7/17/2019 Sequências Numéricas_Parte I
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SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS R EAIS
CONCEITO
Uma sequência de números reais corresponde , formalmente, a uma função f , com domínio
no conjunto dos números naturais ℕ e contradomínio em ℝ, que a cada ∈ ℕ associa o
número rea l = f , chamado de te rmo gera l da sequência .
f : ℕ → ℝ ⟼ = f
NOTAÇÃO
Vamos denotar uma sequência de números reais, como definida acima, por
= , , , … .
Dessa forma, a sequência que corresponde à função f : ℕ → ℝ definida por f = 1/ é
representada por (1 /n) = (1 , 1/ 2 , 1/3 , 1/4 , . . . ) , a que corresponde à função
f =1 1 é representada por 1 1 = (0 , 2 , 0 , 2 , . . . ) , a que corresponde à
função f = (1 + 1/ n )n por (1 + 1/ n)n = (2 , 9/4 , 64/27, 625/256, . . . ) , e assim por
diant e .
CONVERGÊNCIA
DEFINIÇÃO FORMAL
Dizemos que uma sequência converge para um número real ℓ, se
∀ > 0, ∃ ta l que ≥ ⟹ | ℓ | < .
O fato de uma sequência convergir para um número real ℓ é denotado por ⟶ ℓ.
A definição acima, expressa em linguagem de intenso simbolis mo, pode receber tradução
que atenua sua complexidade, desde que escri ta da maneira seguinte:
“ Dizemos que uma sequência
converge para um número real
ℓ, se por menor que
seja o número real > 0 que se considere , pudermos encontrar um índice ( dependente ,
ou em função , de ) , de modo que, desse índice em diante, todos os termos da sequência
estão tão próximos de ℓ, que a distância entre eles e ℓ chega a ser menor do que ” .
Exemplo 01
Mostremos, formalmente , que
2 1
⟶ 2 .
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De acordo com a definição de convergência que acabamos de conhecer, nossa tarefa estará
cumprida quando determinarmos , normalmente em função de , que garanta a validade
da implicação
≥ ⟹
2 1
2 < .
Como
2 1 2 = 2 1 2
= 1 = 1
,
segue que − 2 < só ocorre, se
< , ou seja , se > 1 / .
Portanto, dado qualquer número real > 0, por menor que seja ele , considerando-se
o inteiro posit ivo imediatamente maior que 1/, tem-se
≥ ⟹ 2 1 2 = 1 ≤ 1 < . ( Note que “ imediatamente maior que 1/” sign if ica , obviamente , > 1/, o que nos
leva a concluir que 1/ < ) .
Considere, agora, a seguinte questão, relacionada à demonstração acima: se = 0.002, a
par t ir de qua l termo da sequência tem-se | 2 | < 0.002 ?
Se = 0.002, sendo > 1/, segue que > . = 500. Dessa forma, = 5 0 1 e , en tão ,
podemo s afirmar que a par t ir do , todos os termos da sequência, com relação ao
número 2, estão a uma distância menor do que 0.002. E ta l a f i rmação pode ser comprovada.
De fato, sendo = × − 2 , temos:
| 2 | = 2 × 501 1501 2 = 1
501 = 0.0019 < 0.0002 . Note que o é , realmente, o primeiro elemento da sequência, a part ir do qual a
desigualdade | 2 | < 0.002 se ver i f ica , pois
| 2 | = 2 × 500 1
500 2 =1
500 = 0.0002 .
DEFINIÇÃO INFORMAL
Dizemos que uma sequência converge para um número real ℓ, se → = ℓ.
Claro, então, que
a) 1/⟶0, pois → 1/ =0.
b )
−
⟶2 , já que
→
−
= → 2
= 2.
c) + + + diverge, porque
+ + + = + / + /
+ / = . + / + / + / e
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→ . + / + / + / = ∞ .
→ ∞.
d ) 1 1 diverge, pois não existe o → 1 1 .
e) 1 1/ ⟶ e ( e o número irracional e transcendente de Napier, ou de Euler, cujo
valor, aproximado, é 2,718281828459045235360287.. . ) , pois , como sabemo s (veja o
teorema a seguir ) ,
→ 1/ = .
DOIS R ESULTADOS FUNDAMENTAIS SOBRE LIMITES
TEOREMA (TMV – MUDANÇA DE VARIÁVEL CONTÍNUA POR DISCRETA EM LIMITES)
Se f : [ , ∞ ⟶ ℝ é uma função tal que → = ℓ, ou → = ∞, ou
→ = ∞, então, sendo um número inteiro, → = ℓ, ou → = ∞, ou
→ = ∞, respectivamente.
R EGRA DE L’HÔPITAL ( para l imit es em que ⟶ ∞)
Sejam e funções deriváveis em um intervalo , ∞ , com ′≠ 0, ∀ ∈ , ∞ .
Se t ivermos → = → = 0, ou → = ± ∞ e → = ± ∞, e ex is t i r o
→ /, en tão
→ = →
.
Exemplo 02
Como → 2 3 1 = → 4 5 = → 4 3 = → 8 = ∞, podemos
usar o TMV e a Regra de L’Hôpital , esta duas vezes consecutivas, para concluir que
2 3 1
4 5 ⟶12 ,
pois
→ 2 3 14 5 = → 2 3 1
4 5 = → 4 38 = → 4
8 = 48 = 1
2 .
Claro que a mesma conclusão pode ser alcançada através de procedimento análogo ao
aplicado para a sequência + + + , cuja divergência foi apresentada acima.
Exemplo 03
Vamos verificar que a sequência ( √ ) = ( √ 2 , √ 3 , √ 4 , √ 5 , … ) converge para 1.
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Tendo em vista o fato de as funções e se rem inversas uma da outra , escrevemos
√ = / = / = . Agora, por L’Hôpital , temos que
→ = → 1 = 0 , e , assim, pelo TMV, que
→
= 0 . Por tanto ,
→ √ = → = = 1
Exemplo 04
O l imi te fundamenta l
→ = 1
nos faz ver que a sequência / converge para , po is
→ / = → /
1/ = → /
/ = → ℎ
ℎ = ,
já que a substi tuição ℎ = / acarreta ⟶ ∞ ⟹ ℎ ⟶ 0.
(Com a Regra de L’Hôpital podemos verif icar , rapidamente, a validade do l imite
fundamental ao qual nos re ferimos )
SEQUÊNCIAS MONÓTONAS
DEFINIÇÃO
Seja
uma sequência.
a) Se, ∀, < +, então é crescente .
b ) Se, ∀, ≤ +, então é não -decrescente .
c) Se, ∀, + < , então é decrescente .
d) Se, ∀, + ≤ , então é não -crescente .
Verificando-se qualquer uma das si tuações acima, é dita monótona .
Exemplo 05
é monótona decrescente, pois, obviamente, + = 1 1 < 1 = , ∀ ∈ ℕ.
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Exemplo 06
Qual o comportamento da sequência + + com relação à monotonicidade?
Para respondermos à essa questão, precisamos, inicialmente, verificar o comportamento
dos pr imeiros te rmos da sequência . Se para esses te rmos já não consta tamos umcomportamento monótono, ou seja , se não acontece < < < < ⋯ ou > > > > ⋯, então vamos poder concluir que a sequência não é monótona. Por outro lado,
se esses termos apresentarem um comportamento monótono, seja de crescimento ou de
decrescimento, então vamos precisar comprovar que tal comporta mento se mantém válido
em toda a sequência e não somente nesses te rmos.
Como
= 35 < = 5
8 < = 711 < = 9
14 < ⋯, observamos que a sequência deve ser monótona crescente. Que ela realmente é , nós
precisamos provar. Um procedimento mui to u ti l izado para ob tenção dessa prova consis teem considerar o quociente +/ e demonst ra r que se tem
+ > 1
para, ass im, obter que + > e concluir que a sequência é crescente. Se nossa
observação fosse a de que a sequência deveria ser decrescente, então deveríamos tomar
o mesmo quociente e demonstrar que
+
< 1 .
No nosso caso, temos = ++ , + = +
+ e , por tanto ,
+ = 2 33 5 ∙ 3 2
2 1 = 6 1 3 66 1 3 5 = 6 1 3 5 1
6 1 3 5 = 6 1 3 56 1 3 5 1
6 1 3 5
= 1 16 1 3 5 > 1 ,
pois 16 1 3 5 > 0 .
Dessa forma, ∀ ∈ ℕ, + > e a sequência é , comprovadamente, monótona crescente.
Obser vação
Já que 5 < 6 e uma desigualdade não se al tera se somarmos a mesma quantidade aos seus
membros, poderíamos ter concluído que a sequência acima era monótona crescente por
força do seguinte procedimento:
5 < 6 ⟹ 6 3 5 < 6 3 6 ⟹ 3 52 1 < 2332
⟹ 2 13 2 < 2 33 5 ⟹ < + .
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Exemplo 07
1 1 não é uma sequência monótona, pois = 0 < = 2, mas = 2 > = 0.
Exemplo 08
√ 5 , 5 √ 5 , 5 5 √ 5 ,… } é uma sequência crescente e a melhor maneira de provar
isto é uti l izando o método de indução.
Temos,
1 se verifica, pois = √ 5 < 5 √ 5 = .
Agora, suponhamos que seja verdadeira para = . Isto acarreta < + e , então,
< + ⟹ 5 < + 5 ⟹ 5 < + 5 ⟹ + < +,
uma vez que + = 5 , ∀ ∈ ℕ. Portanto, é verdadeira para = 1 e a
demonst ração está conc lu ída.