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Repère et frontière d’isolement

IntroductionLors d’une étude en mécanique, il est important de bien définir le repère dans lequel on travail et la frontière d’étude. Un repère physique est un système d'axes ou de coordonnées qui permet de décrire la position d'un point. Il est bien évident que la position d'un point donné n'est pas décrite de la même manière selon que l'on se place dans un repère ou dans un autre.Il existe plusieurs types de référentiels :

• le référentiel de Copernic (1473-1543) Il est centré au centre d'inertie du système solaire. Les directions de ses axes sont définies à l'extérieur du système solaire par trois galaxies lointaines.


Introduction

• le référentiel de Galilée (1564-1642) Il est centré au centre de la Terre. Ses axes sont parallèles à ceux du référentiel de Copernic.


Introduction • Le référentiel terrestre Il est le référentiel le plus utilisé, il est centré en un point de la Terre et ses axes sont liés à la rotation terrestre : un homme “immobile” est donc fixe dans le référentiel terrestre. Par exemple, le référentiel terrestre peut se définir sur un terrain de foot comme un référentiel centré au point de corner, donc les axes sont la ligne de touche, la ligne de but et le poteau de corner. Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen dans les expériences usuelles. Il faut une chute libre commençant à une hauteur considérable pour mettre en évidence la déviation vers l’est, due à la rotation terrestre.

Présentation repère Galiléen

C’est un référentiel pour lequel l'espace est homogène et isotrope, le temps uniforme et dans lequel tout corps libre (non influencé par une force) est animé d'un mouvement rectiligne uniforme. Dans la suite des études, on prendra comme référentiel le repère terrestre considéré comme un repère Galiléen.

Exemple d’animation en fonction du repère

Attendre démarrage animation

Actions mécaniquesForces Sur un système, on peut avoir plusieurs types d’actions mécaniques :

• A distanceOn a une action mécanique à distance, lorsqu’il n’y a aucun contact physique entre les deux éléments.

Poids de l’avion (m.g)


• De contactElles résultent du contact entre deux objets. Elles peuvent être de différentes formes :

• ponctuelles : on peut considérer que l'action s'effectue en un point, • réparties de manière uniforme (pression uniforme, charge uniformément répartie), • réparties de manière non uniforme (charge linéairement répartie ou plus complexe).

Action sol/roue


• ImposéesElles sont indépendantes du mécanismes. Elles sont imposées par l’utilisateur.

Couple moteur sur différentiel automobile (N.m)

Actions mécaniquesForces Actions mécaniques sur un avion• Déterminer le type

Actions mécaniquesMoment d’une force ou couple Définition :C’est l'aptitude d'une force à faire tourner un système mécanique autour d'un point donné, que l'on nomme pivot. Sa norme par rapport à ce point, est le produit de la norme de la force (N) par la plus petite distance (m) qui sépare le pivot de la direction de la force.

Mc () = d x

Etude particulière des problèmes plansPrésentation Dans de nombreux systèmes mécaniques étudiés en statique (système immobile), on peut modéliser le système comme s’il était dans le plan. Pour cela, il faut trois conditions :

• Il admet un plan de symétrie dans sa géométrie • Les forces sont comprises dans ce plan• Les moments sont perpendiculaires à ce plan

Exemple : frein hydraulique VTT

Moment

Etude particulière des problèmes plansLes torseurs Définition :C’est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique des solides indéformables, pour décrire les mouvements des solides et les actions mécaniques qu'ils subissent de la part d'un environnement extérieur.

Il est donc déterminé par deux vecteurs, constituant sa "réduction" en un point quelconque O de l'espace, à savoir :• La résultante . Ce vecteur est unique et indépendant du point de réduction. • Le moment en O du torseur, .

On écrit :

X, Y, Z sont les coordonnées de la résultante et L, M, N les coordonnées du moment

Etude particulière des problèmes plansLes torseurs Exemple : liaison pivot en O

O

XY

Z

Principe Fondamental de la Statique (FPS)Enoncé du principe

Il exprime les conditions d’équilibre d’un solide dans un référentiel. Un solide est en équilibre lorsqu'il a un mouvement rectiligne uniforme (son accélération est nulle). Souvent, on considère le cas d'un objet immobile.Par définition un solide est en équilibre par rapport à un référentiel galiléen si la somme des forces est nulle et si la somme des moments par rapport à un point a quelconque et des couples extérieurs est nulle.

Expressions analytiques

Principe Fondamental de la Statique (FPS)Etude graphique

Equilibre d’un solide soumis à deux forces

Lorsqu’un solide est en équilibre sous deux forces :• Les deux forces sont opposées (équation vectorielle des forces) • Elles sont les mêmes droites d'action (équation du moment)

Exemple: équilibre de la bielle d’un frein hydraulique

Principe Fondamental de la Statique (FPS)Etude graphique

Equilibre d’un solide soumis à trois forces non parallèles

Lorsqu’un solide est en équilibre sous trois forces :• les vecteurs force forment un triangle fermé (équation des forces) • toutes les droites d'action sont concourantes.

Exemple: équilibre de la manette d’un frein hydraulique

Expressions graphiques du PFSExemple : frein hydraulique VTT Nous allons déterminer la pression de freinage exercée sur les plaquettes de frein avec une force de freinage de 20 N

Expressions graphiques du PFSExemple : frein hydraulique VTT Hypothèses :• Liaisons parfaites• On néglige le poids des pièces

Expressions graphiques du PFSExemple : frein hydraulique VTT On isole dans un premier temps la manette. Solide soumis à l’action de trois forces non parallèles

Expressions graphiques du PFSExemple : frein hydraulique VTT On isole dans un deuxième temps la bielle. Solide soumis à l’action de deux forces parallèles

Expressions graphiques du PFSExemple : frein hydraulique VTT On isole dans un troisième temps la manette. Solide soumis à l’action de trois forces non parallèles

Expressions graphiques du PFSExemple : frein hydraulique VTT Résultat calculée par logiciel en étude dynamique (creo Parametric), avec effort sur manette variable

Expressions graphiques du PFSExemple : frein hydraulique VTT Calcul de la pression au niveau du cylindre

F = Px SP = avec S =

P = = Pa

Expressions graphiques du PFSCas particulier FrottementLe frottement statique est une force qui tend à garder un corps en état statique. Elle dépend du poids apparent du corps et du coefficient de frottement statique, évalué en fonction de la nature des surfaces en contact.Dans un contact parfait, l’action mécanique transmissible par obstacle entre 2 solides ne peut être en tout point que normale au contact (perpendiculaire au plan tangent commun du contact). Dans le cas d’un contact avec frottement la droite d’action transmissible peut s’écarter de la normale de contact jusqu’à une limite fixe. Le domaine ainsi délimité prend la forme d’un cône dit « cône de frottement d’adhérence ». Le demi angle au sommet est appelé angle d’adhérence. L'étude du cas à la frontière du cône est appelé équilibre strict.

Expressions graphiques du PFSCas particulier FrottementOn atteint la limite d’adhérence quand la droite d’action atteint la limite du cône.


Expressions graphiques du PFSCas particulier BasculementDans le cas d'un objet très haut, une armoire par exemple, il se peut que la réaction du sol soit portée à l'extérieur (ce qui n'est pas possible, puisque cela impliquerait des actions locales de signe opposé). L'équilibre n'étant plus possible, alors il y a basculement.


Equilibre isostatique et hyperstatique

En mécanique des solides, l'hyperstatisme est la situation d'un assemblage pour lequel le fonctionnement se fait avec plus de contraintes que ce qui est strictement nécessaire pour le maintenir, ce qui signifie qu'au moins un degré de mobilité d'une pièce est supprimé plusieurs fois. Ce qui signifie qu’il y a plus d’inconnues que le nombre d’équations fournies par le PFS.

F

Problème planDeux liaisons encastrements :• Inconnue : 6PFS :• Equations : 3


À l'inverse, on parle d'isostatisme lorsque le fonctionnement se fait sans contrainte excessive ou pour être plus rigoureux si le PFS suffit à déterminer toutes les inconnues de liaisons du mécanisme.

F

Une liaisons encastrements :• Inconnues : 3PFS :• Equations : 3


Résolution d’un système Hyperstatique

• On formule des hypothèses simplificatrices : symétrie

• On fait appel à des calculs d’élasticité des matériaux ce qui permet de rajouter des équations (système déformable).

F

F1 F2

F1=F2


Résolution d’un système Hyperstatique

• Principe de superpositionIl permet de décomposer toute sollicitation complexe en une somme de sollicitations élémentaires dont les effets sont ensuite additionnés. Ce principe est directement lié à l'hypothèse de linéarité de la loi de Hooke.

Problème planUne liaison encastrement plus appui ponctuel :• Inconnues : 4PFS :• Equations : 3

F

a

b

a

Fb

F

a

b

FIN