ESTADISTICA APLICADA
Sesin N1
PROBABILIDAD
Mg. Segundo I. Ponte Valverde
Se podr determinar la probabilidad de
que un estudiante sea de sexo femenino,
sabiendo que tiene el cabello rubio?
4
Al finalizar la sesin, el estudiante ser
capaz de calcular probabilidades
haciendo uso de las reglas y axiomas
de probabilidad
LOGRO DE LA SESION
Llover
maana?
Pronstico Climtico de la TV
Probabilidad de lluvia
Por qu es importante la probabilidad en la toma de decisiones?
La probabilidad es importante en la toma de decisiones por que suministra
un mecanismo para medir, expresar y analizar la incertidumbre asociada
con eventos futuros
ESTA
DIS
TIC
A
1.1. EXPERIMENTO
Es un proceso mediante el cul se obtiene un
resultado de una observacin.
DETERMINISTICO
Si los resultados del experimento puede predecirse con exactitud antes de realizar el experimento
Si los resultados del experimento no puede predecirse con exactitud antes de realizar el experimento
ALEATORIO
1.- CONCEPTOS BSICOS
1.2. ESPACIO MUESTRAL ( )
Conjunto de todos los posibles resultados del experimento aleatorio
= {cara, sello}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Contar el nmero de piezas defectuosas producidas por una mquina x en un da determinado.
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, }
Espacio muestral
= {3, 4, 5, 6, 18 }
= {RA,RV, AR, AV, VA, VR}
Espacio muestral
Lanzar 3 dados y anotar la suma de los puntos obtenidos
Sacar dos bolitas de la caja sin Reposicin
Experimento aleatorio
Lanzar 2 monedas y anotar los resultados obtenidos
= {CC, CS, SC, SS }
Extraer una bola de esta urna y despus lanzar la moneda
1.3. EVENTO
Sea el Experimento
= {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A= Observar un nmero impar. Entonces
B = { 3, 6 }
Para este experimento podemos definir los siguientes eventos:
A = {1, 3, 5 }
B= Observar un nmero mltiplo de 3
Un evento es un subconjunto del espacio muestral
EJEMPLO
Sea el experimento aleatorio
Podemos considerar los siguientes eventos
A= La suma de los puntajes es 7, entonces
A= { (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) }
B= La suma de los puntajes es 11, entonces
B= { (5,6) (6,5) }
C= La suma de los puntajes es 7 u 11, entonces
C= {(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (5,6) (6,5) }
TIPO DE EVENTOS
Evento Simple
Si contiene solamente un solo
elemento del espacio muestral
Evento compuesto
Es el que consta de dos o
ms eventos elementales.
Evento imposible
Es el que no va a ocurrir
Evento Seguro
Es el que va a ocurrir con
certeza
2. PROBABILIDAD DE UN EVENTO
La probabilidad de un evento A se define de la siguiente manera
CARACTERISTICA
0 P A 1
P( A ) = 0, Si A es un evento imposible
Si PA representa la no ocurrencia del evento A, entonces P( A ) + P( A = 1
P( A ) = 1, Si A es un evento seguro Pierre Simn Laplace ( 1749- 1827)
Matemtico Francs
Nmero de elementos de A ( )
Nmero de elementos de P A
Ejercicios
1.- Al rodar un dado correcto
Cul es la probabilidad de obtener un nmero menor que 4?
2.- Si se lanza una moneda tres veces. Calcular la probabilidad de que: a) Ocurra una cara b) Ocurra por lo menos dos caras
3.- En la seccin de control de calidad de una compaa, se encontr 5 artculos defectuosos, en una partida de 100 artculos tomados aleatoriamente de la produccin de un da. Estime la probabilidad de producir un artculo defectuoso.
4. Supongamos que debes apostar a una de las siguientes situaciones
Obtener cara al lanzar una moneda
Obtener un 5 al lanzar un dado
Obtener el rey de oro al sacar una carta de una baraja
Por cual de las tres situaciones apostaras? Por qu?
2.1. REGLAS DE PROBABILIDAD
Regla de la Adicin de Eventos no mutuamente excluyentes
(A B)
U
B A
P(AUB) = P(A) + P(B) - P (A B)
U
Un cliente ingresa a una panadera. La
probabilidad de que compre pan es 0.60,
leche 0.50, pan y leche es 0.30 Cul es la
probabilidad de que compre un pan, leche o
ambos?.
Ejemplo
( ) 0.30P P L
( ) ( ) ( ) ( )
0.60 0.50 0.30
0.80
P P L P P P L P P LP(P) = 0,60
P(L) = 0,50
Solucin
Dos sucesos son mutuamente excluyentes, si no tienen elementos comunes
A B
Regla de adicin para eventos mutuamente excluyentes
P(AUB) = P(A) + P(B)
Se extrae una carta de una baraja.
Cul es la probabilidad de que sea un as o un rey?
Ejemplo
( ) ( ) ( )
4 4
52 52
8 =
52
P A R P A P RP(A) = 4/52
P(R) = 4/52
Solucin
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sean A y B dos eventos en un espacio muestral . La probabilidad condicional de A dado B es el nmero P(A/B) que se define por:
( )( / )
( )
P A BP A B
P B
Se selecciono una muestra de 500
encuestados de la ciudad de Lima para
estudiar el comportamiento del consumidor.
Los resultados fueron los siguientes:
Si se elige al azar un encuestado
a. Cul es la probabilidad de que disfrute comprando ropa?
Disfruta comprando Ropa
Gnero Total
Masculino ( M ) Femenino ( F )
S ( S ) 136 224 360
No (N) 104 36 140
Total 240 260 500
Ejemplo
360( ) 0.72 72%
500P S
b. Suponga que el encuestado elegido es mujer Cul es la probabilidad de que ella disfrute de comprar ropa?
( ) 224( / ) 0.86 86%
( ) 260
P S FP S F
P F
c. Cul es la probabilidad de que el encuestado disfrute comprando ropa dado que es varn?
( ) ( ) 136( / ) 0.567 56.7%
( ) ( ) 240
P M S n M SP S M
P M n M
Dos eventos A y B son independientes si la
ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.
)B(A
B )( PP
Entonces,
)B(A)()BA( PPP
EVENTOS INDEPENDIENTES
Si P ( A ) = 1/3 y P( B ) = 1/8 hallar:
a) P(A B), sabiendo que A y B son independientes
b) P(A B), sabiendo que A y B son eventos mutuamente
excluyentes
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Tres cazadores A, B y C estn apuntando con
sus rifles a un ave. La probabilidad de que
acierte A el disparo es 4/5, la de B es 3/7 y la
de C es 2/3. Si los tres disparan, calcule la
probabilidad de que:
a. Los tres acierten
b. Acierte A y B y que C falle
c. Ninguno acierte
Sean dos eventos A y B, si B depende de A,
entonces:
Entonces,
(A B) (A) (B/A)P P P
REGLA DE MULTIPLICACION PARA EVENTOS DEPENDIENTES
Ejemplo 9 :
De una tmbola que contienen 3 bolas rojas y
5 Blancas, Mathas extrae tres bolas, sin
reemplazo, calcular la probabilidad de que las
3 bolas extradas sean:
a. Rojas
b. Las dos primeras sean rojas y la ltima
blanca
Solucin
calcular la probabilidad de que las 3 bolas
extradas sean:
a. Rojas
P(R1R2R3 ) = P(R1)P(R2 /R1) P(R3 /R1R2 )
= (3/8) (2/7) (1/6)
= 3/336 = 1/56
a. Las dos primeras sean rojas y la ltima
blanca
P(R1R2B) = P(R1)P(R2 /R1) P(B /R1R2 )
= (3/8) (2/7) (5/6)
= 5/56
PROBABILIDAD TOTAL
1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ... ( ) ( / )n nP B P A P B A P A P B A P A P B A
TEOREMA DE BAYES
Thomas Bayes ( 1702- 1761)
Matemtico Ingles
Sean A1, A2, A3, An, una particin cualquiera de un espacio muestral y sea B un evento de entonces:
1 1 2 2
( ) ( / )( / )
( ) ( / ) ( ) ( / ) ........ ( ) ( / )
j j
j
n n
P A P B AP A B
P A P B A P A P B A P A P B A
EJEMPLO 9
Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos: Carlos, con una probabilidad del 60% Juan, con una probabilidad del 30% Luis, con una probabilidad del 10%
En funcin de quien sea tu prximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:
Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%. Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%. Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.
a. En definitiva, cual es la probabilidad de que te
suban el sueldo? b. Si te subieron el sueldo Cul es la probabilidad
de que tu jefe sea Juan?
"La creatividad es muy importante en la vida: te da diversidad. Si eres
creativo, pruebas diferentes maneras de hacer cosas y cometes muchos
errores tambin. Pero si tienes valenta de continuar a pesar de tus
errores, obtendrs la respuesta"
Bill Fitzpatrick