Resposta à Actuação de Controlo
João Oliveira
Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial
Versão de 5 de Dezembro de 2011
Sumário
Conteúdo1 Matrizes e vectores de controlo 1
1.1 Matriz de controlo para movimento longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Matriz de controlo para o movimento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Método das transformadas de Laplace 32.1 Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Resolução de sistemas e funções de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Resposta a impulso e a escalão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Resposta longitudinal 93.1 Caso geral: funções de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Resposta longitudinal: exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Resposta longitudinal: modos aproximados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Resposta lateral 174.1 Exemplo do Cessna 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Modos aproximados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1 Matrizes e vectores de controlo
Equações do movimentoEquações do movimento para pequenas perturbações:
x = Ax+ Bc
• B: matriz de controlo
• c: vector de controlo
– Movimento Longitudinal: c = [∆δe ∆δP]T
– Movimento Lateral: c = [∆δa ∆δr ]T
É necessário determinar a matriz de controlo em cada um dos casos.
1
1.1 Matriz de controlo para movimento longitudinal
Matriz de controlo para movimento longitudinalDas equações do movimentos:
Bc =
∆Xcm∆Zcm−Zw
1Iy
[∆Mc + Mw∆Zc
m−Zw
]0
Por outro lado:
∆XC = Xδe∆δe +XδP∆δP∆ZC = Zδe∆δe + ZδP∆δP∆MC = Mδe∆δe +MδP∆δP
Matriz de controlo para movimento longitudinalFazendo as substituições necessárias, obtém-se:
Bc =
Xδem
XδPm
Zδem−Zw
ZδPm−Zw
MδeIy +
Mw ZδeIy(m−Zw)
MδPIy +
Mw ZδPIy(m−Zw)
0 0
︸ ︷︷ ︸
matriz B
[∆δe∆δP
]
1.2 Matriz de controlo para o movimento lateral
Matriz de controlo para o movimento lateral
Bc =
∆Ycm
∆LcI′x + I
′zx∆Nc
I′zx∆Lc + ∆NcI′z
0
Por outro lado:
∆YC = Yδa∆δa + Yδr∆δr∆LC = Lδa∆δa + Lδr∆δr∆NC = Nδa∆δa +Nδr∆δr
Matriz de controlo para o movimento lateral
2
Fazendo as substituições necessárias, obtém-se:
Bc =
Yδam
Yδrm
LδaI′x + I
′zxNδa
LδrI′x + I
′zxNδr
I′zxLδa +NδaI′z I′zxLδr +
NδrI′z
0 0
︸ ︷︷ ︸
matriz B
[∆δa∆δr
]
2 Resolução de equações diferenciais não homogéneas:método das transformadas de Laplace
2.1 Transformadas de Laplace
Transformadas de LaplaceDefinição de Transformada de Laplace:
Lx(t) =∫ +∞
0x(t)estds ≡ x(s)
Se xe−st → 0 quando t → +∞,mostra-se facilmente que
L x(t) = −x(0)+ sx(s)
Transformadas de Laplace inversasTransformada inversa:
x(t) = 12π i
limω→∞
∫ γ−iω
γ−iωest x(s)ds
onde γ é um número real maior que a parte real qualquer dos dos pólos de x(s).
Métodos habituais para a obter:
• método das fracções parciais
• teorema da expansão de Heaviside
• uso de tabelas, etc.
Teorema da expansão de Heaviside
Seja x(s) = N(s)D(s)
• D(s) é um polinómio de grau n;
• N(s) é um polinómio de grau inferior a n;
3
• ar são as raízes de D(s):
D(s) = (s − a1)(s − a2) · · · (s − an).Então a transformada inversa é
x(t) =n∑r=1
[(s − ar )N(s)
D(s)
]s=ar
ear t
2.2 Resolução de sistemas e funções de transferência
Resolução de sistemas de equações diferenciais não homogéneasEquação diferencial ordinária não homogénea (se x(0) = 0):
x = ax(t)+ bc(t) ⇒ sx(s) = ax(s)+ bc(s)
⇒ x(s) = bs − ac(s)
Analogamente, para um sistema de equações:
x = Ax(t)+ Bc(t)⇒ sx(s) = Ax(s)+ Bc(s)
⇒ x(s) = (sI− A)−1B︸ ︷︷ ︸G(s)
c(s)
Resolução de sistemas de equações diferenciais não homogéneasLogo, obtemos
x(s) = G(s)c(s)
As soluções do sistema são dadas por:
x(t) = L−1x(s) = L−1[G(s)c(s)]
• Nota: estas equações são matriciais!
Resposta das variáveis de estadoDe
x(s) = G(s)c(s)
obtém-se a resposta da i-ésima variável de estado:
xi(s) =∑j
Gij(s)cj(s)
A resposta a uma «soma» de entradas é a soma das respostas individuais a cadauma das entradas.
4
Sistemas em sérieQuando dois sistemas estão em série, a entrada do segundo é a resposta do pri-
meiro. Logo:
x1 = G1(s)c(s)x2 = G2(s)x1(s) = G2(s)G1(s)c(s)
Logo, a função de transferência total é o produto das funções de transferência:
G(s) = x2(s)c(s)
= G2(s)G1(s)
Pode-se generalizar este resultado para um número arbitrário de sistemas em série.
Matriz das funções de transferênciaMatriz das funções de transferência: G(s) = (sI− A)−1B
Mas (sI− A)−1 = cof(sI− A)det(sI− A)
• cof(sI− A): matriz dos cofactores
• polinómio característico: f(s) = det(A− sI)
• det(sI− A) = (−1)nf(s) (n é a dimensão do sistema)
G(s) = 1(−1)nf(s)
cof(sI− A) · B
Elementos da matriz das funções de transferência
Gij(s) =(−1)n[cof(sI− A) · B]ij
f(s)= Nij(s)(s − λ1)(s − λ2) · · · (s − λn)
• Nij(s): polinómio em s• λ1, . . . , λn: valores próprios do sistema
Os valores próprios podem ser:
• reais ⇒ termo (s − λk) ⇒ sistema de 1ª ordem
• pares de raízes complexas conjugadas (λk, λk+1) ⇒(s − λk)(s − λk+1) = (s2 + aks + bk) ⇒sistema de 2ª ordem
Sistemas de 1ª e 2ª ordem
• Elementos da matriz das funções de transferência: produtos de termos de 1ªordem e de 2ª ordem.
• Sistemas que interessam em aeronáutica: conjuntos de sistemas de 1ª e 2ª ordemem série.
• Podemos analisar separadamente reposta de cada um dos subsistemas.
5
• Respostas a analisar:
– a impulso;
– a escalão;
– em frequência (não vamos fazer);
– ruído branco (não vamos fazer).
2.3 Resposta a impulso e a escalão
Resposta a impulsoImpulso: cj(t) = δ(t).
Mas δ(t) é delta de Dirac ⇒ δ(s) = 1
Note-se que:xi,j(s) = Gij(s)cj(s) = Gij(s)δ(s) = Gij(s)
Designamos por h(t) a resposta a impulso, isto é,
hij(t) = L−1xi,j(s) = L−1Gij(s)
Resposta a impulsoLogo
hij(t) = L−1Gij(s)
= 12π i
∫CGij(s) estds
= 12π
∫ +∞−∞Gij(iω) eiωtdω
Note-se que, se o sistema é estável, os pólos de Gij estão no semi-plano esquerdo eo contorno C do integral pode ser o eixo imaginário (s = iω)
Resposta a impulso: sistema de 1ª ordemSistema de 1ª ordem:
G(s) = 1s − λ
h(t) = 12π
∫ +∞−∞
1iω− λ eiωt = eλt
Se o sistema é estável, λ é negativo.Seja T = −1/λ:
h(t) = e−t/T
6
Resposta a impulso: sistema de 2ª ordemSistema de 2ª ordem:
G(s) = 1s2 + 2ζωns +ω2
n=
1
(s −n)2 +ω2se ζ < 1
1(s −n)2 −ω2
se ζ > 1
em que ω =ωn√|1− ζ2| e n = ζωn.
h(t) = 1ω
ent sin(ωt) ζ < 1
h(t) = 1ω
ent sinh(ωt) ζ ≥ 1
Resposta a escalãoEntrada: função de Heaviside:
cj(t) = H(t)⇒ cj(s) = H(s) = 1/s
Designamos porAij(t) a resposta a escalão, isto é,
xi,j(s) ≡ Aij(s) = Gij(s)H(s) =Gij(s)s
Mas, como hij(t) = L−1Gij(s)⇒ hij(s) = Gij(s),
Aij(s) =hij(s)s
Resposta a escalão: integração da resposta a impulso
Como vimos, Aij(s) =hij(s)s
Logo, pelas propriedades da transformada de Laplace
Aij(t) =∫ t
0hij(τ)dτ
(Note-se que para t ≤ 0, se temAij(t) = 0 e hij(t) = 0.)
Resposta a escalão: sistemas de 1ª e 2ª ordemSistema de 1ª ordem:
Aij(t) = T(1− e−t/T
)Sistema de 2ª ordem:
Aij(t) =1ω2
[1− ent
(cos(ωt)− n
ωsin(ωt)
)]ζ < 1
Aij(t) =1ω2
[1+ n−ω
2ωe(n+ω)t − n+ω
2ωe(n−ω)t
]ζ ≥ 1
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Ganho estáticoGanho estático K: valor assimptótico deA quando t →∞
Pelo teorema do valor final:
limt→+∞
A(t) = lims→0sA(s) = lim
s→0G(s)
Logo, conclui-se queK = lim
s→0G(s)
Sistemas de 1ª ordem: resposta a impulso e escalão
Sistemas de 2ª ordem: resposta a impulso
Sistemas de 2ª ordem: resposta a escalão
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Resposta em frequênciaNeste caso, a entrada é uma função oscilatória:
c(t) = A1eiωt ⇒ c = A1
s − iω
(Para mais pormenores, ver Etkin)
3 Resposta longitudinal
3.1 Caso geral: funções de transferência
Equações para o movimento longitudinalRecorde-se que
x(t) = Ax(t)+ Bc(t)⇒ x(s) = (sI− A)−1B c(s)
ou seja, no caso de movimento longitudinal:∆u(s)
w(s)
q(s)
θ(s)
= (sI− A)−1B
∆δe(s)∆δP(s)
Matriz de controlo para movimento longitudinalRecorde-se também que
B =
Xδem
XδPm
Zδem−Zw
ZδPm−Zw(
MδeIy +
Mw ZδeIy(m−Zw)
) (MδPIy +
Mw ZδPIy(m−Zw)
)0 0
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Derivadas dimensionais para variáveis de controloAs derivadas dimensionais de controlo obtém-se a partir das derivadas adimensio-
nais por:
Xδe =12ρu2
0SCxδe XδP =12ρu2
0SCxδP
Zδe =12ρu2
0SCzδe ZδP =12ρu2
0SCzδP
Mδe =12ρu2
0ScCmδe MδP =12ρu2
0ScCmδP
Resposta longitudinal: resposta ao elevatorResposta ao elevator ⇒ ∆δP = 0
∆u(s)w(s)q(s)
θ(s)
= (sI− A)−1B
∆δe(s)0
= (sI− A)−1 ·
Xδem
Zδem−Zw(
MδeIy + Mw Zδe
Iy (m−Zw )
)0
∆δe(s)
Resposta ao elevator : funções de transferênciaResolvendo o sistema podemos obter as funções de transferência:
∆u(s)∆δe(s)
= Guδe(s) =Nuδe(s)f (s)
w(s)∆δe(s)
= Gwδe(s) =Nwδe(s)f (s)
q(s)∆δe(s)
= Gqδe(s) =Nqδe(s)f (s)
θ(s)∆δe(s)
= Gθδe(s) =Nθδe(s)f (s)
Resposta longitudinal: resposta à variação na propulsãoResposta à variação na propulsão throttle ⇒ ∆δe = 0
∆u(s)
w(s)
q(s)
θ(s)
= (sI− A)−1B
0
∆δP(s)
Procedendo de forma análoga ao caso anterior, obtém-se as funções de transferên-cia.
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3.2 Resposta longitudinal: exemplo
Resposta longitudinal: exemplo do Cessna 182
Características da aeronaveVoo horizontal a 5000 ft, com Ma = 0.201
Ix = 1285.0 kg m2 S = 16.17 m2 c = 1.49mIy = 1824.4 kg m2 W = 11787 N u0 = 67m/sIz = 2666.2 kg m2 ρ = 1.055 kg/m3 θ0 = 0Ixz = 0 kg m2 CL0 = 0.307 CD0 = 0.032
Derivadas adimensionais:
CD CL CT Cm
u 0 0 -0.096 0α 0.121 4.41 – -0.613q 0 3.9 – -12.4ˆα 0 1.7 – -7.27δe 0 0.43 – -1.122
Derivadas segundo os eixos
Cxδe = CTδe − CDδe = 0
CZδe = −CLδe = −0.43
Cmδe = −1.122
Xδe =12ρu2
0SCxδe = 0
Zδe =12ρu2
0SCzδe = −16510.7 N/rad
Mδe =12ρu2
0ScCmδe = −64342.9 Nm/rad
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Derivadas dimensionais e matrizesMatriz do sistema:
A =
−0.0457289 0.0885998 0 −9.81
−0.289913 −2.09701 65.1123 0
0.0109923 −0.207702 −6.80735 0
0 0 1 0
Matriz de controlo:
B =
0 2.943
−13.6184 0
−34.7508 0
0 0
Supomos: XδP = 0.3mg
ZδP = 0 = MδP
Nota: as matrizes estão calculadas em SI.
Equação característica:
det(sI− A) = 0⇒ f(s) = s4 + 8.950s3 + 28.232s2 + 1.490s + 0.8168 = 0
Polinómio característicoEquação característica:
det(sI− A) = 0⇒ f(s) = s4 + 8.950s3 + 28.232s2 + 1.490s + 0.8168 = 0
Raízes:s1,2 = −0.0220954± 0.169956i; s3,4 = −4.45295± 2.82492i
Uma vez que:
(s − s1)(s − s2) = s2 + 0.0441907s + 0.0293734
(s − s3)(s − s4) = s2 + 8.9059s + 27.809
o polinómio característico escreve-se:
f(s) =(s2 + 0.0441907s + 0.0293734
)(s2 + 8.9059s + 27.809
)
Resposta à actuação do elevatorFunções de transferência: obtidas fazendo δP = 0 e resolvendo
∆u(s)w(s)q(s)
θ(s)
= (sI− A)−1 · B[∆δe(s)
0
]=
Guδe (s)Gwδe (s)Gqδe (s)Gθδe (s)
·[∆δe(s)
0
]
Resposta à actuação do elevator : funções de transferência
∆u(s)∆δe(s)
= Guδe (s) =Nuδe (s)
f (s)= 687.134+ 132.216s − 1.20659s2
(s2 + 0.0441907s + 0.0293734)(s2 + 8.9059s + 27.809)
w(s)∆δe(s)
= Gwδe (s) =Nwδe (s)
f (s)= −100.301− 107.71s − 2356.03s2 − 13.6184s3
(s2 + 0.0441907s + 0.0293734)(s2 + 8.9059s + 27.809)
q(s)∆δe(s)
= Gqδe (s) =Nqδe (s)
f (s)= s(−4.10893− 71.6334s − 34.7508s2)(s2 + 0.0441907s + 0.0293734)(s2 + 8.9059s + 27.809)
θ(s)∆δe(s)
= Gθδe (s) =Nθδe (s)
f (s)= −4.10893− 71.6334s − 34.7508s2
(s2 + 0.0441907s + 0.0293734)(s2 + 8.9059s + 27.809)
12
Outras funções de transferência importantesÂngulo de subida:
∆γ = ∆θ −∆α⇒ Gγδe = Gθδe −Gαδe
Factor de carga nz = −ZW
:
∆nz = −∆ZW= − 1
W(Zu∆u+ Zww + Zqq + Zww + Zδe∆δe
)
Gnδe =∆nz∆δe
= − 1W(ZuGuδe + ZwGwδe + ZqGqδe + ZwGwδe + Zδe
)
Resposta a escalão (∆δe = 1o)
0 1 2 3 4 5t
5
10
15
20
25Du Hm�sL
1 2 3 4 5t
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
DΑ HºL
1 2 3 4 5t
-10
-8
-6
-4
-2
DΓ HºL
0 50 100 150 200t
5
10
15
20
25Du Hm�sL
50 100 150 200t
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
DΑ HºL
50 100 150 200t
-15
-10
-5
5DΓ HºL
Resposta a escalãoInício da resposta:
• só α varia significativamente
• oscilações de α são amortecidas rapidamente
• o movimento é dominado pelo modo de período curto
Após os primeiros segundos:
• oscilações de u (e de α, com menos amplitude)
• oscilações pouco amortecidas
• o movimento é dominado pelo modo fugóide
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Resposta a escalão: estado estacionárioNo estado estacionário:
limt→+∞
∆u = lims→0
s Guδe(s) ∆δe(s) = 14.68m/s
limt→+∞
∆α = lims→0
s Gαδe(s) ∆δe(s) = −1.83o
limt→+∞
∆γ = lims→0
s Gγδe(s) ∆δe(s) = −3.20o
O resultado da deflexão do leme de profundidade é
• variação significativa de u
• variação significativa de α
• variação significativa do ângulo de subida
(não é típico: ver exemplo do 747, a seguir)
Resposta a escalão (∆δe = 1o) Exemplo de um 747 (cfr. Etkin)
Resposta à actuação do throttle
Com ∆δP = 1/6 (incremento na força de propulsão de0.05W ):
• oscilações de u com valor médio nulo e poucoamortecidas
• α aproximadamente constante
• γ oscila e tende para valor estacionário γ =2.86º
50 100 150 200t
-1
1
2
Du Hm�sL
50 100 150 200t
-0.05
0.05
DΑ HºL
50 100 150 200t
1
2
3
4
DΓ HºL
14
3.3 Resposta longitudinal: modos aproximados
Resposta longitudinal: modos aproximadosPretende-se, para cada um dos modos aproximados:
• resolver as equações do movimento (com controlo) pelo método das transforma-das de Laplace
• determinar as funções de transferência para os modos aproximados longitudinais
– > fugóide
– período curto
Modo fugóideEquações para o modo fugóide aproximado (incluindo termos de controlo)
∆u = Xum∆u+ Xw
mw +−g∆θ + Xδe
mδe +
XδPmδP
w = Zum∆u+ Zw
mw +u0q +
Zδemδe +
ZδPmδP
0 = Mu∆u+Mww +Mδeδe +MδPδP
∆θ = q
Modo fugóideEquações na forma matricial (e considerando apenas δe):
∆u
w
0
∆θ
=
Xum
Xwm 0 −g
Zum
Zwm u0 0
Mu Mw 0 0
0 0 1 0
∆u
w
q
∆θ
+
Xδem
Zδem
Mδe
0
∆δe
Após aplicação da transformada de Laplace:
s∆u
sw
0 · q
s∆θ
=
Xum
Xwm 0 −g
Zum
Zwm u0 0
Mu Mw 0 0
0 0 1 0
∆u
w
q
∆θ
+
Xδem
Zδem
Mδe
0
∆δe
Modo fugóideFinalmente obtemos
(s − Xu
m
)−Xwm 0 g
−Zum(s − Zw
m
)−u0 0
−Mu −Mw 0 0
0 0 −1 s
∆u
w
q
∆θ
=
Xδem
Zδem
Mδe
0
∆δe
Resolvendo este sistema em ordem a ∆u/∆δe, w/∆δe, q/∆δe e ∆θ/∆δe obtemos as funçõesde transferência
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Modo fugóide: funções de transferência∆u(s)∆δe(s)
= Guδe =a1s + a0
f(s)
Os coeficientes são: a1 = u0
(Mδe
Xum−Mw
Xδem
)− gMδe
a0 = g(Mδe
Zwm−Mw
Zδem
)Polinómio característico para o modo fugóide aproximado:
f(s) = As2 + Bs + CA = −u0Mw
B = gMu +u0
m(XuMw −MuXw)
C = gm(ZuMw −MuZw)
Modo fugóide: funções de transferência
w(s)∆δe(s)
= Gwδe =b2s2 + b1s + b0
f(s)
Os coeficientes são:
b2 = u0Mδe
b1 = u0MuXδem
b0 = g(MuZδem−Mδe
Zum
)
Modo fugóide: funções de transferência
θ(s)∆δe(s)
= Gθδe =c2s2 + c1s + c0
f(s)
Os coeficientes são:
c2 = Mδe
c1 = MuXδem+Mw
Zδem−Mδe
(Xum+ Zwm
)c0 = Mδe
(XumZwm− XwmZum
)+ Zδem
(MuXwm−Mw
Xum
)+
Xδem
(Mw
Zum−Mu
Zwm
)
Modo de período curto aproximadoSistema de equações para o modo aproximado de período curto (incluindo termos de controlo):w
q
=
Zwm u0
1Iy
[Mw + MwZw
m
]1Iy
[Mq +Mwu0
]wq
+
Zδem
MδeIy + Mw
Iy
Zδem
∆δeAs funções de transferência obtém-se aplicando a transformada de Laplace e usando os métodos descritos acima.
16
Modo de período curto: funções de transferênciaNotando que q = s∆θ, obtém-se:
Gwδe =ass + a0
f(s)
Gθδe =b1s + b0
sf (s)= Gqδe
s
Polinómio característico:f(s) = s2 + c1s + c0
Modo de período curto: funções de transferênciaCoeficientes:
a1 =Zδemu0
a0 = u0MδeIy− MqIyZδem
b1 =MδeIy+ MwIyZδem
b0 =ZδemMwIy− ZwmMδeIy
c1 = −[Zwm+ 1Iy
(Mq +Mwu0
)]
c0 = −1Iy
[Mwu0 −
ZwmMq]
4 Resposta lateral
4.1 Exemplo do Cessna 182
Resposta LateralAs funções de transferência obtêm-se pela resolução das equações:
(sI− A) ·
vprφ
= B
[δaδr
]
Derivadas relativas às variáveis de controloDerivadas adimensionais: (em rad-1)
Cy Cl Cnδa 0 0.229 -0.0216δr 0.187 0.0147 -0.0645
17
As derivadas dimensionais são dadas por:
Yδ = 1/2 ρu20SCyδ
Lδ = 1/2 ρu20SbClδ
Nδ = 1/2 ρu20SbCnδ
em que δ pode ser substituído por δa ou δr .
Funções de transferência
Gvδa =Nvδaf(s)
Grδa =Nrδaf(s)
Gvδr =Nvδrf(s)
Grδr =Nrδrf(s)
Gpδa =Npδaf(s)
Gφδa =Nφδaf(s)
Gpδr =Npδrf(s)
Gφδr =Nφδrf(s)
f (s) é o polinómio característico do sistema (lateral), dado por
f(s) = s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636
Funções de transferência
Nvδa = 820.301+ 5515.15s + 214.91s2
Nvδr = −156.702+ 9164.55s + 769.54s2 + 5.97581s3
Npδa = s(610.505+ 97.675s + 75.0855s2)
Npδr = s(−268.978− 17.7672s + 4.8199s2)
Nrδa = 86.7425− 15.0761s − 71.9142s2 − 3.41333s3
Nrδr = −38.5688− 12.6251s − 135.096s2 − 10.1926s3
Nφδa = 610.505+ 97.675s + 75.0855s2
Nφδr = −268.978− 17.7672s + 4.8199s2
f(s) = s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636
Estados estacionários após aplicação de aileron Entrada tipo escalãoNeste caso δa(s) = δa
s .
Teorema do valor final: limt→∞
xi(t) = sGiδa δa(s) = Giδaδa
limt→∞
v(t) = lims→0
820.301+ 5515.15s + 214.91s2
s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636δa = 5.83m/s
limt→∞
p(t) = lims→0
s(610.505+ 97.675s + 75.0855s2)s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636
δa = 0
limt→∞
r(t) = lims→0
86.7425− 15.0761s − 71.9142s2 − 3.41333s3
s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636δa = 0.616rad/s
limt→∞
φ(t) = lims→0
610.505+ 97.675s + 75.0855s2
s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636δa = 4.34rad
18
Características dos modos laterais do Cessna 182 Resultados anterioresCaracterísticas de cada modo
Modo Período (s) t1/2 (s) N1/2
Espiral — 39.1 —Rolamento — 0.053 —Rolamento holandês 1.967 1.03 0.525
Resposta à aplicação de ailerons Resposta inicial
2 4 6 8 10t
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
ΒHºL
1 2 3 4 5t
0.02
0.04
0.06
0.08
p Hrad�sL
1 2 3 4 5t
-0.02
-0.01
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05r Hrad�sL
1 2 3 4 5t
5
10
15
20
Φ HºL
Resposta à aplicação de ailerons Evolução posterior
50 100 150 200t
1
2
3
4
5ΒHºL
19
50 100 150 200t
0.02
0.04
0.06
0.08
p Hrad�sL
50 100 150 200t
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
r Hrad�sL
50 100 150 200t
50
100
150
200
Φ HºL
Estados estacionários após deflexão do rudder Entrada tipo escalãoNeste caso δr (s) = δr
s .
Teorema do valor final: limt→∞
xi(t) = sGiδr δr (s) = Giδrδr
limt→∞
v(t) = lims→0
156.702+ 9164.55s + 769.54s2 + 5.97581s3
s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636δa = −1.11m/s
limt→∞
p(t) = lims→0
s(268.978− 17.7672s + 4.8199s2)s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636
δa = 0
limt→∞
r(t) = lims→0
38.5688− 12.6251s − 135.096s2 − 10.1926s3
s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636δa = −0.274rad/s
limt→∞
φ(t) = lims→0
268.978− 17.7672s + 4.8199s2
s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636δa = −1.91rad
Resposta à deflexão do rudder Resposta inicial
2 4 6 8 10t
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
ΒHºL
1 2 3 4 5t
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
p Hrad�sL
1 2 3 4 5t
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0.01
r Hrad�sL
20
1 2 3 4 5t
-8
-6
-4
-2
Φ HºL
Resposta à deflexão do rudder Evolução posterior
50 100 150 200t
-0.5
0.5
1.0
1.5
ΒHºL
50 100 150 200t
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
p Hrad�sL
50 100 150 200t
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
r Hrad�sL
50 100 150 200t
-100
-80
-60
-40
-20
Φ HºL
Estados estacionários após aplicação de escalão Conclusões gerais
• limt→∞
p(t) = 0 em ambos os casos
• β, r e φ tendem para valores finitos
• para valores «normais» de δ, esse limites são elevados
• teoria linear só é válida para δ pequenos
• para φ grandes há acoplamento entre movimento lateral e longitudinal
– resposta para t grande é mais complicada...
4.2 Modos aproximados
Modos aproximadosNos casos seguintes trata-se de resolver
21
(sI− A) · x = B
[δaδr
]Usar-se-á a notação
Yδ =Yδm
Lδ =LδI′x+ I′zxNδ
Nδ = I′zxLδ +NδI′z
em que δ = δa ou δr , conforme o caso.
Aproximação espiral/rolamentoNeste caso queremos resolver
0 0 u0 −g−Lv (s −Lp) −Lr 0−Nv −Np (s −Nr ) 0
0 −1 0 0
vprφ
=Yδa YδrLδa LδrNδa Nδr
0 0
[δaδr
]
Polinómio característico:f(s) = Cs2 +Ds + E
C = u0Nv
D = u0(LvNp −LpNv)− gLvE = g(LvNr −LrNv)
Espiral/rolamento: funções de transferência
Gvδ = Nvδ/f(s) Nvδ = a3s3 + a2ss + a1s + a0
Gφδ = Nφδ/f(s) Nφδ = b1s + b0
Grδ = Nrδ/f(s) Nrδ = d2s2 + d1s + d0
Gpδ = Npδ/f(s) Npδ = s Nφδ
a3 = Yδ a2 = −Yδ(Lp +Nr )−u0Nδ
a1 = Yδ(LpNr −LrNp)−u0(LδNp −LpNδ)+Lδga0 = g(LrNδ −LδNr )
b1 = YδLv b0 = u0(LδNv −LvNδ)+Yδ(LvNr −LrNv)d2 = YδNv d1 = Yδ(LvNp −LpNv) d0 = g(LδNv −LvNδ)
22
Aproximação de rolamento holandêsNeste caso queremos resolver[
(s −Yv) u0
−Nv (s −Nr )
][vr
]=[
0 YδrNδa Nδr
][δaδr
]
Polinómio característico:
f(s) = s2 − (Yv +Nr ) s + (YvNr +u0Nv)
Funções de transferência:
Gvδa = Nvδa/f(s) Nvδa = −u0Nδa
Grδa = Nrδa/f(s) Nrδa =Nδas −YvNδa
Gvδr = Nvδr /f(s) Nvδr = Yδr s − (YδrNr +u0Nδr )Grδr = Nrδr /f(s) Nrδr =Nδr s − (NδrYv −YδrNv)
23