[METODO DE LAGRANGE Y OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES] 13 de Junio de 2015
1 Realizado por: Carlos Montiel, Vanessa Ramírez Giannini, Robert Dudiver --- Optimización de Operaciones
OPTIMIZACIO N SIN RESTRICCIONES
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN MARACAY
MINIM
OS
MAXIM
OS
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INDICE
OPTIMIZACION DE OPERACIONES BREVE HISTORIA ………………………………….3
OPTIMIZACION ........................................................................................................................... 4
FUNCION OBJETIVO CON DOS VARIABLES
...........................................................…….5¡ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACION ...…………………………..7
PROBLEMAS DE OPTIMIZACION ......................................................................................... 12
METODO DE FUNCIONES SIN RESTRICCIONES ................................................................ 14
OPTIMIZACION DE VARIABLES SIN RESTRINCIONES………………………………….12
OBJETIVOS .................................................................................................................................... 17
CARACTERISTICAS ................................................................................................................. 14
IMPORTANCIA .......................................................................................................................... 20
CAMPO DE APLICACION ........................................................................................................ 16
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA ............................................................................................. 20
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OPTIMIZACION DE OPERACONES
BREVE HISTORIA
A Investigación de Operaciones o
Investigación Operativa es una disciplina
donde las primeras actividades formales se
dieron en Inglaterra en la Segunda Guerra
Mundial, cuando se encarga a un grupo de
científicos ingleses el diseño de
herramientas cuantitativas para el apoyo a la
toma de decisiones acerca de la mejor
utilización de materiales bélicos. Se presume
que el nombre de Investigación de
Operaciones fue dado aparentemente porque
el equipo de científicos estaba llevando a
cabo la actividad de Investigar Operaciones
(militares).Una vez terminada la guerra las
ideas utilizadas con fines bélicos fueron
adaptadas para mejorar la eficiencia y la
productividad del sector civil.
Una de las áreas principales de la
Investigación de Operaciones es la
Optimización o Programación Matemática.
La Optimización se relaciona con problemas
de minimizar o maximizar una función
(objetivo) de una o varias variables, cuyos
valores usualmente están restringidos por
ecuaciones y/o desigualdades.
Hoy en día el uso de modelos de
optimización es cada vez más frecuente en
la toma de decisiones. Este mayor uso se
explica, principalmente, por un mejor
conocimiento de esta metodología en las
diferentes disciplinas, la creciente
complejidad de los problemas que se desea
resolver, la mayor disponibilidad de
software y el desarrollo de nuevos y mejores
algoritmos de solución.
JHON VON NEUMANN
Fue un gran investigador, profesor,
matemático, entre otros. Sus aportes en el
desarrollo de la optimización de
Operaciones han sido hasta nuestros tiempos
de gran ayuda.
Su teoría de juegos sorprendió a la
comunidad científica porque
Proporcionaba un análisis estratégico de un
tema que parecía escapar al análisis: los
juegos de habilidad. Además, la teoría de
juegos influyo significativamente en la
economía, donde fue aplicada a situaciones
competitivas semejantes a los juegos.
L
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Optimización
Optimización es el proceso de hallar el máximo o mínimo relativo de una función, generalmente
sin la ayuda de gráficos.
Conceptos claves. A continuación se describirá brevemente algunos conceptos necesarios para
comprender apropiadamente el tema de optimización.
Funciones creciente y decreciente. Se dice que una función f(x) es creciente (decreciente) en
x=a, si en la vecindad inmediata del punto [a,f(a)] el gráfico de la función crece (cae) al moverse
de izquierda a derecha. Puesto que la primera derivada mide la tasa de cambio y la pendiente de
una función, una primera derivada positiva en x=a indica que la función es creciente “a”; una
primera derivada negativa indica que es decreciente.
Concavidad y convexidad. Una función f (x) es cóncava en x = a, si en alguna pequeña región
cercana al punto [a, f(a)] el gráfico de la función se ubica completamente debajo de su línea
tangente. Una función es convexa en x = a, si en un área cercana a [a, f(a)] el gráfico esta
complemente arriba de su línea tangente. Una segunda derivada positiva en x = a
Máximos y Mínimos de una Función:
Una función f(x) tiene en x = a un máximo cuando a su izquierda la función es creciente y a su
derecha decreciente. Y tiene un mínimo, si a su izquierda la función es decreciente y a su
derecha creciente.
Grafico Punto Maximo creciente / Decreciente Grafico Punto Minimo Decreciente/ Creciente
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FUNCIONES OBJETIVOS CON DOS VARIABLES
Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números
reales (x, y) de un conjunto D, un número real único denotado por f(x, y). E l conjunto D es el
dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir {f(x, y) (x, y) ε D}
Explicación
Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x ,y)
en D le corresponde un único número f(x, y), se dice que f es función de x e y. El conjunto D es
el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f(x y) es el recorrido de f.
Graficas
Otro modo de representar el comportamiento de una función de dos variables es mediante su
gráfica.
Ejemplo:
Hallar y trazar el dominio de:
Restricción:
Por lo tanto { }
Gráfica:
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Para que una función como Z= F (x, y) tenga un mínimo o máximo relativo, tres condiciones
deben cumplirse:
1. Las derivadas parciales de primer orden deben ser simultáneamente iguales a cero, ello
indica que un punto dado (a, b), llamado punto crítico, la función no está creciendo ni
decreciendo con respecto a los ejes principales si no a una superficie relativa.
2. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son evaluadas
en el punto crítico (a, b) para un máximo positivo y positivas para un mínimo relativo.
Ello asegura que la función es cóncava y moviéndose hacia abajo en relación a los ejes
principales en el casco de un máximo relativo y la función es convexo y moviéndose
hacia arriba en relación a los ejes principales en el caso de un mínimo relativo.
3. El producto de las derivadas parciales de segundo orden evaluadas en el punto crítico
deben exceder el producto de las derivadas parciales cruzadas también evaluadas en
dicho punto. Esta condición adicional es necesaria para evitar un punto de inflexión o
punto de silla. En resumen:
Nota: Las derivadas parciales de segundo orden son evaluadas en el punto crítico (a,b) o
los puntos críticos que hubieren.
Ejemplos Gráficos de las tres condiciones que se deben cumplir en funciones de dos
variables.
Condición necesaria Máximo Mínimo
Primer Orden F x= F y =0 F x= F y =0
Segundo Orden Fxx, Fyy < 0 y Fxx, Fyy > (fxy)2 Fxx, Fyy > 0 y Fxx, Fyy < (fxy)2
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MÍMIMO MÁXIMO
PUNTO SILLA
PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACION.
En la resolución de problemas de optimización de
funciones seguiremos los siguientes pasos:
1. Plantear la función que hay que maximizar o
minimizar.
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2. Plantear una ecuación que relacione las
distintas variables del problema, en el caso de que haya
más de una variable.
3.Despejar una variable de la
ecuación y sustituirla en la función de modo que nos
quede una sola variable.
4. Derivar la función e igualarla a cero , para hallar
los extremos locales.
5. Realizar la 2ª derivada para comprobar el
resultado obtenido.
Problemas de optimización
. De todos los triángulos isósceles de 12 m Ejercicio 1
de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.
La función que tenemos que maximizar es el área del
triángulo:
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Relacionamos las variables:
2 x + 2 y = 12 x = 6 − y
Sustituimos en la función:
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que
la solución y = 0 la descartamos porque no hay un
triángulo cuyo lado sea cero.
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Por lo que queda probado que en y = 2 hay un
máximo.
La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también
miden 4 m, por lo que el triángulo de área máxima sería un
triángulo equilátero.
Recortando convenientemente en cada Ejercicio 2.
esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x
50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente
(véase figura), se construye una caja. Calcular x para que
volumen de dicha caja sea máximo.
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. Una boya, formada por dos conos rectos de Ejercicio 3
hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante
dos placas circulares de 3 m de radio. Calcu lar las
dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.
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OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES SIN RESTRICCIONES
ntes de la aparición de los ordenadores de
alta velocidad, los métodos de
optimización estaban prácticamente
limitados a los métodos indirectos en los
cuales el cálculo del extremo potencial
estaba restringido al uso de derivadas y la
condición necesaria de optimalidad. Los
modernos ordenadores han hecho posible los
métodos directos, esto es la búsqueda de un
óptimo por comparación sucesiva de los
valores de la función f(x) en una secuencia
de puntos 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 … sin la necesidad de
hacer intervenir derivadas analíticas.
Para llevar a cabo los métodos directos de
minimización numérica solamente se usa el
valor de la función objetivo. Se comienza
con un valor inicial de x y se continúa
seleccionando valores de x de acuerdo con
una estrategia pre-seleccionada. El proceso
termina cuando 𝑓(𝑥𝑘+1) − 𝑓(𝑥𝑘) < 𝜀
donde el superíndice k designa el número de
iteración y 𝜀 es la tolerancia pre-
especificada o criterio de tolerancia.
Los métodos indirectos tienen la ventaja
inherente de que la convergencia es
generalmente más rápido incluso aun
cuando se utilicen métodos numéricos para
calcular las derivadas. Sin embargo, en
problemas de ingeniería esta ventaja es
muchas veces neutralizada por la falta de
interés de determinaciones precisas de la
función objetivo debido la falta de precisión
de los coeficientes que muchas veces se
utiliza.
Los métodos directos, tienen la ventaja de
que pueden tratar fácilmente con problemas
que incluyan discontinuidades, puntos de
inflexión y puntos finales. También el
carácter de f(x) en las vecindades de un
extremo es fácilmente estudiable.
A
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OBJETIVOS
1. Para que una función de dos variables tenga un mínimo o máximo relativo, tres
condiciones deben ser satisfecha:
2. Las derivadas parciales de primer orden deben simultáneamente ser iguales a cero.
Ello indica que en un punto dado (ab) llamado “punto crítico”, la función no está
creciendo ni decreciendo con respecto a los ejes principales sino a una superficie
relativa.
3. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son
evaluadas en el punto crítico (a,b) para un máximo relativo y positivas para un
mínimo relativo. Ello asegura que la función es cóncava y moviéndose hacia abajo en
relación a los ejes principales en el caso de un máximo relativo y la función es
convexo y moviéndose hacia arriba en relación a los ejes principales en el caso de un
mínimo relativo. El producto de las derivadas parciales de segundo orden evaluadas
en el punto crítico debe exceder el producto de las derivadas parciales cruzadas
también evaluadas en dicho punto. Esta condición adicional es necesaria para evitar
un punto de inflexión o punto de silla.
CARACTERISTICAS
En muchos problemas las restricciones se pueden incluir dentro de la función
objetivo, por lo que la dimensionalidad del problema se reduce a una variable.
Algunos problemas sin restricciones, inherentemente incluyen una única variable.
Las técnicas de optimización con y sin restricciones, generalmente incluyen pasos
de búsqueda unidireccional en sus algoritmos.
CAMPO DE APLICACION
a optimización puede ser aplicada en cualquier área donde se busque o desee realizar una
actividad de forma eficaz y eficiente, sin perder datos relevantes ni tiempo, los campos donde la
L
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14 Realizado por: Carlos Montiel, Vanessa Ramírez Giannini, Robert Dudiver --- Optimización de Operaciones
optimización es el mejor elemento para cubrir soluciones son como por ejemplo, matemática,
estadística, ciencias empíricas, ciencia de la computación, ciencia de la administración,
optimización matemática, etc.
IMPORTANCIA
Los métodos de optimización sin restricciones son importantes porque:
Hay problemas que se pueden formular sin restricciones.
Permiten introducir muchos conceptos y explorar ideas que se usaran en
problemas NLP.
Muchos problemas de optimización utilizan alguna fase algoritmos sin
restricciones.
Algunos problemas NLP pueden reformularse como problemas sin restricciones.
Para poder resolver problemas en optimización de operaciones con funciones sin restricciones es
de suma importancia tener el conocimiento del teorema de Lagrange. Joseph
Louis Lagrange (1736 - 1813).
Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en todo punto del intervalo abierto
(a,b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).
H) f(x) es continua en [a,b]
f(x) es derivable en (a,b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=(f(b) - f(a))/(b - a)
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Geométricamente, (f(b) - f(a))/(b - a) es la tangente del ángulo que forma la secante que pasa por
los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) de la curva, con el eje ox. f'(c) es la tangente del ángulo que
forma la recta tangente a la curva en el punto c, con el eje ox.
Demostración
Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + hx, h perteneciente a R.
g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas.
g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables.
Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle
=> f(a) + ha = f(b) + hb => f(a) - f(b) = hb - ha = h(b - a)
f(a) - f(b)
=> h = -----------
b – a
f(a) - f(b)
=> h = -----------
b – a
=> por teo. de Rolle, existe c perteneciente a (a,b) / g'(c) = 0
=> por teo. de Rolle, existe c perteneciente a (a,b) / g'(c) = 0
g'(x) = f'(x) + h
f(b) - f(a)
g'(c) = f'(c) + h = 0 => f'(c) = -----------
b - a
Considérese por ejemplo, el caso donde x es el tiempo y f(x) la distancia de un automóvil desde
su punto de partida a lo largo de cierto camino.
Entonces (f(b) - f(a))/(b - a) es la velocidad promedio del automóvil en el período b - a.
(Recordar que velocidad = distancia/tiempo)
Por lo tanto f'(a)=limx->a (f(x) - f(a))/(x - a) es la velocidad del auto en el tiempo a.
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Si por ejemplo el auto ha recorrido 200km. en 2 hs., la velocidad promedio fue de 100km. por
hora.
Por el teorema de Lagrange podemos decir que, al menos en un momento durante esas dos horas,
el auto tuvo una velocidad de exactamente 100km/h.
PROBLEMAS DE FUNCIONES SIN RESTRICCIONES
En la siguiente función encontrar los puntos críticos y determinar si estos son máximos o
mínimos relativos, puntos de inflexión o puntos de silla:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥3 − 5𝑦2 − 225𝑥 + 70𝑦 + 23
Solución:
Cuando la primera derivada e igualándola a 0:
𝑓𝑥 = 9𝑥2 − 255 = 0 𝑓𝑦 = −10𝑦 + 70 = 0
Resulta: 𝑥 = ±5, 𝑦 = 7. Entonces los puntos críticos serán: (5, 7) y (5, 7)
La segundas derivadas (sin evaluarlas o testearlas)
𝑓𝑥𝑥 = 18𝑥 𝑓𝑦𝑦 = −10 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 = 0
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17 Realizado por: Carlos Montiel, Vanessa Ramírez Giannini, Robert Dudiver --- Optimización de Operaciones
Evaluando el punto crítico (5,7):
𝑓𝑥𝑥(5,7) = 18(5) = 90 𝑓𝑦𝑦(5,7) = −10
¿Cumple 𝑓𝑥𝑥(5,7). 𝑓𝑦𝑦(5,7) > [𝑓𝑥𝑦(5,7)]2? 90. (−10) < [0]2 (no cumple)
Entonces este punto crítico no es ni máximo ni mínimo. Puesto que 𝑓𝑥𝑥𝑦𝑓𝑦𝑦 (evaluadas en este
punto crítico) tienen signo diferente, se concluye que este punto es un punto de silla.
Evaluando el punto crítico (-5,7)
𝑓𝑥𝑥(−5,7) = 18(−5) = −90 𝑓𝑦𝑦(−5,7) = −10
¿Cumple 𝑓𝑥𝑥(−5,7). 𝑓𝑦𝑦(−5,7) > [𝑓𝑥𝑦(−5,7)]2? −90. (−10) > 0 (Si cumple)
Dado que se cumple 𝑓𝑥𝑥(−5,7). 𝑓𝑦𝑦(−5,7) > [𝑓𝑥𝑦(−5,7)]2y además, 𝑓𝑥𝑥, 𝑓𝑦𝑦 < 0 entonces el
punto de análisis es un máximo.
EJERCICIOS (SAIA) RESUELTOS
Ejercicio 1. Una compañía destina su planta a la elaboración de dos tipos de bienes A y B.
Obtiene un beneficio de 04 dólares. por unidad de A y de 06 dólares por unidad de B. Los
números de unidades de los 02 tipos que puede producir mediante la planta están restringidos por
la ecuación de transformación del producto que es:
04222 yxyx
con X, Y los números de unidades ( dólares ) de A y B respectivamente producidas por semana.
Hallar las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximizar la utilidad
Solución:
Beneficio: 4x+6y
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18 Realizado por: Carlos Montiel, Vanessa Ramírez Giannini, Robert Dudiver --- Optimización de Operaciones
Ecuación de Lagrange: )442(64 22 yxyxyx
Bx= 0224 x
By= 0426 y
1
2
x
2
3
y
2
13
xy
66.13
1336*6
13*2
13*21312
;0232613
04)13(22)13(4
1
2
22
X
xx
xxxx
X=.66 ; Y= .49
0
2
2
Bxy
Byy
Bxx
0
04
1
2
2
H
H Máximo
El beneficio es de 5.58 $.
EJERCICIO 2. Calcula dos números que cumplan que al sumarlo resulte 10 y la resta de uno
de ellos menos el inverso del otro sea mínima
Condición: x + y = 10, de donde y= 10-x
La función: f (x, y)= 𝑥 − 1
𝑦
f (x )= 𝑥 − 1
10− 𝑦 >>> f (x)=
−𝑥2+10 𝑥−1
10−𝑥
Así,
f^ (x)= 𝑥2+20 𝑥+99
(10−𝑥)2 >>> f^ (x )= 0
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19 Realizado por: Carlos Montiel, Vanessa Ramírez Giannini, Robert Dudiver --- Optimización de Operaciones
f “(x )= −2
(10− 𝑥)3 >>>> f “( 9 ) <0 >>>> f “(11) >0
Solución: X= 11, Y= -1
EJERCICIO 3.
f (x, y)= 𝑥2 + 𝐟^ 2𝑦 + 3𝑥 𝑦2 >>> a)
𝑑𝑓
𝑑𝑥= f^= 2x + 0 + 3 1. Y (2) = 2x + 3 y2
𝑑𝑓
𝑑𝑦= f^= 0 + 2 + 3x 2y = 2 + 6 xy
f (x, y)= 2 𝑋2 − 4𝑋2𝑌 + 5𝑌 b)
𝑑𝑓
𝑑𝑥= 𝐟^𝒙 = 𝟒𝒙 − 𝟖𝒙𝒚 + 𝟎
𝑑𝑓
𝑑𝑦= 𝐟^𝒚 = 𝟎 − 𝟒 𝒙 𝟐. 𝟏 + 𝟓 = −𝟒 𝒙𝟐 + 𝟓
f (x, y)= 3 𝑋2 − √𝑥 + √𝑥𝑦 c)
f (x, y) = 3𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2
𝑑𝑓
𝑑𝑥= 𝑓 𝑥 =
3𝑦(𝑥2 + 𝑦2) − 3 𝑥𝑦 (2𝑥)
(𝑥2 + 𝑦2)2 =
3 𝑥2 𝑦 + 3 𝑦3 − 6 𝑥2 𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)2 =
−3(2)𝑦 + 3 𝑦3
(𝑥2 + 𝑦2)2
𝑑𝑓
𝑑𝑦= 𝑓 𝑦 =
3𝑦. 1(𝑥2 + 𝑦2) − 3 𝑥𝑦 (2𝑦)
(𝑥2 + 𝑦2)2 =
3 𝑥3 𝑦 + 3𝑥 𝑦2 − 6 𝑥2 𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)2 =
−3(3) − 3𝑥 𝑦2
(𝑥2 + 𝑦2)2
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20 Realizado por: Carlos Montiel, Vanessa Ramírez Giannini, Robert Dudiver --- Optimización de Operaciones
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA
Plataforma modle. SAIA , Politécnico Santiago Mariño
http://saia.psm.edu.ve/moodle/pluginfile.php/164238/mod_resource/content/1/F.pdf
S.A.I.A. Cátedra Optimización de Sistemas y Funciones. “Funciones con mas de una variable”.
Disponible en:
http://saia.psm.edu.ve/moodle/pluginfile.php/164234/mod_resource/content/1/VV.pdf
Matemática IV. “Aplicaciones de la derivación parcial”. Disponible en:
http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1328695759_1992907084.pdf
Roberto MArtinez. “Funciones de Varias Variables”. Disponible en:
https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/horra/Matematicas-Apuntes/5-Funciones-Varias-
Variables.pdf
Prof. Cesar de Prada. “Optimización Sin Restricciones”. Disponible en:
http://prof.usb.ve/mirodriguez/Sinrestricciones1.pdf