8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
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FuncionesEjercicios
Sesión 1
Funciones y gráficas
Frank Didier Suárez Motato
Departamento de Matemáticas
Universidad Cooperativa de Colombia
7 de febrero de 2015
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 1 / 1 7
8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
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FuncionesEjercicios
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Objetivos espećıficos
Identificar e interpretar una correspondencia entre conjuntos,
expresada en forma gráfica o simbólica, como una función.
Identificar, o determinar, para una función dada o construida, los
conjuntos asociados a ella: dominio, codominio, rango y gráfica.
Evaluar, graficar e identificar funciones pares o impares. Aśı mismo,
funciones crecientes y decrecientes.
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FuncionesEjercicios
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Funciones y gráficas
DefiniciónSean A y B conjuntos no vaćıos. Una funci´ on f de A en B es una relaci´ on
entre elementos de x ∈ A y elementos de y ∈ B, de tal forma que a cada elemento x ∈ A se le asocia un ´ unico elemento y ∈ B.
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Obj i f́i
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FuncionesEjercicios
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Funciones y gráficas
Las formas de repesentar una función son las siguientes:
Como pares ordenados.
Tabla de valores.
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Obj ti f́i
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FuncionesEjercicios
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Funciones y gráficas
Las formas de repesentar una función son las siguientes:
Como pares ordenados.
Tabla de valores.
Una frase que exprese la relación entre ambas variables.
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Objetivos espećıficos
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FuncionesEjercicios
Objetivos especıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Funciones y gráficas
Las formas de repesentar una función son las siguientes:
Como pares ordenados.
Tabla de valores.
Una frase que exprese la relación entre ambas variables.
Una expresión matemática.
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 4 / 1 7
Objetivos espećıficos
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FuncionesEjercicios
Objetivos especıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Funciones y gráficas
Las formas de repesentar una función son las siguientes:
Como pares ordenados.
Tabla de valores.
Una frase que exprese la relación entre ambas variables.
Una expresión matemática.
Una gráfica.
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8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
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Objetivos espećıficos
8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
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FuncionesEjercicios
Objetivos especıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Funciones y gráficas
Las formas de repesentar una función son las siguientes:
Como pares ordenados.
Tabla de valores.
Una frase que exprese la relación entre ambas variables.
Una expresión matemática.
Una gráfica.
Función definida a trozos
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Objetivos espećıficos
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FuncionesEjercicios
j pFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Funciones y gráficas
Definición
Se define la gr´ afica de la funci´ on y = f (x), denotada por Gf , como el
conjunto de puntos en el plano de la forma
x, f (x)
, con x en el dominio
de f . Es decir,
Gf =
{(x, y)
|y = f (x), x
∈Df
}
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Objetivos espećıficos
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FuncionesEjercicios
Funciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Funciones y gráficas
TeoremaUna curva dada o un conjunto de puntos en el plano cartesiano es la gr´ afica
de una funci´ on y = f (x) si toda recta vertical corta la gr´ afica a lo m´ as en
un punto.
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Objetivos espećıficosF i ´fi
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FuncionesEjercicios
Funciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Ejercicios
1 Considere la función f (x) = x3. Calcule simplificando tanto como sea
posible:
f (−2)
f (1
a )
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Objetivos espećıficosF i ´fi
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FuncionesEjercicios
Funciones y graficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Ejercicios
1 Considere la función f (x) = x3. Calcule simplificando tanto como sea
posible:
f (−2)
f (
1
a )
f (−2 + h) − f (−2)
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Objetivos espećıficosFunciones y gráficas
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FuncionesEjercicios
Funciones y graficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Ejercicios
1 Considere la función f (x) = x3. Calcule simplificando tanto como sea
posible:
f (−2)
f (
1
a )
f (−2 + h) − f (−2)f (x + h) − f (x)
h
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Objetivos espećıficosFunciones y gráficas
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FuncionesEjercicios
Funciones y graficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Ejercicios
1 Considere la función f (x) = x3. Calcule simplificando tanto como sea
posible:
f (−2)
f (
1
a )
f (−2 + h) − f (−2)f (x + h) − f (x)
h
2
Encuentre el dominio de las siguientes funciones:f (x) =
√ x +
√ 1 − x
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Objetivos espećıficosFunciones y gráficas
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FuncionesEjercicios
Funciones y graficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Ejercicios
1 Considere la función f (x) = x3. Calcule simplificando tanto como sea
posible:
f (−2)
f (
1
a )
f (−2 + h) − f (−2)f (x + h) − f (x)
h
2
Encuentre el dominio de las siguientes funciones:f (x) =
√ x +
√ 1 − x
f (x) =√ x2 − 3x + 2
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Objetivos espećıficosFunciones y gráficas
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FuncionesEjercicios
y gEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Ejercicios
1 Considere la función f (x) = x3. Calcule simplificando tanto como sea
posible:
f (−2)
f (
1
a )
f (−2 + h) − f (−2)f (x + h) − f (x)
h
2
Encuentre el dominio de las siguientes funciones:f (x) =
√ x +
√ 1 − x
f (x) =√ x2 − 3x + 2
f (x) = 1
|x2
−4
|Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 7 / 1 7
Objetivos espećıficosFunciones y gráficas
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Ejercicios
1 Considere la función f (x) = x3. Calcule simplificando tanto como sea
posible:
f (−2)
f (
1
a )
f (−2 + h) − f (−2)f (x + h) − f (x)
h
2
Encuentre el dominio de las siguientes funciones:f (x) =
√ x +
√ 1 − x
f (x) =√ x2 − 3x + 2
f (x) = 1
|x2
−4
|Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 7 / 1 7
Objetivos espećıficosFunciones y gráficas
f
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Ejercicios de funciones
1 Evalue la función como se indica, determine su dominio y rango:
f (x) =
2x + 1 si x < 0
2x + 2 si x ≥ 0f (1)
f (0)
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F i
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEj i i d f i
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Ejercicios de funciones
1 Evalue la función como se indica, determine su dominio y rango:
f (x) =
2x + 1 si x < 0
2x + 2 si x ≥ 0f (1)
f (0)
f (−2)
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Funciones
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funciones
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Ejercicios de funciones
1 Evalue la función como se indica, determine su dominio y rango:
f (x) =
2x + 1 si x < 0
2x + 2 si x ≥ 0f (1)
f (0)
f (−2)
f (t2 + 1)
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 8 / 1 7
Funciones
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funciones
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Ejercicios de funciones
1 Evalue la función como se indica, determine su dominio y rango:
f (x) =
2x + 1 si x < 0
2x + 2 si x ≥ 0f (1)
f (0)
f (−2)
f (t2 + 1)
2 Dada la función f (x) =
2x + 1 si x < −102x + 2 si |x| ≤ 1
−1 six > 3Encuentre su dominio y recorrido
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 8 / 1 7
Funciones
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funciones
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Ejercicios de funciones
1 Evalue la función como se indica, determine su dominio y rango:
f (x) =
2x + 1 si x < 0
2x + 2 si x ≥ 0f (1)
f (0)
f (−2)
f (t2 + 1)
2 Dada la función f (x) =
2x + 1 si x < −102x + 2 si |x| ≤ 1
−1 six > 3Encuentre su dominio y recorrido
Trace la gráfica.
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 8 / 1 7
Funciones
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funciones
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FuncionesEjercicios
Ejercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Ejercicios de funciones
1 Evalue la función como se indica, determine su dominio y rango:
f (x) =
2x + 1 si x < 0
2x + 2 si x ≥ 0f (1)
f (0)
f (−2)
f (t2 + 1)
2 Dada la función f (x) =
2x + 1 si x < −102x + 2 si |x| ≤ 1
−1 six > 3Encuentre su dominio y recorrido
Trace la gráfica.
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 8 / 1 7
Funciones
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funciones
8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
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Ejerciciosj
Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Ejercicios de funciones
Un granjero tiene 400 metros de cerca con las que desea construir tres
lados de un corral rectangular. Una pared existente formará el cuarto
lado. Exprese el área del corral en función del lado perpendicular a la
pared.
Una mujer de 5 pies de altura está cerca de un farol de 12 pies de altura.
Exprese la longitud de su sombra como una función de la distancia de la
mujer a la base del farol.
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 9 / 1 7
Funciones
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funciones
8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
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Ejercicios Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Ejercicios de funciones
Un granjero tiene 400 metros de cerca con las que desea construir tres
lados de un corral rectangular. Una pared existente formará el cuarto
lado. Exprese el área del corral en función del lado perpendicular a la
pared.
Una mujer de 5 pies de altura está cerca de un farol de 12 pies de altura.
Exprese la longitud de su sombra como una función de la distancia de la
mujer a la base del farol.
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 9 / 1 7
FuncionesEj i i
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesF i i
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Ejercicios Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Tipo de funciones
Definición
Una funci´ on f es par si cumple la condici´ on f (−x) = f (x) para todox ∈ Df .
Una funci´ on f es impar si cumple la condici´ on f (−x) = −f (x) para todo x
∈Df .
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 1 0 / 1 7
FuncionesEj i i
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesF i i
8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
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Ejercicios Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Tipo de funciones
Definición
Una funci´ on f es par si cumple la condici´ on f (−x) = f (x) para todox ∈ Df .
Una funci´ on f es impar si cumple la condici´ on f (−x) = −f (x) para todo x
∈Df .
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 1 0 / 1 7
FuncionesEjercicios
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e impares
8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
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Ejercicios Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Tipo de funciones
Definición
Una funci´ on f es par si cumple la condici´ on f (−x) = f (x) para todox ∈ Df .
Una funci´ on f es impar si cumple la condici´ on f (−x) = −f (x) para todo x
∈Df .
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 1 0 / 1 7
FuncionesEjercicios
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e impares
8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
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Ejercicios Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Tipos de funciones
Definición
Una funci´ on f es creciente en un intervalo I si para todo x1, x2 ∈ I tal que x1 < x2 se cumple que f (x1) < f (x2).
Una funci´ on f es decreciente en un intervalo I si para todo x1, x2 ∈ I tal que x1 < x2 se cumple que f (x1) > f (x2).
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 1 1 / 1 7
FuncionesEjercicios
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e impares
8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
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Ejercicios Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Tipos de funciones
Definición
Una funci´ on f es creciente en un intervalo I si para todo x1, x2 ∈ I tal que x1 < x2 se cumple que f (x1) < f (x2).
Una funci´ on f es decreciente en un intervalo I si para todo x1, x2 ∈ I tal que x1 < x2 se cumple que f (x1) > f (x2).
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 1 1 / 1 7
FuncionesEjercicios
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e impares
8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
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j p pFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Tipos de funciones
Definición
Una funci´ on f es creciente en un intervalo I si para todo x1
, x2 ∈
I tal
que x1 < x2 se cumple que f (x1) < f (x2).
Una funci´ on f es decreciente en un intervalo I si para todo x1, x2 ∈ I tal que x1 < x2 se cumple que f (x1) > f (x2).
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 1 1 / 1 7
FuncionesEjercicios
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e impares
8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
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j p pFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Tipos de funciones
Definición
Una funci´ on f es inyectiva o uno a uno, si cada elemento y ∈ Rf es imagen de un ´ unico elemento x ∈ Df . Simb´ olicamente;
para todo x1, x2 ∈ Df , x1 = x2 =⇒ f (x1) = f (x2)
De manera equivalente, f es inyectiva si:
para todo x1, x2 ∈ Df , f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 1 2 / 1 7
FuncionesEjercicios
Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e impares
8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
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Funciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas
Tipos de funciones
Definición
Una funci´ on f : A =⇒ B es sobreyectiva, si cada elemento y ∈ B es imagen de alg´ un elemento x ∈ A. Es decir, si el rango de f coincide con el codominio B (Rf = B).
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 1 3 / 1 7
FuncionesEjercicios
8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
35/40
Ejercicios
Determine si la función f (x) = 1x
es inyéctiva, sobreyectiva, ambas o
ninguna. Haga la gráfica usando tabulación.
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 1 4 / 1 7
FuncionesEjercicios
8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
36/40
gráfica de f (x) = 1
x
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 1 5 / 1 7
FuncionesEjercicios
8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
37/40
Ejercicios
Determine si la función f (x) = 2x3 − 4 es inyectiva, sobreyectiva,ambas o ninguna. Haga la gráfica usando tabulación.
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 1 6 / 1 7
FuncionesEjercicios
8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
38/40
gráfica de f (x) = 2x3 − 4
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 1 7 / 1 7
FuncionesEjercicios
8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
39/40
Determine si la función f (x) =√
4−
x2 es inyectiva, sobreyectiva,
ambas o ninguna. Haga la gráfica usando tabulación.
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 1 8 / 1 7
FuncionesEjercicios
8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)
40/40
gráfica de f (x) =√
4 − x2
Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 1 9 / 1 7