Semigrupos numericosSemigrupos de Arf
Semigrupos esparsosAlgumas referencias
Semigrupos numericos esparsos: estrutura e cotas
Paula Murgel Veloso
Universidade Federal Fluminense, Departamento de Analise, Niteroi - RJ(colaboracao com Prof. Andre L. Contiero – UFAL, & Carlos Gustavo T. A.
Moreira – IMPA)
31 de marco de 2014
Paula Murgel Veloso Semigrupos numericos esparsos: estrutura e cotas
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Definition
H e um semigrupo numerico de genero g se
(1) H ⊆ N;
(2) 0 ∈ H;
(3) H semigrupo (aditivo);
(4) #(N \ H) = g .
(4) significa, equivalentemente: o mdc entre os geradores de H e 1.
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Definition
H e um semigrupo numerico de genero g se
(1) H ⊆ N;
(2) 0 ∈ H;
(3) H semigrupo (aditivo);
(4) #(N \ H) = g .
(4) significa, equivalentemente: o mdc entre os geradores de H e 1.
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Definition
H e um semigrupo numerico de genero g se
(1) H ⊆ N;
(2) 0 ∈ H;
(3) H semigrupo (aditivo);
(4) #(N \ H) = g .
(4) significa, equivalentemente: o mdc entre os geradores de H e 1.
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Definition
H e um semigrupo numerico de genero g se
(1) H ⊆ N;
(2) 0 ∈ H;
(3) H semigrupo (aditivo);
(4) #(N \ H) = g .
(4) significa, equivalentemente: o mdc entre os geradores de H e 1.
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Definition
H e um semigrupo numerico de genero g se
(1) H ⊆ N;
(2) 0 ∈ H;
(3) H semigrupo (aditivo);
(4) #(N \ H) = g .
(4) significa, equivalentemente: o mdc entre os geradores de H e 1.
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Definition
H e um semigrupo numerico de genero g se
(1) H ⊆ N;
(2) 0 ∈ H;
(3) H semigrupo (aditivo);
(4) #(N \ H) = g .
(4) significa, equivalentemente: o mdc entre os geradores de H e 1.
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Notacao
H = {0 = n0 < n1 < . . .} (nao lacunas)
Gaps(H) := N \ H = {`1 < `2 < . . . < `g} (lacunas)
multiplicidade de H: n1 (o menor elemento nao nulo do semigrupo)
numero de Frobenius de H: `g (a maior lacuna)
condutor de H: o menor c tal que c + n ∈ H, para todos n ∈ Nc = `g + 1 = nc−g
Fato: `g ≤ 2g − 1.Defina: K := 2g − `g ≥ 1.
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Notacao
H = {0 = n0 < n1 < . . .} (nao lacunas)
Gaps(H) := N \ H = {`1 < `2 < . . . < `g} (lacunas)
multiplicidade de H: n1 (o menor elemento nao nulo do semigrupo)
numero de Frobenius de H: `g (a maior lacuna)
condutor de H: o menor c tal que c + n ∈ H, para todos n ∈ Nc = `g + 1 = nc−g
Fato: `g ≤ 2g − 1.Defina: K := 2g − `g ≥ 1.
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Notacao
H = {0 = n0 < n1 < . . .} (nao lacunas)
Gaps(H) := N \ H = {`1 < `2 < . . . < `g} (lacunas)
multiplicidade de H: n1 (o menor elemento nao nulo do semigrupo)
numero de Frobenius de H: `g (a maior lacuna)
condutor de H: o menor c tal que c + n ∈ H, para todos n ∈ Nc = `g + 1 = nc−g
Fato: `g ≤ 2g − 1.Defina: K := 2g − `g ≥ 1.
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Notacao
H = {0 = n0 < n1 < . . .} (nao lacunas)
Gaps(H) := N \ H = {`1 < `2 < . . . < `g} (lacunas)
multiplicidade de H: n1 (o menor elemento nao nulo do semigrupo)
numero de Frobenius de H: `g (a maior lacuna)
condutor de H: o menor c tal que c + n ∈ H, para todos n ∈ Nc = `g + 1 = nc−g
Fato: `g ≤ 2g − 1.Defina: K := 2g − `g ≥ 1.
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Notacao
H = {0 = n0 < n1 < . . .} (nao lacunas)
Gaps(H) := N \ H = {`1 < `2 < . . . < `g} (lacunas)
multiplicidade de H: n1 (o menor elemento nao nulo do semigrupo)
numero de Frobenius de H: `g (a maior lacuna)
condutor de H: o menor c tal que c + n ∈ H, para todos n ∈ Nc = `g + 1 = nc−g
Fato: `g ≤ 2g − 1.Defina: K := 2g − `g ≥ 1.
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Notacao
H = {0 = n0 < n1 < . . .} (nao lacunas)
Gaps(H) := N \ H = {`1 < `2 < . . . < `g} (lacunas)
multiplicidade de H: n1 (o menor elemento nao nulo do semigrupo)
numero de Frobenius de H: `g (a maior lacuna)
condutor de H: o menor c tal que c + n ∈ H, para todos n ∈ Nc = `g + 1 = nc−g
Fato: `g ≤ 2g − 1.Defina: K := 2g − `g ≥ 1.
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Exemplo
X curva algebrica (projetiva, nao singular, irredutıvel, definidasobre um corpo algebricamente fechado) de genero g ,
P ∈ X .
semigrupo de Weierstrass de P em X :H(P) = {k ∈ N ; ∃ funcao em X com um polo de ordem k em Pe nenhum outro polo }lacuna de Weierstrass para P: k ∈ N tal que nao existe funcao emX com exatamente um polo de ordem k em P.Gaps(H(P)) := {lacuna de Weierstrass para P}
Da definicao: H(P) = N \Gaps(H(P)).
Teorema das lacunas de Weierstrass: #Gaps(H(P)) = g
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Exemplo
X curva algebrica (projetiva, nao singular, irredutıvel, definidasobre um corpo algebricamente fechado) de genero g , P ∈ X .
semigrupo de Weierstrass de P em X :H(P) = {k ∈ N ; ∃ funcao em X com um polo de ordem k em Pe nenhum outro polo }lacuna de Weierstrass para P: k ∈ N tal que nao existe funcao emX com exatamente um polo de ordem k em P.Gaps(H(P)) := {lacuna de Weierstrass para P}
Da definicao: H(P) = N \Gaps(H(P)).
Teorema das lacunas de Weierstrass: #Gaps(H(P)) = g
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Exemplo
X curva algebrica (projetiva, nao singular, irredutıvel, definidasobre um corpo algebricamente fechado) de genero g , P ∈ X .
semigrupo de Weierstrass de P em X :
H(P) = {k ∈ N ; ∃ funcao em X com um polo de ordem k em Pe nenhum outro polo }lacuna de Weierstrass para P: k ∈ N tal que nao existe funcao emX com exatamente um polo de ordem k em P.Gaps(H(P)) := {lacuna de Weierstrass para P}
Da definicao: H(P) = N \Gaps(H(P)).
Teorema das lacunas de Weierstrass: #Gaps(H(P)) = g
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Exemplo
X curva algebrica (projetiva, nao singular, irredutıvel, definidasobre um corpo algebricamente fechado) de genero g , P ∈ X .
semigrupo de Weierstrass de P em X :H(P) = {k ∈ N ; ∃ funcao em X com um polo de ordem k em Pe nenhum outro polo }
lacuna de Weierstrass para P: k ∈ N tal que nao existe funcao emX com exatamente um polo de ordem k em P.Gaps(H(P)) := {lacuna de Weierstrass para P}
Da definicao: H(P) = N \Gaps(H(P)).
Teorema das lacunas de Weierstrass: #Gaps(H(P)) = g
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Exemplo
X curva algebrica (projetiva, nao singular, irredutıvel, definidasobre um corpo algebricamente fechado) de genero g , P ∈ X .
semigrupo de Weierstrass de P em X :H(P) = {k ∈ N ; ∃ funcao em X com um polo de ordem k em Pe nenhum outro polo }lacuna de Weierstrass para P: k ∈ N tal que nao existe funcao emX com exatamente um polo de ordem k em P.Gaps(H(P)) := {lacuna de Weierstrass para P}
Da definicao: H(P) = N \Gaps(H(P)).
Teorema das lacunas de Weierstrass: #Gaps(H(P)) = g
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X curva algebrica (projetiva, nao singular, irredutıvel, definidasobre um corpo algebricamente fechado) de genero g , P ∈ X .
semigrupo de Weierstrass de P em X :H(P) = {k ∈ N ; ∃ funcao em X com um polo de ordem k em Pe nenhum outro polo }lacuna de Weierstrass para P: k ∈ N tal que nao existe funcao emX com exatamente um polo de ordem k em P.Gaps(H(P)) := {lacuna de Weierstrass para P}
Da definicao: H(P) = N \Gaps(H(P)).
Teorema das lacunas de Weierstrass: #Gaps(H(P)) = g
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Exemplo
X curva algebrica (projetiva, nao singular, irredutıvel, definidasobre um corpo algebricamente fechado) de genero g , P ∈ X .
semigrupo de Weierstrass de P em X :H(P) = {k ∈ N ; ∃ funcao em X com um polo de ordem k em Pe nenhum outro polo }lacuna de Weierstrass para P: k ∈ N tal que nao existe funcao emX com exatamente um polo de ordem k em P.Gaps(H(P)) := {lacuna de Weierstrass para P}
Da definicao: H(P) = N \Gaps(H(P)).
Teorema das lacunas de Weierstrass: #Gaps(H(P)) = g
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Observacoes
Fatos banais, mas muito uteis
1 Para todo `i ∈ Gaps(H), existe uma funcao de reflexao bemdefinida
Ri : H ∩ {0, 1, 2, . . . , `i} −→ Gaps(H); n 7→ `i − n.
2 Para todo `i ∈ Gaps(H), se d | `i , entao d ∈ Gaps(H).
H e um semigrupo simetrico se `g = 2g − 1.H e um semigrupo quase-simetrico se `g = 2g − 2.
H e um semigrupo γ-hiperelıtico se tem exatamente γ lacunaspares.H e um semigrupo hiperelıtico se 2 ∈ H.
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Observacoes
Fatos banais, mas muito uteis
1 Para todo `i ∈ Gaps(H), existe uma funcao de reflexao bemdefinida
Ri : H ∩ {0, 1, 2, . . . , `i} −→ Gaps(H); n 7→ `i − n.
2 Para todo `i ∈ Gaps(H), se d | `i , entao d ∈ Gaps(H).
H e um semigrupo simetrico se `g = 2g − 1.H e um semigrupo quase-simetrico se `g = 2g − 2.
H e um semigrupo γ-hiperelıtico se tem exatamente γ lacunaspares.H e um semigrupo hiperelıtico se 2 ∈ H.
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Observacoes
Fatos banais, mas muito uteis
1 Para todo `i ∈ Gaps(H), existe uma funcao de reflexao bemdefinida
Ri : H ∩ {0, 1, 2, . . . , `i} −→ Gaps(H); n 7→ `i − n.
2 Para todo `i ∈ Gaps(H), se d | `i , entao d ∈ Gaps(H).
H e um semigrupo simetrico se `g = 2g − 1.H e um semigrupo quase-simetrico se `g = 2g − 2.
H e um semigrupo γ-hiperelıtico se tem exatamente γ lacunaspares.H e um semigrupo hiperelıtico se 2 ∈ H.
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Observacoes
Fatos banais, mas muito uteis
1 Para todo `i ∈ Gaps(H), existe uma funcao de reflexao bemdefinida
Ri : H ∩ {0, 1, 2, . . . , `i} −→ Gaps(H); n 7→ `i − n.
2 Para todo `i ∈ Gaps(H), se d | `i , entao d ∈ Gaps(H).
H e um semigrupo simetrico se `g = 2g − 1.H e um semigrupo quase-simetrico se `g = 2g − 2.
H e um semigrupo γ-hiperelıtico se tem exatamente γ lacunaspares.H e um semigrupo hiperelıtico se 2 ∈ H.
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Definicao
H e um semigrupo de Arf se, para todos ni , nj , nk ∈ H, comni ≥ nj ≥ nk , temos:
ni + nj − nk ∈ H.
Ha diversas caracterizacoes alternativas ([Barucci, Dobbs, Fontana(1997)] apresentam 15 condicoes equivalentes!).
Teorema [C. Campillo, J. I. Farran, J. Munuera (2000)]
H e um semigrupo de Arf ⇔ para todos ni , nj ∈ H, com ni ≥ nj ,temos:
2ni − nj ∈ H.
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Definicao
H e um semigrupo de Arf se, para todos ni , nj , nk ∈ H, comni ≥ nj ≥ nk , temos:
ni + nj − nk ∈ H.
Ha diversas caracterizacoes alternativas ([Barucci, Dobbs, Fontana(1997)] apresentam 15 condicoes equivalentes!).
Teorema [C. Campillo, J. I. Farran, J. Munuera (2000)]
H e um semigrupo de Arf ⇔ para todos ni , nj ∈ H, com ni ≥ nj ,temos:
2ni − nj ∈ H.
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Definicao
H e um semigrupo de Arf se, para todos ni , nj , nk ∈ H, comni ≥ nj ≥ nk , temos:
ni + nj − nk ∈ H.
Ha diversas caracterizacoes alternativas ([Barucci, Dobbs, Fontana(1997)] apresentam 15 condicoes equivalentes!).
Teorema [C. Campillo, J. I. Farran, J. Munuera (2000)]
H e um semigrupo de Arf ⇔ para todos ni , nj ∈ H, com ni ≥ nj ,temos:
2ni − nj ∈ H.
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Propriedade
As nao lacunas em um semigrupo de Arf satisfazem a umacondicao de espacamento mınimo
(assim, as lacunas satifazem auma condicao de espacamento maximo).
Corolario [J. Munuera, F. Torres, J. Villanueva (2009)]
Se H e um semigrupo de Arf , entao:
`i − `i−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g .
(equivalentemente, ni+1 − ni ≥ 2, i = 1, . . . , c − g).
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Propriedade
As nao lacunas em um semigrupo de Arf satisfazem a umacondicao de espacamento mınimo (assim, as lacunas satifazem auma condicao de espacamento maximo).
Corolario [J. Munuera, F. Torres, J. Villanueva (2009)]
Se H e um semigrupo de Arf , entao:
`i − `i−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g .
(equivalentemente, ni+1 − ni ≥ 2, i = 1, . . . , c − g).
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Propriedade
As nao lacunas em um semigrupo de Arf satisfazem a umacondicao de espacamento mınimo (assim, as lacunas satifazem auma condicao de espacamento maximo).
Corolario [J. Munuera, F. Torres, J. Villanueva (2009)]
Se H e um semigrupo de Arf , entao:
`i − `i−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g .
(equivalentemente, ni+1 − ni ≥ 2, i = 1, . . . , c − g).
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Propriedade
As nao lacunas em um semigrupo de Arf satisfazem a umacondicao de espacamento mınimo (assim, as lacunas satifazem auma condicao de espacamento maximo).
Corolario [J. Munuera, F. Torres, J. Villanueva (2009)]
Se H e um semigrupo de Arf , entao:
`i − `i−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g .
(equivalentemente, ni+1 − ni ≥ 2, i = 1, . . . , c − g).
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EstruturaSemigrupos esparsos limite
Definicao
H e um semigrupo esparso se
`i − `i−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g
(ou, equivalentemente: ni+1 − ni ≥ 2, i = 1, . . . , c − g).
Exemplo
g ≥ 5,H = N \ {1, . . . , g − 3, g − 1, g + 1, g + 2} ={0, g − 2, g , g + 3, g + 4, . . .}H e um semigrupo esparso, mas nao um semigrupo de Arf:2g − (g − 2) = g + 2 6∈ H.
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EstruturaSemigrupos esparsos limite
Definicao
H e um semigrupo esparso se
`i − `i−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g
(ou, equivalentemente: ni+1 − ni ≥ 2, i = 1, . . . , c − g).
Exemplo
g ≥ 5,H = N \ {1, . . . , g − 3, g − 1, g + 1, g + 2} ={0, g − 2, g , g + 3, g + 4, . . .}
H e um semigrupo esparso, mas nao um semigrupo de Arf:2g − (g − 2) = g + 2 6∈ H.
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EstruturaSemigrupos esparsos limite
Definicao
H e um semigrupo esparso se
`i − `i−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g
(ou, equivalentemente: ni+1 − ni ≥ 2, i = 1, . . . , c − g).
Exemplo
g ≥ 5,H = N \ {1, . . . , g − 3, g − 1, g + 1, g + 2} ={0, g − 2, g , g + 3, g + 4, . . .}H e um semigrupo esparso,
mas nao um semigrupo de Arf:2g − (g − 2) = g + 2 6∈ H.
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Definicao
H e um semigrupo esparso se
`i − `i−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g
(ou, equivalentemente: ni+1 − ni ≥ 2, i = 1, . . . , c − g).
Exemplo
g ≥ 5,H = N \ {1, . . . , g − 3, g − 1, g + 1, g + 2} ={0, g − 2, g , g + 3, g + 4, . . .}H e um semigrupo esparso, mas nao um semigrupo de Arf:
2g − (g − 2) = g + 2 6∈ H.
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Definicao
H e um semigrupo esparso se
`i − `i−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g
(ou, equivalentemente: ni+1 − ni ≥ 2, i = 1, . . . , c − g).
Exemplo
g ≥ 5,H = N \ {1, . . . , g − 3, g − 1, g + 1, g + 2} ={0, g − 2, g , g + 3, g + 4, . . .}H e um semigrupo esparso, mas nao um semigrupo de Arf:2g − (g − 2) = g + 2 6∈ H.
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Outros exemplos
H e um semigrupo esparso ordinario se Hg = {0, g + 1, g + 2, . . . }.H e um semigrupo esparso hiperordinario se H = aN +Hg ,0 < a < g .
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EstruturaSemigrupos esparsos limite
Saltos simples e duplos
Dizemos que um par (`i , `i+1) e um salto em um semigrupoesparso H se `i , `i+1 sao lacunas subsequentes de H.
Um salto e simples ou duplo se `i+1 − `i = 1 ou `i+1 − `i = 2,respectivamente.
Conjuntos de saltos
D := {(`i , `i+1) ; `i+1 − `i = 2} (saltos duplos),
D := #D,
S := {(`i , `i+1) ; `i+1 − `i = 1} (saltos simples),
S := #S.
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Saltos simples e duplos
Dizemos que um par (`i , `i+1) e um salto em um semigrupoesparso H se `i , `i+1 sao lacunas subsequentes de H.
Um salto e simples ou duplo se `i+1 − `i = 1 ou `i+1 − `i = 2,respectivamente.
Conjuntos de saltos
D := {(`i , `i+1) ; `i+1 − `i = 2} (saltos duplos),
D := #D,
S := {(`i , `i+1) ; `i+1 − `i = 1} (saltos simples),
S := #S.
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Saltos simples e duplos
Dizemos que um par (`i , `i+1) e um salto em um semigrupoesparso H se `i , `i+1 sao lacunas subsequentes de H.
Um salto e simples ou duplo se `i+1 − `i = 1 ou `i+1 − `i = 2,respectivamente.
Conjuntos de saltos
D := {(`i , `i+1) ; `i+1 − `i = 2} (saltos duplos),
D := #D,
S := {(`i , `i+1) ; `i+1 − `i = 1} (saltos simples),
S := #S.
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Saltos simples e duplos
Dizemos que um par (`i , `i+1) e um salto em um semigrupoesparso H se `i , `i+1 sao lacunas subsequentes de H.
Um salto e simples ou duplo se `i+1 − `i = 1 ou `i+1 − `i = 2,respectivamente.
Conjuntos de saltos
D := {(`i , `i+1) ; `i+1 − `i = 2} (saltos duplos),
D := #D,
S := {(`i , `i+1) ; `i+1 − `i = 1} (saltos simples),
S := #S.
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Semigrupos numericosSemigrupos de Arf
Semigrupos esparsosAlgumas referencias
EstruturaSemigrupos esparsos limite
Contando saltos
Lembre-se: K = 2g − `g ≥ 1.
Proposicao [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g . Entao:
1 D + S = g − 1.
2 D = g − K .
3 S = K − 1.
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EstruturaSemigrupos esparsos limite
Contando saltos
Lembre-se: K = 2g − `g ≥ 1.
Proposicao [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g . Entao:
1 D + S = g − 1.
2 D = g − K .
3 S = K − 1.
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EstruturaSemigrupos esparsos limite
Contando saltos
Lembre-se: K = 2g − `g ≥ 1.
Proposicao [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g . Entao:
1 D + S = g − 1.
2 D = g − K .
3 S = K − 1.
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EstruturaSemigrupos esparsos limite
Contando saltos
Lembre-se: K = 2g − `g ≥ 1.
Proposicao [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g . Entao:
1 D + S = g − 1.
2 D = g − K .
3 S = K − 1.
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EstruturaSemigrupos esparsos limite
Espacamento das ultimas lacunas
Proposicao [J. Munuera, F. Torres, J. Villanueva (2009)]
Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − K .
Se g ≥ 2K − 1, entao
`i+1 − `i = 2,
para todo i = 2K − 2, . . . , g − 1.
Pergunta natural
Existem semigrupos esparsos de genero g com `g = 2g − K eg ≥ 2K − 1?
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Espacamento das ultimas lacunas
Proposicao [J. Munuera, F. Torres, J. Villanueva (2009)]
Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − K .Se g ≥ 2K − 1, entao
`i+1 − `i = 2,
para todo i = 2K − 2, . . . , g − 1.
Pergunta natural
Existem semigrupos esparsos de genero g com `g = 2g − K eg ≥ 2K − 1?
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Espacamento das ultimas lacunas
Proposicao [J. Munuera, F. Torres, J. Villanueva (2009)]
Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − K .Se g ≥ 2K − 1, entao
`i+1 − `i = 2,
para todo i = 2K − 2, . . . , g − 1.
Pergunta natural
Existem semigrupos esparsos de genero g com `g = 2g − K eg ≥ 2K − 1?
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EstruturaSemigrupos esparsos limite
Algumas consequencias da contagem de saltos
Corolario [Contiero, Moreira, Veloso]
Se H semigrupo esparso simetrico de genero g , entao H e osemigrupo hiperelıtico
H = 〈2, 2g + 1〉.
Corolario [Contiero, Moreira, Veloso]
Se H semigrupo esparso quase-simetrico, entao
ou H = 〈3, 4, 5〉, ou H = 〈3, 5, 7〉.
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Algumas consequencias da contagem de saltos
Corolario [Contiero, Moreira, Veloso]
Se H semigrupo esparso simetrico de genero g , entao H e osemigrupo hiperelıtico
H = 〈2, 2g + 1〉.
Corolario [Contiero, Moreira, Veloso]
Se H semigrupo esparso quase-simetrico, entao
ou H = 〈3, 4, 5〉, ou H = 〈3, 5, 7〉.
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EstruturaSemigrupos esparsos limite
Algumas consequencias da contagem de saltos (cont.)
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g ≥ 3 e `g = 2g − 3.
EntaoH e um dos seguintes semigrupos:
1 H = 3N +H5, H e 2-hiperelıtico;
2 H = 3N +H7, H e 2-hiperelıtico;
3 H = 2(N \ {1}) ∪H2g−2, H e 1-hiperelıtico.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo de genero g ≥ 6 e `g = 2g − 3. Entao saoequivalentes:
a. H e esparso;
b. H is 1-hiperelıtico.
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Algumas consequencias da contagem de saltos (cont.)
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g ≥ 3 e `g = 2g − 3. EntaoH e um dos seguintes semigrupos:
1 H = 3N +H5, H e 2-hiperelıtico;
2 H = 3N +H7, H e 2-hiperelıtico;
3 H = 2(N \ {1}) ∪H2g−2, H e 1-hiperelıtico.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo de genero g ≥ 6 e `g = 2g − 3. Entao saoequivalentes:
a. H e esparso;
b. H is 1-hiperelıtico.
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Algumas consequencias da contagem de saltos (cont.)
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g ≥ 3 e `g = 2g − 3. EntaoH e um dos seguintes semigrupos:
1 H = 3N +H5, H e 2-hiperelıtico;
2 H = 3N +H7, H e 2-hiperelıtico;
3 H = 2(N \ {1}) ∪H2g−2, H e 1-hiperelıtico.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo de genero g ≥ 6 e `g = 2g − 3. Entao saoequivalentes:
a. H e esparso;
b. H is 1-hiperelıtico.
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Algumas consequencias da contagem de saltos (cont.)
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g ≥ 3 e `g = 2g − 3. EntaoH e um dos seguintes semigrupos:
1 H = 3N +H5, H e 2-hiperelıtico;
2 H = 3N +H7, H e 2-hiperelıtico;
3 H = 2(N \ {1}) ∪H2g−2, H e 1-hiperelıtico.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo de genero g ≥ 6 e `g = 2g − 3.
Entao saoequivalentes:
a. H e esparso;
b. H is 1-hiperelıtico.
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Algumas consequencias da contagem de saltos (cont.)
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g ≥ 3 e `g = 2g − 3. EntaoH e um dos seguintes semigrupos:
1 H = 3N +H5, H e 2-hiperelıtico;
2 H = 3N +H7, H e 2-hiperelıtico;
3 H = 2(N \ {1}) ∪H2g−2, H e 1-hiperelıtico.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo de genero g ≥ 6 e `g = 2g − 3. Entao saoequivalentes:
a. H e esparso;
b. H is 1-hiperelıtico.
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Algumas consequencias da contagem de saltos (cont.)
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g ≥ 3 e `g = 2g − 3. EntaoH e um dos seguintes semigrupos:
1 H = 3N +H5, H e 2-hiperelıtico;
2 H = 3N +H7, H e 2-hiperelıtico;
3 H = 2(N \ {1}) ∪H2g−2, H e 1-hiperelıtico.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo de genero g ≥ 6 e `g = 2g − 3. Entao saoequivalentes:
a. H e esparso;
b. H is 1-hiperelıtico.
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Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g ≥ 4 e `g = 2g − 4.
EntaoH e um dos seguintes semigrupos:
1 H = 3N +H8, H e 3-hiperelıtico;
2 H = 3N +H10 , H e 4-hiperelıtico;
3 H = 4N +H6, H e 2-hiperelıtico;
4 H = H4, H e 2-hiperelıtico;
5 H = 5N +H6, H e 3-hiperelıtico;
6 H = {0, 5, 7} ∪ H8, H e 4-hiperelıtico.
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Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g ≥ 4 e `g = 2g − 4. EntaoH e um dos seguintes semigrupos:
1 H = 3N +H8, H e 3-hiperelıtico;
2 H = 3N +H10 , H e 4-hiperelıtico;
3 H = 4N +H6, H e 2-hiperelıtico;
4 H = H4, H e 2-hiperelıtico;
5 H = 5N +H6, H e 3-hiperelıtico;
6 H = {0, 5, 7} ∪ H8, H e 4-hiperelıtico.
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Algumas consequencias da contagem de saltos (cont.)
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g ≥ 4 e `g = 2g − 4. EntaoH e um dos seguintes semigrupos:
1 H = 3N +H8, H e 3-hiperelıtico;
2 H = 3N +H10 , H e 4-hiperelıtico;
3 H = 4N +H6, H e 2-hiperelıtico;
4 H = H4, H e 2-hiperelıtico;
5 H = 5N +H6, H e 3-hiperelıtico;
6 H = {0, 5, 7} ∪ H8, H e 4-hiperelıtico.
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Algumas consequencias da contagem de saltos (cont.)
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g ≥ 5 e `g = 2g − 5.
EntaoH e um dos seguintes semigrupos:
1 H = 3N +H11, H e 4-hiperelıtico;
2 H = 3N +H13, H e 4-hiperelıtico;
3 H = 2(N \ {1, 3}) ∪H2g−4, g ≥ 6, H e 2-hiperelıtico;
4 H = {0, 5, 7} ∪ H9, H e 4-hiperelıtico;
5 H = {0, 5, 7, 10} ∪ H11, H e 4-hiperelıtico;
6 H = {0, 5, 7, 10, 12} ∪ H13, H e 4-hiperelıtico;
7 H = {0, 5} ∪ H7, H e 3-hiperelıtico;
8 H = {0, 5, 8} ∪ H9, H e 3-hiperelıtico;
9 H = {0, 5, 8, 10} ∪ H11, H e 4-hiperelıtico;
10 H = 2(N \ {1, 2}) ∪H2g−4, g ≥ 5, H e 2-hiperelıtico;
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Algumas consequencias da contagem de saltos (cont.)
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g ≥ 5 e `g = 2g − 5. EntaoH e um dos seguintes semigrupos:
1 H = 3N +H11, H e 4-hiperelıtico;
2 H = 3N +H13, H e 4-hiperelıtico;
3 H = 2(N \ {1, 3}) ∪H2g−4, g ≥ 6, H e 2-hiperelıtico;
4 H = {0, 5, 7} ∪ H9, H e 4-hiperelıtico;
5 H = {0, 5, 7, 10} ∪ H11, H e 4-hiperelıtico;
6 H = {0, 5, 7, 10, 12} ∪ H13, H e 4-hiperelıtico;
7 H = {0, 5} ∪ H7, H e 3-hiperelıtico;
8 H = {0, 5, 8} ∪ H9, H e 3-hiperelıtico;
9 H = {0, 5, 8, 10} ∪ H11, H e 4-hiperelıtico;
10 H = 2(N \ {1, 2}) ∪H2g−4, g ≥ 5, H e 2-hiperelıtico;
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Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g ≥ 5 e `g = 2g − 5. EntaoH e um dos seguintes semigrupos:
1 H = 3N +H11, H e 4-hiperelıtico;
2 H = 3N +H13, H e 4-hiperelıtico;
3 H = 2(N \ {1, 3}) ∪H2g−4, g ≥ 6, H e 2-hiperelıtico;
4 H = {0, 5, 7} ∪ H9, H e 4-hiperelıtico;
5 H = {0, 5, 7, 10} ∪ H11, H e 4-hiperelıtico;
6 H = {0, 5, 7, 10, 12} ∪ H13, H e 4-hiperelıtico;
7 H = {0, 5} ∪ H7, H e 3-hiperelıtico;
8 H = {0, 5, 8} ∪ H9, H e 3-hiperelıtico;
9 H = {0, 5, 8, 10} ∪ H11, H e 4-hiperelıtico;
10 H = 2(N \ {1, 2}) ∪H2g−4, g ≥ 5, H e 2-hiperelıtico;Paula Murgel Veloso Semigrupos numericos esparsos: estrutura e cotas
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EstruturaSemigrupos esparsos limite
Definicao
Um semigrupo esparso limite H e um semigrupo esparso de generog = 2K − 1 e `g = 2g − K .
Note que um semigrupo esparso limite tem tantos saltos simplesquanto duplos, i.e., S = D.
Lema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g = 2K + j , j ≥ 0,com`g = 2g − K .
Entao existe um semigrupo esparso limite H de genero g = 2K − 1e `g = 2g − K = 3K − 2 tal que H e um subsemigrupo de H.
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Definicao
Um semigrupo esparso limite H e um semigrupo esparso de generog = 2K − 1 e `g = 2g − K .
Note que um semigrupo esparso limite tem tantos saltos simplesquanto duplos, i.e., S = D.
Lema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g = 2K + j , j ≥ 0,com`g = 2g − K .
Entao existe um semigrupo esparso limite H de genero g = 2K − 1e `g = 2g − K = 3K − 2 tal que H e um subsemigrupo de H.
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Definicao
Um semigrupo esparso limite H e um semigrupo esparso de generog = 2K − 1 e `g = 2g − K .
Note que um semigrupo esparso limite tem tantos saltos simplesquanto duplos, i.e., S = D.
Lema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g = 2K + j , j ≥ 0,com`g = 2g − K .
Entao existe um semigrupo esparso limite H de genero g = 2K − 1e `g = 2g − K = 3K − 2 tal que H e um subsemigrupo de H.
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Definicao
Um semigrupo esparso limite H e um semigrupo esparso de generog = 2K − 1 e `g = 2g − K .
Note que um semigrupo esparso limite tem tantos saltos simplesquanto duplos, i.e., S = D.
Lema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g = 2K + j , j ≥ 0,com`g = 2g − K .
Entao existe um semigrupo esparso limite H de genero g = 2K − 1e `g = 2g − K = 3K − 2 tal que H e um subsemigrupo de H.
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Estrutura de semigrupos esparsos limite com `g par
Denote: K = 2k .
Lema [Contiero, Moreira, Veloso]
Se H e um semigrupo esparso limite de genero g e `g par, entao4 6∈ H.
Lema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 com`g = 2g − 2k = 6k − 2 par. Entao:
3 ∈ H ⇔ 6k − 5 /∈ H.
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Estrutura de semigrupos esparsos limite com `g par
Denote: K = 2k .
Lema [Contiero, Moreira, Veloso]
Se H e um semigrupo esparso limite de genero g e `g par, entao4 6∈ H.
Lema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 com`g = 2g − 2k = 6k − 2 par. Entao:
3 ∈ H ⇔ 6k − 5 /∈ H.
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Estrutura de semigrupos esparsos limite com `g par
Denote: K = 2k .
Lema [Contiero, Moreira, Veloso]
Se H e um semigrupo esparso limite de genero g e `g par, entao4 6∈ H.
Lema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 com`g = 2g − 2k = 6k − 2 par.
Entao:
3 ∈ H ⇔ 6k − 5 /∈ H.
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Estrutura de semigrupos esparsos limite com `g par
Denote: K = 2k .
Lema [Contiero, Moreira, Veloso]
Se H e um semigrupo esparso limite de genero g e `g par, entao4 6∈ H.
Lema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 com`g = 2g − 2k = 6k − 2 par. Entao:
3 ∈ H ⇔ 6k − 5 /∈ H.
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Estrutura de semigrupos esparsos limite com `g par (cont.)
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 com`g = 2g − 2k par.
Entao 3 ∈ H, i.e.,
H = 3N +H6r−2 = 〈3, 6k − 1, 6k + 1〉.
Corolario [Contiero, Moreira, Veloso]
Se H e um semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 e`g = 2g − 2k par,entao H e um semigroup de Arf. Alem disso, H e um semigrupode Weierstrass.
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Estrutura de semigrupos esparsos limite com `g par (cont.)
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 com`g = 2g − 2k par.Entao 3 ∈ H,
i.e.,
H = 3N +H6r−2 = 〈3, 6k − 1, 6k + 1〉.
Corolario [Contiero, Moreira, Veloso]
Se H e um semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 e`g = 2g − 2k par,entao H e um semigroup de Arf. Alem disso, H e um semigrupode Weierstrass.
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Estrutura de semigrupos esparsos limite com `g par (cont.)
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 com`g = 2g − 2k par.Entao 3 ∈ H, i.e.,
H = 3N +H6r−2 = 〈3, 6k − 1, 6k + 1〉.
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Se H e um semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 e`g = 2g − 2k par,entao H e um semigroup de Arf. Alem disso, H e um semigrupode Weierstrass.
Paula Murgel Veloso Semigrupos numericos esparsos: estrutura e cotas
Semigrupos numericosSemigrupos de Arf
Semigrupos esparsosAlgumas referencias
EstruturaSemigrupos esparsos limite
Estrutura de semigrupos esparsos limite com `g par (cont.)
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 com`g = 2g − 2k par.Entao 3 ∈ H, i.e.,
H = 3N +H6r−2 = 〈3, 6k − 1, 6k + 1〉.
Corolario [Contiero, Moreira, Veloso]
Se H e um semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 e`g = 2g − 2k par,
entao H e um semigroup de Arf. Alem disso, H e um semigrupode Weierstrass.
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Estrutura de semigrupos esparsos limite com `g par (cont.)
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 com`g = 2g − 2k par.Entao 3 ∈ H, i.e.,
H = 3N +H6r−2 = 〈3, 6k − 1, 6k + 1〉.
Corolario [Contiero, Moreira, Veloso]
Se H e um semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 e`g = 2g − 2k par,entao H e um semigroup de Arf.
Alem disso, H e um semigrupode Weierstrass.
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EstruturaSemigrupos esparsos limite
Estrutura de semigrupos esparsos limite com `g par (cont.)
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 com`g = 2g − 2k par.Entao 3 ∈ H, i.e.,
H = 3N +H6r−2 = 〈3, 6k − 1, 6k + 1〉.
Corolario [Contiero, Moreira, Veloso]
Se H e um semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 e`g = 2g − 2k par,entao H e um semigroup de Arf. Alem disso, H e um semigrupode Weierstrass.
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EstruturaSemigrupos esparsos limite
Cotas para semigrupos esparsos com `g par
Teorema [J. Munuera, F. Torres, J. Villanueva (2009)]
Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.
Se g ≥ 4k − 1, entao g ≤ 6k − n1.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.Entao g ≤ 4k − 1 (i.e., D ≤ S).
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Cotas para semigrupos esparsos com `g par
Teorema [J. Munuera, F. Torres, J. Villanueva (2009)]
Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.Se g ≥ 4k − 1,
entao g ≤ 6k − n1.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.Entao g ≤ 4k − 1 (i.e., D ≤ S).
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Cotas para semigrupos esparsos com `g par
Teorema [J. Munuera, F. Torres, J. Villanueva (2009)]
Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.Se g ≥ 4k − 1, entao g ≤ 6k − n1.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.Entao g ≤ 4k − 1 (i.e., D ≤ S).
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Cotas para semigrupos esparsos com `g par
Teorema [J. Munuera, F. Torres, J. Villanueva (2009)]
Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.Se g ≥ 4k − 1, entao g ≤ 6k − n1.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.
Entao g ≤ 4k − 1 (i.e., D ≤ S).
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Cotas para semigrupos esparsos com `g par
Teorema [J. Munuera, F. Torres, J. Villanueva (2009)]
Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.Se g ≥ 4k − 1, entao g ≤ 6k − n1.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.Entao g ≤ 4k − 1
(i.e., D ≤ S).
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EstruturaSemigrupos esparsos limite
Cotas para semigrupos esparsos com `g par
Teorema [J. Munuera, F. Torres, J. Villanueva (2009)]
Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.Se g ≥ 4k − 1, entao g ≤ 6k − n1.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.Entao g ≤ 4k − 1 (i.e., D ≤ S).
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EstruturaSemigrupos esparsos limite
Semigrupos esparsos limite com `g ımpar
Denote: K = 2k + 1.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.Se a multiplicidade n1 de H e par, entao toda nao lacuna menorque `g e par, e H e k-hiperelıtico.
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Semigrupos esparsos limite com `g ımpar
Denote: K = 2k + 1.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.
Se a multiplicidade n1 de H e par, entao toda nao lacuna menorque `g e par, e H e k-hiperelıtico.
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Semigrupos esparsos limite com `g ımpar
Denote: K = 2k + 1.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.Se a multiplicidade n1 de H e par, entao toda nao lacuna menorque `g e par, e H e k-hiperelıtico.
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Semigrupos esparsos limite com `g ımpar
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.
Se a multiplicidade n1 de H e ımpar, entao H e um dos seguintessemigrupos:
1 H = 3N +H6r+1;
2 H = 〈2j + 1; j ∈ N, r ≤ j ≤ 2r − 1〉 ∪ H6r+1, com r > 1.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.Entao ou g ≤ 4k + 1, ou toda nao lacuna menor que `g e par.
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Semigrupos esparsos limite com `g ımpar
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Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.Se a multiplicidade n1 de H e ımpar, entao H e um dos seguintessemigrupos:
1 H = 3N +H6r+1;
2 H = 〈2j + 1; j ∈ N, r ≤ j ≤ 2r − 1〉 ∪ H6r+1, com r > 1.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.Entao ou g ≤ 4k + 1, ou toda nao lacuna menor que `g e par.
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Semigrupos esparsos limite com `g ımpar
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Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.Se a multiplicidade n1 de H e ımpar, entao H e um dos seguintessemigrupos:
1 H = 3N +H6r+1;
2 H = 〈2j + 1; j ∈ N, r ≤ j ≤ 2r − 1〉 ∪ H6r+1, com r > 1.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.Entao ou g ≤ 4k + 1, ou toda nao lacuna menor que `g e par.
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Semigrupos esparsos limite com `g ımpar
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Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.Se a multiplicidade n1 de H e ımpar, entao H e um dos seguintessemigrupos:
1 H = 3N +H6r+1;
2 H = 〈2j + 1; j ∈ N, r ≤ j ≤ 2r − 1〉 ∪ H6r+1, com r > 1.
Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.
Entao ou g ≤ 4k + 1, ou toda nao lacuna menor que `g e par.
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Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]
Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.Se a multiplicidade n1 de H e ımpar, entao H e um dos seguintessemigrupos:
1 H = 3N +H6r+1;
2 H = 〈2j + 1; j ∈ N, r ≤ j ≤ 2r − 1〉 ∪ H6r+1, com r > 1.
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Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.Entao ou g ≤ 4k + 1, ou toda nao lacuna menor que `g e par.
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Semigrupos esparsosAlgumas referencias
V. Barucci, D. E. Dobbs, M. Fontana, Maximality properties innumerical semigroups and applications to one-dimensionalanalytically irreducible local domains, Mem. Amer. Math. Soc.125, 1997.
C. Munuera, F. Torres, J. Villanueva, Sparse NumericalSemigroups, Lecture Notes in Computer Science: AppliedAlgebra, Algebraic Algorithms and Error-Correcting Codes,5527, 23 – 31, Springer-Verlag Berlin Heilderberg (2009).
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Obrigada pela atencao!
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