7/23/2019 S.I.3 ReprezentareaSimbolica+CorespondentaOperatiilor
1/8
Reprezentarea simbolic a mrimilor sinusoidale i corespondena operaiilor
1.3 Reprezentarea simbolic a mrimilor sinusoidale icorespondena operaiilor
Analiza direct a circuitelor liniare de c.a. n regim permanent sinusoidal sepoate efectuta prin folosirea valorilor instantanee i aplicarea teoremelor luiKirchhoff. Se obine un sistem de ecuaii integro-difereniale care constituiemodelul matematic al circuitului. Sistemul de ecuaii este necesar i suficient
pentru obinerea rspunsului pe fiecare ramur a circuitului ns rezolvarea saeste adesea laborioas i prea puin intuitiv.
Metodele de reprezentaresimbolic a mrimilor sinusoidale se introduc pentru afacilita analiza circuitelor de c.a. sinusoidal prin nlocuirea ecuaiilor integro-
difereniale cu ecuaii algebrice saugeometrice. Se folosesc dou moduri dereprezentare simbolic, prin:
a metode analiticede reprezentare, atunci c!nd simbolurile folosite pentrumrimile sinusoidale sunt numere complexei
b metode geometrice (fazoriale) de reprezentare, care utilizeaz dreptsimboluri ale mrimilor sinusoidale, vectori liberi n plan, numiifazori.
Un fazor este un vector abstract, fictiv, teoretic, simbol al unei mrimi scalaresinusoidal variabil n timp, spre deosbire de vectorii fizici
.,,,,," etcDEBHMF
ce acioneaz n spaiu pe o direcie i un sens precizate.
7/23/2019 S.I.3 ReprezentareaSimbolica+CorespondentaOperatiilor
2/8
Reprezentarea simbolic a mrimilor sinusoidale i corespondena operaiilor
#ntroducerea metodelor de reprezentare simbolic se bazeaz pe urmtoareleobservaii:
$m
m"t
t
%&'(f
t
)ig.' sin"" += tMtm m
Observaia 1. Un semnal sinusoidalde form normal n sinus "fig.' este
complet determinat de dou mrimi scalare : amplitudineaMMm *= "sau
valoarea sa efectiv,M i un unghi reprezent!nd faza sa, += t "o mrimeliniar variabil n timp care, la r!ndul su, include informaia privind pulsaiaifaza iniial :
sin"" += tMtm m " Mm "sauM=Mm * , &+t "'dublet de identificare amrimii sinusoidale
In circuite cu semnale de aceeai frecven nu se mai evideniaz pulsaia+&*!, iar mrimea sinusoidal se identific doar prin valoarea efectiv, Mi
faza iniial, astfel nc!t dubletul de identificare a mrimii sinusoidale devine:
"M,
- se negli/eaz
,valoare comun pt.toate semnalele0 - dublet folosit n:
reprezentarea analitic n complex simplificat, RCS"cu numere comple"e constante n timp# M i respectiv n
reprezentarea geometric polar"cu!azori de timp polari# !ici n planul comple"
denumiri ale simbolului in 12S: i.c.s. / v.e.c. / f.p.c.
7/23/2019 S.I.3 ReprezentareaSimbolica+CorespondentaOperatiilor
3/8
Reprezentarea simbolica mrimilor sinusoidale i corespondenaoperaiilor
Observaia . Un numr comple", m se poate e3prima sub una din formeleanalitice - algebric, e3ponenial sau trigonometric - i beneficiaz i de oreprezentare geometric n planul comple30
a $bam += , unde: { } { } 0',mmbmea === $,
b ,$eMm= unde: 0(",
** abarct%baM =+= "*
c ,sin"cos $Mm += unde:.
*sin,
*cos
$
eeee $$$$ =
+=
d 1eprezentarea geometric - printr-un afi3 "punct n planul comple3, de
a3e ortogonale: - a3a real, e de versor ' - a3a imaginar, m , de versor /.
m
'
/
b
$
a
Fig.24adar, un numr comple3, la fel ca i semnalele sinusoidale, este completdeterminat de dou mrimi scalare, conform urmtoarei corespondene :
,"
,"
Mm
saubam
, "5dublet de identificare a
numrului complex
Observaia 3. Un vector liber n plan#M se identific tot prin dou mrimiscalare, modulul M i ungiul de poziie "argumentul, n raport cu a3a
origine de faz a planului:
M "M, dublet de identificare al "6
vectorului n plan
!rocedele de reprezentare simbolic" n ambele cazuri, geometric i analiticrealizeaz o asociere biunivoc ntre mrimea sinusoidal i simbolul folosit,
7/23/2019 S.I.3 ReprezentareaSimbolica+CorespondentaOperatiilor
4/8
Reprezentarea simbolic a mrimilor sinusoidale i corespondena operaiilor
"numr comple3 sau vector prin punerea n coresponden a dubleilor deidentificare .
Reprezentarea !n comple" simpli#icat (RCS) a mrimilor sinusoidale
Se aplic atunci c!nd toate semnalele prezinta aceeasi pulsatie, , a.i., inreprezentarea simbolica, se poate renuna la evidenierea acestei mrimi comunetuturor semnalelor.
Reprezentarea !n comple" simpli#icat (RCS) asociaz biunivoc un semnalsinusoidal, m"t cu un numar comple3 constant n timp "denumit : ima%inecomple"a simpli!icata# valoare efectiva complexa# sau !azor polar comple",
av!nd modulul egal cu valoarea efectiva,M si argumentul egal cu faza iniiala,
ale semnalului reprezentat, respectiv, " i.c.s. / v.e.c. / f.p.c.:
m"t sin" += tMm .7sin8cos
-/
+=
=
$M
MeM
"9
"recerea inversade la valoare efectiva comple3a, M la semnalul sinusoidalreprezentat, m(t)se efectueaza cu a/utorul relatiei :
.*" Memtm t$= . "
#azorul reprezentativ n planul complex $ M este fix %fazor polar&"fig.6.
'bservaie. ;ntre valoarea instantanee comple3a m , si valoarea efectiva
comple3a M , "9 asociate aceluiasi semnal sinusoidal m(t)$ "', e3ista relaia:
.* Mem t$= "
7/23/2019 S.I.3 ReprezentareaSimbolica+CorespondentaOperatiilor
5/8
Reprezentarea simbolica mrimilor sinusoidale i corespondenaoperaiilor
)ig.5. 12>: "i.c.n./v.i.c.)/f.c.c.(#resnel )ig.6. 12S: " i.c.s./v.e.c.)/ f.p.c.
Corespondena operaiilor !n comple" simpli#icat (RCS)
a) $dunarea%&umei m = m' ( m)a doua semnale sinusoidale i corespunde un !azor
polar comple" *!+p+c+, e%al cu suma !azorilor polari compleci *!+p+c+,
ima%ini ale semnalelor m'si m):
.*'*' MMMmmm +=+= "'=
#n planul comple3 f.p.c. sum se obine prin sumarea geometric a f.p.c. termeni,conform regulii paralelogramului n cazul a doi termeni sau dup regula
poligonuluin cazul mai multor termeni "fig.9.
$
$
$
$
$
$
$
*
*
5
'
'
*
'
''
*
*
'
'
5
** 5
aa
b
b
b
b
b b
b
a
a
a a''
//
a
)ig.9.
*'*'*' bbb0aaa0/ba$$$ +=+=+=+= 0 regula paralelogramului0
==+== iii bb0aa0/ba$$ 0 regula poligonului.b) ;nmultirea cu un scalar.
-rodusului)m=) M t +* sin" dintre o mrime sinusoidal mi un scalar
real)i corespunde un !+p+c+#) M# e%al cu produsul dintre scalarul real)i
!+p+c+M
# ima%ine a semnalului sinusoidal m.
.M/m/ "''
7/23/2019 S.I.3 ReprezentareaSimbolica+CorespondentaOperatiilor
6/8
Reprezentarea simbolic a mrimilor sinusoidale i corespondena operaiilor
c &erivarea !n timp. 0peraia de derivare n timp a unui semnal sinusoidal#sin"" += tMtm m corespunde operaiei de nmulire cu numrul comple"
$ aplicat f.p.c. reprezent!nd mrimea sinusoidal iniial, M .
?erivata n raport cu timpul a semnalului sinusoidal m*t av!nd e3presia"'*, regula de obinere a f.c.p. al derivatei se e3prim prin corepondena "'5:
*(sin"*d"d ++= tM
ttm
"'*
.d
d *("*(
++ == $$$ eMeMeM$t
m"'5
F+p+c++ al derivatei n timp a unui semnal sinusoidal# m are modululamplificat cu i argumentul mrit cu '"este rotit cu ', !n avans fa
de f.p.c. al mrimii sinusoidale iniiale, M . 4 adar, n planul comple3,derivarea n raport cu timpuleste echivalenta cu amplificarea modulului cu i rotirea cu 'n avans, aplicate asupra f.p.c.al mrimii iniiale "fig. .
d nte*rarea !n timp. 0peraia de inte%rare n timp a unui semnalului
sinusoidal sin"" += tMtm m corespunde operaiei de mprire la numrulcomple3*aplicat f.p.c. reprezent!nd mrimea sinusoidal iniial.
#ntegrala n timp a semnalului sinusoidal m*t av!nd e3presia "'6 regulade obinere a f.c.p. al integralei se e3prim prin corepondena "'9:
*(sin"*d"
+= tM
ttm, "'6
==
$
Mee
Me
Mtm $$$ *(*("d
. "'9
F+p+c+ al integralei n timp a unui semnal sinusoidal# m are modululmprit la i argumentul mic orat cu '* "este rotit cu + ', !n urm fa
de f.c.p. al mrimii sinusoidale iniiale, M . 4 adar, n planul comple3,integrarea n timpeste echivalent cu
)ig.
7/23/2019 S.I.3 ReprezentareaSimbolica+CorespondentaOperatiilor
7/8
Reprezentarea simbolica mrimilor sinusoidale i corespondenaoperaiilor
mprirea modulului la i rotirea cu (n urm, aplicate asupra f.p.c. almrimii iniiale "fig. .
@@@ ;ntruc!t produsul a dou semnale sinusoidale nu este, de regul, o
funcie sinusoidal, el nu se poate reprezenta simbolic n comple3.
Operatori de rotaie%
Sunt numere comle3e de modul ' i argument, diferit de zero.
Arin nmulirea unui fazor cu un operator de rotaiese obine un fazor cumodulul neschimbat, dar rotit cu un unghi egal cu argumentul operatorului de
rotaie, . Bperatorii de rotaie cu *(+ i respectiv *( au aadar e3presiile:
$ & e$ *(" 0 -$ & $'
& e-$ *(" "'
"emplu: Suma a doi cureni de pulsaie = = =* * 9= 5'6! rad s .
( ) 45
7/23/2019 S.I.3 ReprezentareaSimbolica+CorespondentaOperatiilor
8/8
Reprezentarea simbolic a mrimilor sinusoidale i corespondena operaiilor
-i*.
notm 1a = '=4 2i 1r = ''4 i rezultpentru valoarea efectiv a intensitii:
AIII ra 371412110022
,=+=+=,
iar pentru faza iniial :
D'=6