cm)
Profundidade do PRFC em cisalhamento
Resistencia ultima do PRFC
Profundidade efetiva do PRFC em cisalhamento
Espaçamento máximo entre as tiras de PRFC
Comprimento efetivo do PRFC
Espaçamento entre as tiras de PRFC
32,44
14,12
18733,84,29
14,12
2,03
19,68
sf,adotado (cm)
n (camadas)
β (º)
Afv (cm2)
Lo (cm)
Le (cm)
k1
k2
R
y (m)
Lefec (m)
Espaçamento entre as tiras adotado.
Numero de camadas de PRFC.
Orientação das fibras em relação
Area total de uma camada de reforço
Comprimento efetivo de uma camada de PRFC
Comprimento efetivo do PRFC
Fator de multiplicação
Fator de multiplicação
Fator de redução para o estado ultimo de
tensão
Vão da viga onde não há necessidade de reforço
Comprimento da lateral da viga onde há
excedente de esforço
14
1
90
1,2
2,03
2,03
0,83
0,89
0,26
2,86
0,57
6.2.3 Envolvimento da Viga apenas nas laterais, com camadas paralelas, com ângulo de 45º
A Figura 7 mostra a disposiçao do reforço de PRFC, para um envolvimento da viga
apenas em suas faces laterais, formando um ângulo de 45º com o plano longitudinal,
e com faixas espaçadas com valor ideal calculado.
Figura 7 - Disposição das faixas de polimero reforçado de carbono a 45º, para o
envolvimento da viga apenas nas laterais, com espaçamento entre as tiras.
Na situação onde o PRFC é posicionado apenas nas laterais, com camadas
paralelas e um ângulo de 45º, obteve-se o espaçamento necessario entre as tiras,
para uso de apenas uma camada colada à viga.
Todos os parâmetros calculados para obter o espaçamento necessario estão
dispostos na Tabela 5.
Tabela 5 - Dados e resultados calculados para a viga envolta de PRFC com faixas
paralelas, espaçadas, e com inclinação de 45º.
Parametros Definição Resultadosdf (cm)
ffe (kgf/m2)
dfe (cm)
sf, max (cm)
Le (cm)
sf (cm)
sf,adotado (cm)
n (camadas)
β (º)
Afv (cm2)
Lo (cm)
Le (cm)
k1
k2
R
y (m)
Lefec (m)
Profundidade do PRFC em cisalhamento
Resistencia ultima do PRFC
Profundidade efetiva do PRFC em cisalhamento
Espaçamento máximo entre as tiras de PRFC
Comprimento efetivo do PRFC
Espaçamento entre as tiras de PRFC
Espaçamento entre as tiras adotado.
Numero de camadas de PRFC.
Orientação das fibras em relação
Area total de uma camada de reforço
Comprimento efetivo de uma camada de PRFC
Comprimento efetivo do PRFC
Fator de multiplicação
Fator de multiplicação
Fator de redução para o estado ultimo de
tensão
Vão da viga onde não há necessidade de reforço
Comprimento da lateral da viga onde há
excedente de esforço
36,5
15990341,06
32,44
14,12
2,03
27,83
14,00
1
45
1,2
2,03
2,03
0,94
0,89
0,26
2,87
0,565
6.2.4 Envolvimento da Viga em “U”, com ângulo de 90º, sem espaçamento
A Figura 8 mostra a disposiçao do reforço de PRFC, para um envolvimento da viga tanto na
face inferior, quanto as laterais, formando um ângulo de 90º com o plano longitudinal, e sem
espaçamento entre as faixas.
Figura 8 - Disposição das faixas de polimero reforçado de carbono a 90º, para o
envolvimento da viga em “U”, sem espaçamento entre as tiras.
Para o posicionamento em forma de “U”, com camadas paralelas e um ângulo de
90º, sem espaço entre as tiras e para aplicação de uma unica camada de reforço,
calculou-se o cortante a ser suportado naquela situação, e comparou-o ao
necessario, visando posteriormente diminuir o uso de material fazendo uso da
otimização topologica.
Tabela 6 - Dados e resultados calculados para a viga envolta de PRFC em forma de
“U”, com inclinação do reforço de 90º sem espaçamento.
Parametros Definição Resultadosdf (cm)
ffe (kgf/m2)
dfe (cm)
sf, max (cm)
Vf, max (lb)
Profundidade do PRFC em cisalhamento
Resistencia ultima do PRFC
Profundidade efetiva do PRFC em cisalhamento
Espaçamento máximo entre as tiras de PRFC
Cortante máximo suportado pelo PRFC
36,5
15990341,06
32,44
14,12
18,733,84
Vf, disposponivel (lb)
Le (cm)
sf (cm)
n (camadas)
β (º)
Afv (cm2)
Lo (cm)
Le (cm)
k1
k2
R
y (m)
Lefec (m)
Cortante disponível para o design escolhido
Comprimento efetivo do PRFC
Espaçamento entre as tiras de PRFC
Numero de camadas de PRFC.
Orientação das fibras em relação
Area total de uma camada de reforço
Comprimento efetivo de uma camada de PRFC
Comprimento efetivo do PRFC
Fator de multiplicação
Fator de multiplicação
Fator de redução para o estado ultimo de tensão
Vão da viga onde não há necessidade de reforço
Comprimento da lateral da viga onde há
excedente de esforço
32813,53
2,03
5
1
90
1,2
2,03
2,03
0,83
0,94
0,26
2,90
0,55
6.2.5 Envolvimento da Viga apenas nas laterais, com camadas paralelas e sem espaçamento entre elas, com ângulo de 90º.
A Figura 9 mostra a disposiçao do reforço de PRFC, para um envolvimento da viga
apenas em suas faces laterais, formando um ângulo de 90º com o plano longitudinal,
e sem espaçamento entre as faixas.
Figura 9 - Disposição das faixas de polimero reforçado de carbono a 90º, para o
envolvimento da viga apenas nas laterais, com espaçamento entre as tiras.
Na situação onde o PRFC é posicionado apenas nas laterais, com camadas
paralelas e um ângulo de 90º, sem espaçamento entre as tiras, para uso de apenas
uma camada colada à viga, calculou-se o cortante a ser suportado naquela situação,
e comparou-o ao necessario, visando posteriormente diminuir o uso de material
fazendo uso da otimização topologica.
Todos os parâmetros calculados para obter o espaçamento necessario estão
dispostos na Tabela 7.
Tabela 7 - Dados e resultados calculados para a viga envolta de PRFC com faixas
paralelas, sem espaçamento, e com inclinação de 90º.
Parametros Definição Resultadosdf (cm)
ffe (kgf/m2)
dfe (cm)
sf, max (cm)
Vf, max (lb)
Vf, disposponivel (lb)
Le (cm)
sf (cm)
n (camadas)
β (º)
Afv (cm2)
Lo (cm)
Le (cm)
k1
k2
R
y (m)
Lefec (m)
Profundidade do PRFC em cisalhamento
Resistencia ultima do PRFC
Profundidade efetiva do PRFC em cisalhamento
Espaçamento máximo entre as tiras de PRFC
Cortante máximo suportado pelo PRFC
Cortante disponível para o design escolhido
Comprimento efetivo do PRFC
Espaçamento entre as tiras de PRFC
Numero de camadas de PRFC.
Orientação das fibras em relação
Area total de uma camada de reforço
Comprimento efetivo de uma camada de PRFC
Comprimento efetivo do PRFC
Fator de multiplicação
Fator de multiplicação
Fator de redução para o estado ultimo de tensão
Vão da viga onde não há necessidade de reforço
Comprimento da lateral da viga onde há
excedente de esforço
36,5
15990341,06
32,44
14,12
18,733,84
30880,59
2,03
5
1
90º
1,2
2,03
2,03
0,83
0,89
0,26
2,90
0,55
6.2.6 Envolvimento da Viga apenas nas laterais, com camadas paralelas e sem espaçamento entre elas, com ângulo de 45º.
A Figura 8 mostra a disposiçao do reforço de PRFC, para um envolvimento da viga
apenas em suas faces laterais, formando um ângulo de 45º com o plano longitudinal,
e sem espaçamento entre as faixas.
Figura 10 - Disposição das faixas de polimero reforçado de carbono a 45º, para o
envolvimento da viga apenas nas laterais, sem espaçamento entre as tiras.
Para o caso em que PRFC é disposto apenas nas laterais, com camadas paralelas e
um ângulo de 45º, sem espaçamento entre as tiras, para uso de apenas uma
camada colada à viga, calculou-se o cortante a ser suportado naquela situação, e
comparou-o ao necessario, visando posteriormente diminuir o uso de material
fazendo uso da otimização topologica.
Todos os parâmetros calculados para obter o espaçamento necessario estão
dispostos na Tabela 8.
Tabela 8 - Dados e resultados calculados para a viga envolta de PRFC com faixas
paralelas, sem espaçamento, e com inclinação de 45º.
Parametros Definição Resultadosdf (cm)
ffe (kgf/m2)
dfe (cm)
sf, max (cm)
Profundidade do PRFC em cisalhamento
Resistencia ultima do PRFC
Profundidade efetiva do PRFC em cisalhamento
Espaçamento máximo entre as tiras de PRFC
36,5
15990341,06
32,44
14,12
Vf, max (lb)
Vf, disposponivel (lb)
Le (cm)
sf (cm)
n (camadas)
β (º)
Afv (cm2)
Lo (cm)
Le (cm)
k1
k2
R
y (m)
Lefec (m)
Cortante máximo suportado pelo PRFC
Cortante disponível para o design escolhido
Comprimento efetivo do PRFC
Espaçamento entre as tiras de PRFC
Numero de camadas de PRFC.
Orientação das fibras em relação
Area total de uma camada de reforço
Comprimento efetivo de uma camada de PRFC
Comprimento efetivo do PRFC
Fator de multiplicação
Fator de multiplicação
Fator de redução para o estado ultimo de tensão
Vão da viga onde não há necessidade de reforço
Comprimento da lateral da viga onde há
excedente de esforço
18733,84
43671,75
2,03
5
1
45
1,2
2,03
2,03
0,83
0,89
0,26
2,90 m
0,55 m
6.3 Dimensionamento do reforço ao momento fletor
Para o dimensionamento do reforço das vigas, considerou-se para o modelo de viga
reforçada os mesmos conceitos de dimensionamento da viga sem reforço, ou seja,
ela foi dimensionada do modo padrão para as seções de concreto armado à flexão
no estado limite ultimo, porém introduzindo-se o PRFC, que atuará no combate à
tração juntamente com a armadura da peça (CHAVES, 2010). Como não foi possível
descarregar totalmente a peça, houve deformações iniciais em decorrência do
carregamento remanescente. Os diagramas de equilíbrio para o ELU podem ser
vistos na Figura 10.
Figura 10 - Diagramas de equilíbrio para dimensionamento no Estado Limite Último
com reforço ao momento fletor em PRFC. Fonte: Chaves (2010).
As condições para o equilíbrio são:
Md =Rcd ×z→Md =bw×0,85×fcd ×0,8x×(d−0,4x) (14)
Md =Rsd ×z+Rfd ×z1 →Md =As ×fyd ×(d−0,4x)+Af ×σf ×(d−0,4x) (15)
onde:
Md = momento fletor de calculo (kgf.m);
Rcd = resultante de calculo a compressão no concreto (kgf);
Rsd = resultante de calculo a tração do aço (kgf);
x = posição da linha neutra (m);
Rfd = resultante de calculo a tração do reforço (kgf);
As = area de aço correspondente ao carregamento inicial (cm 2);
fyd = resistencia de calculo do aço (kgf/m 2);
Os valores de momento fletor de cálculo (M d) e área de aço (As) para o
carregamento inicial foram de 6173 kgf.m e 4,8 cm 2, respectivamente.
Primeiramente, a fim de se determinar a deformação total e a inicial do aço (ε ti e εsi),
realizou-se um alívio de carga para a execução do reforço, de 3086,5 kgf/m para
2204,65 kgf/m, o que fez com que o momento passasse para 4409,29 kgf.m. Assim,
aplicou-se esses valores na equação (13) para determinação da posição da linha
neutra (x) nesta situação, considerando bw = 15 cm. Obteve-se x = 8,55 cm. De
posse desse valor, calculou-se a resultante de cálculo à compressão do concreto,
através da equação (16).
Rcd = 0,85×bw× fcd ×(0,8x) (16)
Rcd = 13328,5 kgf
Assim, determinou-se a tensão de cálculo no aço (σsd), através da equação (17),
admitindo
Rsd = Rcd
σsd = Rsd (17)
As
σsd = 27767711,31 kgf/m2
Então, foram determinadas a deformação inicial do aço ( εsi) e a deformação total
inicial (εti), através das equações (18) e (19), respectivamente.
εsi = σsd (18)
Es
εsi = 1,30 %o
εti = εsi × ( h − x ) (19)
(d − x)
εti = 1,46 %o
Posteriormente, a fim de se determinar as condições de operação da viga quando
submetida ao carregamento final e a área de reforço (A f) a ser utilizada, determinou-
se o valor de momento fletor de cálculo para essa situação, que foi de 8333,55
kgf×m.
Novamente através da equação (13), a posição da linha neutra resultou em x = 2,25
cm. Admitindo-se a deformaçao do concreto ( εc) a 3,5%o, determinou-se a
deformação do aço (εs) através da equação (20).
εs = ( d − x ) (20)
εc x
εs = 5,46 %o
Com a deformação do aço, determinou-se a deformação total ( εt) através da
equação (21).
εt = εs × (h − x) (21)
(d − x)
εt = 4,14 %o
Para encontrar a deformação (εf) e a tensão no reforço (σf) utilizou-se as equações
(22) e (23).
εf = εt −εti (22)
εf = 2,68 %o
σf = Ef × εf (23)
σf = 41614963,62 kgf/m2
Por fim, para determinar a área de reforço (Af), utilizou-se a equação (14) de
equilíbrio, porém acrescida de dois coeficientes de redução do reforço,
transformando-se na equação (24). Estes coeficientes são: φ, que foi obtido através
da expressão (25) e ψf, que por recomendação da ACI tem valor de 0,85 (CHAVES,
2010).
Como εsy < εs < 0,005, φ = 0,84.
Md = φ × [As × fyd × (d − 0,4x) + Af × σf × ψf × (h − 0,4x)] (24)
Af = 3,06 cm2
⎧ 0,90, se εs ≥ 0,005
|0,70 + 0,20 ( ε s −ε sy), se εsy < εs < 0,005 (25)
φ = ⎨ 0,005 − εsy
| 0,70, se εs ≤ εsy
⎩
Dividindo-se a área de reforço encontrada pela espessura das faixas (t f), de 0,14 cm,
e também pelo numero de camadas adotadas (n'), o comprimento de faixa ao longo
da largura da viga a ser adotado (b'), conforme mostra a expressão (26).
b' = Af (26)
n.tf
Para a adoção de duas camadas ao longo da largura da viga, obteve-se um
comprimento de:
b' = 12,8 cm
Distribuiu-se o reforço por toda a face inferior da viga, de forma a cobri-la por inteiro,
percorrendo um comprimento de 3,80 m, conforme disposto na Figura 11.
Figura 11 – Disposição das fibras de carbono em viga de concreto armado a ser
estudada.
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