9
Le diagramme de déformations limite passe par le pivot A si UM � ABM . Ainsi :
� � AB� = 0.259 � � � AB� = 0.186.
Le diagramme de déformations limite passe par le pivot B tant que ABM < UM � BCM
� 0.259 d < y � h. Ainsi 0.259 < � � BC� = 1.1 � 0.186 < � � 0.493. Récapitulation Le pivot de calcul est le pivot A si � � 0.186. Le pivot de calcul est le pivot B si 0.186 < � � 0.493. c) Calcul des aciers Données : Coffrage (b, d), béton ( 28cf ), Moment à l’ELU ( UM )
Inconnues : Section d’aciers longitudinaux tendus ( uA ), Section d’aciers longitudinaux
comprimés ( 'uA .)
� Calcul du moment réduit : � = bu
u
fbd
M2
(2-1)
� Comparaison de � à lu�
- si � � lu� � Calcul d’une section rectangulaire sans armatures comprimées.
- si � > lu� � Calcul d’une section rectangulaire avec armatures comprimées.
c-1) Section rectangulaire (sans armatures comprimées)
� Hauteur du béton comprimé : �
� = 1.25 (1 - �21� ) (2-2)
� Bras de levier : Z = d ( 1- 0.4 � ) (2-3) � Contrainte de calcul des aciers : s�
Si � < 0.186 � Pivot A
s� = 10 x 310� � s� = s
ef
�
Si � > 0.186 � Pivot B
s� = 3.5 x 310� ���1
- si s� < ss
e
E
f
� � s� = sE s�
- si ss
e
E
f
� � s� � 10 x 310� � s� =
s
ef
�
10
� Section d’aciers : uA
uA = s
u
Z
M
� (2-4)
c-2) Section rectangulaire (avec armatures comprimées)
Dans ce cas, uM = 1M + 2M (2-5)
Avec 1M = lu� b 2d buf
La décomposition du moment, donnée par (2-5), est schématisée sur la figure (2-7).
� Diagramme de déformation limite de la section Le diagramme de déformations limite de la section passe par le pivot B et correspond à la hauteur limite du béton comprimé lu� d ( soit à 1M = lu� b
2d buf ).
� Calcul des déformations des armatures
- Allongement relatif des armatures tendues : s�
s� = ( lu�1
- 1) x 3.5 x 310� (2-6)
'
uA
uA
uM
=
1A
'uA
2A
2Z
2M
d
b b
'd d
Figure 2.7: Décomposition du moment
lu� d
1M +
Le moment 1M est équilibré par le béton comprimé de hauteur lu� d
( lu� = 1.25 (1- lu�21� ) et la section d’armatures tendues 1A .Le moment 2M est
équilibré par la section d’armatures comprimées 'uA et d’armatures tendues 2A . Avec
le bras de levier 2Z = d - 'd .
11
- Raccourcissement relatif des armatures comprimées : sc�
sc� = (1 - lu�� '
) x 3.5 x 310� (2-7)
avec '� = d
d '
� Calcul des contraintes - Contrainte des armatures tendues : s�
si s� � as
e
E
f
� � s� = aE s� (2-8)
si as
e
E
f
� < s� � 10 x 310� � s� =
s
ef
� (2-9)
- Contrainte des armatures comprimées : sc�
si sc� � as
e
E
f
� � sc� = aE sc� (2-10)
si as
e
E
f
� < sc� � 10 x 310� � sc� =
s
ef
� (2-11)
� Calcul des sections d’acier - Calcul de 1A
Le calcul de 1A revient au calcul de la section des armatures d’une section
rectangulaire, en flexion simple, soumise à 1M . Ainsi on trouve :
1A = )4.01(
1
lusd
M
�� � (2-12)
- Calcul de 2A
Ce calcul revient au calcul de la section d’armatures tendues « équilibrant » 2M .
2A = )( '
2
dd
M
s �� (2-13)
12
- Calcul de 'uA
Ce calcul revient au calcul de la section d’armatures comprimées équilibrant L’excédant du moment ( 2M ) non équilibré par le béton.
'uA =
)( '
2
dd
M
sc �� (2-14)
Remarque 1 : L’acier est relativement cher ( par rapport au béton) pour être utilisée en compression. Ainsi, pour des raisons économiques, 2M est limité à 0.4 uM ( 2M � 0.4 uM ).
Remarque 2 Les armatures comprimées doivent être entourées tous les 15 diamètres par des armatures transversales. 2.4.2 Section en T Données : - Dimensions : b, 0b , d, 0h (figure 2.8)
- Matériaux : béton ( 28cf ), Acier ( ef )
- Sollicitation : uM (Moment fléchissant à l’ELU)
Inconnues : - Section des aciers tendus à l’ELU ( uA ) (éventuellement : section d’armatures
comprimées ( 'uA ))
b
uM d
'd
0h
y
A.N.
0b
'uA
uA
Figure 2.8 : Section en T
13
On désigne par : A.N : l’axe neutre repéré par y, uM : moment fléchissant à l’ELU
b : la largeur de la table de compression 0h : la hauteur de la table de compression.
0b : la largeur de la nervure.
d : la hauteur utile de la section a) Analyse du comportement de la section Le comportement de la section dépend de la position de l’axe neutre (repérée par y.) sous uM .
� Calcul du moment uTM , : équilibré par la table de compression
uTM , = buf b 0h (d - 20h ) (2-15)
� Comparaison de uM à uTM ,
- si uM � uTM , � 0.8 y � 0h : la table seule est surabondante pour équilibrer le
moment uM : la zone comprimée a une forme rectangulaire de largeur b.
Dans ce cas le calcul revient au calcul d’une section rectangulaire de largeur b et de hauteur utile d. - si uM > uTM , � 0.8 y > 0h : la table seule ne suffit pas pour équilibrer le
moment uM . Dans ce cas le calcul de la section revient au calcul d’une section en
T
b) Calcul d’une section en T (. uM > uTM , )
� Schéma mécanique d’équilibre de uM
Dans ce cas, le moment uM peut être décomposé de la manière suivante:
uM = 1M + 2M
2M = buf (b - 0b ) 0h (d - 20h ) : est équilibré par une section de béton comprimé de
largeur (b - 0b ) et de hauteur 0h et une section d’aciers tendus 2A conformément à la
figure 2.9.
1M est équilibré par une section rectangulaire de largeur 0b et de hauteur utile d (hauteur
du béton comprimé y tel que 0.8 y > 0h et une section d’aciers tendus 1A ) : voir la
figure 2.9. En outre, nous notons que le diagramme de déformations de la section correspond à
1M puis que 2M est constant.
14
uA = 1A + 2A
'uA = '
1A
� Calcul de 1A
Le calcul de 1A revient au calcul des armatures d’une section rectangulaire, de
largeur 0b et de hauteur utile d, soumise à 1M .
1� = bufdb
M2
0
1 (2-16)
- si 1� � lu� � pas d’armatures comprimées.
- si 1� > lu� � Armatures comprimées nécessaires : '1A
� Calcul de 2A
2A =
)2
( 0
2
hd
M
s �� (2-17)
Nous notons que la contrainte s� des aciers est déterminée à partir du diagramme
des déformations de la section correspondant à 1M .
� Récapitulation
- Section des aciers tendus : A = 1A + 2A
- Section des aciers comprimés (éventuellement) : 'uA = '
1A .
b
0h
d
A.N.
'd '
uA
uA
uM
=
0b
0.8 y
'1A
1A
1A s�
1M +
buf
b - 0b
0h
buf
2A s�
2Z = d - 20h
2M
2A
Figure 2.9: Schéma d’équilibre de uM