RINGKASAN
Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan konsepsi mahasiswa calon guru
tentang limit fungsi ditinjau dari kemampuan matematika tinggi dan rendah. Penelitian
konsepsi ini difokuskan pada aspek pemahaman dan representasi tentang limit fungsi. Secara
teori, konsepsi merupakan struktur mental seseorang dalam merespon suatu permasalahan
tentang limit fungsi yang meliputi pemahaman dan representasi.
Penelitian ini merupakan jenis penelitian eksploratif. Penelitian ini, mengeplorasi
konsepsi mahasiswa dalam menjawab pertanyaan tentang limit fungsi disertai dengan
wawancara oleh peneliti. Data yang diperlukan dalam penelitian ini, berupa tulisan hasil
pekerjaan mahasiswa dalam menyelesaikan pertanyaan limit fungsi dan hasil wawancara.
Subjek penelitian adalah mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unsyiah
Banda Aceh dan dalam penelitian ini sebut sebagai mahasiswa calon guru dengan alasan
sepengetahuan peneliti, mahasiswa tersebut telah dibekali dasar pendidikan dan keguruan,
yaitu matakuliah tentang matematika dasar, matematika sekolah, landasan pendidikan,
psikologi perkembangan peserta didik, evaluasi pembelajaran matematika, strategi
pembelajaran matematika, dan perencanaan pembelajaran matematika. Pemilihan subjek
penelitian ini juga didasarkan pada tes kemampuan matematika (TPM). Mahasiswa yang
telah mengikuti TPM sebanyak 63 orang. Dari hasil TPM mahasiswa dikelompokkan ke
dalam tiga kelompok kemampuan, yaitu kemampuan tinggi dengan skor 80 Skor 100 dan
kemampuan rendah dengan skor 0 Skor < 60. Mahasiswa yang dipilih sebagai subjek
penelitian ini sebanyak adalah 4 orang dengan komposisi: 2 mahasiswa kemampuan tinggi
dan 2 orang mahasiswa kemampuan rendah. Mahasiswa yang berkemampuan tinggi diberi
label ST dan mahasiswa yang berkemampuan rendah diberi label SR. Instrumen penelitian ini
adalah instrumen utama dan bantu. Insrumen utama adalah peneliti sendiri, sedangkan
isntrumen bantu adalah tes kemampuan matematika (TK), tes konsepsi limit fungsi (TKLF),
dan pedoman wawancara.
Pengumpulan data penelitian ini dilakukan secara alami dengan wawancara berbasis
tugas. Wawancara dilakukan secara mendalam dengan format semi-terstruktur. Format ini
dipilih untuk mengetahui keterbukaan subjek dalam menyampaikan informasi. Subjek yang
sedang diwawancarai diberi kebebasan untuk mengikuti kecenderungan pikiran mereka
termasuk dalam menentukan arah topik perbincangan sehingga membentuk fokus
pembicaraan. Semua aktivitas wawancara direkam dengan Handycam.
Proses analisis data dalam penelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah, yaitu (1)
menelaah data, dilakukan dengan membuat transkrip data dari hasil TKLF dan rekaman
wawancara, (2) pemeriksaan data, dilakukan dengan cara memeriksa keabsahan data atau
kredibilitas datayang dilakukan dengan teknik triangulasi waktu, (3) reduksi data, dilakukan
dengan cara menyeleksi data yang kredibel dan yang tidak kredibel, memfokuskan, membuat
rangkuman inti, dan mentransformasikan data mentah, (4) pemaparan dan penafsiran data,
dilakukan dengan menyusun data dengan melakukan pengelompokkan data yang diperoleh
sesuai dengan tujuan penelitian, penafsiran data dilakukan dengan mendeskripsikan konsepsi
yang dimiliki subjek tentang limit fungsi, (5) penarikan kesimpulan, dilakukan berdasarkan
hasil analisis data yang telah terorganisasi.
Hasil penelitian diperoleh konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi
tentang notasi limit fungsi dibagi menjadi dua aspek, yaitu (1) aspek pengertian, ST
mengungkapkan pengertian dengan menyatakan dengan kata-kata ketika mendekati
tetapi tidak harus sama dengan maka ( ) mendekati , (2) aspek penjelasan definisi,
ST mengungkapkan definisi limit fungsi dengan menggunakan kalimat, (3) aspek
penerapan, ST menentukan nilai limit fungsi dengan cara memfaktorkan, mengcensel,
menggunakan teorema limit jumlahan dari dua fungsi, dan pengertian notasi limit fungsi,
dan sifat limit fungsi, sehingga diperoleh nilai limit sama dengan 5. Aspek representasi,
yaitu (1) representasi verbal, ST mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit
kanan dengan menyatakan ke dalam bahasa, (2)) representasi grafik, ST mengungkapkan
definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan merepresentasikan ke dalam grafik
fungsi, (3) representasi tabel, ST mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit
kanan dengan menyatakan ke dalam tabel, (4) representasi simbol, ST mengungkapkan
definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan merepresentasi ke dalam simbol.
Konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi tentang notasi limit fungsi dibagi
menjadi dua aspek, yaitu (1) aspek pengertian, SR mengungkapkan pengertian dengan
menyatakan dengan kata-kata mendekati tetapi tidak harus sama dengan ( )mendekati , (2) aspek penjelasan definisi, SR mengungkapkan definisi limit fungsi
dengan menggunakan kalimat, (3) aspek penerapan. SR menentukan nilai limit fungsi
dengan dengan cara memfaktorkan, menyederhanakan mencoret faktor yang sama,
mensubstititusikan sehingga diperoleh 5. Aspek representasi, yaitu (1) representasi verbal,
SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan menyatakan ke
dalam bahasa, (2) representasi grafik, SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri,
dan limit kanan dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, (3) representasi tabel,
SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan menyatakan ke
dalam tabel, (4) representasi simbol, SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri,
dan limit kanan dengan merepresentasi ke dalam simbol.
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah SWT seru sekalian alam, yang telah melimpah rahmat dan
karunia kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan laporan penelitian ini. Selawat dan
salam kepada junjungan Nabi Muhammad SAW dan shahabat beliu sekalian.
Laporan penelitian ini berjudul” Konsepsi mahasiswa calon guru tentang limit fungsi
ditinjau dari kemampuan matematika.” Laporan penelitian terdiri dari enam bab yang
meliputi bab 1 pendahuluan, bab 2 tinjauan pustaka, bab 3 tujuan dan manfaat, bab 4 metode
penelitian, bab 5 hasil dan keluaran yang dicapai, bab 6 kesimpulan dan saran. Laporan ini
dilampirkan juga lampiran-lampiran.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1) Kemenristekdikti yang telah mendanai penelitian disertasi doktor ini sehingga dapat
mempercepat penyelesaian pendidikan doktor bidang Pendidikan Matematika di
Pascasarjana Universitas Negeri Surabaya (UNESA) Jawa Timur.
2) Lembaga penelitian dan pengabdian kepada Masyarakat (LPPM) Universitas Syiah Kuala
yang telah memvasilitasi dan merekomendasi demi terlaksananya penelitian disertasi
doktor ini.
3) Dekan FKIP Uiversitas Syiah Kuala yang telah memberikan dukungan dan izin kepada
peneliti untuk melaksanakan penelitian di lembaga ini.
4) Ibu Prof. Dr. Dwi Juniati, M.Si sebagai Promotor dan Bapak Dr. Tatag Yuli Eko Siswono,
M.Pd sebagai Co promotor yang telah membimbing penulis dalam menyelesaikan
pelaksanaan peneltian dan laporan, serta membimbing disertasi doktor.
5) Kepada Bapak Dr. Saiman, M.Pd, Bapak Dr. Zainal Abidin, M.Pd, Bapak Drs. Budiman,
M.Si, dan Drs. Hasbi, M.Pd yang telah melakukan validasi intrumen penelitian ini.
Demikianlah kata pengantar ini, penulis menyadari bahwa laporan penelitian ini
mempunyai banyak kelemahan, semoga dapat diperbaiki masa-masa yang akan datang.
Darussalam, Oktober 2017
Penulis
Usman, S.Pd, M.Pd
DAFTAR ISI
A.HALAMAN PENGESAHAN
RINGKASAN DAN SUMMARY
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
DAFTAR LAMPIRAN
BAB 1. PENDAHULUAN .............................................................................. 1
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA .................................................................. 8
BAB III. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN .............................. 18
BAB IV. METODE PENELITIAN .................................................................. 20
BAB V. HASIL DAN LUARAN YANG DICAPAI ............................... 25
BAB VI. KESIMPULAN DAN SARAN ....................................................... 86
DAFTAR PUSTAKA .............................................................................. 91
LAMPIRAN-LAMPIRAN
B. DRAF ARTIKEL JURNAL INTERNASIONAL
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1: Instrumen
Lampiran2 :Personalia tenaga pelaksana beserta kualifikasinya
Lampiran 3: Artikel ilmiah (draf)
Lampiran 4:
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pengetahuan subjek matter guru merupakan faktor penting yang
mempengaruhi keefektivitas pembelajaran di sekolah (Shulman, 1986; Mastoride
& Zachariades, 2004, Dosmez, & Basturk, 2010). Pengetahuan subjek matter guru
merupakan dasar pengorganisasian pengetahuan dalam pikirannya Lioyd (1998).
Pengetahuan guru dikategori menjadi dua, yaitu pengetahuan konsten dan
pengetahuan tentang pembelajaran. Pengetahuan konten meliputi pengetahuan
tentang konsep dan prinsip matematika, dan pengetahuan cara menguji kebenaran
matematika. Pengetahuan tentang pembelajaran matematika meliputi tugas-tugas,
masalah, representasi dan penjelasan tentang pemahaman siswa (Shulman, 1986;
Steele, 1997; Dooren,dkk, 2002). Pengetahuan konten dan pembelajaran
matematika merupakan aspek konsepsi (Shulman, 1986). Ada banyak penelitian
berkaitan dengan pengetahuan subjek matter guru dan mahasiswa calon guru
(Ball, Lubienski & Mewbors, 2001,Zachariades, 2004). Oleh karena itu, konsepsi
tentang konsep matematika penting ditelusuri dalam pembelajaran matematika.
Program studi pendidikan matematika merupakan salah satu program studi
LPTK di Indonesia yang membekali mahasiswa tentang sikap, pengetahuan, dan
keterampilan dan menghasilkan calon guru matematika yang mampu
melaksanakan pembelajaran di sekolah. Permenristek dikti No. 44 Tahun 2015,
2
tentang standar pendidikan tinggi yang dituangkan dalam KKNI, yaitu “standar
kompetensi lulusan” pada pasal 5 ayat (1) “Standar kompetensi lulusan
merupakan kriteria minimal tentang kualifikasi kemampuan lulusan yang
mencakup sikap, pengetahuan, dan keterampilan, yang dinyatakan dalam rumusan
capaian pembelajaran lulusan”. Permenristek dikti ini menegaskan bahwa
pentingnya mahasiswa calon guru menguasai pengetahuan secara sistematis yang
diperoleh melalui penalaran dalam proses pembelajaran dinyatakan dalam capaian
pembelajaran. Namun pengetahuan mahasiswa/guru tentang gagasan suatu konsep
tidak saling terintegrasi (Cromu, 1991; Lioyd and Wilson, 1998; Mamona &
Downs, 2001; Caru, 2001). Seharusnya pengetahuan mahasiswa tentang suatu
konsep saling terintegrasi, baik terintegrasi antar konsep dalam matematika
maupun terintegrasi dengan konsep lain di luar matematika. Demikian pula,
mahasiswa mampu mendeskripsikan gagasan konsep, penyelesaian masalah
dalam berbagai representasi sehingga konsepsi tentang suatu konsep dalam
pikiran seorang mahasiswa benar-benar kuat dan mampu diterapkan dalam
pembelajaran di sekolah.
Limit fungsi merupakan salah satu topik penting dalam pembelajatan
kalkulus, matematika analisis di perguruan tinggi (Mastorides, Zachariades, 2004;
Cetin, 2009), karena banyak konsep matematika yang tergantung pada konsep
limit fungsi, seperti kekontinuan, turunan, integral, dan jumlah dari deret tak
hingga (Roh, 2008). Namun demikian, ada banyak hasil penelitian yang
menunjukkan bahwa guru, mahasiswa calon guru matematika mengalami
kesulitan dalam memahami konsep limit fungsi, menjelaskan kaitan definisi
3
formal limit fungsi dengan representasi, dan menggunakannya dalam
menyelesaikan masalah, akibatnya mahasiswa tidak memiliki pemahaman (Cetin,
2009; Bezuidenhout, 2001, Katara, 2011). Padahal pengetahuan suatu topik
matematika harus dimiliki oleh seorang guru dan memiliki kontribusi yang
signifikan terhadap pelaksanaan pembelajaran (Karsenty, Arcavi, & Hadas, 2007;
Even & Tirosh, 2002). Oleh karena itu, karena limit fungsi merupakan salah satu
topik dalam bidang kalkulus matematika sekolah menengah atas (Mastotides,
2004; Kurikulum 2013), maka pemahaman dan penalaran guru tentang limit
fungsi penting ditelusuri.
Konsepsi mahasiswa tentang limit fungsi penting diteliti dalam penelitian
pendidikan matematika (Erlia, 2006, Roh, 2008; Duru, 2010). Peran konsepsi
dalam pembelajaran di perguruan tinggi, apabila mahasiswa memiliki konsepsi
yang kuat terhadap konsep matematika maka akan mudah memahami konsep-
konsep lanjutannya Bezuidenhout (2001). Peran konsepsi mahasiswa calon guru
dalam melaksanakan pembelajaran matematika di sekolah, ia kelak ketika menjadi
guru akan mampu membimbing siswa dalam menyajikan gagasan konsep agar
lebih bermakna Bezuidenhout (2001), membimbing siswa dalam proses kognisi
dan metakognisi dalam menyelesaikan masalah Thompson (1992), sehingga siswa
memiliki pemahaman terhadap konsep matematika dan menyelesaikan masalah.
Dengan demikian, konsepsi mahasiswa calon guru penting diteliti agar dosen,
LPTK, lembaga penjaminan mutu di Indonesia memiliki gambaran karakterstik
mahasiswa calon guru/guru yang memiliki konsepsi yang kuat sehingga menjadi
4
landasan untuk memperbaiki dan meningkatkan mutu pembelajaran perguruan
tinggi dan sekolah.
Secara teoritis, konsepsi merupakan struktur pengetahuan yang dikontruksi
seseorang dalam mental digunakan untuk merespon permasalahan (Amatangelo,
2013: 6). Elia, dkk, 2006; Daru, 2010 memfokus penelitiannya pada konsepsi
fungsi yang meliputi pemahaman, representasi pengetahuan, dan pemecahan
masalah, Duru (2010), konsepsi sebagai pemahaman tentang kaitan limit,
kekontinuan dan diferensial fungsi.
Penelitian tentang konsepsi telah banyak dilakukan oleh para peneliti
pendidikan matematika atau psikologi kognitif. Penelitian Williams (1991)
tentang model limit fungsi diperoleh konsepsi mahasiswa tentang limit fungsi
dikacaukan dengan persoalan: suatu fungsi mendekati limit, limit adalah suatu
batas, limit adalah proses dinamis, limit adalah objek yang statis, dan sifat limit
adalah terkait dengan konsep pergerakan. Penelitian Duru, dkk (2010) tentang
konsepsi mahasiswa calon guru matematika mengenai hubungan antara
kekontinuan fungsi dan differensial diperoleh beberapa miskonsepsi yang dialami
mahasiswa calon guru matematika dalam menentukan kekontinuan fungsi dan
miskonsepsi yang dialami mahasiswa calon guru matematika pada hubungan
kekontinuan fungsi dengan differensial. Penelitian Elia, dkk (2007) memfokuskan
pada tiga aspek konsepsi siswa sekolah menengah pada materi fungsi, yaitu
gagasan siswa tentang fungsi, representasi, dan pemecahan masalah. Lebih lanjut
gagasan tentang fungsi dinyatakan dalam pemahaman siswa tentang fungsi.
5
Mengacu pada penelitian yang dilakukan Elia, dkk (2006) dan Duru, dkk
(2010), aspek konsepsi meliputi pemahaman dan representasi. Pemahaman
mahasiswa tentang konsep limit fungsi perlu dimiliki, agar mahasiswa mampu
menginterprestasi konsep, menjelaskan kaitan antar konsep, dan kaitan dengan
konsep lain Duru (2010). Representasi merupakan kemampuan untuk
mengeksprsi gagasan suatu konsep limit fungsi. Representasi yang dikaji dalam
penelitian adalah representasi eksternal (verbal, tabel, grafik dan simbol) dan
representasi internal Goldin (2001). Prinsip dan standar matematika sekolah
dalam NCTM (2000) memuat standar proses tentang representasi multiple penting
dalam pembelajaran matematika. Aspek representasi terhadap suatu konsep perlu
dimiliki mahasiswa calon guru agar penyajian konsep matematika dan pemecahan
masaalh dalam pembelajaran bermakna dan efektif. Stylianou (2010). Oleh karena
itu, representasi merupakan aspek penting dalam konsepsi yang ditelusuri dalam
penelitian ini.
Hasil studi pendahuluan mahasiswa Program Studi Pendidikan
Matematika FKIP Unsyiah dan pendidikan matematika STAIN Lhokseumawe,
Aceh Utara diperoleh aspek-aspek konsepsi, yaitu pemahaman mahasiswa dalam
merespon permasalahan limit fungsi meliputi mampu menginterpretasi simbol
limit dalam bentuk kata-kata atau gambar, menjelaskan kaitan gambar dengan
simbol, dan mampu menghitung nilai limit fungsi dengan menggunakan strategi
memfaktorkan, menderhanakan, dan mensubstitusikan, serta mengungkapkan
kaitan antara grafik fungsi dengan definisi limit fungsi. Temuan ini sesuai dengan
hasil penelitian Duru (2010), yaitu konsepsi mahasiswa calon guru tentang kaitan
6
limit fungsi dan kekontinuan fungsi. Selain itu, aspek konsepsi yang berkaitan
dengan representasi rmahasiswa mengungkapkan simbol, definisi, dan makna
limit fungsi dengan kata-kata, grafik, tabel dan simbol. Ungkapan mahasiswa
tentang kata “ limit fungsi” kecenderungan sebagai “mendekati”, “menuju”,
“dekat.”Studi pendahuluan tersebutt, konsepsi yang dimiliki mahasiswa ditinjau
dari kemampuan mahasiswa yang berkemampuan tinggi, namun tidak pada
mahasiswa yang berkemampuan sedang dan rendah.
Sehubungan dengan konsepsi merupakan struktur pengetahuan suatu
konsep matematika, maka konsepsi yang dibangun seseorang dalam pikiran
dipengaruhi kemampuan matematika. Kemampuan adalah kapasitas seseorang
untuk melakukan beragam tugas dalam suatu pekerjaan (Kondalkar, 2007). KTSP
(2006) membagi kemampuan matematika menjadi enam, yaitu memahami konsep
dan hubungan antar konsep, penalaran, komunikasi, pemecahan masalah, sikap
terhadap matematika. Kemampuan matematika dibagi atas tiga kategori, yaitu
tinggi, sedang, dan rendah. Dengan demikian, kemampuan seorang mahasiswa
dalam membangun konsepsi suatu konsep matematika dipengaruhi oleh
kemampuan matematika. Mahasiswa yang kemampuan tinggi memiliki konsepsi
yang berbeda dengan kemampuan sedang serta rendah. Jadi, kemampuan
matematika SMA merupakan salah satu dasar pemilihan subjek penelitian selain
sudah mengikuti perkuliahan kalkulus dan analisis real.
Mengacu pada uraian di atas, akan dilaksanakan penelitian yang berjudul “
Konsepsi mahasiswa calon guru tentang limit fungsi ditinjau dari kemampuan
matematika’. Penelitian yang dilakukan ini merupakan bagian dari penelitian
7
disertasi dalam rangka menyelesaikan studi S3 (doktor) pendidikan matematika di
Universitas Negeri Surabaya (UNESA) dengan judul” Profil Konsepsi Mahasiswa
Calon Guru tentang Limit Fungsi ditinjau dari Kemampuan Matematika dan
Gender”. Penelitian disertasi menelusuri aspek-aspek konsepsi yang meliputi
pemahaman, representasi, bayangan mental, dan proposisi. Sedangkan penelitian
hibah disertasi doktor ini hanya menelusuri konsepsi pada aspek pemahaman dan
representasi. Penelitian ini diharapkan menghasilkan teori tentang konsepsi yang
meliputi pemahaman dan representasi pada mahasiswa calon guru matematika
yang berkemampuan tinggi dan rendah.
Penelitian yang dilakukan ini difokuskan pada konsepsi mahasiswa calon
guru ditinjau dari kemampuan matematika. Hal yang baru dari penelitian ini
adalah penelusuran aspek-aspek konsepsi meliputi pemahaman dan representasi
mahasiswa calon guru yang berkemampuan kemampuan matematika tinggi,
sedang dan rendah tentang limit fungsi. Sepengetahuan peneliti, penelitian yang
dilaksanakan ini masih sedikit diteliti di Indonesia.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan permasalahan di atas, rumusan masalah dalam penelitian ini
adalah “ Bagaimanakah konsepsi mahasiswa calon guru tentang limit fungsi
ditinjau dari kemampuan matematika tinggi dan rendah?
8
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
A. Konsepsi dalam Matematika
Konsep merupakan ide abstrak yang dapat digunakan untuk
mengelompokkan objek, merepresentasikan unit-unit pengetahuan (Soedjadi,
2000; Solso, 2002: 273), gagasan tentang sesuatu (Stemberg, 2008). Konsep
berhubungan erat dengan definisi. Definisi adalah ungkapan yang membatasi
suatu konsep (Soedjadi, 2000). Tall & Vinner (1981) mengkateogri konsep
menjadi dua jenis, yaitu definisi konsep formal dan definisi konsep personal.
Definisi konsep formal adalah kalimat atau kata-kata yang digunakan untuk
menjelaskan konsep secara akurat. Sedangkan definisi konsep personal
merupakan definisi suatu konsep yang direkomendasi seseorang melalui bayangan
konsep (concept image) yang bersangkutan yang dimilikinya. Definisi konsep
personal merupakan kalimat atau kata-kata yang digunakan individu untuk
menjelaskan konsep tertentu sebagai hasil rekonstruksinya terhadap bayangan
konsep tersebut.
Kata “ konsespsi” mengacu pada suatu struktur pengetahuan seseorang
yang menjabarkan bagaimana memberikan respon terhadap suatu permasalahan
Amatangelo (2013: 6). Zaslaysky (2005: 328)” mendefinisikan konsepsi tentang
definisi matematika adalah penjelasan tertulis dan penalaran verbal yang
diberikan. Lioyd (1998: 249) mendefinisikan konsepsi sebagai struktur mental
9
seseorang yang meliputi pengetahuan, keyakinan, pemahaman, preferen (pilihan),
dan pandangan. Penelitian Lioyd difokuskan pada dampak konsepsi guru tentang
materi fungsi terhadap pembaharuan kurikulum. Sfard (1991) menjelaskan
konsepsi merupakan hasil kontruksi teoritis terhadap gagasan pengetahuan formal,
yang meliputi representasi internal dan asosiasi-asosiasi yang dibangun oleh
konsep secara subjektif dalam pikiran seseorang. Lebih lanjut, Sfard menjelaskan
representasi internal meliputi deskripsi yang didukung oleh representasi verbal
dan didukung oleh bayangan visual. Berdasarkan representasi-representasi ini,
Sfard membagi konsepsi dibagi menjadi 2, yaitu konsepsi struktural dan konsepsi
opersional.
B Aspek-aspek Konsepsi
Berdasarkan definisi yang diungkapkan Zaslaysky (2005), Amatangelo
(2013), Lioyd (1998), dan Sfard (1991), konsepsi merupakan struktur
pengetahuan yang merupakan hasil konstruksi seseorang dalam pikiran yang
digunakan dalam merespon permasalahan matematika yang meliputi keyakinan,
pemahaman, representasi, bayangn mental, porposisi, preferen(pilihan), dan
pandangan. Dalam penelitian ini hanya difokuskan pada aspek pemahaman dan
representasi.
1. Pemahaman
Pemahaman merupakan suatu istilah yang digunakan untuk menggambarkan
penerimaan seseorang tentang suatu konsep atau ide yang menjadi
pengetahuannya. Sfard (1991) menjelaskan definisi pemahaman didasarkan pada
teori Skemp, yaitu pemahaman instrumental dan pemahaman relasional, dan teori
10
Hierbert, yaitu pemahaman konseptual dan pemahaman procedural. Skemp
(1987)) mendefinisikan pemahaman menjadi dua, yaitu pemahaman instrumental
dan pemahaman relasional. Pemahaman instrumental adalah kemampuan
seseorang menerapkan suatu prinsip, aturan, prosedur yang diingat sesuai dengan
pemecahan masalah tanpa mengetahui mengapa aturan tersebut berlaku.
Pemahaman relasional adalah kemampuan seseorang untuk menyimpulkan aturan
khusus atau prosedur dari hubungan matematis yang lebih umum. Hiebert &
Carpenter (1992: 67) mendefinisikan pemahaman yaitu. ide, prosedur atau fakta
dalam matematika dipahami apabila merupakan bagian dari kerangka internal.
Secara khusus, matematika dikatakan dipahami jika representasi mental dari
matematika merupakan bagian dari jaringan representasi.
Ghazali (2011) mengkategori pemahaman matematika menjadi dua, yaitu
pemahaman prosedural dan pemahaman konseptual. Pemahaman prosedural
matematika adalah suatu pengetahuan yang fokus pada keterampilan dan prosedur
langkah-langkah tanpa penunjukkan secara eksplisit terhadap ide-ide matematika.
Pemahaman konseptual adalah suatu pengetahuan yang memerlukan pemahaman
mendalam tentang gagasan dan konsep dasar matematika diterapkan dalam
menyelesaikan suatu permasalahan. Jadi, pemahaman konseptual merupakan
pemahaman yang menfokuskan pada keterampilan dan prosedur, sedangkan
pemahaman konseptual merupakan pemahaman yang menfokuskan pada gagasan
dan penggunaan suatu konsep dalam menyelesaiakan masalah matematika.
Berkaiatan dengan pemahaman, Aderson & Krathwohl (2001:67)
menjelaskan proses kognitif yang diasosiasikan dengan istilah memahami, yakni
11
sebagai konstruksi pengertian dari pesan-pesan yang disampaikan, baik secara
lisan, tertulis ataupun komunikasi dalam pembelajaran. Lebih lanjut Aderson & I
Krathwohl menjelaskan beberapa aktivitas- aktivitas proses kognitif yang
diasosiasikan dengan memahami, yaitu (1) menginterpretasi, yakni mengubah
suatu bentuk representasi, (2) memberi contoh, yakni menemukan contoh spesifik
terhadap konsep atau prinsip, (3) mengklarifikasi, yakni menyatakan apakah suatu
objek itu merupakan anggota atau bukan anggota dari suatu kelompok atau
kategori, (4) merangkum, yakni membuat abstraksi dari suatu tema umum, (5)
menginferensi, yakni merumuskan kesimpulan logis berdasarkan informasi yang
dijadikan, (6) membandingkan, yakni melacak keterhubungan dua ide atau
konsep, melihat perbedaan dan persamaan, dan (7) menjelaskan, yakni
membangun model sebab akibat terhadap suatu sistem tertentu. Jadi, dari uraian di
atas dapat dipahami bahwa pemahaman dapat ditelurusi melalui aktivitas-aktivitas
proses kognitif, yaitu menginterpretasi, membandingkan, dan menjelaskan.
2. Representasi
Representasi merupakan salah satu aspek dari struktur mental sebagai
dasar menelusuri konsepsi tentang matematika. Goldin (1998) menjelaskan
representasi merupakan konfigurasi, bentuk, atau susunan yang dapat
menggambarkan, mewakili, atau melambangkan sesuatu dalam suatu cara. Cai,
Lane & Jacabsin (1996) memandang representasi sebagai cara yang digunakan
seseorang untuk mengemukakan gagasan matematika. Sfard (1991) membagi
representasi menjadi empat jenis, yaitu representasi verbal, simbolik, grafik dan
aljabar. Goldin dan Shteingold (2001) membagi representasi menjadi dua, yaitu
12
representasi internal dan eksternal. Representasi internal meliputi: sintaksis,
notasional formal, imagistic, strategi dan proses holistic, dan afektif. Representasi
sintaksis menggambarkan kemampuan bahasa alami individu di mana kosa kata
bahasa dan sintaksis. Imagistic memuat konfigurasi kognitif visual-spasial dan
juga memuat kode kinestetik, terkait dengan gerakan nyata atau imajinasi dari
tangan dan tubuh, yang seringkali penting dalam memahami konsep matematika.
Notasional formal, yaitu siswa secara mental memanipulasi bilangan, melakukan
operasi aritmatika, atau melakukan tahap-tahap simbolik dalam menyelesaikan
persamaan aljabar. Proses strategic dan heuristic dalam merespon masalah sebagai
perkembangan seseorang secara mental mengorganisasikan metode-metode
seperti menentukan sub-sub tujuan. Afektif diperlukan tidak hanya untuk
memodelkan pembelajaran dan pemecahan masalah secara efektif, tetapi juga
membahas tujuan-tujuan pendidikan yang memuat kesenangan dan konsep diri
yang positif seperti konpetensi kognitif. Sistem ini juga memuat perubahan emosi
siswa, sikap, keyakinan, tata nilai tentang matematika atau diri mereka sendiri
dalam kaitan dengan matematika. Sfard (1991) membagi representasi internal
menjadi dua, yaitu representasi yang deskripsinya didukung oleh representasi
verbal dan representasi yang didukung oleh bayangan visual.
Goldin dan Shteingold (2001) mengelompokkan representasi ke dalam tiga
bentuk, yaitu bentuk formal-notasional, spasial-visual, serta verbal. Friedlander
dan Tabach (2001) mengelompokkan representasi dalam representasi verbal,
numerik, grafis, dan aljabar. Representasi verbal pada umumnya digunakan dalam
menyatakan masalah dari awal proses dan diperlukan untuk memberikan
13
interpretasi akhir yang diperoleh dalam pemecahan masalah. Representasi numeris
merupakan representasi yang diperkenalkan kepada siswa pada tahap awal belajar
aljabar. Pendekatan numeris merupakan representasi yang dapat digunakan untuk
memberikan jembatan yang mudah dan efektif dalam aljabar dan umunya menjadi
dasar representsi yang lain. Representasi grafis merupakan bentuk representasi
yang efektif digunakan untuk menggambarkan nilai fungsi dari variabel real.
Representasi aljabar merupakan representasi yang ringkas, umumnya dan efektif
digunakan untuk menyatakan pola–pola dan model-model matematika. Jadi,
representasi eksternal meliputi verbal, grafik, simbolik, dan tabel. Sedangkan
representasi internal meliputi: sintaksis, notasional formal, imagistic, strategi dan
proses holistic, dan afektif.
C. Menelusuri Aspek-aspek Konsepsi Tentang Limit Fungsi
Struktur materi limit fungsi meliputi pengertian intuisi, definisi formal,
dan pembuktian Varberg (2007: 57). Limit fungsi merupakan konsep dasar
Kalkulus dan Matematika Analisis (Cetin, 2009; Roh, 2008). Tall & Vall (1981)
mengkategori konsep menjadi dua, yaitu definisi konsep formal dan definisi
konsep personal. Definisi konsep formal adalah kalimat ataua kata-kata yang
digunakan untuk menjelaskan konsep secara akurat. Sedangkan definisi konsep
personal merupakan definisi suatu konsep yang direkomendasi seseorang melalui
bayangan konsep (concept image) yang dimilikinya. Definisi konsep personal
adalah kalimat atau kata-kata yang digunakan seseorang untuk menjelaskan
konsep tertentu sebagai hasil rekonstruksinya dari bayangan konsep tersebut.
14
Purcell (1987), mendefinisi limit fungsi secara intuisi dan secara definisi
formal, yaitu definisi secara instuisi “ lim→ = artinya nilai fungsi ( )mendekati suatu limit untuk mendekati suatu bilangan ”. Sedangkan definisi
formal limit fungsi adalah “ lim→ = berarti untuk setiap > 0 yang
diberikan terdapat > 0 sedemikian sehingga | − | < asalkan 0 <| − | < , yakni 0 < | − | < → | − | < ”. Dengan demikian
tinjuan konsepsi tentang limit fungsi meliputi pemahaman dan representasi
mahasisiswa tentang definisi limit fungsi dan penggunaan definisi untuk
membuktikan limit fungsi.
Berikut disajikan deskripsi aspek-aspek konsepsi mahasiswa tentang limit
fungsi.
Tabel 2.1Deskripsi Aspek-aspek Konsepsi
AspekKonsepsi
Sub aspek Deskripsi
Pemahaman Pengertian: mengungkapkansuatu komsep ke dalam kata-kata atau diagram
Ungkapan subjek tentang arti limitfungsi
Menjelaskan:mengungkapkan sebab akibatdari model suatu konsep
Ungkapan subjek tentang penjelasandefinisi limit fungsi
Penerapan: menggunakankonsep atau sifat danmenjelaskan langkah-langkahbya
Ungkapan subjek tentangpenggunaan konsep, sifat limit fungsi
Representasi Representasi verbal:menyatakan suatu konsep kedalam bentuk kalimat
Ungkapan subjek tentang definisilimit fungsi dalam bentuk kalimat
Representasi grafik:menyatakan suatu konsepdalam bentuk grafik
Ungkapan subjek tentang definisilimit fungsi ke dalam bentuk grafikatau gambar
Representasi tabel:Menyatakan suatu konsepdalam bentuk table
Ungkapan subjek tentang definisilimit fungsi dalam bentuk tabel
15
Representasi simbol:menyatakan suatu konsepdalam bentuk simbolik
Ungkapan subjek tentang definisilimit fungsi dalam bentuk simbol
Deskripsi aspek-aspek konsepsi mahasiswa calon guru tentang limit
fungsi, ditelusuri melalui tes berbasis wawancara. Subjek penelitian,
menyelesaikan tes konsepsi disertai dengan wawancara, sehingga diperoleh gejala
atau deskripsi aspek-aspek konspesi yang meliputi aspek pemahaman dan
representasi.
C. Hubungan Kemampuan Matematika dan Konsepsi
Kemampuan adalah kapasitas seseorang untuk menyelesaikan berbagai
ragam tugas dalam suatu pekerjaan. Menurut Poerwadaminta (1976), kemampuan
berasal dari kata “mampu” mempunyai arti kesanggupan, kecakapan, atau
kekuatan. Robbin, dkk (2008) membedakan kemampuan menjadi dua jenis, yaitu
kemampuan intelektual dan kemampuan fisik. Lebih lanjut, Robbin menjelaskan
emampuan intelektual adalah kemampuan yang dibutuhkan untuk melakukan
berbagai aktivitas mental-berpikir, menalar, dan menyelesaikan masalah.
Sedangkan kemampuan fisik adalah kemampuan pada tugas-tugas yang menuntut
stamina, keterampilan, kekuatan, dan karakteristik serupa. Sejalan dengan itu,
Stemberg (1996) membagi kemampuan intelegensi menjadi tiga aspek, yaitu
kemampuan analitik, kreatif, dan praktik. Jadi, kemampuan matematika yang
dimaksud dalam penelitian ini didasarkan pada kemampuan intelektual, yaitu
kemampuan untuk melakukan berbagai aktivitas mental–berpikir, analitik,
menalar, kreatif, dan menyelesaikan masalah matematika. Sehubungan dengan
intelegensi, Skemp (1987) menyatakan matematika merupakan contoh tepat dari
pemanfaatan intelegensi manusia dan matematika merupakan alat mental yang
16
paling kuat mampu beradaptasi dimana intelegensi manusia digunakan untuk
memenuhi kebutuhannya selama berabad-abad.
NCTM (2000) mendefinisikan kemampuan matematika meliputi
kemampuan pemecahan masalah, kemampuan berargumentasi, kemampuan
berkomunikasi, kemampuan membuat hubungan atau koneksi, kemampuan
representasiKurikulum 2013 menegaskan bahwa kemampuan matematika yang
diharapkan adalah (1) kemampuan memahami konsep, menjelaskan keterkaitan
antar konsep, dan mengaplikasikan konsep atau algoritma secara luwes, akurat,
efesien, dan tepat dalam pemecahasan masalah, (2) kemampuan menggunakan
penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat
generalisasi, menyusun bukti, menjelaskan gagasan dan pernyataan, (3)
memecahkan masalah, (4) mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel,
diagram, atau media untuk memperjelas keadaan atau masalah, dan (5) memiliki
sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari.
Kemampuan matematika merupakan kemampuan yang berkaitan dengan
potensi yang dimiliki seseorang yang mencakup pengetahuan matematika dan
keterampilan. Pengetahuan matematika dapat diukur berdasarkan pada dua
kemampuan, yaitu pemahaman konseptual dan prosedural. Pemahaman
konseptual adalah pemahaman tentang konsep-konsep, hubungan antar konsep,
kemampuan memberi alasan tentang apa yang dikerjakan, dan kemampuan
mengidentifikasi dan mengaplikasikan prinsip matematika. Pemahaman
prosedural meliputi aspek untuk menghubungkan dan mengkomunikasikan
17
algoritma. Kurikulum 2013 membagi pengetahuan menjadi tiga aspek,yaitu
pengetahuan fakta, pengetahuan konseptual, dan pengetahuan prosedural.
Berdasarkan beberapa pendapat ahli di atas, diperoleh rumusan
kemampuan matematika adalah kapasitas seseorang untuk menyelesaikan
berbagai ragam tugas matematika dalam suatu pekerjaan. Kemampuan
matematika meliputi kemampuan memahami konsep dan hubungan antar konsep,
penalaran pada pola dan sifat, memecahkan masalah, dan mengkomunikasikan
konsep dengan gambar atau grafik atau ilustrasi, simbol, tabel.
Konsepsi merupakan struktur pengetahuan dalam pikiran, sehingga
bagaimana seseorang mengungkapkan sesuatu ketika merespon suatu
permasalahan. Struktur pengetahun yang terbentuk dalam benak pikiran seseorang
dipengaruhi oleh kemampuan-kemampuan atau pengalaman-pengalaman untuk
mengkonstruk pengetahuan tersebut. Seseorang yang mempunyai kemampuan-
kemampuan yang baik maka hasil konstruksi pengetahuan dalam pikiran akan
baik pula. Dengan kata lain, seseorang yang mempunayi kekammpuan yang baik
maka akan menghasilkan konsepsi-konsepsi yang baik dalam merespon suatu
permasalahan.
18
BAB III
TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN
A. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan penelitian ini adalah untuk
mendeskripsikan konsepsi mahasiswa calon guru tentang limit fungsi ditinjau dari
kemampuan matematika tinggi dan rendah.
B. Manfaat Penelitian
Manfaat hasil penelitian baik bagi pemangku kepentingan, pengembangan
ilmu pengetahuan dan teknik, maupun bagi publikasi ilmiah disajikan sebagai
berikut.
1. Hasil penelitian ini dapat dijadikan sebagai bahan pertimbangan bagi
pemerintah khusus Kemendikbud, yaitu (1) konsepsi yang dimiliki mahasiswa
calon matematika dapat dijadikan dasar untuk memetakan kompetensi
mahasiswa calon guru atau guru, (2) konsepsi sebagai dasar untuk
mengembangkan model pendidikan guru atau calon guru yang berkelanjutan.
Sedangkan bagi kementerian Ristek dan Dikti, hasil penelitian ini dapat
disajikan sebagai salah satu komponen capaian pembelajaran pada suatu mata
kuliah atau bidang keahlian, dan sebagai dasar pengembangan model
pembelajaran matematika di perguruan tinggi yang dapat meningkatkan
pengetahuan, keterampilan dan sikap mahasiswa.
19
2. Hasil penelitian ini dapat dijadikan sebagai hasil pengembangan teori psikologi
kognitif khususnya teori konsepsi yang meliptui pemahaman dan representasi
mahasiswa ditinjau dari kemampuan matematika. Sedangkan teori
pembelajaran matematika, hasil penelitian ini dapat dijadikan sebagai salah
satu dasar teori untuk mengembangkan model pembelajaran matematika
khususnya bidang Kalkulus di sekolah.
3. Hasil penelitian ini tentang konsepsi mahasiswa calon guru tentang limit fungsi
dapat dipublikasi sebagai hasil penelitian dalam jurnal internasional
20
BAB IV
METODE PENELITIAN
A. Jenis Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh deskripsi secara objektif tentang konsepsi
mahasiswa calon guru tentang limit fungsi. Untuk memperoleh deskripsi tersebut, peneliti
melakukan pemeriksaan secara teliti dan mendalam serta melakukan triangulasi terhadap
aspek-aspek konsepsi yang dimiliki mahasiswa berdasarkan perbedaan kemampuan
matematika, yaitu tinggi, sedang, dan rendah. Dalam penelitian ini, mahasiswa diminta
menyelesaikan tugas tentang masalah limit fungsi disertai dengan wawancara oleh peneliti.
Wawancara ini bertujuan untuk menelusuri aktivitas-aktivitas pemahaman dan bentuk-bentuk
representasi yang dimiliki mahasiswa dalam menyelesaikan masalah limit fungsi.
Data yang diperlukan dalam penelitian ini, berupa tulisan hasil pekerjaan mahasiswa
dalam menyelesaikan masalah limit fungsi dan hasil wawancara. Hasil pekerjaan dan
wawancara mahasiswa berupa pemahaman-pemahaman mahasiswa dan bentuk-bentuk
representasi. Berdasarkan hal tersebut penelitian ini termasuk jenis penelitian kualitatif yang
bersifat eskploratif dengan alasan bahwa data utama penelitian ini adalah hasil tulisan dan
wawancara.
B. Subjek Penelitian
Subjek penelitian adalah mahasiswa pendidikan matematika yang telah menempuh
perkuliahan kalkulus dan analisis real di program studi pendidikan matematika Fakultas
Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) Unsyiah Banda Aceh, Pendidikan Matematika
STAIN Lhokseumawe, dan pendidikan matematika FMIPA UNESA Surabaya. Pemilihan
subjek penelitian ini juga didasarkan pada tes kemampuan matematika (TPM). Kisi-kisi tes
21
kemampuan matematika meliputi: bidang aljabar, kalkulus, dan geometri. Hasil TPM
dikategori kemampuan tinggi dengan skor 80 Skor 100 dan kemampuan rendah dengan
skor 0 Skor < 60. Banyak mahasiswa yang dipilih sebagai subjek penelitian adalah 18
orang dengan komposisi: 12 orang mahasiswa pendidikan matematika FKIP Unsyiah, 3 orang
mahasiwa pendidikan matematika STAIN Lhokseumawe, dan 3 orang mahasiswa pendidikan
matematika FMIPA UNESA.
C. Instrumen Penelitian
Jenis instrumen yang digunakan dalam hal ini adalah instrumen utama dan instrumen
bantu. Instrumen utama adalah peneliti sendiri. Peneliti merupakan instrumen utama dalam
pengumpulan data penelitian ini, yaitu berperan dalam merencanakan, melaksanakan,
menganalisis data, dan melaporkan hasil penelitian. Sedangkan instrument bantu adalah tes
kemampuan matematika (TPM), tes konsepsi limit fungsi (TKLF), dan pedoman wawancara.
Instrumen TKLF dan pedoman wawancara digunakan untuk memperoleh data tentang
konsepsi yang meliputi pemahaman dan representasi. Aspek - aspek konsepsi tentang limit
fungsi meliputi pemahaman diungkapkan pada TKLF adalah menggambarkan grafik,
menentukan limit fungsi, menjelaskan definisi limit fungsi, dan menjelaskan hubungan antar
dalam konsep dalam limit fungsi. Sedangkan representasi adalah ungkapan subjek tentang
konsep limit fungsi dalam bentuk verbal, grafik atau gambar, tabel, dan simbol. Ungkapan
subjek konsep limit fungsi dengan menggunakan kosa kata dan sintaksis. Sebelum TKLF
digunakan untuk mengumpulkan data penelitian, instrumen ini divalidasi oleh ahli untuk
menilai validasi isi dan konstruk item-item tes. Validasi instrumen ini rencana dilakukan oleh
dua orang yang dinilai ahli dalam bidang analisis real.
Pedoman wawancara digunakan untuk memandu peneliti dalam memperoleh data
deskripsitif tentang pemahaman dan representasi dalam merespon pertanyaan tentang limit
fungsi. Pedoman wawancara yang dikembangkan dalam penelitian ini adalah pedoman
22
wawancara yang digunakan untuk mengeksplorasi dan mengklarifikasi hasil pekerjaan
mahasiswa yang dilakukan secara tertulis dan ucapannya. Pokok-pokok pertanyaan yang
dikembangkan dalam pedoman wawancara ini pada dasarnya sama dengan dengan pokok-
pokok pertanyaan pada instrumen TKLF yakni secara konsisten mengungkapkan aspek-
aspek konsepsi.
D. Pengumpulan data
Pengumpulan data dilakukan secara alami dengan wawancara berbasis tugas.
Wawancara dilakukan secara mendalam dengan format semi-terstruktur. Format ini dipilih
untuk mengetahui keterbukaan subjek dalam menyampaikan informasi. Subjek yang sedang
diwawancarai diberi kebebasan untuk mengikuti kecenderungan pikiran mereka termasuk
dalam menentukan arah topik perbincangan sehingga membentuk fokus pembicaraan. Semua
aktivitas wawancara direkam dengan handycam untuk penyusunan transkrip data.
3.5 Teknik Analisis Data
Data utama penelitian ini adalah data yang bersifat kualitatif yang dianalisis dari hasil
TKLF dan wawancara klarifikasinya untuk menjawab pertanyaan penelitian. Moleong (2005)
menyebutkan bahwa analisis data kualitatif dilakukan dalam suatu proses, yakni dilakukan
sejak pengumpulan data di lapangan dan terakhir pada waktu penyusunan laporan penelitian.
Untuk menganalisis data kualitatif, Miles dan Huberman (1992) mengelompokkan dalam tiga
tahap kegiatan, yaitu reduksi data, penyajian data dan penarikan kesimpulan. Proses analisis
data dalam penelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah.
1) Telaah Data. Menelaah data dilakukan dengan membuat transkrip data dari hasil TKLF
dan rekaman wawancara. Data yang diperoleh dari hasil TKLF merupakan data tertulis.
Sedangkan data hasil wawancara merupakan transkrip data wawancara yang berupa
pertanyaan-pertanyaan dan jawaban-jawaban subjek.
23
2) Pemeriksaan data. Pemeriksanaan data dilakukan dengan memeriksa keabsahan data atau
kredibilitas data. Kredibilitas data dilakukan dengan teknik triangulasi waktu dari data
hasil TKLF dan hasil wawancara. Data tertulis yang diperoleh dari hasil TKLF dan hasil
transkrip data lisan yang dihasilkan dari hasil wawancara. Data penelitian ini dijustifikasi
sebagai data yang kredibel jika ada konsitensi, kesamaan data tentang konsepsi subjek
tentang limit fungsi yang diperoleh dari hasil pemberian TKLF dan hasil wawancara.
3) Reduksi data. Reduksi data dilakukan dengan menyeleksi data yang kredibel dan yang
tidak kredibel, memfokuskan, membuat rangkuman inti, dan mentransformasikan data
mentah. Hasil reduksi terhadap data yang tidak kredibel pada penelitian ini tidak
digunakan untuk mendeskripsikan konsepsi subjek tentang limit fungsi.
4) Pemaparan dan penafsiran data. Pemaparan dan penafsiran data dilakukan dengan
menyusun data dengan melakukan pengelompokkan data yang diperoleh sesuai dengan
tujuan penelitian. Pemaparan dengan melakukan pengelompokkan data yang dimaksud
adalah pengelompokkan konsepsi subjek tentang limit fungsi yang dilakukan pada data-
data subjek yang berkemampaun matematika tinggi dan rendah. Penafsiran data dilakukan
dengan mendeskripsikan konsepsi yang dimiliki subjek tentang limit fungsi. Konsepsi
subjek tentang limit fungsi dideskripsikan berdasarkan kesesuaian konsepsi tentang limit
fungsi, yaitu subjek yang memiliki konsepsi limit fungsi.
5) Penarikan kesimpulan. Penarikan kesimpulan dilakukan berdasarkan hasil analisis data
yang telah terorganisasi. Kesimpulan pada penelitian ini merupakan jawaban-jawaban atas
pernyataan penelitian yang bertujuan mendeskripsikan konsepsi mahasiswa calon guru
tentang limit fungsi ditinjau dari kemampuan matematika tinggi dan rendah.
24
Diagram 3.1 Prosedur Penelitian
Keterangan:: Aliran Kegiatan
: Aliran Siklus
: Mulai/Selesai
: Kegiatan
: Hasil Kegiatan
: Keputusan
Ya
Mulai
Melakukan Studi Literatur
Instrumen TKLF & Wawancra
Pengembangan Instrumen
Tes Kemampuan Matematika (TPM)
Subjek Terpilih: Berkemampuan tinggi dan rendah
Selesai
Analisis Data
Hasil Penelitian: KonsepsiMahasiswa Calon Guru Tentang
Limit Fungsi
Tes dan Wawancara ke-1 Wawancara ke-k, k 3
Data HasilWawancara
ke-2
Data HasilWawancara
ke-k
k
Data HasilWawancara
ke-1
Data Sahdan valid
Triangulasi
Tidak
Tes dan Wawancara ke-2
25
BAB V
HASIL DAN LUARAN YANG DICAPAI
A. Hasil Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Tinggi Tentang Limit
Fungsi
Konsepsi mahasiswa calon guru berkemampuan tinggi tentang limit fungsi
dikelompokkan menjadi tiga aspek soal, yaitu soal limit fungsi bersifat umum,
dan soal limit fungsi bersifat terapan. Konsepsi ketiga aspek tersebut disajikan
sebagai berikut.
1. Hasil Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Tinggi Tentang
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝑳, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−
𝒇(𝒙) = 𝑳, dan 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+
𝒇(𝒙) = 𝑳
Konsepsi mahasiswa calon guru berkemampuan tinggi tentan limit fungsi
dibagi menjadi tiga materi, yaitu (1) lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, (2) lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, dan (3)
lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿. Data-data Konsepsi-konsepsi masing-masing (2) definisi
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, dan lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, serta penjelasana dengan
bahasa, grafik, simbol. Konsepsi mahasiswa berkemampuan matematika tentang
arti dan definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, dan lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 disajikan
sebagai berikut.
a. Hasil Konsepsi ST tentang notasi 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝑳, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−
𝒇(𝒙) = 𝑳, dan
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+
𝒇(𝒙) = 𝑳
26
Data hasil tes dan wawancara tentang konsepsi subjek berkemampuan
matematika tinggi (ST) dianalisis berdasarkan aspek-aspek konsepsi, yaitu
aspek pengertian, penjelasan definisi, dan representasi definisi. Hasil analisis
data konsepsi untuk masing-masing aspek disajikan sebagai berikut.
Pertama ditinjau aspek pengertian notasi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari
pertanyaan yang diajukan tentang tuliskan arti notasi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST
mengawali dengan memperhatikan notasi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, lalu merespon
pertanyaan arti notasi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥
menuju 𝑎 sama dengan 𝐿. Pada penjelasan wawancara, ST menegaskan
pengertian lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju 𝑎 sama dengan 𝐿, yaitu jarak 𝑓(𝑥) dapat
dibuat kecil mungkin ke 𝐿 asal jarak 𝑥 cukup kecil ke 𝑎 tetapi 𝑥 tidak sama
dengan 𝑎 dan sambil memperagakan dengan tangan maksud jarak dapat dibuat
sekecil mungkin, kemudian menjelaskan secara lisan arti notasi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
adalah jarak 𝑓(𝑥) dan 𝐿 dapat dibuat sekecil mungkin asal 𝑥 cukup kecil ke 𝑎
tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎. ST menjelaskan maksud jarak dapat dibuat
sekecil mungkin dengan menegaskan bahwa jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 lebih kecil
epsilon asal jarak 𝑥 ke 𝑎 kecil dari delta tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎.
Berdasarkan jawaban tertulis dan penjelasan ST menunjukkan bahwa
pengertian notasi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 sama
dengan 𝐿, berarti jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sedekat mungkin ke 𝐿 dengan syarat
jarak 𝑥 dibuat cukup dekat ke 𝑎 tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎. Jadi, dapat
27
disimpulkan bahwa pengertian ST tentang notasi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan
mengungkapkan ke dalam kata-kata.
Kedua ditinjau aspek pengertian notasi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari pertanyaan
yang diajukan tentang tuliskan arti notasi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengawali
dengan memperhatikan notasi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, lalu merespon pertanyaan arti
notasi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menuliskan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 dari
arah kiri adalah 𝐿. Pada penjelaskan wawancara ST menjelaskan lim𝑓(𝑥)
ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 dari arah kiri adalah 𝐿 dengan menegaskan, yaitu jarak
𝑓(𝑥) dapat dibuat sekecil mungkin ke 𝐿 asal 𝑥 cukup dekat ke 𝑎 dari arah kiri
tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎. ST mempergarakan dengan tangan maksud
notasi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 sebagai jarak 𝑓(𝑥) dan 𝐿 dapat dibuat sekecil mungkin
dengan mengambil 𝑥 ke 𝑎 dari arah kiri cukup kecil tetapi 𝑥 tidak sama
dengan 𝑎. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan pengertian ST
tentang notasi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 dari kiri
sama dengan 𝐿, berarti jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sekecil mungkin ke 𝐿 dengan
syarat jarak 𝑥 ke 𝑎 cukup kecil tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎. Jadi, dapat
disimpulkan interpretasi ST tentang notasi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan
mengungkapkan dalam kata-kata.
Ketiga ditinjau aspek pengertian notasi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 dari pertanyaan
yang diajukan tentang tuliskan arti notasi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengawali
dengan memperhatikan notasi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, lalu merespon pertanyaan arti
28
notasi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menuliskan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 dari
kanan sama dengan 𝐿. Pada wawancara ST menjelaskan maksud lim𝑓(𝑥)
ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 dari kanan sama dengan 𝐿 dengan menegaskan sebagai
jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sekecil mungkin ke 𝐿 asal jarak 𝑥 dan 𝑎 cukup kecil
tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎. ST memperagakan dengan tangan maksud notasi
lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 sebagai jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sekecil mungkin ke 𝐿 dengan
syarat mengambil nilai-nilai 𝑥 dari arah kanan ke 𝑎 dengan jarak cukup kecil
tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎. Dari jawaban tertulis dan wawancara
menunjukkan bahwa pengertian ST tentang notasi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah
lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju 𝑎 dari kanan sama dengan 𝐿, berarti jarak 𝑓(𝑥) dapat
dibuat sekecil mungkin ke 𝐿 dengan mengambil 𝑥 dari arah sebelah kanan ke
𝑎 cukup dekat tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎. Jadi, dapat disimpulkan
interpretasi ST tentang notasi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan mengungkapkan ke dalam
kata-kata.
b. Hasil Konsepsi ST tentang Definisi 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝑳, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−
𝒇(𝒙) = 𝑳, dan
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+
𝒇(𝒙) = 𝑳
Data hasil tes dan wawancara terhadap subjek berkemampuan
matematika tinggi (ST) tentang konsepsi definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) =
𝐿, dan lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 dianalisis berdasarkan aspek-aspek konsepsi, yaitu aspek
pengertian, penjelasan definisi, dan representasi definisi. Hasil analisis data
konsepsi untuk masing-masing aspek disajikan sebagai berikut.
29
Pertama aspek pemahaman definisi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari pertanyaan yang
diajukan tentang tuliskan dan jelaskan definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengawali
dengan memperhatikan notasi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, lalu mengungkapkan definisi
lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan untuk setiap epsilon positif terdapat delta
positif yang berpadanan sehingga jika 𝑥 dikurang dengan 𝑎 besar nol dan kecil
dari delta maka harga mutlak selisih 𝑓(𝑥) dengan 𝐿 kecil dari epsilon. Lalu, ST
menjelaskan maksud definisi limit tersebut adalah berapapun epsilon yang
diberikan asal bilangan real positif pasti ada delta bilangan positif positif yang
berpadanan hingga jika jarak 𝑥 ke 𝑎 besar dari nol dan kecil dari delta maka
jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon. kemudian ST menjelaskan hubungan antara
epsilon dan delta dengan menegaskan bahwa diberikan berapapun epsilon
positif pasti ada delta positif dan diberikan contoh 휀 = 0,01 dan delta 𝛿 = 5휀,
selanjutnya, ST menjelaskan maksud 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 sebagai jarak antara 𝑥
dan 𝑎 lebih dari nol dan kecil dari delta dan maksud |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀 sebagai
jarak antara 𝑓(𝑥) dan L kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan
penjelasan, ST menunjukkan bahwa pemahaman definisi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah
diberikan setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan real positif
yang berpadanan sedemikian sehingga jika jarak 𝑥 ke 𝑎 lebih besar dari nol
dan kecil dari delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) dengan 𝐿 kurang dari epsilon. Jadi,
dapat disimpulkan bahwa ST mempunyai pemahaman tentang definisi
lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿.
30
Kedua ditinjau dari aspek representasi verbal definisi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿.
Dari data jawaban tertulis dan wawancara, ST mendeskripsikan jawaban
pertanyaan terkait definisi limit fungsi diawali dengan menuliskan 𝑓
merupakan fungsi yang terdefinisi pada selang buka, kemudian menuliskan
lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah untuk setiap bilangan epsilon positif terdapat bilangan
delta positif yang berpadanan sehingga 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 maka |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.
Selanjutnya, ST menjelaskan tulisan jawaban definisi limit fungsi tersebut
dengan menyebutkan untuk setiap bilangan epsilon positif terdapat bilangan
delta positif yang berpadanan dimana jika mutlak dari 𝑥 dikurang 𝑎 lebih besar
dari nol dan kecil dari delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kecil dari epsilon.
Berdasarkan data jawaban tertulis dan wawancara dapat disimpulkan bahwa ST
merepresentasikan definisi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan mengungkapkan ke dalam
kalimat.
Ketiga ditinjau dari aspek pemahaman definisi lim𝑋→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿. dari
pertanyaan yang diajukan pada soal A2 tentang tuliskan dan jelaskan definisi
lim𝑋→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿,ST mengawali dengan memperhatikan notasi lim𝑋→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿,
lalu mengungkapkan definisi lim𝑋→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan untuk setiap
휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑎 − 𝑥| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀. Kemudian
ST menjelaskan maksud ungkapan definsi tersebut adalah 𝑥 sangat dekat ke 𝑎
dari arah kiri yang berarti jarak antara 𝑥 dan 𝑎 lebih besar dari nol dan kecil
dari delta maka mutlak 𝑓(𝑥) dikurang 𝐿 kecil dari epsilon. Berdasarkan
penjelasan ST, pemahaman ST definisi lim𝑋→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah diberikan
31
bilangan epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan positif yang
berpadanan sehingga jika jarak 𝑎 dengan 𝑥 lebih besar nol dan kecil dari delta
maka jarak 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan bahwa ST
mempunyai pemahaman tentang definisi lim𝑋→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿.
Keempat ditinjau dari aspek representasi verbal lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari
data jawaban tertulis dan wawancara, ST mendeskripsikan jawaban pertanyaan
terkait definisi limit kiri dengan menuliskan definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah
untuk setiap 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑎 − 𝑥| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| <
휀, kemudian menjelaskan untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat
delta bilangan real positif yang berpadanan sedemikian sehingga jika nol besar
dari 𝑎 dikurang 𝑥 kecil dari delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari
epsilon. Dari jawaban tertulis dan penjelasan wawancara menunjukkan bahwa
ST mengungkapkan definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan ke dalam
kalimat dan menyebutkan bahwa untuk setiap epsilon positif terdapat delta
positif yang berpadanan sehingga jika nol besar dari 𝑎 dikurang 𝑥 kecil dari
delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan
bahwa ST merepresentasikan definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan mengungkapkan
ke dalam kalimat.
Kelima ditinjau dari aspek pemahaman definisi lim𝑋→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari
pertanyaan yang diajukan pada soal A2c tentang tuliskan dan jelaskan definisi
lim𝑋→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengawali dengan memperhatikan notasi lim𝑋→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿.
lalu mengungkapkan definisi lim𝑋→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan untuk setiap
32
휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀. Kemudian
ST menjelaskan maksud ungkapan definsi tersebut adalah jarak antara 𝑥 dan 𝑎
dari araha kanan lebih besar dari nol dan kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿
kecil dari epsilon yang diberikan. Berdasarkan penjelasan ST, pemahaman ST
definisi lim𝑋→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah untuk setiap epsilon bilangan real positif
terdapat delta bilangan positif sehingga jika jarak antara 𝑥 dan 𝑎lebih besar nol
dan kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kecil dari epsilon. Jadi, dapat
disimpulkan bahwa ST mempunyai pemahaman tentang definisi lim𝑋→𝑎+
𝑓(𝑥) =
𝐿.
Keenam ditinjau dari aspek representasi verbal lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari
data jawaban tertulis dan wawancara, ST mendeskripsikan jawaban pertanyaan
terkait definisi limit kanan dengan menuliskan definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah
untuk setiap 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| <
휀, kemudian menjelaskan untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat
delta bilangan real positif yang berpadanan sehingga jika 𝑥 dikurang 𝑎 lebih
besar dari nol dan kecil dari delta maka mutlak 𝑓(𝑥) dikurang 𝐿 kecil dari
epsilon. Dari jawaban tertulis dan penjelasan wawancara menunjukkan bahwa
ST mengungkapkan definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan ke dalam
kalimat dan menyebutkan bahwa untuk setiap epsilon bilangan real positif
terdapat delta bilangan real positif yang berpadanan sehingga jika 𝑥 dikurang 𝑎
lebih besar dari nol dan kecil dari delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari
33
epsilon. Jadi, dapat disimpulkan bahwa STL merepresentasikan definisi
lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan mengungkapkan ke dalam kalimat.
Ketujuh ditinjau dari aspek representasi grafik lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari data
jawaban tertulis dan wawancara ST merespon pertanyaan terkait penjelasan
definisi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan grafik, STL menggambarkan definisi
lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 diawali menggambar sumbu X, sumbu Y, menetapkan titik 𝑎
pada sumbu X, dan titik 𝐿 pada sumbu Y, selanjutnya menggambarkan grafik
fungsi 𝑓 yang tidak terdefinisi di titik 𝑎. Selanjutnya ST mengganbar interval
terbuka (𝐿 − 휀, 𝐿 + 휀) pada sumbu Y, dan interval terbuka (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿)
pada sumbu X, lalu menghasilkan gambar seperti [STJTKLF1A2aii]. STL
menjelaskan gambar grafik 𝑓 tersebut adalah fungsi 𝑓 terdefinisi pada selang
terbuka yang memuat 𝑎, lalu disebutkan jika nilai 𝑥 dekat ke 𝑎 tetapi tidak
sama dengan 𝑎 dan kurang dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon.
Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa ST
merepresentasikan definisi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menggambarkan ke dalam
grafik fungsi 𝑓 dan menjelaskan sesuai definisi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 yang telah
diungkapkan sebelumnya.
Kedelapan ditinjau dari aspek representasi grafik definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿,
dari data jawaban tertulis dan wawancara ST merespon pertanyaan terkait
penjelasan definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan grafik, ST menggambarkan definisi
lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 diawali menggambar sumbu X, sumbu Y, menetapkan titik 𝑎
34
pada sumbu X, dan titik 𝐿 pada sumbu Y, selanjutnya menggambarkan grafik
fungsi 𝑓 yang tidak terdefinisi di titik 𝑎. Selanjutnya ST mengganbar interval
terbuka (𝐿 − 휀, 𝐿 + 휀) pada sumbu Y, dan interval terbuka (𝑎 − 𝛿, 𝑎) pada
sumbu X, lalu ST menegaskan bahwa setiap diambil sebarang epsilon positif
ada delta lebih besar nol sehingga jika 𝑎 kurang 𝑥 lebih besar nol dan kecil dari
delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan
wawancara menunjukkan bahwa ST merepresentasikan definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) =
𝐿 dengan menggambarkan ke dalam grafik fungsi 𝑓 dan menjelaskan sesuai
definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 yang telah diungkapkan sebelumnya.
Kesembilan ditinjau dari aspek representasi grafik lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari
data jawaban tertulis dan wawancara ST merespon pertanyaan terkait
penjelasan definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan grafik, ST menggambarkan definisi
lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 diawali menggambar sumbu X, sumbu Y, menetapkan titik 𝑎
pada sumbu X, dan titik 𝐿 pada sumbu Y, selanjutnya menggambarkan grafik
fungsi 𝑓 yang tidak terdefinisi di titik 𝑎. Selanjutnya ST mengganbar interval
terbuka (𝑎, 𝑎 + 𝛿) pada sumbu X, dilanjutkan menggambar interval terbuka
(𝐿 − 휀, 𝐿 + 휀) pada sumbu Y. Selanjutnya, ST menjelaskan grafik fungsi
definisi limit kanan tersebut , yaitu sebuah grafik fungsi 𝑓, titik 𝑎 pada sumbu
X, jika jarak 𝑥 ke 𝑎 dari arah kanan lebih besar dari nol dan kecil dari delta
maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon yang diberikan. Dari jawaban tertulis
dan penjelasan menunjukkan ST merepresentasikan definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿
dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi. Jadi, dapat disimpulkan
35
bahwa ungkapan ST tentang definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 dinyatakan dalam bentuk
representasi grafik fungsi.
Kesepuluh ditinjau dari aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) =
𝐿 , dari jawaban tertulis dan wawancara ST merespon pertanyaan terkait
penjelasan definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan simbol, ST mendeskripsikan definisi
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 diawali dengan membaca kembali definisi limit fungsi yang
telah ditulis sebelumnya, kemudian menuliskan sebagai berikut ∀휀 > 0 ∃𝛿 >
0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀. ST menjelaskan ungkapan definisi
simbol dengan menyebutkan untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif
sehingga jika jarak 𝑥 ke 𝑎 lebih besar dari nol dan kecil delta maka jarak
𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan penjelasan ST
merepresentasikan definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan mengungkapkan ke dalam
simbol. Kesebelas ditinjau dari aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) =
𝐿, dari jawaban tertulis dan wawancara ST merespon pertanyaan terkait
penjelasan definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan simbol, ST mendeskripsikan
penjelasan definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 diawali dengan membaca kembali definisi
limit fungsi yang telah ditulis sebelumnya, kemudian menuliskan sebagai
berikut ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < 𝑎 − 𝑥 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀. ST menjelaskan
ungkapan definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyebutkan untuk setiap epsilon
positif terdapat delta positif sedemikian hingga jika 𝑎 dikurang 𝑥 lebih besar
nol dan kecil delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon. Dari jawaban
36
tertulis dan penjelasan ST merepresentasikan lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan
mengungkapkan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < 𝑎 − 𝑥 < 𝛿 →
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀
Keduabelas ditinjau dari aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿,
dari jawaban tertulis dan wawancara ST merespon pertanyaan terkait
penjelasan definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan simbol, ST mendeskripsikan
penjelasan definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 diawali dengan membaca kembali definisi
limit fungsi yang telah ditulis sebelumnya, kemudian menuliskan sebagai
berikut ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀. Selanjutnya ST
menjelaskan ungkapan definisi lim𝑋→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan simbol dengan
menyebutkan untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sedemikian
hingga jika 𝑥 dikurang 𝑎 dari arah kanan maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari
epsilon. Dari jawaban tertulis dan penjelasan ST merepresentasikan definisi
lim𝑋→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan mengungkapkan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 >
0 ∋ 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.
c. Hasil Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Tinggi Tentang
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐
𝒇(𝒙) = 𝑳 dengan 𝒇(𝒙) =𝒙𝟐+𝒙−𝟔
𝒙−𝟐
Konsepsi subjek berkemampuan tinggi (ST) dibagi menjadi jenis tiga
pertanyaan, yaitu (1) perhitungan nilai lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−6
𝑥−2, (2)
arti lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−6
𝑥−2, dan (3) definisi lim
𝑥→2𝑓(𝑥) = 𝐿. Hasil
konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi disajikan sebagai berikut.
37
Pertama aspek menentukan nilai limit fungsi, dari pertanyaan yang
diajukan tentang hitunglah nilai lim𝑥→2
𝑓(𝑥) dengan 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−6
𝑥−2, ST mengawali
langkah perhitungan dengan menuliskan bentuk lim𝑥→2
𝑥2+𝑥−6
𝑥−2, selanjutnya
memfaktorkan bentuk 𝑥2 + 𝑥 − 6 menjadi (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) sehingga diperoleh
lim𝑥→2
(𝑥−2)(𝑥+3)
(𝑥−2) dimana 𝑥 − 2 ≠ 0, kemudian ST mengkencel faktor (𝑥 − 2) di
pembilang dengan (𝑥 − 2) di penyebut dengan alasan 𝑥 menuju ke 2 dan 𝑥 −
2 ≠ 0, sehingga diperoleh lim𝑥→2
𝑥 + 3. Selanjutnya, ST menyatakan bentuk
lim𝑥→2
𝑥 + 3 menjadi lim𝑥→2
𝑥 + lim𝑥→2
3 dengan alasan menggunakan teorema limit:
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥), kemudian nilai lim𝑥→2
𝑥 sama dengan 2
dengan alasan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju 2 adalah 2, selanjutnya nilai lim𝑥→2
3 sama
dengan 3 dengan alasan lim 3 ketika 𝑥 menuju 2 adalah 3 dan ditegaskan limit
fungsi konstan di setiap titik adalah tetap. Selanjutnya diperoleh 2 + 3 sama
dengan 5. Berdasarkan jawaban tertulis dan wawancara ST menunjukkan bahwa
menentukan nilai lim𝑥→2
𝑥2+𝑥−6
𝑥−2 dengan cara memfaktorkan, mengkencel faktor yang
sama di pembilang dan penyebut dengan alasan 𝑥 menuju ke 2 dan penyebut tidak
sama dengan nol, menggunakan teorema jumlah limit fungsi, menggunakan arti
notasi limit fungsi diperoleh nilai limit sama dengan 5. Jadi, dapat disumpulkan
bahwa ST menentukan nilai lim𝑥→2
𝑓(𝑥) dengan cara memfaktorkan, mengcensel,
teorema limit jumlahan dari dua fungsi, dan menggunakan pengertian notasi limit
fungsi, dan sifat limit fungsi.
38
Kedua aspek pengertian, ST mengungkapkan pengertian notasi
lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan menyatakan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju 2 sama dengan 5,
yakni jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sekecil mungkin ke 5 dengan mengambil jarak 𝑥 ke
2 cukup kecil. Selanjutnya, ST menjelaskan maksud “dapat dibuat sekecil
mungkin” dan “ cukup kecil ” yaitu sebagai jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sekecil
mungkin ke 5, yaitu sekecil epsilon, dan jarak 𝑥 ke 2 dapat dibuat cukup kecil,
yaitu sekecil delta tetapi 𝑥 tidak sama dengan 2. Dari jawaban tertulis dan
wawancara ST menunjukkan bahwa pengertian notasi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 adalah
lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju 2 sama dengan 5, yakni jarak antara 𝑓(𝑥) dan 5 dapat
dibuat sekecil mungkin sekecil epsilon apabila dapat dibuat jarak 𝑥 ke 2 cukup
kecil sekecil delta tetapi tidak sama dengan 2. Jadi, dapat disimpulkan bahwa
pemahaman ST dalam mengungkapkan pengertian notasi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan
menyatakan ke dalam bentuk kata-kata.
Ketiga aspek penjelasan definisi, dari pertanyaan yang diajukan tentang
tuliskan definisi definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5, ST mengawali merespon dengan
memperhatikan kalimat pertanyaan, setelah itu, menuliskan definisi limit dengan
pelan-pelan sambil memperhatkan kebenaran kalimat, kemudian memperhatikan
kembali kalimat definisi yang telah ditulis. ST menyatakan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5
adalah untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga nilai mutlak dari
selisih 𝑓(𝑥) dengan ke 5 kecil dari epsilon asal nilai mutlak dari selisih 𝑥 dengan
2 lebih besat dari nol dan kecil dari delta. ST menjelaskan maksud definisi dengan
menegaskan diberikan sebarang epsilon bilangan real positif terdapat delta positif
39
sehingga jarak antara 𝑓(𝑥) dan 5 kecil dari epsilon apabila jaraka 𝑥 ke 2 lebih
besar dari nol dan kecil dari delta. Dari penjelaskan jawaban tertulis dan
wawancara menunjukkan ST menjelaskan definisi limit dengan menyatakan
diberikan sebarang epsilon bilangan real positif terdapat delta positif sehingga jika
jarak 𝑥 ke 2 lebih besar dari nol dan kecil dari deltamaka jarak antara 𝑓(𝑥) dan 5
kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan penjelasan ST tentang definisi
lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 adalah diberikan sebarang epsilon bilangan real positif terdapat
delta positif sehingga jika jarak 𝑥 ke 2 lebih besar dari nol dan kecil dari
deltamaka jarak antara 𝑓(𝑥) dan 5 kecil dari epsilon.
Keempat aspek representasi verbal, dari data jawaban tertulis ST
menjawab pertanyaan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan mendekripsikan menjadi
kalimat, yaitu diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta positif sedemikian
hingga jika nilai mutlak dari selisih x dengan 2 besar nol dan kecil delta maka
nilai mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 5 kecil dari epsilon. Pada penjelasan
wawancara, ST menyebutkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 diungkapkan dengan
diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta positif sehingga nilai mutlak dari
selisih x dengan 2 besar dari nol dan kecil dari delta maka nilai mutlak dari selisih
𝑓(𝑥) ke 5 kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan
bahwa ST mengungkapkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan mendeskripsikan ke
dalam bentuk kalimat, yaitu diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta
positif sedemikian hingga jika nilai mutlak dari selisih x dengan 2 besar nol dan
kecil delta maka nilai mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 5 kecil dari epsilon. Jadi,
40
dapat disimpulkan bahwa ungkapan ST tentang definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dinyatakan
dalam bentuk representasi verbal.
Kelima aspek representasi grafik. ST menjawab pertanyaan terkait dengan
definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan menggambarkan ke dalam bentuk grafik fungsi
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 dengan 𝑥 tidak sama dengan 2, menggambar interval buka (2 −
𝛿, 2 + 𝛿) pada sumbu X, dan menggambarkan interval buka (5 − 휀, 5 + 휀) pada
sumbu Y. menyatakan untuk sebarang epsilon bilangan real positif terdapat delta
bilangan rela positif sehingga jika diambil sebarang 𝑥 dekat ke 2 dengan jarak 𝑥
ke 2 kecil dari delta dan besar dari nol maka 𝑓(𝑥) dalam selang buka (5 − 휀, 5 +
휀). ST menjelaskan grafik fungsi 𝑓 dengan menyatakan untuk sebarang epsilon
bilangan real positif delta bilangan real positif sehingga jika 𝑥 sebarang anggota
(2 − 𝛿, 2 + 𝛿) dan 𝑥 tidak sama dengan 2 maka f(x) dalam (5 − 휀, 5 + 휀). Dari
jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa STL menggambarkan
definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 ke dalam bentuk grafik fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 dengan 𝑥 tidak
sama dengan 2, menggambar interval buka (2 − 𝛿, 2 + 𝛿) pada sumbu X, interval
buka (5 − 휀, 5 + 휀) dan menyatakan untuk sebarang epsilon bilangan real positif
delta bilangan real positif sehingga jika 𝑥 sebarang anggota (2 − 𝛿, 2 + 𝛿) dan 𝑥
tidak sama dengan 2 maka 𝑓(𝑥) dalam (5 − 휀, 5 + 휀). Jadi, dapat simpulkan
bahwa ungkapan ST tentang definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dinyatakan dalam bentuk
representasi grafik.
Keenam aspek representasi tabel, dari pertanyaan yang diajukan ST
menjawab pertanyaan terkait penjelasan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan tabel ST
41
dengan memilih beberapa nilai 𝑥 dan menghitung nilai 𝑓(𝑥). ST menegaskan
bahwa jarak nilai-nilai 𝑥 ke 2 kecil dari bilangan rela dan jarak nilai-nilai 𝑓(𝑥) ke
5 kecil dari bilangan rel yang diberikan. ST menjelaskan untuk sebarang epsilon
bilangan positif terdapat delta bilangan positif sehingga jika jarak nilai-nilai 𝑥 ke
2 lebih besar dari nol dan dan kecil delta maka jarak nilai-nilai 𝑓(𝑥) ke 5 lebih
kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa ST
mengungkapkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan menyatakan nilai-nilai 𝑥 dan nilai-
nilai 𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan menyatakan untuk sebarang epsilon bilangan
positif terdapat delta bilangan positif sehingga jika jarak nilai-nilai 𝑥 ke 2 lebih
besar dari nol dan dan kecil delta maka jarak nilai-nilai 𝑓(𝑥) ke 5 lebih kecil dari
epsilon. Jadi, dapat disumpulkan bahwa ungkapan ST tentang definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) =
5 dinyatakan dalam bentuk representasi tabel.
Ketujuh aspek representasi simbol. ST menjawab pertanyaan terkait
penjelaskan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan simbol dengan mendeskripsikan, yaitu
∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 5| < 휀. ST menjelaskan bahwa
untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sedemikian hingga jika nilai
mutlak dari selisih 𝑥 dengan 2 besar nol dan kecil delta maka nilai mutlak dari
selisih 𝑓(𝑥) dengan 5 kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara
menunjukkan bahwa ST mengungkapkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan
mendeskripsikan, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 5| < 휀
dengan menjelaskan untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sedemikian
hingga jika nilai mutlak dari selisih 𝑥 dengan 2 besar nol dan kecil delta maka
42
nilai mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 5 kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan
bahwa ungkapan ST tentang definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dinyatakan dalam bentuk
representasi simbol.
3. Hasil Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Tinggi Tentang
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐−
𝒇(𝒙) = 𝑳𝟏 dengan 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐+
𝒇(𝒙) = 𝑳𝟐 dengan 𝒇(𝒙) =
Hasil Konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi (ST) dibagi
berdasarkan tiga pertanyaan, yaitu (1) perhitungan nilai lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 𝐿1 dengan
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝐿2 dengan 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 2, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 2𝑥 + 1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 2
, (2) arti lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 𝐿1 dan
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝐿2, (3) definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 𝐿1 dan lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝐿2. Hasil konsepsi
subjek berkemampuan matematika tinggi yang didasarkan pada ketiga pertanyaan
tersebut disajikan sebagai berikut.
Pertama aspek pemahaman menentukan nilai lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 𝐿1, Dari
pertanyaan yang diajukan tentang menghitung nilai lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 𝐿1, ST
menetapkan persamaan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 dengan 𝑥 ≥ 2, selanjutnya
menggambar grafik fungsi𝑓, menetapkan persamaan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 dengan
𝑥 < 2, menggambarkan grafik fungsi 𝑓. Kemudian ST mnghitung lim𝑥→2−
𝑥 + 1
dengan memisahkan lim𝑥→2−
𝑥 + 1 menjadi lim𝑥→2−
𝑥 + lim𝑥→2−
1 dengan alasan
pemisahan dilakukan dengan menggunakan teorema lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) =
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥). Selanjutanya ST menggunakan lim𝑥 ketika 𝑥 menuju 2 dari
kiri sama dengan 2, limit fungsi konstan ketika 𝑥 menuju 2 dari kiri sama dengan
2, selanjutnya dijumlahkan diperoleh nilai limit sama dengan 3. Dari jawaban
43
tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa ST menentukan lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3
dengan menggunakan teorema limit dari jumlah dua fungsi, pengertian notasi
limit fungsi dan limit fungsi konstan diperoleh nilai limit sama dengan 3. Jadi,
dapat disimpulkan bahwa ST mempunyai pemahaman dalam menentukan
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan mnetapkan fungsi dan domain, menggunakan teorema
limit dari jumlah dua fungsi, pengertian limit fungsi, dan limit fungsi konstan.
Kedua aspek menentukan nilai lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝐿2. ST menentukan nilai
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝐿2 dengan menyatakan lim𝑥→2+
𝑥 + 2 menjadi lim𝑥→2+
𝑥 + lim𝑥→2+
2
dengan alasan menggunakan sifat jumlahan limit fungsi. Kemudian diperoleh 4
dengan alasan limit fungsi identitas ketika 𝑥 menuju 2 dari kanan adalah 2
dijumlah dengan limit fungsi konstan 2 ketika 𝑥 menuju 2 dari kiri adalah 2
sehingga diperoleh 4. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa
ST menentukan lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan menggunakan teorema limit dari jumlah
dua fungsi, penegrtian limit fungsi identitas, dan limit fungsi konstan 2
diperoleh nilai limit kiri sama dengan 4. Jadi, dapat disimpulkan bahwa ST
mempunyai pemahaman dalam menentukan lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan
menggunakan teorema limit dari jumlah dua fungsi, limit fungsi identitas, dan
limit fungsi konstan 2, atau dengan cara merepresentasikan lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) menjadi
grafik fungsi dan menyebutkan bahwa nilai-nilai 𝑥 menuju 2 dari kanan 𝑓(𝑥)
menuju 4.
Ketiga aspek pengertian lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 𝐿1, dari jawaban tertulis pengertian
notasi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 menunjukkan bahwa ST mengungkapkan pengertian
44
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan limf(𝑥) ketika 𝑥 menuju 2 dari arah kiri
sama dengan 3, yaitu jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3 dengan
syarat mengambil nilai 𝑥 cukup dekat ke 2 dari arah kiri. Pada penjelasan
wawancara ST menyebutkan bahwa jarak antara 𝑓(𝑥) ke 3 dapat dibuat sekecil
mungkin dengan mengambil nilai 𝑥 cukup dekat ke 2 dari arah kiri. Dari
jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa ST mengungkapkan arti
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju 2 dari arah kiri
sama dengan 3. Jadi, dapat disimpulkan pemahaman ST tentang notasi
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan ke dalam kata-kata.
Keempat aspek pengertian lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝐿2, dari jawaban tertulis
pengertian notasi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 menunjukkan bahwa ST mengungkapkan
pengertian lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju 2 dari
arah kanan sama dengan 4, yakni jarak antara 𝑓(𝑥) dan 4 dapat dibuat sedekat
mungkin dengan syarat mengambil nilai 𝑥 cukup dekat ke 2 dari arah kanan.
Pada penjelasan wawancara ST menyebutkan bahwa jarak antara 𝑓(𝑥) dan 4
dapat dibuat sekecil mungkin dengan mengambil nilai-nilai 𝑥 cukup dekat ke 2
dari arah kanan. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa ST
mengungkapkan pengertian lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥
menuju 2 dari arah kanan sama dengan 4, yakni jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sedekat
mungkin ke 4 asal jarak 𝑥 cukup dekat ke 2 dari arah kanan. Jadi, dapat
disimpulkan bahwa pemahaman ST tentang notasi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan
menyatakan ke dalam kata-kata.
45
Kelima aspek penjelasan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, dari pertanyaan yang
diajukan tentang jelaskan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, ST mengawali dengan
memperhatikan pertanyaan, lalu mengungkapkan dengan menyatakan untuk setiap
epsilon positif terdapat delta positif sedemikian sehingga jika 2 dikurang x di
antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kecil dari epsilon. Ungkapan definisi
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 diregaskan bahwa untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif
sedemikian sehingga jika 2 dikurang 𝑥 lebih besar dari nol dan kecil dari delta
maka jarak 𝑓(𝑥) ke 4 kecil dari epsilon. Berdasarkan penjelasan wawancara,
pemahaman ST tentang definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 adalah untuk setiap epsilon positif
terdapat delta positif sedemikian sehingga jika 2 dikurang 𝑥 lebih besar dari nol
dan kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kecil dari epsilon. Jadi, dapat
disimpulkan bawaj ST mempunyai pemahaman definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3. Jadi,
dapat disimpulkan STL mempunyai pemahaman definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3.
Keenam aspek penjelasan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, dari pertanyaan yang
diajukan terkait dengan penjelasan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, STL mengawali
dengan memperhatikan notasi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, lalu mengungkapkan dengan
menyebutkan untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga nilai
mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 4 kecil dari epsilon asal selisih 𝑥 dengan 2 dari
kanan kecil dari delta. Berdasarkan penjelasan wawancara, pemahaman ST
tentang definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 adalah untuk setiap epsilon positif terdapat delta
positif sedemikian sehingga jika 𝑥 dikurang dengan 2 lebih besar dari nol dan
46
kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 4 kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan
bawaj ST mempunyai pemahaman definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4.
Ketujuh aspek representasi verbal dengan lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, dari pertanyaan
yang diajukan terkait penjelasan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, ST menjawab pertanyaan
dengan mendeskripsikan, yaitu untuk setiap 휀 > 0 terdapat ∃> 0 sedemikian
sehingga 0 < 2 − 𝑥 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿1| < 𝜖. Pada wawancara, STL menyebutkan
untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sedemikian sehingga jika 2
dikurang 𝑥 di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kecil dari epsilon. Dari
jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa ST mendeskripsikan definisi
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan untuk setiap epsilon positif terdapat delta
positif sehingga jika 2 dikurang 𝑥 di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3
kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan ST merepresentasikan lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3
ke dalam bentuk kalimat.
Kedelapan aspek representasi verbal definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, dari
pertanyaan yang diajukan terkait dengan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, ST merespon
dengan menuliskan untuk setiap 휀 > 0 terdapat ∃> 0 sedemikian sehingga 0 <
𝑥 − 2 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿2| < 𝜖. Pada wawancara, ST menjelaskan ungkapan
definisi tersebut dengan menyebutkan untuk setiap epsilon positif terdapat delta
positif sedemikian sehingga jika 𝑥 dikurang 2 di antara nol dan delta maka jarak
𝑓(𝑥) ke 4 kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan
bahwa ST mendeskripsikan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan untuk
setiap epsilon positif terdapat delta positif sedemikian sehingga jika 𝑥 dikurang 2
47
di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 4 kecil dari epsilon. Jadi, dapat
disimpulkan ST merepresentasikan lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 ke dalam bentuk kalimat.
Kesembilan aspek representasi grafik definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, dari
pertanyaan yang diajukan terkait dengan penjelasan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3
dengan grafik, ST menggambarkan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, yaitu menggambarkan
grafik fungsi 𝑓, menetapkan titik 2 pada sumbu X, menetapkan titik 3 pada sumbu
Y, menggambar interval buka dengan jarak titik 2 ke batas bawah adalah 𝛿 pada
sumbu X, menggambar interval buka dengan jarak titik 3 ke batas bawah adalah 휀
pada sumbu Y, dan menegaskan diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta
positif sedemikian sehingga jika selisih 2 dengan 𝑥 dari kiri kecil dari delta maka
jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara
menunjukkan ST menjelaskan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan merepresentasikan
ke dalam grafik fungsi 𝑓, menggambar interval buka pada sumbu X, dan interval
buka pada sumbu Y, dan menyatakan diberikan sebarang epsilon positif terdapat
delta positif sehingga selisih 𝑓(𝑥) dengan 3 kecil dari epsilon asal selisih 2
dengan 𝑥 dari kiri kecil dari delta. Jadi, dapat disimpulkan ST menjelaskan
definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi 𝑓.
Kesepuluh aspek representasi grafik definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, dari
pertanyaan yang diajukan terkait dengan penjelasan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4,
dengan grafik, ST menggambarkan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, yaitu menggambarkan
grafik fungsi 𝑓, menetapkan titik 2 pada sumbu X, menetapkan titik 4 pada sumbu
48
Y, menggambar interval buka dengan jarak titik 2 ke batas bawah adalah 𝛿 pada
sumbu X, menggambar interval buka dengan jarak titik 4 ke batas bawah adalah 휀
pada sumbu Y, dan menegaskan diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta
positif sedemikian sehingga jika selisih 2 dengan 𝑥 dari kiri kecil dari delta maka
jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara
menunjukkan ST menjelaskan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan merepresentasikan
ke dalam grafik fungsi 𝑓, menggambar interval buka pada sumbu X, dan interval
buka pada sumbu Y, dan menyatakan diberikan sebarang epsilon positif terdapat
delta positif sehingga jika selisih 𝑥 dengan 2 di antara nol dan delta maka jarak
𝑓(𝑥) ke 4 kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan ST menjelaskan definisi
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi 𝑓.
Kesebelas aspek representasi tabel definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, dari pertanyaan
yang diajukan terkait dengan penjelasan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan grafik, ST
mengungkapkan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan membuat tabel, memilih beberapa
nilai 𝑥 yang mendekati 2 dari kiri dan dari kanan, menghitung nilai-nilai 𝑓(𝑥)
dengan mensubtitusikan nilai 𝑥 ke persamaan 𝑓(𝑥), kemudian mentabulasikan
nilai-nilai 𝑥 dan nilai 𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan menegaskan bahwa nilai-nilai 𝑥
mendekati 2 dari kiri nilai mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 3 kecil dari epsilon.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa ST menjelaskan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan
merepresentasikan ke dalam tabel.
Kedua belas aspek representasi tabel definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, dari
pertanyaan yang diajukan terkait dengan penjelasan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4
49
dengan grafik, ST mengungkapkan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan membuat tabel,
memilih beberapa nilai 𝑥 yang mendekati 2 dari kiri dan dari kanan, menghitung
nilai-nilai 𝑓(𝑥) dengan mensubtitusikan nilai 𝑥 ke persamaan 𝑓(𝑥), kemudian
mentabulasikan nilai-nilai 𝑥 dan nilai 𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan menegaskan
bahwa nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 dari kanan maka nilai mutlak dari selisih 𝑓(𝑥)
dengan 4 kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan bahwa ST menjelaskan
definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan merepresentasikan ke dalam tabel.
Ketiga belas aspek representasi simbol definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, dari
pertanyaan yang diajukan terkait penjelasan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan
simbol, ST mengungkapkan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan ∀휀 > 0
∃𝛿 > 0 ∋ 0 < 2 − 𝑥 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 3| < 휀. ST menjelaskan ungkapan definisi
tersebut dengan menyebutkan bahwa untuk setiap epsilon positif terdapat delata
positif sehingga selisih 2 dengan 𝑥 dari kiri besar dari nol dan kecil dari delta
maka nilai mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 3 kecil dari epsilon. Jadi, dapat
disimpulkan bahwa ST mengungkapkan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan
merepresentasikan ke dalam symbol.
Keeempat belas aspek representasi simbol lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, dari pertanyaan
yang diajukan terkait penjelasan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan simbol, ST
mengungkapkan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋
0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 4| < 휀. ST menjelaskan ungkapan definisi tersebut
dengan menyebutkan bahwa untuk setiap epsilon positif terdapat delata positif
50
sehingga selisih 𝑥 dengan 2 dari kiri besar dari nol dan kecil dari delta maka nilai
mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 4 kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan
bahwa ST mengungkapkan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan merepresentasikan ke
dalam simbol.
B. Hasil Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Rendah Tentang
Limit Fungsi
Konsepsi subjek berkemampuan rendah (SR) tentang limit fungsi
dikelompokkan menjadi tiga aspek soal, yaitu soal limit fungsi bersifat umum,
dan soal limit fungsi bersifat terapan. Konsepsi ketiga aspek tersebut disajikan
sebagai berikut.
1. Hasil Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Rendah Tentang
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝑳, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−
𝒇(𝒙) = 𝑳, dan 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+
𝒇(𝒙) = 𝑳
a. Hasil Konsepsi SR tentang Notasi 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝑳, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−
𝒇(𝒙) = 𝑳, dan
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+
𝒇(𝒙) = 𝑳
Hasil konsepsi subjek berkemampuan matematika rendah (SR) tentag limit
fungsi dibagi berdasarkan tiga jenis pertanyaan TKLFA, yaitu (1) pertanyaan
terkait dengan arti lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, dan lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, (2)
pertanyaan terkait dengan definisi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, dan
lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿. Hasil konsepsi subjek berkemampuan matematika redah
disajikan sebagai berikut.
51
Pertama aspek pengertian lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR dalam menjawab
pertanyaan terkait dengan arti lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 diawali dengan memperhatikan
notasi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, kemudian mengungkapkan arti notasi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿,
yaitu untuk 𝑥 mendekati 𝑎 tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎, maka 𝑓(𝑥) mendekat
𝐿. Pada jawaban wawancara SR menjelaskan maksud ungkapan tersebut
dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi dan menyatakan nilai 𝑥
mendekati 𝑎 tetapi tidak sama dengan 𝑎 maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿 .sambil
menperhatikan jawaban tertulis dan diucapkan dengan suara pelan-pelan. Dari
jawaban tertulis dan penjelasan dalam wawancara menunjukkan bahwa SR
mengungkapkan pengertian notasi limit fungsi dengan mennyatakan ketika 𝑥
mendekati 𝑎 tetapi tidak sama dengan 𝑎 maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿, menjelaskan
dengan merepresentasikan ke dalam grafik dan menyatakan bahwa nilai-nilai 𝑥
mendekati 𝑎 tetapi tidak sama dengan 𝑎 maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿. Jadi, dapat
disimpulkan bahwa pemahaman SR tentang notasi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan
menyatakan ke dalam kata-kata.
Kedua aspek pengertian lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿. Pada jawaban tertulis],
menunjukkan bahwa SRL mengungkapkan arti notasi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 bahwa
untuk 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka 𝑓(𝑥) mendekat ke 𝐿. SRL
menjelaskan makna“ 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kiri” adalah nilai-nilai 𝑥
mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿, dan dijelaskan dengan
ucapan kata-kata dengan pelan-pelan serta sambil memperhatikan dan
menunjukkan nilai-nilai 𝑥 yang digambarkan pada grafik tersebut. Dari
52
jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan SR mengintepretasi notasi limit
kiri dengan mengkoversikan ke dalam kata-kata, menjelaskan makna “𝑥
mendekati 𝑎 dari sebelah kiri” dengan menggunakan grafik dan menyebutkan
nilai-nilai 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿. Jadi, dapat
disimpulkan bahwa pemahaman SR tentang notasi limit kiri dengan
menginterpretasi ke dalam kata-kata, menjelaskan makna dengan
merepresentasikan dengan grafik dan menjelaskan dengan menggunakan grafik
tersebut dengan ucapan kata-kata “ nilai-nilai 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kiri
𝑓(𝑥) mendekati 𝐿.
Ketiga aspek pengertian lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿. Pada jawaban tertulis enunjukkan
bahwa SR mengungkapkan arti notasi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 bahwa untuk 𝑥
mendekati 𝑎 dari sebelah kanan maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿. SR menjelaskan
makna “ x mendekati 𝑎 dari sebelah kanan ” dengan menggunakan grafik
fungsi yang telah digambar dan diungkapkan bahwa nilai-nilai 𝑥 mendekati 𝑎
dari sebelah kanan maka 𝑓(𝑥) mendekati L. Dari jawaban tertulis dan
wawancara menunjukkan SR mengintepretasi notasi limit kanan dengan
mengkoversikan ke dalam kata-kata, menjelaskan makna “𝑥 menuju 𝑎 dari
sebelah kanan” dengan menggunakan grafik dan dijelaskan dengan kata-kata.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa pemahaman SR tentang notasi limit kanan
dengan menginterpretasi ke dalam kata-kata, menjelaskan makna dengan
merepresentasikan dengan grafik dan menyebutkan dengan bahasa.
53
b. Data Konsepsi SR tentang Definisi 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝑳, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−
𝒇(𝒙) = 𝑳, dan
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+
𝒇(𝒙) = 𝑳
Hasil konsepsi subjek berkemampuan matematika rendah (SR) tentang
definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, dan lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 disajikan sebagai
berikut.
Pertama aspek penjelasan definisi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari pertanyaan yang
diajukan, SRL mengungkapkan kembali soal, yaitu lim𝑓(𝑥) untuk 𝑥 mendekati
𝑎 adalah L, menjelaskan definisi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan untuk
setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan real positif sehingga
harga mutlak dari selisih 𝑥 dengan 𝑎 di antara nol dan delta maka harga
mutlak selisih 𝑓(𝑥) dengan 𝐿 kurang dari epsilon, dan saat menjelaskan
definisi limit tersebut SR memperhatikan ungkapan tulisan definisi limit
tersebut. Selanjutnya, SR menjelaskan maksud ” untuk setiap epsilon bilangan
positif terdapat delta positif” dengan menegaskan tiap-tiap epsilon ada delta
dan menyebutkan contoh 휀 = 0,01 dan delta 𝛿 = 0,01. Kemudian, SRL
menjelaskan “ 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿” sebagai jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta,
dan “ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀” sebagai jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon. Dari
jawaban tertulis dan penjelasan wawancara menunjukkan bahwa SRL
menjelaskan definisi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menegaskan untuk setiap epsilon
bilangan real positif terdapat delta bilangan real positif sehingga jarak antara 𝑥
dan 𝑎 di antara nol dan delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kurang dari
epsilon, dan menjelaskan dengan contoh nilai epsilon dan delta serta
54
menegaskan tiap-tiap epsilon bilangan real positif ada delta bilangan real
positif sehingga jarak antara 𝑥 dan 𝑎 di antara nol dan delta jarak anatara 𝑓(𝑥)
dan 𝐿 kurang dari epsilon. Jadi, dapat simpulkan bahwa SR menjelaskan
definisi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan untuk setiap epsilon bilangan real
positif terdapat delta bilangan real positif sehingga jarak antara 𝑥 dan 𝑎 di
antara nol dan delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kurang dari epsilon, dan
menjelaskan dengan contoh epsilon dan delta.
Kedua aspek penjelasan definisi lim𝑋→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari pertanyaan yang
diajukan, SRL menjelaskan definisi lim𝑋→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menegaskan untuk
setiap epsilon bilangan positif ada delta positif sedemikian hingga jarak 𝑥 ke 𝑎
dari sebelah kiri di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari
epsilon, dan saat menjelaskan definisi, SRL memperhatikan ungkapan tulisan
definisi tersebut dan menjelaskan dengan suara pela-pelan. Selanjutnya, SR
menjelaskan maksud “ untuk setiap epsilon bilangan positif terdapat delta
positif” dengan menyebutkan contoh 휀 = 0,01 dan delta 𝛿 = 0,01 dengan
alasan setiap epsilon positif ada delta positif. Kemudian, SRL menjelaskan
maksud “0 < |𝑥 − 𝑎−| < 𝛿” dengan menyatakan jarak 𝑥 ke a di antara nol dan
delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kiri, dan |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀 dinyatakan
sebagai jarak 𝑓(𝑥) ke L kurang dari epsilon. Dari penjelasan wawancara
menunjukkan bahwa SR menjelaskan definisi limit kiri dengan menegaskan
untuk setiap epsilon bilangan real positif ada delta positif sedemikian hingga
jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kir
maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon, menjelaskan dengan menyebutkan
55
contoh nilai epsilon dan delta. Jadi, dapat disimpulkan SR menjelaskan definisi
limit kiri dengan menegaskan untuk setiap epsilon bilangan real positif ada
delta positif sedemikian hingga jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥
mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon.
Ketiga aspek penjelasan definisi lim𝑋→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari pertanyaan yang
diajukan, SR menjelaskan definisi lim𝑋→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyebutkan untuk
setiap epsilon bilangan positif ada delta positif sedemikian hingga jarak 𝑥 ke
𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kanan maka
jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon, dan saat menjelaskan definisi, SR
memperhatikan ungkapan tulisan definisi tersebut dan menjelaskan dengan
suara pelan-pelan. Dari penjelasan wawancara menunjukkan bahwa
penjelasan SR tentang ungkapan definisi limit kanan dengan menegaskan
bahwa untuk setiap epsilon bilangan positif ada delta positif sedemikian
hingga jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari
sebelah kanan maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon. Jadi, dapat
disimpulkan penjelasakn SR tentang definisi limit kanan dengan menegaskan
untuk setiap epsilon bilangan positif ada delta positif sedemikian hingga
jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kanan
maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon.
Keempat aspek representasi verbal definisi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari
pertanyaan yang diajukan terkait dengan pertanyaan definisi limit fungsi, SR
mengungkapkan definisi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan mendeskripsikan, yaitu untuk
56
setiap bilangan 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 maka
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀. Pada wawancara, SR menyebutkan untuk setiap epsilon
bilangan positif ada delta positif sehingga nilai mutlak 𝑥 dikurang 𝑎 di
antara nol dan delta maka nilai mutlak 𝑓(𝑥) dikurang 𝐿 kurang dari epsilon.
Dari jawaban tertulis dan jawaban wawancara menunjukkan bahwa SR
menggukapkan definisi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan ke dalam kalimat
dan menyebutkan untuk setiap epsilon bilangan positif ada delta positif
sehingga nilai mutlak 𝑥 dikurang 𝑎 di antara nol dan delta maka nilai mutlak
𝑓(𝑥) dikurang 𝐿 kurang dari epsilon definisi epsilon delta. Jadi, dapat
disimpulkan bahwa SR mengungkapkan tentang definisi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
dengan menyatakan ke dalam bahasa.
Kelima aspek representasi verbal definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿. Dari
pertanyaan yang diajukan terkait dengan definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR
mendeskripsikan, yaitu untuk setiap bilangan epsilon positif terdapat delta
positif sehingga 0 < |𝑥 − 𝑎−| < 𝛿 maka |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀. Selanjutnya SRL
menjelaskan dengan menyebutkan bahwa untuk setiap epsilon positif terdapat
delta positif sehingga jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥
mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon. Dari
jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan SR menjelaskan definisi limit
kiri dengan menyatakan untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif
sehingga jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari
sebelah kiri maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon Jadi, dapat disimpulkan
57
SRL mengungkapkan definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan ke dalam
kalimat.
Keenam aspek representasi verbal definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari
pertanyaan yang diajukan terkait dengan pertanyaan, SR mendeskripsikan
definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿i dengan menyatakan untuk setiap bilangan 휀 > 0
terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑥 − 𝑎+| < 𝛿 maka |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀. Pada
wawancara SR menyebutkan untuk setiap epsilon bilangan positif terdapat
delta bilangan positif sehingga harga mutlak 𝑥 dikurang 𝑎 di antara nol dan
delta dimana 𝑥 mendekati a dari sebelah kanan harga mutlak 𝑓(𝑥) dikurang
𝐿 kurang dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan
bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan untuk
setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga jika harga mutlak 𝑥
dikurang 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kanan
maka harga mutlak 𝑓(𝑥) dikurang 𝐿 kurang dari epsilon. Jadi, dapat
disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi limit kanan dengan
menyatakan dalam bahasa.
Ketujuh aspek representasi grafik definisi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari pertanyaan
yang diajukan terkait definisi dengan grafik, SR mengungkapkan definisi
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menggambar sumbu X dan sumbu Y, menandai titik 𝑎
pada sumbu X dan titik 𝐿 pada sumbu Y, menggambarkan grafik fungsi 𝑓.
Pada wawancara SR menyebutkan jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon asal
jarak 𝑥 dengan 𝑎 besar nol dan delta. Dari jawaban tertulis dan wawancara
58
menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan
merepresentasikan definisi ke dalam grafik fungsi dan menegaskan jarak
𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon asal jarak 𝑥 dengan 𝑎 besar nol dan delta.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
merepresentasikan ke dalam grafik fungsi.
Kedelapan aspek representasi grafik dari lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari pertanyaan
yang diajukan terkait dengan definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mengungkapkan
definisi diawali dengan menggambar sumbu X, sumbu Y, menandai titik 𝑎
pada sumbu X, titik L pada sumbu Y, dan menggambar grafik fungsi 𝑓.
Selanjutnya pada wawancara SR menegaskan untuk 𝑥 mendekati 𝑎 maka
𝑓(𝑥) mendekati 𝐿. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan SR
mengungkapkan definisi limit kiri dengan merepresentasi ke dalam grafik
fungsi dan menegaskan untuk 𝑥 mendekati 𝑎 maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿. Jadi,
dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi limit kiri dengan
merepresentasikan ke dalam grafik fungsi.
Kesembilan aspek representasi grafik lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari pertanyaan
yang diajukan terkait dengan definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mengungkapkan
definisi limit kanan dengan merepresentasikan definisi limit kanan diawali
dengan menggambarkan sumbu X, sumbu Y, menandai titik 𝑎 pada sumbu
X, menandai titik 𝐿 pada sumbu Y, menggambar grafik fungsi , menggambar
interval buka (𝑎, 𝑎 + 𝛿) pada sumbu X, menggambar interval buka (𝐿, 𝐿 +
휀). Pada wawancara SRL menjelaskan, yaitu untuk 𝑥 mendekati 𝑎 dari
59
sebelah kanan maka 𝑔(𝑥) mendekati 𝐿. Dari jawaban tertulis dan
pwawancara menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi limit kanan
dengan merepresentasi ke dalam grafik fungsi dan menegaskan untuk 𝑥
mendekati 𝑎 dari sebelah kanan maka 𝑔(𝑥) mendekati 𝐿. Jadi, dapat
disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi limit kanan dengan
merepresentasikan ke dalam grafik fungsi.
Kesepuluh aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari
pertanyaan yang diajukan terkait dengan definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR
mengungkapkan dengan mendeskripsikan, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 <
|𝑥 − 𝑎| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖. Pada wawancara SR menjelaskan untuk
setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga jarak antara 𝑥 dan 𝑎 di
antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon. Dari jawaban
tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi
limit fungsi dengan menyatakan ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 →
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖 dan menegaskan bahwa untuk setiap epsilon positif terdapat
delta positif sehingga jarak antara 𝑥 dan 𝑎 di antara nol dan delta maka
jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR
mengungkapkan definisi limit fungsi dengan menyatakan dalam simbol.
Kesebelas aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari
pertanyaan yang diajukan terkait definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, SRL
mengungkapkan definisi limit kiri dengan mendeskripsikan, yaitu ∀휀 > 0
∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎−| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖. Pada wawancara SRL
60
menjelaskan untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga jarak
antara 𝑥 dan 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah
kiri maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan
wawancara menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi limit kiri
dengan mendeskripiskan ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎−| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) −
𝐿| < 𝜖 dan menegaskan untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif
sehingga jarak antara 𝑥 dan 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎
dari sebelah kiri maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon. Jadi, dapat
disimpulkan SR mengungkapkan definisi limit kiri dengan menyatakan dalam
simbol.
Keduabelas aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, dari
pertanyaan yang diajukan terkait definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR
mendeskripsikan, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎+| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| <
휀. Pada wawancara, SR menyebutkan untuk setiap epsilon positif terdapat
delta positif sehingga jarak antara 𝑥 dan 𝑎 antara nol dan delta dimana 𝑥
mendekati 𝑎 dari sebelah kanan maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon.
Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa SR
mengungkapkan definisi limit kanan dengan mendeskripsikan ∀휀 > 0 ∃𝛿 >
0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎+| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀, dan menyebutkan untuk setiap
epsilon positif terdapat delta positif sehingga jarak antara 𝑥 dan 𝑎 antara nol
dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kanan maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿
kurang dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan
definisi limit kanan dengan menyatakan ke dalam simbol.
61
2. Hasil Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Rendah Tentang
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐
𝒇(𝒙) = 𝑳
Hasil konsepsi subjek berkemampuan matematika rendah (SR) tentang
lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−6
𝑥−2 dibagi berdasarkan tiga pertanyaan, yaitu (1)
menentukan nilai limit fungsi, (2) arti notasi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 𝐿, (3) definisi
lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan kata-kata, grafik, tabel, dan simbol. Hasil konsepsi SR
disajikan sebagai berikut.
Pertama aspek nementukan nilai limit fungsi, dari pertanyaan yang
diajukan terkait menghitung nilai lim𝑥→2
𝑓(𝑥) dengan 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−6
𝑥−2, SR mengawali
dengan memfaktorkan 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−6
𝑥−2, dilanjutkan dengan melakukan
penyerhanaan sehingga diperoleh lim𝑥→2
𝑥 + 3. Pada wawancara SR menyebutkan
penyederhaan dilakukan dengan mencoret faktor sama di pembilang (𝑥 − 2) dan
penyebut (𝑥 − 2) dengan alasan faktornya sama. Selanjutnya SR disubstitusikan
𝑥 sama dengan 2 ke bentuk lim𝑥→2
𝑥 + 3 sehingga diperoleh 5. Dari jawaban tertulis
dan wawancara menunjukkan bahwa SR menentukan nilai lim𝑥→2
𝑓(𝑥) dengan
memfaktorkan 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−6
𝑥−2, menyederhakan dengan cara menceret faktor yang
sama di pembilang dan penyebut, mensubstitusikan 𝑥 sama dengan 2 ke lim𝑥→2
𝑥 + 3
sehingga diperoleh 5. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR menentukan nilai
62
lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan cara memfaktorkan, menyederhanakan mencoret faktor
yang sama, mensubstititusikan, sehingga diperoleh 5.
Kedua aspek pengertian lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5, dari pertanyaan arti notasi limit
fungsi, SR mengungkapkan yang diawali dengan memahami pertanyaan dengan
mengucapkan dengan bahasa sendiri, selanjutnya, menyatakan arti notasi
lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5, yaitu untuk 𝑥 mendekati 2 tetapi 𝑥 tidak sama dengan 2 maka
𝑓(𝑥) mendekati 5. Pada wawancara, SR menjelaskan maksud ungkapan
pengertian tersebut dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, dan
menegaskan bahwa nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2, maka
𝑓(𝑥) mendekati 5. Dari data jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan SR
mengungkapkan arti notasi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan memahami pertanyaan,
menyatakan ke dalam kata-kata, dijelaskan dengan merepresentasikan ke dalam
grafik fungsi dan ditegaskan nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2,
maka 𝑓(𝑥) mendekati 5. Jadi, dapat simpulkan bahwa SR dalam
mengungkapkan arti lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan menyatakan ke dalam kata-kata,
merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, dan ditegaskan bahwa nilai-nilai 𝑥
mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2, maka 𝑓(𝑥) mendekati 5.
Ketiga aspek penjelasan definisi limit fungsi, dari pertanyaan wawancara
yang diajukan terkait dengan penjelaskan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5, disebutkan untuk
setiap epsilon bilangan positif ada delta bilangan positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 di
antara nol dan delta maka jarak fungsi 𝑓(𝑥) ke 5 kurang dari epsilon. Pada
wawancara SR menjelaskan maksudnya untuk setiap epsilon ada delta positif
63
dengan menegaskan bahwa tiap-tiap epsilon positif ada delta positif. Selanjutnya,
SL menjelaskan maksud 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 dan |𝑓(𝑥) − 5| < 휀 dengan menyatakan
sebagai jarak antara 𝑥 dan 2 di antara nol dan delta dan sebagai jarak antara 𝑓(𝑥)
ke 5 kurang dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan
bahwa SRL menjelaskan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan menegaskan untuk setiap
epsilon bilangan real positif ada delta bilangan real positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 di
antara nol dan delta maka jarak fungsi 𝑓(𝑥) ke 5 kurang dari epsilon. Jadi, dapat
disimpulkan SR menjelaskan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan menegaskan untuk
setiap epsilon bilangan real positif ada delta bilangan real positif sehingga jarak 𝑥
ke 2 di antara nol dan delta maka jarak fungsi 𝑓(𝑥) ke 5 kurang dari epsilon.
Keempat aspek representasi verbal, dari pertanyaan yang diajukan terkait
dengan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5, SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan
mendeskripsikan , yaitu untuk setiap 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 <
|𝑥 − 2| < 𝛿 maka |𝑥2+𝑥−6
𝑥−2− 5| < 휀. Pada penjealskan wawancara SR
menyebutkan untuk setiap epsilon bilangan positif ada delta bilangan positif
sehingga jarak 𝑥 ke 2 di antara nol dan delta maka jarak fungsi ini 𝑓(𝑥) ke 5
kurang dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa
SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan mendeskripsikan dalam bentuk
kalimat, yaitu untuk setiap epsilon bilangan positif terdapat delta positif sehingga
jarak 𝑥 dan 2 di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 5 kurang daripada
epsilon. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5
dengan menyatakan ke dalam kalimat.
64
Kelima aspek representasi grafik, dari pertanyaan yang diajukan terkait
definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan ilustrasi grafik, SR merepresentasikan limit fungsi
ke dalam grafik fungsi, yaitu menggambarkan sumbu X, sumbu Y, menandai titik
2 pada sumbu X, titik 5 pada sumbu Y, menggambar grafik fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3.
Pada wawancara, SR menegaskan nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 tetapi tidak sama
dengan 2 maka 𝑓(𝑥) mendekati 5. Dari jawaban tertulis dan wawancara
menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan
merepresentasikan ke dalam grafik fungsi dan menegaskan 𝑥 mendekati 2 tetapi
tidak sama dengan 2 maka 𝑓(𝑥) mendekati 5. Jadi, dapat simpulkan bahwa SR
mengungkapan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan merepresentasikan ke dalam grafik
fungsi.
Keenam aspek representasi numerik, dari pertanyaan yang diajukan terkait
definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5, SR menyatakan nilai-nilai 𝑥 dan nilai-nilai 𝑓(𝑥) dari
perhitungan ke dalam tabel, selanjutnya disebutkan nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 maka
nilai 𝑓(𝑥) mendekati 5. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa
SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan menyatakan nilai-nilai 𝑥 dan
𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan ditegaskan 𝑥 mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2
maka 𝑓(𝑥) mendekati 5 . Jadi, dapat disimpulkan bahwa SRL mengungkapkan
definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan menytaakan ke dalam numerik.
Ketujuh aspek representasi simbol, dari pertanyaan yang diajukan terkait
penjelasan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan simbol, SR mengungkapkan definisi
tersebut dengan mendeskripsi ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 <
65
|𝑥 − 2| < 𝛿 → |𝑥2+𝑥−6
𝑥−2− 5| < 휀. Pada wawancara SR menyebutkan bahwa
untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 itu di
antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−6
𝑥−2 jarak ke 5 kurang dari epsilon.
Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa SRL
mengungkapkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan menyatakan ke dalam
representasikan ke dalam bentuk simbol, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 <
|𝑥 − 2| < 𝛿 → |𝑥2+𝑥−6
𝑥−2− 5| < 휀. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR
mengungkapkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan menyatakan ke dalam bentuk
simbol.
3. Hasil Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Rendah Tentang
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐−
𝒇(𝒙) = 𝑳𝟏, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐+
𝒇(𝒙) = 𝑳𝟐
Hasil konsepsi subjek berkemampuan matematika rendah (SR) tentang
lim𝑥→2
_ 𝑓(𝑥) = 𝐿1 dan lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝐿2 disajikan sebagai berikut.
Pertama aspek menentukan nilai lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 𝐿1, dari pertanyaan yang
diajukan terkait menentukan nilai lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 𝐿1, SR menetapkan fungsi 𝑓(𝑥) =
𝑥 + 1 dengan 𝑥 < 2, selanjutnya disubstitsuikan persamaan fungsi ke
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 𝐿1 diperoleh lim𝑥→2−
𝑥 + 1 . Pada wawancara SR menjelaskan dengan
substitusikan 𝑥 mendekat 2 dari sebelah kiri ke lim𝑥→2−
𝑥 + 1 diperoleh nilai limit 3.
Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa SR menentukan
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) dengan menetapkan fungsi dan membentuk lim𝑥→2−
𝑥 + 1 = 𝐿1, kemudain
66
mensubstutusikan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kiri diperoleh nilai lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) sama
dengan 3. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR menentukan nilai lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) dengan
mensubstitusikan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kiri ke lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 𝐿1 diperoleh
nilai lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) sama dengan 3.
Kedua aspek menentukan nilai lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝐿2, dari pertanyaan yang
diajukan terkait menentukan nilai lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝐿2, SR melakukan dengan cara
menetapkan persamaan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 dengan 𝑥 lebih atau sama dengan 2,
dibentuk lim𝑥→2+
𝑥 + 2 = 𝐿2. Pada wawanacara, SL menjelaskan dengan
substitusikan 𝑥 mendekat 2 dari sebelah kanan ke lim𝑥→2+
𝑥 + 2 diperoleh nilai
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) sama dengan 4. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan
bahwa SR menentukan lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) dengan menetapkan persamaan fungsi,
membentuk lim𝑥→2+
𝑥 + 2 = 𝐿2, mensubstitusikan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kanan
diperoleh nilai limit sama dengan 4. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR
menentukan lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 mensubstistukan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kanan
diperoleh nilai limit sama dengan 4.
Ketiga aspek pengertian lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3. dari pertanyaan yang diajukan
terkait arti notasi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, SR mengungkapkan dengan menyatakan
dengan menyatakan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kiri maka 𝑓(𝑥) mendekati 3.
Selanjutnya, SR menjelaskan ungkapan arti lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan
merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, lalu memilih beberapa nilai-nilai 𝑥
67
mendekati 2 dan disubstitusikan ke 𝑔(𝑥) . Kemudian pada wawancara SRL
menegaskan nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kiri maka 𝑓(𝑥) mendekati 3.
Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa SRL mengungkapkan
pengertian notasi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah
kiri f(𝑥) mendekati 3, dijelaskan dengan merepresentasikan ke dalam grafik
fungsi dan ditegaskan nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kiri maka 𝑓(𝑥)
mendekati 3. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan arti i
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan ke dalam kata-kata, direpresentasikan ke
dalam grafik fungsi, dan ditegaskan nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 dari kiri maka 𝑓(𝑥)
mendekati 3.
Keempat aspek pengertian lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, dari pertanyaan yang diajukan
terkait dengan arti notasi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, SR mengungkapkan dengan
menyatakan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4. Selanjutnya, SR
menjelaskan dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, lalu memilih
beberapa nilai 𝑥 mendekati 2 dari kanan dan disubstitusikan ke dalam 𝑔(𝑥).
Kemudian SR menegaskan nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kanan 𝑓(𝑥)
mendekati 4. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa SRL
mengungkapkan arti lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan dengan kata-kata, yaitu 𝑥
mendekati 2 dari sebelah kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4, dijelaskan dengan
merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, dan ditegaskan nilai-nilai 𝑥 mendekati
2 dari sebelah kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4. Jadi, dapat disimpulkan ahwa ST
mengungkapkan arti lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan mengungkapkan dengan kata-kata,
68
dijelaskan dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi serta ditegaskan x
mendekati 2 dari kiri maka 𝑓(𝑥) mendekati 4.
Kelima aspek penjelasan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, dari pertanyaan yang
diajukan terkait dengan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, SR mengungkapkan definisi
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan, yaitu untuk setiap epsilon positif terdapat
delta positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 dari kiri di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥)
ke 3 kurang dari epsilon. Pada wawancara SR menegaskan maksud ungkapan
definisi tersebut adalah tiap–tiap epsilon bilangan real positif terdapat delta
bilangan real positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 dari kiri di antara nol dan delta maka
jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kurang dari epsilon. Selanjutnya SR menjelaskan makna ” untuk
setiap epsilon bilangan positif terdapat delta positif “ sebagai tiap-tiap epsilon
positif ada delta positif dengan alasan pada definisi disebutkan untuk setiap
epsilon positif terdapat delta positif. Kemudian, SR menjelaskan makna “0 <
|𝑥 − 2−| < 𝛿” sebagai jarak 𝑥 ke 2 dari sebelah kiri di antara nol dan delta dan
|𝑓(𝑥) − 3| < 휀 sebagai jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kurang dari epsilon. Dari penjelasan
wawancara dan jawaban tertulis menunjukkan bahwa SR menjelaskan definisi
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan bahwa untuk setiap epsilon bilangan real
positif terdapat delta bilangan real positif sehingga jika jarak antara 𝑥 dan 2 dari
sebelah kiri di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kurang dari epsilon. Jadi,
dapat disimpulkan SR menjelaskan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan
mengungkapkan untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan
69
real positif sehingga jika jarak antara 𝑥 dan 2 dari sebelah kiri di antara nol dan
delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kurang dari epsilon.
Keenam aspek penjelasan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, dari pertanyaan yang
diajukan terkait dengan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, SR menjelaskan dengan
menyatakan untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan
positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 dari sebelah kanan di antara nol dan delta maka jarak
𝑓(𝑥) ke 4 kurang dari epsilon, dan saat menjelaskan SR memperhatikan ungkapan
definisi tersebut dan diucapkan dengan pelan-pelan. Pada wawancara, SRL
menjelaskan kaitan epsilon dengan delta, yaitu tiap-tiap epsilon positif pasti ada
delta positif. Selanjutnya, SR menjelaskan maksud 0 < |𝑥 − 2+| < 𝛿 sebagai
jarak antara 𝑥 dan 2 tetapi sebelah kanan di antara nol dan delta dan |𝑓(𝑥) − 4| <
휀 sebagai jarak antara 𝑓(𝑥) dan 4 kurang dari epsilon. Dari hasil wawancara dan
jawaban tertulis menunjukkan bahwa SR definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan
menyatakan untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan real
positif sehingga jika jarak antara 𝑥 ke 2 dari sebelah kanan di antara nol dan
delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) dan 4 kurang dari epsilon.
Ketujuh aspek representasi verbal definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, dari pertanyaan
yang diajukan terkait represenstasi definisi limit kiri, SR mendeskripsikan, yaitu
definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan mendeskripsikan, yaitu untuk setiap 휀 > 0 terdapat
𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑥 − 2−| < 𝛿 maka |𝑓(𝑥) − 3| < 휀. Pada wawancara, SR
menyebutkan untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga jarak 𝑥
ke 2 dari sebelah kiri di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kurang dari
70
epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara menggambarkan bahwa SR
mengungkapkan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan mendeskripsikan, yaitu untuk
setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan real positif sehingga
jika jarak antara 𝑥 dan 2 dari sebelah kiri di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥)
ke 3 kurang dari epsilon.maka. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR
mengungkapkan definisi limit kiri dengan menyatakana ke dalam kalimat.
Kedelapan aspek representasi verbal, dari pertanyaan yang diajukan terkait
dengan representasi definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, SR mengungkapkan dengan
mendeskripsikan, yaitu untuk setiap 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 <
|𝑥 − 2+| < 𝛿 maka |𝑓(𝑥) − 4| < 휀.. Pada wawancara, SR menyebutkan untuk
setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta positif sehingga 0 < |𝑥 − 2+| <
𝛿 maka |𝑓(𝑥) − 4| < 휀. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan
bahwa SRL mengungkapkan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan mendeskripiskan
dalam kalimat, untuk setiap 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑥 − 2+| < 𝛿
maka |𝑓(𝑥) − 4| < 휀. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan ke dalam kalimat.
Kesembilan aspek representasi grafik definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, dari
pertanyaan yang diajukan terkait dengan penjelasan definisi limit kanan dengan
grafik, SRL menggambarkan ke dalam grafik fungsi, yaitu menggambar grafik
fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 dimana 𝑥 < 2 dengan cara mensubstitusikan nilai 𝑥 = 1 dan
𝑥 = 2, disubstusikan ke 𝑓(𝑥), lalu ditarik garis dari titik (1,2) dan (2, 4) sehingga
diperoleh grafik garis lurus. Pada wawancara SR menyebutkan fungsi tidak ada
71
dengan alasan 𝑥 lebih kecil dari 2. Selanjutnya SR menegaskan bahwa nilai-nilai
𝑥 mendekati 2 dari kiri 𝑓(𝑥) mendekati 3 sambil memperhatikan grafik fungsi.
Dari jawaban tertulis dan hasil wawancara menunjukkan bahwa SR
mengungkapkan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan merepresentasikan ke dalam
grafik fungsi dan menegaskan 𝑥 mendekati 2 dari kiri 𝑓(𝑥) mendekati 3. Jadi,
dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi limit kiri dengan
merepresentasikan ke dalam grafik fungsi.
Kesepuluh aspek representasi grafik definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, dari
pertanyaan yang diajukan terkait definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, SRL mengungkapkan
dengan menggambarkan ke dalam grafik fungsi, yaitu menggambar grafik fungsi
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 dimana 𝑥 ≥ 2 dengan cara mensubstitusikan nilai 𝑥 = 2,5 dan 𝑥 =
2, disubstusikan ke 𝑓(𝑥), lalu ditarik garis dari titik 2,5, 4,5) dan (2, 4) sehingga
diperoleh grafik garis lurus. Pada wawancara ditegaskan bahwa nilai-nilai 𝑥
mendekati 2 dari kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4. Dari jawaban tertulis dan hasil
wawancara menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4
dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi dan menegaskan 𝑥 mendekati 2
dari kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SRL
mengungkapkan definisi limit kiri dengan merepresentasikan ke dalam grafik
fungsi.
Kesebelas aspek representasi tabel definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, dari pertanyaan
yang diajukan terkait penjelasan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan tabel, SR
mengungkapkan dengan memilih beberapa nilai 𝑥 mendekati 2 dari kiri, lalu
72
disubstitusikan ke dalam fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, kemudian nilai-nilai 𝑥 dan 𝑓(𝑥)
dinyatakan ke dalam tabel. Pada wawancara ST menegaskan bahwa nilai-nilai 𝑥
mendekati 2 dari kiri 𝑓(𝑥) mendekati 3. Dari jawaban tertulis dan hasil
wawancara menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3
dengan merepresentasikan ke dalam tabel dan menegaskan 𝑥 mendekati 2 dari kiri
𝑓(𝑥) mendekati 3. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi
limit kiri dengan merepresentasikan ke dalam tabel.
Kedua belas aspek representasi tabel definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, dari
pertanyaan yang diajukan terkait penjelasan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan tabel,
SR mengungkapkan dengan memilih beberapa nilai 𝑥 mendekati 2 dari kanan,
lalu disubstitusikan ke dalam fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, kemudian nilai-nilai 𝑥 dan
𝑓(𝑥) dinyatakan ke dalam tabel. Pada wawancara SR menegaskan bahwa nilai-
nilai 𝑥 mendekati 2 dari kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4. Dari jawaban tertulis dan hasil
wawancara menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4
dengan merepresentasikan ke dalam tabel dan menegaskan 𝑥 mendekati 2 dari
kanan 𝑓(𝑥) mendekati 3. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan
definisi limit kiri dengan merepresentasikan ke dalam tabel.
Ketiga belas aspek representasi simbol definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, dari soal
yag diajukan terkait dengan penjelasan lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan simbol, SR
mengungkapkan dengan mendeskripsikan, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 <
|𝑥 − 2−| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 3| < 휀. Pada wawancara SR menyebutkan bahwa untuk
setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan real positif sehingga
73
jarak antara 𝑥 dan 2 dari sebelah kiri berada di antara nol dan delta maka jarak
antara 𝑓(𝑥) dan 3 kurang dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan hasil wawancara
menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan
mendeskripsikan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 2−| < 𝛿 →
|𝑓(𝑥) − 3| < 휀 Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan ke dalam simbol.
Keempat belas aspek representasi simbol dari definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, dari
pertanyaan yang diajukan terkait dengan penjelasan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, SR
mengungkapkan dengan mendeskripsikan, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 <
|𝑥 − 2∓| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 4| < 휀. Pada wawancara SR menyebutkan bahwa
untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 dari
sebelah kanan di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 4 kurang dari epsilon.
Dari jawaban tertulis dan penjelasan wawancara menunjukkan bahwa SR
mengungkapkan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋
0 < |𝑥 − 2∓| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 4| < 휀. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR
mengungkapkan definisi limit kanan merepresentasikan ke dalam simbol.
C. Keluaran yang Dicapai
Berdasarkan analisis data konsepsi tentang tentang limit fungsi diperoleh
profil konsepsi-konsepsi subjek berkemampuan tinggi (ST) dan subjek
74
berkampuan matematika rendah (SR). Profil konsepsi masing-masing subjek
disajikan sebagai berikut.
1. Profil Konsepsi ST tentang Limit Fungsi
Profil konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi tentang limiit
fungsi dibagi menjadi menjadi dua jenis, yaitu pengertian dan definisi. Profil
konspepsi-konsepsi disajikan sebagai berikut.
a. Profil Konsepsi ST tentang Notasi limit Fungsi
1) Aspek pengertian notasi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan pengertian
notasi lim𝑋→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 sama dengan
𝐿, berarti jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sedekat mungkin ke 𝐿 dengan syarat
jarak 𝑥 dibuat cukup dekat ke 𝑎 tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎.
2) Aspek pengertian notasi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan pengertian
notasi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 dari kiri
sama dengan 𝐿 berarti jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sekecil mungkin ke 𝐿
dengan syarat jarak 𝑥 ke 𝑎 cukup kecil dari kiri tetapi 𝑥 tidak sama
dengan 𝑎.
3) Aspek pengertian notasi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan pengertian
lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 sama dengan 𝐿
berarti jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sekecil mungkin ke 𝐿 dengan mengambil
𝑥 dari arah sebelah kanan ke 𝑎 cukup dekat tetapi 𝑥 tidak sama dengan
𝑎.
b. Profil Konsepsi ST tentang Definisi Limit Fungsi
75
1) Aspek penjelasan definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST menjelaskan definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
adalah diberikan bilangan epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan
positif yang berpadanan sehingga jika jarak 𝑎 dengan 𝑥 lebih besar nol dan
kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kecil dari epsilon.
2) Aspek penjelasan definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿. ST menjelaskan definisi
lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah diberikan bilangan epsilon bilangan real positif terdapat
delta bilangan positif yang berpadanan sehingga jika jarak 𝑎 dengan 𝑥 lebih
besar nol dan kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kecil dari epsilon.
3) Aspek penjelasa definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST menjelaskan definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) =
𝐿 adalah untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan
positif sehingga jika jarak antara 𝑥 dan 𝑎 lebih besar nol dan kecil dari delta
maka jarak 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kecil dari epsilon.
4) Aspek representasi verbal definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan definisi
dengan mendeskripsikan ke dalam kalimat, yaitu untuk setiap bilangan epsilon
positif terdapat bilangan delta positif yang berpadanan dimana jika mutlak dari
𝑥 dikurang 𝑎 lebih besar dari nol dan kecil dari delta maka jarak antara 𝑓(𝑥)
dan 𝐿 kecil dari epsilon.
5) Aspek representasi verbal definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkpakan definisi
dengan mendeskripsikan ke dalam kalimat, yaitu untuk setiap epsilon positif
terdapat delta positif yang berpadanan sehingga jika 𝑎 dikurang 𝑥 lebih besar
dari nol dan kecil dari delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon.
76
6) Aspek representasi verbal definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan definisi
dengan mendeskripsikan ke dalam kalimat, yaitu untuk setiap epsilon bilangan
real positif terdapat delta bilangan real positif yang berpadanan sehingga jika 𝑥
dikurang 𝑎 lebih besar dari nol dan kecil dari delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) ke 𝐿
kecil dari epsilon.
7) Aspek representasi grafik definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan definisi
dengan menggambarkan dalam bentuk grafik fungsi, dimana jika nilai 𝑥 dekat
ke 𝑎 tetapi tidak sama dengan 𝑎 dan kurang dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿
kurang dari epsilon.
8) Aspek representasi grafik definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan definisi
dengan menggambarkan dalam bentuk grafik fungsi, dan menegaskan setiap
sebarang epsilon positif ada delta lebih besar nol sehingga jika 𝑎 kurang 𝑥
lebih besar nol dan kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon,
9) Aspek representasi grafik definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan definisi
menggambarkan dalam bentuk grafik fungsi, dan menegaskan jarak 𝑥 ke 𝑎
dari arah kanan lebih besar dari nol dan kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿
kecil dari epsilon yang diberikan.
10) Aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan definisi
dengan mendeskripiskan ke dalam simbol, yaitu untuk setiap epsilon positif
terdapat delta positif sehingga jika jarak 𝑥 ke 𝑎 lebih besar dari nol dan kecil
delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon.
77
11)Aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan
definisi dengan mendeskripsikan ke dalam simbol, yaitu untuk setiap epsilon
positif terdapat delta positif sedemikian hingga jika 𝑎 dikurang 𝑥 lebih besar
nol dan kecil delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon.
12)Aspek representasi simboldefinisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan definisi
dengan mendeskripsikan ke dalam simbol, yaitu untuk setiap epsilon positif
terdapat delta positif sedemikian hingga jika 𝑥 dikurang 𝑎 dari arah kanan
maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon.
c. Profil Konsepsi ST tentang 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐
𝒇(𝒙) = 𝑳 dengan 𝒇(𝒙) =𝒙𝟐+𝒙−𝟔
𝒙−𝟐
Berdasarkan hasil analisis data konsepsi tentang lim𝑥→2
𝑓(𝑥), diperoleh
profil konsepsi-konsepsi sebagai berikut.
1) Aspek menentukan nilai lim𝑥→2
𝑓(𝑥), ST menentukan nilai lim𝑥→2
𝑓(𝑥) dengan
cara memfaktorkan, mengcensel, teorema limit jumlahan dari dua fungsi,
dan menggunakan pengertian notasi limit fungsi, dan sifat limit fungsi,
sehingga diperoleh nilai limit sama dengan 5.
2) Aspek pengertian lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5, ST mengungkapkan arti notasi
lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5, yaitu memahami pertanyaan dengan menyebutkan
pertanyaan dengan bahasa sendiri, menyatakan ke dalam kata-kata, yaitu
ketika 𝑥 mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2, maka 𝑓(𝑥) mendekati 5.
3) Aspek penjelasan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5, ST menjelaskan definisi, ayitu
untuk setiap epsilon bilangan real positif ada delta bilangan real positif
78
sehingga jarak 𝑥 ke 2 di antara nol dan delta maka jarak fungsi 𝑓(𝑥) ke 5
kurang dari epsilon.
4) Aspek representasi verbal, ST mengungkapkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5,
dengan mendeskripsikan , yaitu untuk setiap 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga
0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 maka |𝑥2+𝑥−6
𝑥−2− 5| < 휀.
5) Aspek representasi grafik, ST mengungkapkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5
dengan menggambarkan ke dalam bentuk grafik fungsi 𝑓(𝑥) dengan 𝑥
tidak sama dengan 2, menggambar interval buka (2 − 𝛿, 2 + 𝛿) pada
sumbu X, dan menggambarkan interval buka (5 − 휀, 5 + 휀) pada sumbu Y,
lalu menyatakan untuk sebarang epsilon bilangan real positif delta bilangan
real positif sehingga jika 𝑥 sebarang anggota (2 − 𝛿, 2 + 𝛿) dan 𝑥 tidak
sama dengan 2 maka 𝑓(𝑥) dalam (5 − 휀, 5 + 휀).
6) Aspek representasi tabel, ST mengungkapkan definisi 𝑙im𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan
menyatakan nilai-nilai 𝑥 dan nilai-nilai 𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan
menyatakan untuk sebarang epsilon bilangan positif terdapat delta
bilangan positif sehingga jika jarak nilai-nilai 𝑥 ke 2 lebih besar dari nol
dan dan kecil delta maka jarak nilai-nilai 𝑓(𝑥) ke 5 lebih kecil dari epsilon.
7) Apek representasi simbol, ST mengungkapkan definisi 𝑙im𝑥→2
𝑓(𝑥) =
5 dengan mendeskripsikan, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 →
|𝑓(𝑥) − 5| < 휀, ditegaskan bahwa untuk setiap epsilon positif terdapat
delta positif sedemikian hingga jika nilai mutlak dari selisih 𝑥 dengan 2
79
besar nol dan kecil delta maka nilai mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 5 kecil
dari epsilon.
d. Profil Konsepsi ST tentang 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐−
𝒇(𝒙) = 𝑳𝟏 dan 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐+
𝒇(𝒙) = 𝑳𝟐
Berdasarkan analisis data konsepsi tentang lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 𝐿1 dan
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝐿2 maka diperoleh profil konsepsi sebagai berikut.
1) Aspek menentukan nilai lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 𝐿1, ST menentukan nilai limit dengan
cara menggunakan teorema limit dari jumlah dua fungsi, pengertian notasi
limit fungsi, dan limit fungsi konstan diperoleh nilai limit sama dengan 3.
2) Aspek menentukan nilai lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝐿2. ST menentukan nilai limit dengan
menggunakan teorema limit dari jumlah dua fungsi, penegrtian limit fungsi
identitas, dan limit fungsi konstan 2 diperoleh nilai limit kiri sama dengan 4.
3) Aspek pengertian lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 𝐿1, ST mengungkapkan arti lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3
dengan menyatakan limf(𝑥) ketika 𝑥 menuju 2 dari arah kiri sama dengan 3,
yaitu jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3 dengan syarat mengambil
nilai 𝑥 cukup dekat ke 2 dari arah kiri.
4) Aspek pengertian lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝐿2, ST mengungkapkan arti lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4
dengan menyatakan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju 2 dari arah kanan sama dengan
4, yakni jarak antara 𝑓(𝑥) dan 4 dapat dibuat sedekat mungkin dengan syarat
mengambil nilai 𝑥 cukup dekat ke 2 dari arah kanan.
80
5) Aspek penjelasan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, ST menjelaskan definisi
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan untuk setiap epsilon positif terdapat delta
positif sedemikian sehingga jika 2 dikurang x di antara nol dan delta maka
jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kecil dari epsilon.
6) Aspek penjelasan definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, ST menjelaskan definisi
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan untuk setiap epsilon bilangan resl positif
terdapat delta bilangan real positif sedemikian sehingga jika 𝑥 dikurang dengan
2 lebih besar dari nol dan kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 4 kecil dari
epsilon.
7) Aspek representasi verbal definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, ST mengungkapkan definisi
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan mendeskripsikan, yaitu untuk setiap 휀 > 0 terdapat ∃>
0 sedemikian sehingga 0 < 2 − 𝑥 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿1| < 𝜖.
8) Aspek representasi verbal definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, ST mengungkapkan definisi
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan mendeskripsikan untuk setiap 휀 > 0 terdapat ∃> 0
sedemikian sehingga 0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿2| < 𝜖.
9) Aspek representasi grafik definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, ST mengungkapkan definisi
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan menggambarkan grafik fungsi 𝑓, menetapkan titik 2
pada sumbu X, menetapkan titik 3 pada sumbu Y, menggambar interval buka
(2 − 𝛿, 2) pada sumbu X, menggambar interval buka (3 − 휀, 3) pada sumbu Y,
dan menegaskan diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta positif
81
sedemikian sehingga jika selisih 2 dengan 𝑥 dari kiri kecil dari delta maka
jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kecil dari epsilon.
10) Aspek representasi grafik definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, ST mengungkapkan definisi
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan menggambarkan grafik fungsi 𝑓, menetapkan titik 2
pada sumbu X, menetapkan titik 4 pada sumbu Y, menggambar interval buka
(2, 2 + 𝛿) pada sumbu X, menggambar interval buka (4, 4 + 휀) pada sumbu Y,
dan menegaskan diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta positif
sedemikian sehingga jika selisih 2 dengan 𝑥 dari kiri besar dari ol dan kecil
dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kecil dari epsilon.
11) Aspek representasi tabel definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, ST mengungkapkan definisi
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan beberapa nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 dari kiri
dan nilai-nilai 𝑓(𝑥) yang diperoleh dari hasil subtitusi nilai 𝑥 ke persamaan
𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan menegaskan jika nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 dari arah
kiri maka nilai mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 3 kecil dari epsilon.
12) Aspek representasi tabel definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, ST mengungkapkan definisi
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 menyatakan beberapa nilai 𝑥 mendekati 2 dari arah dari kanan,
nilai-nilai 𝑓(𝑥) yag diperoleh dari subtitusi nilai 𝑥 ke 𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan
menegaskan jika nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 dari arah kanan maka nilai mutlak
dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 4 kecil dari epsilon.
13) Aspek representasi simbol definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, ST mengungkapkan
definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0
∃𝛿 > 0 ∋ 0 < 2 − 𝑥 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 3| < 휀.
82
14)Aspek representasi simbol lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, ST mengugkapkan definisi
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋
0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 4| < 휀.
2. Profil Konsepsi SR tentang Limit Funsgsi
a. Profil Konsepsi SR tentang Notasi Limit Fungsi
Berdasarkan analisis data konsepsi tentang arti notasi limit fungsi,
maka diperoleh konsepsi disajikan sebagai berikut.
1) Aspek pengertian notasi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mengungkapkan pengertian
notasi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah 𝑥 mendekati 𝑎, tetapi tidak sama dengan 𝑎
𝑓(𝑥) mendekati 𝐿.
2) Aspek engertian notasi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mengungkapkan pengertian
lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka 𝑓(𝑥) mendekat
ke 𝐿.
3) Aspek engertian notasi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mengungkapkan pengertian
lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kanan 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿.
b. Profil Konsepsi SR tentang Definisi Limit Fungsi
1) Aspek penjelasan definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, penjelasan SR tentang definisi
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta
bilangan real positif sehingga jarak antara 𝑥 dan 𝑎 di antara nol dan delta
maka jarak antara 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kurang dari epsilon.
83
2) Aspek penjelasan definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, penjelasan SR tentang definisi
lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah untuk setiap epsilon bilangan real positif ada delta
positif sedemikian hingga jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥
mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon.
3) Aspek penjelasan definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, penjelasan SR tentang definisi
lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah untuk setiap epsilon bilangan positif ada delta
positif sedemikian hingga jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥
mendekati 𝑎 dari sebelah kanan maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon.
4) Aspek reprentasi verbal definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mendeskripsikan definisi
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 ke dalam kalimat, yaitu untuk setiap epsilon bilangan positif
ada delta positif sehingga nilai mutlak 𝑥 dikurang 𝑎 di antara nol dan delta
maka nilai mutlak 𝑓(𝑥) dikurang 𝐿 kurang dari epsilon.
5) Aspek reprentasi verbal definisi li𝑚𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mendeskripsikan
definisi li𝑚𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, yaitu untuk setiap epsilon positif terdapat delta
positif sehingga jika harga mutlak 𝑥 dikurang 𝑎 di antara nol dan delta
dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka harga mutlak 𝑓(𝑥) dikurang
𝐿 kurang dari epsilon.
6) Aspek representasi verbal definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mendeskripsikan
definisi untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga jika harga
mutlak 𝑥 dikurang 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari
sebelah kanan maka harga mutlak 𝑓(𝑥) dikurang 𝐿 kurang dari epsilon.
84
7) Aspek reprentasi grafik definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR merepresentasikan
definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menggambarkan grafik fungsi dan
menegaskan jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon asal jarak 𝑥 dengan 𝑎
besar nol dan delta.
8) Aspek representasi grafik definisi li𝑚𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR merepresentasikan
definisi li𝑚𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 ke dalam grafik fungsi dan menegaskan untuk 𝑥
mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿.
9) Aspek representasi grafik definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR merepresentasikan
definisi li𝑚𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 ke dalam grafik fungsi dan menegaskan untuk 𝑥
mendekati 𝑎 dari sebelah kanan maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿.
10)Aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mendeskripsikan
definisi lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0
∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖.
11) Aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mendekripsikan
definisi lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0
∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎−| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖.
12) Aspek reprentasi simbol definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mendeskripsikan
definisi lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 >
0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎+| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.
c. Profil Konsepsi SR tentang 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐
𝒇(𝒙) = 𝑳 dengan 𝒇(𝒙) =𝒙𝟐+𝒙−𝟔
𝒙−𝟐
85
1) Aspek menentukan nilai limit fungsi, SR menentukan menentukan nilai
lim𝑥→2
𝑓(𝑥) dengan cara memfaktorkan, menyederhanakan mencoret faktor yang
sama, mensubstititusikan, sehingga diperoleh 5.
2) Aspek pengertian, SR mengungkapkan pengertian notasi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 adalah 𝑥
mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2 𝑓(𝑥) mendekati 5.
3) Aspek penjelasan definisi, SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan
menyatakan untuk setiap epsilon bilangan real positif ada delta bilangan real
positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 di antara nol dan delta maka jarak fungsi 𝑓(𝑥) ke
5 kurang dari epsilon.
4) Aspek representasi verbal, SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan
mendeskripsikan dalam bentuk kalimat, yaitu untuk setiap epsilon bilangan
positif terdapat delta positif sehingga jarak 𝑥 dan 2 di antara nol dan delta maka
jarak 𝑓(𝑥) ke 5 kurang daripada epsilon
5) Aspek representasi grafik, SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan
merepresentasikan ke dalam grafik fungsi dan menyatakan 𝑥 mendekati 2
tetapi tidak sama dengan 2 𝑓(𝑥) mendekati 5.
6) Aspek representasi tabel, SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan
mendeskripsikan nilai-nilai 𝑥 dan 𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan menyatakan 𝑥
mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2 maka 𝑓(𝑥) mendekati 5.
7) Aspek representasi simbol, SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 dengan
menyatakan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 →
|𝑥2+𝑥−6
𝑥−2− 5| < 휀.
86
d. Profil Konsepsi SR tentang 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐−
𝒇(𝒙) = 𝑳𝟏 dan 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐+
𝒇(𝒙) = 𝑳𝟐
1) Aspek menentukan nilai lim𝑥→2
_ 𝑓(𝑥) = 𝐿1, SR menentukan nilai limit kiri
dengan menetapkan persamaan fungsi 𝑓(𝑥), mensubstitusikan 𝑥 mendekati
2 dari sebelah kanan ke lim𝑥→2
_ 𝑓(𝑥) = 𝐿1 sehingga diperoleh 𝐿1 sama dengan
3.
2) Aspek menentukan nilai lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝐿2, SR menentukan nilai limit kanan
dengan menetapkan persamaan fungsi 𝑓(𝑥), mensubstitusikan 𝑥 mendekati 2
dari sebelah kanan ke lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝐿2 sehingga diperoleh 𝐿2 sama dengan 4.
3) Aspek pengertian lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, SR mengungkapkan pengertian limit kiri
dengan menyatakan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kiri f(𝑥) mendekati 3.
4) Aspek pengertian lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, SR mengungkapkan pengertian limit kanan
dengan menyatakan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4.
5) Aspek menjelaskan definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, SR mengungkapkan definisi limit
kiri dengan menyatakan untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta
bilangan real positif sehingga jika jarak antara 𝑥 dan 2 dari sebelah kiri di
antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kurang dari epsilon.
6) Aspek penjelasan definisi li𝑚𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, SR mengungkapkan definisi limit
kanan dengan menyatakan untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat
delta bilangan positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 dari sebelah kanan di antara nol dan
delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 4 kurang dari epsilon.
87
7) Aspek representasi verbal definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, SR mengungkapkan definisi
limit kiri dengan menyatakan untuk setiap 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 <
|𝑥 − 2−| < 𝛿 maka |𝑓(𝑥) − 3| < 휀, dinyatakan untuk setiap epsilon bilangan
real positif terdapat delta bilangan real positif sehingga jika jarak antara 𝑥 dan
2 dari sebelah kiri di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kurang dari
epsilon.
8) Aspek representasi verbal definisi li𝑚𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, SR mengungkapkan dengan
menyatakan untuk setiap 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑥 − 2+| < 𝛿
maka |𝑓(𝑥) − 4| < 휀, dinyatakan untuk setiap epsilon bilangan real positif
terdapat delta bilangan real positif sehingga jika jarak antara 𝑥 dan 2 dari
sebelah kanan di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 4 kurang dari epsilon.
9) Aspek representasi grafik definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, SR mengungkapkan definisi
limit kiri dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi dan menyatakan 𝑥
mendekati 2 dari kiri 𝑓(𝑥) mendekati 3.
10) Aspek representasi grafik definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, SR mengungkapkan definisi
limit kanan dengan menggambarkan ke dalam grafik fungsi dan menyatakan 𝑥
mendekati 2 dari kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4.
11) Aspek representasi tabel definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, SR mengungkapkan dengan
menyatakan nilai-nilai x mendekati 2 dari kiri dan f(x) dalam tabel dan
menyatakan 𝑥 mendekati 2 dari kiri 𝑓(𝑥) mendekati 3.
88
12) Aspek representasi tabel definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, SR mengungkapkan dengan
menyatakan nilai 𝑥 mendekati 2 dari kanan, dan 𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan
menyatakan 𝑥 mendekati 2 dari kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4.
13) Aspek representasi simbol definisi lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3, SR mengungkapkan
dengan menyatakan ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 2−| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 3| <
휀.
14) Aspek representasi simbol dari definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4, SR mengungkapkan
definisi lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 <
|𝑥 − 2∓| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 4| < 휀.
BAB VI
KESIMPULAN DAN SARAN
A.Kesimpulan
Berdasarkan hasil analisis data tentangn konsepsi subjek berkemampuan
matematikan tinggi dan subjek berkemampuan matematika rendah tentang limit
fungsi, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
1. Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Tinggi tentang Limit Fungsi
Konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi tentang notasi limit
fungsi dibagi menjadi dua aspek, yaitu (1) aspek pengertian, ST
mengungkapkan pengertian dengan menyatakan dengan kata-kata ketika 𝑥
89
mendekati 𝑎 tetapi 𝑥 tidak harus sama dengan 𝑎 maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿, (2)
aspek penjelasan definisi, ST mengungkapkan definisi limit fungsi dengan
menggunakan kalimat, (3) aspek penerapan, ST menentukan nilai limit fungsi
dengan cara memfaktorkan, mengcensel, menggunakan teorema limit jumlahan
dari dua fungsi, dan pengertian notasi limit fungsi, dan sifat limit fungsi,
sehingga diperoleh nilai limit sama dengan 5. Aspek representasi, yaitu (1)
representasi verbal, ST mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan
limit kanan dengan menyatakan ke dalam bahasa, (2)) representasi grafik, ST
mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan
merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, (3) representasi tabel, ST
mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan
menyatakan ke dalam tabel, (4) representasi simbol, ST mengungkapkan
definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan merepresentasi ke
dalam simbol.
2. Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Rendah tentang Limit
Fungsi
Konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi tentang notasi limit
fungsi dibagi menjadi dua aspek, yaitu (1) aspek pengertian, SR
mengungkapkan pengertian dengan menyatakan dengan kata-kata 𝑥 mendekati
𝑎 tetapi 𝑥 tidak harus sama dengan 𝑎 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿, (2) aspek penjelasan
definisi, SR mengungkapkan definisi limit fungsi dengan menggunakan
kalimat, (3) aspek penerapan. SR menentukan nilai limit fungsi dengan dengan
cara memfaktorkan, menyederhanakan mencoret faktor yang sama,
90
mensubstititusikan sehingga diperoleh 5. Aspek representasi, yaitu (1)
representasi verbal, SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan
limit kanan dengan menyatakan ke dalam bahasa, (2) representasi grafik, SR
mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan
merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, (3) representasi tabel, SR
mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan
menyatakan ke dalam tabel, (4) representasi simbol, SR mengungkapkan
definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan merepresentasi ke
dalam simbol.
B. Saran
Penelitian konsepsi ini difokuskan pada aspek pemahaman dan
representasi, diharapkan dapat dikembangkan pada aspek lain, yaitu aspek
pengetahuan, aspek pandangan, keyakinan. Selain itu, penelitian konsepsi dapat
juga dikembangkan pada pembelajaran matematika yang dilakukan guru atau
dosen dalam kelas. Terima kasih kepada kemenristekdikti yang telah mendanai
kegiatan penelitian disertasi doktor pada tahun 2017 .
86
BAB VI
KESIMPULAN DAN SARAN
A.Kesimpulan
Berdasarkan hasil analisis data tentangn konsepsi subjek berkemampuan matematikan
tinggi dan subjek berkemampuan matematika rendah tentang limit fungsi, maka diperoleh
kesimpulan sebagai berikut.
1. Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Tinggi tentang Limit Fungsi
Konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi tentang notasi limit fungsi
dibagi menjadi dua aspek, yaitu (1) aspek pengertian, ST mengungkapkan pengertian
dengan menyatakan dengan kata-kata ketika mendekati tetapi tidak harus sama
dengan maka ( ) mendekati , (2) aspek penjelasan definisi, ST mengungkapkan
definisi limit fungsi dengan menggunakan kalimat, (3) aspek penerapan, ST menentukan
nilai limit fungsi dengan cara memfaktorkan, mengcensel, menggunakan teorema limit
jumlahan dari dua fungsi, dan pengertian notasi limit fungsi, dan sifat limit fungsi,
sehingga diperoleh nilai limit sama dengan 5. Aspek representasi, yaitu (1) representasi
verbal, ST mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan
menyatakan ke dalam bahasa, (2)) representasi grafik, ST mengungkapkan definisi limit
fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, (3)
representasi tabel, ST mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan
dengan menyatakan ke dalam tabel, (4) representasi simbol, ST mengungkapkan definisi
limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan merepresentasi ke dalam simbol.
87
2. Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Rendah tentang Limit Fungsi
Konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi tentang notasi limit fungsi dibagi
menjadi dua aspek, yaitu (1) aspek pengertian, SR mengungkapkan pengertian dengan
menyatakan dengan kata-kata mendekati tetapi tidak harus sama dengan ( )mendekati , (2) aspek penjelasan definisi, SR mengungkapkan definisi limit fungsi
dengan menggunakan kalimat, (3) aspek penerapan. SR menentukan nilai limit fungsi
dengan dengan cara memfaktorkan, menyederhanakan mencoret faktor yang sama,
mensubstititusikan sehingga diperoleh 5. Aspek representasi, yaitu (1) representasi verbal,
SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan menyatakan ke
dalam bahasa, (2) representasi grafik, SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri,
dan limit kanan dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, (3) representasi tabel,
SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan menyatakan ke
dalam tabel, (4) representasi simbol, SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri,
dan limit kanan dengan merepresentasi ke dalam simbol.
B. Saran
Penelitian konsepsi ini difokuskan pada aspek pemahaman dan representasi,
diharapkan dapat dikembangkan pada aspek lain, yaitu aspek pengetahuan, aspek pandangan,
keyakinan. Selain itu, penelitian konsepsi dapat juga dikembangkan pada pembelajaran
matematika yang dilakukan guru atau dosen dalam kelas. Terima kasih kepada
kemenristekdikti yang telah mendanai kegiatan penelitian disertasi doktor pada tahun 2017 .
88
DAFTAR PUSTAKA
Amirali, M. (2010). “Students’Conceptions of The Nature of Mathematics and AttitudesTowards Mathematics Learning.” Journal of Research and Reflection in Educatioan.Vol 4, o 1, pp 27-41.
Anderson, Orin, W & Krathwohl, D, R. (2001). A Taxonomy for Learning Teaching andassesing. A Revision of Bloom’s Taxonomy of Educational Objectives. New York:Addion Wesley Logman, Inc.
Bartle, R. (2002). Instruction to Real Analysis, 2nd ed. John Wiley & Sons, New York.Bezuidenhout, J. (2001). Limit and Continuity: Some Conceptions of First-year Students In
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 32(4),pp 487-500.
Cetin, N. (2009). “The Performance of Undergraduate Students in The Limit Concept.”Internatonal Journal of Mathematical Educatioan in Science andTechnology.Vol.40.No.3. April 2009. Pp: 323-330.
Cormu, B. (1991). Limits.In Tall, D.(ed).Advanced Mathematical Thinking. Pp:153-166.Dordrech/Boston/London: Kluwer Academic Publiher.
Depdiknas. 2006. Standar Isi Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan: matematika SMA.Jakarta: Depdiknas.
Dooren, W, V, dkk. (2002). “The Impact of Preservice Teachers’ Concent Knowledge onTheir Evaluation of Students’ Strategies for Solving Aritmhmatic and Algenbra WordProblems.” Journal for Research in Mathematics Education. NCTM. Vol.33.No.3.November 2002.pp: 319-351.
Donmez, G & Basturk, S. (2010). Pre-service Mathematical Teachers”Knowledge ofDifferent Teaching Methods of The Limit and Continuity Concept. Prcedia Social andBehavioral Sciences. No.2. pp: 461-465.
Duru, A., Koklu, O., & Jakubowski, E. (2010). “ Pre-Sevice Mathematics Teachers’Conceptioans about The relationship between Continuity and differentiability of aFunction. Scientific Research and Essay. 5.pp.1519- 1529.
Elia, E, dkk. 2007. “Relations Between Secondary Pupils’Conceptions About Functions andProblem Solving in Differents Representations.” International Journal of Science andMathematics Education. No.5,pp: 533-556.
Friedlander A. & Tabach, M. (2001) .”Promoting Multiple Representaions in Algebra.” InCuoco, Albert A. The Role of Representation in School Mathematics 2001 YearBook. Reston, VA:NCTM
Goldin, G.A. & Shteingold, N. (2001).”System of Representation and The Development ofMathematical Concept”. In Cuaco, Albert A.(Ed).The Roles of Representation inSchool Mathematics 2001 Yearbook. Restom, VA: NCTM
Habre, S & Abboud, M. (2006). “Students’ Conceptual Understanding of a Function and itsDerivative in an Experimental Calculus Course.” Journal of Mathematics Behavior.No.25.pp 57-72.
Johansson, A. D. & Sumpter, L. (2010). Children’s Conceptions About Mathematics andMathematics Education. Diakses tanggal 22 April 2015.
Jordaan, T. (2005). “Misconceptions of The Limit Concept in Mathematics Course forIngineering Students.” Unpublished Master Thesis, University of South Africa.
Kalathil, R, R, and Sherin, M, G. (2001). Role of Students’Representations in TheMathematics Classroom. In H, Fishmain & S. O’Connor-Divelbiss (Eds), urthInternatioanl Conference of the Learning Sciences. Pp, 27-28. Mahwah, NJ:Erlbaum.
89
Katsberg, S.E. (2002). “Understanding Mathematics Concepts: The Case of the LogaristhmicFunctional.” Doctoral Dissertationa. University of Georgia.
Kataras, I, Guven, B, Cekmez, E. (2011). “A Cross-Age Study of Students’ Understanding ofLimit and Continuity Concepts.”Boletin de Educaqao Mathematica. Vol.24. No38.April 2001, pp: 245-264.
Permenristek- Dikti. (2015). Standar Nasional Pendidikan Tinggi. Jakarta: Kemenristek-DiktiPoerwadaminta, W, J, S. (1976). Kamus Umum Bahasa Indonesia. Jakarta: Balai PustakaLikwanbe, B & Christiansen, I,M. (2008). “A Case Study of the Development of In-service
Teachers’ Concept Images of the Derivative.” Journal Pythagoras.68.pp: 22-31.Lioyd, G, M. (1998). “Supporting Innovations: The Impact of A Teacher’s Conceptions of
Function on His Implementation of A Reform Curriculum.” Journal for Reseach inMathematics Education. Vol.29. No. 3.pp: 248-274.
Mastorides, E, & Zachariades, T. (2004). Secondary Mathematics Teachers’ KoowledgeConcerning the Concept of Limit and Continuity. Proceedings of the 28th Conferenceof the International Group for the Psycholoy of Mathematics Educationa. Vol 4. Pp:481-488.
Moleong, Lexy J. (2005). Metodologi Penelitian Kaulitatif. Edisi Revisi. Bandung: RemajaRosdakarya Offset.
Muhadjir, Neong.(2002). Metode Penelitian Kualitatif. Yogjakarta:Rake Surasin.NCTM. (2000). Principles and Standars for School Mathematics. Reston, VA: NCTM.Pape, S, J and Tchoshanov, M, A. (2001). The role of Representation (s) in Developing
Mathematical Understanding. Juornal Theori Into Practice. Vo. 40. No 2, pp: 118-127.
Sfard, A. (1991). On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Reflections on Processesand Objects as Different Sides of The Same Coin. Educational Studies inMathematics, 22.pp 1-36.
Shulman, L.S. (1986). Those who Understand: Knowledge Growth in Teaching. EducationalResearcher, No.15.pp: 4 -14.
Skemp, R. (1987). The Psychology of Learning Mathematics. Expand American Edition.New Jersey: Laewrence Associated Publishers.
Soedjadi, R. (2000). Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia, Konstalasi Keadaan MasaKini Menuju Harapan Masa Depan. Jakarta: Dirjen Dikti. Depdiknas.
Solso, R,L, Maclin, O.H dan Maclin, M.K. (2002). Psikologi Kognitif EdisiKedelapan.Erlangga: Jakarta.
Star, J.R & Hoffmann, A.J. (2002). Assesing Students’ Conceptions of Reform Mathematics.In Mewborn, D., Sztajn, P., White, D., Wiegel, H., Bryant, R., & Nooney, K.(Eds),Proceeding of the twenty-fourth annual meeting of the North American chapter of theInternational Group for the Psychology of Mathematics Education.pp 1729-1732.
Steele, D,F & Widman, T, F. (1997). Practitioner’s Research: A Study in ChangingPreservice Teachers’ Conceptions About Mathematics and Mathematics Teacher andLearning. Journal International School Science and Mathematics.Vol 97 (4). April1997.pp 184-191.
Sternberg, R,J. (2008). Psikologi Kognitif. Edisi Keempat. Jogjakarta: Pustaka Pelajar.Robbins, S.P and Judge, T.A .(2008). Perilaku Organisasi Buku I. Jakarta: Salemba Empat.Roh, K, H. (2008). Students’ Images and Their Undersrstanding of Definitions of The Limit
of a Sequence. Educ Stud Math. 69. Pp: 217-233.Tall, D., & Vinner, S. (1981). “Concept image and concept definition in mathematics with
particular reference to limits and continuity.” Published in Educational Studies inMathematics, 12 (2), 151-169.
90
Tall, D. (1988). “Concept Image and Concept Definition.” Senior Secondary MathematicsEducation, (ed.Jan de Lange, Michiel Doorman), OW & OC Utrescht, 37-41.
Tall, D. (1992). The Transition to advanced Mathematical Thinking: Functions, Limits,infinity and Proof In Grouws, DA (ed). Handbook of Research on MathematicsTeaching and Learning. New York: McMillan:
Thompson, A, G. (1992).” Teachers’Beliefs and Conceptionas: A Synthesis of TheResearch”. Grouws, (Ed). Handbook of Research on Mathematics Teaching andLearning (pp.65-97).New York:McaMillan.
Varberg, D, dkk. (2007). Kalkulus Jilid 1 Edisi Kesembilan. Erlangga: Jakarta.Vinner, S. (1991). “The Role of Definitions in The Teaching and Learning of Mathematics”.
In D.Tall (Ed), Advanced mathematical thinking (pp.65-81), Dordrecht: KluwerAcademic Publishers.
Williams, SR. 1991. “Models of Limit held by College Calculus Students”. In Journal forReseatch in Mathematics Education. 22(3). pp 219-236.
Zaslavsky, O & Shir, K. (2005). “Students’ Conceptions of a Mathematical Definition.”Journal for Research in Mathematics Education, Vol.36.No.4, pp 317-346.
EVALUASI ATAS CAPAIAN LUARAN KEGIATAN
Ketua : Usman, S.Pd, M.Pd
Perguruan Tinggi : Universitas Syiah Kuala
Judul : Konsepsi Mahasiswa Calon Guru tentang Limit Fungsi Ditinjau dariKemampuan Matematika
Waktu Kegiatan : tahun ke 1 dari rencana 1 tahun
Luaran yang direncanakan dan capain tertulis dalam proposal awal:
No Luaran yang Direncanakan Capaian1 Artikel seminar nasional Sudah di cetak (100%)2 Artikel Proseding Konferensi Internasional Sudah keluar (100%)3 Artikel jurnal nasional Draf (50%)4 Artikel jurnal Internasional Draf (50%)
1.PUBLIKASI ILMIAH
Artikel Jurnal KeteranganNama jurnal yang dituju IEJME-MATHEMATICSEDUCATIONKlasifikasi jurnal Jurnal InternasionalImpact factor Jurnal 0,75 (Q4)Judul artikel Profil Konsepsi Mahasiswa Calon Guru tentang Limit
Fungsi Ditinjau dari Kemampuan MatematikaStatus naskahDraf artikel DrafSudah dikirim ke jurnal BelumSedang ditelaahSedang direvisiSedang direvisiRevisi sudah dikirim ulangSudah diterimaSudah diterbit
2.BUKU AJAR
BukuJudul :PenulisPenerbit:
3.PEMBICARA PADA TEMU ILMIAH (SEMINAR/SIMPOSIUM)
Temu Ilmiah Ke 1 Nasional InternasionalJudul Makalah Differences Conception Prospective Students
Teacher About Limit of Function Based GenderNama temu Ilmiah International Conference on Mathematics Pure,
Apllied, ComputationTempat Pelaksanaan Institut Teknologi Surabaya (ITS) Surabaya-Draf makalah Sudah-Sudah dikirim Sudah-Sedang direview Sudah-Sudah dilaksanakan SudahTemu Ilmiah Ke 2Judul Makalah Explorating the Conception of Prospective
Students Teacher about Limit of FunctionNama temu Ilmiah The 4th International Conference on Research,
Implementation anda Educatioan ofMathematics and Science 2017
Tempat Pelaksanaan FMIPA Universitas Negeri Yogjakarta (UNY)Yogjakarta
-Draf makalah Sudah-Sudah dikirim Sudah-Sedang direview Sudah-Sudah dilaksanakan Sudah
4.SEBAGAI INVITED SPEAKER
Nasional InternaionalBukti undangan daripanitia
- -
Judul makalah - -Penulis - -Penyelenggara - -Tempat Pelaksanaan - -Draf makalah - -Sudah dikirim - -Sedang dikirim - -Sudah dilaksanakan - -
5. UNDANGAN SEBAGAI VISITING SCIENTIST PADA PERGURUAN TINGGILAIN
Nasional InternaionalBukti undangan daripanitia
- -
Judul makalah - -Penulis - -Penyelenggara - -
6. CAPAIAN LUARAN LAINNYA
HKI -TEKNOLOGI TEPAT GUNA -REKAYASA SOSIAL -JEJARING KERJA SAMA -PENGHARGAAN -LAINNYA -
Jika luaran yang direncanakan tidak tercapai, uraikan alasannya,Ada satu keluaran penelitian yang tidak bisa dicapai pada tahun 2017, yaitu buku ajar.
Peneliti tidak bisa menyelesaikan draf keluaran tersebut dengan alasan sedang dan akan
mempersiapkan Draf Disertasi Doktor, ujian tertutup, dan ujian terbuka. Dengan
pertimbangan alasan tersebut penulis tidak memenuhi keluaran penelitian yang sudah
direncanakan dalam proposal sebelumnya. Demikian deskripsi ini disampaikan.
Banda Aceh, 25 Oktober 2017
Ketua,
Usman, S.Pd, M.Pd
1
Draf Artikel Jurnal Nasional
ANALISIS ASPEK–ASPEK KONSEPSI MAHASISWA CALON GURUMATEMATIKA TENTANG LIMIT FUNGSI : STUDI KASUS RM
OlehUsman
Universitas Syiah Kuala,Banda Aceh, email: [email protected] Juniati
Universitas Negeri Surabaya, Indonesia, email: [email protected] Yuli Eko Siswono
Universitas Negeri Surabaya, Indonesia, email: [email protected]
ABSTRAK: Salah satu permasalahan dalam pembelajaran matematika di perguruan tinggiadalah kondisi konsepsi limit fungsi yang lemah. Sejalan dengan permasalahan itu, dilakukanpenelitian bertujuan untuk mengekplorasi aspek –aspek konsepsi tentang limit fungsi.Penelitian ini menggunakan metode penelitian kualitatif eksploratif dengan metode tugasberbasis wawancara. Subjek penelitian adalah mahasiswa pendidikan matematika UniversitasSyiah Kuala yang telah menempuh kuliah semester V dengan alasan mahasiswa tersebut telahmemperoleh pengalaman mengikuti perkuliahan kalkulus dan Analisis Real. Instrumenpenelitian adalah intrumen utama adalah peneliti dan intrumen bantu adalah tes kemampuanmatematika, tes konsepsi, dan wawancara. Pemilihan subjek didasarkan pada hasil teskemampuan matematika yang dikelompokkan dalam kelompok tinggi dan rendah. Analisisdata dilakukan dengan cara mereduksi data, paparan data, mengintepretasi, danmenyimpupakan slkan. Hasil analisis data diperoleh RM mempunyai konsepsi limit fungsiyang meliputi pemahaman, yaitu pengertian, penjelasan, penerapan, dan representasi, yaituverbal, grafik, dan simbol.
Kata kunci: Konsepsi, Pemahaman, Representasi, Limit Fungsi
PENDAHULUANLimit fungsi merupakan konsep dasar dalam kalkulus dan matematika analisis.
Ervynck (1981) menjelaskan bahwa limit fungsi merupakan konsep dasar untuk memahami
konsep-konsep di dalam kalkulus dan analisis real. Sejalan dengan pendapat itu,Cetin (2009:
323) menyatakan bahwa limit fungsi merupakan salah satu konsep dasar dan mempunyai
peran penting dalam membangun konsep lain dalam kalkulus, seperti kekontinuan fungsi,
turunan, dan integral. Menurut Swinyard and Larsen (2012), definisi formal limit fungsi di
suatu titik adalah lim→ = jika untuk setiap > 0 terdapat > 0 sedemikian sehingga0 < | − | < → | − | < merupakan dasar bagi mahasiswa belajar matematika
formal, kekontinuan fungsi, turunan fungsi, integral dan deret Taylor. Dengan demikian, limit
fungsi merupakan salah satu konsep dasar kalkulus dan analisis real untuk memahami konsep
kekontinuan fungsi, turunan fungsi, dan integral.
2
Namun demikian, salah satu permasalahan pembelajaran matematika di perguruan
tinggi adalah kondisi konsepsi tentang suatu konsep atau keterampilan menyelesaikan
masalah yang masih lemah. Lemahnya konsepsi yang dimiliki mahasiswa terhadap suatu
konsep ditandai kesulitan mahasiswa mengungkapkan kaitan suatu konsep dan konsep lain,
kesulitan mengungkapkan suatu konsep ke dalam berbagai bentuk representasi. Hal ini sesuai
pertanyaan Davis dan Vinner (1981) yang menyatakan bahwa mahasiswa kesulitan dalam
menjelaskan mengapa limit fungsi merupakan konsep dasar dalam Kalkulus. Selanjutnya,
mahasiswa kesulitan mengungkapkan gagasan secara bermakna peran limut fungsi dalam
Kalkulus, dan kesulitan mengungkapkan hubungan antara pengetahuan limit fungsi,
kekontinuan, turunan, dan integral. Oleh karena itu, penelitian tentang konsepsi penting
diteliti oleh pengajar atau dosen, untuk mengetahui kondisi konsepsi yang dimiliki
mahasiswa dalam pikiran terhadap suatu konsep matematika.
Sejalan dengan itu, Roh (2008) menegaskan bawha penelitian konsepsi tentang limit
fungsi merupakan salah satu topik penting dalam penelitian pendidikan matematika.
Bezuidenhout (2001) menegaskan bahwa mahasiswa yang mempunyai konsepsi suatu konsep
berarti mahasiswa tersebut menunjukkan mampu mengungkapkan dengan berbagai cara atau
bentuk kaitan antarkonsep secara bermakna. Jadi, peran pendidik atau dosen di perguruan
tinggi membimbing mahasiswa untuk mengungkapkan secara bermakan kaitan antara
pengetahuan yang lama dan pengetahuan baru.
Beberapa penelitian tentang konsepsi limit fungsi telah dilakukan oleh peneliti-
peneliti sebelumnya. Sebagai contoh, Duru (2010) telah melakukan penelitian tentang
konsepsi tentang limit fungsi, kekontinuan fungsi, dan kaitan keduanya. Penelitian ini
difokuskan pemahaman mahasiswa calon guru matematika. Bezuidenhout (2001) melakukan
penelitian tentang konsepsi mahasiswa tentang limit fungsi dan kekontinuan pada kalkulus.
Bezuidenhout mengembangkan konsepsi didasarkan pada teori konstruktivis dan teori
bayangan konsep. Oleh katena itu, penelitian konsepsi mahasiswa tentang limit fungsi
penting ditelisi agar dosen memperoleh gambaran konsepsi yang dimiliki mahasiswa
terhadap suatu konsep limit fungsi tersebut.
Mahasiswa pendidikan matematika merupakam suatu kelompok mahasiswa yang
dididik untuk menjadi calon guru matematika. Penelitian tentang konsepsi mahasiswa
terhadap konsep matematika penting diteliti agar dosen memperoleh gambaran kondisi
konsepsi tentang suatu konsep yang dmiliki oleh seorang mahasiswa. Konsepsi tentang suatu
konsep yang dimiliki mahasiswa calon guru akan berdampak pada pelaksanaan pembelajaran
yang akan dilaksakan kelak ketika menjadi guru. Jika mahasiswa mempunyai konsepsi
3
tentang suatu konsep matematika maka mahaiswa tersebut kelak menjadi guru, akan lebih
mudah membimbing siswa membangun pengetahuan dalam pikirannya, melalui aktivitas
penyajian konsep, kaitan antar konsep, serta penyajian konsep dengan berbagai bentuk
representasi. Dengan penyajian konsep dalam berbagai representasi maka siswa akan lebih
mudah mengasimilasi dan akomodasi pengetahun yang dimilikinya dengan pengetahuan baru
sehingga belajar siswa lebih bermakna.
Konsepsi merupakan suatu kondisi struktur kognitif seorang individu dalam pikiran
terhadap konsep matematika setelah merespon suatu permasalahan. (Usman, 2017). Aspek
konsepsi meliputi pemahaman dan representasi. Oleh karena itu, perlu ditelusuri aspek-aspek
konsepsi tentang limit fungsi pada mahasiswa calon guru matematika. Sejalan dengan itu,
tujuan penelitian ini adalah untuk mendeskripsikan aspek-aspek konsepsi khusus pada aspek
pemahaman dan representasi.
KAJIAN LITERATURKonsepsi merupakan suatu kondisi struktul mental seorang individu ketika merespon
suatu permasalahan. Sfad (1991) mendefinisikan konsepsi sebagai keseluruhan representasi
internal dan asosiasi-asioasi dari konsep yang dibangun dalam pikiran seseorang.Representasi
yang dimaksud adalah representasi struktural yang meliputi verbal dan simbolik, sedangkan
presentasi operasional meliputi grafik dan aljabar. Lioyd (1998) mendefinisikan konsepsi
didasarkan pada struktur mental umum seorang individu meliputi pengetahuan, keyakinan,
pemahaman, pilihan, dan lainnya. Jadi, konsepsi merupakan struktur mental seorang individu
ketika merespon suatu permasalahan yang meliputi pemahaman dan representasi.
Sejalan dengan teori pemahaman, Skemp (1987) mengkategori pemahaman menjadi
tiga, yaitu pemahaman instrumental, relasional, dan formal. Pemahaman instrumen adalah
kemampuan seorang individu menerapkan suatu konsep atau prosedur yang diingat sesuai
dengan pemecahan masalah tetapi tidak mengetahui mengapa konsep atau prosedur itu
digunakan. Pemahaman relasional adalah kemampuan seorang individu menghubungkan
konsep atau aturan atau prosedur matematika yang khusus ke yang lebih umum. Pemahaman
formal adalah kemampuan menghubungkan simbol-simbol matematika dan notasi dengan
ide-de matematika yang relavan dan menggabungkan ide-ide tersebut ke dalam rantai
penalaran logis.
Hiebert dan Carpenter (1992) menjelaskan pemahaman matematika adalah gagasan,
prosedur, fakta dalam matematika dipahami jika ia mampu membangun jaringan internal.
Lebih khusus, matematika dikatakan dipahamai oleh seorang individu jika mampu
membangun representasi mental. Aderson dan Krathwohl (2001:p67) menjelaskan bahwa
4
proses-proses kognitif yang diasosiakan dengan istilah memahami adalah seseorang
dikatakan memahami sesuatu jika ia mampu mengkonstruksi pengertian dari pesan-pesan
yang disampaikan baik secara lisan maupun tulisan atau dengan grafik. Lebih lanjut, Aderson
menjelaskan beberapa aktivitas proses kognitif yang diasosiakan dengan memahami, yaiti
intepretasi, menjelaskan dengan contoh, mengklarifikasi, merangkum, merumuskan
kesimpulan, membandingkan, dan menjelaskan dengan mengungkapkan sebab akibat.
Menurut Goldin (2001), representasi merupakan bentuk-bentuk yang mengambarkan
suatu konsep matematika. Lebih lanjut dijelaskan, representasi dibagi dua, yaitu representasi
internal dan eksternal, Representasi internal adalah verbal, imagistik, formal notasional, dan
strategi, sedangkan eksternal adalah bentuk formal dan notasional, spasial–visual, verbal.
Friendiander dan Tabach (2001) mengelompokkan representasi menjadi empat, yaitu verbal,
numerik, grafik, dan aljabar.
Berdasarkan uraian beberapa pendapat ahli, diperoleh aspek konsepsi yang diteliti
dalam penelitian ini adalah pemahaman dan representasi. Deskripsi aspek-aspek pemahaman
dan representasi disajikan dalam tabel berikut.
Tabel ADeskripsi Aspek Konsepsi Limit Fungsi
Aspek Konsepsi Subaspek Konsepsi Deskripsi
Understanding
Pengertian: ungkapan seorangindividu tentang notasi suatukonsep matematikadalam bentukkata-kata, grafik atau sebaliknyabaik secara lisan maupun tulisanyang dideskripsikan oleh seorangindividu sebagai arti dari notasisuatu konsep
Ungkapan-ungkapan mahasiswa tentang notasilimit fungsi dinyatakan dalam bentuk kata-kata,grafik/ilustrasiUngkapan mahasiswa tentang arti notasi limit kiridinyatakan dalam bentuk kata-kata,grafik/ilustasiUngkapan mahasiswa tentang arti notasi limitkanan dinyatakan dalam bentuk kata-kata,grafik/ilustrasi
Menjelaskan: ungkapan-ungkapanseorang individu tentang suatukonsep baik dalam bentuk kata-kata, gambar, lisan yangdideskripsikan oleh seseorangsebagai bentuk sebab akibat darisuatu konsep matematika
Ungkapan-ungkapan mahasiswa tentang definisilimit fungsi yang dinyatakan dalam bentuk kata-kata, gambar, lisan sebagai bentuk sebab akibatUngkapan-ungkapan mahasiswa tentang definisilimit kiri yang dinyatakan dalam bentuk kata-kata, gambar, ucapan konsep lainnya sebagaisebab akibatUngkapan-ungkapan mahasiswa tentang definisilimit kanan yang dinyatakan dalam bentuk kata-kata,grafik, ucapan konsep lainnya sebagai sebabakibat
Penerapan: ungkapakan-ungkapanseorang individu tentangpenggunaan suatu konsep/definisi,sifat atau metode, atau alasan-alasan penggunaannya yangdideskripsikan dalam bentuklisan,tulisan dalam menyelesaikansuatu masalah matematika.
Ungkapan-ungkapan mahasiswa tentangpenggunakan suatu konsep, sifat atau metodedalam limit fungsi, dan alasan-alasannya dalambentuk kata-kata, simbol, gambar, grafik dalammenyelesaikan soal-soal limit fungsi.
RepresentasiRepresentasi verbal: ungkapan-ungkapan suatu konsep dalam
Ungkapan-ungkapan mahasiswa tentang definisilimit fungsi, limit kiri, limit kanan dalam bentuk
5
bentuk kata-kata baik secara lisanmaupun tulisan yangdideskripsikan oleh seorangindividu sebagai bentuk suatukonsep matematika
kata-kata baik lisan maupun tulisan yangdideskripsikan oleh mahasiswa sebagai bentukdefinisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan.
Representasi grafik: ungkapan-ungkapan suatu konsep dalambentuk grafik dan unsur-unsurnyayang ditampilkan sebagai bentukkonsep matematika
Ungkapan-ungkapan mahasiswa tentang definisilimit fungsi, limit kiri, limit kanan dalam bentukgrafik dan unsur-unsurnya yang ditampilkansebagai bentuk definisi limit fungsi, limit kiri,limit kanan
Representasi tabel: ungkapan-ungkapan suatu konsep dalamtabel dan unsur-unsurnya yangdideskripsikan oleh seorangindividu sebagai bentuk konsepmatematika
Ungkapan-ungkapan mahasiswa tentang definisilimit fungsi, limit kiri, limit kanan dalam tabeldan unsur-unsurnya yang ditampilkan sebagaibentuk definisi limit fungsi, limit kiri, dan limitkanan
Representasi simbol: ungkapan-ungkapan suatu konsep dalamsimbol dan unsur-unsurnya yangdideskripsikan oleh seorangindividu sebagai bentuk konsepmatematika
Ungkapan-ungkapan mahasiswa tentang definisilimit fungsi, limit kiri, limit kanan dalam bentuksimbol yang dideskripsikan oleh mahasiswasebagau bentuk definisi limit fungsi, limit kiri,dan limit kanan
Dari deskripsi aspek-aspek konsepsi dan subaspek konsepsi, akan dianalisis
menganalisis data-data penelitian baik dalam bentuk lisan maupun tulisan.
METODE PENELITIANPenelitian ini merupakan penelitian kualititatif eksploratif. Subjek penelitian adalah
mahasiswa semester V Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan Universitas Syiah Kuala Banda Aceh Indonesia tahun akademik 2013. Instrumen
penelitian adalah tes kemampuan matematika (TKM), tes konsepsi limit fungsi, dan pedoman
wawancara. Ketiga intrumen tersebut telah diuji validitas oleh ahli. Kisi-kisi tes kemampuan
matematika disajikan pada tabel berikut.
Setelah intrumen tes validasi oleh ahli, kemudian digunakan tes kemampuan
matematika pada pelaksanaan tes yang diikuti sebanyak 64 orang mahasiswa. Setelah
dilakukan koreksi terhadap jawaban hasil kerja mahasiswa diperoleh skor kemampuan
matematika yang dikelompokkan menjadi tiga kelompok, yaitu kelompok kemampuan tinggi
dengan skor : 80 < ≤ 100, kemampuan sedang dengan skor : 60 < ≤ 80, dan
kemampuan rendah dengan skor: 0 < ≤ 60. Berdasarkan skor tersebut subjek yang dipilih
dalam penelitian ini adalah mahasiswa dari kelompok kemampuan tinggi dan kemampuan
rendah, masing-masing sebanyak 1 orang. Keempat subjek tersebut diberi label, masing-
masing, yaitu S01 sebagai label subjek berkemampuan tinggi kedua, S02 sebagai label subjek
berkemampuan matematika rendah. Kedua subjek tersebut diberikan tes konsepsi berbasis
tugas dan wawancara tentang limit fungsi.
6
Analisis data dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah, yaitu menelaah data,
memeriksa data, reduksi data, memaparkan dan menafsirkan data, serta menarik kesimpulan
(Miles dan Huberman, 2014). Data yang dianalisis adalah data hasil tes yang berupa
tulisan,ucapan-ucapan dari jawaban wawancara.
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASANBerdasarkan hasil tes dan wawancara, dilakukan analisis terhadap data-data aspek
konsepsi, yaitu pemahaman dan representasi. Deskripsi analisis aspek konsepsi disajikan
sebagai berikut.
1. Aspek Pemahaman Notasi → , → , →a. Pengertian → , → , →
Dari pertanyaan pertama yang diajukan pada subjek RM terkait dengan pengertian
notasi lim→ , RM merespon pertanyaan dengan mengungkapkan sebagai berikut.
Dari ungkapan tulisan arti notasi limit fungsi, RM menjawab pertanyaan wawancara
dengan menyebutkan ketika mendekati maka mendekati . Maksud “ mendekati
“ dijelaskan oleh RM, yaitu nilai-nilai mendekati maka mendekati . Dari data-data
tulisan dan wawancara menunjukkan RM mengungkapkan pengertian lim→ , yaitu
ketika mendekati maka mendekati . Jadi, RM mengungkapkan pengertianlim→ dengan menyatakan dalam bentuk kata-kata.
Dari pertanyaan kedua yang diajukan pada RM terkait dengan pengertianlim→ , RM merespon pertanyaan dengan mengungkapkan sebagai berikut.
Dari ungkapan tulis arti notasi limit kiri, SRM menjawab pertanyaan wawancara
dengan menyebutkan ketika mendekati dari sebelah yang lebih kecil dari maka
mendekati . Maksud “ mendekati dari sebelah yang kecil dari “ dijelaskan oleh RM,
yaitu nilai-nilai dibelah kiri mendekati maka mendekati . Dari data-data tulisan
dan wawancara menunjukkan RM mengungkapkan pengertian lim→ , yaitu ketika
7
mendekati dari sebelah kiri maka mendekati . Jadi, RM mengungkapkan pengertianlim→ dengan menyatakan dalam bentuk kata-kata.
Dari pertanyaan ketiga yang diajukan pada RM terkait dengan pengertianlim→ , RM merespon pertanyaan dengan mengungkapkan sebagai berikut.
Dari ungkapan tulis arti notasi limit kanan, selanjutnya RM menjawab pertanyaan
wawancara dengan menyebutkan ketika mendekati dari kanan maka mendekati .
Maksud “ mendekati dari kanan “ dijelaskan oleh RM, yaitu nilai-nilai yang dpilih dari
sebelah kanan , mendekati maka mendekati . Dari data-data tulisan dan wawancara
menunjukkan RM mengungkapkan pengertian lim→ yaitu ketika mendekati
dari sebelah kanan maka mendekati . Jadi, RM mengungkapkan pengertianlim→ dengan menyatakan dalam bentuk kata-kata.
Dari analisis data tulisan dan wawancara, diperoleh bahwa RM mengungkapkan
pengertian lim→ dengan menyatakan dalam bentuk kata-kata, lim→ dengan
menyatakan dalam bentuk kata-kata, dan lim→ dengan menyatakan dalam bentuk
kana-kata. Temuan ini didukung oleh temuan penelitian Bezuidenhout (2001) bahwa
mahasiswa calon guru mengungkapkan pengertian limit fungsi di suatu titik adalah
mendekati.
b. Aspek Penjelasan Definisi → , → , →Dari pertanyaan wawancara yang diajukan pada RM terkait dengan penjeleasan
definisi lim→ , RM mengungkapkan, yaitu diberikan sebarang epsilon anggota
bilangan real positif dapat delat bilangan real positif sedemikian hingga jarak antara
dan kecil dari epsilon asal jarak antara dan lebih dari nol dan kecil dari delta. Dari data
wawancara menunjukkan RM menjelaskan definisi lim→ dengan menegaskanlim→ jika diberikan sebarang epsilon anggota bilangan real positif dapat delta
bilangan real positif sedemikian hingga jarak antara dan kecil dari epsilon asal jarak
antara dan lebih dari nol dan kecil dari delta. Jadi, RM menjelaskan definisi lim→dengan menyebutkan diberikan sebarang epsilon anggota bilangan real positif dapat delta
8
bilangan real positif sedemikian hingga jarak antara ( ) dan kecil dari epsilon asal jarak
antara dan lebih dari nol dan kecil dari delta maka L adalah lim→ ( ).Dari pertanyaan wawancara yang diajukan pada RM terkait penjelasan definisilim→ = , RM mengungkapkan, yaitu diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta
positif sehingga jarak dari selisih ( ) dengan kecil deri epsilon asal selisih dengan
lebih dari nol dan kecil dari delta. Dari data wawancara menunjukkan RM menjelaskan
definisi lim→ = dengan menegaskan adalah lim→ ( ) jika diberikan sebarang
epsilon anggota bilangan real positif dapat delta bilangan real positif sedemikian hingga
jarak antara ( ) dan kecil dari epsilon asal jarak antara dan lebih dari nol dan kecil
dari delta. Jadi, RM menjelaskan definisi dengan menyatakan jika diberikan sebarang epsilon
anggota bilangan real positif dapat delta bilangan real positif sedemikian hingga jarak antara( ) dan kecil dari epsilon asal jarak antara dan lebih dari nol dan kecil dari delta
maka L adalah lim→ ( ).Dari pertanyaan wawancara yang diajukan pada RM terkait penjelasan definisilim→ = , RM mengungkapkan, yaitu diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta
positif sehingga jarak dari selisih ( ) dengan kecil deri epsilon asal selisih dengan
lebih dari nol dan kecil dari delta. Dari data wawancara menunjukkan RM menjelaskan
definisi lim→ = dengan menegaskan adalah lim→ ( ) jika diberikan sebarang
epsilon anggota bilangan real positif dapat delta bilangan real positif sehingga jarak dari
selisih ( ) dengan kecil dari epsilon asal jarak antara dan lebih dari nol dan kecil dari
delta. Jadi, RM menjelaskan definisi limit dengan menyatakan merupakan lim→ ( ) jika
diberikan sebarang epsilon anggota bilangan real positif dapat delta bilangan real positif
sehingga jarak selisih ( ) dengan kecil dari epsilon asal jarak antara dan lebih dari
nol dan kecil dari delta.
Dari anaslisi data diperoleh penjelasan definisi lim→ = adalah L merupakanlim→ ( ) jika diberikan sebarang epsilon anggota bilangan real positif dapat delta bilangan
real positif sehingga jarak selisih ( ) dengan kecil dari epsilon asal jarak selisih dengan
lebih dari nol dan kecil dari delta. RM menjelaskan definisi lim→ = , yaitu
merupakan lim→ ( ) jika diberikan sebarang epsilon anggota bilangan real positif dapat
delta bilangan real positif sehingga jarak selisih ( ) dengan kecil dari epsilon asal selisih
dengan lebih dari nol dan kecil dari delta. Sedangkan penjelasan RM tentang definisi
9
lim→ = , yaitu merupakan lim→ ( ) jika diberikan sebarang epsilon anggota
bilangan real positif dapat delta bilangan real positif sehingga jarak selisih ( ) dengan
kecil dari epsilon asal selisih dengan lebih dari nol dan kecil dari delta. Temuan ini
didukung temuan penelitian Swinyard (2011:112) yang menyatakan subjek mempunyai
pemahaman secara koheren dalam mengungkapkan definisi − limit fungsi.
c.Aspek PenerapanDari pertanyaan yang diajukan pada RM terkait dengan menentukan nilailim→ = dengan = , RM melakukan pemfaktoran dari bentuk kuadrat,
mengkencel faktor yang sama di pembilang dan penyebut dengan alasan penyebut tidak sama
dengan nol, dan menggunakan metode substitusi, yaitu x mendekati 2 maka ( ) mendekati
5, sehingga diperoleh nilai limit sama dengan 5. Sedangkan pertanyaan kedua terkait
menentukan nilai lim→ − = dan lim→ = dengan = + 2, ≥ 2+ 1, < 2,RM menentukan nilai lim→ − = dengan mensubstitusikan mendekati 2 dari kiri
sehingga diperoleh 2, dan mensubtitusikan mendekati 2 dari kanan, diperoleh ( )mendekati 3. Dari analisis data menunjukkan RM menentukan nilai limit fungsi dengan
menerapkan metode memfaktorkan, mencoret faktor yang sama dipembilang dan penyebut
dengan alasan tidak sama dengan nol, mensubtitusi.
2.Aspek Representasi Definisi → = , → = , → =Dari pertanyaan pertama yang diajukan pada RM terkait dengan representasi definisilim→ = , lim→ = , lim→ = , RM mengungkapkan sebagai berikut.
Gambar 01
Gambar 02
Gambar 03
10
Dari jawaban tulisan definisi limit fungsi (Gambar 01), selanjutnya RM menjawab
pertanyaan wawancara dengan menyebutkan diberikan sebarang epsilon anggota bilangan
real positif dapat delta bilangan real positif sedemikian hingga jarak antara dan kecil
dari epsilon asal jarak antara dan lebih dari nol dan kecil dari delta. Dari jawaban tulisan
dan wawancara menunjukkan RM merepresentasikan definisi limit fungsi ke dalam bentuk
kata-kata dan mendeskripsikan unsur-unsur yang merupakan definisi limit fungsi.
Dari jawaban tulisan definisi limit kiri (gambar 02), selanjutnya RM menjawab
pertanyaan wawancara dengan menyebutkan diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta
positif sehingga jarak dari selisih dengan kecil deri epsilon asal selisih dengan
lebih dari nol dan kecil dari delta. Dari jawaban tulisan dan wawancara menunjukkan RM
merepresentasikan definisi limit kiri ke dalam bentuk kata-kata, dan medeskripsikan unsur-
unsur yang merupakan definisi limit kiri.
Dari jawaban tulisan definisi kanan (gambar 03), selanjutnya RM menjawan
pertanyaan wawancara dengan menyebutkan diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta
positif sehingga jarak dari selisih dengan kecil deri epsilon asal selisih dengan
lebih dari nol dan kecil dari delta. Dari jawaban tulisan dan wawancara menunjukkan RM
merepresentasikan definisi limit kanan ke dalam bentuk kata-kata dan mendeskripsikan
unsur-unsur yang merupakan definisi limit kanan.
Dari pertanyaan kedua diajukan pada RM terkait representasi grafik definisilim→ , lim→ , lim→ , RM mengungkapkan definisi limit fungsi
dengan merepresentasikan ke sebagai berikut.
Gambar 04 Gambar 05 Gambar 06
11
Dari gambar 04 menunjukkan, RM merepresentasikan grafik fungsi yang tidak
harus terdefinisi di x sama dengan a, membentuk interval buka pada sumbu Y dengan titik-
titik ujung − dan + dimana diberikan bilangan real positif, ada bilangan real
positif, dibentuk interval buka pada sumbu X dengan titik-titik ujung − dan + . Pada
wawancara, RM menegaskan diberikan sebarang epsilon bilangan real positif terdapat delta
bilangan positif yang berpadanan sedemikian hingga jika diambil sebarang dalam inerval
buka ( − , + ) maka ( ) dalam interval buka ( − , + ). Dari gambar dan
wawancara menunjukkan RM merepresentasikan definisi lim→ = ke dalam grafik
fungsi, dan mengambarkan unsur-unsur yang merupakan definisi limit fungsi.
Dari gambar 05 menunjukkan RM merepresentasikan grafik fungsi yang tidak harus
terdefinisi di x sama dengan a, membentuk interval buka pada sumbu Y dengan titik-titik
ujung − dan + dimana diberikan bilangan real positif, ada bilangan real positif,
dibentuk interval buka pada sumbu X dengan titik-titik ujung − dan . Pada wawancara,
RM menegaskan diberikan sebarang epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan
positif yang berpadanan sedemikian hingga jika diambil sebarang dalam inerval buka ( −, ) dan x tidak sama dengan a maka ( ) dalam interval buka ( − , + ). Dari gambar
dan wawancara menunjukkan RM merepresentasikan definisi lim→ = ke dalam grafik
fungsi, dan mengambarkan unsur-unsur yang merupakan definisi limit kiri.
Dari gambar 06 menunjukkan RM merepresentasikan grafik fungsi yang tidak harus
terdefinisi di x sama dengan a, membentuk interval buka pada sumbu Y dengan titik-titik
ujung dan + dimana diberikan bilangan real positif, ada bilangan real positif,
dibentuk interval buka pada sumbu X dengan titik-titik ujung dan + . Pada wawancara,
RM menegaskan diberikan sebarang epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan
positif sedemikian hingga jika diambil sebarang dalam inerval buka ( + ) dan x tidak
sama dengan a maka ( ) dalam interval buka ( − , + ). Dari gambar dan wawancara
menunjukkan RM merepresentasikan definisi lim→ = ke dalam grafik fungsi, dan
mengambarkan unsur-unsur yang merupakan definisi limit kanan.
Dari pertanyaan kelima yang diajukan pada RM terkait representasi simbol definisilim→ = , RM mengungkapkan definisi limit fungsi dengan merepresentasikan ke
sebagai berikut.
Gambar 07
12
Gambar 08
Gambar 08
Dari jawaban tulisan definisi limit fungsi (Gambar 07), selanjutnya RM menjawab
pertanyaan wawancara tentang penjelasan definisi yang diungkapkan dengan simbol, yaitu
diberikan sebarang epsilon anggota bilangan real positif dapat delta bilangan real positif
sedemikian hingga jarak antara ( ) dan kecil dari epsilon asal jarak antara dan lebih
dari nol dan kecil dari delta. Dari jawaban tulisan dan wawancara menunjukkan RM
merepresentasikan definisi limit fungsi ke dalam bentuk simbol dan mendeskripsikan unsur-
unsur yang merupakan definisi limit fungsi.
Dari jawaban tulisan definisi limit kiri (Gambar 08), selanjutnya RM menjawab
pertanyaan wawancara tentang penjelasan ungkapan definisi dengan simbol, yaitu diberikan
sebarang epsilon positif terdapat delta positif sehingga jarak dari selisih ( ) dengan kecil
deri epsilon asal selisih dengan lebih dari nol dan kecil dari delta. Dari jawaban tulisan
dan wawancara menunjukkan RM merepresentasikan definisi limit kiri ke dalam bentuk
simbol, dan medeskripsikan unsur-unsur yang merupakan definisi limit kiri.
Dari jawaban tulisan definisi kanan (Gambar 09), selanjutnya RM menjawab
pertanyaan wawancara terkait dengan penjelasan ungkapan definisi dengan simbol, ayitu
diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta positif sehingga jarak dari selisih ( )dengan kecil deri epsilon asal selisih dengan lebih dari nol dan kecil dari delta. Dari
jawaban tulisan dan wawancara menunjukkan RM merepresentasikan definisi limit kanan ke
dalam bentuk kata-kata dan mendeskripsikan unsur-unsur yang merupakan definisi limit
kanan.
13
Dari analisis data di atas, diperoleh bahwa RM merepresentasikan definisilim→ = dengan mengungkapkan ke dalam bentuk verbal, grafik, dan simbol. RM
mampu merepresentasikan definisi lim→ = dengan mengungkapkan ke dalam bentuk
verbal, grafik, dan simbol. Demikian juga, RM juga merepresentasikan definisi lim→ =dengan mengungkapkan ke dalam bentuk verbal, grafik, dan simbol. Dengan demikian, RM
mampu merepresentasikan definisi lim→ = , lim→ = dan lim→ = ke
dalam bentuk berbagai representasi, yaitu verbal, grafik, dan simbol.
Kesimpulan dan Saran
Dari hasil analisis disimpulkan RM mengungkapkan pengertian lim→ = ,lim→ = dan lim→ = dengan menyatakan ke dalam kata-kata. Aspek konsepsi
pada penerapan, RM menerapkan metode pemfaktoran, mengcoret, dan substitusi, serta
mampu menjelasan alasan mengapa metode dan konsep itu digunakan. Konsepsi RM terkait
dengan merepresentasikan definisi lim→ = , lim→ = dan lim→ =diungkapkana dalam kalimat, grafik, dan simbol. Penyajian definisi limit fungsi dengan
representasi grafik dan penjelasan kaitannya dengan representasi verbal dalam perkuliahan
mempermudah mahasiswa mengasimilasi dan akomodasi sehingga kontruksi kaitan tentang
definisi limit lebih bermakna. Dengan demikian diharapkan pada dosen, guru di sekolah dan
dosen di perguruan tinggi yang mengasuh mata kuliah kalkulus dan matematika analisis
untuk melakukan kuliah tambahan atau kuliah tutorial bagi mahasiswa yang mempunyai
konsepsi yang lemah, dan diharapkan dosen dapat mengembangkan pembelajaran kalkulus,
matematika analisis untuk membangun konsepsi mahasiswa tentang limit fungsi, dan konsep-
konsep lain, yaitu fungi konsepsi, diferensial, dan integral.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Direktorat Riset dan Pengabdian Masyarakat
Direktorat Jenderal Penguatan Riset dan Pengembangan Kementrian Riset, Teknologi dan
Pendidikan Tinggi (Kemenristek Dikti) yang telah memberikan dana hibah penelitian
disertasi doktor dengan Surat Perjanjian Penugasan Pelaksanaan Program Penelitian
Nomor:105/SP2H/LT/DPRM/IV/2017 tanggal 3 April 207. Dan terima kasih juga kepada
Lembaga Penelitian dan Pengabdian kepada Masyarakat (LPPM) Universitas Syiah Kuala
yang telah menfasilitasi kegiatan penelitian disertasi doktor, dan juga kepada promotor dan
kopromotor yang telah membimbing penelitian ini mulai penyusuann proposal hingga
laporan penelitian, dan produk-produk penelitian.
DAFTAR PUSTAKA
14
Anderson, Orin, W & Krathwohl, D, R. (2001). A Taxonomy for Learning Teaching andassesing. A Revision of Bloom’s Taxonomy of Educational Objectives. New York:Addion Wesley Logman, Inc.
Bezuidenhout, J. (2001). Limit and Continuity: Some Conceptions of First-year Students. InInternational Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 32(4),487-500.
Cetin, N. (2009). The Performance of Undergraduate Students in The Limit Concept.International Journal of Mathematical Education in Science and Technology..40(3),323-330.
Cornu, B, (1991), Limits, In A, J. Bishop, Mathematics Education Library. 11, 153-166.Cottrill, J., Dubinsky,E., Nochols, D., Schwingerdoerf,K., Thomas,K., & Vidakovic,D.
(1996), Understanding the limit concepts: Beginning with a coorninated processsckema. Juornal of mathematical Behavior, 15.167-192.
Duru, A., Koklu, O., & Jakubowski, E. (2010). Pre-Service Mathematics Teachers’Conceptions about The relationship between Continuity and differentiability of aFunction. Scientific Research and Essay. 5(12). 1519- 1529.
Evangelidou, A, Spyrou, P, Ellia, L, and Gagatsis (2004). University Students’ conceptions ofFunction. Paper of Proceeding of the 28 Conference of the International Group forthe Psychology of Mathematics Education. Volume 2, page: 351-358.
Ervynck,G, (1981). Conceptual difficulties for first year University Students in theacquisirtion of Limit of a Function. In Equipe de Recherche Pedagogie (Ed.),Proceedings of the Fifth conference of the International Group for the psychology ofmathematics education. page: 330-333.
Fernandez, E. (2004). The students’ take on the epsilon-delta definition of a limit, Primus,14(1), 43-54.
Friedlander, A. & Tabach, M. (2001) .”Promoting Multiple Representaions in Algebra.” InCuoco, Albert A. The Role of Representation in School Mathematics 2001 YearBook. Reston, VA:NCTM
Goldin, G. A. & Shteingold, N. (2001).”System of Representation and The Development ofMathematical Concept”. In Cuaco, Albert A.(Ed).The Roles of Representation inSchool Mathematics 2001 Yearbook. Restom, VA: NCTM
Miles, M,B & Huberman, A, M. (1994). Qualitatif Data Analysis. London, SAGEPublications
Skemp, R. (1986). The Psychology of Learning Mathematics. Expand American Edition.New Jersey: Lawrence Associated Publishers.
Swinyard, C. (2011). Reinventing the formal definition of limit: The Case of Amy and Mike.Journal of Mathematicsal Behavior. 30 (2011), 93-114
Swinyard,C and Larser, S, (2012), Coming to Understand the Formal Definition of LimitInsights Gained From Engaging Students in Reinvention. Journal for Research inMathematics Education. 43(4), 465-493.
Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept Image and Concept Definition in Mathematics withParticular Reference to Limits and Continuity. Published in Educational Studies inMathematics, 12 (2), 151-169.
Williams, S,R. (1991). Models of Limit Held by College Calculus Students. Journal forResearch in Mathematics Education. 22(3), 219-236
1
Draf Artikel Jurnal Internasional
PROFILE OF PROSPECTIVE STUDENTS TEACHER CONCEPTION ABOUT THEDEFINITION OF LIMIT FUNCTIONS BASED ON MATHEMATICAL ABILITY
UsmanUniversitas Syiah Kuala,Banda Aceh, email: [email protected]
Dwi JuniatiUniversitas Negeri Surabaya, Indonesia, email: [email protected]
Tatag Yuli Eko SiswonoUniversitas Negeri Surabaya, Indonesia, email: [email protected]
ABSTRAK: The conception of function limits is the cognitive structure of function limitsthat need to be built into the minds of the students so that the concepts can be assimilated andaccommodated meaningfully with other concepts in calculus and mathematical analysis.However, some students of mathematics teacher candidates in universities had difficulty inbuilding conceptions about the concept of function limit. The study aims to explore theconception of prospective student teachers about the definition of function limit in terms ofhigh and low ability. This research uses explorative qualitative research method. The subjectof the research is mathematic’s student of Syiah Kuala University who has been studying forthe semester V with the reason that the student has gained experience in studying calculusand real analysis. Subject selection is based on math skills tests grouped in high and lowability groups. The instruments of this research are math ability test, functional limitconception test, and interview. Data analysis was done by reducing data, data exposuring,interpretating, and concluding. The result of data analysis found that there were differencesdescription of student candidate's concept of limit function definition in terms of high andlow mathematical ability in expressing ideas, formal definition of limit function, and mentalimage in expressing the concept of limit function relation.
Kata kunci: Conception, Understanding, Mental Image, Limit Function, Mathematical Abilty
INTROCUCTIONLimit function is a basic concept in calculus and mathematical analysis. Cetin (2009:
323) asserted that “ limit is one the most fundamental and inportant concepts of calkulus
since it estabilisher a framework necessary to have a complete acquitition of the basic
concepts of calkulus such as continuity, diferentiation and integral. It is also confirmed by
Ervynck (1981), the limit concept has long been considered fundamental to an understanding
of calculus and real analysis. Davis and Vinner (1981), had referred to students’ failure to
explain why the concepts of “ limit” is fundamental to calculus. Students ‘ failure to express
meaningful idea an the limit concepts’role in calculus may to a large extens be ude to
inappropriate and weak mental link between knowledge of limit and knowledge of other
calculus concepts such as continuity, derivative, and integral. The formal definition of limit at
2
a poin” lim→ = if for every > 0, there exists a > 0 such that 0 < | − | < →| − | < ” is foundational as students proceed to more formal, rigorous mathematics,
continuity, derivarive, intergal, and Taylor series approximations are jurs a few of topics in
an analysis course for which the formal definition of limit serves as an indispensable
componen (Swinyard and Larsen, 2012). Referring to some of these expositions, the concept
of function limits has an important role in pedagogic considerations and as an object of
research in mathematics education.
Conception research on limit function is one of the most important topics in
mathematics education research (Roh, 2008). Bezuidenhout (2001) explained that the student
with mature conceptions of the mentioned concepts should be able to relate those concepts in
a meaningful way. Conceptions about mathematical concepts are constructed in the mind of
students with a strong concept then will be able to link between one concept with another
concept with meaningful way. Students will be able to link the concept of function limit to
the concept of distance, interval, absolute value, and various forms of representation. It is also
strengthened by Bezuidenhout (2001) On the results of research findings explained that
“Well-constructed mental representation of the network of relatonships among caculus
concepts are essential for a thorough understanding of the conceptual underpinning if the
calculus, whic includes the fundamental role of the limit concepts. Such a network of mental
creations underlis an dindividual’s problem solving ability in the calkulus.
This research explored student conception about function limit which consist of
understanding and mental image. The theoretical framework that constructs conception is the
understanding described by Skemp (1976), Hiebert and Carpenter (1992), and mental image
theory by Tall dan Vinner (1981). According to Skemp (1976), he described that relational
understanding involves knowing both what to do and why it work, while instrumental
understanding involve knowing only what to do, the rule not the reason why the role works.
Jadi, the relational understanding comes from an understanding of deeper relationship among
the concepts anda processes associated with a particular concept, and the instrumental
understanding refers to an algoritma understanding of a concepts or process. While
Hiebertand Carpenter (1992) explained that a mathematical idea or procedur or fact is
understand if it is a part of an internal network. More specially the mathematics is understood
if its mental representations is part of network representations. This theory considers that the
concept or fact or procedure of mathematics is understood by a student if he was be able to
build a network of internal understanding in his mind. The concept of limit is understood by
3
the student if the representation of the definition of the limit function built into the student's
mind is part of the representational network of the overall concept of function limits. If the
student was be able to construct various representations of the definition of limit function in
mind which is part of the network of representation of the concept of limit function then it is
said that the student had an understanding of the limit function.
Conception can also be a mental image (Liyad, 1998). The mental image in
mathematics was explained by Tall and Vinner (1981) that the term concept image to
describe the total cognitive structure that is associated with the concepts, which includes all
the mental picture and associated properties and prosess.” In this study, mental images are a
collection of cognitive structures in the mind of a person associated with the concept of a
function limit consisting of images in the mind and associated with the nature of the concepts
and processes of the concept of the function limit. The mental image of the function limit in
the form of words or graphs or illustrations of functions has limits or no limits at a point,
associated with the properties of any values approaching a number, the value of a function
approaching a value. And the process of relationship between the value of the independent
variable and the dependent variable.
Some research on the concept of function limit has been done by researchers. For
example, Duru (2010) has under taken research on conceptions to explore the understanding
of prospective student teachers about limit functions, continuous and differential functions,
and their relationships. Bezuidenhout (2001) has an exploration of the student's conception of
semester 2 concerning limit functions and continuity in calculus. The theoretical framework
developed by Bezuidenhout refers to constructivist theory and concept imagery. Therefore,
research of student conception about limit of function is important to be explored so that the
lecturer can get a picture of the conception that the student has on a concept of limit of the
function.
Mathematics education students were one group of individuals who were prepared to
become math teachers. Students had different characteristics when viewed from the ability of
mathematics. Some research results on differences in mathematical ability and gender of men
and women. For example, Baton et al (1999) study concluded that boys tend to obtain high
scores from women on aspects of space representation, measurement, and complex problems,
whereas women tend to score higher than men in terms of computing, Simple problem, and
read the graph. This is reinforced by the results of research Artila, et al (2011) that the ability
of men and women lies in the ability of verbal, spatial, and arithmetic. Women generally
excel in verbal abilities while men excel in spatial and arithmetic abilities. From the results of
4
this study showed that there are differences in the ability of mathematical components of
verbal, spatial, computing, reading graphs, and solve complex problems in men and women.
Conception was a cognitive structure as a formula of one's construction results in
mind to a mathematical concept based on interaction with the environment and experience. A
person's learning experience in constructing mathematical concepts, the relationship between
concepts, and problem solving affects the conceptions that the person constructs on advanced
mathematical concepts. The conception of the definition of limits constructed by students was
influenced by mathematical skills. The mathematical abilities in this study are performance
obtained through tests on knowledge and skills as a result of interaction with the environment
and the learning experience of mathematics. The knowledge and skills tested consist of: (1)
pre-calculus: function, absolute value, limit function, (2) calculus: derivative and integral, (3)
algebra: polynomial, sequence and series and liner program, (4) space geometry. The results
of mathematics ability test of teacher candidates were grouped into high and low group.
This study aimed to explore the conception of high and low ability students about
limit functions, more specifically exploring conceptions on the aspects of understanding and
mental image. From the study, there was a picture of the understanding and mental image of
the prospective student teachers with high and low math skills about the definition of limit
function.
RESEARCH METHODThis research was an explorative qualitative research. The subject of the research was
a semester V student of mathematics education department of Teacher Training and
Education Faculty of Syiah Kuala University Banda Aceh, Indonesia, in academic year 2013.
After assigning the subject of research, then they will be giving and conducting math ability
test . The instrument of mathematical ability test has been tested by experts. Mathematical
ability test items are presented in the following table.Table A
Mathematics Capability TestMathematics Capability Test Aspect
Pre-calculus includes absolute value, function, limit functionCalculus includes derivative, integral.Algebra includes polynomial, sequence and series, linearprogrammingGeometry: Space geometry
5
The test of mathematical ability was followed by 64 students of mathematics
education department as a prospective students teacher. After the answers were being
corrected obtained the score of mathematical ability grouped into 3 groups, namely high
ability with score : 80 < ≤ 100, Moderate ability with score : 60 < ≤ 80, And
low ability with score: 0 < ≤ 60. Based on the scores, students were selected from
high ability and low ability group, each of them 2 people. The four subjects were labeled, S01
as the only high-ability subject, the S02 label as the second high-ability subject, the S03 label
as the third low math subject and S04 as the fourth low math subject. The four subjects were
task-based tests on the concepts of function limits and interviews. The conception test
instrument has been tested for validity by the expert. Test items from limit function concepts
are presented in the following table.
Table BConception Test of Limit Function
Concept test aspect
Expressing the notation of limit function, left-hand limit, right-hand limit
Reveals the definition of limit function, left-hand limit, right-hand limit withwords, graphs, tables, symbols
Reveals the relationships that can be made between the concept of limit functions
After the subject responds to each question, proceed with an interview to explore the
understanding and mental image of the definition of limit functions. Aspects of understanding
and mental shadow are presented in the following table C.
6
Table CDescription of Conception Aspect of Limit Function
ConceptionAspects
Sub-aspect Description
Understanding
Interpretation of limitfunction notation
The expression of the limit function notation withwords and graphs.Expression notationof left-hand limit with words andgraphs / illustrationsExpression notation of right-hand limit with words andgraphs / illustrations
Describe the definitionof limit functions withsentencerepresentation, graphs,and tables or symbols
Expression of limit function definition with words,graphs, tables, and symbolsThe phrase definition of the left-hand limit with words,graphs, tables, and symbolsExpression of right-hand limit definition with words,graphs, tables, and symbols
Explain the concept oflimit function byexample
Expression of concept or definition of limit function,left-hand limit, right-hand limit with example
Explain the cause andeffect of the right-handlimit concept
Expression of relations between representations of thedefinition of limit functionsThe expression of the relationship betweenrepresentations of the left-hand limit definitionThe expression of the relation between representationsof the right-hand limit definition
Mental ImageDefine the relationshipbetween the concept oflimit functions
The expression of the relationship between the conceptof limit functions obtained through rememberingactivities, making connections, and explaining the formof words or graphs or illustrations.
From the table C, the aspects of conception explored include understanding, namely the
interpretation of functional limit notations, explaining the definition of function limits,
explaining the definition of the left-hand limit, and explaining the definition of the right-hand
limit. The mental image, the process of remembering the shadow of the concept, explaining,
and applying the shadow of the concept in solving the problem.
RESULT AND DISCUSSIONBased on the results of tests and interviews obtained conceptions described in aspects
of students' understanding of the notation of function limit, function limit definition, and
7
mental image of the limit functions concept. The analysis results of each aspect are described
as follows.
1. Understanding of Limit Function and one sided Limit Notationa. Understanding of Limit Function Notation
From the result of the analysis, it is found the subject understanding (S01) in
interpreting the notation lim→ = by remembering the notation lim→ = ,
expressing with the words, ie " the distance ( ) and can be made as small as possible
from small enough to but different from . "Furthermore the meaning of the word" to
"is explained by the subject (S01) by representing the functional limit notation to the
function graph, and stated that" the distance ( ) and is close enough to take the distance
values of to a quite small ". While the subject (S02, S03, and S04) expressed the notationlim→ = with words and explained by saying "when approaches but is not equal to
a then ( ) approaches . "S02, S03, and S04 explained the meaning of" close to ” "by
representing the graph and stating" taken values of greater or less than and close to
then ( ) approaching . " S01 and S02 explained the meaning " is different from "
says that may be the same or may not be equal to ". But the understanding of the subject
(S03 and S04) about the meaning of different from is not equal to . When given the
test "what is the meaning of the notation lim→ = with = ." Subject S01
mentions the meaning The notation of lim→ = , ie "distance ( ) and can be made as
small as possible from small enough to 2 but is different with 2." While subject (S02,
S03 , And S04) reveals that " is close to 2 but is not equal to 2 then ( ) is close to 5".
The understanding of S02 about the meaning of approaches 2 but is not equal to 2 by
testing if equals 2 then (2) is undefined, whereas S03 and S04 express the reason that
approaches 2 but never gets to 2. Thus, Subjects (S01, S02, S03, and S04) about functional
limit notations are associated with words, and are represented by graphs and are unified
(coherent) expressions of words with graphical representations.
From the description there was difference of understanding of subject of male gender
(S01) and female gender (S02) high math ability in expressing notation lim→ = , ie S01
mention as distance ( ) can be made as small as if can be close enough to but is
different from a. Whereas subject comprehension (S02) reveals that "any arbitrary value of
approaches a, then ( ) approaches ". Similarly, male subjects (S03) with low math skills
and low-mathematics mathematics (S04) subjects had the same understanding in expressing
8
the notation lim→ = with words and graphical representation, but explains with a
unified language in explaining the function limit notation.
b. Understanding of one sided Limit NotationIn the test of the notation of the left-hand and right-hand limits, the result of the
analysis was obtained by understanding the subject (S01) in interpreting the notationlim→ = by remembering the notation lim→ = , and the notation expressed by
S01 with the words, ie "distance ( ) can be made close to possible to origin quite close
to from the left. Understanding the subject (S01) meaning " toward from the left" was
explained by mentioning the values of taken from the left then the distances of ( ) and
are quite small. The understanding of the left limit notation is expressed by the subject
(S01) by representing the graph, and is explained by a coherent language between the left
limit notation and the graph representation. While the subject (S02) expressed the left limit
notation with the words, "when approaches a from the left the distance ( ) approaches
," and is represented by graph and is explained by a coherent language between
representations Graph with the expression of function limit notation. When given the test
"what is the meaning of the notation lim→ = 3," it is found that the subject (S01)
mentions the meaning of the notation lim→ _ = 3, ie "the distance ( ) and 3 can be made
as small as possible from quite small to 2 from the left." The subject (S01) described the
meaning of the left-hand limit notation by using a function limit representation and is
described coherently. While subject (S02) reveals that "when approaches 2 from the left 2
then ( ) approaches 3". The meaning of the left-hand limit notation is explained by subject
(S02) by representing the graph and is explained by a coherent language. Thus, subject
comprehension (S01 and S02) functional limit notations were associated with words, and
were repressed with graphs and unified (coherent) expressions of words with graphical
representations. From the description there was a difference in the understanding of male
gender subject (S01) and female gender subject (S02) with high mathematical ability aboutlim→ = , ie S01 expressing as distance ( ) can be made as small as when can
be close enough to but to go from left. While the subject understanding (S02) reveals
that "any values of are approached from the left then ( ) approaches ."
In the test of the meaning of right-hand limit notation, the result of the analysis was
obtained by understanding the subject (S01) in interpreting the notation lim→ = by
expressing it into words, ie "distance ( ) was made close to possible to from close
9
enough to a from the right direction. "The understanding of the subject (S01) meaning"
toward a from the right direction "was explained by mentioning the values of x close to a
from the right direction then the distance ( ) can be made small enough to . Understanding
the subject (S01) by expressing the meaning of the right-hand limit notation with a coherent
language between words with graphical representations. While the subject (S02) expresses
the right limit notation with the words, "when approaches from the right, the distance( ) approaches ," and explained the meaning of the right-hand limit notation by
representing it with the graph and is explained by the unified language between graphical
representation with the expression of the meaning of limit function’s notation. Furthermore,
when the subject was given the question "what is the meaning of the notation lim→ = 4"it was found that the subject (S01) mentioned the notation of lim→ = 4 ie "the distance( ) and 4 can be made as small as possible from x quite small to 2 from the left." Subject
(S01) explains the meaning of the right-hand limit notation by using a function limit
representation and was explained by a unified language (coherent). While subject (S02)
revealed that "when approaches 2 from the right direction 2 then ( ) approaches 4". The
meaning of the right-hand limit notation is explained by the subject (S02) by representing the
graph and is explained by a coherent language. The understanding of the subject (S01 and
S02) about the notation lim→ _ = 3 and lim→ = 4 is expressed by attributing
meaning notation lim→ = and lim→ = which has been expressed by the subject
with words and graphical representations.From the description there were differences concept of subject S01 and S02 in
expressing the meaning of notation lim→ = . The subject S01 expressed the meaning of
the notation lim→ = as a distance ( ) Can be made as small as possible with L when
x can be made close enough to a but x to a from the right direction, while subject S02 as the
value of variable approaching a then the variable value f (x) approaches L. Furthermore, the
conception of subject S03 and subject S04 expressed the meaning of notation lim→ =That S01 expresses the meaning of the limit notation as the value of the variable x approaches
the number a then the variable f (x) approaches the number L. While the subject S04 as the
variable value x to the number a but not equal to a, then the value of variabel f(x)
approaching L .
10
2. Understanding the Definition of Limit Function and Limit one sided Limita. Understanding the Definition of Limit Function
The results of the tests and interviews about the definition of lim→ obtained
the definition of function limit by the subject (S01 and S02) by the definition of function
limitation by representing the words and symbols. The definition of function limit is
explained by S01 and S02 by stating that whatever epsilon is given from a positive real
number there is a corresponding positive delta such that if the distance to a is large from
zero and small from the delta then the distance to the small of epsilon . Understanding
the subject (S01 and S02) about "for every epsilon positive real number there is a delta of
positive real numbers" by mentioning the example "ε = 0,01 and delta δ = ε or delta less than
epsilon.", and " 0 | | "as the distance between with a more than zero and small
of the delta and 0 | | never zero by reason of distance indicating a number is
never negative. The subject comprehension (S01 and S02) about " | | " is
described as the distance to the small L of epsilon and possibly the distance to L is
zero with the reason of constant function limit in each The point is the same. But the subject
(S03 and S04) mentions the meaning and " 0 | | " as the distance between x with
a more than zero and a small of the delta and 0 | | can not be zero by reason of
the definition mentioned so. The subject comprehension (S03 and S04) about " | |" is explained as the distance to is less than epsilon and it is not possible the distance
to is zero by reason of the definition mentioned distance to is less than
epsilon and epsilon is a positive real number. When given the question what is the definition
of lim→ with the subject expressions (S01 and S02) the definition of
the limit by words. All subjects reveal lim→ 5 by associating the expression of the
definition of lim→ previously understood.
The subject comprehension (S01 and S02) about the definition of function limits is
expressed by representing the graph. The graph representation of functional limit definition
of each subject S01 and S02 is presented in Figure 01 and Figure 02 below.
11
Figure
01: representation graphic
Figure 02: representation graphic
The representation of the function definition limit graph is explained by S01 and
S02 by the language ie given any epsilon positive real number there is a delta of positive
numbers corresponding so that if taken any in the open inerval , then ) In
the open interval , . When given the question what is the definition oflim→ 5 with the subject expressions (S01 and S02 ) About the
definition of the limit by representing it with words, graphs, and symbols. The graphical
representation of the definition of the limit definition is given by S01 and S02 by stating that
given any epsilon positive real number there is always a corresponding positive number delta
so that if any is taken in the open inerval 2 , 2 it must be In the open
interval 5 , 5 . From the description shows that the understanding of S01 and S02
the definition of function limits is expressed by the representation of language, graphics, and
tables. The understanding of S01 and S02 represents the definition of function limits by
relating the definition of function limit definition which is expressed by a set of formal
definition definitions of function limits.
The subject comprehension (S03 and S04) about the definition of function limits is
expressed by representing the graph. The graph representation of the function limit definition
of each subject S03 and S04 is presented in Figure 03 and Figure 04 below.
Figure 03: representation graphicFigure 04: representasi graphic
12
The representation of the function definition limit graph is explained by S03 with the
language ie each positive epsilon has a positive delta so that the distance to is between
zero and delta then the distance ( ) to is less epsilon. The understanding of S03 about
"the distance of to between zero and delta" as the absolute value of is reduced
between zero and delta, and the understanding of "the distance ( ) to is less epsilon as
the absolute value of ( ) less less than epsilon . While S04 is explained by language, ie
for every epsilon more than zero there is a delta of more than zero such that if the difference
of with is less than delta and more than zero then the difference ( ) with is less than
epsilon. The word "difference" expressed by S04 on the definition of function limits implies a
misconception in expressing the definition of limit functions.
From the description it is found that there is no difference in understanding of
subjects with high math skills (S01) and understanding of subjects with high mathematics
(S02) in expressing definitions lim→ = . However, subjects with low math skills (S03)
and low mathematics subjects (S04) had different understandings, and there was a
misconception on the subject S04 about the definition of limit function.
b. Understanding the Definition of one sided LimitThe results of tests and interviews about the definition of lim→ = obtained
understanding of the definition of function limit by the subject (S01 and S02) by expressed
represent the definition of the limit with the words and symbol representation, and explained
That for every positive epsilon there is a positive delta such that 0 < − < then| − | < . The subject (S01 and S02) expresses the definition of the left limit by
representing the graph, and is coherently explained, that given any positive epsilon there is a
corresponding positive delta so that if the difference of with is more than zero and
smaller than the delta then ( ) in open interval − and .
The results of tests and interviews about the definition of lim→ = obtained
understanding of the definition of function limit by the subject (S01 and S02) by being
expressed represent the definition of right limit with words and symbol representation, and
explained That for every positive epsilon there is a positive delta such that 0 0 < − <then | − | < |. When given the question what is the definition of lim→ = andlim→ = with = + 2, ≥ 2+ 1, < 2, then the subject expressions S01 and S02
are represented by words, graphs, and symbols. S01 and S02 understanding about
13
lim→ − = and lim→ = by associating with the phrase definition lim→ =and lim→ = are understood. Understanding the subject (S01 and S02) expresses the
definition of the left and right limits by explaining each of these definitions with a coherent
sentence between the various representations of the left and right limit definitions. The
expression of explanation, ie, given any positive epsilon there is a corresponding positive
delta so that if the difference of with is more than zero and smaller than the delta and
approaches from the left then ( ) in the open interval and + . The understanding of
the subject (S03 and S04) about the expression of the definition of the left and right limits is
explained by incoherent sentences between the various representations of the definitions of
the left and right-hand limits
3. Mental Image about Limit Function
Test results and interviews about relationships that can be made from lim→ = ,
with lim→ = , and lim→ = Obtained mental image on the four subjects (S01,
S02, S03, S04) as follows. The test results and interview S01 in responding to questions
related to the relationship between lim→ = with lim→ = and lim→ =It is found that S01 reveals the problem with its own language, revealing each meaning of
notation lim→ = By saying that "when x goes to a then f (x) to L," lim→ = That
when x goes to a from the left then f (x) goes to L, and lim→ = That when x goes to
a from right then f (x) goes to L. Next S01 explained that lim→ = There if and only iflim→ = exist and lim→ = exist and = . So, S01 makes a relationship
formula of lim→ = , with lim→ = and lim→ = By remembering each of
the meanings of the limit notation expressed in words, relating to the existence of the left and
right limits expressed in words, and explained by examples, graphs and explained by words.
From the test results, interviews, and analysis it was found that the subject S02
revealed the relationship lim→ = , with lim→ = , and lim→ = By
revealing the problem with its own language, expressing meaning lim→ = , As x toward
a then f (x) to L, meaning of lim→ = As x falls from the left then f (x) to L, and
meaning of lim→ = As x toward a from the right direction then f (x) to L, it is further
revealed that the function limit is equally heading to L with reason lim→ = exist if and
only if lim→ = exist and lim→ = exist and equal. S02 explained the
14
relationship formula by mentioning the example graph lim→ = 3 with = + 1 andlim→ = 3 with the reason lim→ exist and equal to 3 if and only if lim→ equal
with lim→ equal to 3. Next S02 explain the relationship with mentioning the example of
a function graph with a lymph value (x) not present with the reason of the left-hand limit
value when x towards 2 from left equal to 3 and the right-hand limit when x toward 2 from
right equal to 4. So, S02 made the relationship lim→ = with lim→ = andlim→ + = by remembering mental image concept of lim→ = , lim→ =and lim→ + = , Formulate relationships with words, explained by example graphs and
words by imagining the concept of existence of the left-hand and right-hand limits and the
relationship with the lim→ = .
From the results of tests, interviews, and analsis obtained that S03 reveal the
relationship lim→ = with lim→ = , and lim→ = By revealing the problem
with its own language. Given the meaning of the notation lim→ = , lim→ = , andlim→ = By expressing the meaning of each such limit, ie lim→ = For x close to
a, then f(x) approaches L, lim→ = As x approaches a from the left then f (x)
approaches L, dan lim→ = As x approximates a from the right, then f (x) approaches
L. Furthermore, the relationship is expressed, ie "x is close to a, both from the left and the
right, f(x) is close to L. lim→ 2 + 5 bahwa “ was close to 2 from the left and from the right,
then f (x) approaches 9. From the description S03 understands the problem by revealing the
problem in its own language, formulating the relationship by imagining the three concepts of
the limit as x equally close to a Then f (x) is close to L, and is explained by imagining the
graph of lim→ 2 + 5 = 9.From the test result, interview and analysis data obtained that S04 reveal the
relationship lim→ = , lim→ = and lim→ = By revealing the problem
with its own language, given the meaning of the notation lim→ = , lim→ = andlim→ = By revealing each of the meanings of the limit notation. Next formulated the
relationship with the words, ie x is close to a then f (x) is close to L with reason when x
approaches a, then f (x) approaches L, when x approaches a from the left then f (x)
approaches L, and when x approaches a from the right direction f (x) approaches L. then the
15
relationship x equals close to a, then f(x) approaches L with the reason that the limit is
equally close. The interviews described are equally close to that by mentioning examples and
graphs. Thus, S04 expresses the relationship between these three limiting concepts by
expressing the problem in its own language, visualizing the three concepts of the limit by
expressing the relation as x equals a then f (x) approaching L.
Thus, there was no difference in the concept of S01 and S02 in expressing the
relationship between the three concepts of limit function. While S03 and S04 there were
differences in expressing the relationship of the three function limits on activity explaining
the relationship with the example and the graph. Subject S03 describes the relationship
between the three concepts of function limits with words, examples, and graphs, whereas S04
describes the relationship between the three concepts of function limits with words.
CONCLUSIONThe results of this study obtained a picture of the conception of high-ability students
and low on the definition of function limits. The result shows that there was difference of
conception of students with high mathematics ability of male and female gender in
expressing the meaning of notation lim→ = , lim→ = and lim→ = .
Student S01 expresses the notation of limit as distance can be made as small as possible,
while student S02 expressed as x approaching a, f (x) approaching L. Low-skilled students of
both male and female sexes reveal the notation of function limit notation as x approaches a, f
(x) approaches L. There was no difference in the expression of functional limit notation by
students S02, S03, and S04. The difference of student conception in expressing the meaning
of functional limit notation is influenced by the mathematical ability which is understood by
the students, namely knowledge of pre-calculus, and algebra, and geometry. Knowledge of
pre-calculus, algebra, and geometry as well as the skill of solving the problem lead to student
differences in constructing conceptions in his mind.
Conceptions of students S01 and S02 in expressing the definition of function limit
obtained no difference. However, students of S03 and S04 had differences in the definition of
function limits in terms of expressing the definition of function limits with graphical
representations and symbols. S04 difficulties in revealing the definition of function limits, the
definition of the left-hand limit and the definition of the right-hand limit expressed by graphic
representation, namely the difficulty of expressing the expression of the definition of limit
with the verbal with the graph, the difficulty of expressing the definition of function limit
with the graph. Actually, the presentation of the definition of function limits with graphs can
16
facilitate students in expressing the definition of the limit itself. In another section it was also
found that S3 and S4 had difficulty expressing the definition of function limits with symbols,
namely the difficulty of disclosing the relation of each symbol in the definition phrase with
the idea of function limit. Thus it is expected that teachers in schools and lecturers at
universities who take care of the calculus and mathematics courses of analysis to conduct
additional courses or tutorial courses for students who have a weak conception, and expected
lecturers can develop learning calculus, mathematical analysis to build student conceptions
about Limit functions, and other concepts, namely the function of conception, differential,
and integral.
REFERENCESArtila, A., Rosselli,M., Inozemtseva, O. (2011). Gender differences in cognitivedevelopment. Development Psychology. 47(4), Juli 2011.984-990
Beaton, A.E., Mullis, I.V.S., Matin, M., Gonzales, E. J., Kelly, D. L., and Smith,T. A. (1999).Mathematics Achievement in the Middle School Years: IEA’s Third InternationalMathematics and Science Study (TIMSS). Boston College, USA
Bezuidenhout, J. (2001). Limit and Continuity: Some Conceptions of First-year Students. InInternational Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 32(4), 487-500.
Bulden, S, D, Harries, T, V, and Newton, D, P. (2010). Pre-service Primary teachers’conception of creativity in mathematics. Journal Mathematical Teacher Education. 13. 325-343. Do1: 101007/s 10649.009.9207.z
Cetin, N. (2009). The Performance of Undergraduate Students in The Limit Concept.International Journal of Mathematical Education in Science and Technology..40(3), 323-330.
Cornu, B. (1991). Limits, In A, J. Bishop, Mathematics Education Library. 11, 153-166.
Cottrill, J., Dubinsky,E., Nochols, D., Schwingerdoerf,K., Thomas,K., & Vidakovic,D.(1996), Understanding the limit concepts: Beginning with a coorninated process sckeme.Jourrnal of mathematical Behavior, 15.167-192.
Duru, A., Koklu, O., & Jakubowski, E. (2010). Pre-Service Mathematics Teachers’Conceptions about The relationship between Continuity and differentiability of a Function.Scientific Research and Essay. 5(12). 1519- 1529.
Evangelidou, A., Spyrou, P., Ellia, L., and Gagatsis (2004). University Students’ conceptionsof Function. Paper of Proceeding of the 28 Conference of the International Group for thePsychology of Mathematics Education. Volume 2, page: 351-358.
Ervynck,G, (1981). Conceptual difficulties for first year university students in theacquisirtion of limit of a function. In Equipe de Recherche Pedagogie (Ed.), Proceedings of
17
the Fifth conference of the International Group for the psychology of mathematics education.page: 330-333.
Fernandez, E. (2004). The students’ take on the epsilon-delta definition of a limit, Primus,14(1), 43-54.
Hiebert, J. and Carpenter, T.P. (1992). Learning and Teaching with understanding. In D,Groews, (Ed), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. 65-97. NewYork:MacMillan
Johnson, L. J., Bluew, G. W., Shimizu, J. K., Graysay, D,, and Konnova, S. (2014). Ateacher’s conceptions of definition and use of examples when doing and teachingmathematics. Journal Mathematical Thinking and Learning. 16(4). 285-311. Doi:10.1080110986065.2014.953018.
Lioyd, G, M. (1998). Supporting Innovations: The Impact of A Teacher’s Conceptions ofFunction on His Implementation of A Reform Curriculum. Journal for Reseach inMathematics Education. 29(3). 248-274.
Roh, K, H. (2008). Students’ Images and Their Undersrstanding of Definitions of The Limitof a Sequence. Educ Stud Math. 69. 217-233.
Sfard, A. (1991). On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Reflections on Processesand Objects as Different Sides of The Same Coin. Educational Studies in Mathematics, 22.1-36.
Skemp, R. (1986). The Psychology of Learning Mathematics. Expand American Edition.New Jersey: Lawrence Associated Publishers.
Star, J. R & Hoffmann, A. J. (2002). Assesing students’conceptions of reform mathematics.In Mewborn, D., Sztajn, P., White, D., Wiegel, H., Bryant, R., & Nooney, K.(Eds),Proceeding of the twenty-fourth annual meeting of the North American chapter of theInternational Group for the Psychology of Mathematics Education. 1729-1732.
Stylianou, D, A. (2010). Teachers conception of representation in middle schoolmathematics. Journal Mathematical Teacher Education. 13. 325-343. Do1: 101007/s10857:0109143.y
Swinyard,C and Larser, S, (2012), Coming to understand the Formal Definition of LimitInsights Gained From Engaging Students in Reinvention. Journal for Research inMathematics Education. 43(4), 465-493.
Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics withparticular reference to limits and continuity. Published in Educational Studies inMathematics, 12 (2), 151-169.
Turgut, M & Yulmaz, S.(2012). Relationship Among Preservive Primary Teachers’ Gender,Academic Success and Spatial Ability. International Journal of Instruction. 5(2). 5-20.
18
Unal, H., Elizabeth Jakubowski and Darryl Corey.(2009). Differences in learning geometryamong high and low spatial ability pre-service mathematics teachers. International Journal ofMathematics Education in Science and Technology. 40(8), 997-1012.
Zaslavsky, O & Shir, K. (2005). Students’ Conceptions of a Mathematical Definition.Journal for Research in Mathematics Education. 36(4), 317-346.
Williams, S,R. (1991). Models of Limit Held by College Calculus Students. Journal forResearch in Mathematics Education. 22(3), 219-236
Yang, J. C, and Chen, S.Y. (2010). Effects of gender differences and spatial abilities within adigital pentominoes game. Computers & Education. Vol.55.pp.1220-1233.DOI:10.1016/j:compedu.2010.05.019
Zhu, Cheng. (2007). Gender differences in mathematical problem solving pattens: A reviewof literature. International Educational Journal. Vol.8.No.2.pp 187-203.http;//iej.com.au
PROFIL HASIL PENELITIAN DISERTASI DOKTOR
PenelitiUsmanPendidikan Matematika FKIPUniversitas Syiah KualaEmail: [email protected] /[email protected]
Ringkasan EksekutifKonsepsi merupakan struktur mentalseseorang dalam merespon suatupermasalahan limit fungsi. Strukturmental ini berupa pemahaman danrepresentasi. Pemahaman meliputipengertian, menjelaskan, menggunakan.Representasi meliputi representasiverbal, representasi grafik, representasitabel, dan representasi simbol. Subjekberkemampuan matematika tinggimempunyai konsepsi yang sempurnatentang limit fungsi fungsi. Sedangkansubjek berkemampuan matematikarendah mempunyai konsepsi yang kurangsempurna tentang limit fungsi, dimanakekurangsempurnaan pada ungkapandefinisi limit fungsi dengan grafik dansimbol.Kata Kunci: Konsepsi, Pemahaman,represensi, Limit Fungsi
HKI dan Publised
Latar Belakang Hasil dan ManfaatPemahaman merupakan aspek konsepsi yang dimiliki seorang mahasiswa individu untukmerespon suatu pertanyaan yang berupa ungkapan dalam bentuk kata-kata daripengertian notasi limit fungsi, limit kiri dan limit kanan. Sedangkan representasimerupakan aspek konsepsi yang berupa ungkapan seorang mahasiswa tentang definisilimit fungsi, limit kiri, dan limit kanan yang berupa ungkapan dalam kalimat, grafik, tabel,dan simbol. Dengan metode eksplorasi berbasis tugas dan wawancara pada subjekdiharapkan akan diperoleh aspek-aspek konsepsi yang berupa pemahaman, represenrtasitentang limit fungsi, limit kiri dan limit kanan.
MetodeMetode penelitian ini adalah menggunakan pendekatan eksploratif berbasis tugas danwawancara. Sedangkan tahapan penelitian meliputi : studi literatur, pengembanganinstrumen, tes kemampuan matematika, mengelompokkan subjek ke dalam kelompoktinggi dan rendah, pemilihan subjek dari setiap kelompok sebanyak dua orang,pemberian tes konsepsi dan wawancara, dan analisis data. Analisis data meliputitahapan: menelaah data, memeriksa data, reduksi data, memaparkan dan menafsirkandata, serta menarik kesimpulan.
Hasil PenelitianHasil penelitian menunjukkan konsepsi subjek berkemampuan tinggi (ST) tentanglimit fungsi, yaitu (1) mengungkapkan arti notasi limit fungsi, limit kiri dan limit kanandengan menyatakan ke dalam kata-kata dan grafik (2) mengungkapkan definisi limitfungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan menyatakan ke dalam kalimat (verbal),grafik, tabel, dan simbol yang memuat unsur-unsur pembentuk definisi formal, (3)menerapkan, menggunakan metode pemfaktoran, sifat limit fungsi, dan pengertianlimit fungsi untuk menentukan nilai limit fungsi. Sedangkan konsepsi subjekberkemampuan matematika rendah (SR) tentang limit fungsi menunjukkan, yaitu (1)mengungkapkan arti notasi limit fungsi, limit kiri dan limit kanan dengan menyatakanke dalam kata-kata dan grafik, (2) mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, danlimit kanan dengan menyatakan ke dalam kalimat (verbal) dan simbol denganmemuat unsur pembentuk definisi formal, sedangkan ungkapan definisi limit kiri danlimit kanan dalam verbal dan simbol SR mengalami kesalahan dalam mengungkapkansalah satu unsur pembentuk definisi formal. Ungkapan SR definisi limit fungsi, limitkiri dan limit kanan dalam representasi grafik dan tabel, SR tidak menunjukkan unsur-unsur pembentuk definisi formal. (3) menerapkan, SR menggunakan metodepemfaktoran, substitusi untuk menentukan nilai limit fungsi.
Gambar 1. Representasi Verbal ST
Konsepsi: ungkapan ST definisi limit fungsi dalam representasi verbal denganmemuat unsur-unsur pembentuk definisi formal
Gambar 2. Representasi Grafik ST
Konsepsi: ungkapan ST definisi limit fungsi dalam representasi grafik denganmemuat unsur-unsur pembentuk definisi formal
Gambar 3. Representasi Simbol ST
Konsepsi: ungkapan ST definisi limit fungsi dalam representasi simbol dengan memuatunsur-unsur pembentuk definisi formal
POSTERPENELITIAN DISERTASI DOKTOR
PROFIL KONSEPSI MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKATENTANG LIMIT FUNGSIOlehUsman. Dwi Juniati, Tatag Yuli Eko Siswono
KERANGKA TEORI
Lioyd (1998):Konsepsi: strukturmental meliputipengetahuan,keyakinan,pemahaman, pilihan,dan lainnya.
Thompson (1992)Konsepsi : strukturmental meliputi aspekkeyakinan, makna-makna, konsep-konsep, aturan,proposisi bayanganmental, representasi,dan lainnya
PemahamanRepresentasi
PENDAHULUAN
Salah satu permasalahan dalam pembelajaranmatematika lanjut (Kalkulus dan Analisis Real)di perguruan tinggi adalah mahasiswamempunyai konsepsi yang lemah terhadap limitfungsi.
Lemahnya konsepsi pada mahasiswa terjadikarena mahasiswa mengalami kesulitanmengungkapkan kaitan antara konsep jarakdengan konsep limit fungsi, konsep intervaldan konsep limit fungsi, konsep barisankonvergen dan konsep limit fungsi, konseplimit fungsi dengan kekontinuan fungsi,turunan fungsi, dan integral.
Tujuan: Mendeskripsikan aspek–aspek konsepsitentang limit fungsi mahasiswa calon gurumatematika.
Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan konsepsi mahasiswa calon guru
HASIL PENELITIAN
METODE
Pengembangan Instrumen:Tes Kemampuan Matematika (TPM)Tes Konsepsi Limit FungsiPedoman Wawancara
Pelaksanaan TPM
Pelakanaan TKLF danWawancara
Penelitian Kualitatif Eplorasif
Analisis Data: (1) menelaah data dan membuat transkrip data, (2)pemeriksaan data, (3) reduksi data, (4) pemaparan dan penafsiran data, (5)penarikan kesimpulan,
Aspek Pemahaman
Pengertian:
Penerapan
Penjelasan
lim→ = , ketika mendekati/menuju ke , tetapi tidakharus sama dengan maka ( ) mendekati/ menuju kelim→ = , ketika mendekati/menuju ke dari arah kiri
maka ( ) mendekati/menuju ke
lim→ = , ketika mendekati/menuju ke dari arah
kanan maka ( ) mendekati/menuju ke
Menentukan nilai limit fungsi dengan cara mengunakan metodepemfaktoran, pencoretan/pengcencelan,subtitusi, sertapenjelasan alasan penggunaannya atau penjelasan lamgkah-langkah
adalah lim→ ( ) jika diberikan sebarang epsilon bilangan real positif dapat cari
delta bilangan real positif yang berpadanan sedemikian hingga jika jarak ke lebhdari nol dan kecil dari delta maka jarak ( ) ke kecil dari epsilon.
L adalah lim→ ( ) jika diberikan sebarang epsilon bilangan positif terdapat delta
bilangan positif yang berpadanan sehingga jika selisih dengan lebih dari nol danlebih kecil dari delta maka jarak antara ( ) dan kecil dari epsilon.
L adalah lim→ ( ) jika diberikan sebarang epsilon bilangan positif terdapat delta
bilangan positif yang berpadanan sehingga jika selisih dengan lebih dari nol danlebih kecil dari delta maka jarak antara ( ) dan kecil dari epsilon.
Aspek Representasi
Representasi Verbal
Representasi Grafik
Representasi Simbol
lim→ : untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan real
positif yang berpadanan sedemikian sehingga 0 | | maka | |lim→ : untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif yang berpadanan
sehingga jika 0 maka | |lim→ , untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif yang berpadanan
sedemikian sehingga 0 maka | |
Bentuk grafik yang menggambarkan definisi limit fungsi
lim→lim→
lim→
Ucapan Terima KasihTerima kasih penulis sampaikan kepada Direktorat Riset dan Pengabdian MasyarakatDirektorat Jenderal Penguatan Riset dan Pengembangan Kementrian Riset, Teknologi danPendidikan Tinggi (Kemenristek Dikti) yang telah memberikan dana hibah penelitian disertasidoktor dengan Surat Perjanjian Penugasan Pelaksanaan Program PenelitianNomor:105/SP2H/LT/DPRM/IV/2017 tanggal 3 April 207. Selanjutnya, terima kasih kepadaketua dan staff LPPM Universitas Syiah Kuala yang telah memfasilitasi kegiatan PDD, danjkepada promotor dan kopromotor yang telah membimbing penelitian ini mulai penyusuanproposal hingga laporan penelitian.
International Conference on Research, Implementation and
Education of Mathematics and Science (ICRIEMS)
Faculty of Mathematics and Natural Science, Yogyakarta State University Jl. Colombo 1 Karangmalang Yogyakarta 55281, Phone. 0274-550846
http://seminar.uny.ac.id/icriems, e-mail: [email protected]
No : 17/UN.34.13/ICRIEMS/2017 27 Maret 2017
Re : Acceptance of abstract
To : Usman
Universitas Syiah Kuala (BANDA ACEH)
Congratulations! The Faculty of Mathematics and Natural Science, Yogyakarta State University kindly invite
you to attend in The 4th International Conference on Research, Implementation and Education of
Mathematics and Science (4th ICRIEMS) on 15 – 16 May 2017, which has a theme of "Research and
education for developing scientific attitude in sciences and mathematics”.
Your abstract entitled:
Exsplorating Conception Prospective Students Teacher Abilyty Higly Mathematical About Limit Of
Function
has been reviewed by a scientific team organized by the conference committee and the result indicates that
your abstract is accepted to be presented in the parallel session. If the reviewer has requested any revision, it
must be revised. This abstract will be published in the conference booklet.
For abstract with more than one author, we would appreciate very much if the name of the author who will
give the presentation is well informed. This would greatly assist us in preparing the presenter’s certificate
earlier.
The committee also invites all authors to submit full papers that will be peer reviewed by ICRIEMS
committee. Each accepted and selected paper will be assigned one of the publication categories as follows.
Category 1: SCOPUS Indexed AIP Conference Proceedings.
Category 2: DOAJ Indexed Journals: JPMS, JSD, or Jurnal Inovasi Pendidikan IPA.
Category 3: Reguler ICRIEMS Proceedings indexed by Google Schoolar
Full-paper is due on Sunday, 16 April 2017 and will not be extended to allow sufficient period of reviewing
process. Guidelines and more information can be found in the website:
www.seminar.uny.ac.id/icriems.
We look forward to seeing you soon!
No. : 5/LOA/ICoMPAC/2016 Subject: Official Letter of Acceptance
Dear Usman Agani,
On behalf of the Committee of International Conference on Mathematics: Pure, Applied and Computation, ICoMPAC 2016, we are pleased to inform you that your paper “Differences Conception Prospective Students Teacher About Limit of Function Based Gender “ has been accepted to be presented in the conference.
We hope that you would be able to attend the conference that will be held by Mathematics Department, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
Should you have any enquiries and questions, please email us at [email protected] while for more detailed information, please find it in our website http://www.icompac.its.ac.id/.
We look forward to your contribution at Surabaya.
Best Regards, Conference Chairman
Dr. Dieky Adzkiya, S.Si, M.Si
NIP. 19830517 200812 1 003