Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico
Departamento de Engenharia Mecânica Coordenadoria de Estágio do Curso de
Engenharia Mecânica CEP 88040-970 - Florianópolis - SC - BRASIL
www.emc.ufsc.br/estagiomecanica [email protected]
RELATÓRIO DE ESTÁGIO – 2/3
Período: de 05/10/2009 a 04/12/2009
Whirlpool S/A: Unidade Compressores (Embraco)
Nome do aluno: Robert da Silva Bressan
Nome do supervisor: Fernando Antônio Ribas Jr.
Nome do orientador: César José Deschamps
Joinville, Santa Catarina, Novembro de 2009
Sumário
Introdução ....................................................................................... 4
Folga Pistão-cilindro .......................................................................... 5
Simulando apenas a folga ............................................................... 5
Procedimento de Cálculo .............................................................. 6
Resultados ................................................................................. 7
Abertura Bidirecional da Válvula ........... Erro! Indicador não definido.
Metodologia Híbrida de Simulação de Compressores ............................ 12
Solução do Fluido ......................................................................... 13
Calibração do Modelo .................................................................... 13
Simulação .................................................................................... 15
Implantação do algoritmo de Levemberg-Marquardt ....................... 16
Conclusão ....................................................................................... 19
Referências ..................................................................................... 20
Apêndice A – Decomposição de Cholesky Modificada ............................ 21
Apêndice B - Método de Levemberg-Marquardt ................................... 23
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4
Introdução
Este documento visa descrever as atividades realizadas no segundo
bimestre de estágio na Embraco, continuando o trabalho já realizado nos
dois primeiros meses.
O relatório descreve duas frentes de trabalho. A primeira delas é a
continuação da análise da folga entre o pistão e o cilindro. A outra se
refere à implantação de um modelo híbrido de simulação térmica de
compressores.
Na primeira parte é discutido o modelo realizado no primeiro
relatório, mostrando as razões de sua ineficiência. Logo a seguir, o
desenvolvimento de alternativas de análise é discutido.
Na segunda seção, são destacados os aspectos inerentes à
formulação do modelo. A seguir os principais trechos da implantação são
discutidos, com posterior agregação de componentes que são exigidos ao
longo da formulação. Destaque para a rotina de otimização.
Avaliando que os conceitos matemáticos funcionam apenas como
suporte, e que a inserção deles no texto é irrelevante, foram incluídos dois
apêndices, que tratam melhor das questões relativas à abordagem
matemática do modelo.
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Folga Pistão-cilindro
No último relatório um dos assuntos tratados foi uma análise entre a
folga que existe entre o pistão e o cilindro de um compressor. Na ocasião,
foi discutido um modelo de volumes finitos que continha a câmara de
compressão e a folga propriamente dita.
A proposta de simulação é tentar relacionar as perdas pela folga
com o tamanho da folga. Para isso, é necessária a simulação de diversos
tamanhos de folga, no intervalo de incertezas de ambos os componentes
(pistão e cilindro).
Entretanto, ao aplicar a proposta atual, a simulação de apenas uma
folga leva mais de 15 dias, para que a simulação se torne estável,
tornando impraticável esta solução para ser utilizada em uma varredura.
Com estas dificuldades, requere-se que uma redução no modelo
seja imposta, ou que o número de ciclos necessários para estabilização
seja menor. Algumas das tentativas serão discutidas a seguir.
Simulando apenas a folga
A primeira proposta é simular apenas a folga propriamente dita,
fazendo com que a câmara seja tratada com um modelo integral. Neste
modelo, concebido supondo que o gás é ideal, a pressão e a temperatura
são atualizadas na condição de contorno de acordo com o fluxo de massa
obtido na folga.
A hipótese de gás ideal faz com que a equação de estado do gás
seja simplificada para
TmPVMTnPV molar RR
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E a hipótese de que a compressão seja isentrópica obriga que para
um sistema
kkVPVP 0011 , com v
p
c
ck
Entretanto, o volume da câmara de compressão não é um sistema
fechado, sendo necessárias adaptações na equação acima para considerar
os fluxos de massa e energia. O tratamento dela então se dará em duas
partes, uma que trata da massa que é expulsa pela câmara, e outra que
faz com que o gás restante seja comprimido, tendo caracterizado um
sistema.
Procedimento de Cálculo
Em cada passo de tempo da solução, tomar o fluxo de massa me
que atravessa a superfície de controle. Então para um passo de tempo t
tmm eperdida ·
Esta massa, que está a uma temperatura e pressão conhecida,
ocupa um volume
molar
eperdido
PM
tRTmV
Assim, o volume de gás realmente comprimido passa a ser
perdidoVV 0 .
De acordo com a regra de compressão:
kkperdido VPVVP 1100 )(
A partir disso, podemos obter a nova temperatura do gás,
observando o valor do volume:
0
00
1
11)(
T
VVP
T
VP perdido
Neste modelo também foi concebida a idéia de uma válvula ideal, a
fim de estabilizar a pressão tal qual foi feito no modelo anterior. O fato da
câmara de compressão estar ausente neste modelo levou a criação de
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uma condicional simples: se a pressão da câmara baixar a níveis inferiores
à da linha de sucção, a pressão da câmara é corrigida simplesmente à
pressão de sucção. Com isso, é preciso recalcular a massa que passa a
fazer parte da câmara de compressão.
No bloco a seguir está expresso um trecho do código, escrito em C,
utilizado nesta correção:
me = 2*M_PI*FluxoMassa(13); // 13 é um identificador
volperda = (UNIVERSAL_GAS_CONSTANT*T0*me)/
(mmolar*P0*freq*subciclo);
V0 = VolumeCamara(N_TIME,subciclo);
V1 = VolumeCamara(N_TIME+1,subciclo);
Vt = VelPistao(N_TIME,subciclo);
P1 = P0 * pow((V0+volperda)/V1,k);
if (P1<1e5) P1=1e5;
T1 = P1*V1*T0/(P0*(V0+volperda));
V0 = V1;
T0 = T1;
P0 = P1;
Resultados
A simulação que durava cerca de 20 dias passou, com este método a
se realizado em menos de oito horas. Esta redução drástica no tempo se
deve a diversos fatores, entre os quais:
Número de volumes necessários para a simulação é muito
menor (basta apenas a folga)
A folga tem escoamento laminar, não sendo necessária a
solução de um modelo de turbulência — pelo menos duas
equações deixam de ser resolvidas, por volume
Não há malhas móveis, implicando que não é necessário o
cálculo de qualquer deslocamento de malha
Estabilidade numérica, resultando em uma redução drástica no
número de ciclos necessários na simulação, passando de 15
para 3.
As quantidades obtidas para massa e o diagrama pressão volume
estão mostrados nos gráficos seguintes.
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Fluxo de massa
-6,00E-05
-5,00E-05
-4,00E-05
-3,00E-05
-2,00E-05
-1,00E-05
0,00E+00
1,00E-05
2,00E-05
3,00E-05
0 180 360 540 720 900 1080 1260 1440
Timestep
Topo do Pistao Base do Pistao
Figura 1 - Fluxo de massa através da folga, nos dois extremos
0
200000
400000
600000
800000
1000000
1200000
1400000
1600000
0,00E+00 2,00E-06 4,00E-06 6,00E-06 8,00E-06 1,00E-05 1,20E-05 1,40E-05 1,60E-05 1,80E-05
Figura 2 - Diagrama pressão-volume obtido
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O comportamento do fluxo de massa é aparentemente normal, com
fluxos próximos aos obtidos no modelo completo. Entretanto, a integração
do diagrama pressão-volume assinalou uma considerável diferença com
relação ao modelo completo.
Essa diferença no resultado da potência, objeto de estudo do
modelo, fez com que este modelo não fosse aceito, levando ao
desenvolvimento da próxima metodologia. Uma possível causa desta
diferença é a falta de um modelo para captar a contração a que o gás está
sujeito ao passar da câmara para a folga.
Acelerando o Modelo Completo
As tentativas de reduzir o domínio da solução não mostraram
resultados coerentes, então resta tentar alguma abordagem que estabilize
o ciclo mais rapidamente.
A proposta para esta estabilização rápida é ao invés de haver
apenas uma entrada de massa haver uma abertura na câmara de
compressão.
Esta abertura na câmara de compressão faz com que o que a
pressão da câmara não varie. A justificativa é que neste caso, em
qualquer momento, a pressão na câmara pode ser equilibrada
rapidamente com a pressão de sucção. Para sanar este efeito, esta
abertura ficou condicionada a certa fração do ciclo.
Diversas alternativas são possíveis para executar esta diretiva,
explicadas nos próximos parágrafos.
Contrapressão
Esta proposta cria na região de troca de massa uma entrada e uma
saída, ambas unidirecionais (isto é, sem possibilidade de contrafluxo).
Para evitar que haja fluxo fora do intervalo especificado, atribui-se a estas
duas passagens pressões que causariam contrafluxo. Entretanto, como
numericamente elas são unidirecionais, a passagem é impedida.
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Porosidade
Este método utiliza a resistência à passagem um meio poroso como
meio de fechar o escoamento. Para tal, é preciso adicionar um domínio
com esta característica. No momento que se deve fechar a passagem, é
dita que a resistência de permeabilidade e a consequente perda de carga
são muito elevadas. Para liberar a passagem, faz-se a resistência ao
escoamento nula.
Figura 3 - Ilustração do Volume Poroso
Alternar arquivos
O meio mais óbvio de se fazer a alternância de condições de
contorno é simplesmente parar o solver quando é necessário fazer a troca
de condição de contorno, e iniciar uma nova instância do mesmo com a
condição de contorno correta, utilizando a solução anterior como condição
inicial.
Na análise que está sendo feita, a troca é feita duas vezes por ciclo.
Como o número mínimo de ciclos é três, são necessárias pelo menos seis
trocas de solver. Se feitas manualmente o método passa a exigir muita
força bruta, gastando tempo na detecção da necessidade de troca de
solver e sua execução.
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Figura 4 - Diagrama para execução em batch
Uma maneira de automatizar o processo é fazer execuções
sucessivas em batch, fazendo as referências necessárias. A desvantagem
deste processo é não poder acompanhar o andamento do solver
interativamente, apesar de que isto o torna mais rápido.
O que se observa, no entanto, é que qualquer um dos três métodos
apresentados causa falha no solver, possivelmente pela mudança ser
abrupta. Tentativas para deixar o processo mais gradual estão sendo
estudadas, desde variar o tamanho do timestep na região de troca, ou
impor as condições de porosidade/contrapressão por etapas.
Resolva válvula aberta (sem valores iniciais)
Resultados Válvula aberta
Parar solver
Parar solver
Resolva válvula fechada Com os resultados Válvula Aberta
Resultados Válvula fechada
Resolva Válvula aberta Com os resultados Válvula fechada
Fim de Simulação
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Metodologia Híbrida de Simulação de
Compressores
A solução completa do escoamento do fluido refrigerante dentro de
um compressor é bastante difícil de ser simulada. As diversas curvas,
válvulas e outros componentes móveis são obstáculo para obtenção de
um perfil de escoamento, pois cada elemento precisa ter resolvidas as
conservações de massa, momento e energia, além dos modelos de
turbulência.
Por outro lado, resolver um sólido é razoavelmente barato
computacionalmente, pois apenas a equação da energia é calculada,
possibilitando, mesmo com algumas distorções, a solução completa dos
componentes e obter assim todo o perfil térmico do compressor.
É sabido também, que exceto na região da câmara de compressão,
todo o seu perfil térmico pode ser considerado em regime estacionário,
visto que a difusão do calor gerado na câmara de compressão é feita de
forma lenta.
Ribas Jr (2007) propõe uma metodologia híbrida para simulação de
compressores, posteriormente aprimorada por Schreiner (2008). Este
método utiliza uma formulação integral do escoamento do fluido, e associa
esta a métodos diferenciais — neste caso volumes finitos — para a
solução dos componentes sólidos do compressor.
Para a formulação diferencial, foi utilizado o software comercial Fluent
(versão 6.3.26), de propriedade da Ansys, Inc..
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Solução do Fluido
O método utilizado para a solução da parte fluida foi desenvolvido
inicialmente por Ussyk e depois aprimorado por diversas pessoas. O
RECIP, cujo nome é uma abreviação para reciprocating, é um método de
simulação de compressores alternativos que utiliza formulação integral
para predizer o comportamento do compressor em análise.
Entre as hipóteses do modelo estão:
Escoamento nos orifícios é modelado como bocais convergentes e
isentrópicos.
As válvulas são modeladas como um sistema massa-mola-
amortecedor.
As forças e o escoamento são corrigidos através de áreas efetivas.
Transiente da câmara de compressão é tido como quase-estático.
A troca de calor na câmara de compressão é feita através das
correlações, como por exemplo, a de Annand.
Calibração do Modelo
As duas soluções são realizadas de forma diferente, nascendo a
necessidade de se prover a interação entre o sólido e o fluido — em outras
palavras, transmissão de calor. Na metodologia híbrida, o modelo do
sólido sofre ação da transmissão de calor por convecção, considerado
através de diversos coeficientes de convecção e de temperaturas
representativas do fluido na câmara.
Por outro lado no RECIP são fixadas as temperaturas, obtidas
experimentalmente, e o fluxo de massa é calculado sobre elas. Com isso,
o fluxo de energia que deve atravessar a fronteira entre o sólido e o fluido
está determinado.
Assim, estes coeficientes de convecção são determinados de tal
forma que a conservação da energia seja respeitada. Conforme o número
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de coeficientes pode-se requerer que a temperatura em alguns pontos
também seja satisfeita.
0
Fluent
)(
RECIP
sup
dATTHhm câmaraerfície
Figura 5 - Esquema do método
Obter um campo de coeficientes de convecção (H ) tal que os
requisitos sejam satisfeitos é bastante difícil, pois a determinação dele é
um processo iterativo de várias variáveis dependentes entre si. Uma
forma de contornar esta situação é forçar o fechamento deste balanço,
através da introdução de um termo de transferência global de calor entre
as câmaras.
CâmaranhaCâmaraViziCâmaraSuperfície TTUAdATTHhm )(
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Figura 6 - Esquema do método, com correções
Dessa forma uma calibração apresenta dois campos como resposta: o
de coeficientes de convecção (H) e o de transferência global de calor (UA),
o último devendo ser o mínimo possível.
Simulação
Com o modelo calibrado, podemos começar os testes com possíveis
modificações no modelo. Agora são parâmetros de entrada os campos
obtidos na calibração, estando em teste agora as temperaturas do
modelo. Um resíduo é definido como o desbalanço energético em uma
câmara, conforme a equação a seguir:
Calibração
TTUA
Fluent
dATTH
RECIP
hmresíduo CVCSup )(
O procedimento equivale a realizar uma otimização, multivariada, que
toma as temperaturas como variáveis, e tem como função objetivo a
norma do vetor de resíduos da equação da energia.
A princípio, temos apenas como avaliar a função objetivo ponto a
ponto. Não podemos afirmar nada sobre as características da função,
como por exemplo, continuidade. O fato das equações terem surgido de
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um problema de transmissão de calor, levam a crer que a função tem pelo
menos as derivadas de primeira ordem contínuas.
É suposto também que uma modificação no modelo não causará uma
mudança grande nas temperaturas, sendo as temperaturas de calibração
uma boa referência para o início da análise.
A admissão destas duas hipóteses faz com que o algoritmo de
Newton-Raphson seja o escolhido para a simulação. Entretanto, os
primeiros testes com o modelo mostraram que a estabilidade dele é muito
ruim. Outro agravante, é que caso não haja uma solução fechada, o
algoritmo tende a divergir.
Para superar estas dificuldades, foi então implantado o algoritmo de
Levemberg-Marquardt, que mistura a velocidade de Newton-Raphson com
a segurança do gradiente-descendente, detalhado nos apêndices.
Implantação do algoritmo de Levemberg-Marquardt
O método de Levemberg-Marquardt tem como função de iteração a
seguinte equação, detalhada no Apêndice B - Método de Levemberg-
Marquardt:
fJhIJJ Tlm
T
Nesta equação:
J é a matriz jacobiana
hlm é o passo dado no vetor solução
f é um vetor com resíduos
µ é um fator de damping
I é a matriz identidade
Por esta equação faz-se necessárias algumas rotinas:
Obtenção da matriz Jacobiana
Multiplicação de matrizes
Multiplicação de matriz por vetor
Solução de um sistema linear
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A matriz jacobiana, pela característica da função, não pode ser obtida
analiticamente, sendo necessária a obtenção da mesma por diferenças
finitas. Ou seja:
x
xFxxF
x
F
)()(
Um método que pode ser estendido para outros propósitos supõe a
concepção de um programa mais genérico. Esta característica fica bem
marcada ao definir todo o programa em função de ponteiros, tanto para
variáveis quanto para funções. O protótipo da função definida é
Levemberg_Marquadt(
double **x,
(void *f)(double*),
int itmax
double e1,
double e2,
double tau
);
// Ponteiro para vetor de entrada
// ponteiro para função resíduo
// número máximo de iterações
// tolerância no gradiente
// tolerância no passo da solução
// fator que determina 1º dumping
É fato que qualquer matriz real multiplicada pela sua transposta é
simétrica e positiva-semi-definida. Isso implica em duas possíveis
melhoras no código: a primeira é que na multiplicação das matrizes é
possível cortar a alocação de memória e processamento, pois se trata de
apenas metade da matriz. A outra é que um método mais adequado pode
ser utilizado para cálculo do sistema linear, como a decomposição de
Cholesky, cortando pela metade as operações de cálculo e reduzindo erros
de truncamento.
Entretanto, modificações no solver não fazem grande diferença no
tempo de simulação. O gargalo do método é avaliar a função de resíduo.
Então, qualquer tentativa de reduzir o número de avaliações ou o tempo
das mesmas é benéfica.
Uma das apostas é fazer que o método avalie apenas as variações no
meio fluido, que toma poucos segundos, e desconsiderar as variações no
sólido, que toma vários minutos. Esta estratégia não é ruim, visto que as
variações no modelo do sólido são menores em comparação com as que
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ocorrem no modelo fluido. Em compensação, esta tentativa faz com que
sejam necessárias mais iterações, pois em última análise estamos
relaxando a solução do sólido.
O algoritmo no momento desta publicação ainda está em
desenvolvimento, em fase de debug, portanto ainda não apresentando
resultados.
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Conclusão
O trabalho realizado neste período de estágio contou com duas
frentes bastante distintas apesar de ambas tratarem de simulação
numérica de compressores.
A primeira delas resultou em um trabalho intenso em solução
numérica em mecânica dos fluidos. Apesar do objetivo do estudo ser
aparentemente simples, o modelo impôs diversos desafios em razão da
instabilidade numérica. Essa dificuldade resultou na obtenção de diversos
recursos até então pouco utilizados.
Na outra frente um trabalho intenso em programação linear e
desenvolvimento de software, em que o software comercial, apesar de
agente no processo, não foi protagonista no trabalho, deixando maior
espaço para criatividade e aprimoramento pessoal.
Em comum aos dois trabalhos está a ausência de resultados, pois,
em ambos os casos, os conjuntos ainda estavam em fase de
desenvolvimento.
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Referências
1. SCHREINER, João Ernesto. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA
CATARINA Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. .
Desenvolvimento de metodologias de simulação para a
análise de soluções de gerenciamento térmico aplicadas a
compressores alternativos de refrigeração. Florianópolis, SC,
2008. 1 v. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Santa
Catarina, Centro Tecnológico. Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Mecânica.
2. ALVES, Leonardo V. Decomposicao de Cholesky e LDLt. Disponível em
<http://homepages.dcc.ufmg.br/~lalves/aulas/cn/Aula8.pdf> 3. MAFFRA, Fabíola A.; GATTASS, Marcelo. Método de Levenberg-
Marquardt. Disponível em <http://www.tecgraf.puc-
rio.br/~mgattass/LM_Fabiola/LM_Teoria.pdf> 4. Cplusplus.com - The C++ Resources Network. C++ Reference.
Disponível em <http://www.cplusplus.com/reference/>
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Apêndice A – Decomposição de Cholesky
Modificada
A decomposição de Cholesky tradicional atesta que qualquer matriz
simétrica e positiva-definida A pode ser decomposta em LLA T , em que
L é uma matriz triangular inferior.
Uma fórmula para obter os elementos de L pode ser deduzida
utilizando esta definição, mostrada aqui para o caso de ordem 3.
2
33
2
32
2
31223221311131
2
22
2
211121
2
11
33
2322
131211
332313
2212
11 )(
00
00
00
LLLLLLLLL
LLLL
simétricoL
L
LL
LLL
LLL
LL
L
A
Não é difícil concluir que
1
1
2
1
1
1
i
kikiiii
j
kjkikij
jj
ij
LAL
LLAL
L
Entretanto, calcular raízes quadradas é caro e instável
computacionalmente. Assim não é corrente fazer a fatoração de Cholesky,
e sim, uma versão modificada, que faz a fatoração TLDLA , com D uma
matriz diagonal. Esta fatoração, além de mais estável numericamente,
permite a fatoração de matrizes que não sejam positiva-definidas.
100
10
1
00
00
00
1
01
001
32
3121
3
2
1
3231
21 L
LL
D
D
D
LL
LA
E pelo mesmo raciocínio anterior
1
1
2
1
1
para , 1
j-
kkikiii
j
kkjkikij
j
ij
DL- A D
jiDLLAD
L
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Com a fatoração completa, podemos resolver sistemas lineares
facilmente, em aproximadamente metade do tempo que seria necessário
para a realização de uma eliminação de Gauss completa.
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Apêndice B - Método de Levemberg-Marquardt
O método de Levemberg-Marquardt tem como sua principal
aplicação ajuste de parâmetros por mínimos quadrados.
Matematicamente, um problema de mínimos quadrados é definido
conforme o bloco a seguir:
T
mn
xfxfxFx
xfx
nmfx
2
1 para local mínimo um seja que ~ Encontre
ementeequivalent ou, mínimo, seja )~( que tal ~Encontrar
,RR: e vetor o Seja
Partindo da expansão da série de Taylor, tomando apenas a 1ª
ordem, afirma-se
hxHxFhxF F
Em que e FH representa a matriz hessiana para F e hum passo
para solução. Se xhx ~ é o mínimo procurado, então 0 hxF
Então, a direção de descida pode ser obtida como
xFhxHF
Normalmente é bastante difícil determinar, mesmo numericamente,
a matriz hessiana. Para isso, podemos recorrer à definição da função F e à
expansão de Taylor em f .
h
xF
H
xJxJh
xF
xfxJh
xF
xfxf
hxJxfhxJxfhxF
hxJxfhxf
hxfhxfhxF
TTTTT
T
T
)(2
1
)()(
2
1
2
1
2
1
Logo a função de iteração pode ser escrita como
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fJhJJ TT
Entretanto, a matriz resultado do produto JJT pode não ter inversa,
tendo como única garantia de que ela é simétrica. Para contornar esta
deficiência e garantir que haja direção de descida, o método de
Levemberg-Marquardt adiciona um termo à matriz hessiana, garantindo
assim que a matriz seja positiva-definida, e assim seja inversível.
fJhIJJ TT
Onde é um fator chamado damping, e I é a matriz identidade.
O fator determina o comportamento da iteração do método:
Se é pequeno, descemos de acordo com Gauss-Newton
Se é grande, damos um pequeno passo na direção do gradiente.
Este damping pode ser alterado de acordo com o resultado da
iteração. Se na iteração houver ganho, podemos diminuir o seu valor.
Caso contrário, seu valor é aumentado, para que o passo seja menor e
resulte em descida.
Uma das maneiras de avaliar este ganho é comparar o ganho real
em F com o que é previsto pelo modelo linear, conforme equação abaixo:
fJhh
hxFxF
TT
2
1