Simplificação de CircuitosSimplificação de Circuitos
Nikolas Libert
Aula 5
Eletrônica Digital ET52CTecnologia em Automação Industrial
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Diagrama de Veitch-Karnaugh
Diagrama de Veitch-Karnaugh.
Um diagrama ou mapa de Veitch-Karnaugh é uma forma diferente de representar a tabela verdade de um expressão lógica.
Da forma como cada linha de uma tabela verdade é representada num mapa de Veitch-Karnaugh, fica mais fácil de se identificar possíveis simplificações na expressão lógica.
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Duas Variáveis
Diagrama de Veitch-Karnaugh para Duas Variáveis. Abaixo é fornecida uma tabela verdade com saídas
genéricas W, X, Y e Z.
Essa mesma tabela pode ser representada por uma matriz 2x2 chamada de mapa de Karnaugh.
A B S
0 0 W
0 1 X
1 0 Y
1 1 Z
B B
W X
Y Z
A
A
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Duas Variáveis
Exemplo. Para a tabela verdade abaixo, ache a equação soma de produtos, simplifique a equação lógica e represente a tabela no mapa de Karnaugh.
A B S
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 0
B B
A
A
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Duas Variáveis
No mapa de Karnaugh, entre dois espaços contíguos, há sempre a mudança de apenas uma variável de entrada.
B B
1 1
0 0
A
A
- Se andarmos do espaço A.B para seu vizinho A.B, há apenas uma variável de entrada que muda(B muda para B, enquanto A continua constante).
- A implicação deste fato é que ao escrevermos a expressão soma de produtos, o termo A poderá ser colocado em evidência e os termos B e B serão cancelados.
S = A.B + AB = A (B + B) = A (B + B) = A (1) = A
- No mapa de Karnaugh, sempre que houverem “1”s em espaços contíguos, será possível a simplificação da expressão lógica.
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Duas Variáveis
Agrupamentos possíveis em mapas de 2 variáveis.
– Quadra: conjunto de quatro espaços de valor 1. Num mapa de 2 variáveis, só haverá uma quadra quando todas saídas forem 1.
– Pares: conjunto de dois espaços vizinhos de valor 1.
B B
1 1
1 1
A
A
Nesse caso a simplificação será máxima e a expressão será S=1.
B B
0 0
1 1
A
A
B B
1 0
1 0
A
A
Resulta emS=A
Resulta emS=B
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Duas Variáveis
Agrupamentos possíveis em mapas de 2 variáveis.
– Termos isolados: quando um espaço de valor 1 só é vizinho de espaços de valor zero. Nestes casos, não há simplificação.
B B
0 1
1 0
A
A
Exemplo com dois termos isolados:
A saída seria a própria expressão soma de produtos.
S = AB+AB
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Duas Variáveis
Procedimento para simplificação.
– Deve-se buscar um conjunto de agrupamentos que inclua todos os espaços de valor 1.
– Inicia-se pela busca de agrupamentos na seguinte ordem: quadras, pares e por fim, termos isolados.
– A expressão simplificada será a soma das expressões para cada agrupamento.
Exemplo: ache a expressão mínima para a tabela verdade.
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
B B
A
A
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Duas Variáveis
B B
0 1
1 1
A
A
- Não havendo quadras, parte-se para a busca de pares.
- Os pares encontrados englobam todos os termos unitários do mapa, não há necessidade de continuar a busca por termos isolados.
S1 = A S2 = B S = S1 + S2 = A + B
Exercício: ache a expressão mínima para a tabela verdade. A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
B B
A
A
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Três Variáveis
Diagrama de Veitch-Karnaugh para Três Variáveis. O mapa de Karnaugh abaixo representa uma tabela
verdade de três variáveis de entrada.A B C S
0 0 0 S0
0 0 1 S1
0 1 0 S2
0 1 1 S3
1 0 0 S4
1 0 1 S5
1 1 0 S6
1 1 1 S7
B B
S0 S1 S3 S2
S4 S5 S7 S6
A
A
C C C
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Três Variáveis
O procedimento para simplificação é o mesmo, no entanto, agora existem mais possibilidade de agrupamentos.
– Oitava: conjunto de oito espaços de valor 1. Num mapa de 3 variáveis, só haverá uma oitava quando todas saídas forem 1.
B B
1 1 1 1
1 1 1 1
A
A
C C C
Nesse caso a simplificação será máxima e a expressão será S=1.
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Três Variáveis
Agrupamentos possíveis em mapas de 3 variáveis.
– Quadras: agora existirão mais possibilidades de agrupamento.
B B
1 1 0 0
1 1 0 0
A
A
C C C
B B
1 0 0 1
1 0 0 1
A
A
C C C
B B
1 1 1 1
0 0 0 0
A
A
C C C
Resulta emS=B
Resulta emS=A
Resulta emS=C
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Três Variáveis
Agrupamentos possíveis em mapas de 3 variáveis.
– Pares.
– Termos isolados.
B B
1 0 0 1
0 1 1 0
A
A
C C C
B B
0 1 0 1
0 0 1 0
A
A
C C C
exemplo com dois pares:S = A.C + A.C
exemplo com três termos:S = A.B.C + A.B.C + A.B.C
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Três Variáveis
Exemplo: Obtenha a expressão mínima por mapa de Karnaugh.
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
B B
A
A
C C C
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Três Variáveis
Exercício: Obtenha a expressãomínima que representa a tabelaverdade ao lado. Utilize mapa deKarnaugh.
B B
1 0 1 1
1 0 0 1
A
A
C C C
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
S = SA + SB = C + ABSA = C
SB = AB
S = AC + AB + AC ou S = AC + AC + BC
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Quatro Variáveis
Diagrama de Veitch-Karnaugh para Quatro Variáveis. Relação Tabela Verdade x Mapa Karnaugh:A B C D S
0 0 0 0 S0
0 0 0 1 S1
0 0 1 0 S2
0 0 1 1 S3
0 1 0 0 S4
0 1 0 1 S5
0 1 1 0 S6
0 1 1 1 S7
... ...
A B C D S
... ...
1 0 0 0 S8
1 0 0 1 S9
1 0 1 0 S10
1 0 1 1 S11
1 1 0 0 S12
1 1 0 1 S13
1 1 1 0 S14
1 1 1 1 S15
C C
S0
S4
S1 S3 S2
S5 S7 S6
S12
S8
S13 S15 S14
S9 S11 S10
A
A
B
B
B
D D D
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Quatro Variáveis
Existência de novas possibilidades de agrupamentos.
C C
1
0
1 1 1
0 0 0
0
1
0 0 0
1 1 1
A
A
B
B
B
D D D
- Oitavas - QuadrasC C
1
0
0 0 1
0 0 0
0
1
0 0 0
0 0 1
A
A
B
B
B
D D D
S = B S = B.D
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Quatro Variáveis
Exemplo: Ache a expressão mínima por Karnaugh.
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
... ...
A B C D S
... ...
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
C C
A
A
B
B
B
D D D
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Quatro Variáveis
C C
0
0
1 1 1
1 1 0
1
1
1 1 0
1 1 0
A
A
B
B
B
D D D
S = SA + SB + SC = D + AC +A.B.C
SA = D
SC =A.B.C
SB = AC
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Quatro Variáveis
Exercício: Ache a expressão mínima por Karnaugh.
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
... ...
A B C D S
... ...
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
C C
A
A
B
B
B
D D D
S = ABCD + BCD + AB + AD
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para Muitas Variáveis
Diagrama de Veitch-Karnaugh para mais de Quatro Variáveis. Quando o número de variáveis passa a ser superior a
quatro, o método de simplificação de Veitch-Karnaugh se torna muito complexo.
Para essas situações é recomendável a simplificação por computador.
Uma forma de simplificação é pelo algoritmo de Quine-McCluskey.
– Programas que o implementam podem ser achados com facilidade na internet.
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Casos que Não Admitem Simplificação
Casos que Não Admitem Simplificação
Como seria a representação das funções XOR e XNOR no mapa de Karnaugh?
- XOR - XNORA B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
B B
0 1
1 0
A
A
A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
B B
1 0
0 1
A
A
Tabelas que a princípio não são simplificáveis, podem ser representadas pelas funções XOR e XNOR
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Casos que Não Admitem Simplificação
Função XOR com três variáveis.
– Mapa de Karnaugh da expressão S = A + B + C
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
B B
0 1 0 1
1 0 1 0
A
A
C C C
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Casos que Não Admitem Simplificação
Encontre o mapa para a expressão S = A ʘ B ʘ C
A B C S
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
B B
A
A
C C C
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Casos que Não Admitem Simplificação
As funções A ʘ B ʘ C e A + B + C são iguais!
As seguintes igualdades são válidas:
– A + B = A ʘ B
– A + B + C = A ʘ B ʘ C
– A + B + C + D = A ʘ B ʘ C ʘ D
– A + B + C + D + E = A ʘ B ʘ C ʘ D ʘ E
– Quando o número de variáveis é par a função Ou Exclusivo é igual ao complemento da função Coincidência.
– Quando o número de variáveis é impar as função Ou Exclusivo e Coincidência são iguais.
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Bit de Paridade
Bit de Paridade
Em alguns protocolos de comunicação criou-se o conceito de paridade para detecção de erros no envio de dados.
No protocolo RS232, os dados são transmitidos em grupos de 8 bits (+ 2 de controle) e opcionalmente, pode ser incluído um bit de paridade para verificação.
Bit 0 Bit 1 Bit 2 Bit 3 Bit 4 Bit 5 Bit 6 Bit 7 Pari.Start= 0
Stop= 1
Pacote RS232t
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Bit de Paridade
Existem duas configurações possíveis de paridade: paridade par e paridade impar.
– Para que a comunicação ocorra, o receptor e o transmissor devem ter a mesma configuração.
Paridade Par: O bit de paridade é gerado de forma que o número de bits em nível alto (excluindo bits de controle) seja par.
Paridade Impar: O bit de paridade é gerado de forma que o número de bits em nível alto (excluindo bits de controle) seja impar.
Bit 0 Bit 1 Bit 2 Bit 3 Bit 4 Bit 5 Bit 6 Bit 7 Pari.Start= 0
Stop= 1
t
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Bit de Paridade
Exemplo: para transmissão do dado 0xE0 com paridade par, qual será o valor do bit de paridade?
– Se no receptor o número de bits em nível alto recebidos for impar, o pacote será rejeitado.
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Bit de Paridade
Exemplo: projete um circuito gerador de paridade para dados de 4 bits. Considere paridade par.
A B C D S
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
... ...
A B C D S
... ...
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
C C
A
A
B
B
B
D D D
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Bit de Paridade
Exercício. Projete um detector de paridade para três bits de entrada. Se o número de “1”s for impar, a saída deverá ser zero.
C C
0
1
1 0 1
0 1 0
0
1
1 0 1
0 1 0
A
A
B
B
B
D D D
4 variáveis de entrada!A resposta deverá ter um dos
seguinte formatos:
S = A ʘ B ʘ C ʘ D = A + B + C + Dou
S = A + B + C + D = A ʘ B ʘ C ʘ D
Fazendo um teste para uma entrada qualquer, vemos que a opção correta é a
segunda: 0 ʘ 0 ʘ 0 ʘ 0 = 1
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Bit de Paridade
A B C S
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
B B
A
A
C C C
R.: S = A ʘ B ʘ C = A + B + C
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Referências
IDOETA, I. V., CAPUANO, F. G. Elementos de Eletrônica Digital, 41ª Edição, Érica, São Paulo, 2013.