Espacios vectoriales Proyecciones ortogonales y mınimos cuadrados Determinantes Vectores y valores propios
Algebra lineal
Roberto Carlos Cabrales
Dpto. de Ciencias BasicasU. del Bıo-Bıo, Chile.
https://rcabrales.wordpress.com
2do semestre de 2015.Ultima actualizacion: Lunes 16 de Noviembre de 2015.
Espacios vectoriales Proyecciones ortogonales y mınimos cuadrados Determinantes Vectores y valores propios
Espacios vectoriales y subespacios, 1
Consideramos el espacio euclideo n dimensional definido por
Rn =
x1
x2
...xn
: xi es un numero real para todo i = 1, 2, . . . , n
.
En este conjunto se definen dos operaciones que son la suma y la multiplicacion porescalar, las cuales tienen las siguientes propiedades:
Propiedades de la sumaS1. Si x , y ∈ Rn entonces x + y ∈ Rn.S2. Para todo x , y ∈ Rn se tiene x + y = y + x .S3. Para todo x , y , z ∈ Rn se tiene que x + (y + z) = (x + y) + z .S4. Existe un unico vector llamado vector cero y denotado por 0 tal quex + 0 = 0 + x = x para todo x ∈ Rn.S5. Para cada vector x ∈ Rn existe un unico vector llamado inverso aditivo de xdenotado −x tal que x + (−x) = (−x) + x = 0.
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Espacios vectoriales y subespacios, 2
Propiedades de la multiplicacion por escalarM1. Si x ∈ Rn y α ∈ R entonces αx ∈ Rn.M2. Para todo x ∈ Rn se tiene que 1x = x .M3. Para todos los escalares α, β ∈ R y todo x ∈ Rn se tiene que(αβ)x = α(βx) = β(αx).M4. Para todos los vectores x , y ∈ Rn y todo escalar α ∈ R se tieneα(x + y) = αx + αy .M5. Para todos los escalares α, β ∈ R y todo x ∈ Rn se tiene que (α+β)x = αx +βx .
De forma mas general, si V es un conjunto no vacıo y K es R o C, y se definen unaoperacion entre elementos de V (suma) y una operacion entre elementos de V y de Ro C (multiplicacion por escalar) y dichas operaciones cumplen las propiedades S1 a S5y M1 a M5, entonces la terna (V ,+, ·) se llama espacio vectorial sobre R o C.Sea V un espacio vectorial. Un subconjunto no vacıo S de V se llama un subespaciovectorial de V si
1. es cerrado con respecto a la suma, es decir, si x , y ∈ S entonces x + y ∈ S .
2. es cerrado con respecto a la multiplicacion por escalar, es decir, si x ∈ S y α esun escalar entonces αx ∈ S .
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Espacios vectoriales y subespacios, 3
Sea T = {v1, . . . , v r} ⊂ V . Una combinacion lineal de los vectores de T es un vectorde la forma
v = t1v1 + · · ·+ trv r , donde ti son escalares.
Si V es un espacio vectorial y T = {v1, . . . , v r} entonces el conjunto formado portodas las combinaciones lineales de elementos de T es un subespacio de V , llamadosubespacio generado por T y se denota por genT o gen{v1, . . . , v r}.
Si A ∈Mm×n(R) y b ∈ Rm, entonces el sistema Ax = b es soluble si y solo si b esuna combinacion lineal de las columnas de A. Mas aun, el conjunto de todos losvectores b ∈ Rm tales que Ax = b es soluble es un subespacio de Rm. Masexactamente, el subespacio de Rm generado por las columnas de A, y se llama espaciocolumna de A y se denota C(A).
Sea A ∈Mm×n(R). El conjunto solucion del sistema homogeneo Ax = 0 es unsubespacio de Rn, llamado espacio nulo de A y se denota N (A).
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Independencia lineal, bases y dimension, 1
Sea S = {v1, . . . v r} un subconjunto de un espacio vectorial V . Decimos que S eslinealmente dependiente (L.D.) si existen escalares c1, . . . , cr no todos iguales a cerotales que c1v1 + c2v2 + · · ·+ crv r = 0. En caso contrario, diremos que S eslinealmente independiente (L.I.) .
Para determinar si un conjunto S es L.I., se estudia la solucion de la ecuacionc1v1 + c2v2 + · · ·+ crv r = 0. Si la unica solucion es la trivial, entonces S es L.I., sihay otras soluciones es L.D.
Sea S un subconjunto finito de un espacio vectorial V . Entonces
1. Si S consta de dos o mas vectores entonces S es L.D. si y solo si existe al menosun vector de S que es C.L. de los otros.
2. Si S contiene al vector nulo, S es L.D.
3. Si S contiene exactamente dos vectores entonces S es L.D. si solo si uno de losvectores es multiplo escalar de otro.
4. Si S contiene un slo vector diferente de cero, entonces S es L.I.
Sea S = {v1, . . . , vn} ⊂ Rn y A la matriz cuyas columnas son los vectores de S . Elconjunto S es L.I. si y solo si el sistema homogeneo Ax = 0 tiene unicamente lasolucion trivial.
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Independencia lineal, bases y dimension, 2
En particular:
1. Si A ∈Mm×n(R) las columnas de A son L.I. si y solo si r(A) = n.
2. Si A ∈Mm(R), A es invertible si y solo si las columnas de A son L.I.
3. Si A ∈Mm(R), A es invertible si y solo si las filas de A son L.I.
4. En Rm todo conjunto con mas de m vectores es L.D.
Si U es una matriz en la forma escalonada:
1. Las filas no nulas de U son L.I.
2. Las columnas de U que contienen pivote son L.I.
Sea S un subconjunto de un espacio vectorial V . Entonces
1. Si S = {v1, . . . , v r} es L.I. y v ∈ V \ gen{S}, entonces S ′ = {v1, . . . , v r , v} esL.I.
2. Si S = {v1, . . . , v r} es L.I y v = c1v1 + · · ·+ civ i + · · ·+ crv r con ci 6= 0entonces S ′ = {v1, . . . , v , . . . , v r} es L.I. y gen{S ′} = gen{S}.
3. Si en S un vector es C.L. de los otros, entonces el conjunto S ′ obtenido de S aldescartar el vector v es tal que gen{S ′} = gen{S}.
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Independencia lineal, bases y dimension, 3
Una base para un espacio vectorial V es un subcojunto de V tal que
1. B es L.I.
2. gen(B) = V .
Si B = {v1, . . . , v r} es una base para un espacio vectorial V , cada vector v ∈ V sepuede representar de manera unica como una C.L. de los elementos de la base B.Ningun conjunto que contenga menos de n vectores general a Rn. Mas aun, si V es un
espacio vectorial y una base para V consta de n vectores entonces toda base de Vtiene exactamente n vectores. Sea V es un espacio vectorial. Si V 6= {0}, el numero
de elementos de cualquier base de V se llama dimension de V y se denota dim(V ). SiV = {0}, se dice que la dimension de V es cero. Sean V un espacio vectorial de
dimension n y S un subconjunto finito de V con al menos un vector no nulo. Entonces
1. Si S es L.I., existe una base para V que contiene al conjunto S .
2. Si gen(S) = V , existe una base para V que esta contenida en S .
En particular, si dim(V ) = n, entonces ningun subconjunto de V que contenga menosde n vectores, genera a V y si H es un subespacio de V entonces dim(H) ≤ dim(V ).
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Independencia lineal, bases y dimension, 4
Como hallar una base a partir de un conjunto L.I.
Tenemos dos metodos:
Metodo 1 Si S = {v1, . . . , v r} es L.I., se calcula el subespacio generado por S y seelige un vector v r+1 ∈ V \ gen(S). Entonces el conjunto S1 = v1, . . . , v r , v r+1} es L.I.Si gen(S1) 6= V se repite el proceso con S1 y asi sucesivamente.
Metodo 2 Basta elegir una base de V e ir sustituyendo cada uno de los elementos de laesta por los elementos de S , de tal forma que en cada paso, el conjunto que nos quedesea L.I.. El procesos termina cuando se hayan sustituido todos los elementos de S .
Si V es un espacio vectorial de dimension n, entonces
1. Todo subconjunto L.I. de V que contenga exactamente n vectores es base de V .
2. Todo subconjunto que genere a V y contenga exactamente n vectores es unabase de V .
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Los cuatro subespacios fundamentales, 1
Sea A ∈Mm×n(R).El espacio columna de A se define como
C(A) = gen{A(1),A(2), . . . ,A(n)} = {b ∈ Rm : el sistema Ax = b es soluble}.
El espacio nulo de A se define como
N (A) = {z ∈ Rn : z es solucion del sistema Ax = 0}.
El espacio fila de A se define como el espacio generado por los vectores que aparecencomo las filas de A:
R(AT ) = gen{A1,A2, . . . ,Am}.
El espacio nulo izquierdo de A se define como
N (AT ) = {z ∈ Rm : z es solucion del sistema AT y = 0}.
Veremos como calcular una base y la dimension de cada uno de estos subespacios.
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Los cuatro subespacios fundamentales, 2
Base y dimension para el espacio fila
Sea A ∈Mm×n(R) y U la matriz escalonada superior que se obtiene desde Amediante operaciones elementales. Entonces
1. El espacio de fila de A y U son iguales, es decir, R(A) = R(U).
2. Una base para el espacio fila de A esta formada por los vectores que aparecencomo filas no nulas de la matriz escalonada U.
3. dimR(A) = r(A).
Base y dimension para el espacio nulo
Sea A ∈Mm×n(R) y U la matriz escalonada superior que se obtiene desde Amediante operaciones elementales. Entonces
1. El espacio nulo de de A y U son iguales, es decir, N (A) = N (U).
2. Una base para el espacio nulo de A puede obtenerse como sigue: por cadavariables libre en el sistema reducido Ux = 0, se construye un vector de la base,dando a esa variable el valor 1 y a las restantes variables libres el valor 0, ycalculando en estos valores las variables basicas.
3. dimN (A) = n − r(A).
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Los cuatro subespacios fundamentales, 3
Base y dimension para el espacio columna
Sea A ∈Mm×n(R) y U la matriz escalonada superior que se obtiene desde Amediante operaciones elementales. Entonces
1. Si c1, c2, . . . , cn ∈ R entonces
c1U(1) +c2U
(2) +· · ·+cnU(n) = 0, si y solo si c1A
(1) +c2A(2) +· · ·+cnA
(n) = 0.
2. Por cada conjunto de columnas de U que sea L.I., las correspondientes columnasde A tambien son L.I.
3. Cada columna de U que no contiene pivote es una C.L. de las columnas de U quecontienen pivote.
4. En A, cada columna que corresponde a columna sin pivote en U, es una C.L. delas columnas de A correspondientes a columnas con pivote en U.
5. Una base de C(A) esta formada por las columnas de A, correspondientes aaquellas columnas de U que contienen pivote.
6. dim C(A) = r(A).
En general C(A) 6= C(U).
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Los cuatro subespacios fundamentales, 4
Base y dimension para el espacio nulo izquierdo
Sea A ∈Mm×n(R) tal que r(A) = r , P un matriz de permutacion, L una matriztriagular inferior con diagonal unitaria y U la matriz escalonada superior que seobtiene desde A mediante operaciones elementales, tales que PA = LU. Entonces
1. dimN (AT ) = m − r(A).
2. Una base para el espacio nulo izquierdo de A, esta dada por los vectores queaparecen como las ultimas m − r filas de la matriz L−1P.
Teorema fundamental del Algebra Lineal, parte 1
Para cada matriz A ∈Mm×n(R), se tiene
1. dim C(A) = r(A) = dimR(A).
2. dimR(A) + dimN (A) = n.
3. dim C(A) + dimN (AT ) = m.
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Ortogonalidad de vectores y subespacios, 1
Sean x = (xj ), y = (yj ),vectores de Rn. El producto escalar de x e y es
xT y =[
x1 x2 · · · xn]
y1
y2
...yn
= x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn.
Propiedades Sean α ∈ R y x , y , z ∈ Rn. Entonces
1. xT y = yT x .
2. (αx)T y = α(xT y) = xT (αy).
3. xT (y + z) = xT y + xT z .4. (x + y)T z = xT z + yT z .5. xT x ≥ 0.
6. xT x = 0 si y solo si x = 0.
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Ortogonalidad de vectores y subespacios, 2
Sea x = (xj ) un vector de Rn. La longitud o norma del vector x se define como
‖x‖ =√
xT x =√
x21 + x2
2 + · · ·+ x2n .
Propiedades Sean α ∈ R y x , y , z ∈ Rn. Entonces
1. ‖x‖ ≥ 0.
2. ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0.
3. ‖αx‖ = |α|‖x‖.4. ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, llamada desigualdad triangular.
5. |‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x − y‖.6. |xT y | ≤ ‖x‖‖y‖, llamada desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Si x , y ∈ Rn \ {0}, al unico angulo θ ∈ [0, π] tal que cos θ =xT y‖x‖‖y‖
se llama el angulo
entre los vectores x e y . Si x = 0 o y = 0 diremos que el angulo entre x e y es π2
.
Decimos que x es ortogonal a y si xT y = 0.
• Teorema de Pitagoras x es ortogonal a y si y solo si ‖x‖2 + ‖y‖2 = ‖x + y‖2.
• Si S = {v1, v2, . . . , vk} es un conjunto de vectores no nulos de Rn y mutuamenteortogonales, es decir, vT
i v j = 0 si i 6= j entonces S es L.I.
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Ortogonalidad de vectores y subespacios, 3
Si V y W son subespacios de Rn, decimos que V es ortogonal a W , si cada vector deV es ortogonal a todos los vectores de W , es decir, si para cada v ∈ V se tiene quevTw = 0 para todo w ∈W .
Para probar que dos subespacios V y W de Rn son ortogonales, es suficiente probarque cada vector de una base de V es ortogonal a todos los vectores de una base de W .
Si U y W son subespacios ortogonales de Rn, entonces U ∩W = {0}.
Si A ∈Mm×n(R), entonces
1. El espacio fila de A y el espacio nulo de A son subespacios ortogonales de Rn.
2. El espacio columna de A y el espacio nulo izquierdo de A son subespaciosortogonales de Rm.
Sea H un subespacio de Rn. El conjunto formado por todos los vectores de Rn que sonortogonales a todos los vectores de H se llama complemento ortogonal de H y sedenota H⊥. Es decir
H⊥ = {x ∈ Rn : xTh = 0, para todo h ∈ H}.
H⊥ es un subespacio vectorial de Rn.
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Ortogonalidad de vectores y subespacios, 4
Teorema fundamental del algebra lineal, parte 2
Para toda matriz A ∈Mm×n(R) se tiene que:
1. El complemento ortogonal del espacio fila es el espacio nulo:(R(A))⊥ = N (A).
2. El complemento ortogonal del espacio nulo es el espacio fila: (N (A))⊥ = R(A).
3. El complemento ortogonal del espacio columna es el espacio nulo izquierdo:(C(A))⊥ = N (AT ).
4. El complemento ortogonal del espacio nulo izquierdo de A es el espacio columnade A: (N (AT ))⊥ = C(A).
Para todo subespacio H de Rn, se tiene:
1. dimH + dimH⊥ = n.
2. Si H 6= {0}, la union de una base de H y una base de H⊥ es una base para Rn.
3. Si V y W son subespacios de Rn tales que V es ortogonal a W ydimV + dimW = n, entonces V⊥ = W y W⊥ = V .
4. Todo vector b ∈ Rn se puede expresar de manera unica como b = h1 + h2 conh1 ∈ H y h2 ∈ H⊥.
h1 se llama la proyeccion ortogonal sobre H y h2 la proyeccion ortogonal sobre H⊥. Sedenotan proyHb y proyH⊥b, respectivamente.
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Ortogonalidad de vectores y subespacios, 5
Si H es un subespacio de Rn y b ∈ Rn, entonces:
1. proyHb es el unico vector de H tal que b − proyHb es ortogonal a todos losvectores de H. La norma de este vector, es decir el numero ‖b − proyHb‖, es ladistancia de b al subespacio H.
2. b = proyHb + proyH⊥b.
3. ‖b‖2 = ‖proyHb‖2 + ‖proyH⊥b‖2.
Sea H = gen{a} con a ∈ Rn \ {0} entonces proyHb =
[aTbaTa
]a. Este vector se llama
la proyeccion ortogonal de b sobre a y lo denotamos por proyab.
Figura: Esquema de las relaciones entre los subespacios fundamentales.
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Mınimos cuadrados en una variable
Dado un conjunto de puntos (tk , zk ), k = 1, . . . ,m queremos encontrar la ecuacion dela recta y = Dx que mejor se ajuste a dichos puntos, es decir aquella recta queminimice la expresion del error E dada por
E = E(D) = ‖b−Da‖ =
[m∑
k=1
(zk − Dtk )2
]1/2
=[(z1 − Dt1)2 + . . .+ (zm − Dtm)2
]1/2,
donde a = [t1, · · · , tm] y b = [z1, · · · , zm]. Usando calculo diferencial la solucion es
x =aTbaTa
, lo que nos da el error E(x) = ‖b − xa‖.
Figura: Ilustracion del problema de los minimos cuadrados en 1 variable
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Mınimos cuadrados lineales en varias variables, 1
Sean A ∈Mm×n(R) y b ∈ Rm. La proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columnade A, es el unico vector de C(A) que tiene la propiedad de que su distancia a b esmenor que la distancia de cualquier otro vector del espacio columna de A al vector b.
Figura: Ilustracion de la solucion en terminos de los mınimos cuadrados del sistema Ax = b
Toda solucion del sistema Ax = p = proyC(A)b se llama una solucion en terminos delos mınimos cuadrados del sistema Ax = b.
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Mınimos cuadrados lineales en varias variables, 2
Lo que se trata de hacer, es minimizar la funcion error
E : Rn → Rx 7→ E(x) = ‖b − Ax‖.
Sea A ∈Mm×n(R) y p = proyC(A)b. Entonces x0 es solucion de Ax = p si y solo si
x0 es solucion del sistema de ecuaciones normales ATAx = ATb.
Para encontrar las soluciones en terminos de los mınimos cuadrados del sistemaAx = b, es decir, los puntos donde se minimiza el error E(x) = ‖b − Ax‖, bastaresolver el sistema de ecuaciones normales ATAx = ATb.
Sea A ∈Mm×n(R). Entonces
1. ATA es simetrica.
2. N (ATA) = N (A).
3. r(ATA) = r(A).
4. Si A tiene columnas L.I. entonces ATA es invertible.
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Matrices de proyeccion ortogonal. Conjuntos ortogonales. 1
Sea M ∈Mm(R). M es simetrica (M = MT ) y M es idempotente (M2 = M) si y solosi M proyecta ortogonalmente cada vector b ∈ Rm sobre el espacio columna de M,C(M). M se llama matriz de proyeccion ortogonal.
Sea A ∈Mm×n(R) tal que r(A) = n y P = A(ATA)−1AT .
1. C(P) = C(A).
2. P es simetrica e idempotente.
Sean x1, x2, . . . , xn ∈ Rn.
1. Decimos que los vectores x1, x2, . . . , xn son ortogonales (o que el conjunto{x1, x2, . . . , xn} es ortogonal) si xT
i x j = 0 para i 6= j .
2. Decimos que los vectores x1, x2, . . . , xn son ortonormales (o que el conjunto{x1, x2, . . . , xn} es ortogonormal) si
xTi x j =
{0 para i 6= 0,
1 para i = j
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Matrices de proyeccion ortogonal. Conjuntos ortogonales. 2
Sea A ∈Mm×n(R).
1. Las columnas de A son ortonormales si y solo si ATA = In.
2. Si las columnas de A son ortonormales entonces2.1 Para cada b ∈ Rm, la mejor solucion x del sistema Ax = b en terminos de los minimos
cuadrados es x = ATb.2.2 La matriz de proyeccion ortogonal sobre C(A) esta dada por
P = AAT = a1aT1 + a2a
T2 + · · · + ana
Tn .
2.3 Para cada b ∈ Rm, la proyeccion ortogonal de b sobre C(A) se puede expresar como lasuma de las proyecciones individuales de b sobre las rectas ortogonales de Rm generadaspor las columnas de A, es decir
proyC(A)b = proya1b + proya2
b + · · · + proyanb.
Q ∈Mn(R) es una matriz ortogonal si las columnas de Q son vectores ON. Ademas
1. La matriz Q es ortogonal si y solo si Q es invertible y Q−1 = QT .
2. La matriz Q es ortogonal si y solo si las filas de Q son ortonormales.
3. Si Q es matriz ortogonal entonces, para todo x , y ∈ Rn se tiene
• (Qx)T (Qy) = xT y .
• ‖Qx‖ = ‖x‖.
• El angulo entre Qx y Qy es igual al angulo entre x e y .
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Matrices ortogonales y el proceso de Gram-Schmidt
Sean a1, a2, . . . , an ∈ Rn vectores L.I. Sean
v1 = a1,
v2 = a2 −vT
1 a2
v1Tv1v1,
...
vn = an −vT
1 an
v1Tv1v1 −
vT2 an
v2Tv2v2 − · · · −
vTn−1an
vn−1Tvn−1vn−1.
Entonces
1. v1, . . . , vn son vectores mutuamente ortogonales y no nulos.
2. gen{a1, a2, . . . , ai} = gen{v1, v2, . . . , v i} para todo i = 1, 2, . . . , n.
3. Si q i = v i‖v i‖
con i = 1, 2, . . . , n entonces {q1, q2, . . . , qn} es base ortonormal
para el subespacio generador por a1, a2, . . . , an.
Sea A ∈Mm×n(R) de columnas de A son L.I. entonces existen matricesQ ∈Mm×n(R) de columnas ortonormales y R ∈Mn(R) triangular superior einvertible tales que A = QR. En este caso
1. Para cada vector b ∈ Rm la mejor solucion del sistema Ax = b en terminos de losmınimos cuadrados es la unica solucion del sistema triangular superiorRx = QTb.
2. La matriz de proyeccion ortogonal sobre C(A) es P = QQT .
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Definiciones
Sea A ∈Mn(R), n ≥ 2. A la matriz cuadrada de orden n − 1 que se obtiene aleliminar en A si i-esima fila y su j-esima columna, se le llama el ij-esimo menor de A yse denota por Mij .
Se define tambien el ij-esimo cofactor de A, denotado por Aij , se define comoAij = (−1)i+j |Mij |.
Sea A = (aij ),∈Mn(R). El determinante de A, denotado por det(A) o |A| se definecomo:
n = 1. det(A) = a11.
n ≥ 2. En este caso, tenemos
det(A) = |A| = a11A11 + a12A12 + · · ·+ a1nA1n =n∑
k=1
a1kA1k .
Note que si n = 2, entonces det(A) = a11a22 − a12a21.
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Propiedades de los determinantes
Sea A = (aij ) ∈Mn(R). Entonces
1. El determinante de A se puede calcular haciendo el desarrollo por cofactores decualquier fila o columna de A, es decir
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin =n∑
k=1
aikAik
= a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj =n∑
k=1
akjAkj .
2. El determinante de una matriz triangular de orden n es igual al producto de lasentradas de su diagonal principal. En particular, det In = 1.
3. Si A tiene un fila nula entonces detA = 0.
4. det(Ej (α)A) = α det(A). En particular, det(αA) = αn det(A).
5. Sean A,B,C ∈Mn(R) matrices iguales, salvo por la i-esima fila de C , que esigual a la suma de las i-esimas filas de A y de B. Entonces detC = detA + detB.
6. det(EijA) = (−1) det(A) y det(Eij (α)A) = det(A).
7. Si las filas de A forman un conjunto L.D., entonces detA = 0.
8. A es invertible si y solo si detA 6= 0.
9. det(AB) = (detA)(detB).
10. detA = detAT .
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Aplicaciones
Sea A ∈Mn(R). La matriz B =
A11 A12 · · · A1n
A21 A22 · · · A2n
......
...An1 An2 · · · Ann
se llama matriz de
cofactores de A. La matriz adjunta de A, denotada por adj(A), se define como latranspuesta de la matriz de cofactores de A, es decir adj(A) = BT .
Sea A ∈Mn(R), entonces
A−1 =1
detAadj(A).
Regla de Cramer. Sea A ∈Mn(R). Si A es invertible, entonces para j = 1, 2, . . . , n laj-esima componente de la unica solucion de un sistema Ax = b es dada por
xj =detBj
detA,
donde Bj es la matriz obtenida a partir de A, sustituyendo su j-esima columna por elvector b.
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Vectores y valores propios de una matriz
Sea A ∈Mn×n(C), decimos que λ ∈ C es un valor propio de A si existe x ∈ Cn \ {0},llamado vector propio de A asociado al valor propio λ, tal que Ax = λx .
λ es un valor propio de A si y solo si det(A− λIn) = 0.
det(A− λIn) = 0 es un polinomio de grado n, donde el coeficiente de λn es (−1)n y sutermino independiente es det(A) es decir
det(A− λIn) = (−1)nλn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0, donde a0 = det(A).
El polinomio det(A− λIn) se llama polinomio caracterıstico de A y se denota pA(λ).La ecuacion det(A− λIn) = 0 se llama ecuacion caracterıstica de A. El conjunto detodos los valores propios de A se llama el espectro de A y se denota σ(A).
Decir que λ es un valor propio de A significa que hay al menos una solucion no trivialdel sistema homogeneo (A− λIn)x = 0.
Sea λ ∈ σ(A). El conjunto Eλ = {x ∈ Cn : Ax = λx} es un subespacio vectorial deCn, llamado espacio propio de A asociado al valor propio λ. La dimension de Eλ sellama la multiplicidad geometrica de λ y se denota mg(λ).
Una matriz A ∈Mn×n(C) no es invertible si y solo si λ = 0 es valor propio de A.
Espacios vectoriales Proyecciones ortogonales y mınimos cuadrados Determinantes Vectores y valores propios
Diagonalizacion de matrices
Sean A,B ∈Mn×n(C). Decimos que A y B son matrices similares si existe una matrizC invertible tal que B = C−1AC .
Si A y B son matrices similares, entonces
1. pA(λ) = pB(λ)B, es decir σ(A) = σ(B) y det(A) = det(B).
2. r(A) = r(B). Ademas, A es invertible si y solo B es invertible.
Una matriz A ∈Mn×n(C) es diagonalizable si existen matrices Λ,S ∈Mn×n(C) Λdiagonal y S invertible tales que Λ = S−1AS . S se llama una matriz diagonalizantepara A y Λ su diagonal asociada.
Una matriz A ∈Mn×n(C). Las siguientes afirmaciones son equivalentes
1. A es diagonalizable.
2. A posee n vectores propios linealmente independientes.
3. Cn posee una base formada por n vectores propios de A.
Vectores propios correspondientes a valores propios diferentes de una matriz A sonlinealmente independientes. Ademas, si A tiene n valores propios diferentes, entoncesA es diagonalizable.Para todo λ ∈ σ(A) se tiene que mg(λ) ≤ ma(λ). Ademas
1. Si para cada valor propio λ de A, se tiene que mg(λ) = ma(λ), entonces al unirlas bases de los diferentes espacios propios de A, se obtiene una base para Cn ypor ello A es diagonalizable.
2. Si A es diagonalizable entonces mg(λ) = ma(λ), para cada λ ∈ σ(A).
Espacios vectoriales Proyecciones ortogonales y mınimos cuadrados Determinantes Vectores y valores propios
Matrices hermitianas, antihermitianas, unitarias y normales, 1
Sean x = (xj ), y = (yj ),vectores de Cn. El producto hermitiano de x e y es
xHy = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn.
Sean α ∈ C y x , y , z ∈ Cn. Algunas propiedades del producto hermitiano son:
1. xHy = yHx .
2. (αx)Hy = α(xHy), xH(αy) = α(xHy).
3. xH(y + z) = xHy + xHz , (x + y)Hz = xHz + yHz .Como xHx es un numero real no negativo, podemos definir la longitud o normahermitiana de x de la siguiente forma:
‖x‖ =√
xHx =√|x1|2 + |x2|2 + · · ·+ |xn|2.
Sea A = (zij ) ∈Mm×n(C). Se define la matriz conjugada de A, como la matriz
A = (zij ) ∈Mm×n(C). Es decir, A es una matriz de orden m por n cuyascomponentes se obtienen al conjugar las componentes de A. Se define la matrizconjugada transpuesta de A, denotada AH , como la matriz transpuesta de la matrizconjugada de A, es decir
AH = (A)T ∈Mn×m(C).
Note que AH = AT .
Espacios vectoriales Proyecciones ortogonales y mınimos cuadrados Determinantes Vectores y valores propios
Matrices hermitianas, antihermitianas, unitarias y normales, 2
Sea A ∈Mn×n(C).
1. Decimos que A es hermitiana si A = AH .
2. Decimos que A es anti-hermitiana si A = −AH .
3. Decimos que A es unitaria si es invertible y A−1 = AH .
4. Decimos que A es normal si AHA = AAH .
5. Decimos que A es diagonalizable unitariamente si existen matrices Λ diagonal y Uunitaria tales que Λ = UHAU = U−1AU.
Toda matriz A ∈Mn×n(C) normal es diagonalizable unitariamente.
Como toda matriz que sea hermitiana, anti-hermitiana o unitaria es normal y por lotanto diagonalizable unitariamente.
Teorema espectral. Sea A ∈Mn×n(C) una matriz normal y λ1, λ2, . . . , λm losdiferentes valores propios de A. Si P1,P2, . . . ,Pm son las respectivas matrices deproyeccion ortogonal sobre los espacios propios Eλ1
,Eλ2, . . . ,Eλm entonces
1. A = λ1P1 + λ2P2 + . . .+ λmPm.
2. P1 + P2 + . . .+ Pm = In.
3. PiPj = 0 para i , j ∈ {1, 2, . . . ,m} i 6= j .