RRC, Zestaw 3, A.Sz.

Równanie struny

1. Rozwiązać zagadnienie. W przypadku struny ograniczonej sprawdzić warunki zgodności.

1.1.

utt − 9uxx = sinx x ∈ R, t > 0u(x, 0) = cos x x ∈ Rut(x, 0) = 2xe−x

2x ∈ R

1.2.

utt − 4uxx = 0 x ∈ (0, 4), t > 0u(0, t) = u(4, t) = 0 t ­ 0u(x, 0) = 2 sin(πx)− 5 sin(3πx) x ∈ 〈0, 4〉ut(x, 0) = 3 sin(2πx) x ∈ 〈0, 4〉

1.3.

utt − 8uxx = 0 x ∈ (0, 2π), t > 0u(0, t) = u(2π, t) = 0 t ­ 0u(x, 0) = 0 x ∈ 〈0, 2π〉

ut(x, 0) =

x dla x ∈ 〈0, π〉2π − x dla x ∈ (π, 2π〉

1.4.

utt − 4uxx = 2 sin(3t) x ∈ (0, π2 ), t > 0u(0, t) = u(π2 , t) = 0 t ­ 0u(x, 0) = 2x2 − πx x ∈ 〈0, π2 〉ut(x, 0) = 0 x ∈ 〈0, π2 〉

1.5.

utt − 4uxx = 2 sin(3x) x ∈ (0, π2 ), t > 0u(0, t) = u(π2 , t) = 0 t ­ 0u(x, 0) = 0 x ∈ 〈0, π2 〉ut(x, 0) = 2x2 − πx x ∈ 〈0, π2 〉

1.6.

utt − 4uxx = e−t(x3 − x2) x ∈ (0, 1), t > 0u(x, 0) = x ut(x, 0) = −x x ∈ 〈0, 1〉u(0, t) = 0 u(1, t) = e−t t ­ 0

1.7.

utt − 16uxx = 0 x ∈ (0, 2), t > 0u(0, t) = e−t u(2, t) = 3e−t t ­ 0u(x, 0) = x2 − x+ 1 x ∈ 〈0, 2〉

ut(x, 0) =

−2x− 1 dla x ∈ 〈0, 1〉−3 dla x ∈ (1, 2〉

1.8.

utt − 4uxx = (π − x) cos t x ∈ (0, π), t > 0u(x, 0) = x2 − πx+ x+ 1 ut(x, 0) = 3 sin 4x x ∈ 〈0, π〉u(0, t) = 1 u(π, t) = 1 + π cos t t ­ 0

1