Ruimtelichamen      Wat  moeten  wij  kennen?    

1) Leerlingen  kunnen  aan  de  hand  van  voorbeelden  illustreren  dat  bij  het  tweedimensionaal  voorstellen  van  driedimensionale  situaties  informatie  verloren  kan  gaan.    

 a. De  leerlingen  kunnen  aan  de  hand  van  voorbeelden  uitleggen  dat  

bijvoorbeeld  de  onderlinge  ligging  van  rechten  niet  altijd  getrouw  afgebeeld  wordt  in  een  vlakke  voorstelling  van  een  ruimtelijke  situatie.  

b. Denk  hierbij  in  het  bijzonder  aan  het  evenwijdig  zijn,  het  kruisend  zijn  en  het  loodrecht  zijn  van  rechten  en  aan  de  hoek  tussen  twee  rechten.  

 2) Leerlingen  kunnen  de  inhoud  van  sommige  ruimtelijke  objecten  benaderend  

berekenen  door  ze  op  te  splitsen  in  of  aan  te  vullen  tot  gekende  lichamen    

a. Uit  de  eerste  graad  kennen  de  leerlingen  de  formules  voor  oppervlakte  en  inhoud  van  de  voornaamste  ruimtefiguren  zoals  kubus,  balk,  prisma,  piramide,  cilinder,  bol.    

b. Zo  kan  van  een  aantal  ruimtefiguren  (bijvoorbeeld  een  gebouw)  oppervlakten  en  inhouden  berekend  worden  door  opsplitsing  van  deze  figuren  in  de  gekende  figuren.    

c. Daarnaast  kan  van  een  aantal  willekeurige  ruimtefiguren  (denk  bijvoorbeeld  aan  een  fles,  een  wijnglas,  een  olietank,  een  badkuip)  een  benaderende  berekening  gemaakt  worden  van  oppervlakten  en  inhouden  door  de  figuren  zo  goed  mogelijk  op  te  splitsen  in  gekende  figuren.  

 3) Leerlingen  kunnen  het  effect  van  schaalveranderingen  op  inhoud  en  oppervlakte  

berekenen.    

a. De  effecten  van  schaalveranderingen  op  inhoud  en  oppervlakte  van  balken,  prisma’s,  piramides  en  kegels  kunnen  hier  berekend  worden.  

 

Ruimtelichamen      Recht  Prisma    Definitie:  

Een  prisma  is  een  veelvlak  waarvan  twee  zijvlakken  congruent  en  evenwijdig  

zijn  enalle  overige  zijvlakken  rechthoeken  zijn.  

Heeft  een  prisma  n  opstaande  zijvlakken,  dan  noemen  we  het  een  recht  prisma.  

 

Oppervlakte:     A     =    2  x  oppervlakte  grondvlak  +  zijdelingse  oppervlakte    

=    2  x  oppervlakte  grondvlak  +  omtrek  grondvlak  x  hoogte  

Inhoud:  V=  oppervlakte  grondvlak  x  hoogte  

 

Speciale  gevallen:  

Balk:     A   =  2  (  l.b  +  b.h  +  h.l)  

V   =  l.b.h  

Kubus:    A   =  6.z2  

V   =z3  

 

Cilinder  

Definitie:  

Een  cilinder  is  een  lichaam  dat  ontstaat  als  we  een  rechthoek  laten  wentelen  om  

de  drager  van  de  zijde.  

Oppervlakte:    A     =  2  x  oppervlakte  grondvlak  +  zijdelingse  oppervlakte    

=  2𝜋r2  +  2𝜋rh  

Inhoud:     V   =  oppervlakte  grondvlak  x  hoogte  =  𝜋r2h  

 

Piramide  

Definitie:  

Een  piramide  is  een  veelvlak  waarvan  een  zijvlak  een  veelvlak  is  en  alle  overige  

zijvlakken  driehoeken  met  een  gemeenschappelijk  hoekpunt  zijn.  

Wanneer  het  grondvlak  een  regelmatige  veelhoek  is,  spreken  we  van  een  

regelmatige  piramide.  

Oppervlakte:     A     =  oppervlakte  grondvlak  +  oppervlakte  zijvlakken  

=  oppervlakte  grondvlak  +  !!  omtrek  grondvlak  x  apothema  

Inhoud:     V   =  !!    oppervlakte  grondvlak  x  hoogte  

 

 

Ruimtelichamen    Kegel  Definitie:  

Een  kegel  is  een  lichaam  dat  ontstaat  als  een  rechthoekige  driehoek  laten  

wentelen  om  de  drager  van  een  rechthoekszijde.  

Oppervlakte:    A     =  oppervlakte  grondvlak  +  !!  omtrek  grondvlak  x  apothema  

Inhoud:     V   =  !!    oppervlakte  grondvlak  x  hoogte  

 

Bol  

Oppervlakte:     A     =  4𝜋r2  

Inhoud:     V     =  !!    r2  

   Oppervlakte  en  Inhoud  van  Ruimtelichamen    

Lichaam   Oppervlakte   Inhoud  /  Volume  

Prisma      

Balk      

Kubus      

Cilinder      

Piramide      

Kegel      

Bol      

   

Ruimtelichamen      

Veelvlakken  en  veelhoeken    3 dime ns ie s                  

         2  dimensies                                      

Ruimtelichamen        

     

Ruimtelichamen    

           

       

 Ruimtelichamen  van  3  dimensionaal  naar  2  Dimensionaal      Welke.vormen.vind.je.hier.terug.....En.hoe.ziet.die.vorm.in.3dimensies.eruit?                                                                                  Je.zal.opmerken.dat.er.soms.verschillende.ruimtelichamen.dezelfde.2.dimensies.hebben.We.willen.graag.de.oppervlakte.en.het.volume.van.die.'vormen'.of.'lichamen'.kennen.en.berekenen.    

     Ruimtelichamen  van  3  dimensionaal  naar  2  Dimensionaal                                                                                    

 Ruimtelichamen  van  3  dimensionaal  naar  2  Dimensionaal                                                                                    

Ruimtelichamen  van  3  dimensionaal  naar  2  Dimensionaal                                                                        

Ruimtelichamen  van  3  dimensionaal  naar  2  Dimensionaal                                                                            

Ruimtefiguren benoemen

Afhankelijk van de aanwezigheid van platte en gebogen oppervlakken kunnen we de ruimtefiguren, ook wel lichamen genoemd, in 2 grote groepen verdelen:

VEELVLAK NIET-VEELVLAK

= een ruimtefiguur die enkel begrensd

is door platte oppervlakken

= een ruimtefiguur die een gebogen

oppervlak heeft

enkele voorbeelden: enkele voorbeelden:

kubus

bol

balk

cilinder

piramide

kegel

Enkele termen hierbij:.

1: het bovenvlak

2: het zijvlak

3: het grondvlak

4: een ribbe

Het zijvlak van een cilinder en kegel noemen we ook wel een mantel.

1

2

3

4

Benoem deze ruimtefiguren.

……………………………………… ……………………………………… ………………………………………

……………………………………… ……………………………………… ………………………………………

……………………………………… ……………………………………… ………………………………………

Oppervlakte van een kubus, balk en cilinder

De oppervlakte wordt uitgedrukt in vierkante meter (m²) of de daarvan afgeleide maateenheden (dm², cm² of mm²).

Kubus

Om de oppervlakte van een kubus te kennen, bereken je de oppervlakte van één zijvlak en vermenigvuldig je die met 6.

voorbeeld:

oppervlakte van één zijvlak: 1 cm . 1 cm = 1 cm²

totale oppervlakte van de kubus: 6 . 1 cm² = 6 cm²

Balk

Om de oppervlakte van een balk te kennen, bereken je de oppervlakte van het grondvlak (of bovenvlak), voorvlak (achtervlak) en een zijvlak. Daarna vermenigvuldig je elke oppervlakte met 2 en tel je vervolgens alle oppervlakten op.

voorbeeld:

2 . (l . b) 2 . (2 cm . 1 cm) = 2 . 2 cm² = 4 cm²

2 . (b . h) 2 . (1 cm . 3 cm) = 2 . 3 cm² = 6 cm²

2 . (l . h) 2 . (2 cm . 3 cm) = 2 . 6 cm² = 12 cm²

Totale oppervlakte 22 cm²

+

h

l

b

Cilinder

Om de oppervlakte van een cilinder te kennen, tel je de oppervlakte van het grondvlak, het bovenvlak en de mantel op.

voorbeeld:

1: mantel

2: bovenvlak

3: grondvlak

stap 1: oppervlakte mantel: = omtrek grondvlak . h = (2 . ∏ . r) . h = (2 . ∏ . 2 cm) . 6 cm = (2 . 3,14 . 2 cm) . 6 cm = 12,56 cm . 6 cm = 75,36 cm² stap 2: oppervlakte van de twee gelijke cirkels (= grondvlak en bovenvlak) oppervlakte van één cirkel: ∏ . r . r = 3,14 . 2 cm . 2 cm = 12,56 cm²

oppervlakte van twee cirkels: 2 . 12,56 cm² = 25,12 cm² stap 3: totale oppervlakte: 75,36 cm² + 25,12 cm² = 100,48 cm²

h=6 cm

1

3

2

6 cm

4 cm

1

OEFENINGEN

1 Bereken de oppervlakte van onderstaande ruimtefiguren.

berekening:

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

oppervlakte = ………………… cm²

berekening:

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

oppervlakte = ………………… cm²

berekening:

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

oppervlakte = ………………… m²

berekening:

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

oppervlakte = ………………… m²

3 cm

1 cm

10 cm

2 cm

5 m

Bereken de oppervlakte van de cilinder.

berekening:

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

oppervlakte = ……………………… cm²

berekening:

………………………………………………………………

………………………………………………………………

………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

oppervlakte = ……………………… m²

Een kubus schilderen.

Een kubus met een zijde van 3 m moet volledig geschilderd worden. Een pot verf van 2 liter is goed voor 25 m². Hoeveel potten verf zijn er nodig?

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Antwoord:

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2 cm

7 cm

5 m

18 m

3 m

Reclame maken.

Om de pennenzakken te promoten, plant het bedrijf een grote reclamecampagne. Het reclamebureau wil wagens met een reuzenpennenzak in de stad laten rondrijden. Hoeveel m² reclame kan er op de reuzenpennenzak? Berekening:

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Antwoord:

Er kan ……………… m² reclame op de reuzenpennenzak.

Els verjaart!

Els wordt 17 jaar en daarom hebben mama en papa besloten dat ze voor haar verjaardag

een gsm krijgt. Mama heeft de gsm al gekocht. Nu moet ze de doos nog inpakken. Hoeveel inpakpapier zal mama zeker nodig hebben? Berekening:

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Antwoord:

Mama heeft zeker ……………….. inpakpapier nodig

20 cm

5 cm

10 cm

Ontvouwing van een prisma : Hieronder zie de een schets van een regelmatig zeszijdig prisma waarvan de zijde van het grondvlak 2 cm en de hoogte 3 cm bedraagt: Teken de ontvouwing van dit prisma:

prisma. Een prisma is een veelvlak met tenminste twee evenwijdige zijvlakken en zo dat de ribben die niet in deze zijvlakken liggen evenwijdig zijn. Een prisma is recht wanneer de opstaande ribben loodrecht op het grondvlak staan. Een prisma is regelmatig als het grondvlak een regelmatige veelhoek is. Een n-zijdig prisma heeft een grondvlak dat een n-hoek is. Ontwikkeling:

Formules voor oppervlakte en inhoud

Oppervlakte A van eenvoudige vlakke figuren

Rechthoek

A = b h

Driehoek

2h bA =

α= sin b a21A

Trapezium

h2

bBA +=

A = m h

b

h

B

b

m h

αh

b

a

Cirkel

A = π r 2

( omtrek = 2 π r )

Cirkelsector (= kromlijnige driehoek)

2r 21A α= (α in radialen)

r =bmet r b21a α= (α in radialen)

Deel van een cirkelring (kromlijnig trapezium)

A R r

A R r R r

= −

= − +

12

12

2 2α

α

( )

( ) ( )

A = m (R − r)

Cirkelsegment

)sin(r21

sinr21r

21A

2

22

α−α=

α−α= (α in radialen)

α

b

r

r

R − rα

m

rR

rα

Inhoud V van eenvoudige ruimtelichamen

Prisma

V = h G

Piramide

G h 31V =

Afgeknotte piramide

)BB.GG(h 31V ++=

h

G

h

G

G

B

h

Cirkelcilinder

V = π r 2 h

Cirkelkegel

h r 31V 2π=

Afgeknotte cirkelkegel

)rRrR(h31V 22 ++π=

h

r

h

r

h

R

r

Buis (holle cilinder)

V = π h (R 2 - r 2)

V = hoogte*dikte*omtrek cirkel met gemiddelde straal

Oppervlakte A en inhoud V van een bol

A = 4 π r 2

3r34V π=

r

(R+r)/2R r

dh