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Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 1

Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes


Plan


Contexte industriel / Fabrication d'un véhicule

• 4 étapes : emboutissage, tôlerie, peinture, assemblage

• Processus de montage– Graphe de montage

moteur 1

moteur 3

sellerie 2 sellerie 4

Sous caisse

mécanique 3sellerie 6mécanique 1

poste de conduite

mécanique 4sellerie 8

porte


Contexte industriel / Description de l’atelier

• Manutention dans l’atelier :– Des magasins alimentent en pièces les tronçons avec

une flotte de véhicules de manutention


Etat de l'art / Problématique et Evaluation

• Problématique générale du facility layout : Positionner des zones dans un espace défini de

manière à minimiser les flux, les encombrements, …Exemple : aéroports, hôpitaux, …

• Evaluation d'un agencement, 2 points de vue de modélisation: – « relationship chart » Max z = somme somme rij*xij

rij : score d'adjacence entre la zone i et la zone j xij : binaire 1 si i et j adjacents 0 sinon

– « from-to chart » Min z = somme somme fij*cij*dij fij : flux entre la zone i et j ; dij : distance entre i et jcij : coût en unité de flux et de distance entre i et j


Etat de l'art

• Représentation graphique – Discrète (ensemble des positions déterminé par une

grille)– Continue (infinité de solution)

• Optimisation d’un agencement :– Représentation topologique– Représentation par graphe d’adjacence– Représentation par arbres de découpes– Affectation quadratique – Programmation linéaire en nombres entiers


Etat de l'art / Optimisation

• Représentation topologique– Adaptées aux approches constructives (ex : SHAPE) et

recherche locale (ex : CRAFT)

• Graphes d'adjacences– Graphe dont les nœuds représentent une zone et les

arêtes les relations d'adjacences entre les zones

• Arbre de découpe (slicing tree)– Création d'un "floorplan" (une partition du rectangle

initial) qui peut se représenter par un arbre (binaire) dont chaque nœud correspond à un rectangle


Etat de l'art / Optimisation

• Problème d'affectation quadratique (FAQ)– Affecter à chaque zone une et une seule position

Min z = Σ Σ Σ Σ fij.cij.dlk.xik.xjlfij : flux entre les zones i et j cij : coût entre les zones i et j dlk : distance entre la position l et k xik : 1 si la zone i est dans la position j, 0 sinon

• Programmation Linéaire en Nombres Entiers (PLNE)– Variables pour les coins de chacune des zones, pour les

informations entre deux zones (flux, coût, localisation)

m m m m

i=1 j=1 k=1l=1


Etat de l'art / Synthèse

• Beaucoup de travaux dans la littérature

• Travaux présentés sont :– soit très génériques ne prennent pas en compte

certains aspects de notre problème– soit très spécifiques ils sont difficiles à réutiliser dans

d'autres contextes que celui spécifié

• Pas de travaux avec la Programmation par Contraintes


Définition du problème

• Positionner les zones (tronçons et magasins) de manière à minimiser les coûts en fonction des flux réels transitant dans l’atelier en :– suivant le graphe de montage et de manutention– gérant l’entrée et la sortie de la chaîne sur l’atelier– créant un réseau d’allées pour l’approvisionnement

• Tronçons : forme rectangulaire, une entrée et une sortie à l’opposée sur les largeurs et donc 4 orientations (, , ,)

• Magasins : carrés, pas d’entrées ni de sorties donc pas d’orientations


Spécificités du modèle

• Modélisation avec la Programmation Par Contrainte

• Evaluation : «from-to» chart

• Représentation graphique discrète

• Gestion du réseau d’allées avec un rajout d’une demi-allée pour chacune des zones


Spécificités du modèle

• Calcul des distances par la méthode de Manhattan : permet de prendre en compte le réseau d’allées

• Pour éviter d’allonger la distance de convoyage entre l’entrée de l’atelier et le premier tronçon : nous collons l’entrée du tronçon à l’entrée du magasin

• Pour la sortie, la voiture étant terminée à la fin de la chaîne, la distance qui sépare le dernier tronçon de la sortie est moins important


Données du problème

• Bx, By : longueur et largeur du bâtiment

• xs,ys : abscisse et ordonnée de la sortie de l’atelier

• xe,ye : abscisse et ordonnée de l’entrée de l’atelier• Li, li : longueur et largeur de chaque tronçon et

magasin (Li=li)• M : nombre de magasins • T : nombre de tronçons • aij : les positions d'arrivées sur la chaîne principale des

chaînes secondaires (entrées, centre ou sortie) • fij : flux entre 2 zones• cij : coût unitaire en unité de flux et de distance entre

2 zones


Variables du modèle

• xi, yi : (≥ 0) : abscisse et ordonnée du centre de chaque zone

• hi, vi : {Li, li} : taille de la zone i en abscisse et ordonnée • eih, eiv : {-1, 0, 1} : entrée du tronçon i en abscisse et

ordonnée (-1 si inférieure au centre, 0 si égale et 1 si supérieur)

• Distances : en fonction des autres variables mais différentes en fonction du flux (production ou manutention)– Distance de manutention (magasin i et tronçon j)

dij = |xi - xj| + |yi - yj| – Distance de production

dij = |(xi - eih.hi/2) - (xj - aj.ejh.hj/2)| + |(yi - eiv.vi/2) - (yj - aj.ejv.vj/2)|


Fonction objectif

• Manutention : flux Magasins - Tronçons • Production : flux Tronçons - Tronçons

– L : indice du dernier ronçon de la chaîne d montage– dls = |(xl - elh.hl/2) -xs| + |(yl - elv.vl/2) – ys|

Min z = Σ Σ fijcijdij + Σ Σ fijcijdij + flsclsdls T T

i=1 j=1

M T

i=1 j=1


Contraintes

• Positionnement dans l'atelier– hi/2 ≤ xi ≤ Bx-hi/2 et vi/2 ≤ yi ≤ By-vi/2 i M T

• Dimensions et orientation des tronçons– si longueur verticale alors largeur horizontale et vice et

versa : hi + vi = Li + li i T

– orientation verticale ou horizontale : eih=0 <=> eiv!=0 i T– entrée du coté de la largeur : eih!=0 => hi=Li et eiv!=0 =>

vi=Li i T

• Non superposition des zones– si superposition horizontale alors non superposition verticale :

|xi-xj| < (hi+hj)/2 |yi-yj| ≥ (vi+vj)/2– si superposition verticale alors non superposition horizontale :

|yi-yj| < (vi+vj)/2 |xi-xj| ≥ (hi+hj)/2


Approches de résolution

• Modèle présenté peut efficace partage de la résolution du problème en 3 sous problèmes:– Placement de la chaîne principale– Placement des chaînes secondaires– Placement des magasins


Résolution de la chaîne principale



Résolution des chaînes secondaires



Placement des magasins

• Problème d’affectation des positions pour les magasins

• Modèle en PLNE : / Bx/5By/5 | Min z = ∑ ∑ ∑ fijcijdijkxik | i M j T k=1 | sujet à : | xik = 0 (i M,

| k une des case du magasin i occupée par un | tronçon ou hors de l’atelier)< Bx/5By/5 | ∑ xik =1 (i M) | k=1 | ∑ ∑ xij ≤ 1 (1 ≤ k ≤BxBy) | i M l L | où L est l’ensemble des case tel que k soit occupée si le \ magasin i est en l