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Satira della società The Victorian Age

Riflessione scientifico-matematica:

le Geometrie non Euclidee

La matematica nell’arte Maurits Cornelis Escher

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Edwin Abbott Abbott (1838-1926)

• 1865 – 1889 : Rettore della City of London School

• Composizione di 40 tra libri e trattati di vario genere: manuali scolastici, studi di testi sacri, opere teologiche.

• Flatlandia – Racconto fantastico a più dimensioni (1882)

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Flatlandia – Racconto fantastico a più dimensioni

Prima parte :

Descrizione della società Flatlandese

Seconda parte :

Viaggio alla scoperta di mondi di diversa dimensionalità

Forte gerarchia basata sulla misura degli angoli • Linelandia

• Spacelandia

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Soldati e Operai

Borghese

“Professionisti e Gentiluomini”

Aristocrazia

Sacerdote

Società gerarchica di Flatlandia

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LINELANDIA

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Incontro con la sfera

La terza dimensione : “verso l’ Alto, non verso il “Nord”

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The Victorian Age (1837 – 1901)

• The Victorian Compromise

• Women and Society

• Positive aspects:

- Expansion and reforms

- New political and scientific theories (Darwin, Socialism)

MOST IMPORTANT REFORMS1832: First Reform Act 1839: Custody of Infants Act 1846: Corn Laws1857: Matrimonial Causes Act 1862: Mines Act 1870: Elementary Education Act 1875: Public Health Act 1882: Trade Unions were legalised.1884: Third Reform Act

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Helmholtz : L’origine e il significato degli assiomi geometrici (1870)

“Immaginiamo - ciò non è logicamente impossibile - che esistano esseri dotati di ragione, bidimensionali, viventi e moventesi sulla superficie d’uno dei nostri corpi solidi. Ammettiamo che essi non possano percepire alcunché fuori di questa superficie, ma che possano percepire in modo simile al nostro entro l’ambito della superficie su cui si muovono. Se tali esseri costruissero la loro geometria, attribuirebbero naturalmente al loro spazio due sole dimensioni.”

Riemann : varietà multidimensionali

Dibattito sulle Geometrie non Euclidee

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Le Geometrie non Euclidee

Il V postulato ( o postulato delle parallele )

Risulti postulato che se in un piano una retta, intersecando altre due, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finiscono con l’incontrarsi dalla parte detta.

Problema del V postulato

Contenuto : infinito Forma : teorema

2 possibili soluzioni

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Le Geometrie non Euclidee

Le soluzioni

Determinare una proposizione equivalente al V postulato, con l’evidenza tipica degli assiomi

John Playfair : per un punto non giacente su una retta data né sul suo prolungamento, non è possibile tracciare più di una parallela alla retta data

Dimostrazione del V postulato

Girolamo Saccheri ( 1667 – 1733 )

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Le Geometrie non Euclidee

Girolamo Saccheri

1. gli angoli alla sommità sono retti.2. gli angoli alla sommità sono ottusi.3. gli angoli alla sommità sono acuti.

Ipotesi angoli ottusi Ipotesi angoli acuti

Somma angoli interni quadrilatero = 360

“Contraddizione”“Contraddizione”

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Le Geometrie non Euclidee

Lobachevsky e Bolyai: la Geometria Iperbolica

Lobachevsky Bolyai

Negazione dell’unicità della parallela : assioma di Lobachevsky

La somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180°

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Le Geometrie non Euclidee

Riemann: la Geometria Ellittica e la Geometria Sferica

Spazio illimitato e finito a curvatura costante positiva

Negazione dell’esistenza della parallela: assioma di Riemann

P e P’ non coincidono: due rette hanno sempre due punti in comune Geometria sferica

P e P’ coincidono: due rette hanno sempre un solo punto in comune Geometria ellittica

La somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180°

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Le Geometrie non Euclidee

Modelli di Geometria non Euclidea

Modello di Klein

Modello di Geometria Iperbolica

Modello di Poincarè

Modello di Geometria Iperbolica

Modello della sfera

Modello di Geometria Sferica

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MAURITS CORNELIS ESCHER

(1898 – 1971)

Temi principali delle sue opere:

• il Nastro di Mobius• la riflessione sull’infinito• la tassellazione periodica del piano• le figure impossibili

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il Nastro di Mobius

Nastro di Mobius I

Nastro di Mobius II (1963)

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Riflessione sull’ infinito1956 – 1970 : Periodo dell’ Infinito

Limite del cerchio III (1959)

Serpenti (1969)

Esposizione di stampe (1956)

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Tassellazione Periodica Del Piano

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Le figure impossibili

Belvedere (1958)

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Cascata

Salita e discesa

Le figure impossibili

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Le figure impossibili

Cubo con nastri magici

Casa di scale

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Relatività

In alto e in basso

Le figure impossibili

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RETTILI (1943)copertina di Flatlandia


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