KAJIAN STRUKTUR ELEKTRONIK QUANTUM DOT SIMETRIS DALAM NANOKRISTAL SILIKON
DENGAN PENDEKATAN MASSA EFEKTIF kr
p.r
DAN IKATAN KUAT (TIGHT-BINDING)
Tesis Untuk memenuhi sebagian persyaratan
mencapai derajat Sarjana S-2
Program Studi Ilmu Fisika Kelompok Bidang Ilmu Matematika
Dan Pengetahuan Alam
Disusun Oleh Muhamad Darwis Umar
21529/I-4/1717/04
kepada SEKOLAH PASCASARJANA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA
YOGYAKARTA 2007
STUDY ON THE ELECTRONIC STRUCTURES OF SYMMETRICAL QUANTUM DOTS IN SILICON NANOCRYSTALS USING p.k rr
EFFECTIVE MASS AND TIGHT-BINDING APPROXIMATIONS
A Thesis
As a partial of the requirments for the
degree of master of sains
by Muhamad Darwis Umar
Submitted to PHYSICS PROGRAM IN THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS
AND NATURAL SCIENCES POST GRADUATE PROGRAM GADJAH MADA UNIVERSITY
YOGYAKARTA 2007
ii
iii
TESIS
KAJIAN STRUKTUR ELEKTRONIK QUANTUM DOT SIMETRIS DALAM NANOKRISTAL SILIKON
DENGAN PENDEKATAN MASSA EFEKTIF kr
p.r
DAN IKATAN KUAT (TIGHT-BINDING)
yang dipersiapkan dan disusun oleh Muhamad Darwis Umar
21529/I-4/1717/04 telah dipertahankan di depan Dewan Penguji
pada tanggal 07 Februari 2007
Susunan Dewan Penguji
Pembimbing Utama Anggota Tim Penguji lain Dr. Kamsul Abraha Pembimbing Pendamping I Dr. Mirza Satriawan Pembimbing Pendamping II ……………………………
Dr. Kuat Triyana Dr. Arief Hermanto ………………………………
Tesis ini telah diterima sebagai salah satu persyaratan untuk memperoleh gelar Magister
Tanggal 13 Februari 2007
Dr. Kamsul Abraha Pengelola Program Studi Ilmu Fisika
PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam tesis ini tidak terdapat karya yang
pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu Perguruan Tinggi,
dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat yang
ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam
naskah ini dan diterbitkan dalam daftar pustaka.
Yogyakarta, 06 Februari 2007
Muhamad Darwis Umar
iv
Persembahan
To my Parents and my Love
Buat kita dan kalian yang selalu berusaha menterjemahkan bahasa alam dan pikiran demi pemahaman, teknologi dan spritualitas
v
Spirit dari Proses Ilmiah: Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinya malam dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang yang berakal. (Ali Imrān, ayat: 190) Sesungguhnya malaikat merendahkan sayap-sayapnya bagi mereka yang berilmu karena ridho dengan apa yang dilakukannya (Hadist Rosulullah SAW)
Beberapa Renungan:: Pola adalah tubuh dari Imajinasi dan Logika, sedangkan Ide adalah nyawa yang menghidupinya (Darwis) Ilmu seperti juga kecantikan bagaikan bayangan keberadaan dalam cermin, semakin seseorang mencintainya dengan kebijaksanaan maka semakin sempurna keindahan wajahnya ia tampakkan (Darwis). Akal sebagai roh dari ilmu pengetahuan juga membutuhkan sandaran dan pijakkan dari kegilaan serta kesia-siaan, dan itu pastilah keyakinan atas agama dan Tuhan (Darwis). Ilmu dan agama bagaikan sayap sepasang kekasih, penyatuan diantara mereka laksana perkawinan yang bersifat saling mencukupkan dan mendatangkan kemaslahatan, sedangkan keterpisahannya akan memicu kepincangan dan memacu sifat berlebih-lebihan, dari sini kita dapat terbang, hinggap dan menyelam untuk menatap dan mengenal alam (Darwis). Imajinasi dan logika itu laksana Fisika dan Matematika, kecocokkan diantara mereka memberikan Intepretasi dan Persepsi kita tentang alam (Darwis).
vi
PRAKATA
Atas berkah rahmat Allah SWT dengan takdir dan ketetapannya,
penghargaan atas kemuliaan junjungan kita Baginda Rosulullah yang meneladani
umatnya dalam pengelolaan ego, potensi, perbedaan, hukum-hukum alam yang
meligkupi kita, serta dalam usaha menambah khasanah pengetahuan dan wawasan
penulis khususnya tentang fisika zat padat, maka tesis dengan judul “Kajian
Struktur Elektronik quantum dot Simetris Nanokristal Silikon Dengan
Pendekatan Ikatan Kuat (Tight-Binding) dan Pendekatan Massa Efektif k.p” dapat
diselesaikan. Karya sederhana ini merupakan muara kecil dari sekian banyak
pemanfaatan paradigma mekanika kuantum dan pokok fisika zat padat yang telah
secara luas mendorong dan menyemarakkan perjalanan arus budaya dan
peradapan melalui teknologi.
Karya ini tentu dimungkinkan oleh berbagai dukungan, kesempatan dan
fasilitas dari berbagai pihak, untuk itu pada kesempatan ini penulis berkenan
menghaturkan terimakasih pada:
1. Universitas Gadjah Mada-Yogyakarta melalui Program Studi Pascasarjana
Ilmu Fisika, yang telah memberikan kesempatan, kemudahan dan
dukungan untuk penulis melakukan kuliah, penelitian dan akses internet
gratis.
2. Fisikawan yang telah menyebarluaskan informasi hasil penelitian mereka
secara luas di internet dan dapat diakses secara gratis.
vii
3. Dr. Kamsul Abraha selaku pembimbing I, yang telah membantu pustaka,
membantu pembuatan abstract serta menyempatkan waktunya untuk
membimbing dan mengarahkan penulis baik secara langsung maupun
tidak langsung di tengah kesibukkan Beliau sebagai Ketua Jurusan, Dosen
dan Reviewer dll.
4. Dr. H. Mirza Satriawan selaku pembimbing II, yang berirama cepat tetapi
mau membimbing penulis dengan sabar dalam memahami teknik
matematis di tengah padatnya jadwal mengajar dan membimbing Beliau,
juga terimakasih untuk bantuan pembuatan abstract-nya.
5. Dr. Muhammad Farchani Rosyid, yang sangat inspiratif, sabar dalam
mengajari struktur matematika mekanika kuantum, meneladani untuk
selalu explore terhadap berbagai bidang serta diskusi-diskusi menarik
tentang alam dan matematika.
6. Dr. Kuat Triyana, atas dorongan untuk menyelesaikan studi, semangat
adaptasi fisika dalam teknologi dan pasar serta diskusi-diskusi menarik
tentang masalah nasional dan kehidupan.
7. Prof. Muslim, sebagai potret tokoh yang idealis, berdedikasi tinggi dan
sangat mencintai fisika, Dr. Arif Hermanto, atas diskusi singkat yang
sangat inspiratif, dan seluruh dosen fisika.
8. Teman-teman penulis: Toto, Toufik, Eko-Prambanan, Ian-Bengkulu,
Agus-Magelang, Ikbal-Ternate, Anto-UNPAD, Zeba-NTT, Romi-06,
Timy-05, Wahyu-04, seluruh teman-teman kuliah s2, s1, teman-teman di
viii
berbagai daerah serta adik-adik kos-kosan bu Carik yang ndak sempat
disebutkan namanya.
9. Kelurga Besar La Ode Umar yang telah memberikan dorongan materil dan
moril.
Sebagai produk dari keterbatasan manusia, maka tentu hasil dari penelitian
ini sangat menunggu dan terbuka untuk menerima masukan demi proses
pemeliharaan transformasi ilmu-pengetahuan dalam institusi pendidikan tinggi,
akhir kata semoga penelitian ini membawa manfaat.
Yogyakarta, 2007
Penyusun
ix
DAFTAR ISI
Halaman Judul i
Halaman Pengesahan iii
Halaman Pernyataan iv
Halaman Persembahan v
Halaman Motto vi
PRAKATA vii
DAFTAR ISI x
DAFTAR GAMBAR xv
DAFTAR TABEL xvii
DAFTAR LAMPIRAN xviii
DAFTAR SINGKATAN xix
DAFTAR LAMBANG xx
INTISARI xxiii
ABSTRACT xxiv
BAB I PENDAHULUAN 1
1. Latar Belakang Masalah…………………………………. 1
2. Perumusan Masalah……………………………………... 8
3. Batasan Masalah…………………………………………. 9
4. Tujuan Penelitian………………………………………... 10
5. Manfaat Penelitian………………………………………. 11
6. Keaslian Penelitian….…………………………………... 11
x
7. Kerangka Penulisan.……...……………………………… 12
8. Tinjauan Pustaka...…………...…………………………... 13
1. Struktur Elektronik Silikon Bulk dan Nanokristal.... 13
2. Perhitungan Struktur Elektronik dengan Metode
Pendekatan Massa-Efektif k.p dan Pendekatan
Himpunan basis OPF….....………………………... 14
BAB II DASAR TEORI 16
1. Masalah Struktur Elektronik…………………………...... 16
2. Metode Perhitungan Struktur Pita Elektronik
Semikonduktor…………………………………………... 20
a. Pendahuluan Teori k.p…………………………..... 21
b. Gelombang Bloch…………………………………. 22
c. Persamaan k.p untuk Fungsi Bloch Periodik tanpa
Gandengan Spin-Orbit…………………………….. 26
1. Pita Tidak Merosot…………………………… 28
a. Sifat Simetri ……………………………. v 29
b. Simetri Fungsi Eigen……………………... 30
d. Model Kane……………………………………...... 35
e. Hamiltonian Bulk Semikonduktor………………… 40
1. Model Hamiltonian k.p 6x6 dengan Teori
Gangguan (Celah Pita Cukup Lebar)………..... 41
2. Model Hamiltonian k.p 8x8 (Celah Pita
Sempit)............................................................... 47
xi
3. Metode Pseudopotensial Empirik……………………...... 50
4. Metode Tight-Binding…………………………………… 52
a. Sekitar Metode Tight-Binding…………………...... 52
b. Metode Tight-Binding Semiempirik…………….... 53
1. Prinsip Dasar………………………………..... 53
2. Metode Tight-Binding untuk Padatan Kristal
(Terdapat Beberapa Atom dalam Sel Satuan)... 56
c. Hamiltonian Metode Tight-Binding Semiempirik… 60
d. Metode Pendekatan dalam Tight-Binding
Semiempirik………………………………………. 61
1. Pendekatan Dua Pusat ……………………….. 61
2. Model Tight-Binding Interval Berhingga..…... 62
3. Model Tight-Binding Ortogonal……………… 63
e. Integral Hopping…………………………………... 66
f. Gandengan Spin-Orbit dalam Tight-Binding……... 67
BAB III ELABORASI HASIL PENELITIAN 70
1. Penentuan Himpunan Basis Ruang Hilbert Sistem QD
Kristal Simetris…………………………………………... 71
2. Produk Tensor Dua Ruang Hilbert………………………. 74
3. Produk Tensor Dua Ruang Hilbert dalam Persepsi
Pendekatan Partikel Tunggal…………………………….. 77
4. Metode Pendekatan Massa Efektif k.p-Metode
Pseudopotensial Empirik……………………………….. 78
xii
a. Celah Pita Lebar…………………………………... 79
b. Celah Pita Sempit………………………………… 85
5. Metode Pendekatan Tight-Binding Semiempirik……….. 87
a. Proyeksi Integral Hopping………………………… 88
1. Proyeksi Integral S-P………………………… 88
2. Proyeksi Integral P-P…………………………. 90
6. Langkah Kerja………………………..………….............. 95
1. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dengan
Metode Pendekatan Massa Efektif k.p……………. 95
2. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dengan
Metode Pendekatan Tight-Binding Semiempirik….. 96
7. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen….…….............. 97
a. Dengan Metode Pendekatan Massa Efektif k.p-
Metode Pseudopotensial Empirik…………………. 97
1. Hamiltonian LK dalam Koordinat Silinder…... 97
2. Hamiltonian LK dalam Koordinat Bola….…... 98
3. Nilai Elemen Matriks Hamiltonian LK 6x6 dan
8x8 untuk QD Silinder………………………... 102
4. Nilai Elemen Matriks Hamiltonian LK 6x6 dan
8x8 untuk QD Bola….……………………….. 103
5. Nilai Eigen dan Fungsi Eigen untuk Hole
dalam Pita Lebar……………………………… 105
6. Nilai Eigen dan Fungsi Eigen untuk Elektron- 108
xiii
Hole dalam Pita Sempit……………………….
b. Dengan Metode Tight-Binding Semiempirik……... 110
8. Pembahasan……………………………………………… 111
1. Metode Massa Efektif k.p 112
2. Metode Tight-Binding Semiempirik 113
3. Nilai Energi Elektron dan Hole QD Bersimetri
Bola dan Silinder 114
4 Ketergantungan Bentuk dan Ukuran QD Simetris
terhadap Struktur Elektroniknya…………………... 114
a. Ketergantungan Ukuran 114
b. Ketergantungan Bentuk 115
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 116
1. Kesimpulan …………………………………………….. 116
2. Saran…………………………………………………….. 117
DAFTAR PUSTAKA 118
LAMPIRAN 1 121
LAMPIRAN 2 122
LAMPIRAN 3 124
xiv
DAFTAR GAMBAR
II.1 Struktur pita dalam model elektron mendekati-bebas. Untuk 1-
dimensi keadaan terdegenerasi hanya terjadi pada pusat zona (k=0
atau pada tepi zona Brillouin (k = ±π/a). Untuk kasus 2 dan 3
dimensi keadaan tergenerasi dapat juga terjadi pada titik lain dalam
zona Brillouin (Jena, 2004)…………………………………………... 24
II.2 Orbital-orbital s dan p dari sistem atom. orbital-s berbentuk bola,
dengan demikian simetri pada semua sumbu. Orbital-orbital-p adalah
antisimetri atau fungsi ganjil sepanjang arah mereka diorientasikan
(Jena, 2004)…………………………………………………………... 31
II.3 Tipe struktur pita semikonduktor. Untuk semikonduktor celah-
langsung, keadaan pita konduksi terjadi pada k=0 yang berperilaku
seperti orbital-s, sedangkan keadaan pita valensi adalah kombinasi
linear orbital-orbital yang berperilaku seperti orbital-p. Untuk
semikonduktor celah-tidak langsung keadaan pita konduksi tidak
berperilaku seperti orbital-s, tetapi menyerupai keadaan camputran
dari keadaan orbital-p dengan keadaan orbital-s (Jena, 2004)……….. 32
II.4 Ilustrasi skematik dari efek dari gandengan spin-orbit pada tepi pita
konduksi terbawah dan tepi pita tertinggi valensi. (a) tanpa interaksi
spin-orbit. (b) dengan interaksi spin orbit (Kemerink, 1998)...……… 39
II.5 Illustrasi ketergantungan potensial atomik terhadap jarak…………... 54
II.6 Ilustrasi kristal dengan setiap kisi kristal memiliki atau terdapat 56
xv
beberapa atom di dalamnya…………………………………………..
II.7 Atom pada sel satuan krista kubus pusat muka silikon dengan
kostanta kisi a………………………………………............................ 57
II.8 Grafik ketergantungan orbital dan integral hopping terhadap jarak
dari inti (Niquet, 2005)...…………………………………………….. 63
II.9 Ilustrasi asumsi ortogonalisasi yang tetap menganggap terjadi
tumpah tindih orbital walaupun kecil dan tumpah tindih ini relatif
masih memelihara bentuk orbital masing-masing…………………… 65
II.10 Beberapa defenisi integral hopping dan proyeksi-nya.......................... 69
III.1 Ilustrasi grafis proyeksi orbital S-P………………………………….. 89
III.2 Ilustrasi grafis proyeksi orbital P-P………………………………….. 90
III.3 Diagram alir penentuan nilai eigen dan vektor eigen sistem QD
simetris bola dan silinder…………………………………………….. 96
xvi
DAFTAR TABEL
II.1 Himpunan kombinasi linear basis tak-terganggu yang digunakan
dalam formulasi k . p (North, 2001)..................................................... 40
III.1 Nilai parameter massa dari metode pseudopotensial empirik dan nilai
parameter pita kristal Silikon dalam elemen matrik Hamiltonian
metode massa efektif k.p ..................................................................... 79
III.2 Nilai Parameter pita dan konstanta dari paramerisasi oleh Kwon dkk
(1998)………………………………………………………………… 87
III.3 Hasil proses pencocokkan (fitting) terhadap integral Hopping dalam
model oleh Kwon dkk (1998)………………………………………... 87
III.4 Keadaan terseleksi dalam koefisien Clebsh-Gordan, untuk n=1, l”=1,
m=0 , untuk Hamiltonian LK 6x6 dan Hamiltonian LK 8x8 ………... 100
xvii
DAFTAR LAMPIRAN
1. Matrik transpose dan matrik konjugat dari matrik U, dengan matriks
U adalah matrik transformasi dari basis ↑S , ↑X , ↑Y , ↑Z ,
↓S , ↓X , ↓Y dan ↓Z ke basis Kane dalam persamaan
III.66…………………………………………………………………. 121
2. Elemen Hamiltonian TB 8x8 dalam basis Bloch untuk persamaan
III.68…………………………………………………………………. 122
3. Contoh hasil perhitungan koefisien Clebsch-Gordan, perhitungan
elemen matriks LK 6x6 untuk QD silinder dan QD bola serta bukti
perhitungan nilai elemen baris pertama dan kolom pertama matrik
Hamiltonian TB dalam persamaan III.68 dengan Maple 9.5.
1. Contoh perhitungan koefisien Clebsch-Gordan untuk
jangkauan k terdiri dari satu elemen…………………………
2. Contoh perhitungan koefisien Clebsch-Gordan untuk
jangkauan k terdiri dari dua elemen elemen…………………
3. Contoh perhitungan komponen elemen matrik LK 6x6 (S)
dalam koordinat silinder ……………………………………..
4. Contoh perhitungan komponen elemen matrik LK 6x6 (S)
dalam koordinat bola…………………………………………
5. Perhitungan nilai elemen baris pertama dan kolom pertama
matrik Hamiltonian TB……………………………………….
124
124
125
129
137
xviii
DAFTAR SINGKATAN
HH : Heavy-Hole
LH : Light-Hole
LK : Luttinger-Kohn
MBE : Molecular Beam Epitaxy
MOCVD : Metal-Organic Chemical Vapour Deposition
OPF : Orthogonal Periodic Function
QD : Quantum Dot
SO : Spin-Orbit
TB : Tight-Binding
xix
DAFTAR LAMBANG
α : parameter pita konduksi
B : medan magnet
c : kelajuan cahaya dalam ruang hampa = sm10998.2 8×
( lmmmjlC |"';" ) : koefisien Clebsch-Gordan
∆S.O : energi spin-orbit
e : muatan elektron; 191060217733.1 −×=e
E : medan listrik
Ec : energi pita konduksi
Eg : celah energi
EK : energi Kane
Ep : energi orbital-p
Es : energi orbital-s
Ev : energi pita valensi
G : vektor kisi balik
γ1, γ2, γ3 : parameter Luttinger-Kohn
h : π2h=h , = konstanta Planck heV.s10582.6J.s10055.1
16
34
−
−
×=
×=h
H : Hamiltonian (operator energi)
h : Hamiltonian tight-binding
h(r) : integral Hopping
xx
H : ruang Hilbert
J : operator momentum sudut total (J = L + S)
Jl”(r) : fungsi Bessel spherical
( )rm"ℑ : fungsi Bessel
Jz : proyeksi J sepanjang sumbu-z
k : vektor gelombang
L : operator momentum sudut
m0 : massa pita konduksi
Bµ : magneton Bohr = J/T 2410273.9 −×
∇ operator differensial/operator momentum
Ω : volume kristal
P : Momentum translasi
( )xPml
"" : fungsi Lagendre
( )rk,ψ : fungsi gelombang Bloch
ϕα : orbital atomik
S : operator spin
σ : operator spin Pauli
ui : basis fungsi Bloch
( )rk,u : fungsi kisi Bloch
U : matrik transformasi dari basis Bloch ke basis Kane
V : kecepatan Kane
( )iV rI : potensial ionik
xxi
( )rKV : potensial kristal
( )raV : potensial atomik
( )rpV : potensial pengungkung
Vso : potensial spin-orbit
ssσ, spσ, ppσ, ppπ : definisi integral hopping dalam model sp3
hλ(r0), nλ, rλ, r0 : Konstanta hasil parameterisasi dalam model Kwon dkk
xxii
KAJIAN STRUKTUR ELEKTRONIK QUANTUM DOT SIMETRIS DALAM NANOKRISTAL SILIKON
DENGAN PENDEKATAN MASSA EFEKTIF- p.k rr
DAN IKATAN KUAT (TIGHT- BINDING)
Oleh: Muhamad Darwis Umar
21529/I-4/1717/04
Intisari
Telah dilakukan penelitian tentang struktur elektronik quantum dot bersimetri bola dan silinder yang diperoleh dari keadaan nanokristal silikon dalam medium isolator. Penelitian ini dilakukan dalam kerangka kerja metode-metode massa efektif k.p dan tight-binding dengan pendekatan partikel tunggal. Metode massa efektif k.p diterapkan pada kasus pita lebar dengan Hamiltonian Luttinger-Kohn (LK) 6x6 dan pada kasus pita sempit dengan Hamiltonian LK 8x8. Metode tight-binding hanya digunakan pada kasus pita sempit dalam pendekatan-pendekatan tight-binding semiempirik, ortogonal, dua-pusat dan model hibridisasi sp3. Penerapan massa efektif k.p dan tight-binding pada sistem quantum dot bersimetri bola dan silinder dilakukan secara analitik dan numerik menggunakan konsep perkalian tensor dua ruang Hilbert yakni ruang Hilbert yang disusun oleh Basis Kane dan ruang Hilbert yang disusun oleh Orthogonal Periodic Function (OPF). Penerapan metode massa efektif k.p berhasil memperlihatkan ketergantungan energi elektron-hole pada bentuk dan ukuran dalam sistem quantum dot simetris nanokristal silikon. Penerapan metode tight-binding dilakukan sampai pada tahap perumusan Hamiltonian 8x8 dan transformasinya ke dalam basis Kane. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa energi sistem quantum dot simetris bola dan silinder menurun dengan meningkatnya ukuran dot. Hasil perhitungan juga menunjukkan bahwa derajat kemerosotan keadaan energi pada quantum dot bersimetri bola lebih tinggi dari derajat kemerosotan energi pada quantum dot bersimetri silinder.
xxiii
STUDY ON THE ELECTRONIC STRUCTURES OF SYMMETRICAL QUANTUM DOTS IN SILICON NANOCRYSTALS USING p.k rr
EFFECTIVE MASS AND TIGHT- BINDING APPROXIMATIONS
By:
Muhamad Darwis Umar 21529/I-4/1717/04
Abstract
Study is done on the electronic structures of quantum dots with spherical and cylindrical symmetries which are obtained from nanocrystalline in insulating media. This study was done within the framework of the k.p effective mass and tight-binding methods using single particle approximation. The k.p effective mass method was applied on a wide band case using Luttinger-Kohn (LK) 6x6 Hamiltonian and on a narrow band case using LK 8x8 Hamiltonian. The tight-binding method was only used in the narrow band case within semiempirical tight-binding approximation of orthogonal, two-centered and sp3 hibridized model. The application of the k.p effective mass and tight-binding approximations on quantum dots with spherical and cylindrical symmetries was performed analytically and numerically by introducing the concept of two Hilbert space tensorial product or multiplication. This space was constructed by Kane Bases and the Hilbert space constructed by orthogonal periodic function (OPF). The application of the k.p effective mass was successful in showing the dependence of the electron-hole energies on the form size of the symmetrical nanocrystaline silicon quantum dots. The tight-binding application was done up to the formulation of the 8x8 Hamiltonian and its transformation to the Kane bases. The calculation results show that the energy of the quantum dots with spherical and cylindrical symmetries decreases with increasing size of the dots. The calculation results also show that the degeneracy degress of the spherical symmetrical quantum dots are higher than those of the cylindrical symmetries.
xxiv
BAB I
PENDAHULUAN
1. Latar Belakang Masalah
Sistem quantum dot diperoleh dari terkuantisasinya partikel dalam semua
arah oleh bekerjanya potensial penghalang tiga dimensi dalam suatu material
berdimensi kuantum (nanostruktur). Pemunculan potensial penghalang untuk
menghasilkan sistem quantum dot (dapat berhingga atau tak berhingga)
dimungkinkan oleh kemajuan dalam teknik fabrikasi nanokristal. Nanokristal
adalah struktur dimensi tiga yang terletak antara fase molekul dan bulk yang
terdiri dari beberapa ratus hingga beberapa ribu atom dengan interval ukuran
diameter 2 hingga 20 nm (Tews, 2004). Kemajuan dalam teknik fabrikasi ini
antara lain adalah teknik pembentukan (penumbuhan) kristal seperti Molecular
Beam Epitaxy (MBE) dan Metal-Organic Chemical Vapour Deposition
(MOCVD), serta teknik sistesis colloid. Baik perpaduan antara teknik MBE dan
MOCVD maupun dengan teknik sintesis colloid, keduanya mampu mengontrol
komposisi kimia, struktur kristal serta bentuk material hasil fabrikasi. Perpaduan
MBE dan MOCVD terkait dengan fabrikasi material berbasis semikonduktor yang
berlapis-lapis dengan presisi dalam tingkat atomik, sedangkan teknik sintesis
colloid terkait dengan penumbuhan semikonduktor monostruktur nanokristal
dalam bentuk tertentu dan dapat dicampur dengan polimer konduktif,
semikonduktor, sol-gel atau ke lapisan tipis berporous (berongga). Disamping itu,
2
tingkat kontrol yang luar biasa pada pembentukan kristal ini telah membuka
peluang luas bagi peneliti dalam mendesain struktur semikonduktor dengan sifat-
sifat baru (novelty) yang berperan dalam penyelidikan sifat-sifat fundamental
fisikanya dan sifat-sifat unggulan lainnya yang terkait dengan berbagai piranti
optik dan elektrik (North, 2001).
Quantum well atau struktur quasi-2-dimensi pertama kali diusulkan oleh
Esaki dan Tsu (1970) untuk pembuatan semikonduktor heterostruktur
GaAs/AlxGa1-x dan berhasil dihasilkan oleh Chang dkk (1973). Quantum wire
atau struktur quasi-1-dimensi pertama kali dihasilkan Petroff dkk (1982) dengan
penumbuhan dalam dua sisi. Dengan perpaduan teknik MBE dan MOCVD,
quantum dot pertamakali dibuat oleh Reed dkk (1986) menggunakan teknik
etching. Sedangkan dengan teknik sintesis colloid, quantum dot diperoleh dengan
percampuran nanostruktur dalam medium yang mempunyai celah energi yang
lebih lebar.
Perkembangan teknik fabrikasi nanokristal ini kemudian menjadikan
quantum well quasi-2-dimensi, quantum wire quasi-1-dimensi dan quasi-nol-
dimensi (quantum dot) sebagai salah satu topik kajian intensif dalam riset teori-
aplikasi-eksperimen fisika dalam 20 tahun terakhir ini (Reimann dan Mannien,
2002). Pentingnya tema ini bukan saja karena sebagai sarana verifikasi dan
pembuktian keampuhan teori kuantum dalam kurun waktu hampir 80 terakhir
dalam perspektif keilmuan sejak era Planck-Einstein, Bohr-Heisenberg-
Schrodinger-Born-Dirac dll dalam menelaah perilaku sistem mikro khususnya
fisika zat padat, tetapi juga karena telah menjadi landasan pemahaman dalam
3
memandu dan memetakan perkembangan nanostruktur sebagai basis teknologi
sensor, sel surya, computer-spintronik, teknologi berbasis semikonductor, dll,
yang didukung oleh teknologi mutakhir nanofabrikasi.
Pola struktur elektronik sistem QD biasanya dapat dikategorikan dalam
dua bentuk. Pola pertama berlaku untuk sistem nanokristal dengan fase mendekati
molekul. Dalam fase ini pola struktur elektronik dari sistem akan mendekati
struktur elektronik molekul dimana diskretisasi begitu jelas, sedangkan konsep
pita bulk menjadi kabur kehadirannya. Dalam fase ini peningkatan ukuran
nanokristal akan meningkatkan pola kuantisasi oleh medan kristal periodik yang
membentuk pola celah pita. Pola kedua berlaku pada sistem nanokristal dalam
fase mendekati bulk. Pada fase ini pita utama sistem akan ditentukan oleh struktur
pita bulk (keadaan kontinu pita valensi, celah pita dan pita konduksi), sedangkan
pengaruh kuantisasi oleh potensial pengungkung dapat dimasukkan melalui teori
gangguan, metode variasi maupun pemecahan persamaan Schrödinger secara
langsung untuk kasus-kasus QD berbentuk simetris. Pada kasus semikonduktor
mendekati fase bulk potensial pengungkung akan menimbulkan diskretisasi
disekitar tepi pita valensi. Pada kedua asumsi ini fungsi eigen untuk sistem
padatan kristal baik untuk metode tight-binding maupun untuk metode massa
efektif-k.p diasumsikan selalu memenuhi sebagai Fungsi Bloch.
Fungsi Bloch yang memuat informasi sistem secara fisis pada dasarnya
didasarkan pada dua asumsi dasar yang telah terbukti benar secara eksperimen:
(1). Hadirnya struktur kristal dalam material, dan (2) dalam kondisi dasar (untuk
material logam) atau perlakuan eksternal (untuk semikonduktor) elektron dapat
4
bergerak bebas dalam medan potensial kristal periodik. Oleh karenanya fungsi
Bloch harus terdiri dari dua bagian yaitu fungsi yang mewakili keadaan
terlokalisasi yang berulang secara periodik atau mempunyai simetri translasi kisi,
dan fungsi yang mewakili pergerakan partikel bebas. Fungsi periodik yang
mewakili keadaan terlokalisasi tentunya diwakili oleh orbital atomik, dan fungsi
yang mewakili pergerakan elektron bebas akan diwakili oleh gelombang bidang
sebagaimana tafsir mekanika gelombang Schrödinger terhadap kaitan de Broglie.
Karena elektron bebas dan terlokalisasi saling berinteraksi, maka fungsi periodik
harus bergantung bilangan gelombang k. Ini berarti dinamika elektron pada
keadaan dasar dikendalikan oleh potensial inti untuk elektron terlokalisasi dan
potensial periodik kristal untuk elektron bebas. Sedangkan elektron valensi
berkaitan dengan kondisi dimana perilaku elektron diatur oleh potensial inti atom
individu, interaksi dari pembentukan sistem (ikatan kimia), interaksi many-body,
medan eksternal dan medan kristal periodik. Untuk itu ketepatan pemilihan basis
akan bergantung pada keadaan dasar atau tereksitasi yang ditinjau, serta
bergantung pada medan interaksi mana yang dominan menentukan keadaan atau
dinamika elektron.
Terdapat bermacam-macam teori dan metode fisika yang diaplikasikan
pada sistem QD (North, 2001), baik yang monostruktur maupun yang sistem
heterostruktur, diantaranya: pendekatan tight-binding (Schulman dan Chang,
1985), pendekatan massa efektif k.p (Wang dkk, 1996), ab-initio (Jones, 1988),
dan metode pseudopotensial empirik (Gell dkk, 1986). Untuk dimensi material
yang realistis, pendekatan tight-binding semiempirik, pendekatan massa efektif
5
k.p-metode pseudopotensial empirik adalah metode-metode yang paling sering
digunakan dalam pemodelan quantum well, wire dan dot. Pemodelan ini
dilakukan baik untuk sistem QD heterostruktur maupun sistem QD colloid dalam
upaya untuk memgeksplorasi pengetahuan tentang sifat optik dan elektronik.
Seperti disebutkan pada alinea sebelumnya, metode yang paling sering
digunakan untuk menyelidiki informasi fisis yang merupakan nilai ukur besaran
fisis dalam kristal padatan dengan ukuran sistem yang realistis adalah metode
massa efektif k.p dan tight-binding semi empirik (North, 2001; Fonoberov, 2002;
Niquet, 2005). Dalam metode massa efektif k.p, matrik Hamiltonian dicari
melalui perlakuan medan/potensial eksternal yang memunculkan momentum
translasi dalam medan potensial periodik kristal dan memberikan informasi nilai
eigen energi disekitar k = 0. Kemunculan momentum translasi dalam kisi akan
berperan sebagai gangguan terhadap Hamiltonian dasar. Ketika energi elektron
berubah (meningkat atau menurun) oleh perlakuan eksternal maka perubahan ini
akan disertai dengan perubahan nilai massa elektron baik yang bergerak bebas
maupun yang terlokalisasi. Perlakuan ini dalam formalisme teori k.p (melalui
teori gangguan) kemudian menjadikan bilangan gelombang dan massa efektif
sebagai parameter yang mencirikan Hamiltonian kristal. Massa efektif dalam
permusan k.p ini dapat dikaitkan dengan parameter eksperimen yang dikenal
sebagai koefisien Luttinger-Kohn. Dalam metode k.p sebagaimana akan
disebutkan dalam Bab II, diasumsikan celah energi akan cukup membuat fungsi
eigen (fungsi gelombang) akan selalu dapat diekspansikan sebagai kombinasi
6
linear dari basis-basis dasar tak terganggu (lebar celah pita relatif terhadap elemen
perkalian tensor momentum adalah cukup lebar).
Dalam metode tight-binding diasumsikan berlaku dua kondisi yaitu: 1). Di
sekitar tiap titik kisi, Hamiltonian lengkap kristal periodik dapat didekati dengan
Hamiltonian atom tunggal yang terletak pada titik kisi tersebut, dan 2). Level-
level yang terkait dengat keadaan terikat adalah terlokalisasi dengan baik, atau
fungsi eigen dari Hamitonian untuk atom tunggal akan mendekati lenyap untuk
jarak yang lebih jauh dari konstanta kisi. Akibatnya metode pendekatan tight-
binding untuk suatu sistem kristal yang ditinjau akan memberikan hasil yang
sangat tepat jika Hamiltonian kristal hanya berbeda sedikit dari Hamiltonian
lengkap (sesungguhnya) pada jarak yang lebih besar dari interval jarak dimana
fungsi eigen kepunyaan Hamiltonian kristal berlaku. Perbedaan nilai Hamiltonian
kristal dengan Hamiltonian sesungguhnya ini berada dalam orde sebuah koreksi
potensial atomik yang dapat diberlakukan sebagai bentuk gangguan. Sebagaimana
dalam pendekatan massa efektif k.p fungsi gelombang untuk Hamiltonian
keadaan terlokalisasi dapat diekspansikan dalam basis orbital atomik. oleh
karenanya hasil yang diberikan oleh metode massa efektif k.p dan metode tight-
binding akan sangat bergantung pada seberapa tepat asumsi-asumsi yang
dikemukakan berlaku pada sistem yang ditinjau.
Terkait dengan metode k.p dan tight-binding, penyajian operator potensial
dalam persamaan Schöringer bisa dikuantitatifkan dengan metode ab-initio DFT
(density functional theory). Pada dasarnya DFT menyediakan suatu kerangka
7
kerja untuk memperoleh operator potensial elektron-tunggal efektif yang memuat
interaksi antara banyak elektron.
Jika pada pendekatan massa efektif k.p dan tight-binding struktur
elektronik yang diteliti meliputi seluruh elektron dalam sistem QD, maka ada juga
yang memfokuskan perhitungan pada elektron konduksi atau elektron yang
diinjeksi ke dalam dot seperti dalam mekanisme transistor QD (Tews, 2004;
Helle, 2006; Räsänen, 2004 ). Pada sistem ini ruang Hilbert bukan dibentang oleh
basis orbital atomik, melainkan dari ekspansi fungsi eigen dari penyelesaian
persamaan Schrödinger untuk elektron tunggal dalam potesial pengungkung
dominan yang mengkarakterisasi keadaan partikel misalnya oleh potensial
harmonik. Sedangkan efek dari keberadaan sistem dapat diperlakukan sebagai
gangguan dalam suatu bentuk potensial efektif atau pseudopotensial.
Wilayah keilmuan dan pengetahuan nanostruktur adalah sebuah area yang
menarik dan penting dalam ilmu material karena wilayah ini mempunyai dampak
teknologi yang besar. Satu diantara sekian material yang menjadi pusat perhatian
dunia keilmuan dan kalangan industri adalah silikon. Ini dikarenakan silikon
mempunyai peran fundamental dalam revolusi mikroelektronik yang telah
merubah budaya dan sistem komunikasi manusia. Dalam beberapa tahun terakhir,
telah menjadi jelas bahwa perilaku nanokristal silikon secara keseluruhan adalah
berbeda bila dibandingkan dengan silikon konvensional (Trani, 2004). Ukuran
kecil ditambah dengan aktivitas optik yang tinggi membuat mereka berkembang
menjadi material yang sangat menarik untuk dipelajari dan diteliti.
8
2. Perumusan Masalah
Mencermati kesemarakan penelitian-laboratorium tentang QD dan peran
material semikonduktor nanostruktur kristal silikon, serta tersedianya berbagai
perangkat metode teoritis untuk memperoleh informasi fisis, maka penelitian/riset
teoritis terhadap berbagai model sistem QD silikon perlu kiranya dilakukan
meliputi berbagai sifat fisis misalnya sifat optik dan elektrik. Salah satu model
yang ditawarkan disini adalah struktur elektronik nanostruktur kristal silikon
simetris dalam medium isolator-amorf. Ini dimaksudkan agar pada akhirnya
terjalin suatu sinergis yang memperluas spektrum perkembangan ilmu
pengetahuan dan teknologi berbasis QD silikon.
Sebagai penelitian awal sebelum mempelajari lebih jauh sifat optik QD
Silikon tentunya informasi tentang pola dan ketepatan struktur elektronik adalah
penting adanya. Untuk itu dalam penelitian ini akan dipelajari metode pendekatan
massa efektif- k.p dan tight-binding semiempirik dalam memperoleh informasi
struktur elektronik serta bagaimana menerapkan kedua metode ini ke dalam
sistem QD kristal silikon simetris. Rangkaian kerja ini disusun sebagai upaya
memperoleh informasi fisis berupa nilai eigen dan vektor eigen. Perilaku
informasi ini meliputi bagaimana ketergantungan struktur elektronik terhadap
bentuk dan ukuran QD silikon simetris. Diharapkan pada akhirnya akan diperoleh
pertimbangan-pertimbangan terhadap penggunaan metode pendekatan lebih jauh
terkait dengan penelusuran sifat optik QD silikon.
9
3. Batasan Masalah
Dengan mempertimbangkan jenjang pendidikan dan jangka waktu
penelitian maka penelitian ini dibatasi hanya untuk sistem semikonduktor direct
QD tiga-dimensi nanokristal silikon. Hamiltonian didekati dengan pendekatan
partikel tunggal (single-particle Hamiltonian).
Metode pendekatan massa efektif k.p-metode pseudopotensial empirik
dilakukan pada kasus pita sempit dan pita lebar (keadaan/state konduksi dan
valensi bergandeng/berinteraksi lemah dan kuat) dengan menggunakan basis tidak
terganggu dari model Kane (unpeturbated/basis ruang Hilbert untuk sistem ketika
bilangan gelombang sama dengan nol atau pada pusat zona Brillouin ).
Metode tight-binding menggunakan pendekatan-pendekatan:
1. Model tight-binding ortogonal sp3 semi-empirik.
2. Pembatasan interaksi hanya pada atom tetangga terdekat atau pendekatan
dua-pusat.
3. Penggambaran integral hopping menggunakan pengembangan model GPS
oleh Kwon.
4. Hanya diaplikasikan pada semikonduktor silikon pita sempit.
Untuk kedua metode, peninjauan sistem hanya dibatasi pada keadaan
disekitar tepi pita valensi, dengan asumsi daerah ini berperan utama pada sifat
fisis optik dan elektrik. Dalam metode massa-efektif k.p, efek elektron inti (core
electron) pada struktur pita energi akan ditanggulangi oleh nilai massa efektif
menggunakan metode pendekatan pseudopotensial-empirik, sedangkan untuk
metode tight-binding semiempirik efek ini akan ditanggulangi oleh parameterisasi
10
Hamiltonian tumpang-tindih dengan proses fitting (pencocokan) terhadap hasil
eksperimen atau ab initio sebagaimana data tambahan yang digunakan.
Penelitian ini diarahkan hanya pada studi awal sifat-sifat elektronik dan
optik dan dibatasi pada kajian struktur elektronik sistem QD silikon simetris
sederhana meliputi menentukan fungsi serta nilai eigen dari sistem QD simetris
bola dan silinder. Dalam model QD krital silikon penelitian ini, daerah antarmuka
(interface) nanostruktur kristal silikon dengan medium pembangkit potensial
dianggap tidak terjadi strain sehingga model ini relatif sangat representatif untuk
nanokristal colloid dalam medium isolator.
4. Tujuan Penelitian
1. Memahami dan dapat mengaplikasikan metode Tight-Binding semiempirik
dan metode massa efektif k.p-Metode Pseudopotensial Empirik untuk
menentukan struktur elektronik sistem QD simetris bola dan silinder
silikon nanokristal.
2. Menerapkan konsep perkalian tensor dua ruang Hilbert untuk
mendapatkan basis (ruang Hilbert) dalam mana vektor gelombang yang
memuat informasi fisis dari sistem QD silikon simetris dapat
dinyatakan/dihadirkan.
3. Mengetahui struktur elektronik (nilai eigen dan fungsi eigen) sistem QD
bersimetri bola dan silinder.
4. Mengetahui pola ketergantungan struktur elektronik QD bersimetri bola
dan silinder terhadap bentuk dan ukuran.
11
5. Mengetahui dan dapat memberikan rekomendasi tentang penggunaan
metode Tight-Binding semiempirik dan metode massa efektif k.p-
pseudopotensial empirik dalam sistem QD.
5. Manfaat Penelitian
1. Sebagai studi awal dalam mempelajari sifat optik dan elektrik sistem QD
silikon simetris bola dan silinder.
2. Sebagai bahan rujukan awal tentang penggunaan metode tight-binding
semiempirik dan metode massa efektif k.p- pseudopotensial empirik untuk
mempelajari secara teoritis sifat optik dan elektrik sistem QD pada
umumnya.
3. Memberikan rekomendasi awal tentang keunggulan dan kekurangan
metode tight binding dan massa efektif baik segi konseptual terkait dengan
kajian teoritis terhadap sistem QD nanokristal pada umumnya.
6. Keaslian Penelitian
Penggunaan metode tight-binding ataupun massa efektif k.p-metode
pseudopotensial empirik dalam mendeskripsikan sifat-sifat optik dan elektronik
telah banyak dibahas dalam berbagai jurnal dan thesis. Spesifikasi untuk keaslian
penelitian ini ditentukan oleh jenis material kristal silikon yang dikaji, dan pada
dua jenis bentuk simetris dalam ukuran QD tertentu (bola dan silinder) dengan
12
fase nanostruktur mendekati bulk, serta penggunaan beberapa asumsi dalam
pemodelan seperti yang diuraikan pada batasan masalah.
Sejauh pengamatan yang telah dilakukan, baik itu di laporan jurnal
perguruan tinggi, jurnal nasional, jurnal yang diperoleh dari internet, maupun di
berbagai thesis Program Pasca Sarjana (di Perguruan Tinggi tempat studi ini
dilakukan dan dari perguruan tinggi luar negeri dari Internet sebagaimana yang
dijadikan referensi), maka dapat ditetapkan bahwa Penelitian ini secara
keseluruhan adalah belum pernah dilakukan dalam bentuk yang sama persis.
7. Kerangka Penulisan
Penulisan dan penyusunan tesis ini secara umum dibagi dalam lima
bagian. BAB I merupakan pendahuluan yang berisikan latar belakang, perumusan
masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, keaslian tesis,
kerangka penulisan dan tinjauan pustaka. BAB II merupakan dasar teori yang
disusun berdasarkan studi pustaka mengenai masalah struktur elektronik,
mengenai penyelesaian persamaan schrödinger tak gayut waktu, mengenai
masalah pendekatan massa efektif-k.p untuk mengetahui kemunculan basis Kane
dan Hamiltonian diagonal yang memperhitungkan interaksi spin-orbit, mengenai
metode pseudopotensial empirik untuk menentukan parameter elemen
Hamiltonian dalam metode massa efektif k.p, serta mengenai pendekatan tight-
binding semi empirik terkait dengan penyusunan elemen Hamiltonian dalam basis
atomik dan transformasi uniternya ke basis Kane. BAB III, sebuah elaborasi hasil
penelitian yang memaparkan model QD diteliti, sifat perkalian tensor dua ruang
13
Hilbert dan proses penentuan vektor gelombang sistem yang diteliti, serta
bagaimana pemecahan persamaan schrodinger tidak bergantung waktu dilakukan
dengan menggunakan beberapa asumsi terhadap hasil dari BAB II. Juga
dipaparkan cara pengerjaan yang berisi tahap-tahap perhitungan baik secara
analitik maupun dengan proses numerik dengan Maple versi 9.5. BAB III diakhiri
dengan pembahasan menyangkut metode massa efektif k.p, metode tight-binding
semiempirik, perbandingan terhadap kedua metode pendekatan, serta berisi
deskripsi kuantitatif-kualitatif tentang ketergantungan, bentuk dan ukuran
(potensial) terhadap nilai dan fungsi eigen operator energi. BAB IV, berisi
kesimpulan tentang hasil dari keseluruhan penelitian serta rekomendasi terhadap
pengembangan penelitian yang telah dilakukan.
8. Tinjauan Pustaka
Dalam bagian ini akan disajikan sejumlah penelitian yang telah dilakukan
terkait dengan struktur elektronik bulk dan nanokristal silikon serta penggunaan
metode pendekatan massa efektif k.p dan pendekatan massa efektif dalam
perhitungan struktur elektronik sistem QD.
8.1 Struktur Elektronik Bulk dan Nanokristal Silikon
Hein (2000) (dalam Bagian II disertasinya) menghitung struktur elektronik
bulk silikon dengan menggunakan metode tight-binding semiempirik. Pada
penelitian ini Hein menggunakan hasil parameterisasi cluster silikon oleh
Harrison dengan tanpa memperhitungkan interaksi spin-orbit. Niquet (2005)
menggunakan metode pseudopotensial semiempirik dan ab initio untuk
14
menentukan ketergantungan ukuran diameter nanokristal silikon simetri bola
terhadap struktur elektroniknya. Pada penelitian ini Niquet menggunakan model
sp3 tight-binding ortogonal dan memperhitungkan atom tetangga kedua terdekat.
Niquet juga mengembangkan penelitian yang sama dengan menggunakan model
hibridisasi sp3d5s∗ dengan hanya memperhitungkan atom tetangga pertama
terdekat. Pada kedua penelitian ini, Niquet tidak memperhitungkan interaksi spin-
orbit. Trani (2004) (dalam bagian III dan IV disertasinya) juga melakukan
penelitian struktur elektronik nanokristal silikon bola dan elipsoida menggunakan
metode tight-binding empirik. Pada penelitian ini Trani tidak memperhitungkan
interaksi spin-orbit.
8.2. Perhitungan Struktur Elektronik dengan Metode Pendekatan Massa-
Efektif k.p dan Pendekatan Massa Efektif
North (2001) dalam disertasinya menggunakan pendekatan massa efektif-
k.p dan metode pseudopotensial empirik untuk menentukan struktur elektronik
hole QD semikonduktor heterostruktur GaSb/GaAs and Si/Ge. Pada penelitian
tersebut North menggunakan Hamiltonian LK 4x4. Grigoryan dkk (1990) serta
Ekimov dkk (1993) menerapkan Hamiltonian LK 6x6 untuk sistem semikonduktor
QD yang homogen. Pada penelitian tersebut Ekimov dkk (1993) menerapkan
Hamiltonian LK 6x6 untuk sistem QD CdSe. Fonoberov (2002) menggunakan
Hamiltonian Kane 8x8 tidak simetri pada sistem QD bola semikonduktor
heterostruktur nonhomogen untuk menentukan struktur elektronik HgS/CdS dan
InAs/GaAs. Prado dkk (1999) juga menentukan struktur elektronik QD bola
semikonduktor HgCdTe, InSb dan CdTe dengan menggunakan Hamiltonian Kane
15
8x8. Pada penelitian Prado dkk, fungsi gelombang diekspansikan dalam basis
tidak terkopling yang tersusun oleh himpunan basis Bloch dan Himpunan OPF
(Orthogonal Periodik Function). Hamiltonian LK 4x4, LK 6x6 dan Kane 8x8
yang digunakan pada keseluruhan penelitian di atas memperhitungkan interaksi
spin-orbit dengan menggunakan pendekatan partikel tunggal.
Lee dkk (2004) menentukan nilai eigen dan fungsi eigen sistem QD
silinder heterostruktur GaAS/Ga0.63Al0.37As dan Ga0.47In0.53As/InP dengan fungsi
gelombang diekspansikan dalam himpunan basis OPF (Ortogonal Periodic
Function). Dalam penelitian ini Lee dkk memasukkan pengaruh medan periodik
kristal dengan konsep massa efektif serta tidak memperhitungkan interaksi spin-
orbit.
16
BAB II
DASAR TEORI
1. Masalah Struktur Elektronik
Perlakuan mekanika kuantum material membutuhkan penyelesaian
masalah many-body kompleks. Hamiltonian yang menggambarkan sistem dapat
diungkapkan sebagai (Nayak, 2004):
∑∑∑∑∑≠≠
++−+=JI JI
JI
ji jiI I
I
I I
I
i
i ezzeezMm
HRRrrRr
PP-2
1-2
1-22
22222
total (II.1)
dengan indeks i, j menandakan elektron sedangkan indeks I, J menandakan inti
atom. Dalam persamaan (II.1) ri, Pi dan –e mewakili posisi, momentum dan
muatan dari elektron, sedangkan rI, PI dan +zIe mewakili posisi, momentum dan
muatan dari inti. Saling interaksi antar semua elektron dan inti dalam material
akan menentukan struktur elektronik sistem dan sifat-sifat lain yang didasarkan
pada interaksi-interaksi tersebut. Untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger
yang terkait dengan Hamiltonian (II.1) dua pendekatan dasar sering dibuat yaitu:
pendekatan adiabatik dan pendekatan elektron tunggal. Pendekatan adiabatik
mengizinkan tidak-bergandengnya dinamika dari variabel cepat (elektron) dari
dinamika variabel yang lambat (inti), sebaliknya pendekatan elektron tunggal
menyerderhanakan kompleksitas masalah many-body dengan mengabaikan
interaksi elektron-elektron, elektron-inti dan elektron-hole (Ray, 2005), di mana
pendekatan ini menghasilkan pendekatan orde-pertama yang baik (Kemerink,
17
1998). Dalam Pendekatan partikel tunggal Hamiltonian sistem dapat diungkapkan
dengan:
( )∑ =+=i i
iii HVm
H rPI
2
2 ∑ (II.2)
yang menunjukkan untuk tiap elektron, operator energi kinetik dan potensial
terkait dengan distribusi inti dingin (Ray, 2005). Komponen potensial dalam
Hamiltonian persamaan (II.2) mewakili potensial ion, oleh karenanya Hamilonian
(II.2) didesain untuk menggambarkan dinamika pembawa muatan dalam ion-ion.
Jika ion-ion ini berulang secara periodik maka akan membentuk medan potensial
kristal. Hamiltonian kemudian dalam penelitian ini akan digunakan dalam
penggambaran dengan Metode pendekatan massa efektif k.p. Penyederhanaan
terhadap Hamiltonian (II.1) semata-mata dilakukan agar pemecahan persamaan
Schrödinger untuk memperoleh tampilan fungsi gelombang dan nilai energi
sistem menjadi relatif lebih mudah dilakukan.
Metode pendekatan elektron tunggal umumnya digunakan dalam metode
massa efektif-k.p serta metode pseudopotensial empirik, sedangkan pendekatan
tight-binding umumnya menggunakan model Hamiltonian partikel tunggal. Tidak
seperti pada pendekatan partikel tunggal yang hanya membandingkan dinamika
elektron relatif terhadap inti, dalam model Hamiltonian partikel tunggal yang
dibandingkan adalah dinamika elektron konduksi relatif terhadap dinamika
elektron valensi dan inti. Asumsi pemberlakuan Hamiltonian partikel tunggal
adalah dimilikinya fakta eksperimen bahwa elektron konduksi bergerak ~ 102 –
103 lebih cepat dari ion (inti bersama elektron dalam potensial inti elektron inti
bersama elektron valensi). Dalam Hamiltonian partikel tunggal pergerakan
18
elektron konduksi dianggap bebas terhadap elektron valensi. Elektron dalam
potensial inti (keadaan terlokalisasi) saling bebas satu sama lain tetapi tetapi
dalam pengaruh potensial efektif oleh inti-inti atom. Hamiltonian partikel tunggal
mempunyai bentuk:
( )∑ +=i
ieffi Vm
H rPa
2
2 (II.3)
dengan adalah penjumlahan dari sumbangan tiap-tiap atom
dalam kristal. Perlu ditekankan bahwa persamaan (II.3) mewakili dinamika
keadaan terlokalisasi dalam suatu material. Jika bagian potensial dalam persamaan
(II.3) berulang secara beriodik maka Hamiltonian (II.3) akan mewakili sistem
kristal dan fungsi gelombang nya akan mematuhi teorema Bloch. Hamiltonian
persamaan (II.3) ini akan digunakan dalam penggambara metode tight-binding.
( ) ( )∑=i
iiaeffa VV R-rr
Secara umum penyelesaian persamaan Schrödinger tak gayut waktu
(persamaan swanilai operator energi persamaan (1)) ditentukan oleh asumsi dan
persepsi terhadap perilaku dan kondisi elektron dalam bahan, serta teknik
matematis yang terkait dengan masalah swanilai. Secara umum masalah ini dapat
dipetakan dalam beberapa hal yaitu:
1. Dari segi persepsi terhadap sistem molekul dan kristal (model teoritis
terhadap sistem yang ditinjau) terdapat dua pendekatan yang ditentukan dari
asumsi tentang keterkaitan orbital-orbital molekul dengan orbital-orbital
atomik. Untuk masalah ini terdapat dua pendekatan dasar yang dibuat yaitu:
(1) tumpang tindih orbital atomik membentuk orbital baru yang
menghasilkan defenisi orbital molekular (molecular orbital) dan (2)
19
walaupun terjadi tumpang tindih orbital, masih boleh dikatakan bahwa
elektron berada di salah satu orbital atomik. Pendekatan pertama dikenal
dengan teori orbital molekular bertitik pangkal pada pendekatan Born-
Oppenheimer, sedangkan pendekatan kedua dikenal dengan teori ikatan
kovalen yang bertitik pangkal pada pendekatan konsep klasik Lewis tentang
ikatan pasangan elektron yang memiliki tafsiran mekanika kuantum.
Masalah ini dapat dilihat pada (Prasad, 2001).
2. Dari segi pemecahan masalah swanilai untuk sistem kuantum umumnya
digunakan dua metode pendekatan yaitu metode variasi dan metode
gangguan. Dalam metode variasi dibutuhkan intuisi dalam memberikan
pertimbangan fisika dan kimia untuk menyusunan fungsi coba yang menjadi
ruang vektor bagi sistem fisis yang ditinjau. Sedangkan metode gangguan
biasanya menggunakan basis-basis tertentu yang telah ditemukan
penyelesaiaanya secara analitik atau komputasi dan telah diuji secara
eksperimen. Basis-basis ini kemudian digunakan untuk meneliti fungsi
gelombang dari sistem yang diteliti (Griffiths, 1995; Prasad, 2001).
3. Dari segi penampilan Hamiltonian dan pemodelan fungsi gelombang. Saat
ini penampilan Hamiltonian sistem dihadirkan dalam dua cara: apakah
semua elektron dihadirkan secara serentak dalam Hamiltonian ↔ metode
Hartree-Fock ataukah mengunakan partikel tunggal dengan semua interaksi
dalam sistem dimasukkan ke dalam operator potensial ↔ metode
pseudopotensial dan DensityFunctional Theory (DFT) (Zünger, 1998). Dari
segi pemodelan fungsi gelombang biasanya ditentukan oleh pembuatan
20
pola/skema komputasi berdasarkan daerah sistem fisis yang ingin ditinjau
seperti: deskripsi daerah disekitar atom: Kombinasi linear orbital atomik
(linear combination of atomic orbital/LCAO), daerah diantara atom:
gelombang bidang terortogonalisasi (Orthogonalized Plane Waves/OPW),
perluasan gelombang bidang (Augmented Plane Waves /APW), atau
kombinasi keduanya yang saat ini sedang dikembangkan yaitu yang dikenal
dengan pendekatan kue tipis = muffin tin approximation.
4. Dari segi proses penyelesaian terhadap persamaan Schrödinger, terdapat dua
kemungkinan pendekatan yang dapat digunakan yaitu pendekatan yang
menggunakan informasi data-data empiris sebagai bantuan dalam proses
penyelesaian terhadap model teoritis (semi-empirik) atau keseluruhan
ditampilkan dalam bentuk parameter fisika (ab initio) (Pople, 1998).
Biasanya pendekatan yang menggunakan data-data empirik atau
semiempirik diaplikasikan pada sistem dengan jumlah atom yang relatif
besar.
2. Metode Perhitungan Struktur Pita Elektronik Semikonduktor
Untuk memprediksikan sifat optik dan elektronik QD semikonduktor
nanokristal adalah perlu untuk mengetahui bentuk Hamiltonian dan basis tidak-
terganggu bulk material semikonduktor yang memperhitungkan efek gandengan
spin-orbit (sesuai dengan jenis material kristal silikon yang ditinjau), yang
kemudian dapat diterapkan dalam kasus quantum dot dengan asumsi yang
disajikan dalam BAB III. Dalam bagian ini akan dipaparkan garis besar tentang
bagaimana informasi ini dapat diperoleh dengan menggunakan metode
21
pendekatan massa efektif k.p-metode pseudopotensial empirik serta metode
pendekatan tight-binding semiempirik. Ini adalah hasil studi terhadap beberapa
pustaka dengan fokus pada Kemerink (1998), North (2001), Jena (2004),
Fonoberov (2002), Trani (2004) dan Niquet (2005).
2.a. Pendahuluan Teori k.p
Pada kesempatan ini akan diberikan pendahuluan teori massa efektif k.p
dalam bentuk yang lebih detail sebagai bagian untuk mewadahi penelitian dalam
memahami keterkaitan antara fungsi kisi Bloch dalam kaitannya dengan orbital
atomik. Keterkaitan ini diharapkan pada akhirnya mampu memberikan gambaran
dasar tentang bagaimana keterkaitan metode tight-binding yang menggunakan
himpunan orbital atomik sebagai basis untuk ruang Hilbertnya dan teori massa
efektif-k.p yang mengaitkan antara tafsiran fungsi eigen (fungsi kisi Bloch)
dengan orbital atomik. Ini merupakan hasil studi pustaka terhadap tulisan Jena
(2004).
Sebagaian besar fenomena kristal (optik-elektronik, magnetik) dalam
semikonduktor dapat dipahami dengan memeriksa sebagaian kecil dari
keseluruhan struktur pita. Daerah yang terpenting dari struktur pita ini adalah
daerah yang sebagian besar ditempati oleh pembawa muatan kristal. Titik-titik ini
adalah titik terendah dalam pita konduksi dan titik tertinggi pita valensi. Titik
tertinggi pita valensi dikenal sebagai titik-Γ, dan merupakan titik
( )0,0,0 === zyx kkk dalam ruang-k. Pada sebagian besar semikonduktor
campuran, maksimum pita valensi dan minimum pita konduksi terjadi pada titik
yang sama dalam ruang-k yaitu pada titik-Γ. Semikonduktor demikian dinamakan
22
semikonduktor celah-langsung / direct dan membentuk sifat penting dari sebagian
besar perangkat optik. Jika minimum pita konduksi dicapai pada beberapa titik
lain di ruang-k, maka semikonduktor disebut sebagai semikonduktor celah-tidak
langsung/indirect. Teori k.p mengijinkan untuk menghitung struktur pita ( )knE
dekat tepi pita (di bawah pita konduksi dan di atas pita valensi) dan dapat
diaplikasikan pada pita merosot (terdegenerasi) tunggal ataupun merosot banyak.
Untuk memahami evolusi struktur pita secara umum (keseluruhan pita dalam
sistem) dan bagaimana metode k.p digunakan dalam mempelajari struktur pita
secara khusus (diaplikasikan hanya pada sejumlah pita yang mayoritas didiami
oleh pembawa muatan) maka harus mulai dengan ide tentang gelombang Bloch.
2.b. Gelombang Bloch
Tinjau suatu kisi periodik dalam ruang bervolume Ω dengan perulangan
periode jarak R. Teorema Bloch menyatakan bahwa penyelesaian persamaan
Schrödinger untuk kisi periodik adalah berbentuk
( ) ( rk,rk, rk uei ⋅= )ψ (II.4)
dengan ( )rk,ψ adalah fungsi gelombang Bloch, ( )rk,u adalah fungsi kisi Bloch
atau fungsi Bloch Periodik yang mempunyai simetri pergeseran yang sama
dengan kisi dan adalah fungsi envelope Bloch. rk⋅ie
Jika elektron berada dalam kisi tetapi tanpa potensial ( )( )0=rV , maka
fungsi gelombang Bloch mempunyai bentuk:
( ) rktotrk, ⋅
Ω= ie1ψ (II.5)
23
dengan vektor gelombang total Gkk tot += . Vektor gelombang total dapat hanya
dinyatakan dengan vektor gelombang k dalam zona Brillouin pertama dalam
wakilan ruang-k dengan G yaitu vektor kisi balik, semenjak vektor kisi balik G
berkaitan dengan R dalam sebuah relasi m2π=⋅RG , dengan m adalah bilangan
bulat. Dengan demikian fungsi gelombang Bloch dapat ditulis sebagai:
( ) ,1 G.rrkrk, ii eeΩ
= ⋅ψ (II.6)
Jika persamaan (II.6) dikaitkan dengan persamaan (II.4) maka diperoleh
( ) rGrk, ⋅
Ω= ieu 1 , dengan demikian dalam model elektron mendekati-bebas (nearly
free-electron) jika kita mengetahui G maka otomatis kita mengetahui fungsi kisi
Bloch. Fungsi kisi Bloch ( )rk,u adalah periodik dengan perulangan kisi.
Dalam model elektron mendekati bebas akan dihasilkan kurva dispersi
parabolik yang berulang secara periodik dalam sumbu k dimana terdapat titik
merosot pada perpotongan kurva.
( ) ( )0
22
2mE Gkk +
=h (II.7)
Dari gambar II.1 namapak bahwa Himpunan-himpunan yang berbeda dari
adalah pita-pita yang berbeda.
( )kE
Keadaan merosot ini dapat terpisah oleh kehadiran potensial kristal
(dimana potensial ini akan memecahkan (memisahkan) keadaan merosot jika
potensial gangguan V(r) mempunyai elemen matrik tidak nol terkait dengan
keadaan merosot, misalnya ( ) 021 ≠rV . Keadaan ( ) 021 ≠rV akan ditentukan
oleh sifat simetri dari keadaan yang terkait dengan keadaan merosot). Pemecahan
24
ini membuat pita-pita terpisah oleh celah, dimana besar celah ditentukan oleh
besar potensial kristal.
E(k)
Gap
Gap
-π/a π/a k
ZB
G=2π/
ZB
kπ/a
G=2π/V(r) = 0
-π/a
Degenerasi
Degenerasi Potensial Diaplikasikan
E(k)
V(r) = V(r+a)
Gambar II.1. Struktur pita dalam model elektron mendekati-bebas. Untuk 1-dimensi keadaan terdegenerasi hanya terjadi pada pusat zona (k=0 atau pada tepi zona Brillouin (k = ±π/a). Untuk kasus 2 dan 3 dimensi keadaan tergenerasi dapat juga terjadi pada titik lain dalam zona Brillouin (Jena, 2004).
Jumlah keadaan-keadaan (dalam -π/a ≤ k ≤ +π/a) pada tiap-tiap pita dalam
Zone Brillouin pertama adalah sejumlah N atom yang berada dalam keseluruhan
kristal. Karena setiap keadaan spin diizinkan untuk terdegenerasi 2 maka jumlah
total elektron adalah 2N.
Jika potensial kisi tidak nol maka fungsi gelombang Bloch mempunyai
bentuk:
( )( )rnk nk
rk
uei
Ω=
⋅
(II.8)
Fungsi gelombang Bloch ini mengikuti relasi ortonormalitas:
( )( )
( )( )
( )( ) ( )rrrrkκ kκ
kκ
k
rk
κ
rκ
κk nm
i
n
i
m
i
mn uuerdueuerdnm ∫∫Ω
∗⋅⋅∗
Ω
⋅
Ω=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
Ω⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Ω== 33δδ
(II.9)
25
Persamaan (II.9) dapat disederhanakan jika ditinjau keadaan yang cukup jauh dari
tepi zona Brillouin. Ini dikarenakan pada jarak yang cukup jauh dari tepi Zoba
Brillouin vektor gelombang menjadi kecil. Untuk panjang gelombang elektron
lebih besar dibandingkan dengan ukuran sel unit maka fungsi u adalah periodik
diseluruh kisi, maka diperoleh:
mnnmss ss
uurd δ=Ω ∫
Ω
∗kκ
'31 (II.10)
Indeks ss menunjukkan sel satuan. Karena sifat berulang dari u, integral (II.10)
juga dapat dituliskan sebagai :
mnnm uurd δ=Ω ∫Ω
∗kκ
'31 (II.11)
Teori k.p menunjukkan bahwa u secara relatif tidak bergantung pada k. Ini
membuat fungsi envelope sebagian besar ortonormal keseluruh variabel k.
Ketidakbergantungan ini berarti keadaan terganggu dari keadaan terlokalisasi
(yang ditimbulkan oleh pergerakan elektron konduksi) dapat dinyatakan dalam
keadaan dasar sistem tanpa gangguan. Fungsi u dapat dinormalisasi sehingga
bentuk integral tidak mensyaratkan tambahan faktor ssΩ . Dalam normalisasi ini
dilakukan subsitusi:
kk nssn uu Ω→ atau kk nn uu Ω→ (II.12)
Dengan persamaan (II.12) maka persamaan (II.10) dan (II.II) memenuhi relasi
ortonormalitas:
mnnm uurdss
δ=∗
Ω∫ kκ
'3 atau (II.13) mnnm uurd δ=∗
Ω∫ kκ
'3
26
Pada relasi (II.13) diasumsikan bahwa untuk suatu nilai k, fungsi membentuk
himpunan lengkap (dimana n meliputi seluruh pita).
knu
2.c. Persamaan k.p untuk Fungsi Bloch Periodik tanpa Gandengan Spin-
Orbit
Sebagaimana teorema Bloch bahwa fungsi gelombang untuk sistem kristal
merupakan fungsi Bloch, oleh karenanya persamaan Schrödinger tak gayut waktu
untuk Hamitonian memuat bentuk kinetik dan potensial kristal adalah: ( )rKV
( )( )
( )( )
( )rrr k
k.r
kk
k.r2
0
2
2 n
i
nn
i
K ueEueVm Ω
=Ω⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+∇−
h (II.14)
dengan ( )kk nn EE = memberikan relasi dispersi untuk n pita sedangkan Ω adalah
volume kristal. Dengan menyelesaiakan persamaan (II.14) diperoleh:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )rrrrkr krk
krk
ni
nnKnni ueEuVuiuk
me ⋅⋅ =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+∇⋅+−− kkk
2
0
2
22h
(II.15)
dengan subsitusi ( ) ( )rr kk nn upiu ˆh
=∇ ke dalam persamaan (II.15) maka
Persamaan (II.15) dapat disederhanakan menjadi:
( ) ( ) ( )rrk.p kk nnn umkkEu
mH ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
0
22
00 2
hrh (II.16)
dengan
( )rpKV
mH +=
0
2
0 2 (II.17)
dan ( ) ( )rr kk nn uu p berkenaan dengan pergerakan sebuah elektron disekitar inti
(misalnya pita valensi). Untuk keadaan di tepi pita maka suku kedua di sebelah
27
kiri persamaan (II.16) dapat diperlakukan sebagai gangguan. Terlihat massa bebas
elektron muncul dalam persamaan (II.16). Untuk k=0 diperoleh:
( ) ( ) ( )rr 00 nnn uEuH 00 = (II.18)
dengan adalah nilai eigen pada pusat Zona Brillouin. Kurva dispersi ( )0nE ( )knE
dapat dicari dengan memasukkan efek dari bentuk k.p sebagai gangguan. Jika
nilai eigen untuk Hamiltonian lengkap (II.16) didefinisikan sebagai:
( ) ( )0
22
2mkEW nn
h−= kk (II.19)
maka daerah disekitar k=0 dapat diperiksa dengan teori gangguan. Ketika k=0,
maka:
( ) ( ) ( )000nn EW = (II.20)
Nilai eigen untuk Hamiltonian lengkap dalam persamaan (II.16) dapat didekati
dalam orde pertama dan kedua gangguan. Dengan persamaan (II.20) nilai eigen
untuk Hamiltonian lengkap dalam orde dua gangguan adalah:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21210 0 nnnnnnn WWEWWWW ++=++≅k (II.21)
Dengan menggabungkan persamaan (II.19) dan (II.21) diperoleh:
( ) ( ) ( ) ( )21
0
22
20 nnnn WW
mkEE +++=
hk (II.22)
Dari persamaan (II.22) nampak bahwa pita memelihara bentuk parabolik dasar
yaitu bentuk k2, oleh karenanya massa efektif harus berasal dari dua bentuk
terakhir dalam persamaan (II.22).
28
2.c.1. Pita tidak Merosot
Untuk teori k.p kasus yang terpenting adalah keadaan tidak merosot (Jena,
2004). Sebagaimana yang telah disebutkan, Persamaan (II.16) di atas dapat
diselesaikan dengan menggunakan teori gangguan (lihat Yariv, 1982 atau
Griffiths, 1995). Potensial gangguan dalam (II.16) dapat diwakili dengan sebuah
operator yaitu:
k.p0
ˆmh
=ν (II.23)
Dengan teori gangguan (Yariv, 1982), persamaan (II.21) adalah:
( ) ( ) ( )∑≠ −
++=mn nm
mnmnmm EE
EW00
ˆˆ0
2νν (II.24)
dengan nmmn νν ˆˆ = . Melalui pencocokkan persamaan (II.21) dan (II.24), maka
persamaan (II.22) menjadi:
( ) ( ) ( ) ( )∑≠ −
+++=mn nm
mnmnmm EEm
kEE002
02
0
22 ννhk (II.25)
Dari bentuk nmmn νν ˆˆ = terlihat bahwa orke kedua gangguan muncul
oleh interaksi antara nilai eigen yang berbeda. Dimana terjadi atau tidak terjadinya
interaksi antara keadaan ditentukan oleh elemen matrik nmmn νν ˆˆ , jika
nmmn νν ˆˆ adalah matriks nol atau lenyap maka berarti tidak ada interaksi.
Keadaan lenyap atau tidak ini bisa dilihat dari sifat simetri fungsi eigen dan
simetri potensial gangguan ν .
29
2.c.1.a. Sifat Simetri ν
Tinjau bentuk mnν diagonal, sebagaimana disebutkan di atas bahwa
elemen matrik diperoleh dari keadaan terganggu yang diekspansikan dalam basis
yang ditemukan pada k=0, misalnya ( )r0mu . Dapat ditunjukkan bahwa 0=mnν
jika kristal mempunyai simetri inversi yaitu ( ) rr 00 - mm uu ± ( )= . Untuk
menunjukkan ini dapat dilakukan dalam dua metode. Metode pertama dengan
mendefinisikan operator paritas ℘ untuk memberikan fungsi gelombang baru
yang bersesuaian dengan pergantian rr −→ , yaitu 00ˆ nn uu ±=℘ . Transformasi
serupa juga berlaku untuk operator momentum. Dalam kasus satu dimensi,
diperoleh
( ) xx pdxd
ixdd
idxd
ip −=−=℘
−℘=℘℘=℘℘ +++ hhh ˆˆˆˆˆˆ (II.26)
Pernyataan serupa juga dapat diberlakukan terhadap komponen y dan z
momentum. Oleh karena itu dapat dihitung elemen matrik:
[ ] [ ] [ ] [ ] nonnonnnnnnon uuuuuuuuuu ppppp 0000000 ˆˆˆˆ −=℘℘=℘℘=±±= +∗∗
Sehingga dapat disimpulkan:
000 =nn uu p dan 0ˆ =mnν (II.27)
Metode kedua dapat dilakukan dengan menyelesaikan integral 00 nn uu p , dengan
elemen x dalam integral 00 nn uu p disubsitusi dengan –x.
30
2.c.1.b. Simetri Fungsi Eigen
Semua semikonduktor kristal mempunyai ikatan tetrahedral yang memiliki
hibridisasi (Jena, 2004). Atom-atom silikon mempunyai elektron-elektron
terluar (valensi) dalam orbital s dan p. Sifat simentri (atau geometri) dari orbital-
orbital ini dibangun/ditentukan oleh bagian sudut mereka (Jena, 2004).
3sp
1=s (II.28)
φθ cossin3==rxpx (II.29)
φθ sinsin3==rypy (II.30)
θcos3==rzpz (II.31)
Bentuk keadaan-s dan keadaan-p diberikan dalam gambar (II.2). Keadaan
ini ditandai dengan s , X , Y , Z . Ketika atom-atom diletakkan dalam kisi
kristal maka elektron valensi terhibridisasi ke bentuk orbital dan berperan
dalam ikatan tetrahedral. Kristal kemudian membangun struktur pita berdasarkan
orbital-orbital yang diizinkan berinteraksi untuk membentuk ikatan kimia. Dalam
struktur pita kristal akan hadir celah energi yang merupakan reprentasi keadaan
elektron yang berada dalam potensial periodik kristal. Karena keadaan valensi dan
konduksi terkait dengan interaksi orbital s dan p, maka keadaan di dekat tepi pita
konduksi dan valensi akan berperilaku menyerupai
3sp
s , X , Y dan Z
sebagaimana yang mereka miliki sebagai atom-atom individual.
31
z
Pada kasus semikonduktor celah-langsung (direct-gap semiconductor), fungsi kisi
Bloch ( ) ( )rrk 0cc uu = memiliki sifat simetri sebagaimana keadaan s pada pita
konduksi minimum (k=0) atau mempunyai simetri bola. Sedangkan seluruh pita
maksumum valensi akan mempunyai simetri sebagaimana orbital-orbital-p. Pada
semikonduktor yang mempunyai celah pita tidak langsung (indirect-gab
semiconductor) keadaan minimum pita konduksi tidak lagi seperti s melainkan
adalah campuran s dengan X , Y , Z (Jena, 2004). Secara umum keadaan-
keadaan pita valensi dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari orbital-orbital-p.
Sifat-sifat ini dapat dilihat dalam gambar (II.3).
Terlihat bahwa fungsi kisi Bloch memelihara simetri yang dimiliki orbital-
orbital atomik. Dalam ekspresi matematis dapat dikatakan bahwa fungsi kisi
Bloch diizinkan untuk memiliki simetri tipe-s dan tipe- misalnya
keadaan . Kemudian, dibuat hubungan langsung bahwa adalah
kombinasi linear dari . Tanpa mengetahui pun bentuk alami eksak dari
zyx ppp ,,
zyxs uuuu ,&,, suυ
zyx uuu ,&,
x
y
z
y
x
z z
y y
x x
Orbital-py Orbital-pz Orbital-s Orbital-px
Gambar II.2. Orbital-orbital s dan p dari sistem atom. orbital-s berbentuk bola, dengan demikian simetri pada semua sumbu. Orbital-orbital-p adalah antisimetri atau fungsi ganjil sepanjang arah mereka diorientasikan (Jena, 2004).
32
fungsi-kisi Bloch, dapat segera dinyatakan bahwa elemen matrik antara keadaan
pita konduksi dan keadan pita valensi yaitu:
0=vc uu , (II.32)
E Celah
Karena pita valensi adalah kombinasi linear dan zyx uuu ,,
( )zkyjxiip ∂∂+∂∂+∂∂−= ˆˆˆh maka matrik-momentum vc upu antara pita
valensi dan konduksi adalah menjadi tidak nol.
pupuupu iisis ≡= dan ( )jiupu jis ≠= ,0 (II.33)
Elemen-elemen ini secara jelas dapat dilihat pada seksi (Model Kane) seperti yang
dilakukan oleh Kane guna mendapatkan basis bagi Hamiltonian diagonal yang
memuat interaksi spin-orbit.
Ketidak nol interaksi pita-pita ini membuat Himpunan elemen matrik
kedua mnν adalah tidak perlu nol, yang mana memberikan kemunculan massa
Tidak langsung
Celah langsung
Pita konduksi
pssu +s
Semakin tidak-langsung
lebih p Celah pita
zcybxa ++
Kombinasi linear keadaan tipe-p dari bentuk Pita
Valensi
HH
LH
SO
Gambar II.3. Tipe struktur pita semikonduktor. Untuk semikonduktor celah-langsung, keadaan pita konduksi terjadi pada k=0 yang berperilaku seperti orbital-s, sedangkan keadaan pita valensi adalah kombinasi linear orbital-orbital yang berperilaku seperti orbital-p. Untuk semikonduktor celah-tidak langsung keadaan pita konduksi tidak berperilaku seperti orbital-s, tetapi menyerupai keadaan camputran dari keadaan orbital-p dengan keadaan orbital-s (Jena, 2004)
33
efektif. Nilai eigen-energi dapat ditulis dengan subsitusi persamaan (II.23) ke
(II.25) sehingga diperoleh:
( ) ( ) ( ) ( )∑≠ −
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++=
mn nm
nmmm EEmm
kEE002
022
00
22 pkk hh (II.34)
dengan
αββα
βαα
αα δ∑∑ ==++=,
2222 kkkkkkkk zyx (II.35)
dan αβδ adalah delta Kronecker. 2nmpk ⋅ dapat juga ditulis dalam bentuk-bentuk
komponen-komponennya yaitu:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ββ
α
βαα
β
ββ
α
αα nmnmnmnmnmnmnm pkpkpkpk ∗
∗∗ ∑∑∑ =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⋅⋅=⋅
,
2 pkpkpk
( II.36)
dengan ( )0000
1mnmxnnm u
xiuupup
∂∂
==h dan seterusnya. Vektor gelombang k
dalam persamaan (II.36) tidak berpengaruh oleh operasi konjugat kompleks
karena bersifat real. Kemudian karena konjugat kompleks dari suatu elemen
matrik mempunyai pengaruh yang sama sebagaimana diambil adjoinnya maka
. Sehingga persamaan (II.36) menjadi: ( ) ( )ααmnnm pp =
∗
( ) ( )βα
βα
βα kkpp mnnmnm ∑=⋅,
2pk (II.37)
Kemudian dengan menggambungkan persamaan (II.37) dengan (II.35) diperoleh:
( ) ( ) ( ) ( ) βαβα
βααβδ
kkEE
ppm
EEmn nm
mnnmmm ∑ ∑
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=−
≠,
2
0
2
00220 hh
k (II.38)
34
Persamaan (II.38) menampilkan tensor massa efektif yang dapat didefinisikan
sebagai:
( ) ( ) βαβαβα
kkm
EE mm,,
2 12
0 ∑ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=− ∗
hk (II.39)
dengan
( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡−
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∑
≠∗
mn nm
mnnm
EEpp
mmm 0021
200
βααβ
αβ
δ h , (II.40)
Fungsi Bloch Periodik hanya bergantung pada vektor gelombang k
dalam orde pertama teori gangguan. Dari teori gangguan, untuk pendekatan
orde pertama dapat diungkapkan sebagai:
knu
knu
( ) ( )∑≠ −
−≅nm
mnm
mnnn u
EEuu 00 00
νk (II.41)
dengan elemen matrik menggunakan fungsi gelombang orde ke-nol adalah:
00 ˆ nmmn uu νν = dengan pm
ˆˆ0
⋅= khν (II.42)
Oleh karenanya koreksi orde pertama dalam persamaan (II.41) adalah tidak nol.
Selanjutnya diasumsikan bahwa bagian periodik disekitar pusat zona Brillouin
hanya bergantung pada k melalui koreksi orde pertama. Jika elektron berada
dalam pita konduksi (pada semikonduktor pita dua/ valensi-konduksi) maka m=2,
maka pita satu-satunya yang lain adalah pita valensi yang diberikan oleh n=1.
Kemudian jika pada semikonduktor celah pita duua ini celah energi
( ) ( )00 mng EEE −= adalah cukup lebar maka diharapkan suku kedua pada sisi
kanan dari persamaan (II.41) adalah kecil. Arti penting dari asumsi bahwa celah
energi cukup lebar adalah bahwa fungsi dapat diekspansikan dalam bentuk
fungsi
knu
0,nu
35
( ) 0k k mm
mn uau ∑= (II.43)
Terlihat bahwa teori k.p memprediksikan pita parabolik dan juga
memprediksikan interaksi k.p yang memodifikasi pita parabolik tersebut. Selain
itu teori k.p juga memprediksikan suatu massa efektif untuk elektron.
2.d. Model Kane
Untuk semikonduktor celah pita direct penyelesaian untuk daerah dekat
sekitar pusat zone Brillouin dapat diperoleh apabila penyelesaian persamaan
schrödinger satu elektron diketahui pada pusat zone. Sebagaimana dipaparkan
pada pendahuluan, ini dapat dilakukan dengan menganggap hasil kali skalar k.p
(dimana k adalah sebuah vektor gelombang terukur di Γ dan ) sebagai
gangguan. Oleh karenanya persamaan schrödinger tak gayut waktu dalam bentuk
bagian periodik fungsi Bloch adalah:
∇= hip
( ) ( ) ( )rr2 kkk
0
22
00k uEu
mk
mVHuH so =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅++=hh pkr (II.44)
dengan H0 adalah Hamiltonian pusat zona Brillouin dan Vso adalah potensial spin-
orbit. Diketahui :
( ) p⋅∇×= Vcm
V so σ4 22
0
h (II.45)
Dengan p dan σ adalah operator momentum dan spin Pauli. Dapat dipahami
bahwa interaksi spin orbit adalah murni pengaruh efek relativistik. Pengaruh ini
muncul oleh pergerakan elektron disekitar inti yang bermuatan positif pada
kecepatan relativistik, medan listrik dari inti akan bertransformasi-Lorentz
menjadi medan magnetik dalam persepsi elektron dan akan berinteraksi dengan
36
spin atau lebih tepatnya dengan momen magnetik elektron. Karena elektron
valensi yang terletak lebih dekat dengan inti dibandingkan dengan elektron
konduksi maka efek spin-orbit ini akan dominan disumbangkan oleh elektron
valensi dan biasa di dimasukkan dalam penggambaran pita valensi, di mana jika
gerakan relatif elektron adalah sebuah gerak menyerupai garis lurus, maka
( ) ( ) cc
cv
EvEvB ×≅−
×−=
2
2121 2
(II.46)
Dengan persamaan (II.46) interaksi spin-orbit dalam persamaan (II.45) menjadi:
( )
( )
( )( ) pS
pS
EvS
S.BS.BBM
⋅∇×−=
∇×⋅=
×⋅−=
==⋅−=
φ
φ
2
2
22
2
B
emc
ecm
emc
emceV so µ
(II.47)
dengan µB adalah magneton Borh dan S adalah operator spin ( σ21 h=S ) . Dalam
langkah terakhir persamaan digunakan relasi ( ) ( ) CBACBA ⋅×=×⋅ dan
( ) ( ABBA )×−=× . Penggambaran ini tidak sebenarnya benar setelah diasumsikan
elektron bergerak dalam garis lurus, untuk sistem dimana elektron bergerak dalam
suatu orbit tertentu perlu dimasukkan efek presisi Thomas dengan menambahkan
suatu faktor 2 terhadap pembagi (II.44). Untuk potensial simetri bola (misalnya
) persamaan (II.47) dapat ditulis sebagai (Kemerink, 1998): ( ) ( )rφrφ =
( )( ) LS ⋅∂
∂−=
rre
rcmV so φ1
21
22 (II.48)
37
dengan L adalah momentum sudut pergerakan elektron. Untuk elektron yang
berasal dari orbital-s (elektron pita konduksi untuk semikonduktor direct (L ≈ 0))
sehingga interaksi spin-orbit akan dalam orde nol, penjelaasn efek ini
sebagaimana dijelaskan di atas. Untuk elektron yang berasal dari orbital-p (L ≈ 1),
oleh karenanya efek interaksi spin-orbit tidak dapat diabaikan untuk elektron
valensi.
Sebuah analisis k.p persamaan (II.44) menggunakan teori gangguan orde
dua menghasilkan relasi dispersi yaitu pada semua pita. Analisis ini hanya
valid untuk sekitar titik Γ (Kemerink, 1998). Perluasan perhitungan gangguan
pada orde k lebih tinggi dengan cara ini adalah sangat tidak praktis sehingga
metode lain perlu diterapkan (Kemerink, 1998). Pendekatan yang sangat sukses
untuk menyelesaikan masalah ini dilakukan oleh Kane.
2k
Dasar asumsi model Kane adalah bahwa dalam sebagian besar
semikonduktor, tepi pita konduksi terendah dan pita valensi tertinggi secara relatif
terpisah dengan baik dari semua tepi-tepi pita yang lain disekitar titik Γ. Kane
kemudian mengdiagonalisasi Hamiltonian dalam persamaan (II.44) dengan tepat
dalam suatu himpunan terbatas tepi-tepi pita, termasuk gandengan dengan tepi
pita Γ selanjutnya, dengan menggunakan teori gangguan orde kedua. Dalam
mengdiagonalisasi Hamiltonian ini, dibutuhkan suatu basis dalam mana semua
Hamiltonian (dasar dan gangguan) adalah diagonal pada k = 0. Oleh karena itu
Kane memilih sebuah himpunan basis yang dibuat dari kombinasi linear dari
fungsi di atas. Basis ini dipilih sedemikian rupa sehingga momemtum sudut total
J = L + S dan proyeksinya Jz sepanjang sumbu-z adalah diagonal pada basis baru.
38
Untuk itu akan dirangkum bagaimana mengkontruksi basis ini berdasarkan
(Kemerink, 1998)
Dalam kehadiran interaksi spin-orbit, tepi pita konduksi terendah merosot
dua. Sebagaimana disebutkan di depan bahwa Fungsi Bloch untuk keadaan
merosot ini ditandai sebagai ↑S dan ↓S , dan mempunyai sifat yang sama
sebagaimana orbital molekul s. Pita valensi tertinggi kemudian terdegenerasi
lipat-6, dengan fungsi Bloch ↑X , ↑Y , ↑Z , ↓X , ↓Y dan ↓Z
mempunyai simetri sebagaimana orbital p. Dengan sifat komutatif fungsi s dan p
adalah fungsi eigen dari L2 dan S2, dengan L dan S operator momentum sudut dan
spin. Karena L dan S tidak dapat mengkarakterisasi keadaan pita valensi secara
unik, maka sehingga observabel lain yang berkomutatif perlu diperkenalkan.
Kemudian dapat dipilih ini untuk menjadi proyeksi L sepanjang sumbu z, mL -1,
0, 1. Dengan mengambil kombinasi linear fungsi Bloch yang telah disebutkan di
atas, fungsi Bloch baru dapat dikontruksi yang merupakan fungsi eigen dari L2
dan Lz. telah ditemukan (Gasiorowicz, 1974):
( iYX +=+2
11,1 )
Z=0,1
( iYX −=−2
11,1 ) (II.49)
dengan tiap keadaan LL m, mempunyai spin up dan down.
Interaksi spin-orbit sekarang menggandeng momentum spin dan orbital
sebagaimana persamaan (II.48). Semenjak momentum sudut total J memenuhi:
39
( )22
22
SS2LLSLJ
+⋅+=
+= (II.50)
maka eigen fungsi dari J2 adalah juga fungsi eigen dari Vso, sekali lagi J tidak
dapat mengkarakterisasi keadaan-eigen dari J2 secara unik dan proyeksi J
sepanjang sumbu-z dipilih sebagai observabel kedua. L=0 untuk S=1/2
memberikan J=1/2 (mj=±1/2). L=1 untuk S=1/2 memberikan empat keadaan baru
yaitu dengan J=3/2 (mj=±3/2, ±1/2) dan dua keadaan baru yaitu J=1/2 dengan
(mj=±1/2). Ini dilustrasikan dalam gambar (II.4). Eg dan ∆so adalah celah energi
dan energi pemecahan spin-orbit. Tepi dari J=3/2 engan mj=±3/2, ±1/2 dinamakan
heavy dan light hole. Tepi J=1/2 teratas adalah pita yang tidak terpecah. Kontruksi
J2 dan Jz dari L dan S dapat dilihat dalam buku pegangan mekanika kuantum
seperti (Rosyid, 2005; Johnson, 2006). Hasil dari proses ini dapat diihat pada
tabel (II.1) di bawah.
E (a)
L=1 S=1/2
L=0 S=1/2
E (b)
Γ6 J=1/2
Eg
Γ8 J=3/2 ∆s.o
Γ7 J=1/2
Gambar II.4. Ilustrasi skematik dari efek dari gandengan spin-orbit pada tepi pita konduksi terbawah dan tepi pita tertinggi valensi. (a) tanpa interaksi spin-orbit. (b) dengan interaksi spin orbit (Kemerink, 1998)
40
Tabel II.1 Himpunan kombinasi linear basis tak-terganggu yang
digunakan dalam formulasi k . p (North, 2001).
ui ZJ,J ZJ,Jψ
u1 21
21 , ↑Si
u3 21
23 , ( )↓++↑− YXZ
61
32 i
u5 23
23 , ( )↑+ YX
21 i
u7 21
21 , ( ) ↑+↓+ ZYX
31
31 i
u2 21
21 ,− ↓Si
u4 21
23 ,− ( ) ↓+↑− ZYX 3
26
1 i
U6 23
23 ,− ( ) ↓− YX
21 i
U8 21
21 ,− ( ) ↓+↑ ZY-X
31
31 i
2.e. Hamiltonian Bulk Semikonduktor
Terdapat banyak bentuk Hamiltonian untuk fungsi gelombang envelope
(sehingga dinamakan juga Hamiltonian massa efektif) berdasar basis yang
ditemukan oleh Kane, untuk celah pita cukup lebar, Luttinger dan Kohn
menentukan Hamiltonian hole k.p 4×4 untuk pita valensi dengan teori gangguan.
Hamiltonian LK 4x4 didasarkan pada asumsi bahwa pita HH dan LO adalah pita
yang dominan menentukan sifat optik semikonduktor III-IV. Proses penentuan
Hamiltonian LK 4x4 dilakukan dengan menganggap pita LH (light hole) dan HH
41
(heavy hole) dan interaksinya sebagai pita utama sedangkan pita lainnya (pita
konduksi dan pita konduksi lainnya yaitu pita SO (split-off) sebagai gangguan,
Hamiltonian ini telah digunakan sebelumnya pada sistem QD heterostruktur. Pada
keadaan ini basis (celah pita cukup jauh) yang digunakan untuk penentuan
keadaan elektron dapat direduksi menjadi menjadi 2 keadaan pita konduksi aja
(Kemerink, 1998).
Ada juga yang memperlakukan pita LH, HH dan SO dan interaksinya
sebagai keadaan utama sedangkan pita lainnya misalnya pita konduksi sebagai
gangguan, dimana Dengan teori gangguan dalam pendekatan Löwdin diperoleh
model Hamiltonian LK 6×6. Model Hamiltonian ini juga telah aplikasikan pada
sistem QD heterostruktur (Grigoryan dkk, 1990) dan akan kita aplikasikan pada
penelitian kami yang merujuk pada sistem QD colloid.
Untuk semikonduktor pita sempit atau gandengan antara pita valensi dan
pita konduksi juga merupakan keadaan yang penting (berpengaruh) dalam
semikonduktor. Dalam asumsi ini telah juga dikembangkan Hamiltonian LK 8×8
(Efros dan Rosen, 1998), Hamiltonian ini baik yang simetri maupun asimetri ini
pun telah digunakan sistem QD heterostruktur dan akan digunakan pula pada
penelitian ini dengan model sistem mengacu pada QD nanokristal colloid.
2.e.1. Model Hamitonian k.p 6×6 dengan Teori Gangguan (Celah Pita
Cukup Lebar)
Dengan perspektif teori gangguan, keadaan tepi pita konduksi dan valensi
dapat dibagi atas dua kelas misalnya kelompok A dan B. keadaan-keadaan yang
42
diasumsikan utama ke dalam kelompok A dan setiap pita yang lain ke kelompok
B.
Menurut metode gangguan Löwdin (1951) keadaan yang termasuk dalam
kelompok B dapat diperlakukan sebagai sebuah gangguan terhadap keadaan A.
secara formal dapat ditulis sebagai (North, 2001):
( ) ( ) ( )rrr 0,''
k,'0,''
k,'k γγ
γ uauauB
j
A
jj ∑∑ += (II.51)
dengan j’ adalah keadaan dalam kelas A dan γ’ adalah keadaan dalam kelas B,
metode Löwdin membuktikan bahwa persamaan schrödinger tak bergantung
waktu dapat dipecahkan dalam bentuk:
( ) 0k,''
'' =−∑ j
A
jjj
Ajj aEU δ (II.52)
sebagai pengganti:
( ) 0k,'
,
''' =−∑ j
BA
jjjjj aEH δ (II.53)
dengan ( ) ( )ABAjjHU jjAjj padapengaruh','' +∈= . Dalam metode Löwdin B
diperlakukan sebagai gangguan. Bentuk dalam koreksi orde pertama terhadap
H
AjjU '
jj’ adalah:
∑≠ −
+=B
jj
jjjj
Ajj EE
HHHU
', 0
'''
γ γ
γγ
( ) ( )AjjmkEuHuH jjjjjjj ∈⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+== ',
20 '
0
22
0,'0,' δh
γjH mewakili Hamiltonian gangguan yang dinyatakan dalam basis tidak
terganggu. Dari persamaan (II.44) jelas bahwa Hamiltonian gangguan
43
disumbangkan oleh bentuk k.p ditambah potensial spin-orbit. Momentum
translasi dalam persamaan (II.44) mewakili pergerakan elektron konduksi
sedangkan momentum translasi dalam potensial spin-orbit (II.45) mewakili
pergerakan elektron konduksi dan valensi. Dari persamaan (II.48) nampak bahwa
potensial spin-orbit hanya disumbangkan oleh elektron valensi. Sehingga dengan
fakta bahwa kecepatan elektron konduksi jauh lebih tinggi dari elektron valensi
maka berlaku:
( AAjpmk
um
uH jzyx
jj ∉∈=⋅= ∑=
γαγ
α
αγγ ,
,, 00,
00,
hh pk ) (II.54)
dengan sumbangan spin-orbit diabaikan. Dalam hal ini sumbangan potensial spin-
orbit bagi nilai eigen energi akan dimasukkan dengan pemilihan basis fungsi
Bloch yaitu orbital p (keadaan valensi). Oleh karenanya dapat diungkapkan
sebagai:
AjjU '
( ) ∑ ∑≠ −
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
', , 0
'
0
2
'0
22
' 20
jj
jjjjj
Ajj EE
ppkkmm
kEUγ βα γ
βγ
αγβαδ hh (II.55)
( ) 03
0 =∆
+= pj EE untuk empat keadaan HH dan LH dan
( ) ∆−=∆
−=3
20 pj EE untuk dua keadaan SO. Kemudian dalam (II.55)
diungkapkan kembali dalam D
AjjU '
jj’ yaitu:
( ) βαβα
αβδ kkDED jjjjjjj ∑+=,
''' 0 (II.56)
dengan didefinisikan sebagai αβ'jjD
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
++= ∑
Bjjjj
jjjj EEmpppp
mD
γ γ
αγ
βγ
βα
αγ
αβαβ δδ
00
'''
0
2
' 2h (II.57)
44
Penyederhanakan persamaan (II.57) dapat dilakukan dengan membatasi
keadaan yang terkait dengan keadaan sekitar tepi pita valensi dan konduksi yang
menjadi perhatian yaitu tiga pita valensi teratas misalnya pita HH, LH dan SO
yang mana masing-masing merosot (tergenerasi) dua. Oleh karena itu pita-pita
valensi ini dimasukkan dalam kelompok A sedangkan pita-pita yang lainnya
misalnya pita konduksi dimasukkan dalam kelompok B. Untuk menyerderhanakan
persamaan (II.57) didefinsikan (North, 2001):
∑ −+=
B xX
xX
EEpp
mmA
γ γ
γγ
020
2
0
2
0 22hh
∑ −+=
B yX
yX
EEpp
mmB
γ γ
γγ
020
2
0
2
0 22hh
∑ −
+=
B yX
yX
xX
xX
EEpppp
mC
γ γ
γγγγ
00
2
0 2h (II.58)
Juga didefinsikan parameter Luttinger γ1, γ2, γ3 (Luttinger dan Kohn, 1955;
Luttinger, 1956) dalam bentuk (II.58)
( 0020
1 232 BAm
+−=h
γ )
( 0020
2 32 BAm
−−=h
γ )
020
3 32
Cmh
−=γ (II.59)
Pendefinisian ini memberikan suatu parameter empiris yang membantu dalam
penyerdehanaan perhitungan matrik elemen, dimana parameter Luttinger ini dapat
dihubungkan dengan pengukuran massa efektif dari sebuah bulk kristal (Gershoni
dkk, 1993):
45
[ ] 210010 2γγ −=
hhmm
[ ] 210010 2γγ +=
lhmm
[ ] 311110 2γγ −=
hhmm
[ ] 311110 2γγ +=
lhmm (II.60)
Sehingga dengan menggambungkan (II.58), (II.59) dan (II.60), serta dalam
basis yang didefinisikan dengan tabel (II.1) akhirnya diperoleh Hamiltonian
Luttinger-Kohn (Luttinger dan Kohn, 1955). Karena Hamiltonian harus bersifat
Hermitian maka diperoleh : LKH
SOSOHHLHLHHH
022232022322
22022302320
220
66LK
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆−−−−−∆−−−
−−−−−−−+−−−−+−−−−−
=
∗∗∗
∗∗
∗∗∗∗
∗∗
∗
×
PSQSRPRSQS
SRQPSRQSSQPR
SQRQPSRSRSQP
H
dengan elemen matrik adalah: 66×LKH
( )2221
0
2
2 zyx kkkm
P ++= γh
( )2222
0
2
22 zyx kkk
mQ −+= γh
( )[ ]yxyx kkikkm
R 322
20
2
232
γγ +−−=h
46
( ) zyx kikkm
S −= 30
2
322
γh (II.61)
Nilai eigen dan vektor eigen dari Hamiltonian Luttinger-Hohn kemudian
memberikan pendekatan penyelesaian (II.44), di mana nilai eigen diberikan oleh
Enk = E dan fungsi gelombang telah didefinisikan sebagai:
( ) ( )rr kn,k.r
kn, uei=ψ (II.62)
( ) ( )∑=
=6
,0k,kn,ij
jj uau rr (II.63)
Dalam potensial pengungkung, jika energi gap cukup lebar maka
diharapkan bahwa pencampuran (gandengan) keadaan tepi pita-pita lain terhadap
fungsi gelombang pita konduksi sangat kecil didaerah sekitar Γ. Sehingga untuk
keadaan pita konduksi basis dalam tabel (III.I) dapat direduksi menjasi u1 dan u2
dan penjumlahan hanya meliputi pita-pita ini. Dalam kondisi ini persamaan
Schrödinger dapat dihadirkan dengan persamaan massa efektif Istilah massa
efektif merujuk pada atau berkenaan dengan persamaan gelombang schrodinger
yang menggunakan massa efektif tetapi tidak menggunakan potensial kristal
periodik; Jika potensial makroskopik adalah diagonal dalam indeks pita maka
Hamiltonian lengkap (tanpa massa efektif) tereduksi ke Hamiltonian efektif
(dengan massa efektif) selama fungsi gelombang lengkap (dengan fungsi Bloch
periodik) digantikan dengan fungsi gelombang envelope (tanpa fungsi Bloch
periodik):
( ) ( ) ( )rr iip EVm
φφ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+∇∗ r
22
2h (II.64)
47
dengan adalah potensial pengungkung. Oleh karenanya persamaan (II.61)
adalah tidak bergantung spin, tiap level akan terdenerasi dua kali (degenerasi
Kramer) (Kemerink, 1998), dengan
( )rpV
( )riφ adalah fungsi gelombang pita dari sub
pita ke i. (dimana i=0 adalah keadaan dasar dan i=1 adalah keadaan tereksitasi
pertama pita konduksi, dst), sehingga fungsi gelombang pita konduksi diberikan
oleh:
( ) ( )(∑=
↓↑=n
ii
cj
c u1
0, ,r rφ )ψ (II.65)
2.e.2. Model Hamitonian k.p 8×8 (Celah Pita Sempit)
` Penelurusan Hamiltonian untuk pita sempit dapat ditelusuri dari keadaan
tanpa interaksi spin-orbit. Hamiltonian dalam basis fungsi Bloch S , X , Y ,
Z dapat diperoleh dari penerapan persamaan (II.38), dengan m = 1, 2 untuk dua
pita (valensi dan konduksi), kemudian n = 1 untuk pita konduksi ( S ) dan n = 1
untuk pita valensi yang disusun oleh kombinasi linear valensi ( X , Y , Z ).
Bentuk Hamiltonian yang disajikan disini adalah bersumber dari (Fonoberov,
2002). Dalam sumber di atas Hamiltonian dapat mewakili sifat simetri dan non-
simetri Hamitonian yang terkait dengan sifat hermitian Hamiltonian dan
kontuinitas rapat arus melewati medium diskontinyu (atau dalam medium tidak
homogen yang terkait dengan material heterostruktur, Hamiltonian ini akan kita
bawah kembali ke dalam sistem yang diasumsikan homogen. Hamiltonian 4x4
dalam basis S , X , Y , dan Z adalah (Fonoberov, 2002):
48
( )( )
( ) ⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−−
−−+−
−−−+−
+
=
⊥
⊥
⊥
×
221
'33
322
1'
3
3322
1'
0
2
44
666666
2
zhzvzyzxz
zyyhyvyxy
zxyxxhxvx
zyxc
kkkkkkivkkkkkkkivkkkkkkkivk
ivkivkivkA
mH
ββεγγ
γββεγ
γγββε
αε
h
(II.66)
dengan , , 3/' δεε −= vv zyxzyx kkk ,,,, −=⊥211 4γγβ += , 21 2γγβ −=h ,
02 2mE cc εh= , 0
2 2mE vv εh= , dan α ditentukan dalam
eksperimen penentuan massa pita konduksi m
222zyx kkkA ++=
c melalui kaitan
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∆++=
gg
p
c EEE
mm12
311
0α .
Jika gandengan spin-orbit diperhitungkan maka Hamiltonian harus dibawa
ke dalam wakilan basis fungsi Bloch ↑S , ↑X , ↑Y , ↑Z , ↓S , ↓X ,
↓Y dan ↓Z yaitu:
soHH
HH +⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
×
××
44
4488 0
0 (II.67)
dengan H4x4 didefinisikan dalam persamaan (II.66) dan Hamiltonian Hso
mempunyai bentuk (Baraff dan Gershoni, 1991):
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−
∆=
00000100000000001000000000000100000
000000100000000000000
3
iii
i
iii
i
H so (II.68)
dengan 02 2mδh=∆
49
Hamiltonian k.p 8×8 persamaan (II.67), dapat ditransformasikan ke dalam
wakilan basis Kane sebagaimana dalam tabel (II.1) dengan melakukan
transformasi uniter, transrformasi ini diperlukan agar Hamiltonian dalam
persamaan (II.67) menjadi diagonal:
TUHUH 8888
LK ×∗× = (II.69)
dengan U adalah matrik transformasi dari basis ↑S , ↑X , ↑Y , ↑Z ,
↓S , ↓X , ↓Y dan ↓Z ke basis Bloch u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7 dan u8
dimana ui sebagaimana dalam tabel (II.1). Dengan melakukan transformasi (II.67)
dan kemudian energi pita valensi dipilih bernilai nol diperoleh : vE
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
−−−−−−−
−−−
+−−−−
−−+−−−
−−−−−−
−−−
−+
+
=
∗∗∗−
∗∗
∗∗∗∗∗−
∗∗∗−
∗∗
∗
−
−−
×
δ
δ
ε
ε
psiqisiriVV
prisiQisiViVi
siriqpsrV
qisisqprViVi
siqirqpsVV
risirsqpiV
VViVViVA
VViViViVA
mH
i
i
g
g
LK
02
2232
31
32
02232
232
3
22-00
2230
32
3
2320
31
32
22
00
31
32
32
3100
32
30
3320
2
01
10
1
01
0
01101
10101
0
88 h
(II.70)
dengan:
02
20 2;2 mEm
gg εδ hh
=∆
= ;
,2
,2
yxyx ikkk
ikkk
−=
+= −+
50
,, 11 −−+ == vkVvkV ,0 zvkV =
( ) ( )2221
2221 2, zyxzyx kkkqkkkp −+=++= γγ
( )[ ] ( ) ,32,23 3322
2 zyxyxyx kikkskkikkr −=+−−= γγγ (II.71)
02mvV h= adalah kecepatan Kane 0mZkSiV zh−= dan adalah
energi Kane. Sehingga persamaan vektor gelombang untuk sistem semikonduktor
kristal takhingga adalah:
20K 2 VmE =
( ) ( )rr krk
k n.
n uei=ψ (II.72)
dengan
( ) ( )∑=
=8
,0k,nij
jj uau rrk (II.73)
3. Metode Pseudopotensial Empirik
Sebagaimana disebutkan di atas bahwa parameter γi (i = 1,2,3) dalam
Hamiltonian Luttinger (6 × 6 dan 8 × 8 ) ditentukan melalui eksperimen dengan
Paramerisasi Hamiltonian. Paramerisasi dalam pendekatan semiempirik biasa
ditelusuri dalam dua metode (Metode Pseudopotensial Empirik dan Tight-Binding
Empirik), karena dalam penelitian ini akan digunakan parameter yang diberikan
oleh Metode Pseudopotensial maka perlu kiranya untuk dipaparkan secara singkat
tentang metode ini.
Skema model ini didasarkan pada ekspansi keadaan-eigen kristal kedalam
gelombang bidang (plane wave), yang diatur sehingga memperhitungkan simetri
kisi (Trani, 2004):
∑ +=G
k Gkk nAn (II.74)
51
Gelombang bidang didefinisikan dalam ruang nyata sebagai:
( ) rGkGkr ⋅+
Ω≡+ ie1 (II.75)
yang telah dinormalisasi untuk volume kristal Ω. Dalam formulasi metode
pseudopotensial empirik, potensial kristal adalah jumlah kontribusi potensial
simetri bola atomik v(r), sehingga Hamiltonian partikel tunggal untuk elektron
adalah (Trani,2004):
(∑+=i
iivm
HR,di
d-R-r2
2h ) (II.76)
dengan R dan d masing-masing adalah posisi sel satuan dan posisi atom dalam
sel. Elemen-elemen Hamiltonian adalah:
( ,2
22
G'-GGkG'kGk G'G, Vm
H ++=++ δh ) (II.77)
Untuk Silikon d seperti diberikan (dalam perumusan metode Tight-Binding) di
depan nantinya maka (Trani,2004):
( ) ( ) ( )( )dG
d
dG GGG ⋅−⋅− +== ∑ iik evevV
i
1 (II.78)
dengan v(G) adalah transformasi Fourier potensial atomik. Penggunaan metode
Pseudopotensial sebagai skema interpolasi empirik terdiri dari penggunaan v(G)
sebagai parameter, yang dicocokkan dengan data eksperimen. Masalah nilai eigen
dapat ditulis sebagai:
( ) ( ) ( ) 0'-2 ',
22
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+∑ GGGkGk
GkGG AVE
m kn δh (II.79)
Salah satu penyempurnaan dari teori ini adalah pseudopotensial lokal empirik
yang memperhitungkan interaksi elektron inti, dalam metode ini akan
52
memberikan nilai potensial atomik yang lebih rendah, perumusan ini dapat
ditemukan dalam (North, 2001).
4. Metode Tight-Binding
4.a. Sekitar Metode Tight-Binding
Sejak studi fundamental dari Slater dan Koster (1954), pola interpolasi
tight binding (TB) telah menjadi alat yang tangguh (powerful) untuk menghitung
kerapatan keadaan dan spektrum elektronik dari material kristal. Metode ini
didasarkan pada ekspansi fungsi-fungsi gelombang kedalam kombinasi linear
orbital-orbital atomik (linear combination atomic orbitals/LCAO) dan telah
berkembang dibidang kimia secara luas, dengan paramerisasi elemen matrik
Hamiltonian dihasilkan melalui perhitungan (ab-initio) dan atau data eksperimen
(semiempirik atau empirik). Dibandingkan dengan metode yang didasarkan pada
himpunan basis gelombang bidang (PW), metode tight-binding sangat efisien
untuk menangani keadaan terlokalisasi. Disamping itu metode tight-binding juga
telah secara luas digunakan khususnya dalam perhitungan keadaan impuritas
(Lannoo dan Burgoin, 1981) karena mempunyai keuntungan secara komputasi.
Hal ini dikarenakan dalam metode ini hanya membutuhkan sedikit jumlah orbital-
orbital terlokalisasi (Trani, 2004). Sejak ditemukan telah banyak turunan/jenis TB
yang dikembangkan berdasarkan jenis parameterisasi (Papaconstantopoulos dan
Mehl, 2003). Sebuah wilayah menarik dalam kajian transfersibilitas parameter
tight-binding adalah pengembangan metode yang digunakan dalam masalah
optimasi struktur. Saat ini, perhitungan energi total dan simulasi montecarlo
sedang dilakukan dalam formalisme tight-binding (Trani, 2004).
53
4.b. Metode Tight-Binding semiempirik
Dalam bagian ini akan dipaparkan tight-binding semiempirik dalam skema
Slater-Koster. Sebagaian besar metode tight-binding diparameterisasi. Metode
parameterisasi yang paling sering dilakukan saat ini adalah dengan mencocokkan
parameter dalam model dengan hasil eksperimen atau ab-initio. Umumnya
metode tight-binding bergantung pada :
• Parameterisasi
• Tingkat pendekatan: basis ortogonal dan non-ortogonal, ketergantungan
lingkungan (seberapa jauh atom yang diperhitungkan dalam interaksi)
• Derajat ab-initio
4.b.1. Prinsip Dasar
Pendekatan dasar dari pola tight-binding (TB) adalah anggapan
(diasumsikan) bahwa semua fungsi gelombang elektronik yang menjadi perhatian
dapat digambarkan dengan ruang Hilbert terbatas yang dibentangkan oleh orbital-
orbital atomik (himpunan basis).
( ) ( )∑∑= =
=N
i
n
i
orb
c1 1
iα
ααϕψ R-rr (II.80)
dengan ( iR-rα )ϕ adalah orbital jenis α yang berpusat pada atom i dengan posisi
Ri, dan
2222 3
,,,,,,,,yzyxxzyzxyzyx dddddppps
−−=α
1 3 5 = Logam transisi-----
4 = semikonduktor
9 = Logam transisi
54
Jika diasumsikan bahwa kristal semikonduktor bulk dimodelkan dengan
Hamiltonian partikel tunggal maka persamaan schrödinger tidak gayut waktu
dalam wakilan posisi adalah:
( ) ( ) ( ) ( )rrrr ψψψ EVm effa =+∇− 2
0
2
2h (II.81)
dengan Hamiltonian elektron tunggal:
( )reffaVm
h +∇−= 2
0
2
2h , (II.82)
Veff adalah potensial efektif yang dapat diekspansikan sebagai penjumlahan yang
disumbangkan oleh atom-atom:
( ) ( )∑=i
iiaeffa VV R-rr (II.83)
dengan Ri adalah posisi atom. Dalam tight-Binding ab-initio, Density Functional
Theory menyediakan suatu kerangka kerja untuk menghasilkan suatu operator
potensial efektif elektron-tunggal, yang mana memasukkan interaksi antara
banyak elektron (Hohenberg, dan Kohn, 1964, Kohn dan Sham, 1965).
V(r)
Z+Z+ Z+ Z+
r
Gambar II.5. Illustrasi ketergantungan potensial atomik terhadap jarak
55
Dengan menggunakan persamaan (II.80) ke dalam (II.81) maka persamaan
Schrödinger tidak bergantung waktu dapat ditulis sebagai:
( ) ( )∑∑∑∑= == =
==N
i
n
i
N
i
n
i
orborb
hcEhch1 11 1 α
ααα
αα ϕϕψ ii R-rR-r (II.84)
Jika persamaan (II.84) diproyeksikan ke ( )jR-rβϕ maka diperoleh:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ∑∑
∑∑
∑∑
= = = =
= =
= =
∀==
=
=
N
i
n N
i
n
jjijjij
N
i
n
ji
N
i
n
jij
orb orb
orb
orb
jScEHch
cE
hch
1 1 1 1
1 1
1 1
,,,α α
βααβααβ
ααβα
ααβαβ
βψϕ
ϕϕ
ϕϕψϕ
RRRRR-r
R-rR-r
R-rR-rR-r
i
i
(II.85)
dengan
( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ]⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
tindih- tumpangmatriks matrikselemen ,nHamiltonia matrikselemen ,
jiji
jiji
ShH
R-rR-rRRR-rR-rRR
βααβ
βααβ
ϕϕϕϕ
(II.86)
Hαα(Ri, Rj) adalah energi oleh interaksi antara orbital-orbital yang sama dan
Hαβ(Ri, Rj) adalah energi oleh interaksi antara orbital-orbital yang berbeda (matrik
hopping). Sedangkan integral tumpang-tindih (overlapping) adalah: ijSαβ
( ) ( ) ( ) ( )∫=−−= rdS jijiij 3R-rR-rRrRr βαβααβ φφϕϕ (II.87)
Dari persamaan terakhir dapat didefinisikan matrik H)
dan yang berorde
yaitu:
S nn×
( )orbnNn ×=
( )( ) ( )( )( ) (⎪⎩
⎪⎨⎧
==
ijij
ijij
SSSHHH
RRRR
,ˆelemen dengan ˆ,ˆelemen dengan
βααβ
βααβ
))
(II.88)
56
dan vektor dengan koordinat , sehingga persamaan Schrödinger tidak
bergantung waktu dapat ditulis sebagai:
c αic
cSEcH ˆˆˆ )= (II.89)
4.b.2. Metode Tight-Binding untuk Padatan Kristal (Terdapat Beberapa
Atom dalam Sel Satuan)
Dalam suatu padatan kristal dimungkinkan terdapat beberapa atom dalam
setiap kisinya lihat gambar II.6, oleh karenanya suatu posisi atom Ri dapat
dipecah dalam dua bagian:
pjkli dRR += ~ (II.90)
dq dq dq dp dp dp
jklR~ jklR~
Gambar II.6. Ilustrasi kristal dengan setiap kisi kristal memiliki atau terdapat
beberapa atom di dalamnya.
dengan 321~ aaaR lkjjkl ++= adalah vektor kisi ( )[ ]3,, Zlkj ∈ , dp adalah posisi
posisi satu atom nc dari sel unit acuan pada 000~R . Dengan demikian:
( ) ( ) ( )( )∑ ∑∑∑∑
∈ = == =
−≡=3,, 1 11 1
~Zlkj
n
p
n
pjkljklp
N
i
n
i
c orborb
ccα
ααα
αα ϕϕψ dR-rR-rr i (II.91)
Material dalam penelitian ini adalah silikon dengan struktur kristal adalah kisi
kubus pusat muka (lihat gambar II.6), dengan dua atom dalam tiap sel satuan
: ( )2=cn
57
• Satu atom pada posisi d1 = (0,0,0)
• Atom yang lain pada posisi d2 = a/4 (1,1,1)
d1 = (0,0,0)
d2 = a/4(0,0,0)
z
y
x
a
Gambar II.7. Atom pada sel satuan krista kubus pusat muka Silikon dengan kostanta kisi a
Karena sistem kristal memenuhi teorema Bloch maka:
( ) ( ) ( )rrr krk
k ni
n ue ⋅=≡ψψ (II.92)
Dengan ( )rknu sebagaimana di depan adalah fungsi periodik Bloch yang
memenuhi simetri tranlasi ( ) ( ) ( ) 3321kk ,,aaa Zwvuwvuuu nn ∈∀+++= rr ,
sehingga sebagai konsekuensinya:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 3k
~~~
k ,,~~ Zwvueueeue ni
nii
uvwni
uvwnuvwuvwuvw ∈∀==+=+ ⋅⋅⋅+⋅ rrRrRr Rk
kRk
kRrk ψψ rk
(II.93)
Karena untuk sistem yang terdiri beberapa atom dalam setiap unit sel maka:
58
( ) ( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )∑ ∑∑
∑ ∑∑
∑ ∑∑
∈ = =+++
∈ = =−−−
∈ = =
−−=
−−=
−+=+
3
3
3
,, 1 1
,, 1 1
,, 1 1
~
~
~-~~
Zlkj
n
p
n
pjklpwlvkuj
Zlkj
n
p
n
pwlvkujjklp
Zlkj
n
p
n
pjkluvwjklpuvw
c orb
c orb
c orb
c
c
c
ααα
ααα
ααα
ϕ
ϕ
ϕψ
dRr
dRr
dRRrRr
(II.94)
Dengan demikian
( ) ( )( )( ) ( )( )
( )
( )( )∑ ∑∑
∑ ∑∑
∈ = =
⋅
⋅
∈ = =+++
−−=
=
−=+
3
3
,, 1 1
~
~,, 1 1
~
~-~
Zlkj
n
p
n
pjkljklpi
i
Zlkj
n
p
n
pjklpwlvkujuvw
c orbuvw
uvw
c orb
ce
e
c
ααα
ααα
ϕ
ψ
ϕψ
dRr
r
dRrRr
Rk
Rk (II.95)
Perubahan dalam (II.95) dapat dipenuhi karena ekspansi kombinasi linear orbital
atomik harus menjadi unik:
( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )kkkk
kkdRkk.ddRkRk.
Rk.
nbenceencenc
ncenc
pi
pii
pi
uvwp
jklpi
pwlvkuj
puvwppuvwuvw
uvw
αααα
αα
+⋅+⋅
+++
===
=~
000
~
000
~
~
(II.96)
Sehingga diperoleh:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
∑∑ ∑
∑ ∑∑
= = ∈
+⋅
∈ = =
−=
−=
c orbpjkl
c orb
n
p
n
Zlkjpjkl
ip
Zlkj
n
p
n
pjkljklpn
enb
c
1 1 ,,
~
,, 1 1
3
3
~-
~-r
ααα
ααα
ϕ
ϕψ
dRrk
dRr
dRk
k
(II.97)
Penyelesaian persamaan Schrödinger tidak bergantung waktu untuk padatan
kristal di mana terdapat beberapa atom pada tiap sel satuan menjadi:
kkk nnn Eh ψψ = (II.98)
59
dengan Hamiltonian sistem partikel tunggal sebagaimana persamaan (II.82)
adalah:
( )reffaVm
h +∇−= 2
0
2
2h
Dengan memasukkan persamaan (II.97) ke persamaan (II.98), diperoleh:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
∑∑ ∑
∑∑ ∑
= = ∈
+⋅
= = ∈
+⋅
−==
−=
c orbpjkl
c orbpjkl
n
p
n
Zlkjpjkl
ipnnn
n
p
n
Zlkjpjkl
ipn
enbEE
henbh
1 1 ,,
~
1 1 ,,
~
3
3
~
~
ααα
ααα
ϕψ
ϕψ
dR-rk
dR-rk
dRkkkk
dRkk
(II.99)
Jika persamaan (II.99) diproyeksikan ke ( ) ( )pi qe dRrdRk −+⋅
000
~ ~-000βϕ , maka
diperoleh:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
∑∑ ∑
∑∑ ∑
= = ∈
−+−⋅
= = ∈
−+−⋅
∀−−=
−−
c orbqpjkl
c orbqpjkl
n
p
n
Zlkjpjklq
ipn
n
p
n
Zlkjpjklq
ip
qenbE
henb
1 1 ,,000
~~
1 1 ,,000
~~
3
000
3
000
,~~
~~
ααβα
ααβα
βϕϕ
ϕϕ
dR-rdR-rk
dR-rdR-rk
ddRRkk
ddRRk
(II.100)
Kemudian seperti langkah (II.86) dapat didefinisikan :
( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ]⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
tindih- tumpangmatriks matrikselemen ,nHamiltonia matrikselemen ,
jiji
jiji
ShH
R-rR-rRRR-rR-rRR
βααβ
βααβ
ϕϕϕϕ
Sehingga persamaan (II.100) dapat ditulis sebagai:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
∑∑ ∑
∑∑ ∑
= = ∈
−+−⋅
= = ∈
−+−⋅
∀++=
++
c orbqpjkl
c orbqpjkl
n
p
n
Zlkjpjklq
ipn
n
p
n
Zlkjpjklq
ip
qSenb
Henb
1 1 ,,000
~~
1 1 ,,000
~~
3
000
3
000
,~,~
~,~
αβαα
αβαα
βε dRdRk
dRdRk
ddRRkk
ddRRk
(II.101)
60
Akhirnya dapat didefinisikan matrik H)
dan yang berorde
yaitu:
S bb nn ×
( )orbcb nnn ×=
( )( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+−=
−+−=
∑
∑
∈
−+−∈
−+−
3
000
3
000
,,000
~~,,
000
~~
~~ˆelemen dengan S
~~ˆelemen dengan H
Zlkjqpjkl
ipq
Zlkjqpjkl
ipq
SeS
HeH
qpjkl
qpjkl
ddRRk
ddRRk
ddRRk.
ddRRk.
βααβ
βααβ
)
(II.102)
Dengan vektor dengan koordinat knb ( )knbpα . Oleh karena itu persamaan
Schrödinger tidak bergantung untuk sistem kristal waktu dapat ditulis sebagai:
( ) ( ) kkk bkSbkH nnn E ˆˆˆ )= (II.103)
Pemecahan masalah nilai-eigen umum ini dan akan diperoleh pita-pita sebanyak
. ( )orbcb nnn =
4.c. Hamiltonian Metode Tight-Binding Semiempirik
Tight-binding semiempirik terkait dengan penentuan elemen-elemen
matrik Hamiltonian dalam persamaan (II.98), yaitu:
• Elemen-elemen matrik dianggap sebagai parameter yang dapat berubah-
ubah
• Pencocokkan elemen-elemen matrik ini dengan struktur pita eksperimen
atau ab-initio
• Penggunaan matrik yang sama terhadap sistem yang ditinjau (nano-
struktur kuantum titik) (sifat transferibilitas/transferability)
Transferability mengasumsikan bahwa potensial efektif yang dihasilkan oleh tiap
atom adalah sama untuk sistem bulk dan sistem nanostruktur.
61
4.d. Metode Pendekatan dalam Tight-Binding Semiempirik
Metode pendekatan dalam tight-binding semiempirik biasanya terkait
dengan asumsi tentang lingkungan-lokal, yaitu orbital atom dan potensial yang
dipergunakan/diperhitungkan dalam memberikan energi elektron suatu elektron
tertentu hanya dominan ditentukan oleh atom-atom terdekat.
4.d.1. Pendekatan Dua Pusat (two-center approximation)
Secara umum sumbangan interaksi terhadap energi elektron dalam sudut
pandang mekanika kuantum meliputi integral nilai harap energi dan dapat dibagi
dalam empat katagori (Romero, 2005):
1. Integral dalam satu atom sendiri (on-site), yaitu potensial dan kedua orbital
berpusat pada atom yang sama. Ini adalah energi orbital atomik
2. Integral dua-pusat, yaitu potensial dan satu orbital berpusat pada posisi
atom yang sama, sementara orbital yang lain adalah pada atom yang
berbeda.
3. Integral tiga-pusat, yaitu potensial dan orbital-orbital semua berpusat pada
atom yang berbeda.
4. Katageori yang ke empat terjadi ketika orbital orbital pada atom yang
sama, tetapi potensial terletak pada atom yang berbeda. Katagori ini pada
hakikatnya menunjukkan koreksi lingkungan-lokal terhadap bentuk-
bentuk energi elektron atom tunggal yang telah didefinisikan pada katagori
dua dan tiga. Formalisme untuk katagori ini dibangun oleh (Mercer dan
Chou, 1994) dan diabaikan oleh Slater dan Koster (Romero, 2005).
62
Dalam pendekatan dua-pusat (two-center approximation), hanya
memperhitungkan kategori satu dan dua.
Model tight-binding dua-pusat dan tiga-pusat dapat diperiksa dari indeks
elemen matrik Hamiltonian. Dari definisi Hamiltonian partikel tunggal dan
potensial efektif dalam persamaan (II.85) dan (II.102), maka elemen matrik
Hamiltonian dalam ekspansi basis orbital atomik diwakili oleh persamaan:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑
∑
+∇−=
+∇−=
=
kjkkiji
jk
kki
jiji
Vm
Vm
hH
R-rR-rR-rR-rR-r
R-rR-rR-r
R-rR-rRR
2r
2r
βαβα
βα
βααβ
ϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
0
20
2
2
2
,
h
h
(II.104)
Model tight-binding dua-pusat hanya menggunakan bentuk k = i atau k = j sebagai
sumbangan terpenting, sedangkan model tight-binding tiga-pusat tetap
memperhitungkan bentuk k ≠ i dan k ≠ j. Dalam penelitian ini kami menggunakan
model tight-binding dua pusat.
4.d.2. Model Tight-Binding Interval Berhingga (Finite Range Tight-Binding
Models)
Dalam model ini hanya diperhitungkan interaksi dengan tetangga pertama
terdekat. Model ini didasarkan pada asumsi (ataupun fakta) bahwa orbital-orbital
atomik pada posisi cukup jauh dari inti meluruh secara eksponensial. Sebagai
konsekuensinya, elemen matrik Hamiltonian dan tumpang-tindih merosot cepat
dengan ji RR − . Dalam model ini elemen matrik Hamiltonian dan tumpang-
63
tindih oleh interaksi dengan atom terdekat kedua dan ketiga relatif terhadap
tetangga terdekat pertama diasumsikan bernilai nol.
( ) ( ) ( )jiji hH R-rR-rR,R βααβ ϕϕ=
Prob
abili
tas E
lekt
ron
1s
( )ijH R-Rαβ 3d 3p 3s
a0 10a0 5a0 R Gambar II.8. Grafik ketergantungan orbital dan integral hopping terhadap jarak dari inti (Niquet,
2005).
4.d.3. Model Tight-Binding Ortogonal
Orbital atomik dapat dipecah kedalam bagian radial dan sudut (angular):
( ) ( ) ( ) ( )ϕθϕθϕϕααααα ,,, mln YrRr ×==r (II.105)
( )rRnα adalah bagian radial (fungsi radial), ( )ϕθ
αα,mlY adalah bagian sudut (fungsi
sperical- harmonik terkait dengan momentum sudut orbital) dan (n,l,m) adalah
bilangan – bilangan kuantum utama, momentum sudut dan magnetik. Oleh karena
bagian angular basis orbital atomik ini akan saling ortogonal untuk atom yang
sama, oleh karenanya:
( ) ( ) ( ) αββααβ δϕϕ =−−=− iiiiS RrRrRR (II.106)
Menurut (Niquet, 2005), Bagian radial ( )rRnα dari atom-atom bebas tidak
mungkin atapun menjadi pilihan terbaik untuk bagian radial, karena untuk atom
yang berlainan, perbedaan yang kecil saja dari himpunan akan
menghasilkan struktur pita baru, pengertian ini menunjukkan bahwa perbedaan
( )rRnα
64
himpunan bagian radial oleh interaksi akan menambah simetri baru yang
menghasilkan pemecahan struktur pita orbital atomik. Akan tetapi menurut
pendekatan ortogonal tumpang-tindih orbital-orbital yang berdekatan dapat
diperlukakan minimal sehingga ( )rRnα secara keselurahan masih menyerupai
bentuk dasar pada atom bebas (tidak-berinteraksi), oleh karenanya dapat
diperlakukan:
( ) ( ) ( ) αββααβ δϕϕ ≈−−=− jijiS RrRrRR (II.107)
sebagai konsekuensinya:
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )( )αββα
βα
βααβ
δδδ
δδδδδ
pqqp
Zlkjqplkj
i
Zlkjqpjkl
ipq
qpjkl
qpjkl
e
SeS
≡=
=
−+−=
∑
∑
∈
−+−
∈
−+−
3
000
3
000
,,000
~~,,
000
~~ ~~ˆ
ddRRk.
ddRRk. ddRRk
Dengan sifat ortogonalitas ini penyajian masalah nilai eigen dalam persamaan
(II.103) menjadi sederhana yaitu:
( ) kkk bbkH nnn E ˆˆˆ =
Dengan langkah serupa S dalam persamaan (II.84) menjadi matrik Identitas dan
persamaan (II.86) menjadi sederhana yaitu:
ˆ
ccH ˆˆˆ E=
Walaupun demikian pada pendekatan ini, penghilangan elemen matrik tumpah
tindih tidak berarti bahwa orbital yang berdekatan tidak saling menerobos (lihat
gambar II.8).
Sebagai tambahan perlu kiranya kita memaparkan secara singkat model
non-ortogonal tight-binding terkait dengan pendekatan model kita. Dalam model
65
non-ortogonal, basis antara atom yang berbeda dapat dibuat ortogonal dengan
membuat orbital-orbital quasi-ortogonal (Niquet, 2005).
+ _ _
Atom jAtom i
Gambar II.9. Ilustrasi asumsi ortogonalisasi yang tetap menganggap terjadi tumpah tindih orbital walaupun kecil dan tumpah tindih ini relatif masih memelihara bentuk orbital masing-masing
Prosedur terkenal dan cerdas yang paling sering digunakan dalam
pembuatan quasi-ortogonal ini dikembangkan oleh (Löwdin, 1950) dengan
menggunakan suatu himpunan baru orbital-orbital atomik αφ , sehingga masalah
masalah swanilai menjadi:
iii bEhb = (II.108)
dengan adalah koefisien kombinasi linear baru yang memenuhi: αii bb =
( ) ( )∑∑= =
=N
i
n
i
orb
b1 1
i-rα
αα φψ Rr (II.109)
Orbital-orbital atomik αφ tetap memenuhi ortogonalitas:
( ) ( ) αββα δφφ =−− ii RrRr (II.110)
Orbital Löwdin ( )i- Rrαφ tetap menjamin sifat asal basis ( )i- Rrαϕ yang
tidak-ortogonal. Dari perspektif simetri group titik, orbital-orbital yang dihasilkan
mempertahankan sifat transformasi yang sama himpunan basis asli dalam operasi-
operasi group ruang (Trani, 2004). Orbital-orbital Löwdin biasanya mempunyai
simetri yang lebih rendah dari fungsi aslinya (Trani, 2004).
66
Pemilihan model tight-binding ortogonal dalam penelitian ini didasarkan
pada jenis material yang diteliti. Untuk sistem yang terbentuk oleh satu unsur saja
misalnya Si maka sifat ortogonalitas dari fungsi radial akan terpelihara.
Sebagaimana diterangkan di atas ortogonalitas fungsi radial akan menjamin
ortogonalitas orbital atomik antar dua atom.
4.e. Integral Hopping (Hopping Integral)
Seperti ditunjukkan di atas integral hopping adalah mekanisme yang
muncul ketika pemecahan persamaan schrödinger dilakukan, mekanisme ini
terkait dengan penentuan elemen matrik Hamiltonian antara orbital-orbital atomik
pada jarak atomik yang berbeda. Dalam Metode TB, dinamakan integral hopping
yang akan dicocokkan dengan fungsi analitik jarak antar atomik. Nilai eigen
merupakan energi sistem, dan distribusinya yang ditentukan interaksi antara
orbital (tumpang tindih keadaan orbital atomik) dalam membentuk ikatan kimia.
Integral hopping adalah unsur krusial dari pola TB semenjak mereka mengukur
kemampuan elektron untuk loncat dari satu atom ke atom yang lain.
Secara umum integral Hopping setimbang dapat ditulis sebagai:
( ) ( )jiji fhH ,0
, RR αβαβαβ = (II.111)
dengan ( )jif ,Rαβ adalah fungsi penskalaan (scaling function) antara dua orbital α
dan β yang terletak dalam atom pada posisi Ri dan Rj. Kendala (constrain) dalam
fungsi rescaling adalah bahwa ( )( ) 1R 0 =αβf untuk ( )0R adalah jarak antar-atom
setimbang . Dalam kasus silikon cluster (pulau/kelompok dari kristal silikon yang
tumbuh) terdapat bermacam-macam metode dalam menentukan fungsi rescaling
untuk sistem cluster silikon. Dalam penelitian ini akan digunakan model
67
Pengembangan GPS (Goodwin, Pettior dan Skinner) oleh (Kwon dkk, 1994).
Alasan penggunaan model pengembangan GPS oleh Kwon dkk adalah karena
model ini dikembangkan untuk sistem Silikon cluster yang terdiri dari beberapa
atom saja sehingga menurut kami sangat cocok untuk sistem nanostruktur ataupun
sistem QD. Pada model ini faktor koreksi lingkungan oleh penambahan atom
didekati dengan dihasilkannya (bertambahnya) energi kohesif.
( ) ( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
cc n
c
n
c
n
rr
rrn
rrrhrh 00
0 exp (II.112)
5.6. Gandengan Spin-Orbit dalam Tight-Binding
Seperti dalam pembahasan gadengan Spin-Orbit pada metode k.p.
gandengan spin-orbit pada hakekatnya muncul dari efek relativistik akibar
pergerakan relatif elektron terhadap inti. Akibat pergerakan elektron, medan listrik
yang dihasilkan oleh inti yang bermuatan positif akan bertransformasi menjadi
medan magnet dari sudut pandang elektron. Dan karena hanya elektron valensi
(elektron inti/core electron) yang terdekat dengan inti maka efek gandengan spin
orbit hanya akan efektif atau dominan dirasakan oleh elektron valensi. Dalam
sebagian besar kasus gandengan spin-orbit hanya memperhitungkan antara orbital
p yang mana adalah cukup untuk memecahkan pita valensi (lihat gambar II.3).
pada dasarnya spin-orbit mengandeng orbital-orbital tiap atom diantara mereka
sendiri (Niquet, 2005). Dalam penelitian ini akan digunakan pendekatan dua
pusat.
( ) ( ) ( ) ( ) r2
1rrr2 r22
2r
0
2
ψψψ EVcm
Vm ioneff =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⋅∇×++∇− pSh ( ) (II.113)
68
SLi ⋅≈ isoiH λ (II.114)
dengan S adalah spin elektron dan L adalah operator momentum orbital pada
atom ke i. Sebagai sebuah konsekuensi setiap basis harus diperluas untuk memuat
keadaan spin ↑ dan ↓ , oleh karenanya:
↓
↓
↓
↑
↑
↑
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−−
−=
z
y
x
z
y
x
isoi
PPPPPP
iii
ii
iii
H
0000100000010001000
000010000
λ (II.115)
Karena hanya pita valensi yang mengalami efek spin orbit maka Hamiltonian
sistem tanpa gandengan spin-orbit diwakili oleh basis zP , yP , dan zP . Jika
matrik Hamiltonian tanpa spin orbit adalah H3 maka Hamiltonian matrik sistem
gandengan spin-orbit, sebagaimana dalam persamaan (III.65) adalah:
[ ][ ]
soi
iix
ii HH
HH x
x+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4400
44
88 II.116
Sebagaimana metode massa efektif k.p Hamiltonian ini dapat dibawa ke model
basis Kane dengan transformasi uniter:
T88
88 UHUH xx
TB∗=
69
x
y
z
x
y
z z z z
x
y
x
y
x
y
x
y
z
x
y
z
+ ++ _ _ 3z2-r2
_ _ _ + +_
++
+
+
+
+
+
+
++
++
_ _ _
_ _ _ 3z2-r2
ppσ > 0 ppπ < 0 spσ >0 ssσ < 0 ddσ < 0
_ __
_
_
_yz θ2 θ1
xy θ
_yz _
xy
(spσ) f(θ) (ppσ, ppπ) f(θ1, θ1)ddπ > 0 ddσ < 0
Gambar II.10. Menunjukkan beberapa defenisi integral hopping dan proyeksi-nya
70
BAB III
ELABORASI HASIL PENELITIAN
Terdapat perangkat teknis matematik yang dapat menjembatangi
pengembangan metode massa efektif k.p dan tight-binding semiempirik dalam
menangani sistem QD kristal simetris yaitu konsep perkalian tensor dua ruang
Hilbert. Ketika nanostruktur simetris dihadirkan dalam medium isolator maka
akan muncul potensial makro yang memberikan kuatisasi baru pada partikel yang
berada dalam potensial inti. Kuantisasi ini berupa momentum sudut L” yang akan
berinteraksi dengan momentum sudut total yang dibangkitkan oleh potensial inti
J. Momentum sudut total oleh inti atom merupakan kopling antara momentum
sudut orbital dalam inti L’ dengan spin S atau J=L’+S. Oleh karenanya momentum
sudut total L elektron-hole nanostruktur dalam potensial pengungkung adalah L =
L”+ J. Ruang Hilbert untuk menampung penjumlahan momentum sudut dapat
diperoleh dengan perkalian tensor dua ruang Hilbert yang masing-masing ruang
Hilbert berkaitan dengan momentum sudut yang dijumlahkan (Rosyid, 2005).
Hasil dari perkalian tensor dua ruang Hilbert adalah ruang Hilbert dengan dimensi
yang lebih besar, yang mencakup kedua ruang Hilbert dari masing-masing
operator. Himpunan basis dalam ruang Hilbert dapat tersusun oleh basis tidak
terkopling atau terkopling. Jika ""' mnljmψψ adalah himpunan basis takterkopling
(tak tergandeng) bagi ruang Hilbert hasil perkalian tensor dua ruang Hilbert, maka
himpunan basis ini dapat dinyatakan dalam basis terkopling lmnjl"ψ . Dalam
proses transformasi basis ini akan muncul koefisien Clebsch-Gordan yang
71
merupakan koefisien kombinasi linear dari basis terkopling relatif terhadap basis
terkopling. Ini berarti koefisien Clebsch-Gordan juga merupakan elemen matrik
pendiagonalan untuk matrik relatif terhadap basis tak terkopling 2L ""' mnljmψψ .
1. Penentuan Himpunan Basis Ruang Hilbert Sistem QD Kristal Simetris
Pada penelitian ini akan diselidiki struktur elektronik sistem QD silikon simetris
3-dimensi. Terdapat dua bentuk simetris sederhana yang dipilih yaitu bentuk bola
dan bentuk silinder. Dalam model penelitian ini sistem QD dihasilkan oleh
kehadiran potensial pengukung 3-dimensi terhadap nanostruktur berbentuk bola
dan silinder. Model ini tentu sangat bergantung pada seberapa besar ukuran
nanostruktur yang dikaji. Semakin besar ukuran nanostruktur maka semakin tepat
asumsi bahwa tepi permukaan termasuk interface adalah smooth layaknya konsep
lingkarang dan garis lurus. Potensial dalam sistem QD simetris bola berbentuk:
( )( )⎩
⎨⎧
>∞=≤=
RrrVRrrV 0
(III.1)
Sedangkan potensial dalam sistem QD simetris silinder berbentuk :
( )( )⎩
⎨⎧
>>∞=≤≤=
2dan,2dan0,
PzRrzrVPzRrzrV
(III.2)
Dimana P adalah panjang silinder dan R adalah jari-jari bola dan silinder. Model
potensial ini cukup realistis untuk sistem nanokristal yang berada dalam medium
amorf-isolator sehingga membangkitkan potensial pengungkung yang relatif
takhingga terhadap sistem nanokristal. Dalam model penelitian ini, strain pada
daerah antar muka (interface) antara sistem nanostruktur dengan medium pemberi
potensial pengungkung diabaikan, atau dianggap interior QD bersifat homogen.
72
Untuk menyusun ruang Hilbert yang memuat vektor gelombang dari
sistem yang kita tinjau maka pertama-tama kita harus mendapatkan dua ruang
Hilbert terpisah yang terkait dengan sistem QD simetris kristal berhingga.
Himpunan basis ruang Hilbert pertama untuk sistem kristal takhingga telah
ditemukan sebagaimana telah disusun dalam bab II berupa basis fungsi Bloch
dalam basis Kane yang kemudian kita tandai dengan 'jmψ , sedangkan himpunan
basis ruang Hilbert kedua untuk sistem QD finit simetris tanpa kristal akan
ditentukan dengan penyelesaian Schrödinger dalam bentuk persamaan Helmholtz
yang kita tandai sebagai ""mnlψ yaitu berupa himpunan Orthogonal Periodic
Function (OPF), dimana bilangan kuantum n, m” dan l” adalah bilangan kuantum
utama, magnetik dan orbital yang dibangkitkan oleh potensial pengungkung.
Dalam persamaan schrödinger tidak bergantung waktu vektor gelombang yang
memuat informasi fisis keadaan sistem ditandai dengan ( )ϕθψ ,,"" rlnm untuk
sistem simetri bola dan ( )zrlnm ,,"" ϕψ untuk sistem silinder yang keduanya harus
memenuhi persamaan Helmholtz:
0""2
""2 =+∇ lnmlnm K ψψ (III.3)
Untuk bola dengan kondisi syarat batas 0"" =lnmψ pada r = R, OPF,
( )ϕθψ ,,"" rlnm diberikan oleh (Prado dkk, 1999, Arfken, dan Weber, 2001):
( ) ( ) ( )ϕθϕθψ ,,, """"" mlnllnm Yrr ℜ= (III.4)
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=ℜ r
RJr
ln
lnl
"
""µ , Rr ≤≤0 (III.5)
( ) ( ) ( )ϕθϕθ m""""" , ΦΘ= ,mlmlY , πθπϕ ≤≤≤≤ 0dan,20 (III.6)
73
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
rr
drd
rrrJ
lll
lsin11
"""
" (III.7)
dengan
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xP
dxdxxPP
mlmll
lm
mmm
lm
lm
ml "
"2/"2"
""
""
"," 1;cos""2
!""1"21 −=+−+
−=Θ θθ
(III.8)
dan
( ) ϕ
πϕ "
" 21 im
m e=Φ , (III.9)
Dalam persamaan Helmholtz (III.3) kondisi batas mensyaratkan sebuah relasi:
2"
2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
RK
lnµ (III.10)
Fungsi ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
rr
drd
rrrJ
lll
lsin11
"""
" adalah fungsi Bessel Spherical (Arfken,
dan Weber, 2001), dengan adalah akar ke n dari fungsi bessel ke l” pada
(atau
"lnµ
( ) 0"" =l
nlJ µ ). Bilangan n ini ditentukan ukuran QD, semakin besar QD maka
semakin besar pula bilangan n. Untuk tiap akar dari ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛r
RJ
ln
l
"µ diasosiasikan dengan
bilangan kuantum (n, l”) yang mana tiap level energinya merosot (2m”+1) dalam
bilangan kuantum m”. Fungsi ( ) ( ) ( )xPdxdxxP lm
mmm
l ""
"2/"2"
" 1−= adalah fungsi
Lagendre (Johnson, 2006).
74
Untuk silinder dengan kondisi syarat batas 0"" =lnmψ pada r = R dan
2Pz ±= OPF, ( )ϕθψ ,,"" rlnm diberikan oleh (Arfken, dan Weber, 2001, Lee,
2004):
( ) ( ) ( ) ( )ϕϕψ """" ,, mlnmlnm zZrzr Φℜ= (II.11)
dengan
( ) πϕπ
ϕ ϕ 20,21 "
" ≤≤=Φ imm e , (II.12)
( ) ( ) RrrR
kk
rmn
mmnm
nm ≤≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ℑ
ℑ=ℜ
+
0,2 "
""1"
" (III.13)
dan
( )2
,21"sin2
"Pz
Pzl
PzZl ≤⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= π (III.14)
Fungsi adalah fungsi bessel orde m”, adalah akar ke-n dari fungsi
bessel orde m” , atau
( )rm"ℑ "mnk
( )( )0"" =ℑ m
nm k . Dalam persamaan Helmholtz (III.3) kondisi
batas mensyaratkan sebuah relasi:
2"2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
Pl
Rk
Kmn π (III.15)
Fungsi-fungsi dalam persamaan (IV.4) dan (IV.10) adalah fungsi-fungsi
ortonormal, lihat misalnya (Rosyid, 2005).
2. Produk Tensor Dua Ruang Hibert
Andaikan terdapat dua ruang Hibert berdimensi berhingga H1 dan H2
dengan produk skalar dan 1⋅⋅ dan
2⋅⋅ . Jika andaikan himpunan 121 ,, nψψψ ⋅⋅⋅
75
dan 221 ,, nφφφ ⋅⋅⋅ adalah basis ortonormal pada H1 dan H2, dan bila ∈ψ H1 dan
∈φ H2 masing-masing adalah:
∑=
=1
1
n
iiiψαψ dan (III.16) ∑
=
=2
1
n
rrrψβφ
dengan ψψα ii = dan φφβ rr = , maka produk tensor antara vektor ψ dan φ
adalah objek φψ ⊗ yang didefinisikan oleh:
∑∑∑∑= == =
==⊗1
1
2
121
1
1
2
1
n
i
n
rriri
n
i
n
rriri φψφφψψφψβαφψ (III.17)
dengan riφψ produk formal antara iψ dan rφ , dan segera dapat dibuktikan bahwa
21 ,,2,1;,,2,1 nn ririri ⋅⋅⋅=∀⋅⋅⋅=∀=⊗ φψφψ (III.18)
Produk tensor antara kedua ruang Hilbert H1⊗H2 adalah juga merupakan ruang
Hilbert yang didefinisikan sebagai ruang vektor yang beranggotakan semua
produk tensor antara vektor-vektor anggota H1 dan vektor-vektor anggota H2
dengan produk skalar:
21'''' φφψψφψφψ =⊗⊗ (III.19)
dengan himpunan basis ortonormal:
22
,,,,,,1;,,1 22211121 nnri nrni φψφψφψφψφψ ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= (III.20)
dan memiliki relasi
''2'1''' rriirriiriri δδφφψψφψφψ == (III.21)
Untuk setiap vektor H∈Ψ 1⊗H2 dapat dituliskan sebagai kombinasi linear:
∑∑∑∑ Ψ=Λ=Ψ1 21 2 n
i
n
rriri
n
i
n
rriir φψφψφψ (III.22)
76
Di dalam ruang Hilbert H1⊗H2 ini terdapat operator
yang merupakan perwakilan penjumlahan dua operator , di mana
hidup dalam H
212121ˆˆˆˆ:ˆˆ Ω⊗+⊗Ω=Ω⊕Ω II
21ˆˆ Ω+Ω
1Ω 1 dan hidup dalam H2Ω 2 (Rosyid, 2005).
Dari teori perkalian ruang Hilbert ini dapat ditulis vektor basis sistem QD
kristal simetris berhingga yang ditinjau sebagai:
∑=",',
""'""'"mmn
mnljmnlmmnljmlmnjl ψψψψψψ (III.23)
Dengan himpunan basis lmnjl"ψ adalah himpunan basis terkopling bagi ruang
Hilbert yang diperluas dan ""' mnljm ψψ adalah koefisien Clebsh-Gordan. Fungsi
'jmψ adalah basis fungsi Bloch dalam Basis Kane sebagaimana dalam tabel I, dan
""mnl ψ adalah himpunan ortoghonal periodic function (OPF) yang diperoleh dari
penyelesaian persamaan schrodinger dalam potensial pengungkung simetris,
dalam hal ini:
( ) ( )( ) ( )
( )
lmnjllmnjlz
lmnjllmnjl
lmnjllmnjl
lmnjllmnjl
mL
llL
llLI
jjIJ
""
"2
"2
"2
"2
1
"2
"22
ˆ1ˆ
1"""ˆˆ1ˆˆ
ψψ
ψψ
ψψ
ψψ
h
h
h
h
=
+=
+=⊗
+=⊗
(III.24)
Dengan dan '' mmm += "" ljllj +≤≤− .
Dari sifat perilaku perkalian tensor dua ruang Hilbert untuk mewadahi
penjumlahan dua operator, maka dapat disusun basis ruang Hilbert dalam mana
operator sistem yang ditinjau hidup (berada). Untuk itu basis ruang Hilbert dari
sistem yang ditinjau tentunya merupakan hasil perkalian tensor dari basis untuk
77
Hamilton Luttinger-Kohn dan basis dari penyelesaian sistem yang dibangkitkan
oleh bekerjanya potensial simetris bola dan silinder. Oleh karenanya fungsi eigen
energi (fungsi gelombang) sistem QD nanokristal adalah merupakan superposisi
terhadap basis yang tersebut diatas.
3. Produk Tensor Dua Ruang Hilbert dalam Persepsi Pendekatan
Partikel Tunggal
Pada pendekatan partikel tunggal, persepsi terhadap energi sistem oleh
semua interaksi yang mungkin dalam nanostruktur diwakili oleh dinamika partikel
tunggal dalam inti dan medan kristal periodik (elektron-hole) dengan inti atom
relatif diam terhadap dinamika elektron-hole. Pada pendekatan ini, persepsi
terhadap keadaan nanostruktur dalam medium isolator (semua interaksi yang
mungkin antara nanostruktur dan medium isolator ) direpresentasikan dengan
kemunculan sebuah potensial makroskopik terhadap sistem nanostruktur.
Kemudian dari persepsi persamaan Helmholtz diasumsikan bahwa potensial
makroskopik ini menimbulkan kuantisasi baru terhadap partikel selain kuantisasi
oleh potensial inti, medan kristal periodik, interaksi spin-orbit dan spin internal,
misalnya penjumlahan kedua operator untuk kuantisasi baru misalnya (J + L” =
L), sehingga swafungsi bersama untuk penjumlahan kedua operator ini tentu
merupakan perkalian swafungsi kedua operator tersebut. Perkalian kedua fungsi
ini tentu dapat dipandang dalam persepsi perkalian tensor dua ruang Hilbert yang
berkenaan dengan ketidakkomutatifan dua operator tersebut.
78
4. Metode Pendekatan Massa Efektif k.p-Metode Pseudopotensial
Empirik
Karena sistem berada dalam potensial tiga dimensi yang membuat partikel
atomik (elektron-hole) terkuantisasi (terjebak) kesegala arah maka bilangan
gelombang yang terkait dengan pergerakan bebas elektron menjadi tidak relevan
untuk mengkarakterisasi elektron ( tidak lagi bilangan kuantum yang
baik), sehingga aplikasi Hamiltonian Bulk pada sistem QD dilakukan dengan cara
mengganti vektor gelombang k dengan operator
zyx kkk ,,
hp dan bentuk gelombang
bidang menjadi lenyap dari persamaan vektor gelombang sistem. Dalam wakilan
koordinat operator hp akan mempunyai bentuk ∇−i (Fonoberov, 2002, North,
2001, Prado dkk, 1999). Untuk QD berbentuk bola kita akan menggunakan
koordinat bola dengan transformasi koordinat (x,y,z) ke (r,θ,ϕ) sebagai:
θθθ
ϕθϕ
θϕθϕθ
ϕθϕ
θθϕϕθ
∂∂
−∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
∂∂
−∂∂
+∂∂
=∂∂
rrz
rrry
rrrx
1sincos
sincos1coscossinsin
sinsin1coscoscossin
(III.25)
Untuk kuantum titik berbentuk silindiris kita akan menggunakan koordinat
silindris dengan transformasi koordinat (x,y,z) ke (r,ϕ, z) sebagai:
zz
rry
rrx
∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
=∂∂
∂∂
−∂∂
=∂∂
ϕϕϕ
ϕϕϕ
1cossin
1sincos
(III.26)
79
Parameter nilai massa dari pengukuran dengan metode pseudopotensial empirik
dan eksperimen pengukuran parameter pita silikon dalam elemen matrik
Hamiltonian untuk bulk silikon adalah:
1 [ ]100
lhm 0.167a
2 [ ]100hhm 0.274a
3 [ ]111lhm 0.097a
4 [ ]111hhm 0.681a
5 ( )eEm0 0.046c
6 ( )eVgE
Direct
1.06b
7 ( )mV∆ 0.33c
8 α -0.56c
4.a. Celah P
Untuk p
valensi dan b
persamaan mas
persamaan Schr
⎢⎣
⎡∇∗2
2,,
2
ϕθm rh
dengan:
( ) =,,r ϕθψ
a(Trani, 2004),b(Rio dan Iida, 1999),c(Fenoberov,2002) harga perlakuan berdasarkan nilai untuk material GaAs.
Tabel III.1. Nilai parameter massa dari metode pseudopotensial empirik dan nilaiparameter pita kristal silikon dalam elemen matrik Hamiltonian metodemassa efektif k.p.
ita Lebar
ita lebar, keadaan elektron dianggap tidak berinteraksi dengan pita
erada dalam keadaan diluar potensial inti, sehingga dengan
sa efektif untuk mengakomodasi pengaruh potensial kristal, maka
odinger untuk elektron adalah:
( ) ( )( ) ( )( )↓↑=↓↑⎥⎦
⎤+ ,,,,,, ϕθψϕθψ rErrVp (III.27)
( )∑",",
"""" ,,mln
lnmlnm rA ϕθψ (III.28)
80
Jika persamaan (III.26) dimasukkan kedalam persamaan (III.25), kemudian
hasilnya dikalikan dengan konjugat kompleks dari ""lnmψ , yaitu ( ) ( )∗
'"'"' lmnψ , dan jika
hasilnya diintegrasikan meliputi volume QD simetris maka diperoleh persamaan
matrik:
( ) ( ) ( ) ( )0
'""""''"'"'"" =−llmmnn
EAH lmnlnm δδδ (III.29)
Jika ""lnmψ dan ( ) ( )∗
'"'"' lmnψ adalah ortonormal, maka adalah matrik
identitas, sehingga elemen matriks diagonal adalah sama dengan:
( ) ( )'""""' llmmnnA δδδ
( ) ( )'"'"'"" lmnlnmH
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
02
sin2
22
""'"'"'""2
,,
2
'"'"'"
QD
+=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+∇=
∗
Ω
∗∗
∗∫∫∫
Km
ddrrrVrm
E lnmplmnlnmrlmnnl
h
h θθψψψψ ϕθ
(III.30)
dengan adalah volume QD. Sehingga diperoleh nilai eigen energi adalah: QDΩ
2"2
" 2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∗ Rm
Eln
nlµh (III.31)
dengan vektor eigen adalah:
( ) ( )( ↓↑⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑ ,,,,
",",""
"
"lmn
ml
ln
l YrR
Jr ϕθµ
ϕθ )ψ (III.32)
Untuk sistem QD simetris silinder:
( ) ( )( ) ( )( ↓↑=↓↑⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+∇∗ ,,,,,,,
22
,,
2
ZrEZrZrVm zr ϕψϕψϕh ) (III.33)
Dengan langkah sebagaimana dalam masalah simetris bola, elemen matriks
diagonal adalah sama dengan: ( ) ( )'"'"'"" lmnlnmH
81
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
02
,2
22
""'"'"'""2
,,
2
'"'"'"
+=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+∇=
∗
Ω
∗∗
∗∫∫∫
Km
dzddrrzrVrm
E lnmlmnlnmzrlmnnl
h
h ϕψψψψ ϕ
(III.34)
Sehingga diperoleh nilai eigen energi adalah:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∗
22"2
", 2 Pl
Rk
mE
mn
lnπh (III.35)
dengan vektor eigen adalah:
( ) ( ) ( ↓↑⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ℑ
ℑ= ∑
+
,21
21"sin2,,
",",
""
""1"lmn
immn
mmnm
ePzlr
Rk
kr ϕ
ππϕθψ ) (III.36)
Persamaan Schrödinger tidak bergantung waktu untuk hole sistem QD
simetris bola pita lebar adalah:
( )( ) ( ) ( )ϕθψϕθψ ,,,,66 rErrVH lmlmlmpx
LK =+ (III.37)
dengan
( ) ( )∑=mlljn
lmnjllmnjllm rAr,,",,
"" ,,,, ϕθψϕθψ (III.38)
Dari konsep perkalian tensor dua ruang Hilbert diperoleh:
( ) ( ) ( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛|=
21
21
21
21
23
23
21
23
21
23
23
23
""
"
""
,,
,,,,
,"',",, ϕθµ
ϕθψ ml
ln
llmnjl YrR
JlmmmjlCr (III.39)
82
Ini adalah fungsi spinor envelope karena merupakan swafungsi momentum sudut
orbital total sistem dan spin (Johnson, 2006). Koefisien ( )lmmmjl |"';"C adalah
koefisien Clebsch-Gordan yang ditentukan melalui rumus berikut (Cowan, 1981):
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ +−−++−−+−−−−+
−×
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++
++−+−−+−×
+++−−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−=|
+−+
+−
k
k
mljmmm
mlj
kmjlkmllkmlkmjklljk
lljlljlljllj
mlmlmjmlmlmjmmmllj
mmmllj
llmmmjlC
!"!'"!""!'!"!1
!1"!"!"!"1
!!""!'!!""!'"'"
"'"
121"';"
21"
,"'
21
2/1"
δ
(III.40)
Indeks k dalam jumlahan di atas memiliki jangkauan
( ) ( )"",',"min",'",0maks mlmjlljkmljmll +−−+≤≤+−−− (III.41)
dan nilai l dan m adalah sebagaimana dalam persamaan (III.24) diperoleh:
( ) ( ) ( )∑∑−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛|=
",
"
"
21
21
21
21
23
23
21
23
21
23
23
23
""
"
""
,,
,,,,
,"',",,ln
l
lmml
ln
llmnjllm YrR
JlmmmjlCAr ϕθµ
ϕθψ (III.42)
Untuk Hamiltonian yang belum diagonal adalah matrik pengdiagonal
untuk matrik:
( ) ( )'"'"'"" lmnlnmA
( ) ( ) ( )∫∫∫Ω
×∗
QD
sin,,"66
'"'"' ϕθθϕθψψ ddrrH lmnjlLKlmn (III.43)
Dari keadaan keortonormalan keadaan terkopling dalam persamaan (III.39),
berlaku kaitan (Rosyid, 2005):
83
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )''"',","
''"","""," mmllmmmmm
mlmmjlClmmmjlC δδ=||∑=+
∗∗ (III.44)
Ada perilaku penting dari operator energi (Hamiltonian LK) dalam transisi
sistem yang ditinjau. Tidak seperti konsep perkalian tensor dua ruang Hilbert
untuk mewadahi penjumlahan momentum orbital total dari dua elektron dalam
potensial inti yang sama, yaitu penjumlahan operator di dalam ruang Hilbert yang
lebih besar (yang “ mencakup” kedua ruang Hilbert pada masing-masing
Hamiltonian didefinisikan, Rosyid, 2005), masing-masing operator elektron akan
bekerja pada ruang Hilbertnya sendiri-sendiri. Dalam sistem QD nanostruktur
simetris penelitian ini, perkalian dua ruang Hilbert dimaksudkan untuk
memperoleh ruang Hilbert yang memuat keadaan untuk satu partikel yang berada
dalam dua potensial yang berbeda sekaligus, dimana masing-masing potensial
membangkitkan momentum orbital pada sebuah partikel yang sama, yang
ekivalen dengan penjumlahan dua momentum orbital. Ini membuat operator
energi (Hamiltonian) dalam ruang produk tensor dua ruang Hilbert dapat
berpindah bekerja pada ruang Hilbert yang dibangkitkan oleh potensial yang
berbeda jika mempunyai representasi yang sama. Oleh sebab itu,. karena bilangan
gelombang dalam Hamiltonian LK muncul oleh pemberian momentum kepada
elektron dengan perlakuan eksternal untuk bergerak bebas dalam kristal dan
berperan sebagai gangguan dengan maksud diperoleh informasi komplementer
tentang informasi keadaan terlokalisasi dan keadaan bebas dari sistem, maka tentu
jika produk tensor dua ruang Hilbert dimaksudkan untuk mewadahi penjumlahan
momentum orbital oleh proses pengungkungan, maka tentu didalam ruang Hilbert
ini Hamiltonian LK akan bekerja pada ruang Hilbertnya sendiri yaitu H1. Tetapi
84
karena bilangan gelombang yang terkait dengan pergerakan bebas elektron
menjadi tidak relevan untuk mengkarakterisasi elektron ( tidak lagi
bilangan kuantum yang relevan/baik), sehingga untuk Aplikasi Hamiltonian LK
dilakukan dengan cara mengganti vektor gelombang k dengan operator
zyx kkk ,,
hp , yang
mana dalam wakilan koordinat akan mempunyai bentuk ∇−i , maka karena
merupakan partikel yang sama, ini menyebabkan operator Hamiltonian LK
didalam ruang Hilbert yang diperluas misalnya H1⊗H2 diizinkan untuk bekerja
pada ruang Hilbert yang dibangkitkan oleh operator
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∇ gpengungkun
2
0
2
2V
mih misalnya ruang Hilbert H2 .
Persamaan Schrödinger untuk hole untuk sistem QD simetris silinder pita
lebar diberikan oleh:
( )( ) ( ) ( )zrEzrzrVH lmlmlmx
LK ,,,,,66 ϕψϕψ =+ (III.45)
dengan
( ) ( )∑=mlljn
lmnjllmnjllm zrAzr,,",,
"" ,,,, ϕψϕψ (III.46)
Dari konsep perkalian tensor dua ruang Hilbert diperoleh:
( ) ( ) ( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ℑ
ℑ|=
+
21
21
21
21
23
23
21
23
21
23
23
23
""
""1"
"
,,
,,,,
21
21"sin22"',",, ϕ
ππϕψ im
mn
mmnm
lmnjl epzl
Pr
Rk
klmmmjlCzr
(III.47)
Oleh karenanya:
85
( ) ( ) ( )∑∑−
= +
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ℑ
ℑ|=
",
"
"
21
21
21
21
23
23
21
23
21
23
23
23
""
""1"
"
,,
,,,,
21
21"sin22"',",,
ln
l
lm
immn
mmnm
lmnjllm epzl
Pr
Rk
klmmmjlCAzr ϕ
ππϕψ
(III.48)
Dalam persamaan (III.48) matrik adalah matrik pengdiagonal untuk
matrik :
( ) ( )'"'"'"" lmnlnmA
( ) ( )∫∫∫Ω
∗
QD
"66
'"'"' dzdrH lmnjlx
LKlmn ϕψψ (III.49)
Hamiltonian untuk QD simetris bola tidak bergantung pada bilangan kauntum m,
sebab dalam pendekatan bola (spherical approximation) dan pendekatan silinder
spektrum energi merosot berkenaan dengan komponen-z momentum total
(Fonoberov, 2002), sebagaimana ditunjukkan dalam III.31, sedangkan
Hamiltonian untuk QD pendekatan simetris silinder bergantung dengan bilangan
kuantum m (lihat persamaan III.35).
4.b. Celah Pita Sempit
Keadaan pita sempit yang mengakomodasikan keadaan oleh interaksi
keadaan konduksi dan valensi disajikan dengan Hamiltonian 8x8 yaitu:
Persamaan schrödinger untuk sistem QD simetris bola adalah:
( )( ) ( ) ( )ϕθψϕθψ ,,,,88 rErrVH lmlmlmLK =+× (III.50)
dengan
86
( ) ( ) ( )∑∑−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛|=
",
"
"
21
21
21
21
23
23
21
23
21
23
23
23
21
21
21
21
""
"
""
,,
,,,,
,,
,"',",,ln
l
lmml
ln
llmnjllm YrR
JlmmmjlCAr ϕθµ
ϕθψ (III.51)
Matriks dalam persamaan (III.51) adalah matrik pengdiagonal untuk
matrik:
( ) ( )'"'"'"" lmnlnmA
( ) ( )∫∫∫Ω
×∗
QD
sin"88
'"'"' ϕθθψψ ddrH lmnjlLKlmn (III.52)
Dari persamaan (II.56) Keadaan hole untuk sistem QD silinder diberikan oleh:
( )( ) ( ) ( )zrEzrzrVH lmlmlmLK ,,,,,88 ϕψϕψ =+× (III.53)
( ) ( ) ( )∑∑−
= +
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ℑ
ℑ|=
",
"
"
21
21
21
21
23
23
21
23
21
23
23
23
21
21
21
21
""
""1"
"
,,
,
,,,
,,
21
21"sin22"',",,
ln
l
lm
immn
mmnm
lmnjllm epzl
Pr
Rk
klmmmjlCAzr ϕ
ππϕψ
(III.54)
Dalam persamaan (III.54) matriks adalah matrik pengdiagonal untuk
matrik:
( ) ( )'"'"'"" lmnlnmA
( ) ( )∫∫∫Ω
×∗
QD
"88
'"'"' dzddrrH lmnjlLKlmn ϕψψ (III.55)
87
5. Metode Pendekatan Tight-Binding Semiempirik
Asumsi utama dalam metode tigh-binding adalah bahwa elemen matrik
yang sama dari bulk dapat digunakan untuk sistem nanostruktur (transferability).
Transferability mengasumsikan bahwa potensial efektif yang dihasilkan oleh tiap
atom adalah sama untuk bulk dan nanostruktur (Niquet, 2005). Ini berarti bahwa
parameter dalam fungsi rescaling yang kita adopsi yaitu oleh Kwon dkk (1998)
adalah juga berlaku untuk sistem nanostruktur. Data parameter empirik hasil
pencocokkan kurva oleh Kwon dkk (1998) untuk Silikon cluster adalah:
Tabel III.2. Nilai parameter pita dan konstanta dari paramerisasi oleh Kwon dkk (1998)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ o
A0r N Es(eV) Ep(eV)
2.360352 2 -5.25 1.20
Menggunakan model sp3 maka data yang digunakan adalah:
Tabel III.3. Hasil proses pencocokkan (fitting) terhadap integral Hopping dalam model oleh Kwon dkk (1998).
λ ssσ spσ ppσ ppπ
hλ(r0) (eV)
nλ
rλ
-2.038
9.5
3.4
1.745
8.5
3.55
2.75
7.5
3.7
-1.075
7.5
3.7
Elemen-elemen matrik Hamiltonian (integral Hopping) dalam proses fitting
dimodelkan oleh Kwon dkk sebagai:
88
( )
( ) ( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
====
=
cc nnn
nn
dd
d
rr
rrn
rrrhrh
pppHppppHp
sppHssssHs
rh
λλλ
λ
πλσλσλσλ
000
21
21
21
21
exp
(III.56)
Elemen Hamiltonian untuk tumpang tindih orbital dari atom yang sama (on site)
membentuk elemen diagonal matrik Hamiltonian dengan nilai:
⎪⎩
⎪⎨⎧
====
pzzyyxx
s
EPHPPHPPHPEsHs
(III.57)
5.a. Proyeksi Integral Hopping
Sebagaimana basis Bloch fungsi gelombang akan diekspansikan ke orbital
p yang dinyatakan dalam koordinat kartesan x, y dan z, sedangkan integral
hopping diparameterisasi untuk orbital p yang memiliki arah pararel dan normal
terhadap arah ikatan yang ditandai dengan d . Oleh karenanya perlu untuk
menyatakan orbital p kartesan ke dalam komponen pararel dan normal ikatan.
ˆ
5.a.1. Proyeksi Integral S-P
Elemen matrik Hamiltonian αpHs adalah elemen matrik antara orbital
s ( s ) dari suatu atom dengan orbital p ( )( )zyxp ,,=αα dari atom tetangga
terdekatnya.
89
Dari gambar III.1 diperoleh:
nd
nd
pnapda
ppp
ˆˆˆˆ
sincos
⋅+⋅=
+= θθ (III.58)
Sehingga elemen matrik Hamiltonian adalah
( ) ( ) ( )rhdapnapdaHspHs spnd σˆˆˆˆˆˆ ⋅=⋅+⋅= (III.59)
Tumpang tindih antara s dan np adalah nol oleh simetri, dengan
adalah elemen-elemen arah d dalam arah sumbu x, y dan z.
Sehingga diperoleh:
( zyx dddd ,,ˆ = )
( )( )( )⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
rhdrhdrhd
sHPsHPsHP
pHspHspHs
spx
spy
spx
z
y
x
z
y
x
σ
σ
σ
12
12
12
21
21
21
(III.60)
d
a n
+
-
d a θ
+
n -
Gambar III.1. Ilustrasi grafis proyeksi orbital S-P
90
5.a.2. Proyeksi Integral P-P
Dengan model tight-binding ortogonal yang dipilih, maka elemen matrik
Hamiltonian antara 1p dan 2p diberikan oleh:
( ) ( )( )( ) ( ) ( )2221112121
2222111121
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
nndd
ndnd
pnaHpnapHpdada
pnapdaHpnapdapHp
⋅⋅+⋅⋅=
⋅+⋅⋅+⋅=
Dengan
( )rhpHp ppdd σ=21 ,
( ) ( ) ( )( )( )( )( ) (rhnnnana
pHpnanapnaHpna
pp
nnnn
π212211
212211222111
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
⋅⋅⋅=
⋅⋅=⋅⋅
)
d
1a 1n
+
-
+
-
2n2a
1n2n
Dari sisi pandang vektor d Menurut sudut pandang arah vektor d
Gamber III.2. Ilustrasi grafis proyeksi orbital P-P
1n
d ( )dda ˆˆˆ1 ⋅ 1a
( )( )ddaa
nnaˆˆˆˆ
ˆˆˆ
11
111
⋅−=
⋅
91
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )rhddaaddaa
rhnnnanapnaHpna
pp
ppnn
π
π
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
2211
212211222111
⋅−⋅⋅−=
⋅⋅⋅=⋅⋅
diperoleh:
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )rhddaaddaarhdadapHp pppp πσˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 22112121 ⋅−⋅⋅−+⋅⋅= (III.61)
Maka diperoleh matriks Hamiltonian dalam basis ( )( )zyxp ,,=αα adalah :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+−−−−+−−−−+
=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
rhdrhdrhrhddrhrhddrhrhddrhdrhdrhrhddrhrhddrhrhddrhdrhd
pHppHppHppHppHppHppHppHppHp
ppzppzppppyzppppxz
ppppzyppyppyppppxy
ppppzxppppyxppxppx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
πσπσπσ
πσπσπσ
πσπσπσ
22
22
22
212121
212121
212121
11
1
(III.62)
Akhirnya diperoleh matrik Hamiltonian untuk model tight-binding ortogonal sp3
satu pusat (on site) dan dua pusat. Karena Hamitonian satu pusat adalah jika
potensial dan kedua orbital milik atom yang sama maka mempunyai bentuk:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
pz
py
px
s
zyx
EpEp
EpEs
ppps
H
000000000000
1
1
1
1
1111
(III.63)
Elemen hamiltonian satu pusat ini merupakan energi orbital atomik. Sedangkan
Hamiltonian dua pusat adalah jika potensial dan orbital terletak pada suatu atom
dan orbital yang lain adalah milik atom tetangga terdekat. Sehingga Hamiltonian
mempunyai bentuk:
92
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−=
zzzyzxspzz
yzyyyxspyy
xzxyxxspxx
spzspyspxss
zyx
EEEhdpEEEhdpEEEhdphdhdhdhsppps
H
σ
σ
σ
σσσσ
2
2
2
2
1111
(III.64)
Dengan Exx, Exy, ..., Ezz sebagaimana diberikan dalam persamaan III.62.
Untuk mempelajari pengaruh interaksi spin-orbit ini pada pita energi, pada
penelitian ini akan digunakan Hamiltonian pendekatan dua pusat yaitu hanya
memperhatikan bentuk Hamiltonian untuk keadaan dimana potensial dan orbital
berada pada suatu atom dan orbital yang lain berada pada atom tetangga terdekat.
Hamiltonian untuk pendekatan dua-pusat seperti dijelaskan diatas adalah:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
=×
zzzyzxspz
yzyyyxspy
xzxzxxspx
spzspyspxss
EEEhdEEEhdEEEhdhdhdhdh
H
σ
σ
σ
σσσσ
44
Oleh karenanya ketika spin-orbit diperhitungkan maka Hamiltonian pita-8
diwakili oleh basis ↓↓↓↓↑↑↑↑ zyxzyx pppsppps ,,,,,,, dengan bentuk:
soHH
HH +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
×
××
44
4488 (III.65)
Dari persaman (II.63)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−
∆=
00000100000000001000000000000100000
000000100000000000000
3
iii
i
iii
i
H so
93
Agar persamaan (III.65) adalah Hamiltonian yang dapat diagonalkan maka perlu
dilakukan transformasi uniter basis (III.45) ke dalam fungsi Bloch dalam basis
Kane (Fonoberov. V, 2002):
†88
88 UHUHTB ×∗× = (III.66)
Dengan U = ui sebagaimana dalam tabel II.1, maka diperoleh:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
30000
31
30
033
103
1000
02
12
00000
620000
6610
06
16
06
2000
000022
1000001000000000001
ii
i
i
i
ii
i
U (III.67)
Alasan dilakukan transformasi uniter kedalam basis Kane ini adalah karena Basis
Kane dibangun untuk dapat mengdiagonalisasi Hamiltonian yang memuat
interaksi spin-orbit. Dari matrik U maka diperoleh Hamiltonian tight-binding
semiempirik dalam basis fungsi Bloch sebagai: (lihat lampiran I):
94
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−−−
−+−
−−−
−
−
=
∗∗
∗
∗∗
∗∗∗
∗∗
∗
∗
∗∗
∗
PQCiNiFDiBiA
QPOFiJCiAiB
CiOICDiA
NFiCIFDiBA
iFJDFMCiAB
DiCiDCIA
BAiAiBiAh
iAiBABAh
H
ss
ss
x
21
2212
21
32
223
21
32
21
2100
223
32
31
31
221
31
22
100
21
32
31
3100
32
210
310
88
σ
σ
(III.68)
Dengan:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )xzzx
zz
xyyyxx
yzxyzzyyxx
zz
yxxyzzyyxx
yxxyyyxx
xzzxzyyz
yzxyyyxx
xzyz
spz
spyspx
EEiQa
EIPa
EEEiOa
iEEEEEiNa
EIMa
EEEEEiJa
EEiEEIa
EEiEEFa
EEiEEDa
iEECa
hdiBa
hidhdAa
−−==
−+==
++−
==
+−−−+−==
++==
−+++−==
+−++==
−+−==
+−−==
+−==
−==
+==
3
38
31
32
62
6
232
2312
23
32
64
31
2312
23
122
133
11212
13
16
22
1
78
77
67
58
44
47
33
45
35
34
14
13
σ
σσ
(III.69)
Kemudian dengan Tabel III.2, III.3 dan menggunakan persamaan (III.60) dan
(III.62) diperoleh komponen-komponen penyusun elemen matriks Hamiltonian
8x8, yaitu:
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
5.95.92
4.3360.2
4.32exp360.2038.2 r
rhssσ
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
5.85.82
55.3360.2
55.32exp360.2745.1 r
rhspσ
95
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
5.75.72
7.3360.2
7.32exp360.275.2 r
rhppσ
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
5.75.72
7.3360.2
7.32exp360.2075.1 r
rhppπ
Fungsi spinor envelope untuk sistem QD simetris bola dan silinder diberikan
sebagaimana dalam (III.32) dan (III.34). Adapun langkah kerja dalam
menentukan struktur energi adalah sebagai berikut:
6. Langkah Kerja
Adapun langkah kerja untuk menentukan nilai eigen serta vektor eigen
dengan metode pendekatan massa efektif k.p dan metode tight-binding
semiempirik adalah:
6.1. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dengan Metode Pendekatan
Massa Efektif k.p
Menentukan swanilai dan swavektor dalam persamaan swanilai untuk operator
energi.
i. Subsitusi dalam matrik Luttinger Kohn 6x6 dan 8x8. ∇−= ik
ii. Transformasi matrik dari langkah i. ke koordinat bola dan silinder.
iii. Tentukan keadaan terseleksi dengan koefisien Clensch-Gordan
iv. Kerjakan untuk suatu nilai n dan l tertentu untuk QD bola
dan m dan n tertentu untuk QD silinder.
∫∫∫Ω
∗ ΩQD
dHψψ
v. Diagonalisasi matrik dalam langkah iii.
vi. Tentukan nilai eigen dan fungsi eigen.
96
6.2. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dengan Metode Pendekatan
Tight-Binding Semiempirik.
Karena elemen Hamiltonian dari integral Hopping tidak berubah dengan
bekerjanya potensial pengungkung dan hanya ditentukan oleh parameter jarak
maka langkah kerja pada metode tight-binding semiempirik hanya meliputi:
1. Tentukan keadaan terseleksi dengan koefisien Clesbch-Gordan
2. Hitung untuk suatu nilai n, m dan l tertentu untuk QD bola
dan untuk QD silinder.
∫∫∫Ω
∗ ΩQD
dH ψψ
3. Diagonalisasi matrik dalam langkah 2.
4. Tentukan nilai dan fungsi eigen terkait.
Mulai Hmln ,",",
∫∫∫Ω
∗ ΩQD
mnlmnl dH """" ψψ
Diagonalisasi matriks
lmmmjlA "'" ( )lmmmjlC "',"
nllm E,ψ
Selesai
Gambar. III.3. Diagram alir penentuan nilai eigen dan vektor eigen sistem QD simetri bola dan silinder
97
7. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen
7.a Dengan Metode Pendekatan Massa Efektif k.p-Metode
Pseudopotensial Empirik
Sebagaimana dalam langkah kerja, langkah pertama adalah transformasi
Elemen matrik Hamiltonian LK 6x6 dan 8x8 ke dalam koordinat silinder dan
bola.
7.a.1 Hamiltonian LK dalam koordinat silinder
Dari persamaan (III.26) diperoleh elemen Hamiltonian LK 6x6 adalah:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
= 2
2
2
2
22
2
10
2 112 zrrrrm
Pϕ
γh (III.70)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
=zrrrrm
Q 2112 2
2
22
2
20
2
ϕγh (III.71)
( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
+∂∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
∂∂
−∂∂
+
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
∂∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
∂∂
−
−
=
rrr
rrrri
rrr
rrrr
mR
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
γ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
γ
cossincossin
sincoscossinsincos
2
cossin4cossin
cossincossin4sincos
32
2
22
222
2
2
22
2
3
2
22
2
2
2
222
2
222
2
0
2h
(III.72)
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂∂
+∂∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂∂
−∂∂∂
=zrzr
izrzrm
Sϕ
ϕϕϕ
ϕϕ2222
0
2 cossinsincos322h (III.73)
Elemen matrik Hamiltonian LK 8x8 dalam koordinat silinder adalah:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
= 2
2
2
2
22
2 11zrrrr
Aϕ
α (III.74)
98
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=ϕ
ϕϕϕ
ϕϕrr
irr
vV 1cossin1sincos2
11 (III.75)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=− ϕϕϕ
ϕϕϕ
rri
rrvV 1cossin1sincos
21
1 (III.76)
zvV∂∂
=0 (III.77)
Sedangkan elemen matriks p,q, r dan s sebagaimana dalam Hamiltonian LK 6x6,
tetapi tanpa memasukkan bentuk0
2
2mh .
7.a.2 Hamiltonian LK dalam koordinat Bola
Untuk Hamiltonian LK 6x6 dalam koordinat bola diperoleh:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
= 2
2
2222
210
2
sin1sin
sin11
2 ϕθθθ
θθγ
rrrr
rrmP h (III.78)
( )
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −++
∂∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
∂∂
−
=
θθθθθθ
θθθ
ϕθθθθθθ
γ
2
22
2
2
2
222
2
2
22
2
222
20
2
cossin4cotsin2cos1
cossin6sin1sin2coscos2sin
2
rrr
rrrrrm
Q h
(III.79)
99
( )[ ] ( )
( ) ( )
( )
[ ]
( )
( )
( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+
∂∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
∂∂
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
−
∂∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
∂∂
+
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+
∂∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
∂∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
∂∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−−−
∂∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
∂∂
−
−
=
ϕϕ
θϕ
ϕθϕϕθ
θϕϕθ
ϕϕϕθ
θϕϕϕ
ϕϕ
θϕϕθϕϕθθ
θϕθϕθϕϕθ
γ
ϕθϕ
ϕθϕϕθ
θϕϕθθϕϕ
ϕθϕϕϕθϕϕ
ϕϕϕ
θϕϕθϕϕθθ
θϕϕθθϕϕθ
γ
2
2
22
22
2
22
2
2
2
222
2
2
2
2
2222
2
2
2
22
3
2
2
22
22
2
2
2
2
222222
222
22
2
2222
222
2
2222
2
0
2
cossin
sinsincoscot
sincoscoscossincos
1coscossinsincos
cossincotcossincossin2
cossincossin2cossinsin
2
sinsincossincot4
sincoscoscoscossin
sincossincossincotcossin2cossin4
cossincotsincoscossin2
sincoscossin2sincossin
32
rrr
rr
rrrr
r
rrr
i
rr
rrr
rrrr
r
rrr
mR h
(III.80)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
∂∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
∂∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+
∂∂∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+
∂∂
−
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
∂∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
∂∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+
∂∂∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+
∂∂
=
θϕϕ
ϕϕθ
θϕθθϕθθ
θϕθϕθ
θϕθϕθϕθθ
θϕϕ
ϕϕθ
θϕθθϕθθ
θθθϕ
θθθϕϕθθ
22
2
2
22
22
222
2
2
22
2
2
22
22
222
2
2
0
2
coscoscos
coscossincoscossincoscossinsin
sinsincoscossincossin
sinsincos
coscossincoscossincossincos
sincoscoscoscossin
322
rrr
rrrr
rrr
i
rrr
rrrr
rrr
mS h
(III.81)
100
Elemen matrik Hamiltonian LK 8x8 dalam koordinat bola adalah:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
= 2
2
2222
2 sin1sin
sin11
ϕθθθ
θθα
rrrr
rrA (III.82)
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
+∂∂
=
ϕθϕ
θϕθϕθ
ϕθϕ
θθϕϕθ
sincos1coscossinsin
sinsin1coscoscossin
21
1
rrri
rrrvV (III.83)
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
+∂∂
=−
ϕθϕ
θϕθϕθ
ϕθϕ
θθϕϕθ
sincos1coscossinsin
sinsin1coscoscossin
21
1
rrri
rrrvV (III.84)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
=θ
θθrr
vV 1sincos0 (III.85)
Sedangkan elemen matriks p,q, r dan s sebagaimana P, Q, R dan S dalam
Hamiltonian LK 6x6, tetapi tanpa memasukkan bentuk0
2
2mh .
Karena bermaksud untuk menunjukkan ketergantungan ukuran dan bentuk
terhadap nilai eigen dan fungsi eigen sistem tanpa mengurangi informasi
mengenai pola ketergantungan tersebut, maka pada penelitian ini akan hanya
diteliti sebagian keadaan pita yaitu keadan untuk bilangan kuantum n=1, l”=1 dan
m”=0. Dengan menggunakan rumus III.40 (lihat lampiran II), diperoleh koefisien
Clebsch-Gordan untuk Hamiltonian LK 6x6 dan 8x8 yaitu :
Tabel III.4. Keadaan terseleksi dalam koefisien Clebsh-Gordan, untuk n=1, l”=1, m=0 , untuk Hamiltonian LK 6x6 dan Hamiltonian LK 8x8 .
C(jl”;m’m”,lm) C(jl”;m’m”,lm)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ |
23
230
23,1
23C 15
101 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ |
21
210
21,1
21C
61
101
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ |
23
250
23,1
23C
151 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ |
21
230
21,1
21C
61
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ |
21
210
21,1
23C
61 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −|−
21
210
21,1
21C
61
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ |
21
230
21,1
23C 15
301
− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −|−
21
230
21,1
21C
61
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ |
21
250
21,1
23C
101
− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ |
23
230
23,1
23C 15
101
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −|−
21
210
21,1
23C
61
− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ |
23
250
23,1
23C
151
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −|−
21
230
21,1
23C 15
301
− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ |
21
210
21,1
23C
61
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −|−
21
250
21,1
23C
101 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ |
21
230
21,1
23C 15
301
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −|−
23
230
23,1
23C 15
101 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ |
21
250
21,1
23C
101
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −|−
23
250
23,1
23C
151
− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −|−
21
210
21,1
23C
61
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ |
21
210
21,1
21C
61 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −|−
21
230
21,1
23C 15
301
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ |
21
230
21,1
21C
61 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −|−
21
250
21,1
23C
101
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −|−
21
210
21,1
21C
61 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −|−
23
230
23,1
23C 15
101
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −|−
21
230
21,1
21C
61
− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −|−
23
250
23,1
23C
151
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ |
21
210
21,1
21C
61
102
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ |
21
230
21,1
21C
61
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −|−
21
210
21,1
21C
61
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −|−
21
230
21,1
21C
61
−
Dari tabel III.1 diperoleh koefisien Luttinger 1γ , 2γ dan 3γ sebagai berikut:
1γ 2γ 3γ
6.1 1.5 2.3
7.a.3. Nilai Elemen Matriks Hamiltonian LK 6x6 dan 8x8 untuk QD
Silinder.
Akan dihitung nilai eigen dan vektor eigen untuk n=1, l”=1 dan m”=0.
Dengan Maple versi 9.5, diperoleh , dan elemen matriks
Hamiltonian (lihat Lampiran III):
404825558.201 =k
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
22
10
2 405.22 PRm
P πγh ,
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ××+××−×= −
2
29289
12
0
2 10089.210123.61082.40482558
22 P
RPJPm
Q γh
0≈R ; 0≈S
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
22405.2PR
A πα ; ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
22
1405.2
PRp πγ
103
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ××+××−×= −
2
29289
12
10089.210123.61082.40482558
2P
RPJP
q γ
0≅r ; ; 0≅s 01 ≅V , 01 ≅−V , 00 ≅V (III.86)
7.a.4 Nilai Elemen Matriks Hamiltonian LK 6x6 dan 8x8 untuk QD Bola
Akan dihitung nilai eigen dan vektor eigen untuk n=1, l”=1 dan m”=0.
Dengan Maple versi 9.5, diperoleh , dan elemen matriks
Hamiltonian:
493409458.411 =µ
2
10
2 493.42
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
RmP γh ,
0≈Q ; ; 0≈R 0≈S
2493.4⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
RA α ;
2
1493.4
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Rp γ
0≅q ; ; 0≅r 0≅s ; 01 ≅V , 01 ≅−V dan 00 ≅V (III.87)
Jika dipilih nilai dan dalam satuan
nanometer (nm), selanjutnya akan dihitung energi sistem QD silinder untuk n=1,
l”=1, m”=0, R=2.5 nm dan P=2π nm, dan R=4.5 nm. Dalam perhitungan h
dibawah ke dalam satuan eV.s dan parameter massa dibawa ke dalam satuan
MKS, sehingga dengan menggunakan tabel (III.1) diperoleh matrik LK 6x6 QD
silikon silinder dalam satuan eV adalah:
404825558.201 =k 493409458.41
1 =µ
104
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
'000000'000000'000000'000000'000000'
CC
AB
BA
H ; (III.88) 33.0709.1'
10147.5709.1'10147.5709.1'
9
9
−−=×+−=
×−−=−
−
CBA
dan adalah matriks identitas. ( ) ( )'""""' llmmnn
A δδδ
Matrik LK 6x6 QD silikon bola dalam satuan eV adalah:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
'000000'000000'000000'000000'000000'
BB
AA
AA
H ; 33.0697.1'
697.1'−−=
−=BA
(III.89)
dan adalah matriks identitas. ( ) ( )'""""' llmmnn
A δδδ
Matrik LK 8x8 QD silikon silinder dalam satuan eV adalah:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
'00000000'00000000'00000000'00000000'00000000'00000000'00000000'
DD
BC
CB
AA
H ;
33.0709.1'10147.5709.1'10147.5709.1'
181.0'
9
9
−−=×+−=
×−−=
=
−
−
DCBA
(III.90)
dan adalah matriks identitas. ( ) ( )'""""' llmmnn
A δδδ
matrik LK 8x8 QD silikon bola dalam satuan eV adalah:
105
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
'00000000'00000000'00000000'00000000'00000000'00000000'00000000'
CC
BB
BB
AA
H ; 33.0697.1'
697.1'904.0'
−−=−=
=
CBA
(III.91)
dan adalah matriks identitas. ( ) ( )'""""' llmmnn
A δδδ
Perlu untuk dikemukakan bahwa matriks diagonal yang diperoleh dalam
persamaan (III.88), (III.89) dan (III.90) adalah tidak otomatis nol, tetapi
melainkan karena elemen selain elemen diagonal mempunyai nilai mendekati nol
(sebagaimana data terlampir). Ini perlu ditekankan karena elemen matrik
Hamiltonian selain elemen diagonalnya terkait dengan interaksi antara keadaan
atau basis yang berbeda. Ini berarti interaksi antara pita yang berlainan terdapat
dalam orde yang dapat diabaikan relatif terhadap elemen diagonalnya. Dengan
demikian ketika diasumsikan elemen selain elemen diagonal matriks Hamiltonian
adalah nol maka otomatis berarti kita mengasumsikan tidak ada interaksi antara
pita yang berlainan, dan koefisien kombinasi linear otomatis menjadi
matriks Identitas.
( ) ( )'""""' llmmnnA δδδ
7.a.5. Nilai Eigen dan Fungsi Eigen untuk Hole dalam Pita Lebar
Dari tabel (III.4) dan persamaan (III.88), diperoleh nilai eigen dan fungsi
eigen hole dalam semikonduktor QD silinder pita lebar adalah:
( )23'
23
221sin962,0882.1 0
23
23 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ=
ππψ zr
106
( )eV10147.5709.1 9
23
23
−×−−=E
( )23'
23
221sin962,0397.0 0
23
25 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ=
ππψ zr
( )eV10147.5709.1 9
23
25
−×−−=E
( )23'
23
221sin962,0397.0 0
23
25 −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ−=
− ππψ zr
( )eV10147.5709.1 9
23
25
−
−×−−=E
( )23'
23
221sin962,0882.1 0
23
23 −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ=
− ππψ zr
( )eV10147.5709.1 9
23
23
−
−×−−=E
( )21'
23
221sin962,0486.0 0
21
25 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ−=
ππψ zr
( )eV10147.5709.1 9
21
25
−×+−=E
( )21'
23
221sin962,0486.0 0
21
25 −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ=
− ππψ zr
( )eV10147.5709.1 9
21
25
−
−×+−=E
( ) ( )21'
21
221sin962,0627.0
21'
23
221sin962,0627.0 00
21
21 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ=
ππ
ππψ zrzr
( )eV10147.5748.3 9
21
21
−×+−=E
107
( ) ( )21'
21
221sin962,06277.0
21'
23
221sin962,0087.1 00
21
23 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ−=
ππ
ππψ zrzr
( )eV10147.5748.3 9
21
23
−×+−=E
( ) ( )21'
21
221sin962,0627.0
21'
23
221sin962,0627.0 00
21
21 −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ−=
− ππ
ππψ zrzr
( )eV10147.5748.3 9
21
21
−
−×+−=E
( ) ( )21'
21
221sin962,0627.0
21'
23
221sin962,0087.1 00
21
23 −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ−=
− ππ
ππψ zrzr
( )eV10147.5748.3 9
21
23
−
−×+−=E
Dari tabel (III.4) dan persamaan (III.88), diperoleh nilai eigen dan fungsi eigen
hole dalam semikonduktor QD bola pita lebar adalah:
( ) ( )23'
23cos
403
123
23 θψ rJ=
( ) ( )23'
23cos
403
123
23 −=−
θψ rJ
( ) ( )23'
23cos
101
123
25 θψ rJ=
( ) ( )23'
23cos
101
123
25 −−=−
θψ rJ
( ) ( )21'
23cos
203
121
25 θψ rJ−=
108
( ) ( )21'
23cos
203
121
25 −=−
θψ rJ
Keenam fungsi eigen diatas mempunyai energi yang sama yaitu eV697.1−=lmE
( ) ( ) ( ) ( )21'
21cos
21
21'
23cos
21
1121
21 θθψ rJrJ +=
( ) ( ) ( ) ( )21'
21cos
21
21'
23cos
1021
1121
23 θθψ rJrJ +−=
( ) ( ) ( ) ( )21'
21cos
21
21'
23cos
21
1121
21 −+−−=−
θθψ rJrJ
( ) ( ) ( ) ( )21'
21cos
21
21'
23cos
1021
1121
23 −+−−=−
θθψ rJrJ
Keempat fungsi eigen diatas mempunyai energi yang sama yaitu:
eV724.3−=lmE
7.a.6 Nilai Eigen dan Fungsi Eigen Elektron-Hole Pita Sempit
Dari tabel (III.4) dan persamaan (III.88) diperoleh nilai eigen dan fungsi
eigen elektron-hole dalam semikonduktor QD silinder pita lebar adalah:
( )23'
23
221sin962,0882.1 0
23
23 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ=
ππψ zr
( )23'
23
221sin962,0397.0 0
23
25 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ=
ππψ zr
( )23'
23
221sin962,0397.0 0
23
25 −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ−=
− ππψ zr
( )23'
23
221sin962,0882.1 0
23
23 −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ=
− ππψ zr
109
Keempat fungsi eigen diatas mempunyai energi yang sama yaitu
( )eV10147.5709.1 9−×−−=lmE
( )21'
23
221sin962,0486.0 0
21
25 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ−=
ππψ zr
( )21'
23
221sin962,0486.0 0
21
25 −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ=
− ππψ zr
Kedua fungsi eigen diatas mempunyai nilai energi yang sama yaitu
( )eV10147.5709.1 9−×+−=lmE
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ=
KLH00
21
21 2
1'21
21'
21
221sin962,0627.0
21'
23
221sin962,0627.0
ππ
ππψ zrzr
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ−=
KLH00
21
23 2
1'21
21'
21
221sin962,06277.0
21'
23
221sin962,0087.1
ππ
ππψ zrzr
( ) ( )KLH
0021
21 2
1'21
21'
21
221sin962,0627.0
21'
23
221sin962,0627.0 −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ−=
− ππ
ππψ zrzr
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ−=
− KLH00
21
23 2
1'21
21'
21
221sin962,0627.0
21'
23
221sin962,0087.1
ππ
ππψ zrzr
Kedua empat fungsi eigen diatas mempunyai nilai energi yang sama yaitu
( )eV10147.5567.3 9−×+−=lmE
Dari tabel (III.4) dan persamaan (III.88) diperoleh nilai eigen dan fungsi eigen
elektron-hole dalam semikonduktor QD bola pita sempit adalah:
( ) ( )23'
23cos
403
123
23 θψ rJ=
( ) ( )23'
23cos
403
123
23 −=−
θψ rJ
110
( ) ( )23'
23cos
101
123
25 θψ rJ=
( ) ( )23'
23cos
101
123
25 −−=−
θψ rJ
( ) ( )21'
23cos
203
121
25 θψ rJ−=
( ) ( )21'
23cos
203
121
25 −=−
θψ rJ
Keenam fungsi eigen diatas mempunyai nilai energi yang sama yaitu
. ( )eV697.1−=lmE
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
KLH11
21
21 2
1'21
21'
21cos
21
21'
23cos
21 θθψ rJrJ
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−=
KLH11
21
23 2
1'21
21'
21cos
21
21'
23cos
1021 θθψ rJrJ
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−+−−=
−KLH
1121
21 2
1'21
21'
21cos
21
21'
23cos
21 θθψ rJrJ
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−+−−=
−KLH
1121
23 2
1'21
21'
21cos
21
21'
23cos
1021 θθψ rJrJ
Keenam fungsi eigen diatas mempunyai nilai energi yang sama yaitu
. ( )eV820.2−=lmE
7.b Dengan Metode Tight-Binding Semiempirik
Dalam metode tight-binding semiempirik, ditemui kendala dalam
komputasi numerik simbolik dengan Maple 9.5, dimana pemprosesan dengan
software tidak memberikan nilai numerik yang diharapkan misalnya dalam
111
penentuan elemen baris pertama dan kolom pertama matrik 8x8 persamaan
(III.67). Dari tabel III.2, III.3 dan persamaan III.55, diperoleh:
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
5.95.92
4.3360.2
4.32exp360.2038.2 r
rhssσ
Kemudian diketahui:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ℑ
ℑ==
Pz
Pr
Rmnl 21sin1)404828558.2(
40482855.22
01
110"" πψψ
Sehingga elemen kolom pertama dan baris pertama matrik persamaan matrik
(III.67) adalah:
∫ ∫ ∫= = =
∗P
z
R
rss dzddrrh
0
2
0 0110110
π
ϕσ ϕψψ
Sebagai bukti akan penelitian ini, komputasi numerik simbolik untuk proses
dengan Maple.9.5 dilampirkan dalam lampiran IV. Pertimbangan untuk
mengakhiri metode tight-binding pada tahap ini semata-mata mempertimbangkan
jenjang waktu penelitian, serta karena masalah metode numerik bukan termasuk
dalam subtansi dasar dari penelitian ini.
8. Pembahasan
Sebagaimana tujuan penelitian dalam BAB I, bahwa penelitian ini meliputi
memahami metode massa-efektif k.p-pseudopotensial empirik dan metode tight-
binding, bagaimana menerapkan kedua metode ke dalam sistem QD simetris,
memperoleh informasi numerik dan mempelajari ketergantungan bentuk dan
ukuran QD simetris terhadap struktur elektronik. Untuk itu bagian ini akan
diawali dengan komentar tentang metode massa efektif k.p dan tight-binding
semiempirik.
112
8.1. Metode Massa Efektif k.p
Seperti disebutkan di dalam BAB III, bahwa metode massa efektif k.p
diawali dengan asumsi bahwa perlakuan eksternal yang diberikan pada sistem
untuk memperoleh informasi komplementer tentang struktur elektronik
diperlakukan sebagai gangguan. Oleh karenanya ketepatan metode ini akan
ditentukan oleh seberapa tepat perlakuan eksternal (misalnya aplikasi medan
listrik dan magnet) relatif terhadap stabilitas sistem dapat dipandang hanya
sebagai gangguan. Kemudian dalam metode k.p fungsi periodik dalam persamaan
Bloch diasumsikan tidak bergantung pada vektor gelombang, ini berarti semua
elektron yang terlokalisasi (dalam keadaan terikat) diasumsikan mendapat
pengaruh yang sama oleh pergerakan translasi elektron konduksi. Ini memberikan
konsekuensi kalau penggambaran metode k.p sangat representatif untuk
pendekatan partikel tunggal. Hal terpenting juga dari pendekatan metode k.p
adalah tentang asumsi tentang perioditas medan kisi kristal. Dalam sistem
nanostuktur kondisi bulk relatif terhadap permukaan akan semakin samar dengan
menurunnya dimensi dan ukuran sistem, oleh karenanya perioditas potensial kisi
juga akan berkurang polanya dengan meningkatnya interaksi permukaan relatif
terhadap bulk. Dibandingkan dengan sistem QD heterostruktur, QD nanostruktur
colloid sangat representatif diwakili oleh metode massa efektif k.p oleh karena
interor sistem lebih homogen sehingga tidak perlu diasumsikan perubahan fungsi
gelombang yang halus (smooth) didaerah diskontinyu (perbatasan/interface) dan
begitu pula dengan parameter-parameter dalam metode massa efektif k.p.
113
8.2. Metode Tight-Binding Semiempirik.
Metode tight-binding didasarkan pada asumsi bahwa semua informasi fisis
sistem fisis zat padat termasuk sistem nanostruktur dapat dinyatakan atau
dihubungkan dengan keadaan atom-atom penyusunnya dalam hal ini adalah
orbital-orbital atomik. Tidak seperti pada metode k.p yang memfokuskan
perhitungan dengan orbital-orbital valensi saja, metode tight-binding
dikembangkan untuk menggunakan semua pita atomik dalam rangka menyelidiki
perilaku sistem. Oleh karenanya metode tight-binding mampu menangani efek-
efek atomik dalam perilaku sistem. Ini terbalik dengan metode k.p yang sangat
tepat untuk menangani efek-efek sistem, misalnya efek medan potensial kristal.
Sehingga walaupun kerangka kerja tight-binding ini bukan suatu metode yang
baik untuk untuk menentukan fungsi gelombang alami sebenarnya dari sistem
fisis yang ditinjau namun demikian akan memberikan hasil yang semakin sesuai
untuk sistem fisis nanostruktur yang semakin kecil. Dalam deskripsi Hamiltonian
sistem, metode tight-binding menerapkan konsep tumpang-tindih orbital dalam
membentuk ikatan kimia. Dari konsep tumpang-tindih orbital ini muncul
terminologi integral hopping yang memberi konsekuensi elektron dapat
berpindah-pindah diantara orbital dari atom yang berbeda.
Dari penjelasan metode massa efektif k.p dan tight-binding semiempirik
ini dapat ditarik kesimpulan bahwa untuk sistem nanostruktur, semakin kecil
sistem maka semakin tepat aplikasi metode tight-binding, sedangkan semakin
besar ukuran sistem maka aplikasi metode k.p akan semakin tepat
mengakomodasikan efek sistem dalam kehadiran celah pita.
114
8.3 Nilai Energi Elektron dan Hole QD Bersimetri Bola dan Silinder
Dari hasil perhitungan diperoleh bahwa seluruh energi dalam sistem QD
silikon bersimeri bola dan silinder mempunyai nilai negatif. Hasil ini dapat
diterangkan sebagai berikut: sebagaimana dalam asumsi perhitungan yang
didasarkan pada nilai eksperimen untuk bahan GaAs bahwa energi pita velensi
maksimum adalah nol. Ini berarti bahwa tanpa pengungkungan keadaan elektron
terluar (valensi) dalam sistem QD silikon bersimetri bola dan silinder mempunyai
nilai energi nol (superposisi komponen energi dalam Hamiltonian adalah nol),
sebaliknya elektron konduksi (elektron yang mempunyai momentum translasi
dalam potensial periodik) akan mempunyai energi bernilai positif sedangkan
elektron di sebelah dalam dari elektron valensi mempunyai nilai negatif yang
menunjukkan elektron tersebut berada dalam keadaan terikat atau berada dalam
potensial inti atom. Oleh karenanya energi negatif dalam sistem QD yang
diperoleh dari perhitungan menunjukkan kalau elektron-hole berada dalam
potensial inti dan potensial makro (pengungkung) dan dilarang keluar dari sistem
QD. Hasil ini juga menunjukkan kalau keadaan konduksi atomik dalam sistem
QD silikon bersimetri bola dan silinder juga berada dalam keadaan terikat oleh
karena pengungkungan.
8.4. Ketergantungan Struktur Elektronik QD Simetris terhadap Bentuk
dan Ukurannya.
8.4.a. Ketergantungan Ukuran
Dari hasil yang diperoleh, nampak bahwa energi elektron-hole meningkat
dengan orde bilangan l dan n pada sistem QD Bersimetri Bola dan m dan n pada
115
sistem QD Bersimetri silinder. ini dengan mudah dijelaskan karena peningkatan l
dan m setara dengan peningkatan kerapatan energi (kerapatan fungsi gelombang)
sedangkan bilangan n berkaitan dengan jarak yang berbanding terbalik dengan
energi interaksi. Selain itu diperoleh bahwa energi sistem menurun dengan
peningkatan ukuran sistem. ini dapat dijelaskan karena semakin besar ukuran
maka semakin besar bilangan kuantum n sistem yang menentukan jarak interaksi.
8.4.b. Ketergantungan Bentuk
Dari pengamatan pengaruh bentuk terhadap struktur energi diperoleh
bahwa bentuk QD tertentu mempunyai struktur energi dan ruang Hilbert yang
berbeda walupun berdimensi sama. Nilai eigen energi untuk kasus QD silinder
lebih banyak dari nilai eigen untuk kasus QD bola. Perbedaan ini disebabkan
karena fungsi gelombang dalam koordinat silinder hanya invarian dalam rotasi
terhadap sumbu sumbu-z dan invarian dalam translasi sepanjang sumbu-z (Arfken
dan Weber, 2001). Ini berarti pada QD bersimetri silinder terdapat
ketidakhomogenan ruang dalam arah x dan y serta ketidakisotropian ruang
terhadap sumbu x dan y. Dengan penalaran tentu ketidakhommogenan dan
ketidakisotropian ruang ini pararel dengan ketidakhommogenan dan
ketidakisotropian medan interaksi. Dalam perspektif matematika keadaan ini
tentu setara dengan kehadiran ketidakkomutatifan antara Hamiltonian dengan
operator terkait yang akan menyebabkan kuantisasi baru.
116
BAB IV
KESIMPULAN DAN SARAN
1. Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan yang telah dilakukan, maka
dapat diambil beberapa kesimpulan yaitu:
1. Perkalian tensor dua ruang Hilbert dapat diaplikasikan untuk menentukan
ruang Hilbert dalam mana Hamiltonian QD simetris berada/hidup.
2. Metode massa efektif k.p dapat diaplikasikan guna mendapatkan informasi
struktur elektronik (nilai eigen dan fungsi eigen) sistem QD silikon bersimetri
bola dan silinder.
3. Untuk bilangan n=1, l=1 dan m”=0, sistem QD bola mempunyai sepuluh
vektor eigen dengan dua nilai eigen sedangkan sistem QD silinder mempunyai
sepuluh vektor eigen dengan tiga nilai eigen.
4. Energi elektron-hole sistem QD bersimetri bola dan silinder yang diperoleh
dengan metode massa efektif k.p menunjukkan pola ketergantungan pada
ukuran dan bentuk QD.
5. Metode massa efektif k.p menunjukkan bahwa interaksi antara pita yang
terkait dengan matriks Hamiltonian dalam ukuran QD silikon yang dipilih
dalam penelitian ini dapat diabaikan.
6. Kemerosotan energi pada QD Silikon bersimetri bola jauh lebih banyak
dibandingkan dengan kemorosotan keadaan pada QD Silikon bersimetri
silinder.
117
2. Saran
Agar metode massa efektif k.p dan tight-binding semiempirik mencapai
deskripsi maksimum terhadap sistem QD Silikon simetris maka diperlukan
penelitian dan pemodelan yang lebih lanjut menyangkut:
1. Analisis komputasi numerik lebih jauh terkait dengan aplikasi tight-
binding semiempirik dalam sistem QD silikon simetris.
2. Pengaruh interface antara nanostuktur colloid dan medium perlu
dimasukkan melalui konsep strain pada kristal permukaan.
3. Perlakukan tambahan terhadap parameter massa efektif k.p di daerah
dimana medan relatif tidak isotropis dan homogen (pada point 2) perlu
dilakukan.
4. Untuk sistem nanostruktur atau QD yang relatif sangat kecil,
penggambaran dalam kerangka kerja ab-initio adalah penting adanya.
5. Terkait dengan point ketiga, penggunaan tigh-binding initio (tight-binding
DFT) dengan penerapan teori group titik perlu dilakukan.
6. Dibutuhkan penelitian eksperimen tentang struktur elektronik sistem QD
Silikon guna mengkomparasikan hasil-hasil numerik perhitungan.
118
DAFTAR PUSTAKA
Arfken, G. B., dan Weber, H. J., 2001, Mathematical Methods For Physicists: Fifth Edition, A Harcourt Science and Technology Company, USA.
Baraff, G. A dan Gershoni, D, 1991, Eigenfunction-expansion method for solving the quantum-wire problem: Formulasi, Phys. Rev. B . 43, 4011.
Cowan, R.D., 1981, The Theory of Atomic tructure and Spectra, Edisi keempat, Oxford at The Clarendon Press, Oxford.
Chang, L. L., Esaki, L., Howard, W. E., dan Ludeke R., 1970, Structures Grown by Molecular Beam Epitaxy , J. Vac. Sci. Technol. 10, 11.
Damilano, B., Grandjean, N., Semond, F., Massies, J., dan Leroux, M., 1999, From visible to white light emission by GaN quantum dots on Si(111) substrate, Appl. Phys. Lett. 75, 962.
Efros, Al. L dan Rosen, M.,1998 Quantum Size Level Structure od Narrow-gap Semiconductor nanocrystal: Effect of Band Coupling, Phys. Rev. B 58, 7120.
Ekimov, A.I, Hache, F., Schanne-Klein, M. C., Ricard, D., Flitzanis, C., Kudryavtzev, I. A., Yazeva, T. V., Rodina, A. V., dan Efros, Al. L., 1993, Absorption and Intensity-Dependent Photoluminescence Measurement on CdSe Quantum Dots: Assignment of the First Electronic Transitions, J. Opt. Soc. Am. B 10, 100.
Esaki, L., dan Tsu R., 1970, Superlattice and Negative Differential conductivity in Semiconductors, IBM J. Res. Develop. 14, 61.
Fonoberov. V., 2002, Electronic and Optical Properties of Semiconductor Quantum Wires and Dots, PhD dissertation, University of Moldova, Moldova.
Gasiorowicz, S., 1974, , Quantum Physics, John Wiley and Sons, New York. Gell, M. A, Ninno, D., Jaros, M., dan Herbert D. C.,1986, Zone folding,
morphogenesis of charge densities, and the role of periodicity in GaAs-Al Ga As (001) superlattices,x 1-x Phys. Rev. B 34, 2416
Griffiths, D. J., 1995, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, Inc. Upper Saddle River, New-Jersey.
Grigoryan, G. B, Kazaryan, E, Efros, Al. L, Yazeva, T. V.,1990, Quantitation of Hole and absorption edge in spherical microcrystal of semiconductor with complex structure of valence Band, Sov. Phys. Solid State 32, 1031
Hein, O, 2000, Semi-Empirical Tight-Binding Ways and Means for the Atomistic Simulation of Materials, PhD dissertation, Gemeinsamen Naturwissenschaftlichen Fakultät, Techniscen Universität Carolo-Wilhelmina, Germany.
Helle, M.,2006, Few-Electron Quantum Dot Molecules, PhD dissertation Helsinki University of Tehnology, Laboratory of Physics, Espo, Finland.
Hohenberg, P., dan Kohn, W., 1964, Inhomogeneous Electron Gas, Phys. Rev. 136, B864
119
Jena, D., 2004, k.p Theory of Semiconductors, Department of Electrical Engineering, University of Notre Dame.
Johnson, W. R., 2006, Lectures on Atomic Physics, Department of Physics, University of Notre Dame, Notre Dame, Indiana, U.S.A
Jones, R.,1988, The phonon spectrum of diamond derived from ab initio local density functional calculations on atomic clusters, J. Phys. C 21, 5735
Kemerink, M., 1998, Many-body effects in the valence bands of two-dimensional heterostructures based on III/V semiconductors, Technische Universiteit Eindhoven, Eindhoven
Kitamaru, K, Umeya, H., Jia, A., Shimotomai, M, Kato, Y., Kobayashi, M., Yoshikawa, A., dan Takahashi, H., 2000, Self-assembled CdS quantum-dot structures grown on ZnSe and ZnSSe, J. Chryst. Growth 214, 215, 680.
Kittel, C., 1996, Intrduction to Solid State Physics, John Wiley & Sons Kohn, W., dan Sham, L.J.,1965, Self-consistent equation including exchange dan
correlation effect, Phs. Rev. 140, A1133. Kwon, I., Biswas, R., Wang, Z., Ho, K. M., dan Soukoulis, 1994, Transferable
tight-binding models for silicon, Phys. Rev. B 49, 7242. Lannoo, M. dan Burgoin, J, 1981, Point Defect in Semiconductor I, Springer-
Verlag. Lee, J., Chou, W-C., Yang, C-S, dan Jan, G. J., 2004, Eigen-Energies and Eigen-
Functions of Symmetroidal Quantum Dots, Chinese Journal of Physics, Vol. 42, No. 1.
Löwdin, P., 1955, A Note on the Quantum-Mechanical Peturbation Theory, J. Phys. Chem. 19, 1396
Löwdin, P., J., 1950, On The Non-Orthogonality Problem Connected with The Use of Atomic Wave Function in the Theory of Molecules and Crystals, Chem. Phys. 18, 365.
Luttinger, J. M., dan Kohn, W.,1955, Motion of Electrons and Holes in Perturbed Periodic Fields, Phys. Rev. 97, 8690
Luttinger, J. M., 1956, Quantum Theory of Cyclotron Resonance in Semiconductors: General Theory, Phys. Rev. 102, 1030
Mercer, J. J. L., dan Chou, M. Y, 1994, Tight-binding model with intra-atomic matrix elements, Phys. Rev. B 49, 8506
Murray, C. B., Norris, D. J., dan Bawendi, M. G, 1993, Chem. Soc. 115, 8706. Nayak, C., 2004, Quantum Condensed Matter Physics - Lecture Notes, Universiy
of California, Los Angeles Nirmal, M dan Brus, L., 1999, Luminescence Photophysics in Semiconductor
Nanocrystal, Acc. Chem. Res, 32, 407-414 Niquet, Y. M., 2005, Introduction to the Tight Binding Description of
Semiconducor Nanostructure (Presentation in Hanoi, 23/12/2002), CEA,/DRFMC/SP2M/L_Sim, Grenoble, France.
North, S. M.,2001, Electronic Structure of GaSb/GaAs and Si/Ge, PhD dissertation, University of Newcastle, England.
Papaconstantopoulos, D. A., dan Mehl, A.K., 2003, The Slater-Coster Tight Binding Method: a Computationally Efficient an Accurate Approach, Condens, J. Phys. Matter, 15, R413.
120
Pople, J. A, 1998, Quantum Chemical Models; Nobel Lecturer, December 8, 1998, Department of Chemistry, Northwestern University, 2145 Sheridan Road, Evanston, Illionis 60208, USA.
Prado, S. J., Marques, G. E., dan Trallero-Giner, C., 1999, Electronic Structure in Narrow-Gap Quantum Dots, Brazilian Journal of Physics, Vol. 29, no 4
Prasad, R.K., 2001, Quantum Chemistry: Second Edition, New Age International Publisher.
Rai, B. M., 2005, Quantum Confinement of Nanostructured System, MSc Thesis, Department of Physics, Central Michigan University, Mount Pleasant, Michigan.
Räsänen, E.,2004, Electronic Properties of Non-Circular Quantum Dots, PhD dissertation, Helsinki University of Tehnology, Laboratory of Physics, Espo, Finland.
Reed, M. A., Bate, R. T, Bradshaw, K., Duncan, W. M., Frensley, W. M., Lee, J. W., dan Smith, H. D., 1986, Spatial quantitation in GaAs-AlGaAs Multiple quantum dots, J. Vacuum, Sci. Technol. B4, 358
Reimann, S. M dan Mannien, M., 2002, Electronic Structure of Quantum Dots, Rev. Mod. Phys. 74.
Rio, S. R., dan Iida, M.,1999, Fisika dan Teknologi Semikonduktor, PT Pradya Paramita, Jakarta
Romero, N. A, 2005, Density Functional Study of Fullerene-Based: Crystal Structure, Doping, and Elektron-Phonon Interaction, PhD dissertation, University of Illinois, Urbana-Champaign
Rosyid, M. F., 2005 Mekanika Kuantum, Departemen Fisika , Institut untuk Sains di Yogyakarta dan Laboratorium Fisika Atom dan Inti, Jurusan Fisika Inti, Jurusan Fisika, FMIPA, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta
Sakurai, J. J,1994, Modern Quantum Mechanics, Person Education Asia. Schulman, J. N, dan Chang, Y. C., 1985, Band mixing in semiconductor
superlattices, Phys. Rev. B.31, 2056 Tews, M., 2004, Structure and Transport Properties of Quantum Dot, PhD
dissertation, Universität Hamburg, Germany. Todorov, T. N, 2002, Tight Binding Simulation of Current on Carrying
Nanostructures, J.Phys. Cond. Matter, 14, pp. 3049 Trani, F., 2004 Electronic and Optical Properties of Silicon Nanocrystals: a Tight
Binding Study, PhD dissertation, Universitarion Monte S. angelo, Napoly, Italy
Wang, L.W., dan Zunger, A.,1996, Pseudopotential-based multiband k·p method for 250000-atom nanostructure systems, Phys. Rev. B.54(16), 11417
Yariv, A, 1982, Introduction to Theory and Aplications of Quantum Mechanics, John Wiley & Sons, Inc. Canada
Zünger A, 1998, Semiconductor quantum dots, MRS Bulletin, Vol. 23, No. 2, February 1998.
121
LAMPIRAN 1
Matrik transpose dan matrik konjugat dari matrik U dalam persamaan III.66,
dengan matriks U adalah matrik transformasi dari basis ↑S , ↑X , ↑Y ,
↑Z , ↓S , ↓X , ↓Y dan ↓Z ke basis Bloch.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
300
620000
03
12
106
1000
03
12
06
00000000010
03
1006
2000
310000
200
300
610
2100
00000001
i
ii
i
i
i
U T
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−−
−
=∗
30000
31
30
033
103
1000
02
12
00000
620000
6610
06
16
06
2000
0000022
100001000000000001
ii
i
i
i
ii
i
U
122
LAMPIRAN 2
Elemen Hamiltonian TB 8x8 dalam basis Bloch untuk persamaan III.68.
( )
( )
( )σσ
σ
σσ
σ
σσ
σ
spxspy
spz
spyspx
spz
spyspx
ss
hidhda
hda
a
hidhda
hdia
hidhda
aha
−=
−=
=
+−=
−=
+−=
==
31
31
06
16
22
10
81
71
61
51
41
31
21
11
( )
( )
( )
σ
σσ
σσ
σ
σσ
σ
spz
spyspx
spxspy
spz
spxspy
ss
hdia
hidhda
hidhda
hda
hidhda
aha
a
3
312
16
26
10
0
82
72
62
52
42
32
22
12
=
−−=
−−=
−=
+=
===
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )yxxyyyxx
zyzx
yxxyyyxx
yzzx
yxxyyyxx
spyspx
EEEEia
iEEa
a
EEiEEa
EiEa
EEiEEa
a
hidhda
+−−=
+=
=
++−=
−=
+−++=
=
+=
61
6
61
01212
13
1
122
10
21
83
73
63
53
43
33
23
13 σσ
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )yzzyxzzx
yxxyzzyyxx
yxxyyyxx
xzzxzyyz
yxxyzzyyxx
xzyz
spxspy
spz
EEiEEa
EEEEEia
EEiEEa
EEiEEa
EEiEEEa
iEEa
hidhda
hdia
232
232
123
1223
12121
331
16
461
316
16
2
84
74
64
54
44
34
24
14
+++=
−−++=
++−=
−+−=
+−+++=
+−=
−−=
−=
σσ
σ
123
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )zyzx
yxxyyyxx
xyyxyyxx
xzzy
yxxyyyxx
spxspy
yxxyzzyyxx
yzzyxzzx
xzyz
xyyxyyxx
xzzxzyyz
yzxyyyxx
spz
spyspx
iEEa
EEEEia
EEiEEa
iEEa
EEiEEa
a
hidhda
a
iEEEEEia
EEiEEa
iEEa
EEiEEa
EEiEEa
EEiEEa
hda
hidhda
−=
++−=
+−++=
+=
+−−=
=
+=
=
−−+−+=
+−+=
−=
+−++=
−+−=
+−−=
=
−=
61
61
6
122
131
12121
06
10
232
2312
23
223
223
131
166
133
11212
16
26
1
86
76
66
56
46
36
26
16
85
75
65
55
45
35
25
15
σσσ
σσ
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) 231
31
3316
123
223
1223
223
223
16
16
3
31
331
233
16
16
223
223
123
1223
613
13
1
88
78
68
58
48
38
28
18
87
77
67
57
37
17
a
a
a
a
a
a
a
a
47
27
−−+++=
−−−−=
+=
+−−−+−=
+−+=
+−−−=
=
+−=
−+−=
−−+++=
+++−
=
+++=
−+++−=
−=
+=
=
xyyxzzyyxx
xzzxyzzy
yzxz
yzxyzzyyxx
zyyzzxxz
yxxyyyxx
spz
spxspy
zxxzyzzy
yxxyzzyyxx
yxxyyyxx
zyyzzxxz
yxxyzzyyxx
yzxz
spyspx
spz
EEEEEa
EEiEEa
iEEa
iEEEEEia
EEiEEa
EEEEia
hdia
hidhda
EEiEE
EEiEEE
EEEEi
EEiEE
EEEEEi
iEE
hidhd
hd
σ
σσ
σσ
σ
124
LAMPIRAN 3
Contoh hasil perhitungan koefisien Clebsch-Gordan, perhitungan elemen matriks
LK 6x6 untuk QD silinder dan QD bola serta bukti perhitungan nilai elemen baris
pertama dan kolom pertama matrik Hamiltonian TB dalam persamaan (III.68)
dengan Maple 9.5.
1. Contoh perhitungan koefisien Clebsch-Gordan untuk jangkauan k
terdiri dari satu elemen.
> A:=(a,b,c,d,e,f,g)-> sqrt((a-d)!*(b-e)!*(c-f)!*(a+d)!*(b+e)!*(c+f)!)*((-1)^(a-b+f)*sqrt(1/(a+b+c+1)!*((a+b-c)!)*(a-b+c)!*(-a+b+c)!))*(((((1/(g!*(a+b-c-g)!*(a-d-g)!*(b+e-g)!*(c-b+d+g)!*(c-a-e+g)!)))*(-1)^g))); A := a, b, c, d, e, f, g( ) →
a - d( )! b - e( )! c - f( )! a + d( )! b + e( )! c + f( )! -1( ) a - b + f( ) a + b - c( )! a - b + c( )! -a + b + c( )!a + b + c + 1( )!
-1( )g
g! a + b - c - g( )! a - d - g( )! b + e - g( )! c - b + d + g( )! c - a - e + g( )!
> A(1,2,2,-1,1,0,1); 130
3 30
2. Contoh perhitungan koefisien Clebsch-Gordan untuk jangkauan k
terdiri dari dua elemen elemen.
> B:=(a,b,c,d,e,f,g,h)-> sqrt((a-d)!*(b-e)!*(c-f)!*(a+d)!*(b+e)!*(c+f)!)*((-1)^(a-b+f)*sqrt(1/(a+b+c+1)!*((a+b-c)!)*(a-b+c)!*(-a+b+c)!))*(((((((1/(g!*(a+b-c-g)!*(a-d-g)!*(b+e-g)!*(c-b+d+g)!*(c-a-e+g)!)))*(-1)^g))+((((1/(h!*(a+b-c-h)!*(a-d-h)!*(b+e-h)!*(c-b+d+h)!*(c-a-e+h)!)))*(-1)^h)))));
B := a, b, c, d, e, f, g, h( ) → a - d( )! b - e( )! c - f( )! a + d( )! b + e( )! c + f( )! -1( ) a - b + f( )
a + b - c( )! a - b + c( )! -a + b + c( )!a + b + c + 1( )!
⎛⎜⎝
125
-1( )g
g! a + b - c - g( )! a - d - g( )! b + e - g( )! c - b + d + g( )! c - a - e + g( )!
+ -1( )h
h! a + b - c - h( )! a - d - h( )! b + e - h( )! c - b + d + h( )! c - a - e + h( )!⎞⎟⎠
3. Contoh perhitungan komponen elemen matrik LK 6x6 (S) dalam
koordinat silinder
> B(3/2,1,3/2,1/2,0,1/2,0,1);
- 130
15
> BesselJ(0,1/R*evalf(BesselJZeros(0,1))*r);
BesselJ 0, 2.404825558 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
> sqrt(2/P)*sin(Pi*((1/2)-(z/P)));
2 1P
sin π 12
- zP
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
> A:=BesselJ(0,1/R*evalf(BesselJZeros(0,1))*r)*sqrt(2/P)*sin(Pi*((1/2)-(z/P)));
A := BesselJ 0, 2.404825558 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2 1P
sin π 12
- zP
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
> B:=(r,phi,z)->diff(diff((A),r),r)+1/r*diff((A),r)+1/r^2*diff(diff((A),phi),phi)-2*diff(diff((A),z),z);
B := r, phi, z( ) → ∂
∂ r
∂ ∂ r
A⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
+
∂ ∂ r
A
r +
∂ ∂ φ
∂
∂ φ A
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r 2 - 2
∂ ∂ z
∂
∂ z A
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
> C:=diff(diff((A),r),r)+1/r*diff((A),r)+1/r^2*diff(diff((A),phi),phi)-2*diff(diff((A),z),z);
126
C :=
- 1
R 2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
5.783185964 BesselJ 0, 2.404825558 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
-
0.4158305773 R BesselJ 1, 2.404825558 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
2
1P
sin π 12
- zP
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
-
2.404825558 BesselJ 1, 2.404825558 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2 1P
sin π 12
- zP
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r R
+
2 BesselJ 0, 2.404825558 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2 1P
sin π 12
- zP
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
π2
P 2
> int(int(int(A*C*r,r=0..R),z=0..P),phi=0..2*Pi);
4.000000000 10-18 -1.224161082 1018 P 2 + 4.178314748 1018 R 2( )
P 2
> simplify(%);
- 8.000000000 10-9 6.12080541 108 P 2 - 2.089157374 109 R 2( )
P 2
> E:=(r,phi,z)->(((cos(phi)^2-sin(phi)^2)*diff(diff((A),r),r)-(1/r*4*sin(phi)*cos(phi))*diff(diff((A),r),phi)+(1/r^2*(sin(phi)^2-cos(phi)^2))*diff(diff(A,phi),phi)+(1/r*(sin(phi)^2-cos(phi)^2))*diff(A,r)+(1/r^2*4*sin(phi)*cos(phi))*diff((A),phi))+2*I*(cos(phi)*sin(phi)*diff(diff((A),r),r)-(1/r^2*sin(phi)*cos(phi)*diff(diff((A),phi), phi))+1/r*(cos(phi)^2-sin(phi)^2)*diff(diff((A),r),phi)+1/r^2*(sin(phi)^2-cos(phi)^2)*diff((A),phi)-1/r*sin(phi)*cos(phi)*diff((A),r)));
E := r, phi, z( ) → cos φ( )2 - sin φ( )2
( ) ∂
∂ r
∂ ∂ r
A⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
-
4 sin φ( ) cos φ( ) ∂
∂ φ
∂ ∂ r
A⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r
+
sin φ( )2 - cos φ( )2
( ) ∂
∂ φ
∂ ∂ φ
A⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r 2 +
sin φ( )2 - cos φ( )2
( ) ∂
∂ r A
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r +
4 sin φ( ) cos φ( ) ∂
∂ φ A
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r 2 +
127
2 I
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
cos φ( ) sin φ( ) ∂
∂ r
∂ ∂ r
A⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
-
sin φ( ) cos φ( ) ∂
∂ φ
∂ ∂ φ
A⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r 2
+
cos φ( )2 - sin φ( )2
( ) ∂
∂ φ
∂ ∂ r
A⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r +
sin φ( )2 - cos φ( )2
( ) ∂
∂ φ A
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r 2 -
sin φ( ) cos φ( ) ∂
∂ r A
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
> G:=(((cos(phi)^2-sin(phi)^2)*diff(diff((A),r),r)-(1/r*4*sin(phi)*cos(phi))*diff(diff((A),r),phi)+(1/r^2*(sin(phi)^2-cos(phi)^2))*diff(diff(A,phi),phi)+(1/r*(sin(phi)^2-cos(phi)^2))*diff(A,r)+(1/r^2*4*sin(phi)*cos(phi))*diff((A),phi))+2*I*(cos(phi)*sin(phi)*diff(diff((A),r),r)-(1/r^2*sin(phi)*cos(phi)*diff(diff((A),phi), phi))+1/r*(cos(phi)^2-sin(phi)^2)*diff(diff((A),r),phi)+1/r^2*(sin(phi)^2-cos(phi)^2)*diff((A),phi)-1/r*sin(phi)*cos(phi)*diff((A),r))); G :=
- 1
R 2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
5.783185964 cos φ( )2 - sin φ( )2
( )
⎛⎜⎜⎜⎝
BesselJ 0, 2.404825558 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
-
0.4158305773 R BesselJ 1, 2.404825558 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
⎞⎟⎟⎟⎠
2 1P
sin π 12
- zP
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
-
2.404825558 sin φ( )2 - cos φ( )2
( ) BesselJ 1, 2.404825558 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2 1P
sin π 12
- zP
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r R + 2 I
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
- 1
R 2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
5.783185964 cos φ( ) sin φ( )
⎛⎜⎜⎜⎝
BesselJ 0, 2.404825558 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
128
-
0.4158305773 R BesselJ 1, 2.404825558 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
⎞⎟⎟⎟⎠
2 1P
sin π 12
- zP
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
+
2.404825558 sin φ( ) cos φ( ) BesselJ 1, 2.404825558 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2 1P
sin π 12
- zP
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r R
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
> int(int(int(A*G*r,r=0..R),z=0..P),phi=0..2*Pi);
0.
> H:=(r,phi,z)->(cos(phi)*diff(diff((A),r),z)-1/r*sin(phi)*diff(diff((A),phi),z))-I*(sin(phi)*diff(diff((A),r),z)+1/r*cos(phi)*diff(diff((A),phi),z));
H := r, phi, z( ) → cos φ( ) ∂
∂ z
∂ ∂ r
A⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
-
sin φ( ) ∂
∂ z
∂ ∂ φ
A⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r
- I sin φ( ) ∂
∂ z
∂ ∂ r
A⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
+
cos φ( ) ∂
∂ z
∂ ∂ φ
A⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
> J:=(cos(phi)*diff(diff((A),r),z)-1/r*sin(phi)*diff(diff((A),phi),z))-I*(sin(phi)*diff(diff((A),r),z)+1/r*cos(phi)*diff(diff((A),phi),z));
J :=
2.404825558 cos φ( ) BesselJ 1, 2.404825558 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2 1P
cos π 12
- zP
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
π
R P
-
2.404825558 I sin φ( ) BesselJ 1, 2.404825558 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2 1P
cos π 12
- zP
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
π
R P
> int(int(int(A*J*r,r=0..R),z=0..P),phi=0..2*Pi); 0.
129
4. Contoh perhitungan komponen elemen matrik LK 6x6 (S) dalam
koordinat bola.
> j:=(n,x)->sqrt(Pi/2)/sqrt(x)*BesselJ(n+1/2,x);
j := n, x( ) →
12
π BesselJ n + 12
, x⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
x
> j:=(l,r)->sqrt(Pi/2)/sqrt(r)*BesselJ(1+1/2,r);
j := l, r( ) →
12
π BesselJ 32
, r⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
> fsolve(j(1,r)=0,r=0..10); 4.493409458
> G:=sqrt(Pi/2)/sqrt(1/R*4.493409458*r)*BesselJ(1+1/2,1/R*4.493409458*r);
G := -
0.2225481584 R cos 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r 2
> LPct := (l,m,theta) -> LegendreP(l,abs(m),cos(theta));
LPct := l, m, theta( ) → LegendreP l, m| | , cos θ( )( )
> A:=((((-1)^0)*(sqrt((1/(2*(1+0)))*(((2*1)+1))*(1-0))))*LPct(1,0,theta));
A := 12
6 cos θ( )
> B:=sqrt(Pi/2)/sqrt(1/R*4.493409458*r)*BesselJ(1+1/2,1/R*4.493409458*r)*1/2*sqrt(6)*cos(theta);
B := -
0.1112740792 R cos 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
6 cos θ( )
r 2
> C:=(r,theta,phi)-> ((sin(theta)^2-2*cos(theta)^2)*diff(diff(B,r),r)+((1/r^2*(cos(theta)^2-
130
2*sin(theta)^2)*diff(diff(B,theta),theta)))+(((1/(r^2*sin(theta)^2))*diff(diff(B,phi),phi))+((1/r*6*sin(theta)*cos(theta))*diff(diff(B,r),theta))+((1/r*(1+cos(theta)^2-2*sin(theta)^2))*diff(B,r))+(1/r^2*(cot(theta)-4*sin(theta)*cos(theta)))*diff(B,theta)));
C := r, theta, phi( ) → sin θ( )2 - 2 cos θ( )2
( ) ∂
∂ r
∂ ∂ r
B⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
+
cos θ( )2 - 2 sin θ( )2
( ) ∂
∂ θ
∂ ∂ θ
B⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r 2
+
∂ ∂ φ
∂
∂ φ B
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r 2 sin θ( )2 +
6 sin θ( ) cos θ( ) ∂
∂ θ
∂ ∂ r
B⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r +
1 + cos θ( )2 - 2 sin θ( )2
( ) ∂
∂ r B
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r
+
cot θ( ) - 4 sin θ( ) cos θ( )( ) ∂
∂ θ B
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r 2
> E:=(a*(sin(theta)^2*((cos(phi)^2)-sin(phi)^2)*diff(diff(B,r),r)+(1/r*2*sin(theta)*cos(theta))(cos(phi)^2-sin(phi)^2)*diff(diff(B,r),theta)-(1/r^2*2*sin(theta)*cos(theta)*(cos(phi)^2-sin(phi)^2)-cot(theta)*(sin(phi)^2-cos(phi)^2))*diff(B,theta)-(1/r*4*sin(phi)*cos(phi))*diff(diff(B,r),phi)+2*((1/r^2*(sin(phi)*cos(phi)+cot(theta)^2*sin(phi)*cos(phi)))+(1/(r^2*sin(theta)^2)*sin(phi)*cos(phi)))*diff(B,phi)+1/r*(sin(phi)^2-cos(phi)^2+cos^2(theta))*diff(B,r)+1/r^2*cos(theta)^2*(cos(phi)^2-sin(phi)^2)*diff(diff(B,theta),theta)+1/r^2*4*cot(theta)*sin(phi)*cos(phi)*diff(diff(B,theta),phi)+1/(r^2*sin(theta)^2)*sin(phi)^2*diff(diff(B,phi),phi))+2*I*b*(sin(theta)^2*sin(phi)*cos(phi)*diff(diff(B,r),r)+1/r*2*sin(theta)*cos(phi)*sin(theta)*cos(phi)*diff(diff(B,r),theta)-1/r^2*(2*sin(theta)*cos(theta)*sin(phi)*cos(phi)-cot(theta)*sin(phi)*cos(phi))*diff(B,theta)+1/r*(cos(phi)^2-sinphi)^2)*diff(diff(B,r),phi)+1/r*sin(phi)*cos(phi)*(cos(theta)^2-1)*diff(B,r)+1/r^2*cos(theta)^2*sin(phi)*cos(phi)*diff(diff(B,phi),phi)+1/r^2*cos(theta)^2*(cos(phi)^2-sin(phi)^2)*diff(diff(B,theta),theta)+1/r^2*cot(theta)(cos(phi)^2-sin(phi)^2)*diff(diff(B,theta),phi)+(1/(r^2*sin(theta)^2)*sin(phi)^2-1/r^2*cos(phi)^2)*diff(B,phi));
131
E := a
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
sin θ( )2 cos φ( )2
- sin φ( )2( )
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
-
0.6676444752 R cos 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
6 cos θ( )
r 4
+
0.4450963168 R -
4.493409458 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
R + 2 10-10 cos 4.493409458 r
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
6 cos θ( )
r 3-
1
r 2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0.1112740792 R -
20.19072856 cos 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
R 2 -
4.493409459 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
6 cos θ( )
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
+ 1
r cos φ( )2 - sin φ( )2
( )
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2 sin θ( ) cos φ( )2 - sin φ( )2
( ) cos θ( ) cos φ( )2 - sin φ( )2
( )
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
-
0.2225481584 R cos 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
6 sin θ( )
r 3
+
0.1112740792 R -
4.493409458 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
R + 2 10-10 cos 4.493409458 r
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
6 sin θ( )
r 2
132
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
- 1
r 2 ⎛⎜⎜⎜⎝
0.1112740792 2 sin θ( ) cos θ( ) cos φ( )2
- sin φ( )2( )
r 2 - cot θ( ) sin φ( )2
- cos φ( )2( )
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
R ⎛⎜⎝
cos⎛⎜⎝
4.493409458 rR
⎞⎟⎠
r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎞⎟⎠
6 sin θ( )⎞⎟⎟⎟⎠
+ 1r
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
(sin φ( )2 - cos φ( )2
+ cos 2)
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0.2225481584 R cos 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
6 cos θ( )
r 3
-
0.1112740792 R -
4.493409458 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
R + 2 10-10 cos 4.493409458 r
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
6 cos θ( )
r 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
+ 1
r 4 ⎛⎜⎜⎝
0.1112740792 cos θ( )3 cos φ( )2
- sin φ( )2( ) R ⎛⎜
⎝cos 4.493409458 r
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
- 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎞⎟⎠
6⎞⎟⎟⎠
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
+ 1r
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
sin φ( ) cos φ( ) cos θ( )2 - 1( )
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
133
0.2225481584 R cos 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
6 cos θ( )
r 3
-
0.1112740792 R -
4.493409458 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
R + 2 10-10 cos 4.493409458 r
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
6 cos θ( )
r 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
+ 1
r 4 ⎛⎜⎜⎝
0.1112740792 cos θ( )3 cos φ( )2
- sin φ( )2( ) R ⎛⎜
⎝cos 4.493409458 r
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
- 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎞⎟⎠
6⎞⎟⎟⎠
> F:=((sin(theta)*cos(theta)*diff(diff(B,r),r)+1/r*cos(phi)*(cos(theta)^2-sin(theta)^2)*diff(diff(B,r),theta)+1/r^2*cos(phi)(sin(theta)^2-cos(theta)^2)*diff(B,theta)-1/r*sin(theta)*cos(theta)*cos(phi)*diff(B,r)-1/r^2*sin(theta)*cos(theta)*cos(phi)*diff(diff(B,theta),theta)-1/r*cos(theta)*sin(phi)*diff(diff(B,phi),r)+1/r*sin(phi)*diff(diff(B,phi),theta))-I*(sin(theta)*cos(theta)*sin(phi)*diff(diff(B,r),r)+1/r*(cos(theta)^2*cos(phi)-sin(theta)^2*sin(phi))*diff(diff(B,r),theta)+1/r^2(sin(theta)^2*sin(phi)-cos(theta)^2*cos(phi))*diff(B,theta)-1/r*sin(theta)*cos(theta)*cos(phi)*diff(B,r)-1/r^2*sin(theta)*cos(theta)*cos(phi)*diff(diff(B,theta),theta)+1/r*cos(theta)*cos(phi)*diff(diff(B,phi),r)-1/r*cos(phi)*diff(diff(B,phi),theta)));
F := sin θ( ) cos θ( )
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
-
0.6676444752 R cos 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
6 cos θ( )
r 4
+
134
0.4450963168 R -
4.493409458 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
R + 2 10-10 cos 4.493409458 r
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
6 cos θ( )
r 3-
1
r 2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0.1112740792 R -
20.19072856 cos 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
R 2 -
4.493409459 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
6 cos θ( )
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
+ 1r
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
cos φ( ) cos θ( )2 - sin θ( )2
( )
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
-
0.2225481584 R cos 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
6 sin θ( )
r 3
+
0.1112740792 R -
4.493409458 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
R + 2 10-10 cos 4.493409458 r
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
6 sin θ( )
r 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
+ 1
r 4 ⎛⎜⎜⎝
0.1112740792 cos φ( ) sin θ( )2 - cos θ( )2
( ) R ⎛⎜⎝
cos 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
- 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎞⎟⎠
6 sin θ( )⎞⎟⎟⎠
- 1r
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
sin θ( ) cos θ( ) cos φ( )
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0.2225481584 R cos 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
6 cos θ( )
r 3
135
-
0.1112740792 R -
4.493409458 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
R + 2 10-10 cos 4.493409458 r
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
6 cos θ( )
r 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
- 1
r 4 ⎛⎜⎜⎝
0.1112740792 sin θ( ) cos θ( )2 cos φ( ) R ⎛⎜
⎝cos 4.493409458 r
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
- 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎞⎟⎠
6⎞⎟⎟⎠
- I
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
sin θ( ) cos θ( ) sin φ( )
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
-
0.6676444752 R cos 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
6 cos θ( )
r 4
+
0.4450963168 R -
4.493409458 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
R + 2 10-10 cos 4.493409458 r
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
6 cos θ( )
r 3-
1
r 2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0.1112740792 R -
20.19072856 cos 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
R 2 -
4.493409459 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
6 cos θ( )
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
+ 1r
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
cos θ( )2 cos φ( ) - sin θ( )2
sin φ( )( )
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
136
-
0.2225481584 R cos 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
6 sin θ( )
r 3
+
0.1112740792 R -
4.493409458 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
R + 2 10-10 cos 4.493409458 r
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
6 sin θ( )
r 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
+
0.1112740792 R cos 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
6 sin θ( )
r 4 -
1r
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
sin θ( ) cos θ( ) cos φ( )
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0.2225481584 R cos 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
6 cos θ( )
r 3
-
0.1112740792 R -
4.493409458 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
R + 2 10-10 cos 4.493409458 r
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
6 cos θ( )
r 2
137
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
- 1
r 4 ⎛⎜⎜⎝
0.1112740792 sin θ( ) cos θ( )2 cos φ( ) R ⎛⎜
⎝cos 4.493409458 r
R⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
r
- 0.2225481584 sin 4.493409458 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R⎞⎟⎠
6⎞⎟⎟⎠
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
> int(int(int(B*C*r^2*sin(theta),r=0..R),theta=0..Pi),phi=0..2*Pi);
0.
> evalf(%); 0.
5. Perhitungan nilai elemen baris pertama dan kolom pertama matrik
Hamiltonian TB.
> A:=(r)->(-2.038)*(2.360352/r)^2*exp(2*(-((r/3.4)^9.5)+(2.360355/3.4)^9.5));
A := r → -1( ) 2.038 2.360352 2
r 2 e
-2 r
3.4⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
9.5 + 2
2.3603553.4
⎛⎜⎝⎞⎟⎠
9.5⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
> B:=(r,z)->BesselJ(0,1/R*evalf(BesselJZeros(0,1))*r)*sqrt(2/P)*sin(Pi*((1/2)-(z/P)));
B := r, z( ) → BesselJ 0, evalf BesselJZeros 0, 1( )( ) rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2P
sin π 12
- zP
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
> Int(Int(Int(A(r)*B(r,z)*B(r,z)*r,r=0..R),phi=0..2*Pi),z=0..P);
138
⌠⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⌡0
P
⌠⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⌡0
2 π
⌠⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⌡0
R
-
22.70846214 e-0.00001786406476 r9.5 + 0.06241153772( )
BesselJ 0, 2.404825558 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2 sin π 1
2 - z
P⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2
r P
dr dφ dz
> evalf(%);
⌠⎮⎮⎮⎮⎮⌡0.
P
⌠⎮⎮⎮⎮⎮⌡0.
6.283185308
⌠⎮⎮⎮⎮⎮⌡0.
R
- 1r P
⎛⎜⎜⎝
22.70846214 e-0.00001786406476 r9.5 + 0.06241153772( )
BesselJ 0., 2.404825558 rR
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2
sin 1.570796327 - 3.141592654 zP
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2⎞⎟⎟⎠
dr dφ dz